Toinen on riittävä merkki ääripään perustasta. Funktioiden kasvu ja muuttuminen intervalleilla, ääripäillä. Tarpeeksi merkki äärimmäisyydestä

Funktion ääripiste on funktion merkintäalueen piste, jossa funktion arvo asetetaan minimi- tai maksimiarvoon. Funktion arvoja näissä kohdissa kutsutaan funktion ääriarvoiksi (minimi ja maksimi)..

Nimittäminen. Krapka x1 määritetyt toiminnot f(x) kutsutaan maksimitoiminnon piste vaikka funktion arvo tässä pisteessä on suurempi kuin funktion arvo sen lähellä olevissa pisteissä, levittäen siinä oikea- ja vasenkätisesti (epätasaisuuden välttämiseksi f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 enimmäismäärä.

Nimittäminen. Krapka x2 määritetyt toiminnot f(x) kutsutaan funktion minimipiste vaikka funktion arvo tässä pisteessä on pienempi kuin funktion arvo sen lähellä olevissa pisteissä, oikeakätinen ja paha sen keskellä (tämä f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Kaikille näyttää siltä, ​​​​että toiminto voi olla pisteessä x2 minimi.

Pistellään x1 - maksimitoimintopiste f(x). Todi välissä asti x1 toiminto kasvaa Tämä on samanlainen kuin nollaa suuremmat funktiot ( f "(x) > 0 ), ja sen jälkeen x1 toiminto muuttuu nyt ja vastaavia toimintoja alle nolla ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

On myös mahdollista, että kohta x2 - osoita funktion minimiin f(x). Todi välissä asti x2 funktio muuttuu ja samanlainen funktio on pienempi kuin nolla ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funktio kasvaa ja samanlainen funktio on suurempi kuin nolla ( f "(x) > 0). Kenen mielessä on sama asia x2 Pokhіdna-funktiot ovat nolla tai ei.

Fermatin lause. Mikä pointti x0 - funktion ääripiste f(x), niin n:nnessä pisteessä funktio on samanlainen kuin nolla ( f "(x) = 0) tai ei.

Nimittäminen. Pisteitä, joilla on samanlaiset funktiot nolla tai ei, kutsutaan kriittiset kohdat .

esimerkki 1. Katsotaanpa toimintoa.

Pisteessä x= 0 x= 0 on kriittinen piste. Kuitenkin, kuten funktion kaaviosta näkyy, koko nimitysalueella on kasvua, se on pointti x= 0 ei ole funktion ääriarvo.

Tällä tavalla ajattele niitä, jotka ovat funktion arvoisia nollan saavuttamiseen asti, tai eivät välttämättömiä, tai välttämättömät ääripäät tai eivät riitä, voit osoittaa funktioiden sirpaleita ja muita sovelluksia, joillekin niitä voidaan huijata, tai muuten ääripään toiminta. Tom äiti tarvitsee riittävästi merkkejä, jonka avulla voit arvioida, chi є tietyssä kriittisessä ääripisteessä ja itse yaky - maksimi chi minimi.

Lause (ensimmäinen on riittävä merkki funktion ääripään kannasta). Kriittinen piste x0 f(x) niin, että tämän pisteen läpi kulkiessaan funktio muuttaa etumerkkiä, lisäksi jos etumerkki vaihtuu "plus" -merkistä "miinus", niin maksimipiste, ja jos se muuttuu "miinuksesta" "plusiksi", niin minimipiste.

Kuinka lähellä on pointti x0 , vasenkätinen ja oikeakätinen siinä, jos se ottaa merkin, niin se tarkoittaa, että funktio joko muuttuu tai kasvaa vain pisteen läheisyydessä x0 . Mihin suuntaan pisteessä x0 ei ole ääripäätä.

Otzhe, määrittääksesi pisteitä funktion ääripäälle tarpeen mukaan :

1. Etsi sopiva toiminto.
2. Aseta arvoksi nolla ja määritä kriittiset pisteet.
3. Ajatus chi -paperit merkitsevät kriittisiä pisteitä numeeriselle akselille ja merkitsevät samanlaisen funktion merkkejä vähennysväleillä. Jos etumerkki muuttuu "plus":sta "miinus", niin kriittinen piste on maksimipiste, ja jos se muuttuu "miinuksesta" "plussiksi", niin minimipiste.
4. Laske funktion arvo ääripisteissä.

peppu 2. Tunne äärifunktiot .

Ratkaisu. Tiedämme seuraavat toiminnot:

Se on yhtä suuri kuin nolla kriittisten pisteiden tuntemiseksi:

.

Joten jos minkä tahansa arvon "ix" banneri ei ole nolla, luku on nolla:

Poista yksi kriittinen kohta x= 3. Päinvastaisen merkki on merkitsevä pisteen rajaamilla aikaväleillä:

miinus-epäjohdonmukaisuuden välillä 3 - miinusmerkkiin asti, jotta funktio muuttuu,

välillä 3 - plus epäjohdonmukaisuudet - plusmerkki, jotta funktio kasvaa.

Tobto, piste x= 3 pistettä vähintään.

Tiedämme funktion arvon minimipisteessä:

Tässä järjestyksessä funktion ääripiste löytyy: (3; 0), lisäksi se on minimipiste.

Lause (toinen on riittävä merkki funktion ääripään perustasta). Kriittinen piste x0 є funktion ääripiste f(x); f ""(x) ≠ 0); f ""(x) > 0 ), silloin piste on maksimi ja päinvastoin pienempi kuin nolla ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Huomautus 1. Mikä on pisteessä x0 käänny nollaan ja ensimmäinen, ja toinen on kuollut, niin tässä kohdassa on mahdotonta arvioida ääripään ilmenemistä toisen riittävän merkin perusteella. On välttämätöntä, että tämän tyyppinen mieliala kiihtyy toiminnon ääripään ensimmäisellä riittävällä merkillä.

Kunnioitus 2. Toinen riittävä merkki funktion ääripäästä ei riitä ja vaikka ensimmäinen ei olisi hyvä paikallaan olevassa pisteessä (ei ole muuta tapaa). On myös välttämätöntä, että tämän tyyppistä asennetta nopeuttaa ensimmäinen riittävä merkki funktion ääripäästä.

Toiminnan ääripäiden paikallinen luonne

On selvää, että funktion ääripäällä voi olla paikallinen luonne - funktion suurimman ja pienimmän arvon arvo on yhtä suuri kuin lähimmät arvot.

Oletetaan, että katsot eräänä päivänä tulojasi häiden aikaan. Jos olet ansainnut ruoholta 45 000 ruplaa ja vuosineljännekseltä 42 000 ruplaa ja punaisista 39 000 ruplaa, niin ruohotulo on ansaintafunktion maksimi lähimpien arvojen mukaan. Ale on ansainnut keltaisesta 71 000 ruplaa, keväästä 75 000 ruplaa ja lehtien putoamisesta 74 000 ruplaa, joten samat tulot - vähimmäistulofunktio on yhtä suuri kuin lähimmät arvot. Voit helposti bachite, niin että suurin keskimääräinen arvo kevät-ruoho-kirsikka on pienempi kuin pienin kevät-zhovtnya-lehtien pudota.

Zagalnenosta puhuen, sillä välin funktio voi olla äärimmäisyyksien ripottelun äiti, ja lisäksi voi näyttää siltä, ​​että funktion minimi on suurempi kuin maksimi. Joten kuvattua toimintoa varten hieman enemmän, .

Ei siis tarvitse ajatella, että funktion maksimi ja minimi ovat ilmeisesti suurimmat ja pienimmät arvot kaikilla näkyvillä olevilla osilla. Maksimipisteessä funktiolla on pienin arvo näiden arvojen alueella, jos kaikissa kohdissa on mahdollista saavuttaa piste, joka on lähellä maksimia, ja pisteessä minimiin - pienin arvo näiden arvojen alue, jos se on lähellä minimipisteen pisteitä.

Siksi voidaan selventää ymmärtämään paremmin funktion ääripään pistettä ja kutsumaan minimin pisteitä paikallisen minimin pisteiksi ja maksimipisteitä paikallisen maksimin pisteiksi.

Shukaemo extreme toimii kerralla

esimerkki 3.

Ratkaisu. Toiminto on määritetty ja keskeytyksettä koko numerorivillä. Її pokhіdna іsnuє myös kokonaislukurivillä. Tom sisään tähän nimenomaiseen tyyppiin kriittiset pisteet є vähemmän ti, jakille, tobtolle. , tähtiä että . Kriittiset pisteet ja jaa määritetyn toiminnon koko alue kolmeen monotonisuusväliin: . Viberemo niiden ihossa yhden kontrollipisteen kohdalla ja tiedämme seuraavan merkin toisessa pisteessä.

Välille ohjauspiste voi olla: tunnettu. Ottamalla pisteen väliltä vähennämme, ja ottamalla pisteen intervallista voimme. Myös aikaväleissä i ja intervalleissa . Zgіdno ääripään ensimmäisellä riittävällä merkillä, pisteessä ei ole ääripäätä (sirpaleet ottavat todennäköisemmin merkin välissä), ja pisteissä funktio voi olla minimaalinen (sirpaleet ovat vähemmän, kun se kulkee seuraavan pisteen vaihtaminen miinuksesta plusmerkkiin). Tiedämme funktion merkitykselliset arvot: , a . Aikavälillä funktio muuttuu, piikit tällä aikavälillä ja intervallit kasvavat, piikit tällä aikavälillä.

Tulevaisuuden grafiikan selventämiseksi tiedämme joogan linjan pisteet koordinaattiakselien kanssa. Kun otetaan yhtä suuri , jonka juuri i , niin funktion kuvaajasta löytyy kaksi pistettä (0; 0) ja (4; 0). Vikoristovuyuchi kaikki otrimani vіdomosti, budєmo aikataulu (div. on the cob butt).

Voit nopeuttaa itsetarkistusta rozrachunkahilla verkossa toimiva vastaava laskin .

peppu 4. Tunne funktion ääripäät ja indusoi aikataulu.

Toiminnon laajuus on kokonaislukurivi, lukuun ottamatta pisteitä, tobto. .

Nopeaa seurantaa varten voit nopeuttaa höyrysaunan toimintaa, sirpaleita . Siksi aikataulu on symmetrinen akselin suhteen Auts että seurantaa voidaan käyttää vain väliin.

Tiedämme, että menen ja toiminnon kriittiset kohdat:

1) ;

2) ,

Mutta jos funktio tietää eron tässä pisteessä, se ei voi olla ääripiste.

sellaisella tavalla, toiminto on asetettu kaksi kriittistä pistettä: i . Vrahovoyuchi toimintopari, perevirim toiselle riittävä merkki ääripäästä on vain piste. Jolle tunnemme ystävän, minä kuolen і merkittävä її merkki osoitteessa: otrimaєmo. Koska i , niin є funktion minimipiste, jossa .

Lisätietojen lisäämiseksi toiminnon aikataulusta on tarpeen seurata käyttäytymistä määritetyn alueen rajoilla:

(tässä symboli osoittaa harjoitusta x lisäksi oikeakätinen nollaan x hukkua positiiviseen; tarkoittaa samalla tavalla harjoittelua x nollaan vihainen, lisäksi x hukkua negatiiviseen). Siis sellaisessa asemassa, yakscho. Dali, me tiedämme

,

tobto. niin.

Kuvaajan funktion akseleiden murtokohta ei voi olla. Pikkuinen - tähkäpapussa.

Voit nopeuttaa itsetarkistusta rozrachunkahilla verkossa toimiva vastaava laskin .

Prodovzhuєmo shukati äärimmäiset toiminnot kerralla

Esimerkki 8. Tunne äärifunktiot.

Ratkaisu. Tiedämme määritetyn toiminnon laajuuden. Joten jos hermostuneisuus voi voittaa, olemme pakkomielle.

Tiedämme ensimmäiset pokhіdnu-toiminnot.

duje tärkeää tietoa funktion käyttäytymisestä, aiheuttavat kasvu- ja rappeutumisjaksoja. Їхнє perebuvannya є osa prosessia seurantatoiminnot ja nopeat grafiikat. Siihen asti ääripisteet, joissa tapahtuu muutos kasvusta laskuun tai muutoksesta kasvuun, saavat erityistä kunnioitusta, kun funktion suurimman ja pienimmän arvon arvo nykyisellä aikavälillä.

Tässä artikkelissa on tarve määritellä, muotoilla riittävä merkki tuon funktion muutoksen kasvusta tietyllä aikavälillä ja riittävä syy ääripäälle, saamme koko teorian täydellisyyteen soveltamalla tuota tehtävää.

Navigointi sivulla.

Intervallin funktion kasvu ja muutos.

Nimetty kasvutoiminto.

Funktio y=f(x) kasvaa välillä X, samoin kuin mille tahansa i:lle nerіvnіst vykonuetsya. Muuten näyttää siltä, ​​että argumentin suurempi arvo on suurempi kuin funktion arvo.

Nimetty vaimennustoiminto.

Funktio y=f(x) muuttuu intervallin X verran, kuten minkä tahansa i:n kohdalla nervnіst . Muuten ilmeisesti - argumentin suuremman arvon antaa funktion pienempi arvo.

HUOMAA: koska funktio on määritetty ja ilman keskeytyksiä kasvun tai heikkenemisen aikaväleissä (a; b), silloin x = a і x = b, niin qi-pisteet sisällytetään kasvu- tai vaimenemisväliin. Älä yliarvioi kasvu- ja vaimenemisfunktion tarkoitusta välille X .

Esimerkiksi peruselementaaristen funktioiden potenssien perusteella tiedämme, että y=sinx on määritetty ja sitä ei keskeytä kaikki argumentin tehokkaat arvot. Siksi sinifunktion kasvun perusteella intervalleilla voimme vahvistaa sinifunktion kasvun intervalleilla.

Krapki extremum, ääripääfunktiot.

Nimeä kohta maksimipiste funktiot y=f(x) , joten kaikki lähistöllä olevat x:t ovat reiluja. Kutsutaan funktion arvoa maksimipisteessä toiminto maksimi tarkoitan.

Nimeä kohta minimipiste funktiot y=f(x) , joten kaikki lähistöllä olevat x:t ovat reiluja. Kutsutaan funktion arvoa minimipisteessä minimitoiminto tarkoitan.

Ymmärrä pisteen reunan alla oleva intervalli , de - Viimeistele pieni positiivinen luku.

Minimi- ja maksimipisteitä kutsutaan ääripisteet, ja kutsutaan funktion arvoa, joka vastaa ääripisteitä funktion äärimmäinen.

Älä sekoita äärimmäisiä toimintoja suurimpaan pienin arvo toimintoja.

Ensimmäisellä pienellä ylimmän funktion suurin arvo saavutetaan funktion maksimipisteessä ja seuraavaksi maksimipisteessä ja toisessa pienessä funktion suurin arvo saavutetaan pisteessä x = b, mutta ei maksimipisteessä.

Tarpeeksi ymmärtää tuon muuttuneen toiminnon kasvua.

Riittävän mielen (merkin) perusteella tuon muuttuneen toiminnon kasvusta löytyy aukkoja tuon muuttuneen toiminnon kasvussa.

Kaavan akseli on merkki funktion kasvusta ja muutoksesta välissä:

• jos samanlainen funktio y=f(x) on positiivinen mille tahansa x:lle välin X yli, niin funktio kasvaa X:llä;
• Jos samanlainen funktio y=f(x) on negatiivinen, onko x välissä X, funktio muuttuu X :ksi.

Tässä järjestyksessä kasvun kasvun ja funktion muutoksen merkitsemiseksi tarvitaan:

Katsotaanpa esimerkkiä välissä olevan kasvun tiedosta ja funktion muutoksesta algoritmin selitykseksi.

peppu.

Tiedä kasvun ja toiminnan muutoksen aukot.

Ratkaisu.

Ensimmäisellä sadolla se on välttämätöntä tietää toiminnon laajuuden. Virazin takaosassa, bannermanissa se voi muuttua nollaan, myöhemmin.

Jatketaan tuttua toimintoa:

Jotta promіzhkіv zrostannya että zmenshennya funktії varten riittävä merkki vyrishuєmo nerіvієmі і kentällä nimittämistä. Käytä nopeasti intervallimenetelmää. Päiväkirjan yksijuuri on є x = 2 ja znamennik muuttuu nollaksi kohdassa x = 0. Qi-pisteet jakavat määrätyn intervallin alueen, joidenkin muiden toimintojen osalta ne ottavat merkin. Merkittävät qi-pisteet numeroviivalla. Plussat ja miinukset ovat henkisesti merkittäviä jaksoja, joille se on positiivista ja negatiivista. Alareunassa olevat nuolet osoittavat kaaviomaisesti funktion lisäyksen tai muutoksen tietyllä aikavälillä.

sellaisella tavalla, і .

Pisteessä x=2 funktio on määritetty ja keskeytymätön, siihen її tulee lisätä kasvuväliin ja vaimenemisväliin. Pisteessä x=0 funktiota ei ole osoitettu, joten tämä piste ei sisälly vitsailujen väliin.

Piirrämme funktiosta kaavion tulosten johtamiseksi siitä.

Ehdotus:

Toiminto kasvaa klo , vaihtuu aikavälillä (0; 2] .

Riittävä mielessä toiminnon ääripää.

Kun tietää funktion maksimi- ja minimiarvo, voi koristuvatisya, onko jokin kolmesta merkki ääripäästä, ilmeisesti, koska toiminto tyydyttää mieltäsi. Leveimmät ja kätevimmät ovat niistä ensimmäiset.

Persha riittää Umovin ääripäälle.

Olkoon funktio y=f(x) differentioitu pisteen läheisyydessä, mutta ilman keskeytystä itse pisteessä.

Toisin sanoen:

Algoritmi, jolla etsitään pisteen ääripäälle funktion ääripään ensimmäisen merkin jälkeen.

• Tiedämme määritetyn toiminnon laajuuden.
• Tunnemme osoitetun alueen toiminnot.
• Numerovalitsimen merkittävät nollat, valitun alueen vastaavan pisteen bannerin nollat, joissa ei ole mahdollisia ääripisteitä, joka kulkee qi-pisteiden läpi, on mahdollista vaihtaa merkkiäsi).
• Qi-pisteet jakavat promyzhkin toimintaan tarkoitetun alueen, joillekin on parempi ottaa merkki. Voimme nähdä samanlaisen ihovälin merkit (esimerkiksi laskemalla samanlaisen funktion arvo missä tahansa pisteessä hyvin otetusta intervallista).
• Valitsemme pisteet, joissa toiminto on keskeytymätön ja jakkien läpi kulkeessaan muuttaa merkkiä - stch extremum -pisteitä.

Liian rikkaat sanat, kauniimmin katsottuna kіlka sovelsi merkitseviä pisteitä ääripään ja funktion ääripäät avuksi ensimmäisen mieli riittää funktion ääripää.

peppu.

Tunne äärifunktiot.

Ratkaisu.

Toiminta-alue on kaikki persoonaton päivän numerot, Krim x = 2 .

Tiedämme, että menen:

Osoittimen є nollat ​​pisteet x = -1 і x = 5 znamennik muuttuvat nollaksi kohdassa x = 2 . Merkittävä määrä pisteitä numeerisella akselilla

Samanlaisen ihovälin merkit ovat näkyvissä, joilla lasketaan samanlaisen ihovälin arvo esimerkiksi pisteissä x=-2, x=0, x=3 ja x=6.

Lisäksi välissä se on positiivinen (plus-merkki laitetaan pienelle cim-välin yläpuolelle). samoin

Laitoimme miinuksen toisen välin päälle, miinuksen kolmannen väliin, plussan neljänneksen päälle.

Menetetty valita pisteitä, joiden toiminto on keskeytymätön ja її pokhіdna vaihtaa merkkiä. Tse i є ääripisteet.

Pisteessä x=-1 funktio on keskeytymätön ja muuttaa vähitellen etumerkkiä plussasta miinusmerkkiin, sitten ensimmäisen merkin jälkeen ääripäähän x=-1 on maksimipiste, toinen on funktion maksimi .

Pisteessä x=5 funktio on keskeytymätön ja muuttaa vähitellen miinuksen merkin plussiksi, jolloin x=-1 on minimin piste, mikä tarkoittaa funktion minimiä .

Graafiset kuvat.

Ehdotus:

KÄÄNTEINEN RESPECT: ensimmäinen merkki riittää ääripäälle, se ei vaikuta itse pisteen differentiaalitoimintoon.

peppu.

Etsi ääripisteet ja ääriarvofunktiot .

Ratkaisu.

Funktion laajuus on kaikki persoonattomia reaalilukuja. Itse funktio voidaan kirjoittaa näkymään:

Tiedämme seuraavat toiminnot:

Pisteessä x=0 ei ole mahdollista, yksipuolisten välien arvojen sirpaleet eivät saa saavuttaa nollaa, kun argumentti on liioiteltu:

Samaan aikaan lähtötoiminto on katkeamaton pisteessä x=0 (jako toiminnon seuranta jatkuvuuden varmistamiseksi):

Tiedämme argumentin merkityksen, jonka alla kannattaa kääntyä nollaan:

Huomattavasti kaikki pisteet numeroviivalla ja huomattavasti pienempi merkki ihon välein. Joille on mahdollista laskea suhteellisuuden arvo tietyissä ihovälin kohdissa, esimerkiksi x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Tobto,

Tässä järjestyksessä ääripään ensimmäisen merkin jälkeen minimipisteet , osoittaa maksimissaan є .

Minimifunktioiden laskeminen

Laske funktion maksimi

Graafiset kuvat.

Ehdotus:

.

Toinen merkki funktion ääripäästä.

Kuten bachete, funktion ääripään merkki vaatii samanlaisen, ainakin eri pisteissä.

Ensimmäinen riittävä ääripään merkki muotoillaan parantamalla kriittisen pisteen läpi siirtymisen ensimmäisen hyvän tunnin merkin muutosta. Toisesta ääripään merkistä katso alla § 6.4.

Lause (ääripään ensimmäinen merkki) : YakschoX 0 - Toiminnon kriittinen kohtay=f(x) ja pisteen todellisessa läheisyydessäX 0 , kulkee sen läpi zlіva oikealle, pokhіdna muuta merkki pidennykseksi, sittenX 0 є ääripiste. Lisäksi, kun vastakkaisen merkki muutetaan "+":sta "-":ksiX 0 on maksimipiste, jaf(x 0 ) on funktion maksimi, ja on samanlaista vaihtaa merkki "-":sta "+":ksiX 0 on minimipiste, jaf(x 0 ) - Minimitoiminto.

Äärimmäisen näköinen päällä paikallinen(Misceviy) luonne ja herkkyys pienen kriittisen pisteen laitamilla.

Ääripisteet ja laajennuspisteet jakavat monotonisuusvälin määrätyn funktion alueen.

Esimerkki 6.3. Esimerkiksi 6.1. tiesimme kriittiset kohdat X 1 =0 і X 2 =2.

Tietysti se, mikä näissä kohdissa pitää paikkansa, on funktio y = 2x 3 -6x 2 +1 voi äärimmäistä. Kuvittele її pokhіdnussa
merkitys X, otettu zliva ja oikeakätinen pisteessä X 1 =0 oleskella lähistöllä, esim. x = -1і x = 1. otettu. Oskіlki pokhіdna vaihda sitten merkki "+":sta "-". X 1 =0 - osoita funktion maksimi- ja maksimikohtaa
. Otamme nyt kaksi arvoa x = 1 i x = 3 toisen kriittisen pisteen läheisyydestä X 2 =2 . Se on jo osoitettu
, a
. Oskіlki pokhіdna vaihda sitten merkki “-” arvosta “+”. X 2 =2 - Minimipiste. Ja ainakin toimintoja
.

Tietää funktion suurimman ja pienimmän arvon ilman tuulen häiriöitä
on tarpeen laskea її-arvot kaikissa kriittisissä pisteissä ja käämin kintsyssä, jotta bv valitaan eniten ja vähiten.

6.3. Merkkejä funktion käyrän turpoamisesta ja kutistumisesta. Kipupisteet

Differentioidun funktion kuvaajaa kutsutaanopuklimaikavälillä, kuten viinit roztashovaniya alempi, onko se sinun dotichnu tällä välillä;kumartua (dip alas)yakscho vіn raztashovaniya vshee be-yakої dotichї välissä.

6.3.1. Tarpeellisia ja riittäviä merkkejä grafiikan turpoamisesta ja kutistumisesta

a) Pakolliset merkit

Mikä on toimintojen aikatauluy=f(x) kasvain välissä(a, b) , silloin ystävä on hyvä
millä aikavälillä; aikataulunauhkailu päällä(a, b) , sitten
päällä(a, b) .

P st aikataulutoiminto y=f(x) kasvain (a, b) (Kuva 6.3a). Yakshcho dotichna kovzaє vzdovzh turvonnut kiero zlіva oikealle, її kut muuttuu huonosti (
), samalla lopullinen pistekerroin muuttuu, mikä tarkoittaa, että ensimmäinen kerta muuttuu
päällä (a, b) . Ale on kuitenkin samanlainen kuin ensimmäinen, koska se on samanlainen kuin resessiivinen funktio, mutta se voi olla negatiivinen, tobto
päällä (a, b) .

Mikä on toimintojen aikataulu uhkailu päällä (a, b) , Se, mirkuyuchi samoin, Bachimo, että kun takotaan dotic vzdovzh käyrä (kuva 6.3b) leikkaa sairaalloinen dotic kasvu (
); Ja vaikka se näyttäisi kasvavalta funktiolta, se voi olla positiivista, joten
päällä (a, b) .

b ) Riittävästi merkkejä

Kuten toiminnalley=f(x) kaikilla pisteillä on sama väli
, sitten funktion kuvaajauhkailu millä aikavälillä, mutta miten
, sittenkasvain .

"Sääntö Doshu" : Jotta muistaisit jonkin merkin toisesta pokhіdnoї pov'yazuvati z turvotusta ja mikä kaavion kaarevasta kaaresta, on suositeltavaa muistaa: plus vettä vinoissa lunateissa "miinus vesi" - pullistuvissa kuuissa (kuva 6.4).

Krapka grafiikkaa keskeytymätöntä toimintaa, jossa pullistuma muuttuu chi navpakin pullistumaksi, kutsutaanmutkipiste .

Lause (riittää käännepisteen etumerkille).

Yakscho pisteessä toiminto
dvіchі erottaa, että ystävä on samanlainen tsіy pisteen nolla tai ei, ja jopa kulkiessaan pisteen hyvä ystävä
vaihda merkki ja sitten piste є käännekohta. Taittopisteen koordinaatit
.

Pisteitä, joillekin ystävälle on mahdollista kääntyä nollaan tai ei, kutsutaan erityyppisiksi kriittisiksi pisteiksi.

Esimerkki 6.4. Tunne käännepisteet ja merkitse käyrän turpoamis- ja painumavälit
(Gaus-käyrä).

R ratkaisu. Tiedämme pershun, että ystävä pokhіdnі:
,. Ystävä on hyvä sinulle . Nolla ja virishima otrimane yhtä suuri
, de
myös
, tähdet
,
- Erilaisia ​​kriittisiä kohtia. Käännetään uuden hyvän tunnin merkin muutos kriittisen pisteen ylittämiseen
. Yakscho
esimerkiksi,
, sitten
, mutta
esimerkiksi,
, sitten
Tobto ystävä vaihtaa merkkiä. Otzhe,
- mutkapisteen abskissa, її koordinaatit
. Pariteettifunktioiden kautta
, kirjava
, symmetrinen piste
, tezh on käännekohta.

Lause (ensimmäinen riittää Umovin ääripäälle). Olkoon funktio pisteessä keskeytymätön, mutta jos tunti kulkee pisteen läpi, etumerkki vaihtuu. Todi - ääripiste: maksimi, mikä tarkoittaa, että merkki muuttuu "+":sta "-":ksi ja minimiin, joka tarkoittaa "-":sta "+".

Tuominen. Tule minun kanssani.

Lagrangen lauseelle , de .Todі yakshcho, sitten; sille , otzhe, , tai . No sitten; sille , otzhe, tai .

Otzhe toi, scho missä tahansa lähistöllä, tobto. on funktion maksimipiste.

Vähimmäispistelauseen todistus suoritetaan samalla tavalla. Lause päättynyt.

Heti kun tunti kuluu pisteen läpi, se ei muuta merkkiä, niin piste ei ole äärimmäinen.

Lause (ystävä riittää Umovin ääripäälle). Olkoon pisteellä samanlainen funktio, joka on differentioiva, 0 (), ja toinen on samanlainen kuin piste nolla () ja on katkeamaton pisteen aktiivisessa ympäristössä. Todi - ääripiste; missä vaiheessa on minimi ja missä on maksimi.

Algoritmi ääripääfunktion tunnistukseen ensimmäisen riittävän syyn jälkeen ääripään ratkaisemiseen.

1. Tunne temppu.

2. Määritä funktion kriittiset pisteet.

3. Seuraa merkkiä vasenkätisten ja oikeakätisten ihon kriittisessä pisteessä ja visnovon kasvua äärimmäisyyksien ilmenemisestä.

4. Tunne funktion ääriarvot.

Algoritmi ääripääfunktion tunnistamiseen toisen riittävän syyn avuksi ääripään eliminoimiseksi.

1. Tunne temppu.

2. Tunne ystävä pokhіdnu.

3. Tiedä pisteitä, yakikh.

4. Anna näissä kohdissa merkki.

5. Zrobiti vysnovok ääripäiden luonteesta.

6. Tunne funktion ääriarvot.

peppu. Katso . Me tiedämme . Daly, i puolesta. Dolіdzhuєmo kriittiset kohdat ensimmäisen riittävän mielen ääripään avuksi. Ehkä, mitä varten minä at , minä at . Kohdissa i on parempi vaihtaa niiden merkki: "+":sta "-" ja "-":sta "+". Tse tarkoittaa, että pistefunktiolla on maksimi ja pisteellä minimi; . Tasoitusta varten meidän on saavutettava kriittinen piste toisen riittävän mielen ja ääripään avulla. Tiedämme ystäväsi kuolevan. May: , ja tse tarkoittaa, että pisteellä on maksimifunktio ja pisteellä on minimifunktio.

Funktion graafin asymptotiikan ymmärtäminen. Vaaka-, heikko- ja pystyasymptotiikka. Käytä.

Nimittäminen. p align="justify"> Funktion kaavion asymptoottia kutsutaan suoraksi, jonka avulla voit siirtyä pisteestä suoran keskelle nollaan, kun kaavion piste ei ole kaukana koordinaattien tähkä.

Erottele pystysuora (kuva 6.6 a), vaakasuuntainen (kuva 6.6 b) ja heilahdus (kuva 6.6 c) asymptootit.

Kuvassa 6.6a näytetään vertikaalinen asymptootti.

Kuvassa 6.6b - horisontaalinen asymptootti.

Kuvassa 6,6 V - asymptootti.

Lause 1. Pystyasymptoottien pisteissä (esim. ) funktio tietää eron, viivojen ja pisteiden oikeanpuoleisen tavan välillä ovat:

Lause 2. Tehtäväksi nimetään suuri ja lopullisten rajojen luominen

І .

Sitten se on suora, nuhjuinen asymptootti funktion kaaviosta.

Lause 3. Olkoon funktio nimetty dosit great ja іsnuє funktioiden välillä. Tällöin suora on funktion kaavion vaaka-asymptootti.

Vaaka-asymptootti є kutsumme sitä huonoksi asymptootiksi, jos . Siihen, vaikka suorassa käyrällä on vaakasuora asymptootti, niin siinä suorassa ei ole huonoa ja huonoa onnea.

peppu. Tunne funktion kaavion asymptotiikka.

Ratkaisu. Pisteessä toimintoa ei ole määritetty, tiedämme funktioiden välillä vasenkätinen ja oikeakätinen pisteessä:

; .

Lisäksi se on pystysuora asymptootti.

Pääjärjestelmä toimintojen seurantaan ja niiden aikataulujen kannustamiseen. peppu.

Seurantatoiminnon yleinen kaavio että kehote її grafiikkaa.

1. Tunne kohdealue.

2. Seuraa pariteetti - epäpariteetti -funktiota.

3. Tunne laajenemispisteen pystyasymptotiikka (kuten є).

4. Seuraa funktion käyttäytymistä epäjohdonmukaisuudessa; tunne horisontaaliset ja sairaat asymptootit (kuten є).

5. Etsi funktion monotonisuuden ääripäät ja intervallit.

6. Etsi kaavion pisteet koordinaattiakseleilla i, kuten kaaviossa tarvitaan lisäpisteiden tuntemiseen.

7. Soita aikataulu kaaviollisesti.

Yksityiskohtainen kaava seurantatoiminnot jotka rohkaisevat grafiikkaa .

1. Tunne kohdealue .

a. Yakshcho є znamennik, vin on syyllinen zratatisya in 0.

b. Parillisen vaiheen juuren alijuuri voi olla ei-negatiivinen (enemmän kuin chi on nolla).

c. Sublogaritminen viraasi voi olla positiivinen.

2. Seuraa pariteetti - epäpariteetti -funktiota.

a. Yakscho , sitten toiminto on paritettu.

b. Yakshcho , funktio on purettu pariksi.

c. Yakshcho ei vikonano ei, ei , on sitten globaalin näkymän funktio.

3. Tunne laajenemispisteen pystyasymptotiikka (kuten є).

a. Pystysuora asymptootti voi olla vähemmän korostunut määritetyn funktion alueiden välisillä alueilla.

b. Yakscho (tai ), silloin kaavion asymptootti on pystysuora.

4. Seuraa funktion käyttäytymistä epäjohdonmukaisuudessa; tunne horisontaaliset ja sairaat asymptootit (kuten є).

a. Yakscho, silloin graafin asymptootti on vaakasuora.

b. Yakshcho i silloin suora on kaavion heikko asymptootti.

c. Mitä tulee kohdissa a, b määritettyihin rajoihin, se on mahdollista vain yksipuolisella liioituksella epäjohdonmukaisuuteen (tai ), silloin asymptotiikka on yksipuolinen: vasemmanpuoleinen kanssa ja oikea puoli .

5. Etsi funktion monotonisuuden ääripäät ja intervallit.

a. Tunne pokhidnu.

b. Tunne kriittiset pisteet (ti-pisteet, de chi de nemaє).

c. Merkitse numeeriselle akselille osoitettu alue ja її kriittistä pistettä.

d. Merkitse numerovälien sisällön pintaan seuraavan merkki.

e. Visnovokkien vastaavien tutkimusten merkkien mukaan äärimmäisyyksien ilmenemisestä näissä tyypeissä.

f. Tunne ääriarvot.

g. Marssikasvun merkkien mukaan viikset kasvusta ja muutoksesta.

6. Tietää kaavion suoran pisteet koordinaattiakseleilla i, kuten se on tarpeen kaaviossa, tietää lisäpisteet.

a. Schob tietää pisteet linjan kaavion vіssyu, on tarpeen erottaa linja. Pisteet , de nolla , ovat kaavion z vyssyu linjan pisteitä .

b. Kuvaajan viivan piste näkyy ylhäältä. Vaughn іsnuє, se on vähemmän kuin piste syöttää määritetyn toiminnon alueelle.

8. Soita aikatauluun kaavamaisesti.

a. Indusoi koordinaattijärjestelmä ja asymptootit.

b. Ilmoita äärimmäiset kohdat.

c. Määritä kuvaajan taitepisteet koordinaattiakseleilla.

d. Indusoi kaavio kaavamaisesti siten, että kulkiessaan määrättyjen pisteiden läpi ja lähestyessään asymptootteja.

peppu. Seuraa funktiota ja indusoi kaavamaisesti її-kaavio.

2. - villin mielen toiminta.

3. Oskіlki i , sitten suorat viivat є pystysuorat asymptootit; pisteet і є pilkullinen. , kun älä mene määritetyn toiminnon alueelle