Selvitä numeron tärkein funktio. Tärkeimmät ja vähiten tärkeimmät toiminnot alueen muutamista muutoksista. Monien muutosten toiminnot

Nimitys 1.11 Asetetaan kahden vaihtimen funktio z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (x 0 ;y 0 ) - alueen sisäinen piste D .

Yakscho sisään D sellainen naapurusto UM 0 pilkkuja M 0 , joka koskee kaikkia kohtia

sitten pilkku M 0 kutsutaan paikalliseksi maksimipisteeksi. Ja merkitys z(M 0 ) - paikallinen maksimi.

Ja kuten kaikki kohdat

sitten pilkku M 0 kutsutaan funktion paikallisen minimin pisteeksi z(x,y) . Ja merkitys z(M 0 ) - Paikallinen minimi.

Paikallista maksimi- ja minimiarvoa kutsutaan funktion paikalliseksi ääripääksi z(x,y) . Kuvassa 1.4 selitetty geometrinen zmist paikallinen maksimi: M 0 - osoita maksimiin, siihen, mikä on pinnalla z = z(x, y) selkeä kohta C 0 tietää paremmin jostain muusta syystä C (Jolla on suurin paikkakunta).

Kunnioitan, pinnassa on pisteitä (esim. klo ), jos tiedät enemmän C 0 , ale qi -pisteitä (esim. klo ) ei є "oikeudellinen" pisteellä C 0 .

Zocrema, piste klo vahvistaa globaalin maksimin ymmärtämisen:

Samalla tavalla määritetään globaali minimi:

Globaalien enimmäis- ja minimiarvojen tuntemusta käsitellään kohdassa 1.10.

Lause 1.3 (pakollinen ääriarvo).

Anna funktion olla asetettuna z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (x 0 ;y 0 D - Paikallinen ääripiste.

Mitä sinulla on z" x і z" y , sitten

Geometrinen vahvistus on "ilmeisesti". Mitä seuraavaksi C 0 päälle (kuva 1.4) piirtääksesi pistemäisen tasaisen alueen, se kulkee "luonnollisesti" vaakasuorassa, eli konepellin alta 0° akselille vai niin minä akselille OU .

Sama koskee yksityisten sukulaisten geometrista muutosta (kuva 1.3):

mitä piti tuoda.

Ajanvaraus 1.12.

Mitä seuraavaksi M 0 ajatella (1.41), silloin sitä kutsutaan funktion stationaariseksi pisteeksi z (x, y) .

Lause 1.4 (riittävä mieli ääripäälle).

Anna kun kysyn z = z (x, y), (x, y) D , koska pisteen läheisyydessä voi olla eri järjestyksessä olevia yksityistilaisuuksia M 0 (x 0 ,y 0 ) D . Ja miksi M 0 - Kiinteä piste Lasketaan:

Vicorist-lauseen todistus niillä (Taylorin kaava useiden muuttujien funktiosta ja toisen asteen muotojen teoria), jota kukaan auttaja ei ota huomioon.

peppu 1.13.

Siirry ääripäähän:

1. Tiedämme kiinteät pisteet, jotka rikkovat järjestelmän (1.41):

joten olemme löytäneet joitain paikallaan olevia pisteitä. 2.

Lauseen 1.4 jälkeen pisteillä on minimi. Ja miksi

Lauseen 1.4 mukaan pisteessä

Enimmäismäärä. Ja miksi

§10 Kahden muuttujan funktion suurin ja pienin arvo suljetulla alueella

Lause 1.5 Päästä lähelle suljettua aluetta D toiminto on asetettu z = z(x, y) , jotka voivat olla keskeytyksettä ensiluokkaisia yksityismatkoja. Cordon G alueilla D є shmatkovo sileä (joka on taitettu shmatkіv "sileä dotik" käyriä tai suoria linjoja). Todi alueella D toiminto z(x,y) saavuttaa suurin M ja vähiten m arvo.

Ilman vahvistusta.

Voit levittää seuraavaa nuhtelemissuunnitelmaa M і m . 1. Olemme tuoleja, näemme kaikki alueen kordonin osat D ja tiedämme kaikki "kutovі" pisteet kordonissa. 2. Tunnemme paikallaan olevat pisteet keskellä D . 3. Ihon kiinteät pisteet sidoksista tunnetaan. 4. Laske kaikki kiinteät ja huippupisteet ja valitse sitten eniten M ja vähiten m merkitys.

Tapaus 1.14 Lisätietoja M ja vähiten m funktion arvo z = 4x2-2xy+y2-8x suljetun alueen lähellä D , rajoitettu: x=0, y=0, 4x+3y=12 .

1. Siirretään aluetta D (kuva 1.5) asunnossa Oho .

Kutovin pisteet: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Cordon G alueilla D koostuu kolmesta osasta:

2. Tunnemme paikallaan olevat pisteet alueen keskellä D :

3. Kiinteät pisteet johdoissa l 1 ,l 2 ,l 3 :

4. Lasketaan kuusi arvoa:

Valitse kuuden arvon jättämisestä pois eniten ja vähiten.

Ilman vahvistusta.

Voit levittää seuraavaa nuhtelemissuunnitelmaa M і m .
1. Olemme tuoleja, näemme kaikki alueen kordonin osat D ja tiedämme kaikki "kutovі" pisteet kordonissa.
2. Tunnemme paikallaan olevat pisteet keskellä D .
3. Ihon kiinteät pisteet sidoksista tunnetaan.
4. Laske kaikki kiinteät ja huippupisteet ja valitse sitten eniten M ja vähiten m merkitys.

Tapaus 1.14 Lisätietoja M ja vähiten m funktion arvo z = 4x2-2xy+y2-8x suljetun alueen lähellä D , rajoitettu: x = 0, y = 0, 4x + 3y = 12 .

1. Siirretään aluetta D (kuva 1.5) asunnossa Oho .

Kutovin pisteet: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Cordon G alueilla D koostuu kolmesta osasta:

2. Tunnemme paikallaan olevat pisteet alueen keskellä D :

3. Kiinteät pisteet johdoissa l 1, l 2, l 3 :

4. Lasketaan kuusi arvoa:

Käytä

esimerkki 1.

Tämä toiminto on määritetty kaikissa muuttuvissa arvoissa x і y , purista koordinaattien tähkä, de znamennik muuttuu nollaan.

Rikas jäsen x2+y2 keskeytymätön usudi, ja siksi i keskeytymättömän funktion keskeytymätön neliöjuuri.

Drib on keskeytymätön kaikkialla, Krimin piste, de banneri nollaan. Tämä toiminto, jota tarkastellaan, on keskeytymätön koko koordinaattitasolla Oho , mukaan lukien koordinaattien tähkä.

peppu 2.

Noudata toimintoa turvallisuuden vuoksi z = tg (x, y) . Arvojen tangentti ja keskeytyksettä kaikille lopullisia merkityksiä argumentti, crim-arvo, yhtä suuri kuin pariton suuruusluku π /2 , sitten. mukaan lukien pisteet, de

Ihokiinteillä "k" Yhtälö (1.11) merkitsee hyperbolia. Siksi funktio є keskeytymätöntä toimintaa x ja y mukaan lukien pisteet, jotka sijaitsevat käyrillä (1.11).

esimerkki 3.

Tunne yksityiset ulkoilutoiminnot u = z-xy , z > 0 .

peppu 4.

Näytä mikä toiminto

tyytyväinen samaan:

– Tämä yhtäläisyys pätee kaikkiin pisteisiin M(x; y; z) kermapiste M 0 (a; b; c) .

Katsotaan kahden riippumattoman muuttujan funktiota z=f(x, y) ja asennetaan yksityisten muuttujien geometrinen korvaus z" x = f" x (x, y) і z"y = f"y (x, y) .

Kenen mieli on tasa-arvoinen z=f (x, y) є pinnan tasoitus (kuva 1.3). Tasainen pidetty y = vakio . Tällä pererizі tsієї pinnallisia pintoja z=f (x, y) vide deyka linja l 1 peretina, vzdovzh jotka muuttuvat vähemmän kuin koko X і z .

Yksityinen matka z" x (її geometrinen siirto ilman keskimmäistä vyplyaє z, jonka tunnemme geometrisen merkityksen yhden muuttujan samanlaisesta funktiosta) on numeerisesti parempi kuin kutan tangentti α sairaana, akselin laajuisesti vai niin , shodo L1 käyrälle l 1 , scho mennä lähelle pintaa z=f (x, y) tasainen y = vakio pisteessä M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgα .

Verkkokalvolla ja pinnalla z=f (x, y) tasainen X = vakio leveä viiva peretina l 2 , vzdovzh jotka muuttuvat vähemmän kuin suuruusluokkaa klo і z . Todi yksityistä hauskaa z" y numeerisesti parempi kuin kutan tangentti β nahilu akselin laajennuksella OU , shodo L2 määritetylle riville l 2 peretina pisteinä M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgβ .

Esimerkki 5.

Millainen kutvoruє іz vіssyu vai niin dotichna riville:

pisteessä M(2,4,5) ?

Vikoristovuєmo geometrinen korvaaminen yksityisen vaihdon tilalle X (nopeasti klo ):

Esimerkki 6.

Zgidno (1,31):

Esimerkki 7.

Vvayayuchi, scho tasavertainen

määrittää implisiittisesti funktion

tietää z" x , z" y .

Tästä syystä (1.37) tarvitsemme todisteita.

Esimerkki 8.

Siirry ääripäähän:

1. Tiedämme kiinteät pisteet, jotka rikkovat järjestelmän (1.41):

joten olemme löytäneet joitain paikallaan olevia pisteitä.
2.

Lauseen 1.4 jälkeen pisteillä on minimi.

Ja miksi

4. Lasketaan kuusi arvoa:

Valitse kuuden arvon jättämisestä pois eniten ja vähiten.

Lista kirjallisuudesta:

ü Belko I. V., Kuzmich K.K. Hienoa matematiikkaa ekonomisteille I lukukausi: Pikakurssi. - M.: Uusi tieto, 2002. - 140 s.

ü Gusak A. A. Matemaattinen analyysi ja tasauspyörästön kohdistus. - Minsk: TetraSystems, 1998. - 416 s.

ü Gusak A. A. Vishcha matematiikka. Otsikkoopas yliopisto-opiskelijoille 2 osana. - Mn., 1998. - 544 s. (1 osa), 448 s. (2 tonnia).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Mathematics for Economists: A Handbook for Universities / Toim. prof. N. Sh. Kremer. - M.: UNITI, 2002. - 471 s.

ü Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. minä että sisään. Vishcha matematiikka. Zagalniy-kurssi: Pidruchnik / Zag. toim. S. A. Samal. - Mn.: Vish. koulu, 2000. - 351 s.

Enemmän ja vähemmän merkitystä

Suljetulla alueella ympäröity toiminto saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa joko kiinteissä pisteissä tai pisteissä, jotka sijaitsevat raja-alueella.

Funktion suurimman ja pienimmän arvon löytämiseksi on välttämätöntä:

1. Etsi paikallaan olevat pisteet, jotka sijaitsevat tämän alueen keskellä, ja laske niille funktion arvot.

2. Tunne alueiden välisen funktion suurin (pienin) arvo.

3. Tasaa kaikki funktion negatiiviset arvot: tämän gallerian funktion suurin (pienin) ja tulee olemaan suurin (pienin) arvo.

peppu 2. Etsi funktion suurin (pienin) arvo: y .

Ratkaisu.

piste on paikallaan; .

2 . Suljetun alueen raja on rengas, de.

Alueiden välisestä funktiosta tulee yhden muutoksen funktio: , de . Tiedämme tärkeimmät ja vähiten tärkeimmät toiminnot.

Jos x = 0; (0,-3) ja (0,3) ovat kriittisiä pisteitä.

Laske seppeleen päissä olevan funktion arvo

3 . Porivnyuyuchi mizh itse otrimuemo,

Kohdissa A ja B.

Kohdissa C ja D.

esimerkki 3. Etsi funktion suurin ja pienin arvo suljetulla alueella, kun otetaan huomioon epätasaisuus:

Ratkaisu. Alue є trikutnik, ympäröimme koordinaattiakselit і suoralla x + y = 1.

1. Tiedämme paikallaan olevat pisteet alueen keskellä:

; ; y = -1/8; x = 1/8.

Pysyvä piste ei kuulu tälle alueelle, joten z:n arvoa siinä ei lasketa.

2 .Doslіdzhuєmo toiminto kordonissa. Rajan sirpaleet muodostuvat kolmesta dіlyankista, joita kuvataan kolmella eri yhtäläisellä, ihon dіlantsі okremo doslіdzhuєmo toiminto:

a) div 0A: y=0 - yhtä suuri kuin 0A, sitten ; yhtäläisestä on selvää, että funktio kasvaa 0A arvosta 0 arvoon 1. Keskiarvo .

b) etäisyydellä 0B: x = 0 - etäisyys 0B, sitten; -6y + 1 = 0; - Kriittinen piste.

sisään) suoraan x + y = 1: y = 1-x, niin otamme funktion

Laskemme funktion arvon pisteessä B(0,1).

3 .Perіvnyuyuchi numerot otrimuemo, scho

Suoraan AB.

Kohdassa B.

Testaa itsehillintää.

yksi . Funktion ääripää – ce

a) її pokhіdnі ensimmäinen tilaus

b) її yhtä suuri

c) її aikataulu

d) її suurin ja pienin

2. Funktion ääripää niin monta kuin mahdollista voidaan saavuttaa:

a) vain kohdissa, jotka sijaitsevat keskellä osoitettua aluetta, jolloin ensimmäisen tilauksen yksityiset arvot ovat suurempia kuin nolla

b) vain kohdissa, jotka sijaitsevat keskellä osoitettua aluetta, jolloin ensimmäisen tilauksen yksityiset arvot ovat pienempiä kuin nolla

c) vain kohdissa, jotka sijaitsevat keskellä osoitettua aluetta, jolloin ensimmäisen asteen yksityiset arvot eivät ole nolla

d) vain kohdissa, jotka sijaitsevat keskellä osoitettua aluetta, jolloin ensimmäisen asteen yksityiset yhtäläisyydet ovat nolla

3. Toiminto, joka on keskeytymätön suljetulla alueella ja saavuttaa suurimman ja pienimmän arvonsa:

a) kiinteissä pisteissä

b) joko kiinteissä paikoissa tai paikoissa, jotka sijaitsevat alueiden välisellä alueella

c) paikoissa, jotka sijaitsevat alueiden välisellä alueella

d) kaikissa kohdissa

4. Pysyvät pisteet funktiolle, kuinka monta muuttujaa kutsutaan pisteiksi:

a) joillekin u

b) joillakin niistä on yksityiset ensimmäisen asteen erot suurempia kuin nolla

c) joidenkin niistä ensimmäisen asteen yksityiset muutokset ovat nolla

d) joidenkin heistä ensiluokkainen yksityinen käyttäytyminen on pienempi kuin nolla

Olkoon tuulen keskeyttää funktio y = f (x). Ilmeisesti tällainen toiminto saavuttaa suurimman. tuo palkkaaminen. arvo. Tämä toiminto voidaan ottaa ikkunan sisäpisteestä tai ikkunan rajalta tobto. at = a tai = b. Kuten piste, jolla jäljitetään tietyn funktion kriittisten pisteiden keskikohta.

Otetaan funktion suurimman ja pienimmän arvon arvosääntö seuraavasti:

1) määrittää funktion kriittiset pisteet välillä (a, b);

2) laskea funktion arvot löydetyissä kriittisissä pisteissä;

3) laskea kintsyah vіdrіzka, tobto funktion arvo. pisteissä x=a ja x=b;

4) funktion laskettujen arvojen keskiarvo on valita eniten ja vähiten.

Kunnioittaminen:

1. Jos funktiolla y = f (x) on enemmän kuin yksi kriittinen piste per vdrіzku ja se voitti є maksimipisteen (minimi), niin tässä vaiheessa funktio saa suurimman (pienimmän) arvon.

2. Koska funktiolla y=f(x) ei ole kriittisiä pisteitä, se tarkoittaa, että funktio monotonisesti kasvaa ja pienenee uudelle funktiolle. Lisäksi funktio vie maksimiarvon (M) iskun toiseen päähän ja pienimmän (m) toiseen päähän.

60. Kompleksiluvut. Formula de Moivre.
kompleksiluku nimi viraz mind z = x + iy, de x ja y - dіysnі numerot, ja minä - ns. ilmeistä yksinäisyyttä. Jos x=0, niin luku 0+iy=iy sijoittuu. näytetään se numerolla; vaikka y=0, luku x+i0=x kartoitetaan nykyiseen numeroon x, mutta se tarkoittaa, että kaikkien funktioiden persoonaton R. numerot yavl. persoonattoman Z usikhin moninaisuuden alla kompleksiluvut, sitten. . Numero x nimet desimaaliosa z, . Kahta kompleksilukua і kutsutaan yhtä suureksi (z1=z2) parilliseksi ja vain kerran, jos yhtä suuret osat ja yhtä suuret osat ovat yhtä suuret: x1=x2, y1=y2. Zocrema, kompleksiluku Z=x+iy on nolla ja sitten jos x=y=0. Kompleksilukujen käsitteitä "suurempi" ja "pienempi" ei esitetä. Kahta kompleksilukua z \u003d x + iy і, jotka otetaan huomioon vain eksplisiittisen osan etumerkillä, kutsutaan saaduiksi.

Kompleksilukujen geometrinen esitys.

Voiko kompleksilukua z = x + iy esittää tason Oxy pisteellä M(x,y) siten, että x=Re z, y=Im z. Ensinnäkin koordinaattitason ihopistettä M(x;y) voidaan käyttää kompleksiluvun z = x + iy kuvana. Aluetta, jolla kompleksiluvut näytetään, kutsutaan kompleksialueeksi, koska hänen täytyy valehdella reaaliluvut z = x + 0i = x. Kaikkia ordinaatteja kutsutaan eksplisiittisiksi pisteiksi, sillä niissä ovat näennäiset kompleksiluvut z = 0 + iy. Kompleksiluku Z=x+iy voidaan lisätä apusädevektorin r=OM=(x,y) taakse. Kompleksilukua z edustavan vektorin r pituutta kutsutaan tämän luvun moduuliksi ja sitä merkitään | z | tai r. Rozmir kuta mizh poklade. Suoraan reaaliakselilla olevaa vektoria r, joka edustaa kompleksilukua, kutsutaan kompleksiluvun argumentiksi, jota merkitään Arg z tai . Kompleksiluvun argumenttia Z = 0 ei ole määritetty. Kompleksiluvun argumentti - arvo on runsaasti merkitsevä ja mitataan tarkkuudella dodanku, de arg z - argumentin pääarvo, laitetaan välilyöntiin (), sitten. - (Ota joskus argumentin head-arvoksi arvo, jonka pitäisi sisältää aukko (0; )).

Luvun z kirjoittamista muotoon z=x+iy kutsutaan kompleksiluvun algebralliseksi muodoksi.

Dії kompleksilukujen yli

Lisäys. Kahden kompleksiluvun z1=x1+iy1 ja z2=x2+iy2 summa on kompleksiluku, joka on yhtä suuri: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Kompleksilukujen yhteenlasku voi muuttaa ja muuttaa tehoa: z1+z2=z2+z1. (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3). Vidnіmannya. Vіdnіmannya vyznaєtsya yak dіya, zvorotne dodavannya. Kompleksilukujen z1 ja z2 välistä eroa kutsutaan sellaiseksi kompleksiluvuksi z, että z2:een lisättynä saadaan luku z1, eli. z = z1-z2, joten z + z2 = z1. Kuten z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, tästä tehtävästä on helppo ottaa z pois: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). monikko. Kompleksilukujen z1=x1+iy1 ja z2=x2+iy2 komplementti on kompleksiluku, joka on yhtä suuri kuin z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Zvіdsi, zokrema, i vyplyaє: . Kuten trigonometrisen muodon tehtävien määrä: .

Kun kompleksiluvut kerrotaan, niiden moduulit kerrotaan ja argumentit lisätään. De Moivren kaava(sekä є n kertoimet ja haisee samalle): .

Vuoden 2020 loppuun mennessä NASA käynnistää tutkimusmatkan Marsiin. Toimita avaruusalus Marsiin elektronisella kantolaitteella, jossa on kaikkien tutkimusmatkalle rekisteröityneiden osallistujien nimet.

Äänestykseen osallistuneiden rekisteröinti. Ota pois lippusi Marsiin siunauksia varten.

Tykkää tästä viestistä, kun olet ratkaissut ongelmasi tai yksinkertaisesti ansainnut sinua, jaa vahvuutesi ystäviesi kanssa sosiaalisissa verkostoissa.

Sinun on kopioitava ja liitettävä yksi näistä koodivaihtoehdoista verkkosivusi koodiin tunnisteiden väliin і tai heti tagin jälkeen . MathJaxin ensimmäisen version takana on parempi pienempi ja vähemmän tahmea puoli. Natomist toinen vaihtoehto valitsee automaattisesti ja päivittää MathJaxin uusimpaan versioon. Jos lisäät ensimmäisen koodin, se on päivitettävä säännöllisesti. Jos lisäät toisen koodin, sivut kiinnostuvat enemmän, joten sinun ei tarvitse jatkuvasti seurata MathJax-päivityksiä.

Ota MathJax käyttöön yksinkertaisimmalla tavalla Bloggerissa tai WordPressissä: lisää widget sivuston kassapaneeliin, kohteet kolmannen osapuolen JavaScript-koodin lisäämiselle, kopioi ensimmäinen tai toinen vaihtoehto yllä esitettyyn sitouttamiskoodiin ja muuta widgetin kokoa lähemmäksi mallin yläosassa (ennen puhetta emme tarvitse uutta kieltä) , MathJax-komentosarjat kutsutaan asynkronisesti). minulta kaikilta. Tarkista nyt MathML:n, LaTeX:n ja ASCIIMathML:n syntaksi ja olet valmis lisäämään matemaattisia kaavoja sivustosi web-sivuille.

Chergovy ennen New Rockia... sää on pakkas, nuo snizhinkit shibtsillä... Kaikki sai minut kirjoittamaan uudelleen... fraktaaleista ja niistä, jotka tietävät Wolfram Alphasta. Іz thogo drive є tsіkava stattya, in yakіy є kaksiulotteisten fraktaalirakenteiden pakarat. Välittömästi maailma voi nähdä triviaalien fraktaalien taitettuja peppuja.

Fraktaali voi ilmetä visuaalisesti (kuvattu), kuten geometrinen hahmo tai ruumis (ilmassa leijuva, joka on myös persoonaton, tähän nimenomaiseen tyyppiin, persoonaton piste), yksityiskohdat, jotka muodostavat tällaisen muodon, kuten itse hahmo. Tobto tse itsekaltainen rakenne, joka tarkastelee yksityiskohtia kuin suurennettuna, jäljittelee juuri sitä muotoa, joka on ilman suurennusta. Samoin visuaalisesti silmiinpistävässä geometrisessa kuviossa (ei fraktaalissa), jossa on pienempiä yksityiskohtia, ikään kuin voidaan tehdä yksinkertainen muoto, näkyy alempi kuvio. Esimerkiksi kun lopetat suuren osan ellipsistä, se näyttää suoralta puulta. Fraktaalien kohdalla näin ei ole: kaikenlaista parannusta varten toistamme saman taittomuodon, ikään kuin ihoparannuksilla, toistamme yhä uudelleen ja uudelleen.

Benoit Mandelbrot, fraktaalitieteen perustaja, kirjoitti artikkelissaan Fractals and Mystery tieteen nimissä: muodollinen muoto. Eli jos osa fraktaalista suurennetaan kokonaisuuden verran, se nähdään kokonaisuutena tai täsmälleen, tai mahdollisesti pienellä muodonmuutoksella.