Ανεξαρτησία του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος πάνω από το περίγραμμα. Πλύνετε την ανεξαρτησία του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του δεύτερου είδους στον τρόπο ολοκλήρωσης. Πλύνετε την ανεξαρτησία του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος προς την κατεύθυνση της ολοκλήρωσης

2ο είδος ολοκλήρωσης

Ας δούμε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 2ου είδους, όπου L είναι μια καμπύλη που συνδέει τα σημεία M και N. Έστω οι συναρτήσεις P(x, y) και Q(x, y) καμπύλη L. Σημαντικά, σε ορισμένες αναλύσεις, η Το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα δεν μπορεί να αποτεθεί στο σχήμα της καμπύλης L, μόνο τα σημεία M και N διαστέλλονται.

Σχεδιάζουμε δύο επιπλέον καμπύλες MSN και MTN, οι οποίες βρίσκονται στην απόσταση D και συνδέουν τα σημεία M και N (Εικ. 14).

Ας πούμε, τι, tobto

de L - κλειστός βρόχος, αναδίπλωση από καμπύλες MSN και NTM (επίσης, μπορεί να προστεθεί κι άλλο). Με αυτόν τον τρόπο, ο νους της ανεξαρτησίας του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος του 2ου είδους στον τρόπο ολοκλήρωσης είναι ίσος με το μυαλό, ότι ένα τέτοιο ολοκλήρωμα πίσω από κάθε κλειστό βρόχο είναι ίσο με μηδέν.

Θεώρημα 5 (θεώρημα Green). Δώστε σε όλα τα σημεία της πραγματικής περιοχής D τις συναρτήσεις P(x, y) και Q(x, y) και τις ιδιωτικές μεταπτώσεις τους. Στη συνέχεια, για να είναι ένα κλειστό περίγραμμα L που βρίσκεται στην περιοχή D

απαραίτητο και επαρκές για όλα τα σημεία της περιοχής Δ.

Φέρνοντας.

1) Ευημερία: άσε το μυαλό σου = βικονάνο. Ας δούμε ένα πιο κλειστό περίγραμμα L της περιοχής D, που περιβάλλει την περιοχή S, και ας γράψουμε τον τύπο του πράσινου για τη νέα:

Otzhe, επάρκεια έφερε.

2) Αναγκαιότητα: ας πούμε ότι το μυαλό έχει εγγραφεί στο σημείο δέρματος της περιοχής Δ, αλλά αν θέλετε να βρείτε ένα σημείο του κέντρου της περιοχής, σε ποιο -; 0. Έλα, για παράδειγμα, στο σημείο P(x0, y0) ίσως: - > 0. Άρα, καθώς το αριστερό τμήμα της νευρικότητας έχει αδιάκοπη λειτουργία, θα είναι θετικό και μεγαλύτερο για μια μέρα; > 0 στην deakіy μικρή περιοχή D`, για να εκδικηθούμε το σημείο P. Otzhe,

Είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη ο τύπος του Green

de L` - το περίγραμμα που περιβάλλει την περιοχή D`. Tsey αποτέλεσμα superchit μυαλό. Επίσης, = σε όλα τα σημεία της περιοχής Δ, που ήταν απαραίτητο να φέρει.

Σεβασμός 1. Ομοίως, για έναν τετριμμένο κόσμο, μπορεί κανείς να φέρει ότι τα απαραίτητα και επαρκή μυαλά της ανεξαρτησίας του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος

προς την κατεύθυνση της ολοκλήρωσης:

Σημείωση 2. Όταν ο vykonannі θυμάται (52) viraz Pdx + Qdy + Rdz є κορυφαίο διαφορικόπραγματική λειτουργία. Αυτό σας επιτρέπει να υπολογίσετε τον υπολογισμό του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος μέχρι την καθορισμένη τιμή διαφοράς και στο τέλος και τα σημεία καλαμποκιού του περιγράμματος ολοκλήρωσης, κλιμάκωση

Για ποια συνάρτηση μπορεί να είναι γνωστός ο τύπος

de (x0, y0, z0) - το σημείο της περιοχής D και C - έχει γίνει αρκετό. Πράγματι, είναι εύκολο να συγχέουμε ότι οι ιδιωτικές συναρτήσεις που δίνονται από τον τύπο (53) είναι ίσες με P, Q και R.

πισινό 10.

Να υπολογίσετε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 2ου είδους

κατά μήκος της πλήρους καμπύλης, η οποία συνδέει τα σημεία (1, 1, 1) και (2, 3, 4).

Ας προχωρήσουμε, τι πιστεύουν οι βίκοι (52):

Otzhe, η συνάρτηση είναι παρούσα. Γνωρίζουμε її πίσω από τον τύπο (53) θέτοντας x0 = y0 = z0 = 0. Τότε

Σε αυτή την κατάταξη, η συνάρτηση και καθορίζεται με ακρίβεια μέχρι μια επαρκή ανάρτηση dodanku. Ας υποθέσουμε ότι Z = 0, τότε u = xyz. Otzhe,

Ας δούμε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα

λαμβάνοντας μετά από ένα deak με μια επίπεδη καμπύλη μεγάλο, που συνδέει τα σημεία Μі Ν. Ας υποθέσουμε ότι οι συναρτήσεις P(x, y)і Q(x, y)μπορεί να είναι αδιάκοπες ιδιωτικές διακοπές στην περιοχή που μπορείτε να δείτε ρε. Φυσικά, για τέτοια μυαλά γραφής ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα δεν μπορεί να βρίσκεται σε μορφή καμπύλης μεγάλο, και να εναποτίθεται μόνο στη θέση του στάχυ και στο τελικό σημείο Μі Ν.

Ας δούμε δύο ακόμη καμπύλες MPNі MQN, που βρίσκεται κοντά στον ανοιχτό χώρο ρεκαι σημεία σύνδεσης Μі Ν. Ελα

(1)

Τότε με βάση τις δυνάμεις 1 και 4 τα καμπυλόγραμμα ολοκληρώματα μπορούν να είναι:

tobto. ολοκλήρωμα κλειστού βρόχου μεγάλο

Στον υπόλοιπο τύπο, το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα των λήψεων κατά μήκος ενός κλειστού περιγράμματος μεγάλοδιπλωμένο από καμπύλες MPNі NQM. Tsey περίγραμμα μεγάλομπορείτε, προφανώς, vvazhati dovilnym.

Σε αυτήν την κατάταξη, προσέξτε:

έτσι για οποιαδήποτε δύο σημεία M και N το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα δεν βρίσκεται με τη μορφή καμπύλης, αλλά μόνο με τη μορφή καμπύλης, αλλά βρίσκεται μόνο στη θέση αυτών των σημείων, στη συνέχεια, τι το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πίσω από οποιοδήποτε κλειστό περίγραμμα είναι ίσο με μηδέν .

Δίκαιο και κακό visnovok:

εάν το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πίσω από οποιονδήποτε κλειστό βρόχο είναι ίσο με μηδέν, τότε αυτό το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα δεν μπορεί να βρεθεί με τη μορφή καμπύλης, η οποία διασχίζει δύο σημεία, και ξαπλώνεις μόνο στα στρατόπεδα του τσιχ τελεία . Είναι αλήθεια, scho of ισοδυναμία (2) πληθωρική ισοδυναμία (1)

Θεώρημα

Αφήστε τις συναρτήσεις P(x, y), Q(x, y) να χρησιμοποιηθούν σε όλα τα σημεία της περιοχής D deaco ταυτόχρονα με το δικό τους ιδιωτικό και χωρίς διακοπή. Στη συνέχεια, για να έχουμε ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πίσω από κάθε κλειστό βρόχο L, που βρίσκεται στο κέντρο του δωματίου, φτάνοντας στο μηδέν, τότε. σομπ

(2')

απαραίτητη και επαρκής ισοδυναμία vikonannya

σε όλα τα σημεία της περιοχής Δ.

Φέρνοντας

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά στο κλειστό κύκλωμα μεγάλοστην περιοχή ρεκαι για το νέο γράφουμε τον τύπο του Green:

Αν το μυαλό κερδίσει (3), τότε το υποτιμημένο ολοκλήρωμα, που κοστίζει κακό, είναι επίσης ίσο με μηδέν i, τότε,

με τέτοιο τρόπο, επάρκειαπλύσιμο (3) έφερε.

Ας το φέρουμε τώρα ανάγκημυαλο, tobto. είναι πιθανό η ομοιόμορφη (2) να είναι νικηφόρα για οποιαδήποτε κλειστή καμπύλη μεγάλοστην περιοχή ρε, τότε στο δέρμα σημείο της περιοχής, ο νους είναι νικητής (3).

Είναι αποδεκτό, από την άλλη, ότι η ζήλια (2) κερδίζει, τομπτο.

και ο Umov (3) δεν κερδίζει, τομπότο.

hot bi σε ένα σημείο. Έλα, για παράδειγμα, το σημείο του τραγουδιού μπορεί να είναι νευρικό

Δεδομένου ότι το αριστερό τμήμα της νευρικότητας έχει μια αδιάκοπη λειτουργία, θα είναι θετικό και περισσότερο από ένα συγκεκριμένο αριθμό σε όλα τα σημεία για να φτάσετε σε μια μικρή περιοχή για να εκδικηθείτε το σημείο. Vіzmemo podvіyny іntegrа іn іy galluzі vіd raznitsi. Το Vin matime έχει θετικό νόημα. Αληθής,

Ale πίσω από την Πράσινη φόρμουλα, το αριστερό μέρος της υπόλοιπης ανομοιομορφίας είναι πιο κοντά στο καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πάνω από την ενδιάμεση περιοχή, η οποία, πίσω από τα δικαιώματα, είναι πιο κοντά στο μηδέν. Otzhe, ostannya nerіvnіst supercheat μυαλά (2), otzhe, pripuschennya, scho on vіdminu vіd μηδέν θέλουν να είναι σε ένα σημείο, όχι έτσι. Ακούγεται ουρλιάζοντας, τι

σε όλα τα σημεία ρε.

Otzhe, το θεώρημα ολοκληρώθηκε ξανά.

Την ώρα του γάμου του διαφορικού ίσον, ήρθε στο μυαλό

ισοδυναμεί με το γεγονός ότι το viraz pdx + Qdyє το πιο πρόσφατο διαφορικό της τρέχουσας συνάρτησης u(x, y), έπειτα.

Ale σε tsomu vipadku διάνυσμα

є συνάρτηση κλίσης u(x, y);

Λειτουργία u(x, y), η κλίση είναι παρόμοια με το διάνυσμα δυνητικόςποιο διάνυσμα.

Ενημερώστε μας ότι που έχει καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα Πίσω από οποιαδήποτε καμπύλη L, που συνδέει τα σημεία M και N, η διαφορά μεταξύ των τιμών της συνάρτησης i σε αυτά τα σημεία:

Φέρνοντας

Yakscho Рdx + Qdyє το άνω διαφορικό της συνάρτησης u(x, y), τότε θα εξετάσω το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα

Για τον υπολογισμό αυτού του ολοκληρώματος, γράφουμε την παραμετρική στοίχιση της καμπύλης μεγάλο, που συνδέει τα σημεία Μі Ν:

Viraz, τι να σταθείτε στους ναούς, λειτουργήστε μέσα t, η οποία είναι μια εντελώς παρόμοια συνάρτηση σύμφωνα με t. Κάποιος

Yak mi bachimo, το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα με τη μορφή συνεχούς διαφορικού δεν μπορεί να βρίσκεται σε μορφή καμπύλης, για την οποία είναι απαραίτητη η ολοκλήρωση.

Με αυτόν τον τρόπο:

προσέξτε την ανεξαρτησία των καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων του δεύτερου είδουςδιαμορφώστε τον τρόπο ολοκλήρωσης ως εξής:

Yakshcho σε deakіy galuzі P(x, y)і Q(x, y) χωρίς διακοπήμαζί με το δικό τους εγώ, τότε:

1. στην περιοχή Δ μην ψέματα στη μορφήτρόπους ένταξης, yakscho yogo που σημαίνει πίσω από μια ομαλή καμπύλη shmatkovo, scho to lie at tsіy galuzі and mum zagalny cob і zagalny kіnets ωστόσο.

2. αναπόσπαστο uzdovzh είναι σαν μια κλειστή καμπύλη μεγάλο, που βρίσκεται στην περιοχή Το D ισούται με μηδέν.

3. Κύρια λειτουργία u(x, y), για yakoї viraz pdx+qdyІsnuє povny διαφορικό, λοιπόν.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

στο σημείο του δέρματος της περιοχής ρε.

Για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος, για να μην πέσουμε στο περίγραμμα της ολοκλήρωσης

στη συνέχεια επιλέξτε ως την πιο πλοηγική διαδρομή ολοκλήρωσης του λαμάν, ότι τα σημεία σύνδεσης και οι λάνκες είναι παράλληλα με τους άξονες Ox και Oy.

Pidintegral Viraz P(x, y)dx + Q(x, y)dyγια διορισμό μυαλών κορυφαίο διαφορικόυποκριτικές λειτουργίες u = u(x, y) tobto.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

λειτουργία u(x, y)(πρωτότυπο) μπορείτε να μάθετε πώς να υπολογίσετε το πιο κοινό καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα από το lamania de - είτε είναι σταθερό σημείο, B(x, y) – σημείο αλλαγής, και το σημείο είναι η μέγιστη συντεταγμένη Χότι . Todi vzdovzh maєmo ότι dy = 0, και vzdovzh maєmo x = καταστі dx = 0.

Ας πάρουμε αυτόν τον τύπο:

Ομοίως, ενσωμάτωση lamanoy de otrimaemo

Ισχύουν

1. Υπολογίζω

Αυτό το ολοκλήρωμα θα πρέπει να αποτεθεί κατά μήκος του περιγράμματος ολοκλήρωσης, επειδή

Επιλέγουμε ως τρόπο ενσωμάτωσης του laman, οι γραμμές είναι παράλληλες με τους άξονες συντεταγμένων. Στον πρώτο κλάδο:

Σε άλλη τοποθεσία:

Otzhe,

2. Μάθε πρώτα u, σαν

Έλα και κάνε το περίγραμμα Πρινє λαμάνα OMN. Todi

3. Να ξέρεις, yakscho

Εδώ, είναι αδύνατο να πάρουμε το σημείο στάχυ των συντεταγμένων, γιατί σε αυτό το σημείο λειτουργίας P(x, y)і Q(x, y)δεν έχει ανατεθεί, για αυτό, το παίρνουμε για ένα σημείο, για παράδειγμα,. Todi

4. Γνωρίστε την περιοχή, που περιβάλλεται από ελλείψεις

Το εμβαδόν του σχήματος, αναστατωμένο στην περιοχή HOW και που περιβάλλεται από μια κλειστή γραμμή C, υπολογίζεται σύμφωνα με τον τύπο

de contour Z παρακάμπτεται σε θετική κατεύθυνση.

Ας μετατρέψουμε το καμπυλόγραμμο integra σε τραγούδι, δημιουργώντας μια αλλαγή

Παράμετρος tπεράστε τιμές από 0 έως 2;

Τέτοια κατάταξη

3. Το υψηλότερο καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα σε όλο το μήκος του τόξου μεγάλο yakscho μεγάλο– κυκλοειδές κουνουπίδι

ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΣΤΟ ΘΕΜΑ "ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΑΜΠΥΛΩΝ"

Επιλογή 1

Το De L είναι ένα τρίγωνο της ευθείας του σημείου A(0;-2) και B(4;0) που βρίσκεται στο επίπεδο XOY.

vzdovzh lamanoї L:OAB, de O(0,0), A(2,0), B(4,5). Παρακάμψτε το περίγραμμα του βέλους κατά του έτους.

Πίσω από τις συντεταγμένες, καθώς L είναι το τόξο της έλλειψης, που βρίσκεται στο πρώτο τέταρτο.

Το De L είναι το περίγραμμα ενός τρικό με κορυφές A(1,1), B(2,2), C(1,3). Παρακάμψτε το περίγραμμα του βέλους κατά του έτους.

και να ξέρεις γιόγκα.

7. Το πεδίο δύναμης δημιουργείται από τη δύναμη F(x, y), η οποία επιτρέπει να σταθεροποιηθούν περισσότερα σημεία στο στάχυ των συντεταγμένων και να κατευθύνονται στο στάχυ των συντεταγμένων. Για να γνωρίζει στο ρομπότ την ισχύ του πεδίου, που εφαρμόζεται στη μετατόπιση του υλικού σημείου μιας μόνο μάζας κατά μήκος του τόξου της παραβολής y2 = 8x από το σημείο (2; 4) στο σημείο (4; 4).

Επιλογή 2

1. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πάνω από την άκρη του τόξου (καρτεσιανές συντεταγμένες).

Το De L είναι μια συστολή ενός ευθύγραμμου σημείου που συνδέει το O (0; 0) και το A (1; 2).

2. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα όπου L είναι ένα παραβολικό τόξο από το σημείο A(-1;1) έως το σημείο B(1,1). Παρακάμψτε το περίγραμμα του βέλους κατά του έτους.

3. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα yakscho L - πάσσαλο τόξου τι βρίσκεται σε τετράγωνα 1 και 2. Παρακάμψτε το περίγραμμα πίσω από το βέλος του έτους.

4. Ο τύπος του Zastosovuyuchi Green, υπολογίστε το ολοκλήρωμα, de L - το περίγραμμα, τις λύσεις της ευθείας και τον αντίθετο άξονα OX όταν παρακάμπτετε το περίγραμμα του βέλους anti-Godinnikov.

5. Καθιερώστε πώς υπολογίζεται η νοητική ανεξαρτησία του ολοκληρώματος προς την κατεύθυνση της ολοκλήρωσης για το ολοκλήρωμα και να ξέρεις γιόγκα.

6. Επισκεφτείτε ξανά τις εργασίες chi є με ένα νέο διαφορικό της συνάρτησης U(x, y) και μάθετε її.

7. Στο σημείο δέρματος του πεδίου δύναμης, η δύναμη μπορεί να είναι άμεσα αρνητική και ίση με το τετράγωνο της τετμημένης του σημείου προγράμματος. Να γνωρίζει το πεδίο για το ρομπότ όταν μετακινεί μια ενιαία παραβολική μάζα από το σημείο (1,0) στο σημείο (0,1).

Επιλογή 3

1. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πάνω από την άκρη του τόξου (καρτεσιανές συντεταγμένες).

1. de L - το τόξο της παραβολής φαίνεται από την παραβολή.

2. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα Το yakscho L-wire είναι μια ευθεία γραμμή, που συνδέει τα σημεία A(0,1), B(2,3). Παρακάμψτε το περίγραμμα του βέλους κατά του έτους.

3. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα καθώς L είναι το τόξο του πρώτου τόξου του κυκλοειδούς. Παρακάμψτε το περίγραμμα πίσω από το βέλος του έτους.

4. Ο τύπος του Zastosovuyuchi Green, υπολογίστε το ολοκλήρωμα de L – elіps Obkhіd περίγραμμα του βέλους anti-godinnikov.

6. Επισκεφτείτε ξανά τις εργασίες chi є με ένα νέο διαφορικό της συνάρτησης U(x, y) και μάθετε її.

7. Υπολογίστε τη δύναμη του ρομπότ και την ώρα κίνησης του υλικού σημείου του άνω μισού της έλλειψης από το σημείο Α (α, 0), το σημείο Β (-α, 0).

Επιλογή 4.

1. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πάνω από την άκρη του τόξου (καρτεσιανές συντεταγμένες).

1. de L - περίγραμμα τετραγώνου

2. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα όπου L είναι το τόξο της παραβολής του σημείου Α(0,0), μέχρι το σημείο (1,1). Παρακάμψτε το περίγραμμα του βέλους κατά του έτους.

3. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα yakscho L - το πάνω μισό της έλλειψης Παρακάμψτε το περίγραμμα πίσω από το βέλος του έτους.

4. Χρησιμοποιώντας τον τύπο Green, υπολογίστε το ολοκλήρωμα de L - το περίγραμμα του τρικό με κορυφές A (1; 0), B (1; 1), C (0,1). Παρακάμψτε το περίγραμμα του βέλους κατά του έτους.

6. Επισκεφτείτε ξανά τις εργασίες chi є με ένα νέο διαφορικό της συνάρτησης U(x, y) και μάθετε її.

7. Εφαρμόζεται δύναμη στο σημείο του δέρματος του πάσσαλου, με προεξοχές στον άξονα συντεταγμένων є Εκχωρήστε τη δύναμη στο ρομπότ για την ώρα μετακίνησης του υλικού σημείου κατά μήκος του πάσσαλου. Γιατί το ρομπότ κοστίζει μηδέν;

Επιλογή 5.

1. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πάνω από την άκρη του τόξου (καρτεσιανές συντεταγμένες).

De L - μια ευθεία γραμμή που συνδέει τα σημεία 0 (0,0), і A (4; 2)

2. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα καθώς L είναι το τόξο του καμπυλωμένου σημείου που πηγαίνει από το A(0,1) στο σημείο B (-1,e). Παρακάμψτε το περίγραμμα του βέλους κατά του έτους.

3. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα ως L - 1 τέταρτο του στοιχήματος Παρακάμψτε το περίγραμμα πίσω από το βέλος του έτους.

4. Ο τύπος του Zastosovuyuchi Green, υπολογίστε το ολοκλήρωμα de L - περίγραμμα, περιβάλλοντα χώρο και παράκαμψη του περιγράμματος του απέναντι βέλους.

6. Επισκεφτείτε ξανά τις εργασίες chi є με ένα νέο διαφορικό της συνάρτησης U(x, y) και μάθετε її.

7. Το πεδίο δημιουργείται με δύναμη // = ευθύς τρόπος για να ορίσετε την τομή από την ευθεία ακτίνα - το διάνυσμα του σημείου її zastosuvannya. Να γνωρίζει το πεδίο για το ρομπότ όταν το υλικό σημείο μάζας m μετακινείται πίσω από το τόξο του πάσσαλου από το σημείο (a, 0) στο σημείο (0, a).

Επιλογή 6

1. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πάνω από την άκρη του τόξου (καρτεσιανές συντεταγμένες).

De L - ένα τέταρτο του στοιχήματος, που βρίσκεται στο τεταρτημόριο I.

2. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα yakcho L - laman ABC, A (1; 2), B (1; 5), C (3; 5). Παρακάμψτε το περίγραμμα του βέλους κατά του έτους.

3. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα καθώς το L είναι το πάνω μισό του στοιχήματος Παρακάμψτε το περίγραμμα πίσω από το βέλος του έτους.

4. Ο τύπος του Zastosovuyuchi Green, υπολογίστε το ολοκλήρωμα de L - το περίγραμμα, το περιβάλλον, παρακάμπτοντας το περίγραμμα του βέλους του anti-godinnikov.

6. Επισκεφτείτε ξανά τις εργασίες chi є με ένα νέο διαφορικό της συνάρτησης U(x, y) και μάθετε її.

7. Γνωρίστε το έργο της δύναμης του ελατηρίου, απευθείας στο στάχυ των συντεταγμένων, καθώς το σημείο στασιμότητας της δύναμης περιγράφει το αντίθετο βέλος του τετάρτου της έλλειψης τι βρίσκεται στο Ι τεταρτημόριο. Το μέγεθος της δύναμης είναι ανάλογο με την απόσταση του σημείου από το στάχυ των συντεταγμένων.

Επιλογή 7.

1. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πάνω από την άκρη του τόξου (καρτεσιανές συντεταγμένες).

De L - μέρος της παραβολής από το σημείο (1, 1/4) έως το σημείο (2; 1).

2. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα de L - κορυφή της ευθείας γραμμής, που συνδέει τα σημεία B (1; 2) και B (2; 4). Παρακάμψτε το περίγραμμα του βέλους κατά του έτους.

3. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα ως L - το πρώτο τόξο του κυκλοειδούς Με το περίγραμμα πίσω από το δείκτη του έτους.

6. Επισκεφτείτε ξανά τις εργασίες chi є με ένα νέο διαφορικό της συνάρτησης U(x, y) και μάθετε її.

7. Το υλικό σημείο μιας μάζας κινείται κατά μήκος του πάσσαλου υπό την κατεύθυνση της δύναμης, οι προβολές της οποίας είναι στον άξονα συντεταγμένων є . Προκαλέστε δύναμη στο στάχυ του πάσσαλου του δέρματος. Γνωρίστε την εργασία του περιγράμματος.

Επιλογή 8.

1. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πάνω από την άκρη του τόξου (καρτεσιανές συντεταγμένες).

De L - περίγραμμα ενός ορθογωνίου με κορυφές στα σημεία 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2).

2. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα, για παράδειγμα L είναι το τόξο της παραβολής από το σημείο A (0; 0) στο σημείο B (1; 2). Παρακάμψτε το περίγραμμα του βέλους κατά του έτους.

3. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα yakscho L - μέρος ενός στοιχήματος 1. Παρακάμψτε το περίγραμμα πίσω από το ετήσιο βέλος.

4. Ο τύπος του Zastosovuyuchi Green, υπολογίστε το ολοκλήρωμα de L - το περίγραμμα του tricot με κορυφές A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1). Παρακάμψτε το περίγραμμα του βέλους κατά του έτους.

5. Εγκαταστήστε, chi vykonuetsya μυαλό ανεξαρτησία του αναπόσπαστου στον τρόπο της ολοκλήρωσης για το αναπόσπαστο και γνωρίζουν γιόγκα.

6. Επισκεφτείτε ξανά τις εργασίες chi є με ένα νέο διαφορικό της συνάρτησης U(x, y) και μάθετε її.

7. Το υλικό σημείο κινείται με έλλειψη δύναμη pіd dієyu, η τιμή της οποίας είναι το πιο ακριβό σημείο στο κέντρο της έλλειψης και ισιώνεται στο κέντρο της έλλειψης. Υπολογίστε τη δύναμη του ρομπότ, ως σημείο για να παρακάμψετε ολόκληρα τα ελάσματα.

Επιλογή 9.

1. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πάνω από την άκρη του τόξου (καρτεσιανές συντεταγμένες).

De L - το τόξο της παραβολής, που βρίσκεται μεταξύ των σημείων

Α, (2;2).

2. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα όπου L είναι η στένωση μιας ευθείας γραμμής, η οποία συνδέει τα σημεία A (5; 0) και B (0,5). Παρακάμψτε το περίγραμμα του βέλους κατά του έτους.

3. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα, όπως L - το τόξο της έλλειψης μεταξύ των σημείων, το οποίο θα δείχνει την περιφέρεια του περιγράμματος πίσω από το βέλος του έτους.

4. Ο τύπος του Zastosovuyuchi Green, υπολογίστε το ολοκλήρωμα de L - γύρω από το περίγραμμα του αντίθετου βέλους.

6. Επισκεφτείτε ξανά τις εργασίες chi є με ένα νέο διαφορικό της συνάρτησης U(x, y) και μάθετε її.

7. Στο σημείο δέρματος της καμπύλης, εφαρμόζεται μια δύναμη, η οποία προεξοχές στους άξονες συντεταγμένων υποδεικνύουν το έργο της δύναμης όταν το υλικό σημείο μιας μόνο μάζας μετακινείται κατά μήκος της καμπύλης από το σημείο M (-4; 0) στο σημείο Ν (0; 2).

Επιλογή 10.

1. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πάνω από την άκρη του τόξου (καρτεσιανές συντεταγμένες).

De L - μια ευθεία γραμμή που ενώνει τα σημεία Α

2. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα, για παράδειγμα L είναι το τόξο της καμπύλης από το σημείο A(1;0) έως το B(e,5). Παρακάμψτε το περίγραμμα του βέλους κατά του έτους.

3. Υπολογίστε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα καθώς το L είναι το τόξο του στοιχήματος τι βρίσκεται στο τετράγωνο 1U. Παρακάμψτε το περίγραμμα πίσω από το βέλος του έτους.

4. Χρησιμοποιώντας τον τύπο Green, υπολογίστε το ολοκλήρωμα de L - το περίγραμμα του τρικό με κορυφές A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2). Παρακάμψτε το περίγραμμα του βέλους κατά του έτους.

6. Επισκεφτείτε ξανά τις εργασίες chi є με ένα νέο διαφορικό της συνάρτησης U(x, y) και μάθετε її.

7. Εφαρμόζεται δύναμη στο σημείο δέρματος της ευθείας, οι προβολές της οποίας βρίσκονται στους άξονες συντεταγμένων Υπολογίστε το ρομπότ που επηρεάζεται από τη δύναμη όταν το υλικό σημείο μετακινείται κατά μήκος της γραμμής από το M (1; 0) στο σημείο N (0; 3).

Διάλεξη 4

Θέμα: Ο τύπος του Green. Καθαρίστε την ανεξαρτησία του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος στον τρόπο ολοκλήρωσης.

Η φόρμουλα του Γκριν.

Ο τύπος του Green δημιουργεί μια σύνδεση μεταξύ ενός καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος σε ένα κλειστό περίγραμμα Г σε ένα επίπεδο και ενός κατώτερου ολοκληρώματος σε μια περιοχή που περιβάλλεται από ένα περίγραμμα.

Το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πάνω από ένα κλειστό περίγραμμα Г υποδεικνύεται με το σύμβολο Κλειστό περίγραμμα Г αρχίζει στο κύριο σημείο του περιγράμματος και τελειώνει στο σημείο Β. Το ολοκλήρωμα κατά μήκος ενός κλειστού περιγράμματος δεν βρίσκεται εάν επιλεγεί το σημείο Β.

Ραντεβού 1. Η παράκαμψη του περιγράμματος G θεωρείται θετική, καθώς κατά την παράκαμψη του περιγράμματος G, η περιοχή D γίνεται αριστερόστροφη. Το κύκλωμα P + - P παρακάμπτει τη θετική κατεύθυνση, το κύκλωμα P - - παρακάμπτει την αρνητική κατεύθυνση. στην αντίθετη κατεύθυνση

G+

ντο

ρε

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

ένα

σι

ντο

Y=y 2 (x)

Y= y 1 (x)

Ας δούμε το υποκείμενο ολοκλήρωμα

Ομοίως, μπορεί να υποστηριχθεί ότι:

Από τις ισότητες (1) και (2) είναι απαραίτητο:

Otzhe,

Ο τύπος του Green για τις θρυμματισμένες παραλείψεις έχει ολοκληρωθεί.

Σεβασμός 1. Ο τύπος του Green παραμένει δίκαιος, καθώς μεταξύ της περιοχής G D και των πραγματικών ευθειών, παράλληλα με τον άξοναΤο 0X ή το 0Y μετατοπίζεται πιο χαμηλότερα σε δύο σημεία. Krim ts'ogo, ο τύπος του Green ισχύει για ν-αστρικές περιοχές.

Πλύνετε την ανεξαρτησία του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος ως ολοκλήρωση στο επίπεδο.

Σε αυτήν την παράγραφο, είναι εύκολο να γίνει κατανοητό, για παράδειγμα, σε βίκονα, το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα είναι να πέφτει προς την κατεύθυνση της ολοκλήρωσης και να πέφτει με τη μορφή του στάχυ και των τελικών σημείων ολοκλήρωσης.

Θεώρημα 1. Για να έχουμε καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα χωρίς να βρίσκεται στο μονοπάτι της ολοκλήρωσης σε μια περιοχή μονού συνδέσμου, είναι απαραίτητο και επαρκές, ώστε το ολοκλήρωμα, της λήψης ενός κλειστού, καλά ομαλού περιγράμματος σε αυτήν την περιοχή, να φτάσει στο μηδέν.

Απόδειξη: Αναγκαιότητα.Δίνεται: να καταθέσουμε προς την κατεύθυνση της ένταξης. Είναι απαραίτητο να φέρουμε ότι το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πίσω από ένα κλειστό, ομαλό-λείο περίγραμμα είναι ίσο με μηδέν.

Ας πάρουμε λίγο ομαλό κλειστό περίγραμμα G κοντά στην περιοχή D. Στο περίγραμμα G, πάρτε μερικά ακόμη σημεία B και C.

σολ

ρε

σι

ντο

Oskіlki βρίσκονται στο μονοπάτι της ολοκλήρωσης, λοιπόν

, έπειτα.

Ευημερία. Δίνεται: Καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα Be-yakim zaknenim shmatkovo-λείο περίγραμμα στο μηδέν.

Είναι απαραίτητο να αποδειχθεί ότι το ολοκλήρωμα πρέπει να κατατεθεί προς την κατεύθυνση της ολοκλήρωσης.

Ας δούμε το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα πίσω από δύο ανακατεμένα-ομαλά περιγράμματα που συνδέουν τα σημεία Β και Γ. Πίσω από το μυαλό:

Tobto. καμπυλόγραμμος

αναπόσπαστο για κατάθεση προς την κατεύθυνση της ολοκλήρωσης.

Θεώρημα 2.Πηγαίνετε χωρίς διακοπή ταυτόχρονα με ιδιωτικούς περιπάτους και σε χώρο ενός συνδέσμου Δ. Για να έχετε ένα καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα Το να μην βρίσκεται χαμηλά στον δρόμο της ολοκλήρωσης είναι απαραίτητο και αρκετό, ώστε η μεραρχία Δ να βγει νικηφόρα

Απόδειξη: Επάρκεια.Δόθηκαν: . Είναι απαραίτητο να φέρεις τι να καταθέσουμε προς την κατεύθυνση της ένταξης. Για ποιον αρκεί να φέρει τι dovnyuє μηδέν πίσω από ένα κλειστό, shmatkovo-λείο περίγραμμα. Σύμφωνα με τον τύπο του Green, μπορούμε:

Ανάγκη.Δίνεται: Από το Θεώρημα 1, το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα να καταθέσουμε προς την κατεύθυνση της ένταξης. Είναι απαραίτητο να φέρεις τι

6. Ο τύπος για τη μέση τιμή του ολοκληρώματος sing.

7. Ολοκληρωμένο πάνω από το μεταβαλλόμενο άνω όριο. Yogo bezperervnіst αυτή τη διαφοροποίηση.

8. Τύπος Newton-Leibniz για το ολοκλήρωμα sing.

9. Υπολογισμός του ενσωματωμένου τραγουδιού ανά μέρη και αντικατάσταση της αλλαγής.

10. Ράψιμο του αναπόσπαστου τραγουδιού (η περιοχή μιας επίπεδης φιγούρας, το μήκος ενός κυρτού τόξου, ο όγκος της περιτύλιξης του σώματος).

11. Κατανόηση της σειράς αριθμών ta yogo sumi. Κριτήρια Koshі zbіzhnostі σειρά. Απαραίτητη ευφυΐα.

12. Σημάδια Delambert και Koshі zbіzhnostі ryadіv іz nevid'єmnimi μέλη.

13. Ολοκληρωμένο σύμβολο της σειράς αριθμών Koshі zbіzhnostі.

14. Σημαντικές σειρές αριθμών. Απολύτως αυτός ο διανοητικός zbіzhnist. Σειρές πινακίδων. Σημάδι Leibniz.

15. Λειτουργική σειρά. Το ποσό είναι χαμηλό. Η αξία του ίσου εισοδήματος είναι χαμηλή. Κριτήριο Koshі ίση κερδοφορία της λειτουργικής σειράς.

16. Weijerstras σημάδι ζώου.

18. Σειρά βημάτων. Το θεώρημα του Άβελ.

19. Ακτίνα ζωής στατικής σειράς. Ο τύπος Cauchy-Hadamard για την ακτίνα της ακτίνας της στατικής σειράς.

21. Λειτουργίες πλούσιας αλλαγής. Κατανόηση του ν-κόσμου Ευκλείδειου χώρου. Ένα απρόσωπο σημείο του Ευκλείδειου χώρου. Η ακολουθία των σημείων και το όριο її. Καθορισμένες συναρτήσεις ενός μικρού αριθμού αλλαγών.

22. Μεταξύ των συναρτήσεων ενός αριθμού αλλαγών. Αδιάλειπτη λειτουργία. Ιδιωτικές διακοπές

23. Προσδιορισμός της διαφορικής συνάρτησης ενός αριθμού μεταβλητών και διαφορικού її. Pokhіdnі και διαφορικά υψηλότερων τάξεων.

24. Η φόρμουλα του Taylor για τα πλούτη της αλλαγής. Το άκρο της συνάρτησης ενός μικρού αριθμού μεταβλητών. Απαραίτητο μυαλό ακραίο. Αρκετά μυαλά ακραία.

25. Διαρκές ολοκλήρωμα και γιόγκα δύναμης. Zvedennya podvіynogo ολοκληρωμένο έως επαναλαμβανόμενο.

27. Αντικατάσταση αλλαγών στο τρίτο ολοκλήρωμα. Κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγμένες.

28. Υπολογισμός του εμβαδού λείας επιφάνειας, παραμετρικά και ρητά.

29. Ορισμός καμπυλόγραμμων ολοκληρωμάτων πρώτου και άλλου είδους, κύρια ισχύς και υπολογισμός τους.

30. Ο τύπος του Green. Καθαρίστε την ανεξαρτησία του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος στον τρόπο ολοκλήρωσης.

31. Επιφανειακά ολοκληρώματα πρώτου και άλλου είδους, η κύρια ισχύς και ο υπολογισμός τους.

32. Θεώρημα Gaus-Ostrogradsky, її σημειογραφία σε συντεταγμένες και διανυσματικές (αμετάβλητες) μορφές.

33. Τύπος Stokes, γραμμένος με συντεταγμένες και διανυσματικές (αμετάβλητες).

34. Βαθμώδη και διανυσματικά πεδία. Κλίση, απόκλιση, ρότορας. Potentiyne και αλατούχα πεδία.

35. Χάμιλτον χειριστή. (Nabla) yogo zastosuvannya (εφαρμόζω).

36. Οι κύριες έννοιες που χρησιμοποιούνται είναι οι διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης (ωδή) πρώτης τάξης: η καθολική λύση, το καθολικό ολοκλήρωμα, η ολοκληρωτική καμπύλη. Zavdannya Koshі, її γεωμετρικά σημαντική.

37. Ενσωμάτωση ωδής στην πρώτη τάξη με τις αλλαγές που διαιρούνται, και το ίδιο.

38. Ολοκλήρωση γραμμικών ωδών πρώτης τάξης και εξίσωση του Μπερνούλι.

39. Ενσωμάτωση ωδής στην πρώτη τάστα σε πολικά διαφορικά. Ενσωμάτωση πολλαπλασιαστή.

40. Διαφορικές ισότητες πρώτης τάξης, αμετάβλητα όμοιες. Μέθοδος αιτήματος παραμέτρων.

41. Ισοδυναμία της ν-ης τάξης με σταθερούς συντελεστές. Χαρακτηριστικά ισάξια. Σύστημα θεμελιωδών λύσεων (FSR) ομοιογενούς στοίχισης, καθολική λύση ετερογενούς ευθυγράμμισης.

42. Σύστημα γραμμικών διαφορικών ισοτήτων πρώτης τάξης. FSR ενός ομοιογενούς συστήματος. Ένα κραυγαλέο όραμα ενός ομοιογενούς συστήματος.

30. Ο τύπος του Green. Καθαρίστε την ανεξαρτησία του καμπυλόγραμμου ολοκληρώματος στον τρόπο ολοκλήρωσης.

Ο τύπος του Green: Εάν το C είναι κλειστό μεταξύ της περιοχής D και των συναρτήσεων P(x, y) και Q(x, y) μαζί με τα ιδιωτικά ανάλογα πρώτης τάξης τους χωρίς διακοπή στην κλειστή περιοχή D (συμπεριλαμβανομένου του κλωβού C), τότε Ο τύπος του Green είναι έγκυρος:, επιπλέον, η παράκαμψη γύρω από το περίγραμμα C επιλέγεται έτσι ώστε η περιοχή D να είναι αριστερόστροφη.

Τρεις διαλέξεις: Δώστε τις δεδομένες συναρτήσεις P(x,y) και Q(x,y) ως μη διακοπτόμενα πεδία D ταυτόχρονα από τα ιδιωτικά της πρώτης τάξης. Ολοκληρωμένο πάνω από το κορδόνι (L), το οποίο βρίσκεται ακριβώς στην περιοχή D και καλύπτει όλα τα σημεία στην περιοχή D: . Θετικό απευθείας στο περίγραμμα είναι τέτοιο, εάν το τμήμα του περιγράμματος περιβάλλεται από ένα αριστερό χέρι.

Η ανεξαρτησία του Umov από το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του 2ου είδους διαδρομής ολοκλήρωσης. Είναι αναγκαίο να σκεφτεί κανείς ότι το καμπυλόγραμμο ολοκλήρωμα του πρώτου είδους, που συνδέει τα σημεία Μ1 και Μ2, δεν βρίσκεται στο μονοπάτι της ολοκλήρωσης, αλλά βρίσκεται μόνο στο στάχυ και στα τελικά σημεία, ισορροπία:.

31. Επιφανειακά ολοκληρώματα πρώτου και άλλου είδους, η κύρια ισχύς και ο υπολογισμός τους.

- Υπεύθυνος επιφάνειας.

Προβάλλουμε το S σε ένα επίπεδο xy, παίρνουμε έναν πίνακα D. Σχεδιάζουμε έναν πίνακα D με μια γραμμή πλέγματος στο μέρος, που ονομάζονται Di. Από το σημείο του δέρματος της γραμμής δέρματος, σχεδιάζουμε παράλληλες γραμμές z, τότε το i S χωρίζεται σε Si. Προσθέτουμε το ολοκληρωτικό άθροισμα: . Κατευθύνουμε το μέγιστο της διαμέτρου Di στο μηδέν:, παίρνουμε:

Επιφάνεια Ce αναπόσπαστο πρώτου είδους

Έτσι μπαίνει στο παιχνίδι το επιφανειακό ολοκλήρωμα του πρώτου είδους.

Ραντεβού εν συντομία. Κατά κανόνα, υπάρχει ένα περιοριστικό όριο του ολοκληρωτικού αθροίσματος, έτσι ώστε δεν είναι δυνατό να βρεθεί ο τρόπος διαίρεσης S στο στοιχειώδες διάγραμμα Si και στην επιλογή των σημείων, το vin ονομάζεται το επιφανειακό ολοκλήρωμα του πρώτου είδους .

Κατά τη μετάβαση από το μεταβαλλόμενο x і y σε u και v:

Π το επιφανειακό ολοκλήρωμα μπορεί να έχει όλη τη δύναμη του αστρικού ολοκληρώματος. Οι ντίβες είναι υψηλότερες στο φαγητό.

Ο σκοπός του επιφανειακού ολοκληρώματος είναι διαφορετικού είδους, που είναι η κύρια δύναμη αυτού του υπολογισμού. Σύνδεσμος από το ολοκλήρωμα του πρώτου είδους.

Ας δοθεί η επιφάνεια S, που περιβάλλεται από μια γραμμή L (Εικ. 3.10). Είναι δυνατό να προστεθούν δύο κανονικές στην επιφάνεια S στην επιφάνεια S, που δεν μπορεί να είναι διπλό σημείο με τον κορδόνι L. Περιγράψτε το σημείο M πίσω από το περίγραμμα L, επιλέγοντας την κανονική ευθεία.

Αν η θέση του σημείου Μ περιστρέφεται κατά μήκος αυτής της ίδιας κανονικής (και όχι απέναντι), τότε η επιφάνεια S ονομάζεται διπλής όψης. Μπορούμε να δούμε μόνο επιφάνειες δύο όψεων. Διμερής επιφάνεια - είτε είναι λεία επιφάνεια με ίσες.

Έστω S μια ανοιχτή επιφάνεια δύο όψεων, που περιβάλλεται από μια γραμμή L, έτσι ώστε να μην υπάρχει σημείο αυτοδιασταύρωσης. Επιλέγουμε την ίδια πλευρά της επιφάνειας. Ας ονομάσουμε τη θετική άμεση παράκαμψη του περιγράμματος L μια τέτοια ευθεία γραμμή, με τη Ρωσία στην άλλη πλευρά της επιφάνειας, η ίδια η επιφάνεια είναι απαλλαγμένη από κακό. Μια επιφάνεια διπλής όψης που είναι εγκατεστημένη σε αυτήν με τόσο θετική σειρά από μια άμεση παράκαμψη των περιγραμμάτων ονομάζεται προσανατολισμένη επιφάνεια.

Ας προχωρήσουμε σε ένα επιφανειακό ολοκλήρωμα διαφορετικού είδους. Ας πάρουμε μια επιφάνεια διπλής όψης S, που σχηματίζεται από τον τελικό αριθμό τεμαχίων, δέρμα από κάποιες εργασίες ίσες με το μυαλό ή μια κυλινδρική επιφάνεια με ικανοποιητικούς παράλληλους άξονες Oz.

Έστω R (x, y, z) - μια συνάρτηση, εκχωρημένη και χωρίς διακοπή στην επιφάνεια S. Με έναν αριθμό γραμμών, το S διαιρείται με επαρκή σειρά σε n "στοιχειώδη" γραφήματα ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi , ..., ΔSn, ανεξάρτητα από υπνηλία εσωτερικά σημεία. Στον χώρο του δέρματος ΔSi, επιλέγουμε το σημείο Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) με λογική σειρά. Έστω (ΔSi)xy το εμβαδόν της προβολής του διαγράμματος ΔSi στο επίπεδο συντεταγμένων Oxy, που λαμβάνεται με το πρόσημο "+", έτσι ώστε το κάθετο προς την επιφάνεια S στο σημείο Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) ορίζει το Vіsyu Oz είναι μια εχθρική περικοπή, και με το σύμβολο "-", που σημαίνει ότι αυτή η περικοπή είναι ανόητη. Προσθέτουμε το ολοκληρωτικό άθροισμα για τη συνάρτηση R(x,y,z) στην επιφάνεια S αφού αλλάξουμε x,y: . Έστω λ η μεγαλύτερη από τις διαμέτρους ΔSi (i = 1, ..., n).

Εάν υπάρχει ένα τελικό όριο, έτσι ώστε να μην υπάρχει εμπόδιο στη διάσπαση της επιφάνειας S στο «στοιχειώδες» διάγραμμα ΔSi και την επιλογή ενός σημείου, τότε vin ονομάζεται ολοκλήρωμα επιφάνειας κατά μήκος της επιλεγμένης πλευράς της επιφάνειας S στη συνάρτηση R (x, y, z) για τις συντεταγμένες x, y (ή ένα επιφανειακό ολοκλήρωμα άλλου είδους) και εκχωρείται .

Ομοίως, είναι δυνατόν να επάγουμε επιφανειακά ολοκληρώματα για τις συντεταγμένες x, z ή y, z κατά μήκος της αντίθετης πλευράς της επιφάνειας, δηλαδή. і .

Εκτός από όλα τα ολοκληρώματα, μπορείτε να εισάγετε ένα "υψηλό" ολοκλήρωμα στην αντίθετη πλευρά της επιφάνειας: .

Ένα επιφανειακό ολοκλήρωμα άλλου είδους μπορεί να εξαρτάται από τη δύναμη του ολοκληρώματος. Είναι πιο σεβαστό ότι εάν οποιοδήποτε ολοκλήρωμα επιφάνειας άλλου είδους αλλάζει το πρόσημο της αλλαγής της πλευράς της επιφάνειας.

Σύνδεσμος μεταξύ επιφανειακών ολοκληρωμάτων του πρώτου και άλλου είδους.

Έστω ότι η επιφάνεια S είναι ίση: z \u003d f (x, y), επιπλέον, f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) - αδιάλειπτες λειτουργίεςκοντά στην κλειστή περιοχή τ (η προβολή της επιφάνειας S στο επίπεδο συντεταγμένων Oxy), και η συνάρτηση R(x,y,z) είναι συνεχής στην επιφάνεια S. πλευρές της επιφάνειας S. Todi.

Για ένα zagalny vpadku maєmo: