Uzayda iki düz çizginin dikliğini yıkayın. Paralel doğrular, paralel doğruların işaretleri ve zihinleri. Noktadan düz çizgiye doğru yürü

Daireler Arası KUT

Aynı şekilde iki düzlem α 1 ve α 2 görevlerine bir göz atalım:

pid özel iki daire arasında, bu dairelerden oluşan iki yüzlü kutіvlardan biri anlaşılır. Açıkça, normal vektörler ile 1. ve 2. düzlemler arasındaki kesim daha fazladır. . Tom . Çünkü і , sonra

.

popo Daireler arasında bir kesim belirleyin x+2y-3z+4=0 ve 2 x+3y+z+8=0.

İki düzlemin paralelliğini yıkayın.

İki düzlem α 1 ve α 2 birbirine paraleldir ve yalnızca normal vektörler ve paralellerse aynıdır ve ayrıca .

Ayrıca, karşılık gelen koordinatların katsayıları orantılıysa, iki düzlem bir ile aynı ve daha az paraleldir:

veya

Düzlemlerin dikliğini yıkayın.

Normal vektörler ve dik iseler, iki düzlemin dik ve aynı olduğu açıktı.

Böyle bir şekilde,

uygulamak.

DOĞRUDAN UZAYDA.

VECTORNE RIVNYANNYA DOĞRUDAN.

PARAMETRİK TESVİYE DOĞRUDAN

Düz çizginin boşluktaki konumu, її sabit noktaları olduğu için tamamen verilen verilere bağlıdır. M 1 ben vektör , düz çizgiye paralel.

Vektör, paralel doğru, denir doğrudan vektör düzdür.

Otzhe, merhaba düz ben bir noktadan geçmek M 1 (x 1 , y 1 , z 1), vektöre paralel düz bir çizgi üzerinde uzanır.

Belli bir noktaya bakalım M(x, y, z) düz bir çizgide. Küçük olandan bunu görebilirsin .

Vektörler ve kolіnearnі, yani böyle bir sayı var t, sho , çarpanı t nokta konumunda nadasta sayısal bir değer olup olmadığını anlayabilirsiniz. M düz bir çizgide. çarpan t parametre denir. Yarıçap-vektör noktası atama M 1 ta M açıkça i aracılığıyla, otrimuemo. Tse eşittir denir vektör düz çizgiler. Parametrenin değerini cilde gösterir. t deac noktasının yarıçap vektörünü değiştir M, hangi düz bir çizgi üzerinde yalan.

Koordinat formunun sırasını yazalım. saygılarımla, şo, ve yıldızlar

Otrimani eşittir denir parametrik dümdüz.

Parametreyi değiştirirken t koordinatlar değişir x, yі z ben alacalı M düz bir çizgide hareket edin.

KANONİK RIVNYANNYA DOĞRUDAN

Hadi M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - düz bir çizgi üzerinde uzanan bir nokta ben, і - Її doğrudan vektör. tam noktasına kadar götüreceğim M(x, y, z) vektöre bakıyorum.

Vektörlerin ve eşdoğrusallığın, ilgili koordinatlarının orantılı olabileceği açıktı,

– kanonik düz çizgiler.

Saygı 1. Saygılarımızla, düz çizginin kanonik hizalaması, parametreyi açarak parametrik olanlardan alınabilir. t. Doğru, parametrik eşittir gerekli veya .

popo Düz çizgiler yaz parametrik görünüm.

Önemli ölçüde , yıldızlar x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Not 2. Düz çizginin koordinat eksenlerinden birine, örneğin eksene dik olmasına izin verin. Öküz. Sonra dik çizgilerin doğrudan bir vektörü Öküz, otzhe, m=0. Otzhe, doğrudan ileriye bakmanın parametrik eşitlemesi

Dengeleme parametresi dahil t, Doğrudan görüş alanından uzaklaştırın

Prote ve aynı zamanda doğrudan yak'ın kanonik eşitliklerini resmi olarak yazalım. . Bu sırada kesirlerden birinin başlığında sıfır varsa, bu düz çizginin ikili koordinat eksenine dik olduğu anlamına gelir.

Benzer şekilde, kanonik eşittir düz çizgi eksenlere diktir Öküzі ah veya eksene paralel Öz.

uygulamak.

ZAHALNI RIVNYANNYA DIRECT, İKİ UÇAK YAK HATTI TERSİNE ÇEVİRME

Kişisel olmayan bir alanı geçmek için açık alanda ciltten düz. İster ikisi iç içe geçmiş olsun, uzayda anlam ifade ederler. Otzhe, birlikte bakılan böyle iki daire olsaydı, bunlar düz çizgilere eşittir.

Vzagali olmak gibi iki paralel düzlemler, ateşli eşittir

düz bir çizgi belirleyin. Qi eşittir denir vahşi kıskançlık dümdüz.

uygulamak.

Akranlar tarafından ayarlanan düz bilgi istemi

Doğrudan teşvik etmek için її noktalarının olup olmadığını bilmek yeterlidir. En kolay yol, düz çizginin koordinat düzlemleriyle kesişme noktalarını seçmektir. Örneğin, bir düzlem ile bir kesişme noktası xOy düz alıyoruz, vvazhuchi z= 0:

Virishivshi tsyu sistemi, noktayı biliyoruz M 1 (1;2;0).

Aynı şekilde saygıyla y= 0 xOz:

Düz çizginin üst seviyelerinden її kanonik veya parametrik seviyelere gidebilirsiniz. Kimin için bir noktayı bilmek gerekli M 1 düz bir çizgi üzerinde ve doğrudan bir vektör düz bir çizgidir.

nokta koordinatları M Koordinatlardan birini yeterli bir değere bastıktan sonra, eşitleme sisteminin merkezinden 1 alınır. Doğrudan bir vektör sorusu için, saygıyla, vektör her iki normal vektöre de dik olmalıdır. і . Buna doğrudan vektör için ben alabilir misin vektör hırkası normal vektörler:

.

popo Düz ileri git kanon görünümüne.

Düz bir çizgi üzerinde uzanan bir nokta bulalım. Bunun için koordinatlardan sadece birini seçtiğimiz, örneğin, y= 0 ve eşitleme sistemini böl:

Düz bir çizgiyi tanımlayan düzlemlerin normal vektörleri koordinatları belirler. Bu nedenle, doğrudan vektör doğrudan olacaktır

. otze, ben: .

KUT MIZH DÜZ

Kutom uzayda düz çizgiler arasında, paralel olarak belirli bir noktadan çizilen iki düz çizgiden oluşan özet kutivs'den birinin verilip verilmediğini belirtir.

Boşluğun iki düz çizgi oluşturmasına izin verin:

їх düz çizgiler arasındaki kut'un їх doğrudan vektörleri i arasında kut olarak alınabileceği açıktır. Yani yak, o zaman vektörler arasındaki kosinüs kuta formülü için alıyoruz

Bölüm V *. Açık alana yakın düz çizgilerin ve dairelerin denklemi.

§ 70. İki doğrunun paralelliğini ve dikliğini düşünün.

Doğrudan vektörlü düz çizgiler a і b :

a) vektörler aynıysa ve aynıysa daha az paralel a і b doğrusal;

b) vektörler ise, aynıya dik ve aynıya daha az a і b dikey, o zaman eğer a b = 0.

Kanonik eşitliklerle verilen iki düz çizginin paralelliği ve dikliği hakkında gerekli ve yeterli anlayışı dikkate almak gerekir.

Bunun için düz

boules paralel, gerekli ve yeterlidir, böylece zihin kazanır

Bazı sayılar gibi bir vipadku al b 1 , b 2 , b 3 sıfıra dönerse, diğer sayıyı sıfıra döndürmek suçtur a 1 , a 2 , a 3 .

Düz çizgilerin dikliği için gerekli ve yeterlidir, öyle ki zihnin

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0. (2)

Görev 1.İlerleyen düz çizgi çiftleri arasında, bahisler düz çizgilere paralel veya diktir:

a) Doğrudan vektörler a = (2; 4; -13) ve b = (3; 5; 2) açıkça eşdoğrusal değil. Otzhe, doğrudan paralel değil. Zihnin dikliğini tekrar gözden geçirelim

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 3 + 4 5 - 13 2 = 0.

Düz dik.

b) Diğer düz çizginin doğrudan vektörü koordine edilebilir b = (3; 2; 4). Doğrudan bir vektör için önce normal vektörlerin vektör tümleyenini alabilirim.
n 1 = (2; -3; 0) ve n 2 \u003d (4; -2; -2) uçak, qiu nasıl düz ayarlanır:

Umov (1) kazanır, parçalar 6/3 = 4/2 = 8/4. Doğrudan paralel.

c) Birinci düz çizginin doğrudan vektörü maє koordinatları a = (2; 3; 1). Kanonik bir görünüme başka bir düz çizgi getirmek kolaydır.

otze, b =(- 1 / 2 ; 1; 3 / 2) .

vektörler a і b paralel değil. Koku dik değil, kırıklar

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 (- 1 / 2) + 3 + 3 / 2 =/= 0.

Veriler düzdür, paralel değildir ve dik değildir.

Görev 2. Düz çizgiye dik olan M 0 (2; -3; 4) noktasından geçmek için düz çizginin hizalamasını bilin

Paralel çizgiler ve paralel çizgiler hakkında Tsya makalesi. Düzlemde ve açık alanın yakınında paralel çizgilerin tanımı arkaya verilir, atama tanıtılır ve paralel çizgilerin grafik çizimleri uygulanır. İşaretler verdiler ve düz çizgilerin paralelliğini anladılar. Visnovka, çizgilerin paralelliğini kanıtlamak için karakteristik görevlerin çözümlerini ve bir düzlemde ve önemsiz bir alanda dikdörtgen bir koordinat sisteminin düz çizgisinin bu tür eşitliklerinin atamalarını gösterir.

Yan tarafta navigasyon.

Paralel doğrudan ana köprüler.

Randevu.

Düzlemde iki doğru denir paralel neden kokmuyorsun sıcak noktalar.

Randevu.

Önemsiz dünyevi uzayda iki düz çizgiye denir. paralel bir dairede yatıp uyumamanın kokusu gibi.

Açık alanda belirlenen paralel hatlarda “kötü kokunun aynı düzlemde olduğu” uyarısına saygı gösterin. Bu anı açıklayalım: ikisi ufacık bir dünyevi uzayda dümdüzler, öyle ki uyku noktaları olmasın ve aynı düzlemde değiller, paralel değil, çapraz.

Paralel doğrulara birkaç örnek verelim. Levha zoshita'nın protilezhnі kenarları paralel düz çizgiler üzerinde uzanır. Düz, arkasında standın duvarının düzlüğünün stelin düzlüğünü geçtiği ve paralel olan altlıklar. Ayrıca paralel düz çizgilerin nasıl eşit temelde olduğunu da görebilirsiniz.

Paralel çizgilerin tanımı için "" sembolü kullanılır. Düz a ve b paralel olduğundan, a b'yi kısa yazabilirsiniz.

Saygı gösterin: a ve b düz çizgileri paralel olduğundan, a çizgisinin b çizgisine paralel olduğunu söyleyebilirsiniz ve b çizgisinin a çizgisine paralel olduğunu söyleyebilirsiniz.

Düzlemde bazı paralel çizgilerin önemli rolünü oynuyormuş gibi sağlam bir şekilde sağlam: verilen çizgide yatmayan bir noktadan, verilen çizgiye paralel bir düz çizgi geç. Bu iddia bir gerçek olarak kabul edilir (planometri aksiyomları temelinde kanıtlanamaz) ve paralel doğrular aksiyomu olarak adlandırılır.

Aşağıdaki teorem, bir uzaydaki bir uzay için geçerlidir: belirli bir düz çizgi üzerinde olmayan bir noktadan uzaya, verilene paralel bir düz çizgi geç. Tsya teoremi, paralel çizgiler aksiyomlarının tanıtımına kolayca getirilebilir (її referanslar listesindeki makalede belirtilen geometri 10-11 sınıfı el kitabından kanıtınızı öğrenebilirsiniz).

Aşağıdaki teorem, bir uzaydaki bir uzay için geçerlidir: belirli bir düz çizgi üzerinde olmayan bir noktadan uzaya, verilene paralel bir düz çizgi geç. Tsya teoremi, paralel doğruların aksiyomlarının tanıtılmasının yardımına kolayca getirilebilir.

Düz çizgilerin paralelliği - bu akıl paralelliğinin işaretleri.

Paralel çizgilerin işareti Düz çizgilerin paralelliği için yeterli zeka var, öyle ki düz çizgilerin paralelliğini garanti eden böyle bir zihniyet. Başka bir deyişle, vykonannya paralel çizgiler gerçeğini tespit etmek için yeterince düşünür.

Ayrıca düzlemde ve önemsiz uzayda doğruların paralelliğinin gerekli ve yeterli akıllarını kurmak gerekir.

“Düz çizgilerin yeterli zihinsel paralelliğinin gerekli olduğu” ifadesinin değiştirilmesi anlaşılabilir.

Düz çizgilerin yeterli zihinsel paralelliği ile zaten çözdük. Ve o ne? gerekli akıl düz çizgilerin paralelliği? "Gerekli" adının arkasında, çizgilerin paralelliği için vikonnannya tsієї zihninin gerekli olduğu anlaşıldı. Başka bir deyişle, doğruların paralelliği gerekli değilse, o zaman doğrular paralel değildir. bu şekilde, düz çizgilerin yeterli zihinsel paralelliği gerekli- Akıl, vykonannya gerektiği gibi, bu yüzden düz çizgilerin paralelliği için yeterlidir. Yani, bir taraftan düz çizgilerin paralellik işareti, diğer taraftan - bütünlük, paralel çizgiler görülebiliyormuş gibi.

İlk adım, zihnin biraz ek işaretler tahmin etmesi için yeterli olan düz çizgilerin gerekli paralelliğini formüle etmektir.

Düz- Tse düz, sanki deriyi iki düz çizgi halinde kesiyormuşuz gibi.

Emekli olurken, iki düz sichny utvoryuyuyutsya yanmamış durumda. Düz çizgilerin formüler gerekli ve yeterli akıl paralelliği için sözde kaderin kaderini alır. baş aşağı yaslanmış, yaslanmışі tek taraflı kuti. Onları koltukta göster.

Teorem.

Sichny'nin kesişme düzleminde iki düz çizgi olarak, o zaman onların paralelliği için gerekli ve yeterlidir, böylece kesikler geçti, uzandılar, eşit oldular ya da iki taraf eşit ya da birin toplamı - yan kesimler 180 dereceydi.

Düz çizgilerin bir düzlem üzerindeki gerekli ve yeterli zihin paralelliğini grafiksel olarak gösterelim.

7-9 sınıflar için geometri yardımcılarından düz çizgilerin paralelliğine dair kanıtlar bulabilirsiniz.

Saygılarımla, iki düz çizginin aynı düzlemde uzanması için önemsiz alanda - smut'ta kazanabilirsiniz.

Doğruların paralelliğini kanıtlamak için sıklıkla meydan okunan birkaç teorem daha tanıtalım.

Teorem.

Düzlemdeki iki çizgi üçüncü çizgiye paralelse, koku paraleldir. İşaretlerin kanıtı, paralel doğruların aksiyomlarından açıktır.

Bu, zihnin önemsiz uzaydaki düz çizgilerin paralelliğine benzer.

Teorem.

Uzayda üçüncü düz çizgiye paralel iki düz çizgi gibi, tüm kokular paraleldir. 10. sınıf geometri derslerinde işaretlerin görüldüğünün kanıtı.

Teoremin sondajını gösterelim.

Doğruların paralelliğini düzleme getirmemize izin veren bir teoremi daha tanıtıyoruz.

Teorem.

Üçüncü düz çizgiye dik bir düzlemdeki iki düz çizgi gibi, bunlar paraleldir.

Uzaydaki çizgiler için de benzer bir teorem vardır.

Teorem.

Önemsiz bir genişlikteki iki düz çizgi gibi, bir düzleme dik, pis koku paralel.

Hayal edilebilecek kadar küçük olanlar, zim teoremlerini yakі vіdpovіdat.

Teoremin tüm formülasyonları, işaretler ve gerekli yeterli zihinler, düz çizgilerin paralelliğini geometri yöntemleriyle kanıtlamaya mucizevi bir şekilde uygundur. Bu nedenle, düz çizgilerin iki görevinin paralelliğini getirmek için, üçüncü düz çizgiye paralel olduklarını göstermek veya kesimlerin hizasını göstermek, yalan söylemek vb. Tanımadığınız bir ortaokulda geometri dersinin ilk saatinde anonim benzer görevler ihlal edilir. Bununla birlikte, zengin vipad'lerde, düzlemdeki veya önemsiz uzaydaki çizgilerin paralelliğini kanıtlamak için koordinat yöntemini kullanmanın kolay olduğu belirtilmelidir. Dikdörtgen bir koordinat sistemi için bir görev olarak, çizgilerin paralelliğinin gerekli yeterli anlayışını formüle ediyoruz.

Dikdörtgen koordinat sisteminde doğruların paralelliği.

Bu paragrafta, istatistikler formüle edilmiştir düz çizgilerin paralelliğini anlamak için gerekli ve yeterli doğrusal bir koordinat sisteminde, tsі düz çizgileri ifade eden rіvnyan şeklinde nadastır ve ayrıca karakteristik görevlerin rozvyazki raporlarını indükleyeceğiz.

Oxy dikdörtgen koordinat sisteminin düzlemindeki iki doğrunun paralelliğini hatırlayalım. Yoganın temelinde yalan olduğunu kanıtla hattın doğrudan vektörünün belirlenmesiі düz çizginin normal vektörü dairede.

Teorem.

Düzlemde tesadüfi olmayan iki doğrunun paralelliği için, bu doğruların doğrudan vektörlerinin eşdoğrusal olması veya bu doğruların normal vektörlerinin eşdoğrusal olması veya bir dik dik doğrunun doğrudan vektörünün doğru olması gerekli ve yeterlidir. diğer satırın vektörü.

Açıktır ki, düzlemdeki iki çizginin zihinsel paralelliği, (doğruların doğrudan vektörleri veya çizgilerin normal vektörleri) veya (bir çizginin diğer çizginin normal vektörünün doğrudan vektörü)'ne indirgenebilir. Bu sırayla, i - a і b çizgilerinin doğrudan vektörleri ve і - a ve b düz çizgilerinin normal vektörleri doğrudur, o zaman a ve b düz çizgilerinin yeterli zihinsel paralelliğinin şu şekilde yazılması gerekir: , veya , veya de t gerçek bir sayıdır. Düz çizgilerin koordinatları ve (veya) a ve b düz çizgilerinin normal vektörleri, verilen düz çizgilerin arkasında kendi koordinat aralığına sahiptir.

Zokrema, düzlemdeki Oksi dikdörtgen koordinat sisteminde düz bir çizgi a gibi düz zihin , ve düz çizgi b - o zaman tsikh düz çizgilerinin normal vektörleri, vіdpovіdno koordinatları olabilir ve Um'un a і b çizgilerinin paralelliği olarak yazılacaktır.

Yakshcho bir vіdpovіdaє yönlendirir kesme katsayısı ile düz çizgilerin hizalanması zihin ve b - çizgisi, o zaman bu çizgilerin normal vektörleri i koordinatlarına sahip olabilir ve bu çizgilerin zihinsel paralelliği görülecektir. . Ayrıca, bir dikdörtgen koordinat sisteminin düzlemindeki doğrular paralel olmasına ve tepe katsayıları olan doğrulara eşit olarak ayarlanabilmesine rağmen, bu durumda doğruların tepe katsayıları eşit olacaktır. Her şeyden önce: Dikdörtgen bir koordinat sistemindeki bir düzlemde bükülmeyen düz çizgiler, eşit kenar katsayılarına sahip düz çizgilerle ayarlanabilse de, bu tür düz çizgiler paraleldir.

Düz çizgi koordinat sistemindeki düz çizgi a ve düz çizgi b gibi düz çizgilerin düz çizgilerin kanonik hizalaması zihin і , veya bir düzlemde düz bir çizginin parametrik hizalaması zihin і Açıkçası, bu doğruların doğrudan vektörleri i koordinatları olabilir ve a ve b doğrularının zihinsel paralelliği olarak yazılır.

Birkaç uygulamaya göz atalım.

popo

Ki paralel çizgiler і?

Çözüm.

yeniden yazalım sargılarda düz çizgilerin hizalanması vahşi bir düz çizginin görünümünde: . Şimdi scho'nun düz çizgilerin normal bir vektörü olduğunu görebilirsiniz. , ve normal vektör düz bir çizgidir. Qi vektörleri eşdoğrusal değildir, çünkü böyle bir şey yoktur. tarih numarası t , bunun için eşitliğin doğru olduğu ( ). Dolayısıyla düz çizgilerin düzlemdeki yeterli zihinsel paralelliğine olan ihtiyacın üstesinden gelmek gerekli değildir, düz çizgilerin görevleri buna paralel değildir.

Öneri:

Hayır, doğrudan paralel değil.

popo

Düz ve paralel mi?

Çözüm.

gezilebilir kanonik olarak eşit kesme katsayısından düz eşit: . Düz çizgilerin eşitlenmesinin ve aynısının (farklı görevlerde düz çizgilerden kaçınılacağı) ve kutovі doğrudan eşittir katsayılarının, ayrıca düz çizgilerin paralel olduğu açıktır.