Homojen bir doğrunun kütle merkezinin koordinatlarını bulun. Bir balenli integral yardımı için düz sınırlı bir şeklin ağırlık merkezi nasıl hesaplanır? Tipik bir rozrahunka'nın vikonanny düzeni

Evdekilerin kütlesinin merkezi olan vücudun sınırında podіlu yoga yöntemiyle hedefin poposunu vücudun kütlesinin merkezine yönlendireceğiz.

popo 1. Homojen bir plakanın kütle merkezinin koordinatlarını belirleyin (Şekil 9). Görevleri milimetre cinsinden hesapla bebeğim 9.

Çözüm: i koordinat eksenlerini gösteriyoruz. Plakayı üç düz kesimle parçalara ayırıyoruz. Dermal rektus için, çapraz çubuğun noktaları dermal rektus kütlesinin merkezinin konumunu gösteren köşegenler çizilir. Kabul edilen koordinat sisteminde koordinat ve noktaların değerlerini hesaplamak kolay değildir. Ve kendine:

(-1; 1), (1; 5), (5; 9). Cilt gövdesinin alanları orta derecede iyileştirilmiştir:

; ; .

Tüm plakaların alanı iyidir:

Verilen plakanın kütle merkezine koordinatların atanması için viraz (21) gereklidir. Bilinen tüm miktarların değerini temsil ediyoruz bu adam eşit, alınmış

Plakanın kütlesinin merkezine koordinatların değerini otrimanih'e kadar Vіdpovіdno, küçük olan üzerinde bir nokta belirleyebilirsiniz. Görüldüğü gibi levhanın kütle merkezi (geometrik nokta) sınırların gerisinde yer almaktadır.

Toplama yöntemi. Tsej sposіb є chastkovy vpadkom yolu podіlu. Vіn zastosovuvatisya için olabilir, yakі mаyut virіzi (boş). Ayrıca, bir vir_zanoї olmadan vücudun kütle merkezinin konumunun bir kısmı görülebilir. Örneğin, zastosuvannya'nın böyle bir yöntemine bakalım.

popo 2. R yarıçaplı yuvarlak bir plakanın vaga kütlesinin merkezinin konumunu, r yarıçaplı de є virіz'i belirleyin (Şekil 10). Hadi.

Çözüm: Bachimo gibi, Şekil 10'daki plakanın kütle merkezi plakanın simetri ekseni üzerindedir, yani düz bir çizgi üzerinde, kırıklar düzdür, tüm simetri. Bu nedenle, plakanın kütle merkezine konum atamak için sadece bir koordinat atamak gerekir, ancak diğer koordinatlar simetri eksenine çizilecek ve sıfıra eşit olacaktır. Koordinat eksenlerini gösterelim. Plakanın iki gövdeden oluştuğu kabul edilir - yeni bir kazıktan (viriz olmadan değil) o gövde, virizli nibi vikonane gibi. Kabul edilen koordinat sisteminde, cisimlerin belirlenmesi için koordinatlar şunlardır: .Cisimlerin alanları: ; . Tüm vücudun toplam alanı, birinci ve diğer vücudun alanları arasındaki farka daha eşittir ve

Değerleri hesapla m, ve (4), (5) ve (7) formüllerinin eşleşmesi gereklidir. Sonuç olarak, alıyoruz ince levhanın kütle merkezinin koordinatları için formüller :

Popo 4 (tek tip bir elbisenin kütlesinin merkezine koordinatların hesaplanması)

Çizgilerle çevrili homojen bir şeklin kütle merkezinin koordinatlarını bulun ve .

Figüre ilham verdikten sonra, geometrik olarak dışa dönük ve düz bir çizgi gibi simetrik olduğunu not ediyoruz. sağlak. Ardından, verilen fiziksel güçlerin arkasına, şarapların simetri ekseninde bulunduğu kütlenin merkezini koyuyoruz, böylece

Hesaplamak için statik momenti toplayın ve (4) ve (5) formüllerini kazanın:

;

Öneri: C.

Üçüncü integrallerin katkıları

Ek entegrasyon programları, alt integrallerin eklerine benzer, ancak yalnızca trivimerler içindir.

Üçlü integralin kuvvetlerinden birini kazanmak istiyorsanız (fonksiyonun yaklaşık aynı değeri, aynı zamanda bir ile aynı), o zaman gidin yükümlülüğün hesaplanması için formül geniş gövde :

Obyagu için formülü yazalım üçüncü integral ve silindirik koordinatlarda hesaplanabilir kayıp integrali:

Vidpovid: (tek başına zorunlu).

V hacmini ödünç alan önemsiz bir nesnenin kütlesini hesaplama formülü, görünebilir:

(13)

İşte rozpodіlu masi schіlnіst hacmi.

popo 6

Soğuk yarıçapın kütlesini bilin R boşluk merkezdeki ve tek duvardaki küple nasıl orantılıdır k.

V: temel hacim ta .

Üç zamanlı integrali hesaplarken, daha fazla integral bulunmadığını, dış integrallerin değişmesi durumunda iç integrallerin yongalarının nadas gibi göründüğünü belirtmekte fayda var.

Vidpovid: (tek masi).

Bağlama için mekanik özellikler V(Statik momentler, atalet momentleri, kütle merkezinin koordinatları) aşağıdaki gibi formüllere göre hesaplanır.

iki dünya cisimleri için formüllerle benzetme yoluyla katlanmış.

Koordinat eksenleri boyunca temel statik momentler ve atalet momentleri:

koordinat düzlemleri boyunca temel atalet momentleri ve koordinatların koçanı üzerindeki noktalar:

Dali, tüm obyagu'nun mekanik özelliklerini hesaplamak için V Dökümün tüm bölümleri için özelliklerin temel eklemelerini toplamak (toplanabilirliğin en büyük gücünün özellikleri sayılır) ve sonra toplamda aklın ötesinde olan sınıra gitmek gerekir. arızanın temel kısımları değişecektir (puanlara sözleşme). Miktarlar, zorunlu olarak hesaplanan mekanik özelliklerin temel bir ekinin entegrasyonu olarak tanımlanır. V.

Sonuç olarak gel М statik momentlerini ve I eylemsizlik momentlerini hesaplamak için formüller :

Gerçekten de hazır oldukları gibi galip gibi formüller formüle ettiler ve onları virishuvany görevlerine yönlendirdiler.

7 uygulayın (üç boyutlu cisimlerin mekanik özelliklerinin hesaplanması)

Yüksekliği olan düzgün bir silindirin atalet momentini bulun. h ve taban yarıçapı R, nasıl eksen, hangi tabanın çapı ile zbіgaєtsya.

Biliyoruz d silindirin kısmi bir noktası için:

eksene koordinatları olan bir noktaya hareket – noktanın merkezinden eksene çizilen dikmenin uzunluğu . Nokta bu düzlemde olacak şekilde düzlemi eksene dik yapalım. O zaman düz ol, bu her şeyi kesiyor ve bu düzlemde yatıyor, dik olacak . Bir noktayı ve bir noktayı birleştiren düz çizgi olan Zokrema, eksene dik olacak ve bu noktaların arasında durursanız, bir shukana olacaksınız. d. İki nokta arasında verilen formül için yogayı hesaplayın.

3 Temel integrallerin eklenmesi

3.1 Teorik giriş

Programlara bir göz atalım balenli integral düşük geometrik görevlerin ve mekaniğin görevlerinin zirvesine.

3.1.1 Düz plaka alanı hesaplaması

İnce bir malzeme plakasına bakalım D, dairede genişletilmiş ohu. alan S tsієї plakaları, formül için düşük akım integralinin yardımı için bulunabilir:

3.1.2 Statik momentler. Düz plaka kütle merkezi

statik an M x shodo ekseni Öküz maddi nokta P(x;y) daireye yakın olan oksi ve maє masu m, її ordinatı, tobto üzerindeki dobutok masi noktaları olarak adlandırılır. M x = benim. Benzer şekilde, statik moment M y shodo ekseni ah: ­ ­ ­ M y = mx. Statik anlar yüzey yuvalı düz plakalar γ = γ (x, y) aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

Mekanikten görüldüğü gibi, koordinatlar x c ,y c düz bir malzeme sisteminin kütle merkezleri eşitliklerle tanımlanır:

de m- Masa sistemi ve M xі M y- Sistemin statik anları. Düz plaka ağırlığı m formül (1) ile belirlenen, düz bir plakanın statik momentleri formül (3) ve (4) kullanılarak hesaplanabilir. Todi, zgіdno z formülleri (5), düz plakanın kütlesinin merkezine koordinatlar için viraz alınır:

Tipik rozrahunok iki görevin intikamını alır. Cilt doktoruna düz bir tabak verilir. D, görevin zihni için gösterilen çizgilerle çevrili. G(x,y) - plakanın yüzey boşluğu D. Plaka sayısını bilmek için: 1. S- Meydan; 2. m- Masu; 3. M y , M x- Eksenler için statik anlar Oyі ey açıkça; 4. , - Kütle merkezinin koordinatları.

3.3 vykonannya tipik rozrahunku sırası

Bir cilt görevi gerçekleştirirken aşağıdakiler gereklidir: 1. Sandalyeyi belirli bir alandan çıkarın. Alt integrallerinin hesaplanacağı bir koordinat sistemi seçin. 2. Seçilen koordinat sisteminde düzensizliklerin görsel sisteminin alanını kaydedin. 3. Alanı hesaplayın S ta masu m(1) ve (2) formüllerini takip eden plakalar. 4. Statik momentleri hesaplayın M y , M x formül (3) ve (4). 5. Formül (6)'yı kullanarak merkez kütlenin koordinatlarını hesaplayın. Kütlenin merkezini koltuğa uygulayın. Sonuçları almanın görsel (yakish) kontrolünü suçluyoruz. Sayısal sayılar, sayı üçlüsünden alınabilir.

3.4 Tipik bir bornoz uygulayın

Görev 1. plaka Dçizgilerle çevrili: y = 4 – x 2 ; X = 0; y = 0 (x ≥ 0; y≥ 0) Yüzey kalınlığı γ 0 = 3. Çözüm. Problemde belirtilen alan bir parabol ile çevrilidir. y = 4 – x 2 , koordinat eksenleri ilk çeyrekte uzanıyor (Şekil 1). Görev, Kartezyen koordinat sisteminde değiştirilir. Bu alan bir düzensizlik sistemi ile tanımlanabilir:

Pirinç. bir

alan S plakalar daha kararlıdır (1): Plaka tekdüze olduğundan, m = γ 0 S= 3 = 16. (3), (4) formüllerinin arkasında, plakanın statik momentlerini biliyoruz: Merkez kütlenin koordinatları formül (6) ile verilir: Öneri: S ≈ 5,33; m = 16; M x = 25,6; M y = 12; = 0,75; = 1,6.

Görev 2. plaka Dçizgilerle çevrili: X 2 + de 2 = 4; X = 0, de = X (X ≥ 0, de≥ 0). Yüzey kalınlığı γ (x,y) = de. Çözüm. Plaka, koordinat koçanı içinden geçen düz çizgiler ve bir kazık ile çevrilidir (Şekil 2). Bu nedenle, görevin tamamlanması için kutupsal koordinat sistemini manuel olarak kopyalamak gerekir. kutup kutbu φ π/4'ten π/2'ye değiştirin. Promin, direkten plakadan geçerek, önüne ρ = 0'da "gir" ve hisseyi "gir", eşit: X 2 + de 2 = 4 <=>p = 2.

Pirinç. 2

Yine, belirli bir alan bir düzensizlik sistemi ile yazılabilir: Plakanın alanı formül (1) ile bilinir: Plakanın kütlesi formül (2) ile bilinir, yerine γ (x,y) = y = ρ günah φ :
Plakanın statik momentlerinin hesaplanması için formül (3) ve (4) kullanabiliriz:
Kütle merkezinin koordinatları formül (6)'dan alınmıştır: Öneri: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; M x = 2,57; M y = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 Sesi tasarlama

Yıldızlar, tüm vikonan rozrahunka'nın, düzgünce vikonan koltuklarının bir temsiline sahip olabilir. Sayısal sayılar, sayı üçlüsünden alınabilir.

– ağırlık merkezi hesaplaması düz saçaklı şekil . Zengin okuyucu, ağırlık merkezinin ne olduğunu sezgisel olarak anlar, derslerden birinin materyalini tekrarlamanızı öneririm analitik geometri de çözdüm zavdannya trikutnik'in ağırlık merkezi hakkında ve fiziksel terimi deşifre eden erişilebilir bir biçimde.

Bağımsız ve kontrol görevlerinde, mükemmellik için, kural olarak, en basit vipadok yayılır - daire çevrilidir homojen bir rakam, postiynoї fiziksel güç - cam, derev'yana, pewter'yana chavunnі gry, sert çocukluk incedir. umovchannyam mova için Dali, bu tür rakamlar hakkında çok şey söylüyor =)

İlk kural en basit popo: rakam düz olsa da simetri merkezi, sonra vin є ağırlık merkezi şekil. Örneğin, yuvarlak bir üniform plakanın merkezi. Mantıklı ve yaşam bilincine sahiptir - böyle bir figürün kütlesi, merkez gibi “her tarafa oldukça dağılmıştır”. İnan - istemiyorum.

Ancak, gerçekte meyan kökü vermeniz pek olası değildir. eliptik çikolata Tom ciddi bir mutfak aletiyle uğraşmak zorunda kalacak:

Üniform bir düz çevrelenmiş şeklin ağırlık merkezinin koordinatları, ilerleyen formüllerle kapsanır.:

, veya:

, de - bölgenin alanı (rakamlar); ama kısaca:

, de

İntegral zihinsel olarak “ixovim” integrali olarak adlandırılır ve integral “igrom” integralidir.

Kabul-bitirme : düz çizgili için heterojen genişliği fonksiyon tarafından verilen rakamlar, katlama formülleri:
, de - Masa figürleri;tek tip güç zamanlarında, koku daha fazla formülün tanıtılması için affedilecektir.

Formüller, vlasne, tüm yenilikler ve sonlar, reshta - tüm vminnya'nız virishuvati bölge altı integralleri deyim yerindeyse, kişi hemen tekniğini geliştirmek ve mükemmelleştirmek için mucizevi bir yeteneğe sahip olmayı umar. Ve titizlik, göründüğü gibi, fark yok =)

Parabollerin büyük bir kısmını atmak:

popo 1

Çizgilerle çevrili tek tip düz bir figürün vaga merkezinin koordinatlarını bulun.

Çözüm: buradaki çizgiler temeldir: tüm apsisi ayarlayın ve eşit - bir parabol, böylece yardım almanız kolay olacaktır grafiklerin geometrik dönüşümü:

– parabol, 2 birim sola ve 1 birim aşağı itti.

Tüm koltuğu, figürün kaprisli merkezinin ortasına hazır bir nokta ile dikiyorum:

Bir arkadaşı yönet: figürde ne var tam simetri, o zaman bu şeklin ağırlık merkezi kendi ekseni üzerinde yatmak zorundadır..

Figürümüz shodo'ya simetrik dümdüz yani aslında "em" noktasının "ix" koordinatını zaten biliyoruz.

Yer değiştirmelerin ağırlık merkezinin dikey boyunca apsis eksenine daha yakın olduğuna dikkat etmek de önemlidir, osilatörler büyük bir rakamdır.

Bu nedenle, belki de herkes vaga'nın merkezinin nasıl olduğunu henüz anlamadı: nazik olun, parmağınızı yokuş yukarı kaldırın ve yeni gölgeli "ayağa" bir nokta koyun. Teorik olarak, rakam düşmekten suçlu değildir.

Şeklin ağırlık merkezinin koordinatları formüllerle bilinir. de.

Alanı (şekilleri) atlama sırası burada açıktır:

Saygı duymak! En uygun baypas sırasına göre belirlenir bir Zamanlar- Ben vikoristovuemo yoga hepsi için Birleşik!

1) Arkada şekillerin alanını hesaplıyorum. İntegralin bariz basitliği sayesinde, çözüm, hesaplamalarda kaybolmamak için kompakt, smut olarak düzenlenebilir:

Koltuğa hayran oluyoruz ve meydandaymış gibi yapıyoruz. Viyshlo bіlya yap.

2) Ağırlık merkezinin x koordinatı “grafik yöntemi” ile zaten bulundu, böylece simetriye başvurabilir ve bir sonraki noktaya gidebilirsiniz. Ancak, yine de böyle çalışmak bir rajah değil - "formülü kazan" formülünü reddetmenin iyi bir fikir olduğunu düşünmek harika.

Burada şarap rengi hesaplamalarla uğraşmanın mümkün olduğuna saygı gösterin - bazen kesirleri çifte standart haline getirmek ve bir hesap makinesine eziyet etmek zorunlu değildir.

Bu şekilde:
, Ne ve almak gerekir.

3) Ağırlık merkezinin koordinatını biliyoruz. Yunan integralini hesaplayalım:

Ve hesap makinesi olmadan buradaki eksen zor olurdu. Zengin bölünmüş üyelerin çokluğu sonucunda 9 üye olduğu, ayrıca deacon'ların onlara benzediği her değişiklik hakkında yorum yapacağım. Benzer dodanki ağızdan aşılandım (böyle vipadkalarda nasıl robiti gibi konuşulur) ve hemen çantanın toplamını yazmak.

Sonuç olarak:
ki bu gerçeğe giderek daha çok benziyor.

Son aşamada, koltuk lekesi üzerinde işaretlenir. Zihin için bir koltuk yapmak gerekli değildi, ancak daha fazla sayıda, istemesem de bir figürü tasvir etmek istiyorum. Natomist delice bir artı - sonucun görsel ve etkili bir şekilde yeniden doğrulanması.

Vidpovid:

Bağımsız bir çözümün iki izmaritine gelin.

popo 2

Çizgilerle çevrili tek tip düz bir figürün vaga merkezinin koordinatlarını bulun

Konuşmadan önce, gördüğünüz gibi, bir parabolün karıştırıldığı ve her şeyin tersine döndüğü noktalar döndürüldüğü gibi, o zaman burada gerçekten bir koltuk olmadan yapabilirsiniz.

І katlama:

popo 3

Çizgilerle çevrili tek tip düz bir figürün vaga merkezini bulun

Bütçe sonrası programın zorluk zamanlarında, vivchit (tekrar) parabolik ders ve/veya popo 11 numara Çaydanlıklar için asma integraller.

Bir ders gibi Srazkovі zrazki çözümü.

Ayrıca yan taraftaki arşivlerde bir düzine kadar benzer uygulama bulunabilir. Matematiğiniz için hazır çözümler.

Eh, yardım edemem ama lütfen aşıklar ileri matematik, Ne sıklıkta benden önemli görevleri çözmemi istersin:

popo 4

Çizgilerle çevrili tek tip düz bir figürün vaga merkezini bulun. Bu її ağırlık merkezinin figürü koltukta tasvir edilmiştir.

Çözüm: umova tsієї zadachi vzhe kategorik olarak vmagaє vykonannya koltuk Aje vimoga resmen nastіlki değil! - Tsyu figürü zdatna zihinde orta eğitim seviyesinden bir kişiyi ortaya çıkarmak için:

2 parça üzerinde düz roz_kaє kolo ve ek koruma (Böl. doğrusal düzensizlikler) Küçük bir gölgelendirme shmatochok hakkında kendim gidebileceğime dikkat çekiyorum.

Şekil simetrik ve görsel olarak düzdür (noktalı bir çizgi ile gösterilir), ağırlık merkezi bu çizgide yatmaktan sorumludur. І yogo koordinatlarının eşit olduğu açık modülün arkasında. Affetmeyi pratikte açan bir kılavuz!

Şimdi bu pis bir yenilik =) Ufukta, Uygulamalı No. 4'ten derse aldığımız bildirilen kök tezgahlarından düşük alımlı bir integral Entegrasyonları çözmek için verimli yöntemler. Ve kim bilir orada başka neler boyanmıştır. Varlığı aracılığıyla verilecekti Kola Açıkçası, her şey o kadar basit değil. Rivnyannya düz çizgisi bir bakışta dönüşür ve entegrasyon doğru olmayabilir (fanatikler isterse trigonometrik integraller değerlendirmek). Zim ile bağlantıda, kartezyen koordinatlarda zupinity daha yaygındır.

Şekli atlama sırası:

1) Şeklin alanını hesaplayın:

Rasyonel almanın ilk integrali p_dvedennyam p_d diferansiyelin işareti:

Ve başka bir integralde standart bir değiştirme gerçekleştireceğiz:

Yeni interentegrasyonları sayalım:

2) biliyoruz.

Burada 2. integralde yeni bir bükülme var yöntem. Vіdpratsyuyte, ozbroєnnya'da en uygunudur (aklımda) Tipik integrallerin gelişimini kabul eder.

Zor ve önemsizden sonra, koltuğa canavarca bakışı tekrar hesaplayın. (noktaları unutma Hala bilmiyoruz! ) ve bulunan değer göz önüne alındığında belirli bir ahlaki tatmin derecesine kadar otrimuєmo.

3) Vyhodyachi z daha önce yapılan analiz, kayıp uzlaşma, scho.

Not:

temsil edilebilir nokta Sandalyenin üzerinde. Formüler akla Vіdpovіdno, artık olarak її yazacağız kanıt:

Bağımsız bir vizyon için benzer görev:

popo 5

Çizgilerle çevrili tek tip düz bir figürün vaga merkezini bulun. Vikonati koltuk.

İçinde küçük hatıralar yapmak için verilen rakamla ilgileniyoruz ve af için biraz zaman varsa, bölgede yüksek düzeyde ateş “harcanmayacak”. Ne, bezperechno, kontrol çözümü açısından iyi.

Srazkovy zrazok bir ders gibi tasarlandı.

Іnodi buvaє noktalar alt integrallerde kutupsal koordinatlara geçiş. Bkz. şekil. Shukav-shukav evde uzak popo Bilmiyorsanız size atanan dersin 1. demo görevinin çözümünü göstereceğim:


Bil bakalım o popoda neye gittik kutupsal koordinatlar, alanı baypas etme prosedürünü açıkladı ve virahuvali її alanı

Rakamların ağırlık merkezini bilelim. Şema aynıdır: . Değer doğrudan koltuktan görülebilir ve “ix” koordinatı y eksenine biraz daha yakın kaydırılabilir, oradaki kırıklar biranın büyük bir kısmı tarafından saçılır.

İntegrallerde, geçiş için standart formülleri kullanabiliriz:

Ymovirno, her şey için daha iyi, merhametleri yoktu.