Ryhmää O kutsutaan sykliseksi, koska kaikki elementit ovat yhden ja saman elementin askelia. Tätä elementtiä kutsutaan positiiviseksi sykliseksi ryhmäksi O. Onko syklinen ryhmä ilmeisesti Abelin.

Syklinen ryhmä on esimerkiksi kokonaislukujen joukko yhteenlaskuja varten. Qiu ryhmä mi on merkitty symbolilla 2. ї tvirnoy є numero 1 (і navit number - 1). Syklinen ryhmä on myös ryhmä, joka koostuu vain yhdestä elementistä (yksittäinen).

Suuressa ryhmässä Minkä tahansa elementin g kylkiluista tulee syklinen alaryhmä, jossa on kiinteä g. Alaryhmien järjestys, zrozumіlo, zbіgaєtsya g-elementin järjestyksessä. Lagrangen lauseen tulokset (jako sivu 32) osoittavat, että minkä tahansa ryhmän elementin järjestys tulisi jakaa, ryhmän järjestys (kunnioittavasti, että kaikki lopullisen ryhmän elementit ovat lopullisen järjestyksen elementtejä).

Tähän, mikä tahansa viimeisen ryhmän elementti g, järjestys voi olla yhtä suuri

Tämä yksinkertainen kunnioitus on usein väärin.

Ilmeisesti, koska ryhmä on syklinen ja її perustaa, elementin järjestys on tietysti oikea. Takaisin, ryhmänä volody-elementtejä järjestyksessä, sitten tämän elementin vaiheet ovat erilaisia, ja siihen vaiheeseen koko ryhmä Pro.

Mi bachimo, sellaisessa asemassa, että syklinen ryhmä voi äiti dekilka eri utvoryuyuchih (itse, olla jokin elementti järjestyksen є tvernoy).

Manager. Sen tuomiseksi yksinkertaisen järjestyksen ryhmä on syklinen ryhmä.

Manager. Tuo mitä syklinen ryhmä voi tilata, tasapuolisesti hyväksyä, de - numeroida positiivisia lukuja, pienempiä ja toisiaan yksinkertaisempia s .

Järjestysjärjestyksessä, olipa kyseessä sitten kintseviryhmä, voit lisätä numeron - kaikkien її-elementtien järjestyksen vähiten merkitsevän kerrannaisen.

Manager. Tuoda, ryhmän lopusta riippumatta, numero, joka jakaa ryhmän järjestyksen.

On selvää, että syklisessä ryhmässä määrä kasvaa järjestyksessä. Takaisin, vzagali näyttää, ei totta. Tim ei ole pienempi, voi olla kovettuminen, mikä luonnehtii syklisiä ryhmiä lopullisten Abelin ryhmien luokassa:

loppu Abelin ryhmä, jonka numero on edistyneempi järjestykseen, є syklinen ryhmä.

Aivan, älkäämme

Tilaukset kaikista vіdmіnkh vіd odinі elementі v kintseї аbelії ї ї ї Tietoja tilauksesta, і nehay - їх vähintään zagalne useita.

Jaetaan eri alkulukujen lisäaskelmien määrä:

Olkoon Oskilkin luku є, sitä tarkoitusta varten, pienin lukujen yhteinen kerrannainen (1), haluttujen lukujen joukossa yksi luku, joka jakaa tarkalleen ie:llä. Olkoon luku є alkion g järjestys. Sama elementti on järjestyksessä (jakosekvenssi 1) sivulla 29).

Tällaisessa asemassa kuka tahansa Pro-ryhmän jäsen haluaa käyttää yhtä elementtiä järjestyksessä. Ihon väriseminen on yksi tällainen elementti, katsotaanpa kasvojasi. Zgidno z firmzhennyam, tuo sivuun. 29-30; Oskіlki loput numerot mielelle on hyvä, Tim itse toi, että ryhmässä on elementti kohta järjestyksessä.Otzhe, tämä ryhmä on syklinen ryhmä.

Tule nyt O - melko syklinen ryhmä kierteellä ja H - deak її alaryhmällä. Oskіlki onko alaryhmän H elementti Pro-ryhmän elementti, voit katsoa sitä, de d - se voi olla enemmän positiivinen tai negatiivinen luku (vzagali, sevne on epäselvä). Voidaan tarkastella kaikkien positiivisten lukujen persoonallisuutta, mikä alkio kuuluu alaryhmään N. Oskilki ce persoonallisuus ei ole tyhjä (miksi?), niin näytetään pienin luku, onko elementin h alaryhmä H alkion askel. Itse asiassa argumentin vuoksi on sama luku d, joka (luku voi olla negatiivinen). Jaa (liian paljon) luku d numerolla

Joten ylijäämien minimaalisen määrän vuoksi se on syyllistynyt nollaan. Sillä tavalla,

Tim itse toi esiin, että alkuaine on kiinteä ryhmä H, joten ryhmä H on syklinen. Otzhe, on syklisen ryhmän syklisen ryhmän alaryhmä.

Manager. Tuo luku alaryhmän indeksiin H ja jaa sitten ryhmän järjestys (kuten ryhmä O Kintsev).

Kunnioittavasti minkä tahansa dilnikin kohdalla Pro-ryhmän viimeisen syklisen ryhmän Q järjestys on yksi ja useampi kuin yksi alaryhmä H järjestyksessä (ja itse alaryhmä on

On ilmeistä, että endian syklinen ryhmä on yksinkertainen, että järjestys on alkuluku (tai yksikkö).

Merkittävää on se, onko syklisen ryhmän Q tekijä (tästä lähtien ryhmä, onko homomorfinen kuva) syklinen ryhmä.

Todistaaksesi sen, muista, että tvirnoi-ryhmän tulee palvella älyluokkaa, joka kostaa tvirno-ryhmä Pro.

Zocrema, onko kokonaislukujen ryhmän Z tekijä syklinen ryhmä. Vivchimo tsі tsіchіchіchі grupі prіknіshe.

Koska ryhmä Z on Abelin, onko alaryhmä Z normaali dilnik. Toiselta puolelta katsottuna lisää tuomisen kannalta alaryhmä H on syklinen ryhmä. Koska triviaalien alaryhmien takana olevan ryhmän tekijä on meille tiedossa, voidaan alaryhmää H pitää ei-triviaalina. Olkoon luku є, joka tyydyttää alaryhmän N. Voimme tehdä positiivisen luvun (miksi?) і myös suuremmiksi kuin yksi.

Alaryhmä N. muodostuu ilmeisesti kaikista numeroista, jotka on jaettu alaryhmiin. Tästä syystä kaksi lukua kuuluu edelleen vain yhteen summaluokkaan alaryhmässä H, jos erotus jaetaan luvulla, niin jos haju voi olla yhtä suuri kuin moduuli (jakokurssi, sivu 277). Tässä luokassa alaryhmän H luokan summat eivät ole mitään muuta, kuten lukujen luokat, joten voitte samastaa toisianne moduulille.

Toisin sanoen ryhmän Z ryhmän tekijä H:n aliryhmälle on niiden lukuluokkien ryhmä (lisäyksille), jotka ovat keskenään yhtä suuria moduulille . Nimeämme tämän ryhmän Її hyväksyvän є luokan kautta, joka kostaa numeron 1.

Näyttää siltä, ​​onko syklinen ryhmä isomorfinen vai ryhmä Z (koska sitä ei ole rajoitettu) vai jokin ryhmistä (kun järjestys on nyljetty).

Totta, kerro minulle - minä teen ryhmän O. Merkittävää on kuitenkin, että ryhmän 2 ilmaus ryhmässä O

Tarkastellaan näiden kahden vaiheen (2Z, ) kerrannaisryhmää, jossa 2Z = (2 n | P e Z). Additiiviryhmän my є analogi on kaksoiskokonaislukujen (2Z, +), 2Z = (2n | p e Z). Damo zagalne vyznachennya ryhmät, okremi peput tällaisten є danі ryhmien.

Ajanvaraus 1.8. Multiplikatiivinen ryhmä (G,) (Lisäaineryhmää (G, +)) kutsutaan syklinen kuinka se lasketaan yhteen yhden elementin peräkkäisiltä tasoilta (kaikkien kerrannaisten). a e G, tobto. G=(A p | p e Z) (vіdpovidno, G - (pa | p e Z)). Nimitys: (a), lue: elementin a luoma syklinen ryhmä.

Katsotaanpa sitä.

• 1. Kertaluonteisen ei-skaalautuvan syklisen ryhmän päikkäri voi olla kiinteän kokonaisluvun kaikkien syklivaiheiden ryhmä a F±1, voitto ilmoitettu ja r. sellaisella tavalla, ja d - (a).
• 2. Multiplikatiivisen terminaalisen syklisen ryhmän pää on ryhmä C juuri n askel yksin. Arvaa mitä juuri n askel yhdestä tietämään

kaavan takana e k= cos---hisin^-, de ennen = 0, 1, ..., P - 1. liuku- p s

todellakin, З „ \u003d (e x) \u003d (e x \u003d 1, e x, ef \u003d e 2, ..., e "-1 \u003d? „_ x). Arvaa mitä kompleksiluvut e to, to = 1, ..., P - 1, on kuvattu yhden panoksen, jakin, pisteillä P yhtä suuret osat.

• 3. Tyypillinen esimerkki additiivisesta ei-skaalautuvasta syklisestä ryhmästä on kokonaislukujen Z additiivinen ryhmä, joka generoidaan luvulla 1, eli. Z = (1). Geometrisesti se näkyy numeerisen suoran kokonaisia ​​pisteitä nähtynä. Itse asiassa itse multiplikatiivinen ryhmä on kuvattu tällä tavalla 2 7 - = (2) a z \u003d (a), desiilin numero a F±1 (jako kuva 1.3). Kuvien laatua käsitellään kohdassa 1.6.
• 4. Vibero suuressa multiplikatiivisessa ryhmässä G aktiivinen elementti a. Silloin kaikki elementin askelten syklit täyttävät syklisen alaryhmän (a) = (a p p e Z)G.
• 5. Voidaan osoittaa, että rationaalilukujen additiivinen ryhmä Q ei ole itse syklinen, vaan kuuluuko sykliseen alaryhmään kaksi alkiota vai ei.

A. Osoitamme, että lisäaineryhmä Q ei ole syklinen. Hyväksyttävä ei hyväksyttävä: olkoon Q = (-). Peruskohdenumero b,

älä jaa t. Oskіlki - eQ = (-) = sn-|neZ>, sitten substantiivi-

b t/ (t J

є tsile numero gs 0 joten sho - \u003d n 0 -. Ale todi m = n 0 kb,

tähdet t:- dіyshli superterävyys.

B. Sanotaan, että kaksi muuta rationaalisia lukuja -

h „ /1

i - päällekkäinen syklinen alaryhmä (-), de t löydän- d t/

pienempi kuin lukujen suuri monikerta bі d. Aivan, älkäämme m-bi

, a 1 /1 h cv 1/1

i m = av, u, v e Z, sitten i - = - = aї-e(-)i - = - = cv-e(-).

b b i t t/ a dv t t/

Lause 1.3. Syklisen ryhmän järjestys on sama kuin ryhmän emoelementin tobto järjestys.|(a)| = | a |.

Tuominen. 1. Tule | = ">. Tiedämme, että kaikki luonnolliset vaiheet elementin a eri. Hyväksyttävä ei hyväksytä: tule ak = a tі 0 Todille t - ennen - luonnollinen lukuі a t ~ to = e. Ale tse superechit siitä scho | a = ° °. Tällä tavalla kaikki luonnolliset elementin vaiheet a raznі, zvіdki vyplivaє neskіchennіst ryhmä (a). Otzhe, | (a)| = ° ° = | a |.

2. Tule | a | = n. (a) \u003d (e - a 0, a, a 2,..., a "-1). Syklisen ryhmän nimeämisestä lähtien sisällyttäminen (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) s (a). Laitetaan se päälle. Suhdanneryhmän lisäelementti (a) saattaa näyttää a t, de ti Z. Liika snapsin jakaminen: m-nq + r, de 0 p. Oskilki a n = e, sitten a t = a p i + g \u003d a p h? a r = a r e(a 0, a, a 2,..., a "- 1). Zvіdsi (a) s (a 0, a, a 2, ..., Tässä järjestyksessä, (a) \u003d (a 0, a, a 2, ..., a" -yksi).

On tarpeen tuoda, että kaikki elementit kerrotaan (a 0, a, a 2,..., ja "-1) eri. Hyväksyttävä ei-hyväksyttävä: olkoon 0 i P, ale a" = a). Sama viini - e ta 0 j - i - dіyshli super-terävyys z umovoy | a | = P. Lause on suoritettu loppuun.

Sykliryhmien alaryhmät

Tulee lause, joka määrittelee syklisten ryhmien alaryhmän olemassaolon.

Lause 1.4. Syklisen ryhmän alaryhmä on syklinen. Yakscho G = (a)uH - ryhmän G ei-yksin alaryhmä, moH = (ja e) de p - pienin luonnollinen luku, kuten p e N.

Tuominen. G = (a) tuo H- ryhmän alaryhmä G. Kuten alaryhmä H sinkku siis H =(f) – syklinen ryhmä. Älä viitsi H- ei-yksinäinen alaryhmä. Merkittävästi läpi P pienin luonnollinen luku siis kynä, ja kerro se meille H \u003d (a p). Sisällytä ( a p) h H ilmeisesti. Laitetaan se päälle. Älä viitsi h e H. Oskilki G = (a), sitten se on todellinen show ennen, mitä sitten h = a to. Jaetaan ennen päällä P liian paljon: ennen = nq+ g, de 0 p. g F 0, ota sitten h = a - = a pa p h a g, tähdet a r \u003d a ~ p hN e N. Tuli loistoon minimaalisella näytöllä P. Myös r = 0 i to - nq. Zvidsi h = a k = a p h e a"). H h ( a n), myöhemmin, H = (a e). Lause on suoritettu loppuun.

Suhdanneryhmän emoelementit

Mitkä elementit voivat synnyttää syklisen ryhmän? On olemassa kaksi lausetta, jotka tukevat näitä kahta lausetta.

Lause 1.5. Olkoon sykliselle ryhmälle G = (a) pelkistymätön järjestys. Todi (a) - (a to) sitten ja vain silloin, jos enintään - ± 1.

Tuominen.Älä viitsi G = (a),|a| = ° ° i (a) = (Ak). Todі іsnuє tіla kіlkіst P, mitä sitten a = a kp. Zvіdsi a * "-1 \u003d e, ja oskolki | a = sitten kp - 1 = 0. Alethodi kp = 1 ich-± 1. Vakava kovettuminen on selvempää.

Lause 1.6. Annetaan syklinen ryhmä G = (a) järjestyksessä m. gcd(/s, t) = 1.

Tuominen.(=>) Tule (a) = (a ennen), kerro meille, että GCD(/s, t) - 1. Merkittävästi SNDC:t, t) – d. Oskilki a e (a) - (a -), sitten a = a kp nykyisen kokonaisuuden kanssa P. Alkuaineiden tarkan järjestyksen saamiseksi tähdet laulavat, scho (1 - kp) : t, tobto. yksi - kp = mt todelliselle kokonaisluvulle t. Ale todi 1 = (kp + mt) : d, tähdet d = 1 × GCD(/s, t)= 1.

(Mennään NID (k, t) = 1. Selvitetään mitä (a) = (Ak). Ilmoitus (a ennen) h (a) on ilmeinen. Takaisin, mielessä GCD nro, t) = 1 seuraavat numerot і ja v, sellainen ki + mv= 1. Koristuyuchis tim sho | a | -t, hyväksyttävää a = a ku + mv = a ku a mv = a kі e (a to). Otzhe, (a) = (a to). Lause on suoritettu loppuun.

Arvaa mitä Euler-funktio f(t) tarkoittaa luonnollisten lukujen määrää, joka ei muuta luonnollista lukua t ja keskenään yksinkertaisia t. Kuulostaa pakkomielteiseltä seuraukselta.

Seuraus. Syklinen ryhmä (a) Tilaus t maє f(t) eri elementeistä, jotka generoidaan.

Lauseen 1.5 annetulla geometrisella tarkkuudella edustamme syklistä ryhmää G = (a) Tilaus t panospisteitä A 0, A b ..., A t _ b jakaa se t yhtä suuret osat. elementti a to ryhmät, jotka näyttävät pisteitä Ja ennen tuottaa osan ja vain osan, jos peräkkäin pisteitä A 0, Ak, A 2k jne., tulemme kohtaan A]. Tiedetään kaikki ennen klo t= 10 luetellaan vain vipadkіv (kuva 1.5). Tämän seurauksena otamme ennen =1,3, 7, 9. Sykliselle ryhmälle (a) tse tarkoittaa, että (a) \u003d (a 3) \u003d (a 7) \u003d (a 9). takaisin: tiedä ennen, keskenään yksinkertaisia ​​samalla numerolla t, voit ystävällisesti vikreslyuvaty vodpovidnu "zirochka", tiukasti tietäen, että varhainen chi pizno siemailla ihon kohdalla, lisää (a) = ( a kohteeseen).

Älä viitsi G– ryhmittele tämä elementti a G. Elementin a järjestystä (merkitty ׀а׀) kutsutaan pienimmäksi luonnolliseksi luvuksi nN, mitä

a n = a . . . . a =1.

Jos sellaista numeroa ei tiedetä, niin näyttää siltä a- Epäjohdonmukaisen järjestyksen elementti.

Lemma 6.2. Yakscho a k= 1 siis k jakaa elementtien järjestyksellä a.

Nimittäminen.Älä viitsi G- se ryhmä a G. Todi bezlich

H = (ak ׀ k }

є ryhmän G aliryhmä, kuten sitä kutsutaan sykliseksi aliryhmäksi, jonka muodostaa elementti a (merkitty H =< а >).

Lemma 6.3. Syklinen alaryhmä H, elementin luoma a Tilaus n, є lopeta ryhmäjärjestys n, lisäksi

H = (1 = a 0, a, ..., a n-1).

Lemma 6.4.Älä viitsi a- Epäjohdonmukaisen järjestyksen elementti. Sama syklinen alaryhmä H = <a> - nyljetön ja olla mikä tahansa elementti s H ilmoittaudu näkemään a k , ennenZ, lisäksi yhdessä luokassa.

Ryhmä on ns syklinen yakscho voitti zbіgaєtsya z odnієyu zіh svoїkh tsіchnyh alaryhmät.

peppu 1. Lisäaineryhmä Z kaikista kokonaisluvuista on alkion 1 muodostama ääretön syklinen ryhmä.

peppu 2. Persoonattomat juuret n-th askel 1. syklisestä ryhmätilauksesta n.

Lause 6.2. Onko syklisen ryhmän alaryhmä syklinen.

Lause 6.3. Onko äärettömän syklinen ryhmä isomorfinen kokonaislukujen additiivisen ryhmän kanssa Z. Olipa kyseessä kintseva syklinen järjestelmä n isomorfinen kaikkien juurien ryhmälle n- vaihe 1.

Normaali alaryhmä. ryhmätekijä.

Lemma 6.5.Älä viitsi H- Ryhmän alaryhmä G, kaikkien vasen summaluokkien perusteella yhtä aikaa є i oikeat summa_luokat. Todi

aH = Ha, a G.

Nimittäminen. Alaryhmä H ryhmäläinen G kutsutaan normaaliksi G(osoitettu HG), koska kaikki ja vasen summіzhnі classi ovat oikeassa, joten

aH = Ha, aG.

Lause 6.4. Älä viitsi H
G, G/N– kasvoton kaikista ryhmän summatiivisista luokista G alaryhmän mukaan H. Kuinka moninkertaistaa G/N kertolaskuoperaatio

(aH)(bH) = (ab)H,

sitten G/N muuttuu ryhmäksi, kuten tekijää kutsutaan ryhmäryhmäksi G alaryhmän mukaan H.

Ryhmähomomorfismi

Nimittäminen.Älä viitsi G 1 i G 2 - ryhmät. Todi käyminen f: G 1
G 2 kutsutaan homomorfismiksi G 1 tuumaa G 2, kuten

F(ab) = f(a)f(b) , a,b G 1 .

Lemma 6.6.Älä viitsi f- ryhmähomomorfismi G 1 ryhmälle G 2. Todi:

1) f(1) - yksi ryhmä G 2 ;

2) f(a -1) = f(a) -1 ,aG 1 ;

3) f(G 1) - ryhmän alaryhmä G 2 ;

Nimittäminen.Älä viitsi f- ryhmähomomorfismi G 1 ryhmälle G 2. Todi bezlich

kerf = {aG 1 ׀f(a) = 1G 2 }

kutsutaan homomorfismin ytimeksi f .

Lause 6.5. ker f
G.

Lause 6.6. Ole ryhmän normaali alaryhmä Gє minkä tahansa homomorfismin ydin.

Kiltsya

Nimittäminen. Tyhjä kasvoton Ennen nimeltään kiltsem, kuten uudessa, on määritetty kaksi binäärioperaatiota, joita kutsutaan yhteen- ja kertolaskuiksi ja jotka tyydyttävät edistyviä mieliä:

Ennen- Abelin ryhmä jatkotoimia varten;

monikko assosiatiivinen;

vikonuyutsya jakelun lait

x(y+z) = xy+xz;

(x+y)z = xz+yz, x, y, zK.

peppu 1. Bezlich Kі R- Kiltsya.

Kiltse on nimeltään kommutatiivisia, Kuten

xy=yx, x,yK.

peppu 2. (Porivnyannia). Älä viitsi m- kiinteä luonnollinen luku, aі b- Dovіlnі tsіlі numero. Sama numero a sovitettu numeroon b moduulin takana m vähittäiskaupana a – b jaetaan m(kirjoitettu: ab(mod m)).

Luokitus on yhtä suuri kuin persoonaton ekvivalenssiasetus Z, mikä on rikki Z luokassa, yakі kutsu luokat vіdrahuvan varten moduuli m ja merkitsee Z m. Bezlich Z mє kommutoiva rengas yhtenäisyydellä.

kentät

Nimittäminen. Kenttää kutsutaan tyhjäksi, persoonattomaksi R, Ei kostaa kahta elementtiä kahdella binäärioperaatiolla taittamalla ja kertomalla siten, että:

peppu 1. Bezlich Kі R rajattomasti kenttiä.

peppu 2. Bezlich Z r- Kintseven kenttä.

Kaksi elementtiä aі b kentät R vіdminnі vіd 0 kutsutaan dilers of zer, kuten ab = 0.

Lemma 6.7. Kentässä ei ole nollien määrää.

Olkoon g ryhmän G lisäelementti. Todi, joka hyväksyy minimialiryhmän
, yhden elementin luoma
.

Nimittäminen. Minimi alaryhmä
ryhmän G yhden elementin g generoima syklinen alaryhmä ryhmä G.

Nimittäminen. Kuten koko ryhmä G syntyy yhdestä elementistä, eli.
, niin sitä kutsutaan syklinen ryhmä.

Älä viitsi kertovan ryhmän G elementti, sama minimialiryhmä, jonka tämä elementti generoi, muodostetaan mielessä olevasta elementistä

Katsotaanpa elementin vaihetta , sitten. elementtejä

.

Kaksi mahdollisuutta:

1. Usі askelelementti g raznі, tobto.

, niin tässä sanotaan, että elementtiä g ei voi pienentää järjestyksessä.

2. Є zbіgi portaat, tobto. , ale
.

І tässä elementti g on viimeinen järjestys.

Aivan, kerro minulle esim.
і
todi,
, sitten. ottaa positiivisia askeleita
elementti
, yhtä kuin yksi elementti.

Olkoon d - elementin tason vähiten positiivinen indikaattori , mille
. Sitten näyttää siltä, ​​että elementti
Toukokuun viimeinen tilaus, yhtä suuri d.

Visnovok. Onko jonkinlainen ryhmä G viimeisestä järjestyksestä (
) kaikki elementit ovat lopullisessa järjestyksessä.

Olkoon g kertovan ryhmän G elementti tai kertova aliryhmä
lasketaan yhteen kaikista g-elementin eri vaiheista. Otzhe, alaryhmän elementtien lukumäärä
zbigaєtsya elementin järjestyksen kanssa tobto.

ryhmän elementtien määrä
korjata elementin järjestystä ,

.

Toiselta puolelta, voi olla sama kovuus.

Lujuus. Tilaus mikä elementti tahansa
tämän elementin luoman vähimmäisaliryhmän järjestyksessä
.

Tuominen. 1. Yakscho - Lopullisen tilauksen osa , sitten

2. Yakscho - Elementti epäjohdonmukaista järjestystä, sitten tuo mitään.

Yakscho-elementti voi tilata , sitten tähän tarkoitukseen kaikki elementit

erilainen ja olla askel zbіgaєtsya jollakin näistä elementeistä.

Totta, anna näyttävä askel
, sitten. - tarpeeksi numeroa äläkä mene
. Sama numero voidaan nähdä yhdellä silmäyksellä
, de
,
. Todі, vikoristuuuuuuuuuuu g-elementin tehotaso,

.

Zokrema, yakshcho.

peppu. Älä viitsi
- Abelin kokonaislukuryhmä on additiivinen. Ryhmä G muodostuu minimaalisesta alaryhmästä, jonka muodostaa jokin elementeistä 1 tai -1:

,

otzhe,
- Bezkіnechna tsiklіchna ryhmä.

Lopullisen järjestyksen sykliset ryhmät

Kuten esimerkki lopullisen järjestyksen syklisestä ryhmästä, se on selvä ryhmä käärimään oikean n-kutnik shodo yogon keskelle
.

Groupi elementtejä

є käännä n-kutnik kutissa olevaa godinnikovin nuolta vasten.

Groupi elementtejä
є

,

ja geometrisesta peilauksesta on selvää

.

ryhmä
kostaa elementtejä, tobto.
, mutta ryhmän tyydyttävä elementti
є , sitten.

.

Älä viitsi
todi (jako kuva 1)

Riisi. yksi – ryhmä - oikean trikutnik ABC shodon kääre keskelle O.

Algebrallinen operaatio  ryhmässä - Viimeinen kääre vuoden nuolta vastaan, kutissa, monikerta , sitten.

Zvorotny elementti
- kääriminen vuoden nuolen taakse kut 1:ssä, tobto.

.

Taulukko Kechi

Kіntsevyhryhmien analyysiä käytetään todennäköisimmin etukäteen Kelin lisätaulukoissa sekä "kertotaulukon" käyttöönotossa.

Kostakoon ryhmä G elementeille n.

Mielestäni pöytä Keli є neliömatriisi on n riviä ja n riviä.

Ihoriville ja ihokerrokselle yksi tai useampi kuin yksi ryhmän elementti.

elementti Taulukko Kelі, scho seisomaan i:nnen rivin ja j:nnen sarakkeen verkkokalvolla i:nnen elementin "kertojan" ryhmän j:nnen elementin kanssa.

peppu. Kostakoon ryhmän G kolme elementtiä (g1, g2, g3). Toiminto "kertoja"-ryhmässä. Tässä vaiheessa Kelin taulukko saattaa näyttää:

Kunnioittaminen. Taulukon Keli ihoriviltä ja ihosarakkeelta löytyvät kaikki ryhmän elementit eikä haise. Taulukko Keli korvaa kaikki tiedot ryhmästä. Mitä voit sanoa tämän ryhmän voimasta?

1. Tämän ryhmän ainoa elementti on g1.

2. Ryhmä on abelilainen, koska pöytä on symmetrinen päädiagonaalia pitkin.

3. Ryhmän ihoelementin osalta on välttämätöntä

g 1 kääri є elementti g 1 g 2 elementti g 3 .

Mennään ryhmiin Solutaulukot.

Keskeisen elementin merkitykselle elementille esim. , tarvitaan riville, tietylle elementille tiedä liesituulettien kostoelementti . elementti vidpovіdny annettu stovptsyulle i є vorotnym elementille , koska
.

Kuten Keli-pöytä on symmetrinen kuten pään diagonaali, tse tarkoittaa sitä

- Tobto. analysoitavan ryhmän toiminta on kommutatiivista. Argumentin vuoksi Keli-taulukko on symmetrinen, vaikka pään diagonaali tarkoittaa, että operaatio in kommutatiivista, eli.
,

ryhmä - Abelova.

Näet koko oikean n - kosinin symmetrian muunnosryhmän lisättyään operaatioon tilavan käännöksen lisäoperaation kääriminen symmetria-akselien ympäri.

Trikutnikille
, ja ryhmä kostaa kuusi elementtiä

de
Tse käännös (jako kuva 2) oikealle korkeudelle, mediaani, puolittaja ja voi näyttää:

;

,

,
.

Riisi. 2.- Ryhmä - Normaalin triko-ABC:n symmetrian muutos.