Matris satır çözümü. Çaydanlıklar için matematik Matrisler ve üstlerindeki ana olanlar. Matris aktarımı işlemi

Danimarkalı metodik yardım, nasıl kazanacağınızı öğrenmenize yardımcı olacaktır. matrislerle birlikte: matrislerin eklenmesi (kaldırılması), matrislerin yer değiştirmesi, matrislerin çarpımı, pivot matrisin önemi. İfadelerin tüm malzemeleri basit ve erişilebilir formlardadır, aynı şekilde yapılır, böyle bir sıralamada hazırlıksız bir kişi matrislerle nasıl çalışılacağını öğrenebilir. Kendi kendine kontrol ve kendi kendine doğrulama için matris hesaplayıcıyı >>> ücretsiz olarak kullanabilirsiniz.

Bu bilimsel olmayan terimleri “parmaklarda” açıklayabilirseniz, teorik alt maddeleri en aza indirmeye çalışıyorum. Zemin teorisini sevenler, kibar olun, eleştiri yapmayın, görevimiz matrislerin nasıl kullanılacağını öğrenmeyi öğrenin.

Konuya yüzeysel hazırlık için ("yanan") - yoğun bir pdf kursu Matrix, o salonda vyznachnik!

Matris, ister dikdörtgen bir tablodur elementler. yakostta elementler sayılara bakabiliriz, bu sayı matrisleridir. ELEMAN- Tse termin. Terim hatırlanmalıdır, şaraplar genellikle karalanır, bu vizyon için kalın yazı tipiyle vikoristav değilim.

Tanım: matrisler büyük latin harfleriyle ses çıkarır

popo:İkiye üç matrise bir göz atalım:

Bu matris altı elementler:

Matrisin ortasındaki tüm sayılar (elemanlar) kendiniz bulunabilir, bu nedenle onunla ilgili hiçbir şey bulamazsınız:

Bu sadece bir sayı tablosu (kümesi)!

yani evdeyiz yeniden düzenleme Açıklamalarda belirtilmeyen numara. Cilt numarasının kendi çürüme yeri vardır ve onları karıştırmak imkansızdır!

Matrise bakılır, iki satırı vardır:

ve üç sütun:

STANDART: matrisin genişlemesi hakkında konuşursak, o zaman koçanın üzerinde satır sayısını ve ardından - sütun sayısını belirtin. Yavaş yavaş, "ikiye üç" matrisi fırçalarla ayırdılar.

Matrisin satır ve sütun sayısı zbіgaєtsya ise, matris denir Meydan, örneğin: - üçe üç matris.

Bir matriste olduğu gibi, bir satır veya bir satır, bu tür matrislere de denir. vektörler.

Okullardaki matrisleri gerçekten biliyoruz, örneğin koordinatları "iks" ve "iplayer" olan bir noktaya bakalım: . Aslında, noktanın koordinatları birer ikişer matriste yazılır. Konuşmadan önce, eksen size bir örnektir, sayıların sırasının neden önemli olabileceğini: ben - düzlemin iki farklı noktası.

Şimdi düğüne bir aksama olmadan devam edelim matrislerden kendin yap:

1) Diya persha. Eksinin matristen hatası (eksinin matrise girişi).

Matrisimize dönelim . Şarkı söyleyerek hatırladığınız gibi, matrisimde çok fazla negatif sayı var. Matris ile farklı olanların karalamacısına bakmak daha da elverişsiz, eksi notları yazmak kullanışlı, tasarımda sadece çirkin görünüyor.

Matrisin SKIN öğesinin işaretini değiştirerek matrisler arası eksiyi suçluyoruz.:

Sıfırda, bildiğiniz gibi, işaret değişmez, sıfır - şarap ve Afrika'da sıfır.

Zvorotny poposu: . küçümseyerek bakıyorum.

Matrisin SKIN öğesinin işaretini değiştirerek matrise bir eksi getiriyoruz:

Eksen, çok sempatik veyshlo. Ben, naygolovnіshe, matrisi yenmek DAHA KOLAY olacak. Çünkü çok matematiksel insanların prikmeta: daha fazla eksi - daha fazla dolandırıcı ve af.

2) Dostum. Bir matrisi bir sayı ile çarpma.

popo:

Çok basit, matrisi bir sayı ile çarpmak için ihtiyacınız olan deri matris öğesini çarp bütün sayı. saat bu özel tipe- Üçlü.

Bir kahverengi popo daha:

– damla ile matris çarpımı

Kafanın arkasında, robiti olanlara bakıyoruz. GEREKLİ DEĞİL:

Matriste drіb tanıtılması GEREKLİ DEĞİLDİR, ilk olarak, matristen daha uzağa katlamak daha kolaydır, farklı bir şekilde, çözümün vikladach (özellikle yakscho) tarafından yeniden doğrulanmasını basitleştirir - Artık talep).

Tim daha fazla, GEREKLİ DEĞİL eksi sіm tarafından matrisin cilt elemanının inceliği:

Üç istatistik Aptallar için matematik veya başka neden, bunu hatırlıyoruz ondalık kesirler diğer tüm matematikçilerin benzersiz olmaya çalıştıkları kişi.

Bir şey bagan robiti uygulamanızda - matrise bir eksi ekleyin:

ve yakby'den TÜM matris elemanları 7'ye bölündü aşırı olmadan, O zaman yapabilirsiniz (ve yapmanız gerekir!) Boulo b podіlit.

popo:

hangi yönde yapabilirim GEREKLİ matrisin tüm elemanlarını ile çarpın, böylece matrisin tüm sayıları 2'ye bölünür. aşırı olmadan.

Not: teorik olarak ileri matematik“podіl” i anlayan bir okul çocuğu yok. "Buna ekleme" ifadesi yerine her zaman "daha fazla ile çarp" diyebilirsiniz. Tobto podіl - tse okremia vpadok çoğul.

3) Diya üçüncü. matris aktarımı.

Matrisin transpoze edilmesi için, transpoze edilmiş matrisin sütunlarına satırlar yazmak gerekir.

popo:

Bir matrisi transpoze et

Burada sadece bir satır var ve kurala göre onu sütuna yazmak gerekiyor:

transpoze edilmiş matristir.

Aktarılan matris, bir üst simge indeksi veya sağ elini kullanan bir yılan balığı vuruşuyla gösterilir.

Kapak poposu:

Bir matrisi transpoze et

Arkada, ilk adımda ilk satırı yeniden yazıyoruz:

Başka bir satırda başka bir satırı yeniden yazalım:

І, nareshti, üçüncü satırdaki üçüncü satırı yeniden yaz:

Hazır. Kabaca, devrik, matrisi yana doğru döndürmek anlamına gelir.

4) Diya dördüncü. Toplam (perakende) matrisi.

diya matrislerinin toplamı garip.
TÜM MATRİSLER KATLANABİLİR DEĞİLDİR. Vykonannya katlama (vіdnіmannya) matrisleri için, boules kokusunun ROZMIROM İÇİN aynı olması gerekir.

Örneğin, "ikiye ikiye" bir matris verilirse, onu yalnızca "ikiye iki" matrisine ve başka herhangi bir şekilde ekleyebilirsiniz!

popo:

matrisleri katlayın і

Matrisleri katlamak için gerekli elemanlarını katlamak gerekir.:

Farklı matrisler için kural benzerdir, farklı elementler arasındaki farkı bilmek gerekir.

popo:

Matrislerin farkını bilin ,

Ve kaybolmamak için bu popoyu nasıl daha basit hale getirebilirsiniz? Matrise eksi ekleyeceğimiz eksileri eklemekten çekinmeyin:

Not: Teorik olarak lise matematik anlayışı diye bir şey yoktur. "Ne görürsen gör" ifadesi yerine her zaman "negatif bir sayı eklemek için" diyebilirsin. Tobto vіdnimannya - tse okremy vipadok katlanmış.

5) Diya p'yata. matrislerin çoğaltılması.

Hangi matrisler çarpılabilir?

Matrisin gerektiği gibi matrisle çarpılabilmesi için, matristeki sütun sayısı matristeki satır sayısına eşit olacak şekilde.

popo:
Bir matrisi bir matrisle çarpabilir misiniz?

Yine, bu matrisleri çarpabilirsiniz.

Ve aynı matristen görevleri yeniden düzenleyin, o zaman bu şekilde çarpma zaten imkansız!

Otzhe, vikonati çoğul imkansızdır:

Öğrenci, çarpımı açıkça imkansız olan matrisleri çarpmaya teşvik edilirse, görevlerin hile ile kandırılması o kadar sık ​​değildir.

Slayt, bir dizi değişkenin matrisleri çarpabileceğini gösterir.
Örneğin, matrisler için çarpılabilir, bu yüzden çarptım

Dikdörtgen açılı mxn matrisi, m ve n sütun sıralarının intikamını almak için dikdörtgen bir tabloda düzenlenen mxn sayılarının toplamıdır. Görüşte її yazacağız

aksi takdirde, A = (a i j) (i = ; j = )'ye bakıldığında, a i j sayılarına її elemanları denir; ilk dizin satır numarasını, diğeri - satır numarasını gösterir. Aynı boyuttaki A \u003d (a i j) ve B \u003d (b i j) eşit olarak adlandırılır, çünkü elemanlar çiftler halinde eşittir, bu nedenle aynı yerlerde dururlar, sonra A \u003d B, yani a i j \u003d b i j.

Bir satırdan veya bir sütundan katlanan matrise satır veya sütun vektörü denir. Stow vektörleri ve satır vektörleri basitçe vektörler olarak adlandırılır.

Bir numarası olan bir matris bu sayıya eşlenir. Bir rozmіru mxn, sıfıra eşit tüm öğelere sıfır denir ve 0 aracılığıyla atanır. Aynı endekslere sahip öğelere baş köşegen öğeleri denir. Satır sayısı travers sayısına eşitse, o zaman m = n, matrise kare sırası n denir. Baş köşegeninin sıfır veya daha fazla elemanı olan kare matrislere köşegen denir ve şöyle yazılır:

.

Eğer a i i'nin tüm elemanları çapraz olarak 1'e kadar toplanırsa, buna tek denir ve E harfi ile gösterilir:

.

Kare matrise triko denir, çünkü baş köşegeninden daha yüksek (veya daha düşük) duran tüm elemanlar sıfıra eşittir. Sıralar ve sütunlar, sayıların tasarrufundaki yerlere göre değiştirildiğinde, böyle bir dönüşüme aktarma denir. Üstte yer değiştirme simgesi T ile gösterilir.

(4.1)'de satırları sütunlarla yeniden düzenleyebildiğimiz için,

,

A. Zokrem tarafından transpoze edilmiş gibi, vektör-stovptsya'nın transpoze edilmesi sırasında, satır vektörü ve navpacki görünecektir.

Alt bileşen Ve b sayısına matris denir, öğeleri A'nın ikinci öğelerinden b sayısını çarpmak için gelir: b A = (b a i j).

Bir boyutun A = (a i j) ve B = (b i j) toplamına, öğeleri ci ben j = a ben j + b ben j formülüne atanan aynı boyutta C = (c i j) denir.

Dobutok AB kabul ile ilişkilidir, bu nedenle A sütunlarının sayısı U satırlarının sayısına eşittir.

Dobutkom AB, de А = (a i j) і B = (b j k), de i = , j = , k = , atanan AB sırasına atanır, C = (c i k) olarak adlandırılır, elemanlar böyle bir kurala atanır:

c ben k = bir ben 1 b 1 k + bir ben 2 b 2 k +... + bir ben m b m k = bir ben s b s k . (4.2)

Aksi takdirde, AB oluşturma öğesinin aşağıdaki sırayla atandığı anlaşılıyor: i-inci satırın öğesi ve k-th sütunu, i-inci satırın A yaratıcı öğelerinin en güzel toplamıdır. k. sütun B'nin bağımlı elemanları.

popo 2.1. doboot AB i'yi bilin.

Çözüm. Mayıs: Bir rozmіru 2x3, rozmіru 3x3, sonra dobutok AB \u003d C, elementler С eşit

Z 11 = 1x1 +2x2 + 1x3 = 8, Z 21 = 3x1 + 1x2 + 0x3 = 5, Z 12 = 1x2 + 2x0 + 1x5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

ve tvir BA doğru değil.

popo 2.2. Tablo, 1. ve 2. mandıralarda M 1, M 2 ve M3 depolarına günlük alınan tekil ürün sayısını, ayrıca deri mandıradan M 1 deposuna tek bir ürünün teslimatının 50 den maliyetini göstermektedir. bir, M 2 - 70 ve M 3 - 130 den mağazasına. bir. Pіdrakhuvat schodennі, vitrati tabakhane tesisini taşır.

günlük

Çözüm. Bize anlamamız için verilen A matrisi aracılığıyla ve
B - mağazanın tek bir ürününün teslimat değişkenliğini karakterize eden bir matris, tobto,

,

Taşınan matima üzerindeki Todo matrix vitrate baktı:

Ayrıca, ilk vitray fabrikası şu anda 4.750 grosz olarak fiyatlandırılmıştır. biri, diğeri - 3680 den.

popo 2.3. Dikiş işi kışlık montlar, demi-sezonluk montlar ve yağmurluklar hazırlar. On yıl için planlanan sürüm, X = (10, 15, 23) vektörü ile karakterize edilir. Vykorivuyutsya kumaşları chotirioh türleri T1, T2, T3, T4. Tabloda, cilt titreşimi için doku vitrati (metre) normları. С = (40, 35, 24, 16) vektörü, cilt tipinin dokusunun metresinin değişkenliğini ve P = (5, 3, 2, 2) vektörü - taşınan metrenin varyansını gösterir. dermal tip doku.

	Vitrata kumaşlar
kışlık mont
Yarı sezon ceket

Lineer Cebir

matrisler

matris rozmіru m x n - m satır ve n stoptsіv intikamını almak için doğrusal sayılar tablosu. Bir matrisi oluşturan sayılara matris elemanları denir.

Matrisler büyük Latin harfleriyle ve öğeler - aynı, balenli indekslemeli küçük harflerle gösterilir.

Örneğin, 2 x 3 boyutlu A matrisine bakalım:

Bu matrisin iki satırı (m = 2) ve üç satırı (n = 3) vardır, yani. won altı öğeden oluşur: a ij de i - satır numarası, j - satır numarası. Bununla, değer 1 ila 2'dir ve birin değeri üçe kadardır (kaydedilir). Zokrema, a 11 = 3; a12 = 0; 13 = -1; 21 = 0; 22 = 1.5; 23 = 5.

Aynı büyüklükteki (m x n) A ve B matrislerine denir. eşit, böylece koku element-eleman zbіgayutsya, tobto. a ij = b ij için , o zaman. herhangi bir i ve j için ("i, j" yazabilirsiniz).

satır matrisi- bir satırdan katlanan aynı matris ve matris damgası- Bir stovptsya'dan katlanmış Tse matrisi.

Örneğin, bir satır matrisidir ve .

Kare matris n'inci sıraya - matris, bir satıra kadar sütun sayısına kadar ve n'ye kadar.

Örneğin, farklı sıradaki bir kare matris.

Diyagonal matris elemanları – satır numarasının sütun numarasına eşit olduğu hedef elemanlar (a ij, i = j). Qi öğeleri tatmin edici ana köşegen matrisler. Ön uçta, ana köşegen a 11 = 3 ve 22 = 5 elementlerinden oluşur.

Diyagonal matris- Bu, tüm köşegen dışı öğelerin sıfıra eşit olduğu bir kare matristir. Örneğin, - Üçüncü dereceden köşegen matrisi. Eğer öyleyse, tüm köşegen elemanlar bire eşittir, o zaman matris denir. yalnız(Sesler E harfi ile gösterilir). Örneğin, - Üçüncü dereceden yalnız matris.

matris denir sıfır böylece tüm її öğeleri sıfıra eşit olur.

kare matris denir örme yani baş köşegeninin altındaki (veya üstündeki) tüm elemanlar sıfıra eşittir. Örneğin, - Üçüncü dereceden Tricut matrisi.

matrisler üzerinde işlemler

Matrisler üzerinde aşağıdaki işlemler yapılabilir:

1. Bir matrisi bir sayı ile çarpma. l sayısı için ek matris, herhangi bir i i j için elemanları b ij = la ij olan B = lА matrisidir.

Örneğin, yakscho, sonra .

2. matrislerin eklenmesi. Aynı boyutta m x n olan iki A matrisinin toplamına, elemanları "i, j" için ij \u003d a ij + b ij olan C \u003d A + B matrisi denir.

Örneğin, gibi sonra

.

Önden operasyon yoluyla mümkün olması önemlidir. görsel matris aynı boyutta: fark A-B\u003d A + (-1) * Sanat.

3. matrislerin çoğaltılması. Genişletilmiş matris n x p'ye ek genişletilmiş A matrisi m x n, böyle bir C matrisi olarak adlandırılır; bunun kabuk elemanı, s ij, matris A'nın i-inci satırının elemanlarının j-inci'nin görünür elemanları üzerindeki toplamını tamamlar. matrisin sütunu, tobto. .

Örneğin, gibi

, o zaman matris oluşturmanın genişlemesi 2 x 3 olacaktır ve anneye dikkat edin:

Bu şekilde A matrisine daraltılmış matris denir.

Kare matrisler için çarpma işlemi temelinde, işlem ayaklardaki bağlantılar. A kare matrisinin pozitif basamağı A m (m > 1), A'ya eşit ek m matrisleri olarak adlandırılır, tobto.

Diyelim ki, matrislerin eklenmesi (yer değiştirmesi) ve çarpması iki matris için değil, yalnızca kendi ölçüsünde en çok olanı söylemek içindir. Znakhodzhennya için sumi chi rіznitі matrisleri їх rozmіr obov'yazkovo aynı olabilir. Matrislerin oluşturulması için ilkindeki sütun sayısı diğerindeki satır sayısı kadar artırılabilir (bu tür matrislere denir. lütfen zhenimi).

Sayılar üzerindeki işlemlerin güçlerine benzer şekilde, bakılan işlemlerin güçlerine bakalım.

1) Değişmeli (kaydırmalı) katlanma yasası:

A + B = B + A

2) Birleştirici (mutlu) katlama yasası:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Dağılım (yayılma) çarpma yasası nasıl katlanır:

l(A + B) = lA + lB

A(B+C) = AB+AC

(A + B) C = AC + BC

5) Birleştirici (mutlu) çarpma yasası:

l (AB) \u003d (lA) B \u003d A (lB)

A(BC) = (AB)C

Matrisler için değişen çarpma yasasının ters yönde, yani değişmediği desteklenir. AB ¹ BA. Ayrıca, AB tabanından, BA tabanının mutlaka telaffuz edilmesi gerekmez (matrisler kabul edilebilir olmayabilir ve hatta indüklenmiş uçta olduğu gibi, birden çok matriste olduğu gibi aynı dobut'lar atanmaz). Ale navіt yakscho suç işliyor, yap, kıyameti kükreme raznі.

İyi bir şekilde, değişme yasası aynı düzendeki tek bir matrise bir kare matris A ekleyebilir, ayrıca bu A'ya eşittir (burada tek bir matrisle çarpmak, sayıları çarparken bir ile çarpmaya benzer):

AE = EA = A

Doğru,

Sayıların çarpımlarına bir matris çokluğu daha ekliyoruz. Birinin sıfıra eşit olmasını istiyorsanız, sıfıra daha fazla veya bundan daha az sayı eklenebilir. Matrisler hakkında bir şey söylemek mümkün değil, tobto. sıfır matrislere ek sıfır olmayan matrisler eklenebilir. Örneğin,

Matrisler üzerindeki işlemlere bir göz atalım.

4. matris aktarımıє A matrisinden m x n genişletmesine, A T matrisine n x m genişletmesine geçiş işlemi, aynı satırlarda ve sütunlarda boşluklarla anıldı:

%.

Aktarma işleminin gücü:

1) Aşağıdakileri seçtik, böylece matris ikiye aktarılabilir, çıktı matrisine döneceğiz: (AT) T = A.

2) Yer değiştirme işareti için sabit çarpan suçlanabilir: (lА) T = lА T .

3) Dağılımla çarpılmış ek matrislerin aktarımı: (AB) T = B T A T i (A + B) T = B T + A T .

matrisler

Kaplama kare matrisi A için |A| sayısını girin. vyznachnik. Innodi yoga, D harfi ile gösterilir.

Düşük pratik görevlerin üstünde önemli olan Tse є. Hesaplama yöntemiyle önemli ölçüde yoga.

Birinci dereceden bir matris için її tek eleman |A| = D1 = a11.

Farklı sıradaki bir matris için, bir sayı, |А| formülünden sonra hesaplandığı için gösteren olarak adlandırılır. \u003d D 2 \u003d 11 * a 22 - a 21 * a 12

Üçüncü dereceden bir A matrisi için sayı, formülden sonra hesaplandığı için gösteren olarak adlandırılır.

Kaplamadaki, kaplama satırından ve kaplama matris matrisinden tam olarak bir öğeye giren 6 eklemeden oluşan cebirin toplamını temsil eder. Vyznachnik formülünün ezberlenmesi için, sözde hileler kuralını veya Sarrus kuralını hızlandırmak gelenekseldir (Şekil 6.1).

Küçük 6.1'de, artı işareti olan eklemeler için öğelerin nasıl seçileceği, kötülüğün şeması gösterilmektedir, - pis koku, baş köşegeninde ve eşit femoral trikutniklerin üstlerinde perebuvayuttur ve bunları paralel olarak yerleştirir. Dodankіv zі için zlіva vikoristovuєtsya şeması "eksi" işareti; üzerinde, baş köşegeninin yardımcısı sözde yan alınır.

Daha yüksek derecelerin liderleri özyinelemeli bir şekilde hesaplanır, tobto. üçüncü dereceden halef aracılığıyla dördüncü dereceden halef, dördüncü dereceden halef aracılığıyla beşinci dereceden halef, vb. Yöntemi tanımlamak için, matrisin o cebirsel tamamlayıcı öğesinin küçük kavramını tanıtmak gerekir (en önemlisi, daha sonra incelenecek olan yöntemin kendisinin üçüncü ve diğer düzen için uygun olmasıdır).

Küçük M ij elemanı n'inci sıradaki bir ij matrisi, A matrisinden alınan (n-1)-inci sıradaki matrisin başlangıcı ve j'inci sütunun i satırının eşleşmesi olarak adlandırılır.

n'inci sıranın deri matrisi (n-1)'inci sıradaki n2 minördür.

cebirsel eklemeler n. sıradaki bir ij elemanı ij matrisi, zі işareti (-1) (i + j) alarak yogo minör olarak adlandırılır:

A ij \u003d (-1) (i + j) * M ij

Çiftin satırındaki ve sütunundaki sayıların toplamı olan Z vznachennya viplivaє, scho A ij \u003d M ij, eşleşmeyen A ij \u003d -M ij.

Örneğin, gibi , sonra ; ve benzeri.

Anapara hesaplama yöntemi saldırıda polygaє: kare matrisin göstereni, öğelerin herhangi bir sıradaki (stovptsya) yaratımlarının toplamından cebire eklemelerinde daha gelişmiştir:

(düzenine göre i-inci elementler satırlar; );

(j-th sütununun öğelerinin düzeni;).

Örneğin,

Anlamlı bir şekilde, başlangıçta triko matrisinin ilkel modeli, baş köşegen elemanlarından daha gelişmiştir.

Hakimlerin temel yetkilerini formüle edelim.

1. Bir satır varsa veya matris yalnızca sıfırlardan oluşuyorsa, hakem 0'a eşittir (rozrahunka yöntemini izler).

2. Matrisin bir tür satırının (stowptsya) tüm öğelerini aynı sayı ile çarparsanız, aynı sayı tam sayı ile çarpılır).

Not: gösterenin işareti için, satırın kendisinin sıcak çarpanını suçlayabilirsiniz (matrisin işareti için, işareti için öğelerin sıcak çarpanını suçlayabilirsiniz). Örneğin, , .

3. її matrisi yer değiştirdiğinde, gösteren değişmez: | bir T | = | bir | (İspat yapılmayacaktır).

4. Matrisin iki satırının (stowptsiv) boşluklarını yeniden düzenlerken, hakem prolege işaretini değiştirir.

Koçanın değerini doğrulamak için, matrisin iki ardışık satırının yeniden düzenlenmesi kabul edilebilir: i-th ve (i + 1)-th. Rozrahunka vyznachnika vyhіdnoj matrisi için fırlatırım, ve yeni matris için (yeniden düzenlenmiş satırlarla) - by (i + 1) - th (niy'de olduğu gibi aynıdır, bu nedenle eleman eleman hareket eder). Daha sonra, diğer işaret genişletildiğinde, cilt, cebirsel matima'yı prolege işaretiyle tamamlar, böylece (-1), (i + j) adımlarına değil, (i + 1 + j) adımlarına indirgenir, ve başka bir formülde formüller eklenmeyecektir. Bu şekilde primatın işareti protile dönüşür.

Şimdi, mahkemelerin yeniden düzenlenmesi değil, örneğin i-th ve (i + t)-th gibi iki sıra daha olması kabul edilebilir. Böyle bir permütasyon, i-inci sıranın t sıra aşağı ve (i + t)-inci sıra - (t-1) sıra yukarı kaydırılmasıyla mümkündür. Primatın işareti kimin için değişir (t + t - 1) = 2t - 1 kez, yani. eşleşmeyen sayı. Otzhe, bırakın asmalar gerisini değiştirsin.

Benzer yansıtma stovptsiv için değiştirilebilir.

5. Matris iki özdeş satırı (stowptsya) değiştirecekse, bir sonraki 0'a eşittir.

Doğru, aynı satırlar (stovptsі) görevler tarafından yeniden düzenlenirse, o matrisin kendisi aynı atananlar tarafından alınacaktır. Diğer tarafta, ön yakistyu damarlarının arkasında tobto sembolünü değiştirebilirsiniz. D = -D D = 0.

6. Matrisin iki satırının (stowptsіv) öğeleri orantılı olduğundan, bir numara 0'a eşittir.

Bu güç, o şarabın baş çarpanının kelepçesi için ileri gücüne dayanır (eğer matristeki orantı katsayısının kelepçesi için şarap, stovpts ile aynı satırlar olacaksa ve sonuç olarak, katsayı sıfırla çarpılır).

7. Aynı matrisin bir sonraki satırının (stowptsya) öğelerinin cebirsel eklenmesinde matrisin herhangi bir satırının (stowptsya) yaratıcı öğelerinin toplamı her zaman 0'dan fazladır: i ¹ j için

Güç getirmek için A matrisindeki j-inci sırayı i-inci sıra ile değiştirmek yeterlidir. Kısaltılmış matriste iki eşit satır olacaktır, bu nedenle bir sonraki 0'a eşittir. Diğer tarafta, j'inci satırın elemanları ile hesaplanabilir: .

8. Matrisin indeksi değişmez, sadece satırın elemanlarına veya matrise, bir sonraki satırın elemanlarını (stow) aynı sayı ile çarparak ekleyin.

Pekala, i. sıranın öğelerini ekleyeyim j-inci eleman satırlar l ile çarpılır. Yeni i-th satırının Todi öğeleri görülecektir
(a ik + la jk , "k). i-inci satırdaki öğelerden sonra yeni matris düzeninin işaretini hesaplayalım (її öğelerinin cebirsel eklemelerinin değiştiğinde değişmemesi önemlidir):

Bu primatın dış matrisin primatına benzemediğini çıkardık.

9. Önemli dobutku matrisleri daha pahalı dobutku їх vyznachnіv: | AB | = | bir | * |U| (İspat yapılmayacaktır).

Hesaplarını affetmek için vyznachniklerin ve papazların daha fazla otoritesine baktılar. Zzvichay namagayutsya böyle bir forma perevorit matrisi, shchob be-yaky stovpets veya bir dizi intikam yaknabіlshe sıfır. İlk sıranın veya diğerinin döşenmesi için bir sonraki hakemi bilmek kolaydır.

ters matris

Matris A-1 denir tersine çevrilebilir A kare matrisine oranına göre matris A matrisi ile çarpılsa bile sağ yönlü olduğundan tek matris çıkıyor : A -1 * A = A * A -1 = E.

Ters matrisin, A matrisi ile aynı dereceden bir kare matris olduğunu takip eder.

Pivot matrisinin anlaşılmasının, pivot sayısının anlaşılmasına benzer olduğu görülebilir (tam sayı, belirli bir sayı ile çarpıldığında bir verir: a*a -1 = a*(1/a) = 1).

Bıyık numaraları, sıfırı kır, sayıları sarabilir.

Gücü, dönüşün kare matrisinin ne olduğunu bulmak için hakemi bilmek gerekir. Matris sıfıra eşitse, böyle bir matris denir. virojen, veya özellikle.

Gerekli yeterli akıl Serum matrisinin temeli: Serum matrisi aynıdır ve sadece virojen olmayan matris kullanılmadığında.

İhtiyacı getireceğiz. Matris A -1 ters matrisi olsun. A -1 * A \u003d E. Todi | A -1 * A | = | Bir -1 | * |A| = | E | = 1. Daha sonra,
|A| ¹0.

Yeterlilik getiriyoruz. Bunu ortaya çıkarmak için, bakire olmayan matris için her zaman yapılabilen serum matrisini hesaplama yöntemini basitçe açıklamak gerekir.

Otzhe, hadi | bir | ¹ 0. A matrisini transpoze edin. Kaplama elemanı А Т için gelmek(Karşılıklı, müttefik):.

Alınan matrisin ve çıktının gerçekliğini biliyoruz. Götürmek . Bu sırada matris köşegendir. її baş köşegeninde çıktı matrisinin işaretleri vardır ve öğelerin satırları sıfırdır:

Benzer şekilde, bunu gösterebilirsiniz.

Matrisin tüm öğelerini |A|'ya bölerseniz, tek matris E'yi alırsınız.

Böyle bir rütbe , sonra. .

Pivot matrisin birliğini getiriyoruz. Diyelim ki, A için ana ters matris, varsayılan A -1'dir. Önemli ölçüde її X. Todi А * Х = Е.

A -1 * A * X \u003d A -1 * E

Birlik getirdi.

Ayrıca, pivot matrisi hesaplama algoritması aşağıdaki adımlardan oluşur:

1. Matrisin hakemini bilin | bir | . Yakscho |A| = 0 ise, A matrisi bir virojendir ve ters matris bilinemez. Yakscho |A| ¹ 0, ardından basamaklı kroşeye gidin.

2. AT matrisinin aktarılmasını teşvik edin.

3. Aktarılan matrisin cebirsel tamamlayıcı elemanlarını bilin ve verilen matrisi indükleyin.

4. Alınan matrisi |A|'ya bölerek sarılmış matrisi hesaplayın.

5. Pivot matris hesaplamasının doğruluğunu doğru bir şekilde şu noktaya çevirebilirsiniz: A -1 * A = A * A -1 = E.

1. Hile kuralının arkasındaki matrisin bir numarasını öğrenelim:

Yeniden yazmayı atlayalım.

Aşağıdaki matrisleri güce getirebilirsiniz:

1) | A-1 | = 1 / | bir |

2) (A -1) -1 = A

3) (A m) -1 = (A -1) m

4) (AB) -1 = B -1 * A -1

5) (A -1) T \u003d (AT) -1

matris sıralaması

Küçük k. sıra m x n matrisine k-inci dereceden kare matrisinin işaretini isimlendirmek için, A matrisinden alındığı gibi satır ve sütun olup olmadığını eşleştirmek için.

Reşit olmayanın sırasının daha küçük olan tobto'dan daha ağır olmadığına dikkat etmek önemlidir. k £ dak (m; n). Örneğin, A 5x3 matrislerinden birinci, diğer ve üçüncü derecelerin kare alt matrislerini çıkarmak mümkündür (küçük dereceleri genişletmek mümkündür).

rütbe matris adı bulma sırası matrisin minörlerinde sıfırlar şeklinde (Rang A veya r(A)'yı belirtin).

Vay

1) matrisin sırası, en küçük s її razmiriv, tobto'dan seçilir.
r(A) £ dak (m; n);

2) r(A) = 0 ve sonra, matris sıfır ise (tüm matris elemanları sıfıra eşittir), o zaman. r(A) = 0A = 0;

3) n'inci dereceden bir kare matris için, r(A) = n ve sonra, A matrisi virojen değilse, o zaman. r(A) = n | | ¹0.

Hatta böyle bir minörden (üçüncü sütunun dirilişinden alınandan) birden fazlasını hesaplamak kimin için yeterlidir (çünkü reştte sıfır üçüncü sütun olacak ve o koku sıfıra eklenecektir.) ).

Triko kuralının arkasında = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Üçüncü dereceden tüm küçüklerin kırıkları sıfır, r(А) £ 2'dir.

Bizim tarafımızdan kabul edilen vikoristani'nin (çeşitli küçüklere bir bakış) katlanmış modlarda büyük emekle daha yüksek rütbe için uygun olmadığı açıktır. Matrisin muzaffer dönüşüm eylemlerinin rütbesinin işaretini seslendirin, dedikleri gibi temel:

bir). V_dkidannya sıfır satır (stovpts_v).

2). Bir satırın veya matrisin tüm öğelerinin sıfırı saymadan bir sayı ile çoğaltılması.

3). Matrisin satırlarının (stovptsiv) sırasını değiştirme.

dört). Bir sonraki satırın (stovptsya) aynı öğelerinin bir satırının (stovptsya) cilt öğesine ek, bir sayı ile çarpılır.

5). Transpoze.

A matrisi, B matrislerinden elemanter dönüşümlerle alındığı için bu matrislere denir. eşdeğer A~B'yi gösteriyorum.

teorem. Matrisin temel dönüşümleri sıralamayı değiştirmez.

Teoremin kanıtı matrisin baskınlığından açıkça görülmektedir. Aslında bu dönüşümler sırasında kare matrisler ya kaydedilir ya da sıfıra eşit olmayan bir sayı ile çarpılır. Savaş boyunca, dış matrisin küçüklerinin baştaki sıfırlarının en büyük sırası kendi kendine bırakılır, yani. її rütbesi değişmez.

Temel dönüşümlerin yardımı için, matris, sözde adım adım görünüme getirilir (üzerinde yeniden çalışılır). adım matrisi), sonra. Baş köşegeninin altındaki eşdeğer matrisin yalnızca sıfır elemana sahip olduğu ve baş köşegenin sıfır olmayan elemanlara sahip olduğu varsayılır:

Adım-frekans matrisinin sırası r'ye eşittir, ondan çapraz eşleştirmenin parçaları stoptsiv, (r + 1)'den başlayarak ve uzakta, r'inci dereceden üç para birimi matrisini alabilir, skaler sıfırla aynı olacaktır, inci mertebe sıfıra eşit değildir):

popo Bir matrisin sırasını bulun

bir). Bir 11 \u003d 0 ise (bizim durumumuzda olduğu gibi), o zaman satırları ve stovptsіv'yi yeniden düzenleyerek 11 ¹ 0'a ulaşılabilir. Burada matrisin 1. ve 2. satırlarını hatırlıyoruz:

2). Şimdi 11 mi? 0. Temel dönüşümler Dob'єmosja, ilk stovptsi'de shchob shta elementіv sıfır doіvnyuvali. Diğer satırda 21 = 0 var. Üçüncü satırda 31 = -4 var. Sob (-4) 0 duruyor, üçüncü satıra ilk satır ekleniyor, 2 ile çarpma (tobto by (-a 31 / a 11) \u003d - (-4) / 2 \u003d
= 2). Benzer şekilde, dördüncü satıra ilk satırı ekleyin (çarpmalar bir, ardından (-a 41 / a 11) = - (-2) / 2 = 1).

3). Çıkarma matrisinde a 22 ? 0 (yakbi bulo a 22 = 0, daha sonra satırları yeniden düzenleyebilirsiniz). Diğer tarafın altındaki köşegenlerin sıfır olduğundan emin olalım. 3. ve 4. sıraya th için başka bir satır ekleyin, çarpmalar -3 ((-a 32 / a 22) \u003d (-a 42 / a 22) \u003d - (-3) / (-1) \u003d - 3):

dört). Kısaltılmış matriste, kalan iki satır sıfırdır ve їх bırakılabilir:

İki sıra halinde katlanan adım matrisi çıkarıldı. Ayrıca, r(A) = 2.

Bu anlayış, scho zagalnyu є tüm olası işlemler, matrislerle yakі viroblyayutsya. Matematiksel matris - element tablosu. Böyle bir tablo hakkında, de m kürek ta n stoptsіv, matris rozmirnіst olabilir gibi görünüyor müzerinde n.

Matrisin parlak görünümü:

İçin çözüm matrisi matrisin ne olduğunu anlamak ve ana parametreleri bilmek gerekir. Matrisin ana unsurları:

• Elemanlardan oluşan baş köşegen bir 11, bir 22 ..... bir dakika.
• Elemanlardan oluşan yan köşegen 1n, 2n-1 …..a m1.

Ana matris türleri:

• Kare - böyle bir matris, de satır sayısı = sütun sayısı ( m=n).
• Sıfır - tüm matris elemanları = 0.
• Aktarılan matris - matris saat, dış matristen yak bula otrimana A bir yolla, sütunlardaki satırları değiştirin.
• Yalnız - baş köşegeninin tüm elemanları = 1, çizgi = 0.
• Ters matris bir matristir, bir ters matris ile çarpıldığında sonuç olarak tek bir matris verir.

Matris hem baş hem de yan köşegenlere simetrik olabilir. Tobto, yakscho 12 = 21, a 13 = bir 31, .... bir 23 = bir 32 .... bir m-1n = bir mn-1 daha sonra matris ana köşegen boyunca simetriktir. Kare matrislerden fazlası simetrik olabilir.

Rozvyazannya matrislerinin yöntemleri.

hepsi mayıs matris dönüştürme yöntemiünlü її vyznachnik'te yalan söyle n inci sıra ve daha fazlasını yapmak için hantal. 2. ve 3. derecenin primatını bilmek için başka, daha rasyonel yollar var.

2. sırada Znakhodzhennya vyznachnikі.

Matrisin hesaplanması için ANCAK 2. sıra, baş köşegeninde elemanların oluşturulması için yan köşegende ek elemanlar eklemek gerekir:

3. dereceden bilgi yöntemleri.

Aşağıda 3. mertebenin bilgisi için kurallar bulunmaktadır.

Trikutnik kuralı basitleştirildi, biri gibi kiraz matrisi yöntemleri, aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Başka bir deyişle, ilk hakemden gelen öğelerin, sanki düzmüş gibi alınması "+" işaretiyle alınır; aynen böyle, 2. katip için - en önemli kreasyonlar "-" işaretiyle alınır, bu nedenle böyle bir şema için:

saat Sarrus kuralına göre matrisleri çözme, sağ elini, imzacı yönünde, ilk 2 sütunu ekleyin ve baş köşegeninde ve köşegenlerde en önemli öğeleri oluşturun, i. paralel gibi, 3'ü "+" işaretiyle alın; ancak "-" işaretiyle paraleller gibi iki yan köşegen ve köşegen öğesi oluşturun:

Razkladannya vyznachnik stovptsyu sayısı sırasına göre saat başı matrisler.

Vyznachnik, cebir eklerinde vyznachnik sırasının öğelerinin yaratımlarının daha iyi bir toplamıdır. Bu satırı / stovpet'leri sıfır olacak şekilde seçmek için arayın. Düzenin gerçekleştirildiği bir satır veya satır, bir ok olarak gösterilecektir.

Primatı bir trikoya getirmek kiraz matrislerinin saatine bakın.

saat çözüm matrisi Primatı bir triko görünümüne getirmenin yardımıyla, şu şekilde çalışın: ilahi sıraları üzerindeki en basit dönüşümlerin yardımıyla, primat bir triko görünümüne dönüşür ve görünüşe göre primatın gücüne göre dobutku unsurları aynı anlama gelir. , baş köşegen üzerinde durmak gibi.

Matrislerin mükemmelliği için Laplace teoremi.

Laplace teoreminin arkasındaki matrisleri görerek, teoremin ortası olmadan kendisini bilmek gerekir. Laplace teoremi: Hadi Δ - tse vyznachnik n sıra. Yeni be-yakі'da Vibiraemo k zihin için rowkiv (abo stovptsiv), k≤ n - 1. Böyle bir zaman işlerin toplamı var k sıra, seçilenlerin intikamını almak için ne k satırlar (stowptsyah), vyznachnik'e cebirsel eklemelerinde.

Virishennya matrisi.

için sıra serum matrisi çözeltisi:

1. Bir kare matrisin verildiğini anlayın. Olumsuz görüş zamanlarında, tükürük matrisinin olamayacağı açıktır.
2. Cebire eklemelerin hesaplanması.
3. Bir müttefik (karşılıklı olarak gel) matrisi oluşturuyoruz C.
4. Cebire eklemelerle ters matris ekleme: verilen matrisin tüm elemanları C koçan matrisi üzerinde zamano. Alt toplam matrisi, rastgele tanımlanmış bir pivot matris olacaktır.
5. Vikonan robotunu kontrol ediyoruz: pochatkov matrisini çarpıyoruz ve matrisi çıkarıyoruz, sonuç tek bir matris olabilir.

Virishennya sistem matrisleri.

İçin matris sistemleri için çözümler En yaygın yöntem Gauss yöntemidir.

Gaus yöntemi, cebirin (SLAE) lineer hizalama sistemlerinin türetilmesinin standart yoludur ve değişikliklerin sıralı olarak açılması gerçeğinde alanlar kazanır, bu nedenle, ek temel değişiklikler için, hizalama sistemi eşdeğer bir sisteme getirilir. tricurrency, ondan sonra, sonra (sayının arkasında) sistemin cilt elemanını bilir.

Gaus yöntemiє matrisleri çözmek için en evrensel ve en iyi araç. Sistemin kişisel olmayan bir çözümü olduğu veya sistemin özet olmadığı gibi, Cramer kuralını ve matris yöntemini ihlal etmek imkansızdır.

Gauss aktarma yöntemi de doğrudandır (genişletilmiş matrisi kademeli bir görünüme indirger, böylece sıfırlar baş köşegeninin altında çıkarılır) ve ters (genişletilmiş matrisin baş köşegeninin üzerinde sıfırlar çıkarılır) yürüyüştür. Doğrudan yön Gauss yöntemidir, ters - Gauss-Jordan yöntemi. Gauss-Jordan yöntemi, değişiklik sırası dışında Gauss yöntemine benzer.

Randevu 1. A matrisi dünyayam n m satır ve n sütundan oluşan ve sayılarla veya diğer matematiksel değişkenlerle (matris elemanlarının sıraları) toplanan dikdörtgen bir tabloya denir, i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3 , ..., n.

, veya

Randevu 2. iki matris
і
aynı boyutta denir eşit, yani öğeye göre sıralanır. =, ben = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n.

Ek matrisler için, ekonomik mevduatların hesaplarını, örneğin kaynakların ekonominin kararlarına göre dağılım tablolarını yazmak kolaydır.

Randevu 3. Böylece, matristeki satır sayısı її stovptsіv'den zbіgaєtsya'dır, yani. m = n, sonra matris denir kare düzenn, ve farklı bir ışıkta doğrusal.

Randevu 4. A matrisinden, satırların ve sütunların kaydetme sırasındaki yerler tarafından anıldığı A t matrisine geçişe denir. aktarma matrisler.

Matrise bakın: kare (33 boyutunda) -
,

doğrusal (boyut 25) -
,

köşegen -
, bekar -
, sıfır -
,

matris satırı -
, matris-stowpets -.

Randevu 5. Aynı indislere sahip n mertebesinde bir kare matrisin elemanlarına baş köşegen elemanları denir. ce elemanları:
.

Randevu 6. n mertebesinde bir kare matrisin elemanları, indeksleri n + 1 olduğundan, bir kenar köşegenin elemanları olarak adlandırılır. Elementler: .

1.2. Matrisler üzerinde işlemler.

1 0 . sumoyu iki matris
і
aynı boyut, elemanları ij = a ij + b ij'ye (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,…) eşit olan С = (ç ij) matrisi olarak adlandırılır. ,n).

Katlama matrislerinin işlem gücü.

Yakah için A,B,C matrisleri bir rozіru vykonuyutsya rivnostі:

1) A + B = B + A (değişebilirlik),

2) (A + B) + C \u003d A + (B + C) \u003d A + B + C (ilişkilendirme).

2 0 . Tvorom matrisler
sayı başına  matris denir
i ile aynı boyutta A matrisidir, ayrıca b ij =  (i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n).

Bir matrisi bir sayı ile çarpma işleminin gücü.

(А) = ()А (çarpan çağrışımı);

(А+В) = А+В (rastgele katlanan matrislerin çokluğunun dağılımı);

(+)А = А+А (rastgele katlanan sayıların çarpılmasının dağılımı).

Randevu 7. matrislerin lineer kombinasyonu
і
aynı boyut A + B, de  ve  - yeterli sayılar şeklinde çağrılır.

3 0 . Dobutcom A  matrisler Bir mdpovіdno razmіrіv іn nk matrisi 3 expіrum mk olarak adlandırılır, öyle ki z ij öğesi, A matrisinin i-inci satırındaki yaratıcı öğelerin toplamı ve j-inci sütundur matris B, tobto. h ij = bir ben 1 b 1 j + bir ben 2 b 2 j + ... + bir ik b kj .

Dobutok AB sadece bu durumda kullanılır, çünkü A matrisinin sütun sayısı matrisin satır sayısına göre değişir.

Matrisleri çarpma işleminin gücü:

(АВ)С = А(ВС) (çağrışımsallık);

(А+В)С = АС+ВС (rastgele katlanır matrislerin dağılımı);

А(В+С) = АВ+АС (rastgele katlanır matrislerin dağılımı);

АВВА (değişmeli değil).

Randevu 8. AB = BA olan A ve B matrislerine commuting veya commuting denir.

Bir kare matrisin çoğaltılması, farklı bir tek matris üzerinde hangi sırada olursa olsun, matrisi değiştirmez.

Randevu 9. Temel dönüşümler matrislere bu tür işlemler denir:

Görevlerle iki satırın (stovptsiv) değiştirilmesi.

Bir satırın cilt elemanının (stovptsya) sıfıra eşit olmayan bir sayı ile çoğaltılması.

Bir sıranın (stowptsya) öğelerine, sonraki sıranın (stowptsya) ikinci sıra öğelerinin eklenmesi.

Randevu 10. Matris, matrislerden otrimana Ve temel dönüşümlerin yardımına denir eşdeğer(BA imzalı).

popo 1.1. 2A-3B matrislerinin lineer kombinasyonunu bilin, örneğin

,
.

,
,

.

popo 1.2. Doboot matrix'i bilin
, beğenmek

.

Çözüm: İlk matristeki sütun sayısı başka bir matristeki satır sayısından değiştirilir, ardından ek matris kullanılır. Sonuç olarak, yeni bir matris alıyoruz
, de

Sonuç olarak, alıyoruz
.

Ders 2. Atananlar. Başka bir üçüncü sırada vyznachniki hesaplanması. atananların gücünsıra.