Υποομάδες κυκλικών ομάδων. Κυκλικές ομάδες. Sumіzhni classi, θεώρημα Lagrange

Η ομάδα Ο ονομάζεται κυκλική, καθώς όλα τα στοιχεία είναι βήματα ενός και του αυτού στοιχείου. Αυτό το στοιχείο ονομάζεται καταφατική κυκλική ομάδα Ο. Εάν μια κυκλική ομάδα είναι προφανώς Αβελιανή.

Μια κυκλική ομάδα είναι, για παράδειγμα, μια ομάδα ακεραίων για προσθήκες. Η ομάδα Qiu mi δηλώνεται με το σύμβολο 2. ї tvirnoy є αριθμός 1 (і αριθμός πλοήγησης - 1). Κυκλική ομάδα είναι επίσης μια ομάδα που αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο (μονό).

Σε μια μεγάλη ομάδα Σχετικά με τις νευρώσεις οποιουδήποτε στοιχείου g να γίνει μια κυκλική υποομάδα με ένα συμπαγές g. Η σειρά των υποομάδων, zrozumіlo, zbіgaєtsya με τη σειρά του στοιχείου g. Τα αποτελέσματα του θεωρήματος του Lagrange (διαιρ. σελίδα 32) δείχνουν ότι η σειρά οποιουδήποτε στοιχείου μιας ομάδας πρέπει να διαιρεθεί, η σειρά μιας ομάδας (με σεβασμό, ότι όλα τα στοιχεία της τελικής ομάδας είναι στοιχεία της τελικής τάξης).

Ως εκ τούτου, για οποιοδήποτε στοιχείο g της τελικής ομάδας, η σειρά μπορεί να είναι ίση

Ο απλός σεβασμός είναι συχνά λάθος.

Προφανώς, εφόσον η ομάδα είναι κυκλική και το її καθιερώνει, τότε η σειρά του στοιχείου είναι σωστή. Πίσω, ως ομάδα στοιχείων volody στη σειρά, τότε μεταξύ των βημάτων αυτού του στοιχείου είναι διαφορετικά, και σε αυτό το βήμα ολόκληρη η ομάδα Pro.

Mi bachimo, σε τέτοια κατάταξη, που μια κυκλική ομάδα μπορεί να μητρεύει ένα dekilka διαφορετικών utvoryuyuchih (η ίδια, είναι κάποιο στοιχείο τάξης є tvernoy).

Διευθυντής. Για να φέρουμε ότι μια ομάδα απλής τάξης είναι μια κυκλική ομάδα.

Διευθυντής. Φέρτε αυτό που μπορεί να παραγγείλει μια κυκλική ομάδα, εγκρίνετε ομοιόμορφα, απο-αριθμήστε θετικούς αριθμούς, μικρότερα και αμοιβαία απλούστερα s .

Με σειρά σειράς, είτε πρόκειται για ομάδα kіntsevіy, μπορείτε να προσθέσετε έναν αριθμό - το λιγότερο σημαντικό πολλαπλάσιο της τάξης όλων των στοιχείων її.

Διευθυντής. Να φέρει, για όποιο τέλος της ομάδας, τον αριθμό για να διαιρέσει τη σειρά της ομάδας.

Είναι προφανές ότι σε μια κυκλική ομάδα ο αριθμός αυξάνεται κατά σειρά. Πίσω, vzagali φαίνεται, δεν είναι αλήθεια. Ο Tim δεν είναι μικρότερος, μπορεί να σκληραίνει, που χαρακτηρίζει τις κυκλικές ομάδες στην κατηγορία των τελικών ομάδων Abelian:

τέλος Abelian ομάδα, για την οποία ο αριθμός είναι πιο προχωρημένος στην τάξη, є κυκλική ομάδα.

Σωστά, ας μην το κάνουμε

Παραγγελίες όλων των vіdmіnkh vіd odinі elementі v kіntseї abelії ї ї ї Σχετικά με την παραγγελία, і nehay - їх τουλάχιστον zagalne πολλαπλάσια.

Ας αποσυνθέσουμε τον αριθμό των πρόσθετων βημάτων διαφορετικών πρώτων αριθμών:

Αφήστε τον αριθμό Oskіlki є, για το σκοπό, το μικρότερο κοινό πολλαπλάσιο των αριθμών (1), μεταξύ των αριθμών που θέλετε να έχετε έναν αριθμό που διαιρείται ακριβώς με π.χ. Έστω ο αριθμός є η σειρά του στοιχείου g. Το ίδιο στοιχείο είναι στη σειρά (διαιρ. ακολουθία 1) στην πλευρά 29).

Σε μια τέτοια κατάταξη, για οποιονδήποτε στην ομάδα Pro іsnuє θέλει να χρησιμοποιήσει ένα στοιχείο με τη σειρά. Η δόνηση για το δέρμα είναι ένα τέτοιο στοιχείο, ας δούμε το πρόσωπό σας. Zgidno z firmzhennyam, φέρε στο πλάι. 29-30; Oskіlki ο υπόλοιπος αριθμός για το μυαλό είναι καλός, ο ίδιος ο Tim έφερε ότι στην ομάδα υπάρχει ένα στοιχείο στη σειρά του αντικειμένου Otzhe, αυτή η ομάδα είναι μια κυκλική ομάδα.

Έλα τώρα O - μια αρκετά κυκλική ομάδα με μια στριφτή και υποομάδα H - deak її. Oskіlki αν ένα στοιχείο της υποομάδας H είναι στοιχείο της ομάδας Pro, μπορείτε να το δείτε, de d - μπορεί να είναι πιο θετικός ή αρνητικός αριθμός (vzagali, sevne είναι διφορούμενο). Μπορούμε να δούμε την απροσωπία όλων των θετικών αριθμών, ποιο στοιχείο ανήκει στην υποομάδα N. Oskilki ce απροσωπία δεν είναι κενή (γιατί;), τότε εμφανίζεται ο μικρότερος αριθμός, εάν το στοιχείο h υποομάδα H είναι το βήμα του στοιχείου. Στην πραγματικότητα, για λόγους επιχειρηματολογίας, υπάρχει ο ίδιος αριθμός d, ο οποίος (ο αριθμός μπορεί να είναι αρνητικός). Διαιρέστε (υπερβολικά) τον αριθμό d με τον αριθμό

Άρα, λοιπόν, λόγω του ελάχιστου αριθμού πλεονασμάτων, φταίει στο μηδέν. Με τέτοιο τρόπο,

Ο ίδιος ο Τιμ έφερε στο φως ότι το στοιχείο είναι μια συμπαγής ομάδα Η, άρα η ομάδα Η είναι κυκλική. Otzhe, να είναι μια υποομάδα μιας κυκλικής ομάδας μιας κυκλικής ομάδας.

Διευθυντής. Φέρτε τον αριθμό στον δείκτη της υποομάδας H και, στη συνέχεια, διαιρέστε τη σειρά της ομάδας (όπως η ομάδα O Kintsev).

Με σεβασμό, για κάθε dilnik, η σειρά της τελευταίας κυκλικής ομάδας Q στην ομάδα Pro είναι μία και περισσότερες από μία υποομάδες H κατά σειρά (και η ίδια η υποομάδα είναι

Είναι προφανές ότι η κυκλική ομάδα των ενδιών είναι απλή, ότι η σειρά είναι πρώτος αριθμός (ή μονάδα).

Είναι σημαντικό το αν ένας παράγοντας (ομάδα του ίδιου, είτε ομομορφική εικόνα) μιας κυκλικής ομάδας Q είναι κυκλική ομάδα.

Για να το αποδείξετε, να θυμάστε ότι η ομάδα tvirnoi πρέπει να υπηρετεί την έξυπνη τάξη, που εκδικείται την ομάδα tvirno Pro.

Zocrema, αν ο παράγοντας της ομάδας της ομάδας των ακεραίων Z είναι κυκλική ομάδα. Vivchimo tsі tsіchіchіchі grupі prіknіshe.

Εφόσον η ομάδα Ζ είναι Αβελιανή, τότε αν η υποομάδα Ζ είναι κανονικό dilnik. Από την άλλη πλευρά, από την άποψη να φέρουμε περισσότερα, η υποομάδα Η είναι μια κυκλική ομάδα. Δεδομένου ότι ο παράγοντας της ομάδας πίσω από τις τετριμμένες υποομάδες είναι γνωστός σε εμάς, τότε μπορούμε να θεωρήσουμε την υποομάδα H ως μη τετριμμένη. Έστω ο αριθμός є που ικανοποιεί την υποομάδα N. Μπορούμε να κάνουμε τον αριθμό θετικό (γιατί;) і, επίσης, μεγαλύτερο από ένα.

Η υποομάδα Ν. σχηματίζεται, προφανώς, από όλους τους αριθμούς που υποδιαιρούνται σε. Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο δύο αριθμοί εξακολουθούν να ανήκουν μόνο σε μία κλάση αθροίσματος για την υποομάδα H, εάν η διαφορά διαιρεθεί με το , τότε εάν η βρώμα μπορεί να είναι ίση με τη μονάδα (διαίρεση μαθήματος, σελίδα 277). Σε αυτήν την κατάταξη, τα αθροίσματα της κλάσης για την υποομάδα H δεν είναι τίποτα άλλο, όπως οι κλάσεις των αριθμών, ώστε να μπορείτε να ισούεστε μεταξύ τους για την ενότητα.

Με άλλα λόγια, ο παράγοντας της ομάδας της ομάδας Z για την υποομάδα του H είναι η ομάδα (για προσθήκες) των κλάσεων αριθμών που είναι ίσες μεταξύ τους για τη μονάδα . Θα ορίσουμε αυτήν την ομάδα μέσω της τάξης έγκρισης є Її, η οποία θα εκδικηθεί τον αριθμό 1.

Φαίνεται αν η κυκλική ομάδα είναι ισόμορφη ή η ομάδα Ζ (καθώς δεν είναι περιορισμένη), ή μια από τις ομάδες (όπως η σειρά είναι ξεφλουδισμένη).

Αλήθεια, πες μου - κάνω ομάδα Ο. Σημαντικά, η έκφραση της ομάδας 2 στην ομάδα Ο, ωστόσο

Ας δούμε την πολλαπλασιαστική ομάδα και των δύο βημάτων των δύο (2Z, ), όπου 2Z = (2 n | Πε Ζ). Ανάλογο της ομάδας πρόσθετου my є είναι η προσθετική ομάδα δίδυμων ακεραίων (2Z, +), 2Z = (2n | p eΖ). Ομάδες Damo zagalne vyznachennya, okremi μπουτόν τέτοιων ομάδων є danі.

Ραντεβού 1.8. Πολλαπλασιαστική ομάδα (ΣΟΛ,) (Η προσθετική ομάδα (G, +)) ονομάζεται κυκλικόςπώς αθροίζεται από τα διαδοχικά επίπεδα (όλων των πολλαπλασίων) ενός στοιχείου a e G, tobto. G=(A p | p eΖ) (vіdpovіdno, G - (πα | p eΖ)). Ονομασία: (α), διαβάστε: κυκλική ομάδα που δημιουργείται από το στοιχείο α.

Ας ρίξουμε μια ματιά σε αυτό.

1. Η άκρη μιας πολλαπλασιαστικής μη κλιμακούμενης κυκλικής ομάδας μπορεί να είναι μια ομάδα όλων των βημάτων κύκλου ενός σταθερού ακέραιου αριθμού a f±1, υποδεικνύεται won και r.με τέτοιο τρόπο, και δ - (α).
2. Η άκρη της πολλαπλασιαστικής τερματικής κυκλικής ομάδας είναι η ομάδα C ρίζα ν-ουβήμα από μόνος. Μάντεψε ρίζα ν-ουβήμα από το ένα για να μάθετε

πίσω από τη φόρμουλα e k= cos---hisin^-, de πριν = 0, 1, ..., Π - 1. Διαφάνεια- σελ σελ

πραγματικά, З „ \u003d (e x) \u003d (e x \u003d 1, e x, ef \u003d e 2, ..., e "-1 \u003d; „_ x). Μαντέψτε τι μιγαδικοί αριθμοί ε να, να = 1, ..., Π - 1, απεικονίζονται από τους πόντους ενός μόνο πάσσαλου, γιακ Πίσα μέρη.

3. Χαρακτηριστικό παράδειγμα προσθετικής μη κλιμακούμενης κυκλικής ομάδας είναι μια προσθετική ομάδα ακεραίων Z που δημιουργείται από τον αριθμό 1, δηλαδή. Ζ = (1). Γεωμετρικά, εμφανίζεται στη θέα όλων των σημείων της αριθμητικής γραμμής. Στην πραγματικότητα, έτσι απεικονίζεται η ίδια η πολλαπλασιαστική ομάδα 2 7 - = (2) a z \u003d (a),δεκαδικός αριθμός a f±1 (διαιρ. Εικ. 1.3). Η ποιότητα των εικόνων αναλύεται στην παράγραφο 1.6.
4. Το Vibero σε μια μεγάλη πολλαπλασιαστική ομάδα σολενεργό στοιχείο ένα.Τότε όλοι οι κύκλοι των βημάτων του στοιχείου ικανοποιούν την κυκλική υποομάδα (α) = (a p p eΖ) Γ.
5. Μπορεί να αποδειχθεί ότι η αθροιστική ομάδα των ρητών αριθμών Q δεν είναι η ίδια κυκλική, αλλά αν υπάρχουν ή όχι δύο στοιχεία στην κυκλική υποομάδα.

Α. Αποδεικνύουμε ότι η προσθετική ομάδα Q δεν είναι κυκλική. Παραδεκτό απαράδεκτο: έστω Q = (-). Βασικός αριθμός στόχος σι,

μη μοιράζεσαι t. Oskіlki - eQ = (-) = sn-|neZ>, μετά ουσιαστικό-

b t/ (t J

є tsile αριθμός gs 0 so sho - \u003d n 0 -. Άλε Τόντι m = n 0 kb,

αστέρια t:- dіyshli σούπερ ευκρίνεια.

Β. Ας πούμε ότι άλλα δύο ρητοί αριθμοί -

η „ /1

i - επικάλυψη κυκλική υποομάδα (-), de tє βρείτε- d t/

λιγότερο από ένα μεγάλο πολλαπλάσιο αριθμών σιі ρε.Σωστά, ας μην το κάνουμε m-bi

, ένα 1 /1 η cv 1/1

i m = av, u, v e Z, μετά i - = - = aї-e(-)i - = - = cv-e(-).

b b i t t/ a dv t t/

Θεώρημα 1.3. Η σειρά της κυκλικής ομάδας είναι ίδια με τη σειρά του γονικού στοιχείου της ομάδας, tobto.|(α)| = | α |.

Φέρνοντας. 1. Έλα | = ">. Γνωρίζουμε ότι όλα τα φυσικά βήματα του στοιχείου έναδιαφορετικός. Παραδεκτό απαράδεκτο: έλα ακ = α τі 0 στον Todi t - πριν - φυσικός αριθμόςі a t ~ to = e. Ale tse superechit από εκείνο το scho | a = ° °.Με αυτόν τον τρόπο, όλα τα φυσικά βήματα του στοιχείου ένα raznі, zvіdki vyplivaє neskіchennіst ομάδα (α). Otzhe, | (α)| = ° ° = | α |.

2. Έλα | α | = n. (α) \u003d (e - a 0, a, a 2,..., α "-1) Από τον προσδιορισμό της κυκλικής ομάδας, η συμπερίληψη (α 0, α, α 2, ..., ο" 1-1) s (α). Ας το ανάψουμε. Πρόσθετο στοιχείο της κυκλικής ομάδας (ένα)μπορεί να φαίνεται ένα τ, de τιΖ. Κοινή χρήση schnapp σε υπερβολική ποσότητα: m-nq + r, de 0 σ. Oskilki a n = e,έπειτα ένα τ = a p i + g \u003d a p h; a r = a r e(α 0, α, Α2 ,..., a "- 1). Zvіdsi (a) s (a 0, a, a 2, ..., Με αυτή τη σειρά, (a) \u003d (a 0, a, a 2, ..., α" -ένα).

Είναι απαραίτητο να φέρουμε ότι όλα τα στοιχεία πολλαπλασιάζονται (a 0, a, Α2 ,..., και "-1) διαφορετικό. Αποδεκτό μη αποδεκτό: έστω 0 i Π, ale a" = ένα).Το ίδιο κρασί - ε ta 0 j - i - dіyshli υπερ-ευκρίνεια z umovoy | α | = Π.Το θεώρημα έχει ολοκληρωθεί.

Υποομάδες κυκλικών ομάδων

Έρχεται ένα θεώρημα που ορίζει την ύπαρξη μιας υποομάδας κυκλικών ομάδων.

Θεώρημα 1.4. Μια υποομάδα μιας κυκλικής ομάδας είναι κυκλική. Yakscho G = (a)uH - μη μόνη υποομάδα της ομάδας G, moH = (καιμι) de p - ο μικρότερος φυσικός αριθμός, όπως ένας p e N.

Φέρνοντας.Έλα G = (α) αυτό H- υποομάδα μιας ομάδας ΣΟΛ.Σαν υποομάδα H single, λοιπόν H =(στ) – κυκλική ομάδα. Ελα H- μη μόνη υποομάδα. Σημαντικά μέσω Πελάχιστος φυσικός αριθμός, άρα ένα στυλό,και ενημερώστε μας ότι H \u003d (a p).συμπερίληψη ( ένα σελ) η Hπροφανώς. Ας το ανάψουμε. Ελα h e H.Οσκίλκι G = (α),τότε είναι μια πραγματική παράσταση πριν,και λοιπόν h = a να.Ας μοιραστούμε πρινστο Πείναι πάρα πολύ: πριν = nq+ g, de 0 p. ζ Φ 0, μετά πάρτε h = a έως = a pa p h a g, αστέρια a r \u003d a ~ p hN e N.Έφτασε σε υπεροχή με ελάχιστη εμφάνιση Π.Επίσης, r = 0 i έως - nq. Zvіdsi h = a k = a p h eα"). Σε αυτόν τον βαθμό, H h ( έναιδ), αργότερα, H = (αμι). Το θεώρημα έχει ολοκληρωθεί.

Γονικά στοιχεία της κυκλικής ομάδας

Ποια στοιχεία μπορούν να δημιουργήσουν μια κυκλική ομάδα; Υπάρχουν δύο θεωρήματα που υποστηρίζουν αυτά τα δύο θεωρήματα.

Θεώρημα 1.5. Έστω σε μια κυκλική ομάδα G = (a) μη ανηγμένη σειρά. Τόντι (α) - (έναπρος την) τότε, και μόνο τότε, εάν μέχρι - ± 1.

Φέρνοντας.Ελα G = (α),|α| = ° ° i (a) = (Ακ). Todі іsnuє tіla kіlkіst Π,και λοιπόν α = α κπ. Zvіdsi a * "-1 \u003d μι,και οσκολκι | α =έπειτα kp - 1 = 0. Αλεθόδη kp = 1 ich-± 1. Η σοβαρή σκλήρυνση είναι πιο εμφανής.

Θεώρημα 1.6. Ας δώσουμε μια κυκλική ομάδα G = (a) στην τάξη m. gcd(/s, t) = 1.

Φέρνοντας.(=>) Έλα (α) = (ένα πριν),ενημερώστε μας ότι GCD(/s, t) - 1. Σημαντικά τα SNDC, t) – δ.Οσκίλκι έναμι (α) - (α έως),έπειτα α = α κπμε το σημερινό σύνολο Π.Για την ακριβή σειρά των στοιχείων, τα αστέρια τραγουδούν, scho (1 - kp) : t, tobto. ένας - kp = mtγια πραγματικό ακέραιο t. Αλέ τοδί 1 = (kp + mt) : ρε,αστέρια d = 1 і GCD(/s, t)= 1.

(Πάμε NID (k, t) = 1. Ας μάθουμε τι (ένα) = (Ακ).Ειδοποίηση (ένα πριν)η (α) είναι προφανής. Πίσω, το μυαλό GCD Αρ., t) = 1 ακόλουθοι αριθμοί іκαι v, τέτοια κι + mv= 1. Κοριστιούχης tim sho | α | - t,δεκτός a = a ku + mv = a ku a mv = a kі e (α έως). Otzhe, (α) = (α προς). Το θεώρημα έχει ολοκληρωθεί.

Μάντεψε Λειτουργία EulerΤο f(t) σημαίνει τον αριθμό των φυσικών αριθμών, ο οποίος δεν αλλάζει τον φυσικό αριθμό tκαι αμοιβαία απλή t.Ακούγεται σαν μια εμμονική συνέπεια.

Συνέπεια.Κυκλική ομάδα (ένα)Σειρά t maє f(t) διαφορετικών στοιχείων, τα οποία δημιουργούνται.

Για τη δεδομένη γεωμετρική ακρίβεια του Θεωρήματος 1.5, αντιπροσωπεύουμε την κυκλική ομάδα G = (α)Σειρά tσημεία στοιχήματος A 0, A b ..., A t _ bχωρίστε το σε tίσα μέρη. στοιχείο α προςδεδομένες ομάδες που δείχνουν σημεία Και πρινθα δημιουργήσει μερικά και μόνο μερικά, εάν, διαδοχικά, τα σημεία A 0, Ακ, Α 2κκ.λπ., θα έρθουμε στο σημείο Α]. Ας τα μάθουμε όλα πρινστο t= 10 ας απαριθμήσουμε απλώς το vipadkіv (Εικ. 1.5). Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε πριν =1,3, 7, 9. Για μια κυκλική ομάδα (ένα) tse σημαίνει ότι (a) \u003d (a 3) \u003d (a 7) \u003d (a 9). πίσω: ξέρω πριν,αμοιβαία απλή με τον ίδιο αριθμό t,μπορείτε ευγενικά να vikreslyuvaty vodpovidnu "zirochka", γνωρίζοντας σταθερά ότι η πρώιμη γουλιά chi pizno στο σημείο του δέρματος, περισσότερο (a) = ( έναπρος την).

Ελα σολ– ομαδοποιήστε αυτό το στοιχείο ένα σολ. Η σειρά του στοιχείου a (που υποδεικνύεται με ׀а׀) ονομάζεται ο μικρότερος φυσικός αριθμός nΝ, τι

ένα n = ένα . . . . ένα =1.

Εάν ένας τέτοιος αριθμός δεν είναι γνωστός, τότε φαίνεται ότι ένα- Στοιχείο ασυνεπούς τάξης.

Λήμμα 6.2. Yakscho ένα κ= 1, λοιπόν κδιαίρεση κατά σειρά στοιχείων ένα.

Ραντεβού.Ελα σολ- αυτή η ομάδα ένα σολ. Todi bezlich

H = (ak ׀ k }

є υποομάδα της ομάδας G, όπως ονομάζεται κυκλική υποομάδα που δημιουργείται από το στοιχείο a (υποδεικνύεται με H =< а >).

Λήμμα 6.3.Κυκλική υποομάδα H, που δημιουργείται από το στοιχείο έναΣειρά n, є τελική σειρά ομάδας n, Εξάλλου

H = (1 = a 0, a, ..., a n-1).

Λήμμα 6.4.Ελα ένα- Στοιχείο ασυνεπούς τάξης. Ίδια κυκλική υποομάδα H = <ένα> - ξεφλουδισμένο και να είναι-οποιοδήποτε στοιχείο s Hεγγραφείτε στο θέαμα ένα κ , πρινΖ, εξάλλου, σε ενιαία βαθμίδα.

Η ομάδα ονομάζεται κυκλικός yakscho κέρδισε zbіgaєtsya z odnієyu zіh svoїkh tsіchnyh υποομάδες.

πισινό 1. Προσθετική ομάδα Ζόλων των ακεραίων είναι μια άπειρη κυκλική ομάδα που δημιουργείται από το στοιχείο 1.

πισινό 2.Απρόσωπες ρίζες n-ο βήμα από την 1η κυκλική ομαδική παραγγελία n.

Θεώρημα 6.2.Εάν μια υποομάδα μιας κυκλικής ομάδας είναι κυκλική.

Θεώρημα 6.3.Εάν μια απείρως κυκλική ομάδα είναι ισόμορφη σε μια προσθετική ομάδα ακεραίων αριθμών Ζ. Είτε πρόκειται για ένα κυκλικό σύστημα kіntseva nισόμορφο προς την ομάδα όλων των ριζών n-ο βήμα από το 1.

Κανονική υποομάδα. παράγοντας ομάδας.

Λήμμα 6.5.Ελα H- Υποομάδα μιας ομάδας σολ, με βάση όλες τις αριστερές κλάσεις αθροίσματος ταυτόχρονα є i δεξιές αθροιστικές κλάσεις. Todi

aH=Ha, ένα σολ.

Ραντεβού.Υποομάδα Hγκρουπ σολονομάζεται κανονική μέσα σολ(αναφέρεται Hσολ), επειδή όλα και τα αριστερά summіzhnі classi είναι σωστά, έτσι

aH=Ha, ένασολ.

Θεώρημα 6.4. Ελα H
σολ, Γ/Ν– απρόσωπο όλων των αθροιστικών τάξεων της ομάδας σολανά υποομάδα H. Πώς να πολλαπλασιαστεί Γ/Νλειτουργία πολλαπλασιασμού

(aH)(bH) = (ab)H,

έπειτα Γ/Νγίνεται ομάδα, καθώς ο παράγοντας ονομάζεται ομάδα ομάδας σολανά υποομάδα H.

Ομαδικός ομομορφισμός

Ραντεβού.Ελα σολ 1 i σολ 2 - ομάδες. Todi ζύμωση φά: σολ 1
σολ 2 ονομάζεται ομομορφισμός σολ 1 in σολ 2, όπως

φά(αβ) = φά(ένα)φά(σι) , α, β σολ 1 .

Λήμμα 6.6.Ελα φά– ομαδικός ομομορφισμός σολ 1 στην ομάδα σολ 2. Todi:

1) φά(1) - ενιαία ομάδα σολ 2 ;

2) φά(ένα -1) = φά(ένα) -1 ,ένασολ 1 ;

3) φά(σολ 1) - υποομάδα μιας ομάδας σολ 2 ;

Ραντεβού.Ελα φά– ομαδικός ομομορφισμός σολ 1 στην ομάδα σολ 2. Todi bezlich

κερφά = {ένασολ 1 ׀φά(ένα) = 1σολ 2 }

ονομάζεται πυρήνας του ομομορφισμού φά .

Θεώρημα 6.5. κεεε φά
σολ.

Θεώρημα 6.6.Να είστε μια κανονική υποομάδα μιας ομάδας σολє ο πυρήνας κάθε ομομορφισμού.

Κίλτσια

Ραντεβού.Άδειο απρόσωπο Πρινπου ονομάζεται kіltsem, όπως και στη νέα, εκχωρούνται δύο δυαδικές πράξεις, όπως ονομάζονται προσθέσεις και πολλαπλασιασμοί και ικανοποιούν τα προοδευτικά μυαλά:

Πριν- Ομάδα του Abel για περαιτέρω επιχειρήσεις.

πληθυντικός συνειρμικός;

vikonuyutsya νόμοι της διανομής

Χ(y+z) = xy+xz;

(x+y)z = xz+yz, x,y,zκ.

βαρέλι 1. Bezlich Qі R- Κίλτσια.

Kіltse ονομάζεται ανταλλακτική, σαν

xy=yx, x,yκ.

πισινό 2. (Porivnyannia). Ελα Μ- σταθερός φυσικός αριθμός, έναі σι- Dovіlnі tsіlі αριθμός. Ίδιος αριθμός έναταιριάζει με τον αριθμό σιπίσω από τη μονάδα Μως λιανικό εμπόριο ένα – σινα χωριστεί σε Μ(γραπτός: ένασι(τροπ Μ)).

Βαθμολογία ίση με τη ρύθμιση της ισοδυναμίας στο απρόσωπο Ζ, τι σπάει Ζστην τάξη, yakі κλήσεις κλάσεων vіdrahuvan για την ενότητα Μκαι σημαίνουν Ζ Μ. Μπέζλιχ Ζ Μє ανταλλάξιμος δακτύλιος με ενότητα.

χωράφια

Ραντεβού.Το πεδίο ονομάζεται κενό, απρόσωπο R, Για να εκδικηθεί όχι 2 στοιχεία, με δύο δυαδικές πράξεις να αναδιπλώνονται και να πολλαπλασιάζονται έτσι ώστε:

πισινό 1. Μπέζλιχ Qі Rαπεριόριστα πεδία.

πισινό 2. Μπέζλιχ Ζ r- Πεδίο Kіntseve.

Δύο στοιχεία έναі σιχωράφια R vіdminnі vіd 0 ονομάζονται dilers του μηδενός, όπως αβ = 0.

Λήμμα 6.7.Το πεδίο δεν έχει αριθμό μηδενικών.

Έστω g ένα επιπλέον στοιχείο της ομάδας G. Todi, αποδεχόμενοι την ελάχιστη υποομάδα
, που δημιουργείται από ένα στοιχείο
.

Ραντεβού. Ελάχιστη υποομάδα
, που δημιουργείται από ένα στοιχείο g της ομάδας G, ονομάζεται κυκλική υποομάδαομάδα G.

Ραντεβού. Όπως και ολόκληρη η ομάδα G γεννιέται από ένα στοιχείο, δηλαδή.
, τότε λέγεται κυκλική ομάδα.

Ελα στοιχείο της πολλαπλασιαστικής ομάδας G, η ίδια ελάχιστη υποομάδα, που δημιουργείται από αυτό το στοιχείο, σχηματίζεται από το στοιχείο στο μυαλό

Ας δούμε το βήμα του στοιχείου , έπειτα. στοιχεία

Δύο δυνατότητες:

1. Usі step element g raznі, tobto.

, τότε εδώ για να πούμε ότι το στοιχείο g δεν μπορεί να μειωθεί με τη σειρά.

2. Є zbіgi βήματα, tobto. , μπύρα
.

І εδώ το στοιχείο g είναι η τελική σειρά.

Σωστά, πες μου, για παράδειγμα,
і
Τόντι,
, έπειτα. θετικά βήματα
στοιχείο
, ίσο με ένα μόνο στοιχείο.

Έστω d - ο λιγότερο θετικός δείκτης του επιπέδου του στοιχείου , για το οποίο
. Τότε φαίνεται ότι το στοιχείο
Μάιος τελευταία σειρά, ίση με d.

Visnovok. Έχετε ένα είδος ομάδας G τελευταίας τάξης (
) όλα τα στοιχεία θα είναι σε τελική σειρά.

Έστω g ένα στοιχείο της πολλαπλασιαστικής ομάδας G ή μια πολλαπλασιαστική υποομάδα
αθροίζεται από όλα τα διαφορετικά βήματα του στοιχείου g. Otzhe, ο αριθμός των στοιχείων στην υποομάδα
zbigaєtsya με τη σειρά του στοιχείου tobto.

αριθμός στοιχείων σε μια ομάδα
διορθώστε τη σειρά του στοιχείου ,

Από την άλλη πλευρά, μπορεί να είναι η ίδια σκληρότητα.

Σταθερότητα. Σειρά όποιο κι αν είναι το στοιχείο
με τη σειρά της ελάχιστης υποομάδας που δημιουργείται από αυτό το στοιχείο
.

Φέρνοντας. 1.Yakscho - Στοιχείο της τελικής τάξης , έπειτα

2. Yakscho - Ένα στοιχείο ασυνεπούς τάξης, τότε μην φέρετε τίποτα.

Στοιχείο Yakscho μπορεί να παραγγείλει , τότε, για το σκοπό, όλα τα στοιχεία

διαφορετικό και να είναι ένα βήμα zbіgaєtsya με ένα από αυτά τα στοιχεία.

Αλήθεια, αφήστε το επιδεικτικό βήμα
, έπειτα. - Αρκετός αριθμός και μην πας
. Ίδιος αριθμός μπορεί να φανεί με μια ματιά
, ντε
,
. Todі, vikoristuuuuuuuuuuuu το επίπεδο ισχύος του στοιχείου g,

Zokrema, yakshcho.

βαρέλι. Ελα
- Η αβελιανή ομάδα ακεραίων είναι προσθετική. Η ομάδα G σχηματίζεται από μια ελάχιστη υποομάδα, που δημιουργείται από ένα από τα στοιχεία 1 ή –1:

otzhe,
- Bezkіnechna tsiklіchna ομάδα.

Κυκλικές ομάδες τελικής τάξης

Όπως ένα παράδειγμα κυκλικής ομάδας τελικής τάξης, είναι ξεκάθαρο μια ομάδα τυλίγοντας το σωστό n-kutnik shodo yogo στο κέντρο
.

Στοιχεία Groupi

є στρέψτε το n-kutnik ενάντια στο βέλος του godinnikov στο kuti.

Στοιχεία Groupi
є

και από τον γεωμετρικό κατοπτρισμό είναι σαφές ότι

ομάδα
να εκδικηθεί τα στοιχεία, tobto.
, αλλά το ικανοποιητικό στοιχείο της ομάδας
є , έπειτα.

Ελα
todi (διαιρ. εικ. 1)

Ρύζι. ένας – ομάδα - ένα περιτύλιγμα του σωστού trikutnik ABC shodo στο κέντρο O.

Αλγεβρική πράξη  σε ομάδα - Το τελευταίο τύλιγμα ενάντια στο βέλος του έτους, στο kut, πολλαπλάσιο , έπειτα.

Στοιχείο Zvorotny
- τύλιγμα πίσω από το βέλος του έτους στο kut 1, tobto.

Πίνακας Κμιchi

Η ανάλυση των ομάδων kіntsevyh είναι πολύ πιθανό να χρησιμοποιηθεί εκ των προτέρων για τους πρόσθετους πίνακες του Keli, καθώς και για την εισαγωγή του "πίνακα πολλαπλασιασμού".

Αφήστε την ομάδα G να εκδικηθεί τα στοιχεία n.

Κατά τη γνώμη μου, ο πίνακας Keli є τετράγωνη μήτραυπάρχουν n σειρές και n σειρές.

Στη σειρά του δέρματος και στο στρώμα δέρματος, ένα ή περισσότερα από ένα στοιχεία της ομάδας.

στοιχείο πίνακας Kelі, scho να στέκεται στον αμφιβληστροειδή της i-ης σειράς και της j-ης στήλης, στο αποτέλεσμα της λειτουργίας "πολλαπλασιασμού" του i-ου στοιχείου με το j-ο στοιχείο της ομάδας.

βαρέλι. Αφήστε την ομάδα G να εκδικηθεί τρία στοιχεία (g1, g2, g3). Λειτουργία στην ομάδα «πολλαπλασιασμού». Σε αυτό το σημείο, το τραπέζι του Keli μπορεί να φαίνεται:

Σεβασμός. Στη γραμμή δέρματος και στη στήλη δέρματος του τραπεζιού Keli, βρίσκονται όλα τα στοιχεία της ομάδας και δεν υπάρχει δυσωδία. Πίνακας Keli για να αντικαταστήσετε όλες τις πληροφορίες σχετικά με την ομάδα. Τι μπορείτε να πείτε για τη δύναμη αυτής της ομάδας;

1. Το μόνο στοιχείο αυτής της ομάδας είναι το g1.

2. Η ομάδα είναι αβελιανή γιατί ο πίνακας είναι συμμετρικός κατά μήκος της κύριας διαγωνίου.

3. Για το στοιχείο δέρματος της ομάδας, είναι απαραίτητο να

για g 1 περιτύλιγμα є στοιχείο g 1 για g 2 στοιχείο g 3 .

Πάμε για γκρουπ Πίνακες κυττάρων.

Για τη σημασία του κεντρικού στοιχείου για το στοιχείο, για παράδειγμα, , απαραίτητο για μια σειρά, για ένα συγκεκριμένο στοιχείο γνωρίζουν stovpets εκδίκηση στοιχείο . στοιχείο vidpovіdny δίνεται στο stovptsyu i є vorotnym στο στοιχείο , επειδή
.

Όπως ο πίνακας Keli είναι συμμετρικός όπως η διαγώνιος της κεφαλής, το tse σημαίνει αυτό

- Τομπτο. η λειτουργία της αναλυόμενης ομάδας είναι ανταλλακτική. Για λόγους επιχειρηματολογίας, ο πίνακας Keli είναι συμμετρικός αν και η διαγώνιος της κεφαλής σημαίνει ότι η πράξη σε ανταλλακτική, δηλαδή.
,

μία ομάδα - Αμπελόβα.

Μπορείτε να δείτε ολόκληρη την ομάδα των μετασχηματισμών της συμμετρίας του σωστού n - cosin έχοντας προσθέσει στη λειτουργία το τύλιγμα της πρόσθετης λειτουργίας μιας ευρύχωρης στροφής γύρω από τους άξονες συμμετρίας.