Subgrupuri de grupuri ciclice. Grupuri ciclice. Sumіzhni classi, teorema lui Lagrange

Grupul O se numește ciclic, deoarece toate elementele sunt trepte ale unuia și aceluiași element.Acest element se numește grup ciclic afirmativ O. Dacă un grup ciclic este în mod evident abelian.

Un grup ciclic este, de exemplu, un grup de numere întregi pentru adunări. Grupa Qiu mi este semnificată prin simbolul 2. ї tvirnoy є numărul 1 (і navit numărul - 1). Un grup ciclic este, de asemenea, un grup care constă dintr-un singur element (singur).

Într-un grup mare Despre nervurile oricărui element g să devină un subgrup ciclic cu un g solid. Ordinea subgrupurilor, zrozumіlo, zbіgaєtsya cu ordinea elementului g. Rezultatele teoremei lui Lagrange (div. pag. 32) arată că ordinea oricărui element al unui grup ar trebui împărțită, ordinea unui grup (respectiv, că toate elementele grupului final sunt elemente de ordine finală).

Cu aceasta, pentru orice element g al grupului final, ordinea poate fi egală

Acest simplu respect este adesea greșit.

Evident, deoarece grupul este ciclic și її stabilește, atunci ordinea elementului este corectă. Înapoi, ca un grup de elemente volody în ordine, apoi printre pașii acestui element sunt diferiți, iar la acel pas întregul grup Pro.

Mi bachimo, într-un astfel de rang, încât un grup ciclic poate matern un dekilka de diferite utvoryuyuchih (în sine, să fie un element de ordine є tvernoy).

Administrator. A aduce asta un grup de ordine simplă este un grup ciclic.

Administrator. Aduceți ceea ce poate comanda un grup ciclic, aproba în mod egal, denumerați numere pozitive, mai mici și reciproc mai simple s .

În ordinea ordinii, fie că este vorba despre un grup kіntsevіy, puteți adăuga un număr - cel mai mic multiplu semnificativ al ordinului tuturor elementelor її.

Administrator. Să aducă, indiferent de finalul grupului, numărul pentru a împărți ordinea grupului.

Este evident că într-un grup ciclic numărul crește în ordine. Înapoi, vzagali aparent, nu este adevărat. Tim nu este mai puțin, poate fi întărire, ceea ce caracterizează grupurile ciclice din clasa grupurilor finale abeliene:

sfârșitul grupului abelian, pentru care numărul este mai avansat la ordinea, є grup ciclic.

Corect, să nu facem

Ordine ale tuturor vіdmіnkh vіd odinі elementі v kіntseї аbelії ї ї ї Despre ordin, і nehay - їх cel puțin zagalne multiplu.

Să descompunăm numărul de trepte suplimentare ale diferitelor numere prime:

Lăsați numărul Oskіlki є, în acest scop, cel mai mic multiplu comun al numerelor (1), dintre numerele pe care doriți să aveți un număr care să împartă exact cu ie. Fie numărul є ordinul elementului g. Același element este în ordine (div. secvența 1) pe fața 29).

Într-un astfel de rang, pentru oricine din grupul Pro іsnuє dorește să folosească un element în ordine. Vibrarea pentru piele este un astfel de element, să ne uităm la fața ta. Zgidno z firmzhennyam, aduceți în lateral. 29-30; Oskіlki restul numărului pentru minte este bun, Tim însuși a adus că în grup există un element în ordinea articolului. Otzhe, acest grup este un grup ciclic.

Haide acum O - un grup destul de ciclic cu unul răsucit și H - deak її subgrup. Oskіlki dacă un element al subgrupului H este un element al grupului Pro, îl puteți privi, de d - poate fi un număr mai pozitiv sau negativ (vzagali, sevne este ambiguu). Ne putem uita la impersonalitatea tuturor numerelor pozitive, care element aparține subgrupului N. Oskilki ce impersonalitatea nu este goală (de ce?), atunci este afișat cel mai mic număr, dacă elementul h subgrupul H este treapta elementului. De fapt, de dragul argumentului, există același număr d, care (numărul poate fi negativ). Împărțiți (prea mult) numărul d la număr

Deci, atunci, din cauza numărului minim de excedente, se face vinovat că a ajuns la zero. Într-o asemenea manieră,

Tim însuși a scos la iveală faptul că elementul este un grup solid H, deci grupul H este ciclic. Otzhe, fie un subgrup al unui grup ciclic al unui grup ciclic.

Administrator. Aduceți numărul la indexul subgrupului H și, apoi, împărțiți ordinea grupului (cum ar fi grupul O Kintsev).

Cu respect, pentru orice dilnik, ordinea ultimului grup ciclic Q din grupul Pro este unul și mai multe subgrupe H în ordine (și subgrupul în sine este

Este evident că grupul ciclic endian este simplu, că ordinea este un număr prim (sau unitate).

Este semnificativ faptul că un factor (un grup al aceluiași, fie o imagine homomorfă) al unui grup ciclic Q este un grup ciclic.

Pentru a dovedi acest lucru, amintiți-vă că grupul tvirnoi ar trebui să servească clasa inteligentă, care să răzbune grupul tvirno Pro.

Zocrema, dacă factorul grupului grupului de numere întregi Z este un grup ciclic. Vivchimo tsі tsіchіchіchі grupі prіknіshe.

Deoarece grupul Z este abelian, atunci dacă subgrupul Z este un dilnik normal. Pe de altă parte, din punctul de vedere al aducerii mai mult, subgrupul H este un grup ciclic. Deoarece factorul grupului din spatele subgrupurilor triviale este cunoscut de noi, atunci putem considera subgrupul H ca fiind netrivial. Fie numărul є care satisface subgrupul N. Putem face numărul pozitiv (de ce?) і, de asemenea, mai mare decât unu.

Subgrupul N. se formează, evident, din toate numerele care se subdivizează în. De aceea două numere aparțin încă unei singure clase de sumă pentru subgrupul H, dacă diferența este împărțită la , atunci dacă mirosul poate fi egal cu modulul (div. Curs, pag. 277). În acest rang, sumele clasei pentru subgrupul H nu sunt altceva, ca și clasele de numere, astfel încât să vă puteți egala pentru modul.

Cu alte cuvinte, factorul grupului grupului Z pentru subgrupul lui H este grupul (pentru adunări) claselor de numere care sunt egale între ele pentru modulul . Vom desemna acest grup prin clasa Її aprobare є, care va răzbuna numărul 1.

Apare dacă grupul ciclic este izomorf sau grupul Z (deoarece nu este limitat), sau unul dintre grupuri (cum este ordinea jupuită).

Adevărat, spune-mi - eu fac grupa O. În mod semnificativ, expresia grupului 2 în grupa O, totuși

Să ne uităm la grupul multiplicativ al tuturor celor doi pași ai celor doi (2Z, ), unde 2Z = (2 n | P e Z). Un analog al grupului aditiv my є este grupul aditiv al numerelor întregi gemene (2Z, +), 2Z = (2n | p e Z). Damo zagalne vyznachennya grupuri, okremi butts ale unor astfel de grupuri є danі.

Numirea 1.8. Grup multiplicativ (G,) (Grupul aditiv (G, +)) se numește ciclic cum se adună din nivelurile succesive (ale tuturor multiplilor) ale unui element a e G, tobto. G=(A p | p e Z) (vіdpovіdno, G - (pa | p e Z)). Denumire: (a), citiți: grup ciclic generat de elementul a.

Să aruncăm o privire.

1. Capul unui grup ciclic multiplicativ fără scalare poate fi un grup al tuturor etapelor de ciclu ale unui număr întreg fix a f±1, won indicat și r.Într-o asemenea manieră, și d - (a).
2. Capul grupului ciclic terminal multiplicativ este grupul C rădăcină n-a pas de singur. Ghici ce rădăcină n-a treci de la unul la știi

în spatele formulei e k= cos---hisin^-, de înainte de = 0, 1, ..., P - 1. Slide- p p

într-adevăr, З „ \u003d (e x) \u003d (e x \u003d 1, e x, ef \u003d e 2, ..., e "-1 \u003d? „_ x). Ghici ce numere complexe e to, to = 1, ..., P - 1, sunt înfățișate prin punctele unui singur țăruș, iac P părti egale.

3. Un exemplu caracteristic de grup ciclic aditiv care nu se scala este un grup aditiv de numere întregi Z care este generat de numărul 1, adică. Z = (1). Geometric, apare la vederea tuturor punctelor dreptei numerice. De fapt, așa este reprezentat grupul multiplicativ în sine 2 7 - = (2) a z \u003d (a), număr decil a f±1 (div. Fig. 1.3). Calitatea imaginilor este discutată în paragraful 1.6.
4. Vibero într-un grup multiplicativ mare G element activ A. Atunci toate ciclurile treptelor elementului satisfac subgrupul ciclic (a) = (a p p e Z)G.
5. Se poate arăta că grupul aditiv al numerelor raționale Q nu este el însuși ciclic, ci dacă două elemente se află sau nu în subgrupul ciclic.

A. Demonstrăm că grupul aditiv Q nu este ciclic. Admisibil inacceptabil: fie Q = (-). Numărul țintă de bază b,

nu imparti t. Oskіlki - eQ = (-) = sn-|neZ>, apoi substantiv-

b t/ (t J

є numărul tsile gs 0 deci sho - \u003d n 0 -. Ale todi m = n 0 kb,

stele t:- dіyshli super-sharpness.

B. Să spunem că încă două numere rationale -

h „ /1

i - subgrup ciclic suprapus (-), de tє găsi- d t/

mai mic decât un multiplu mare de numere bі d. Corect, să nu facem m-bi

, A 1 /1 h cv 1/1

i m = av, u, v e Z, apoi i - = - = aї-e(-)i - = - = cv-e(-).

b b i t t/ a dv t t/

Teorema 1.3. Ordinea grupului ciclic este aceeași cu ordinea elementului părinte al grupului, tobto.|(a)| = | a |.

Aducând. 1. Haide | = ">. Știm că toți pașii naturali ai elementului A diferit. Admisibil inacceptabil: hai ak = a tі 0 la Todi t - inainte de - numar naturalі a t ~ la = e. Ale tse superechit din acel scho | a = ° °.În acest fel, toți pașii naturali ai elementului A raznі, zvіdki vyplivaє neskіchennіst grup (a). Otzhe, | (a)| = ° ° = | a |.

2. Haide | a | = n. (a) \u003d (e - a 0, a, a 2,..., a "-1). Din denumirea grupului ciclic, includerea (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) s (a). Să-l pornim. Element suplimentar al grupului ciclic (A) poate arata un t, de ti Z. Distribuirea rachiului în exces: m-nq + r, de 0 p. Oskilki a n = e, apoi un t = a p i + g \u003d a p h? a r = a r e(a 0, a, a 2,..., a "- 1). Zvіdsi (a) s (a 0, a, a 2, ..., În această ordine, (a) \u003d (a 0, a, a 2, ..., a" -unu).

Este necesar să aducem că toate elementele sunt înmulțite (a 0, a, a 2,..., iar „-1) diferit. Admisibil neacceptabil: fie 0 i P, ale a" = A). Același vin - e ta 0 j - i - dіyshli super-sharpness z umovoy | a | = P. Teorema a fost finalizată.

Subgrupuri de grupuri ciclice

Urmează o teoremă care definește existența unui subgrup de grupuri ciclice.

Teorema 1.4. Un subgrup al unui grup ciclic este ciclic. Yakscho G = (a)uH - subgrup non-singur al grupului G, moH = (și e) de p - cel mai mic număr natural, cum ar fi p e N.

Aducând. Hai G = (a) că H- subgrupul unui grup G. Ca un subgrup H singur, atunci H =(f) – grup ciclic. Haide H- subgrup non-singur. Semnificativ prin P cel mai mic număr natural, deci un stilou,și anunță-ne asta H \u003d (a p). Includere ( a p) h H evident. Să-l pornim. Haide el e H. Oskilki G = (a), atunci este un adevărat spectacol inainte de,şi ce dacă h = a to. Să împărțim inainte de pe P este prea mult: inainte de = nq+ g, de 0 p. g F 0, apoi ia h = a la = a pa p h a g, stele a r \u003d a ~ p hN e N. A ajuns la superbe cu afișaj minim P. De asemenea, r = 0 i la - nq. Zvіdsi h = a k = a p h e a"). În acest rang, H h ( A n), mai târziu, H = (a e). Teorema a fost finalizată.

Elemente părinte ale grupului ciclic

Ce elemente pot da naștere unui grup ciclic? Există două teoreme care susțin aceste două teoreme.

Teorema 1.5. Fie ca un grup ciclic G = (a) să primească o ordine neredusă. Todi (a) - (A la) atunci, și numai atunci, dacă până la - ± 1.

Aducând. Haide G = (a),|a| = ° ° i (a) = (Ak). Todі іsnuє tіla kіlkіst P,şi ce dacă a = a kp. Zvіdsi a * "-1 \u003d e,și oskolki | a = apoi kp - 1 = 0. Alethodi kp = 1 ich-± 1. Întărirea gravă este mai evidentă.

Teorema 1.6. Să dăm un grup ciclic G = (a) de ordinul m. gcd(/s, t) = 1.

Aducând.(=>) Hai (a) = (a inainte), anunțați-ne că GCD(/s, t) - 1. În mod semnificativ SNDC, t) – d. Oskilki A e (a) - (a la), apoi a = a kp cu întregul actual P. Pentru ordinea exactă a elementelor, astrele cântă, scho (1 - kp) : t, tobto. unu - kp = mt pentru un întreg real t. Ale todi 1 = (kp + mt) : d, stele d = 1 і GCD(/s, t)= 1.

(Să mergem la NID (k, t) = 1. Să știm ce (A) = (Ak).Înștiințare (a inainte) h (a) este evident. Înapoi, minte GCD nr., t) = 1 următoarele numere іși v, așa ki + mv= 1. Koristuyuchis tim sho | a | -t, acceptabil a = a ku + mv = a ku a mv = a kі e (a to). Otzhe, (a) = (a la). Teorema a fost finalizată.

Ghici ce Funcția Euler f(t) reprezintă numărul de numere naturale, care nu schimbă numărul natural tși reciproc simple t. Sună ca o consecință obsesivă.

Consecinţă. Grup ciclic (A) Ordin t maє f(t) a diferitelor elemente, care sunt generate.

Pentru precizia geometrică dată a teoremei 1.5, reprezentăm grupul ciclic G = (a) Ordin t puncte de miză A 0, A b ..., A t _ bîmpărțiți-l în t părti egale. element a la grupuri date care arată puncte Si inainte va genera unele și numai unele, dacă, succesiv, punctele A 0, Ak, A 2k etc., vom ajunge la punctul A]. Să știm totul inainte de la t= 10 să enumerăm doar vipadkіv (Fig. 1.5). Drept urmare, luăm înainte de =1,3, 7, 9. Pentru un grup ciclic (A) Tse înseamnă că (a) \u003d (a 3) \u003d (a 7) \u003d (a 9). spate: stiu inainte de, reciproc simple cu același număr t, puteți cu bunăvoință vikreslyuvaty vodpovidnu "zirochka", știind cu fermitate că devreme chi pizno sorbi la punctul de piele, mai mult (a) = ( A la).

Haide G– grupează acel element A G. Ordinea elementului a (indicată prin ׀а׀) se numește cel mai mic număr natural nN, ce

A n = A . . . . A =1.

Dacă un astfel de număr nu este cunoscut, atunci se pare că A- Un element de ordine inconsecventă.

Lema 6.2. Yakscho A k= 1, atunci kîmpărțiți în ordinea elementelor A.

Programare. Haide G- acel grup A G. Todi bezlich

H = (ak ׀ k }

є subgrup al grupului G, așa cum se numește subgrup ciclic generat de elementul a (indicat de H =< а >).

Lema 6.3. Subgrup ciclic H, generat de element A Ordin n, є termina ordinea grupului n, în plus

H = (1 = a 0, a, ..., a n-1).

Lema 6.4. Haide A- Un element de ordine inconsecventă. Același subgrup ciclic H = <A> - nejupuit si be-orice element s Hînscrie-te la vedere A k , inainte deZ, de altfel, într-un singur rang.

Grupul este numit ciclic yakscho a câștigat subgrupurile zbіgaєtsya z odnієyu zіh svoїkh tsіchnyh.

fundul 1. Grup de aditivi Z dintre toate numerele întregi este un grup ciclic infinit generat de elementul 1.

fundul 2. Rădăcini impersonale n-a treaptă din ordinul 1 al grupului ciclic n.

Teorema 6.2. Dacă un subgrup al unui grup ciclic este ciclic.

Teorema 6.3. Dacă un grup infinit ciclic este izomorf cu un grup aditiv de numere întregi Z. Fie că este un sistem ciclic kіntseva n izomorf cu grupul tuturor rădăcinilor n- al-lea pas de la 1.

Subgrup normal. factor de grup.

Lema 6.5. Haide H- Subgrupul unui grup G, pe baza tuturor claselor sum stânga în același timp є i clasele sum_ dreapta. Todi

aH=Ha, A G.

Programare. Subgrup H groupie G numit normal în G(indicat HG), pentru că toate și stânga summіzhnі classi au dreptate, deci

aH=Ha, AG.

Teorema 6.4. Haide H
G, G/N– fără chip a tuturor claselor sumative ale grupului G pe subgrup H. Cum să se înmulțească G/N operația de înmulțire

(aH)(bH) = (ab)H,

apoi G/N devine un grup, deoarece factorul se numește grup de grup G pe subgrup H.

Homomorfism de grup

Programare. Haide G 1 i G 2 - grupuri. Fermentarea Todi f: G 1
G 2 se numește homomorfism G 1 in G 2, ca

F(ab) = f(A)f(b) , a,b G 1 .

Lema 6.6. Haide f– homomorfism de grup G 1 la grup G 2. Todi:

1) f(1) - un singur grup G 2 ;

2) f(A -1) = f(A) -1 ,AG 1 ;

3) f(G 1) - subgrup al unui grup G 2 ;

Programare. Haide f– homomorfism de grup G 1 la grup G 2. Todi bezlich

kerf = {AG 1 ׀f(A) = 1G 2 }

se numește nucleul homomorfismului f .

Teorema 6.5. ker f
G.

Teorema 6.6. Fii un subgrup normal al unui grup Gє nucleul oricărui homomorfism.

Kiltsya

Programare. Gol fără chip Inainte de numit kіltsem, ca și pe cea nouă, sunt atribuite două operații binare, așa cum se numesc adunări și înmulțiri și satisfac mințile care avansează:

Inainte de- grupul lui Abel pentru operațiuni ulterioare;

plural asociativ;

vikonuyutsya legi ale distributivității

X(y+z) = xy+xz;

(x+y)z = xz+yz, x,y,zK.

fundul 1. Bezlich Qі R- Kiltsya.

Kіltse se numește comutativ, ca

xy=yx, X yK.

fundul 2. (Porivnyannia). Haide m- număr natural fix, Aі b- Dovіlnі tsіlі număr. Acelasi numar A potrivite cu numărul bîn spatele modulului m ca retail A – b fi împărțit în m(scris: Ab(mod m)).

Evaluare egală cu stabilirea echivalenței asupra impersonalului Z, ce se rupe Z pe clasă, yakі apelează clase vіdrahuvan pentru modul mși semnifică Z m. Bezlich Z mє inel comutativ cu unitate.

câmpuri

Programare. Câmpul se numește gol, impersonal R, Pentru a răzbuna nu 2 elemente, cu două operații binare de pliere și înmulțire astfel încât:

fundul 1. Bezlich Qі R câmpuri nelimitate.

fundul 2. Bezlich Z r- Câmpul Kіntseve.

Două elemente Aі b câmpuri R vіdminnі vіd 0 se numesc dilers of zero, cum ar fi ab = 0.

Lema 6.7. Câmpul nu are un număr de zerouri.

Fie g un element suplimentar al grupului G. Todi, acceptând subgrupul minim
, generat de un element
.

Programare. Subgrup minim
, generat de un element g al grupului G, se numește subgrup ciclic grupa G.

Programare. Ca și întregul grup G se naște dintr-un element, adică.
, atunci se numește grup ciclic.

Haide element al grupului multiplicativ G, același subgrup minim, generat de acest element, se formează din elementul în minte

Să ne uităm la pasul elementului , apoi. elemente

Doua posibilitati:

1. Usі pas element g raznі, tobto.

, apoi aici pentru a spune că elementul g nu poate fi redus în ordine.

2. Є zbіgi pași, tobto. , ale
.

І aici elementul g este ordinul final.

Corect, spune-mi, de exemplu,
і
todi,
, apoi. stabiliți pași pozitivi
element
, egal cu un singur element.

Fie d - cel mai puțin pozitiv indicator al nivelului elementului , pentru care
. Apoi se pare că elementul
Ultima comandă, egală cu d.

Visnovok. Au un fel de grup G de ultimul ordin (
) toate elementele vor fi în ordinea finală.

Fie g un element al grupului multiplicativ G sau un subgrup multiplicativ
se adună din toate etapele diferite ale elementului g. Otzhe, numărul de elemente din subgrup
zbigaєtsya cu ordinea elementului tobto.

numărul de elemente dintr-un grup
corectează ordinea elementului ,

Din cealaltă parte, poate fi aceeași duritate.

Fermitate. Ordin oricare ar fi elementul
la ordinea subgrupului minim generat de acest element
.

Aducând. 1.Yakscho - Elementul comenzii finale , apoi

2. Yakscho - Un element de ordine inconsecventă, apoi nu aduce nimic.

element Yakscho poate comanda , apoi, în acest scop, toate elementele

diferit și să fie un pas zbіgaєtsya cu unul dintre aceste elemente.

Adevărat, lăsați ostentativul să pășească
, apoi. - număr suficient și nu merge
. Acelasi numar poate fi văzut dintr-o privire
, de
,
. Todі, vikoristuuuuuuuuuuuuuuuu nivel de putere al elementului g,

Zokrema, yakshcho.

fundul. Haide
- Grupul abelian de numere întregi este aditiv. Grupul G este format dintr-un subgrup minim, generat de unul dintre elementele 1 sau –1:

otzhe,
- Grupul Bezkіnechna tsiklіchna.

Grupuri ciclice de ordin final

Ca un exemplu de grup ciclic de ordin final, este clar un grup de împachetare corectă n-kutnik shodo yogo în centru
.

Elemente de grup

є întoarceți n-kutnik-ul împotriva săgeții lui godinnikov pe kuti.

Elemente de grup
є

iar din oglindirea geometrică este clar că

grup
a răzbuna elementele, tobto.
, ci elementul satisfacator al grupului
є , apoi.

Haide
todi (div. fig. 1)

Orez. unu – grup - un înveliș al trikutnikului corect ABC shodo la centrul O.

Operație algebrică  într-un grup - Ultima împachetare pe săgeata anului, pe kut, multiplu , apoi.

elementul Zvorotny
- înfășurarea în spatele săgeții anului pe kut 1, tobto.

Tabelul Kechi

Analiza grupurilor kіntsevyh este cel mai probabil să fie utilizată în avans pentru tabelele suplimentare ale Keli, precum și pentru introducerea „tabelului de înmulțire”.

Fie grupul G să se răzbune pe elementele n.

În opinia mea, tabelul Keli є matrice pătrată sunt n rânduri și n rânduri.

La rândul de piele și la stratul de piele, unul sau mai multe elemente ale grupului.

element tabelul Kelі, scho să stea pe retina rândului i și coloanei j, la rezultatul operației de „înmulțire” a elementului i cu elementul j al grupului.

fundul. Fie grupul G să răzbune trei elemente (g1, g2, g3). Operație în grupul „înmulțire”. În acest moment, tabelul lui Keli poate arăta:

Respect. La rândul de piele și coloana de piele a mesei Keli se găsesc toate elementele grupului și nu există duhoare. Tabelul Keli pentru a înlocui toate informațiile despre grup. Ce poți spune despre puterea acestui grup?

1. Singurul element al acestui grup este g1.

2. Grupul este abelian deoarece masa este simetrică de-a lungul diagonalei principale.

3. Pentru elementul de piele al grupului, este necesar să

pentru g 1 wrap є element g 1 pentru g 2 element g 3 .

Să mergem pentru grupuri Tabelele de celule.

Pentru semnificația elementului pivot pentru element, de exemplu, , necesar pentru un rând, pentru un anumit element cunoaște elementul de răzbunare stovpets . element vidpovіdny dat stovptsyu i є vorotnym elementului , deoarece
.

Așa cum masa Keli este simetrică ca și diagonala capului, tse înseamnă asta

- Tobto. funcţionarea grupului analizat este comutativă. De dragul argumentului, tabelul Keli este simetric, deși diagonala capului înseamnă că operația în comutativ, adică.
,

un grup - Abelova.

Puteți vedea întregul grup de transformări ale simetriei n - cosinus corect adăugându-se la operaţie înfăşurarea operaţiei suplimentare a unei viraj spaţioase în jurul axelor de simetrie.