Matrisler ve VSх vyzniki üzerinden. Matrisler üzerindeki ana işlemler (katlama, çarpma, yer değiştirme) aynı güçtür. Matris çarpma işlemi

Matrisler. Matrisler üzerinde hareket edin. İşlemlerin matrisler üzerindeki hakimiyeti. Matrise bakın.

matrislerönemli bir kısmın basit bir biçimde yazılmasına izin verilen uygulamalı matematikte önemli bir değer olabilir. Matematiksel modeller nesneler ve süreçler. "Matris" terimi 1850'de ortaya çıktı. Önceleri antik Çin'de, daha sonra Arap matematikçilerinde matrisler tahmin edildi.

Matris A=Amn sipariş m * n denir doğrusal sayılar tablosu.

matris öğeleri aij , bunun için i=j köşegen i olarak adlandırılır ana köşegen.

Bir kare matris (m=n) için, baş köşegeni a 11 , a 22 ,..., a nn öğelerinden oluşur.

Rivnist matrisler.

A=B sadece matrislerin sırası Aі B bununla birlikte, bu a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Matrisler üzerinde hareket edin.

1. Matrislerin eklenmesi - eleman-eleman işlemi

2. Matrisleri görüntüleme - eleman-eleman işlemi

3. Bir sayıya matris eklemek, eleman eleman bir işlemdir.

4. Çoklu A*B kurala göre matris üst sıra(A matrisindeki sütun sayısı, B matrisindeki satır sayısına eşit olabilir)

Amk * Bkn = Cmn neden cilt elemanı h ij matrisler cmn A matrisinin i-inci satırının elemanlarının toplamını ve B matrisinin j-inci sütununun diğer elemanlarının toplamını tobto ekleyin.

Matrisleri çarpma işlemini örnek üzerinde gösterelim

5. Ayaklardaki bağlantılar

m>1 hücre tarih. A bir kare matristir (m=n) tobto. kare matrislerle ilgili

6. Matris aktarımı A. Aktarılan bir matris, A T veya A ile gösterilir.

Sıralar ve sütunlar misyonlarla anıldı

popo

Matrisler üzerinde işlemlerin gücü

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Vidi matrisleri

1. Dikdörtgen: mі n- oldukça pozitif sayılar

2. Kare: m=n

3. Matris satırı: m=1. Örneğin, (1 3 5 7) - birçok pratik görev için böyle bir matrise vektör denir

4. Matris Stovpet'leri: n=1. Örneğin

5. Köşegen matris: m=nі bir ij = 0, beğenmek i≠j. Örneğin

6. Yalnız matris: m=nі

7. Sıfır matrisi: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Triko matris: Baş köşegeninin altındaki tüm elemanlar 0'a eşittir.

9. Simetrik matris: m=nі bir ij = bir ji(simetrik baş köşegenlerinde eşit elemanlar durmak için) ve ayrıca A"=A

Örneğin,

10. Eğrilik matrisi: m=nі bir ij = -a ji(Bu yüzden simetrik ana köşegenlerde protilene elementler bulunur). Ayrıca, baş köşegeninde sıfırlar bulunur (çünkü ben=j belki bir ii =-a ii)

anladım A"=-A

11. Hermit matrisi: m=nі a ii =-ã ii (ı ji- karmaşık - alınana kadar bir ji, sonra. yakscho A=3+2i, sonra karmaşık - elde edilir Ã=3-2i)

Servis ataması. Matris Hesaplayıcıörneğin 3A-CB 2 veya A -1 +B T gibi matris virüslerinin ortaya çıkması için atamalar.

Talimat. İçin çevrimiçi çözümler matris değişkenini ayarlamak gereklidir. Başka bir aşamada, matrislerin boyutunu netleştirmek gerekecektir. İzin verilen işlemler: çarpma (*), toplama (+), toplama (-), ters matris A^(-1), adım aşağı (A^2, B^3), devrik matris (A^T).

İzin verilen işlemler: çarpma (*), toplama (+), toplama (-), ters matris A^(-1), adım aşağı (A^2, B^3), devrik matris (A^T).
İşlemlerin listesini görmek için hasır lekeyi virgülle (;) kullanın. Örneğin, vikonannya için üç işlem:
a) 3A + 4B
b) AB-BA
c) (A-B) -1
bunu şu şekilde yazmanız gerekiyor: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Matris, m satırı ve n sütunu olan dikdörtgen bir sayısal tablodur, bu nedenle matris bir dikdörtgene bakarak şematik olarak temsil edilebilir.
Sıfır matris (boş matris) matrisi, sıfıra eşit ve 0'a ayarlanmış tüm öğeleri adlandırın.
yalnız matris kare matris denir

İki matris A ve B eşit aynı boyutta yakscho kokusu ve vіdpovіdnі öğeleri vіdpovіdnі.
Virojen matrisi sıfıra eşit olan matris denir (Δ = 0).

Önemli ölçüde matrislerde temel işlemler.

matrislerin eklenmesi

Randevu. İki matrisin toplamı A = | | bir ben | | ben B=||b ben k || aynı boyuta matris denir C=||c ben k || kendilerini razmіrіv sessiz, ci i k = a i k + b ben k formülü için perebuvayut gibi unsurlar. C=A+B olarak gösterilir.

Örnek 6. .
Katlama matrislerinin işlemi, toplama sayısı ile genişler. Açıkçası, A+0=A .
Bir kez daha, aynı boyutta bir matristen daha fazlasını katlamanızı öneririz; farklı açılımlara sahip matrisler için toplama işlemi atanmaz.

Görme matrisi

Randevu. Perakende B-A aynı boyuttaki bir B ve A matrisine, A+C=B olacak şekilde C matrisi denir.

matrislerin çoğaltılması

Randevu. Ek matris A=||a i k || α sayısına matris denir C = | |

Randevu. İki matris verin A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) ben B=||b ben k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), ayrıca A'daki sütun sayısı B'deki satır sayısına eşittir. A'dan B'ye doboot, öğeleri formülün arkasında olan C=||c i k || matrisidir. .
C=A·B olarak gösterilir.
Şematik olarak, matrisleri çarpma işlemi aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

ve yaratma unsurunu hesaplama kuralı:

Pidkremlimo bir kez doğrayın, scho priblut a · b MAє Sens Todi Tilki Todi, ilk dorivnika Kilkosti'nin adım sayısı diğer ise, yaratıcının çalışması altında, haddelenmiş rulo sayısı Çarpma sonucunu özel bir çevrimiçi hesap makinesi aracılığıyla kontrol edebilirsiniz.

Örnek 7. Verilen bir matris і . C = A B ve D = B A matrislerini bilin.
Çözüm. Saygılarımızla, AB kullanılır, ancak A sütunlarının sayısı B satırlarının sayısına eşittir.

Saygılarımla, vipadku'da A·B≠B·A vardır, öyleyse. dobutok matrisleri anti-değişmeli olarak.
B A (çoklu olası) biliyoruz.

Örnek 8. Verilen bir matris . 3A 2 - 2A'yı bilin.
Çözüm.

.
; .
.
Bu önemli bir gerçektir.
Görüldüğü gibi, iki çift sıfır sayısının toplamı sıfıra eşit değildir. Matrisler için durum benzer olabilir veya olmayabilir, böylece sıfır olmayan matrislerin üretimi sıfır matrislere eşit görünebilir.

Saygılarımla, bir matrisin elemanları bir sayıdan fazla olamaz. Kitapları tarif ettiğinizi, kitap polisinizin üzerinde nasıl duracağınızı bana bildirin. Polis düzeni sağlasın ve tüm kitaplar şarkı söyleyen yerlerde dursun. Kitaplığınızın (polis tarafından ve polisle ilgili aşağıdaki kitaplar tarafından) uygun bir açıklaması olarak tablo da bir matris olacaktır. Ale, böyle bir matris sayısal olmayacak. İkinci örnek. Sayılar yerine, kendi aralarında bir tür nadas tarafından yenen farklı işlevler vardır. Otriman'ın tablosuna matris de denir. Başka bir deyişle, Matrix, olduğu gibi, katlanmış dikdörtgen bir masadır. benzer elementler. Burada ve dahası, sayılardan katlanmış matrislerden bahsediyoruz.

Kare kollar veya düz dikey çizgiler yerleştirerek matrisleri kaydetmek için yuvarlak kolları değiştirin.

(2.1*)

Randevu 2. Bir Virazi gibi(1) m = n, o zaman konuş Kare matris, ama yakscho , sonra hakkında dikdörtgen.

m ve n'nin nadas değeri, özel matris türlerine ayrılır:

En önemli özellik Meydan matrisler vyznachnik veya belirleyici, Matrisin elemanlarından ne oluşur ve belirtilir

D E = 1 olduğu açıktır; .

Randevu 3. Yakscho , sonra matris A aranan bakire olmayan veya özellikle değil.

Randevu 4. Yakscho detA = 0, sonra matris A aranan virojen veya özellikle.

Randevu 5. iki matris A і B aranan eşit o yazar A=B sanki koku aynı olabilir, farklılıklar ve їх yaşayabilir unsurlar eşittir,.

Örneğin, matrisler ve eşittir, çünkü koku dünyaya daha yakın ve bir matrisin deri elemanı başka bir matrisin benzer elemanına daha yakın. Ve i matrisinin ekseni, her iki matrisin determinantları eşit olmasına ve matrisler aynı olmasına rağmen, eşit olarak adlandırılamaz, ancak aynı eşit noktalarında duran tüm öğeler değil. Matrisler farklıdır, böylece farklı bir dünya mümkündür. İlk matris 2x3, diğeri 3x2'dir. Elementlerin sayısı aynı olmasına rağmen - 6 ve elementlerin kendileri aynı 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale deri matrisinin yakınında farklı yerlerde durmak için kokuyor. Ve matrisin ekseni ilerlemedir, zgіdno z vznachennyam 5.

Randevu 6. Matrisin çaça nasıl düzeltilir A ve bu, satırlarının sayısıdır, bir kare matris oluşturmak için sütunların ve satırların atamalarının peretinasında duran aynı elemanlar n- sıra, bunun öncüsü aranan küçük k- matris sırası A.

popo. Matrisin farklı bir sırasına göre üç minör yazın

Bu konuda, girdi matrisini toplama, bir matrisi bir sayı ile çarpma, bir matrisi bir matrisle çarpma, bir matrisi transpoze etme gibi işlemler ele alınacaktır. Usі znachennya, ts_y tarafında scho vikoristovuyutsya, ön konulardan alınmıştır.

Bu görsel matrisi katlamak.

$A+B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ve $B_(m\times n)=(b_(ij))$ matrislerinin toplamı $C_(m\) matrisidir çarpı n) =(c_(ij))$, burada tüm $i=\overline(1,m)$ ve $j=\overline(1 için $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ ,n) $.

Farklı matrisler için benzer bir tanım girin:

$A-B$ matrisleri $A_(m\times n)=(a_(ij))$ ve $B_(m\times n)=(b_(ij))$ arasındaki fark $C_(m\times n) matrisidir )=( c_(ij))$, de $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ için tüm $i=\overline(1,m)$ ve $j=\overline(1,n) )$.

$i=\overline(1,m)$ gönderisinden önceki açıklama: show\hook

"$i=\overline(1,m)$" girişi, $i$ parametresinin 1'den m'ye değiştiği anlamına gelir. Örneğin, $i=\overline(1,5)$ gösterimi, $i$ parametresinin 1, 2, 3, 4, 5 değerini aldığına atıfta bulunur.

Toplama ve alıştırma işlemlerinin sadece aynı büyüklükteki matrisler için yapıldığına lütfen dikkat ediniz. Vzagali, ekleme ve vіdnіmannya matrisleri - işlemler, sezgisel olarak net, daha fazla kötü koku, aslında, daha az toplama veya daha belirgin öğeler.

popo #1

Üç matris verilir:

$$ A=\left(\begin(dizi) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(dizi) \sağ)\;\; B=\left(\begin(dizi) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(dizi) \sağ); \;\; F=\left(\begin(dizi) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \end(dizi) \sağ). $$

Chi $A+F$ matrisini biliyor musunuz? $C$ ve $D$ matrislerini bilin, yani $C=A+B$ ve $D=A-B$.

$A$ matrisi 2 satır ve 3 sütun süpürür (başka bir deyişle, $A$ matrisinin genişlemesi $2\x 3$'dır) ve $F$ matrisi 2 satır ve 2 satır süpürür. $A$ ve $F$ matrislerinin açılımları kaçmaz, bu yüzden onları toplayabiliriz. bu matrisler için $A+F$ işlemi atanmamıştır.

$A$ ve $B$ matrisleri genişletilsin. matrisin verileri satır ve stovptsiv sayısına eşit olmalı, bunlara ekleme işlemi gerekli olacaktır.

$$ C=A+B=\left(\begin(dizi) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(dizi) \sağ)+ \left(\begin(dizi) ) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(dizi) \right)=\\= \left(\begin(dizi) (ccc) -1+10 & -2+ ( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(dizi) \right)= \left(\begin(dizi) (cc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(dizi) \sağ) $$

$D=A-B$ matrisini biliyoruz:

$$ D=A-B=\left(\begin(dizi) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(dizi) \sağ)- \left(\begin(dizi) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(dizi) \right)=\\= \left(\begin(dizi) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(dizi) \right)= \left(\begin(dizi) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(dizi) \sağ) $$

Vidpovid: $C=\left(\begin(dizi) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(dizi) \sağ)$, $D=\left(\begin(dizi) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(dizi) \sağ)$.

Bir matrisi bir sayı ile çarpma.

$\alpha$ sayısı için ek $A_(m\times n)=(a_(ij))$ matrisi $B_(m\times n)=(b_(ij))$ matrisidir, burada $b_( Tüm $i=\overline(1,m)$ ve $j=\overline(1,n)$ için ij)= \alpha\cdot a_(ij)$.

Görünüşte daha basit, matrisi sayı ile çarpın - verilen matrisin dış yüzey öğesini tam sayı ile çarpmak anlamına gelir.

popo #2

Verilen bir matris: $ A = \ left (\ startup (dizi) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ i $ - A $ matrislerini bilin.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(dizi) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(dizi) \sağ) =\left(\begin( dizi) (ccc) 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 \end(dizi) \sağ)= \left(\begin(dizi) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(dizi) \sağ).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (dizi) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(dizi) \right) =\left(\begin(dizi) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(dizi) \sağ)= \left(\begin(dizi) ( ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \end(dizi)\sağ). $$

$-A$ gösterimi, $-1\cdot A$ için kısa gösterimdir. Dolayısıyla $-A$'ı bilmek için $A$ matrisinin tüm elemanlarını (-1) ile çarpmanız gerekir. Özünde, $A$ matrisindeki tüm öğelerin işaretinin uzatmaya değiştirildiği anlamına gelir:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(dizi) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(dizi) \sağ)= \ left(\begin(dizi) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(dizi) \right) $$

Vidpovid: $3\cdot A=\left(\begin(dizi) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(dizi) \sağ);\; -5\cdot A=\left(\begin(dizi) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(dizi) \sağ);\; -A=\left(\begin(dizi) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(dizi) \sağ)$.

Dobutok iki matris.

Bu operasyonların amacı hantaldır ve ilk bakışta mantıksızdır. Sana kafanın arkasına daha ciddi bir randevu söyleyeceğim ve sonra bunun ne anlama geldiğini ve nasıl çalışılacağını rapor edeceğiz.

$A_(m\times n)=(a_(ij))$ matrisinin $B_(n\times k)=(b_(ij))$ matrisi üzerindeki alt kümesi, $C_(m\times k matrisidir) )=(c_( ij))$, bir dış görünüm öğesi için $c_(ij)$ elementler$A$ matrisinin satırları, $B$ matrisinin j-inci sütununun elemanları üzerinde: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \; \; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Pokrokov'un matris çarpımı uçtan alınır. Ancak, tüm matrislerin çarpılamayacağını lütfen unutmayın. $A$ matrisini $B$ matrisi ile çarpmak istiyorsak, geri tepmemiz gerekir, böylece $A$ matrisindeki sütun sayısı $B$ matrisindeki satır sayısına eşit olur ( bu tür matrisler genellikle denir lütfen zhenimi). Örneğin, $A_(5\times 4)$ matrisi (matrisin 5 satırı ve 4 satırı vardır), $F_(9\times 8)$ (9 satır ve 8 satır) matrisi ile çarpılamaz, sayı $A matrisinin satır sayısı $, $ F $ matrisindeki satır sayısına eşit değil, bu kadar. $4\neq 9$. Ve $A_(5\times 4)$ matrisinin $B_(4\times 9)$ matrisi ile çarpımı mümkündür, ancak $A$ matrisindeki sütun sayısı sayıdan büyüktür $B$ matrisindeki satır sayısı. Bu durumda, $A_(5\times 4)$ ve $B_(4\times 9)$ matrislerini çarpmanın sonucu, 5 satır ve 9'u kapsayacak olan $C_(5\times 9)$ matrisi olacaktır. sütunlar:

popo #3

Verilen bir matris: $ A = \ left ( \ start (dizi) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ end (dizi) \sağ)$ i $ B=\left(\begin(dizi) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(dizi) \sağ ) $. $C = A\cdot B$ matrisini bilin.

$C$ matrisinin genişletilmesi için büyüklük sırası önemlidir. $A$ matrisi 3$\times 4$ ise ve $B$ 4$\time 2$ ise, o zaman $C$ matrisi 3$\x 2$'dır:

Ardından, $A$ ve $B$ matrislerini toplamanın bir sonucu olarak, dönüşümlü olarak üç satır ve iki sütundan oluşan $C$ matrisini alıyoruz: $ C = \ left ( \ start (dizi) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \c_(21) & c_(22) \c_(31) & c_(32) \end(dizi) \sağ)$. Elemanların anlamlarına gelince, ön konuya bakabilirsiniz: "Matrisler. Matrise bakın. Temel terimler", koçan üzerinde, matrisin elemanlarının anlamı açıklanmıştır. Metamız $C$ matrisindeki tüm elementlerin değerlerini bilmektir.

$c_(11)$ öğesine bakalım. $c_(11)$ öğesini almak için, $A$ matrisinin ilk satırının ve $B$ matrisinin ilk sütununun öğelerinin yaratımlarının toplamını bilmek gerekir:

$c_(11)$ öğesini bilmek için, $A$ matrisinin ilk satırının öğelerini $B$ matrisinin ilk sütununun ikinci öğeleriyle çarpmak gerekir. ilk eleman birinci, diğeri diğeri, üçüncüsü üçüncü, dördüncüsü dördüncü. Sonuçların geri çekilmesi bekleniyor:

$$ c_(11)=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$

Çözüme devam ediyoruz ve $c_(12)$ biliyoruz. Bunun için $A$ matrisinin ilk satırının ve $B$ matrisinin diğer satırının öğelerini çarptığınız için:

Ön tarafa benzer, belki:

$$ c_(12)=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$

$C$ matrisinin ilk satırının tüm elemanları bulunur. $c_(21)$ öğesini başlatan başka bir satıra geçelim. Bunu bilmek için $A$ matrisinin başka bir satırının öğelerini ve $B$ matrisinin ilk sütununu çarpın:

$$ c_(21)=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23. $$

İlerleyen $c_(22)$ öğesi, $A$ matrisinin başka bir satırının öğelerinin, $B$ matrisinin başka bir satırının ikinci satır öğeleriyle çarpılmasıyla bilinir:

$$ c_(22)=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$

$c_(31)$'ı bilmek için $A$ matrisinin üçüncü satırının öğelerini $B$ matrisinin ilk sütununun öğeleriyle çarpın:

$$ c_(31)=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $$

İlk olarak, $c_(32)$ öğesinin değeri, $A$ matrisinin üçüncü satırının öğeleriyle, $B$ matrisinin başka bir sütununun diğer öğeleriyle çarpılmalıdır:

$$ c_(32)=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$

$C$ matrisinin tüm elemanları bulunur, $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( olduğunu yazmak yeterli değildir) dizi) \sağ)$ . Abo, daha fazlasını tekrar yazacağım:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(dizi) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(dizi) \sağ)\cdot \left(\begin(dizi) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(dizi) \sağ) =\left(\begin(dizi) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(dizi) \sağ). $$

Vidpovid: $C=\left(\begin(dizi) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(dizi) \sağ)$.

Konuşmadan önce, cilt öğesinin önemini matris sonucuna bildirmenin çoğu zaman bir anlamı yoktur. Sayısı küçük olan matrisler için bunu şu şekilde bulabilirsiniz:

$$ \left(\begin(dizi) (cc) 6 & 3 \- -17 & -2 \end(dizi)\right)\cdot \left(\begin(dizi) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(array) \right) =\left(\begin(dizi) (cc) 6cdot(4)+3cdot(-6) & 6cdot(9)+3cdot(90) ) \\ -17\cdot (4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(dizi) \sağ) =\sol (\begin(dizi) ( cc) 6 & 324 \- -56 & -333 \end(dizi) \sağ) $$

Lütfen matrislerin çarpımının değişmeli olmadığını unutmayın. Tse, vahşi vapadka'da $A\cdot B\neq B\cdot A$ anlamına gelir. Yalnızca belirli matris türleri için, nasıl adlandırılacağı permütasyonlu(aksi halde işe gidip geliyor), eşit $A cdot B = B cdot A $. Çarpmanın değişmezliği, o chi ile başka bir matrisi çarparak nasıl çarptığımızı göstermek gerekir: sağda chi kötüdür. Örneğin, "$A$ matrisi ile $3E-F=Y$ paritesinin kusurlu kısmını çarpın" ifadesi, aşağıdaki pariteyi almanın gerekli olduğu anlamına gelir: $(3E-F)\dot A= Y\cdot A$.

$A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$ matrisi, örneğin $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Görünüşte daha basit, devrik $A^T$ matrisini almak için, $A$ dış matrisinin bu prensibi izleyerek sütunları çift satırlarla değiştirmesi gerekir: ilk satır - ilk satır olur; başka bir sıra buv - başka bir sıra durun; üçüncü sıra olun - üçüncü adım olun vb. Örneğin, $A_(3\times 5)$ matrisine aktarılan matrisi biliyoruz:

Açıkça, çıktı matrisi 3$\x 5$'lık küçük olduğundan, aktarılan matris 5$\x3$'dır.

Matrislerdeki işlemlerin gerçek özellikleri.

Burada $ alpha $, $ beta $ 'ın ondalık sayılar olduğu ve $ A $, $ B $, $ C $'ın matris olduğu aktarılır. İlk chotirioh yetkilileri için, adı belirttikten sonra, reshta, ilk chotirma ile analojiyle adlandırılabilir.

Bu yazıda, aynı sıradaki matrisler üzerinde toplama işlemini, bir matrisi bir sayı ile çarpma işlemini ve aynı sırada matrisleri çarpma işlemini aksiyomatik olarak nasıl yapacağımızı seçebiliriz, aksiyomatik olarak, kuvvetini koyabiliriz. işlemleri ve ayrıca matrislerdeki işlemlerin önceliğini tartışın. Teoriye paralel olarak matrisler üzerinde işlemlerin yapıldığı uygulamaların rapor çözümlerine rehberlik ediyoruz.

Aşağıda söylenen her şeyin є dіysnі (veya karmaşık) sayılar gibi öğelerle matrislere indirgenmesine büyük saygı duyulur.

Yan tarafta navigasyon.

İki matrisi katlama işlemi.

İki matrisi katlamanın belirlenmiş işlemi.

Toplama işlemi SADECE TEK DÜZENLİ MATRİSLER İÇİN atanmıştır. Başka bir deyişle, farklı boyutluluk matrislerinin toplamını bilmek imkansızdır ve değişken boyutluluk matrisinin katlanmasından bahsetmek imkansızdır. Yani matrisin ve sayının toplamı hakkında veya matris ve diğer herhangi bir elemanın toplamı hakkında konuşamazsınız.

Randevu.

iki matrisin toplamı i - elemanları, A ve B matrislerinin karşılık gelen elemanlarının toplamına eşit olan matris, tobto.

Böylece, iki matrisi katlama işleminin sonucu aynı sıradaki bir matristir.

Katlama matrislerinin işlem gücü.

Katlama matrislerinin çalışması ne tür bir güç olabilir? Zincirde, belirli bir sıradaki iki matrisin toplamına bağlı olarak ve gerçek (karmaşık üstü) sayıları katlama işleminin gücünü tahmin ederek cevaplar almak kolaydır.

1. Aynı mertebeden A, B ve C matrisleri için, birleşme gücü, A + (B + C) = (A + B) + C'yi toplamanın özelliğidir.
2. Birinci dereceden matrisler için, toplamadan sonra sıfır matris olan nötr bir eleman vardır. Yani A+O=A'nın kuvveti adildir.
3. Belirli bir dereceden sıfır olmayan bir A matrisi için, (-A) matrisi toplamıyla birlikte bir sıfır matrisidir: A + (-A) = O .
4. Bu mertebedeki A i matrisleri için, A + B = B + A katlamasının değişme gücü doğrudur.

Daha sonra, belirli bir sıradaki kişisel olmayan matrisler, ilave bir Abel grubuna (katlama cebiri işlemi gibi Abel grubu) yol açar.

Matrislerin eklenmesi - uygulamaların çözümü.

Şimdi katlanmış matris örneğine bir göz atalım.

popo

i matrislerinin toplamını bulun .

Çözüm.

A ve B matrislerinin mertebeleri 2 ile 4 arttırılır ve arttırılır, böylece sonuç olarak bir i matrisi ekleme işlemini gerçekleştirebiliriz, 4. dereceden matrisi 2'ye alalım. Eleman eleman daha fazla eleman ekleyerek iki matrisi katlama işlemini tasarlamak gerekir:

popo

İki matrisin toplamını bulun і elemanlar karmaşık sayılardır.

Çözüm.

Oskіlki matris sıraları eşittir, dodavannya'yı vikonat edebiliriz.

popo

Vikoite dodavannya üç matris .

Çözüm.

A z B matrisini yığıyoruz, sonra dodamo Z matrisini kaldıracağız:

Sıfır matrisini çıkarın.

Bir matrisi bir sayı ile çarpma işlemi.

Bir matrisin bir sayı ile çarpılması için belirlenmiş işlem.

Bir matrisi bir sayı ile çarpma işlemi, HERHANGİ BİR DÜZENLİ BİR MATRİS İÇİN atanır.

Randevu.

Bir matris ve bir ondalık (veya karmaşık) sayının eklenmesi- öğeleri, çıktı matrisinin karşılık gelen öğeleriyle sayı ile çarpılmış gibi görünen tüm matris, yani .

Bu sırada, bir matrisi є sayısıyla çarpmanın sonucu aynı sıradaki bir matristir.

Bir matrisi bir sayı ile çarpma işleminin gücü.

Bir matrisi bir sayı ile çarpma işleminin gücünden, sıfır matrisini sıfır sayısıyla çarpmanın bir sıfır matrisi vermesi ve ek bir sayı ve sıfır matrisinin eklenmesinin bir sıfır matrisi olması mümkündür.

Bir matrisi bir sayı ile çarpmak - bu ayeti uygulayın.

Bir matrisi bir sayı ile çarpma işlemine bir göz atalım.

popo

Ek 2 sayısını ve matrisi bulun .

Çözüm.

Matrisi bir sayı ile çarpmak için elemanı tam sayı ile çarpmanız gerekir:

popo

Sayı ile matrisin çarpımını bulun.

Çözüm.

Verilen matrisin kaplama elemanını tam sayı ile çarpıyoruz:

İki matrisi çarpma işlemi.

İki matrisi çarpmaya yönelik özel işlem.

A ve B matrislerini çarpma işlemi, yalnızca A matrisindeki sütunların sayısı B matrisindeki satırların sayısına eşitse düşüş için geçerlidir.

Randevu.

A matrisini matris sırasına göre yeniden başlatın- 3. dereceden böyle bir matris, cilt elemanı, matrisin i-inci satırının elemanlarının B matrisinin j-inci sütununun benzer elemanları üzerindeki en değerli toplamıdır, o zaman,

Böylece, bir matrisi sırayla bir matrisle çarpma işleminin sonucu sırayla bir matristir.

Bir matrisin bir matris tarafından çoğaltılması - uygulamaların çözümü.

Popolardaki matrislerin çarpımına bir göz atalım, ardından matrisleri çarpma işleminin kuvvetlerinin tersine çevrilmesine geçeceğiz.

popo

C matrisinin tüm elemanlarını bulun, matrisleri çarpma işlemi nasıl yapılır? і .

Çözüm.

A matrisinin sırası p = 3 ile n = 2 artırılır, matrisin sırası n = 2 ile q = 4 artar ve matrisin sırası p = 3 ile q = 4 olur . Formül ile hızlandırmak

Tutarlı bir şekilde, 1'den 4'e (skala q=4) j teni için 1'den 3'e (skala p=3) ve bizim durumumuzda n=2 değerini alıyoruz, o zaman

Böylece, Z matrisinin tüm elemanları ve matris hesaplanır, verilen iki matris çarpılırken görünebilir .

popo

Çarpan matrisini sayısallaştır .

Çözüm.

Dış matrislerin sıraları çarpma işlemini gerçekleştirmemize izin verir. Sonuç olarak, 2'ye 3 mertebeden bir matris alabiliriz.

popo

Verilen bir matris . Ek A ve B matrislerinin yanı sıra B ve A matrislerini bulun.

Çözüm.

Matrisin sırası 3'e 1 ise ve matris 1'e 3 ise, A⋅B 3'e 3'tür ve ek matris B ve A 1'e 1'dir.

Yak bachit, . Bu, matrisleri çarpma işleminin güçlerinden biridir.

Matrisleri çarpma işleminin gücü.

A, B ve C matrisleri aynı mertebeden ise, aşağıdakiler doğrudur. matrisleri çarpma işleminin gücü.

Aşağıda, farklı dereceler için A matrisine bir sıfır matrisi eklenmesinin bir sıfır matrisi verdiği değer verilmiştir. Dobutok A ayrıca bir sıfır matrisi verir, böylece büyüklük sıraları matrisleri çarpma işlemine izin verir.

Orta kare matrisler denir permütasyon matrisleri, Çarpma işlemi değişmeli, yani . Permütasyon matrislerinin sonu, aynı sıradaki başka bir matris olsun, bir çift tekli matristir, bu yüzden adildir.

Matrislerde işlemlerin önceliği.

Bir matrisi bir sayı ile çarpma ve bir matrisi bir matrisle çarpma işlemlerine eşit öncelik verilir. İşlemin tam o saatinde, öncelik daha yüksektir, daha düşük işlem iki matrisin katlanmasıdır. Bu sırada matrisin çarpımı, matrislerin o çarpımının sayısına göre sayılır ve daha sonra matrislerin eklenmesi gerçekleştirilir. Bununla birlikte, matrisler üzerindeki işlemlerin sırası, ek bir yay için açıkça atanabilir.

Ayrıca, matrislerdeki işlemlerin önceliği, gerçek sayıları toplama ve çarpma işlemlerine atanan önceliğe benzer.

popo

Verilen bir matris . dії için atanan verilen matrislerden öğrenin .

Çözüm.

A matrisini B matrisi ile çarparak başlıyoruz:

Şimdi başka bir E derecesine sahip tek bir matrisi iki ile çarpıyoruz:

Çıkarılmış iki matris ekliyoruz:

Kaldırılan matrisi A matrisi ile çarpma işlemi kaybedildi:

Lütfen aynı A ve B derecesine sahip matrislere bakan işlemlerin gerekli olmadığını unutmayın. İki matris arasındaki fark, esasen A matrisi ile matrislerin toplamının önde eksi bir ile çarpımıdır: .

Doğal dünyada bir kare matris oluşturma işlemi, matrislerin ardışık çarpımlarının parçaları olan kendi başına kendi kendine yeterli değildir.

Bir çanta getirelim.

Kişisel olmayan matrislere üç işlem atanır: aynı sıradaki matrisleri toplama, bir matrisi bir sayı ile çarpma ve aynı sıradaki matrisleri çarpma. Belirli bir sıranın kişisel olmayan matrislerine ekleme işlemi bir Abel grubu oluşturur.