2-р төрлийн интеграцийн арга

2-р төрлийн муруйн интегралыг авч үзье, энд L нь M ба N цэгүүдийг холбосон муруй юм. P(x, y) ба Q(x, y) функцуудыг L муруй болгоё. Зарим шинжилгээнд чухал ач холбогдолтой. муруйн интегралыг L муруйн хэлбэрээр байршуулах боломжгүй, зөвхөн M ба N цэгүүдийг өргөтгөсөн.

Бид D зайд байрлах MSN ба MTN хоёр нэмэлт муруйг зурж, M ба N цэгүүдийг холбодог (Зураг 14).

Юу, tobto гэж хэлье

de L - хаалттай гогцоо, MSN болон NTM муруйгаас нугалах (мөн үүнийг нэмж нэмж болно). Ийнхүү интегралчлалын аргаар 2-р төрлийн муруйн интегралын бие даасан байдлын оюун ухаан нь аливаа битүү гогцооны ард ийм интеграл тэгтэй тэнцүү байна гэсэн оюун ухаантай тэнцүү байна.

Теорем 5 (Ногоон теорем). Бодит D талбайн бүх цэгүүдэд P(x, y) ба Q(x, y) функцууд ба тэдгээрийн хувийн шилжилтийг өг. Дараа нь D мужид байрлах битүү контур L байхын тулд

бүс нутгийн бүх цэгүүдэд шаардлагатай бөгөөд хангалттай D.

авчирч байна.

1) Хөгжил цэцэглэлт: оюун ухаанаа явуул = vikonano. S мужийг тойрсон D бүсийн илүү хаалттай L контурыг авч үзээд шинэ хэсгийн Ногоон томъёог бичье.

Otzhe, хангалттай авчирсан.

2) Шаардлагатай байдал: D хэсгийн арьсны цэгт оюун ухааныг бичсэн гэж бодъё, гэхдээ та талбайн төвд нэг цэг олохыг хүсвэл аль нь -? 0. Алив, жишээ нь, P(x0, y0) цэг дээр магадгүй: - > 0. Тэгэхээр мэдрэлийн зүүн хэсэг нь тасалдалгүй үйл ажиллагаа явуулдаг тул нэг өдрийн турш эерэг, том байх уу? > 0 deakіy жижиг бүс D`, цэг P. Otzhe өшөө авах,

Грийн томъёог авч үзэх нь чухал юм

de L` - D` талбайг тойрсон контур. Tsey үр дүнд нь superchit оюун ухаан. Мөн авчрах шаардлагатай байсан D бүсийн бүх цэгт =.

Хүндэтгэл 1. Үүний нэгэн адил, триви ертөнцийн орон зайн хувьд муруйн интегралын бие даасан байдлын шаардлагатай бөгөөд хангалттай оюун ухааныг авчирч болно.

нэгтгэх чиглэлд є:

Тайлбар 2. Хэзээ vykonannі оюун ухаан (52) viraz Pdx + Qdy + Rdz є дээд дифференциалбодит функц. Энэ нь муруйн интегралын тооцоог заасан зөрүүний утга хүртэл, контурын төгсгөл ба эрдэнэ шишийн цэгүүдэд нэгтгэх, масштаблах боломжийг олгоно.

Томъёноос би аль функцийг мэдэж болно

de (x0, y0, z0) - D бүсийн цэг, С - хангалттай болсон. Үнэн хэрэгтээ (53) томъёогоор өгөгдсөн хувийн функцууд нь P, Q, R-тэй тэнцүү гэдгийг төөрөлдүүлэхэд хялбар байдаг.

өгзөг 10.

2-р төрлийн муруйн интегралыг тооцоол

(1, 1, 1) ба (2, 3, 4) цэгүүдийг холбосон бүрэн муруйн дагуу.

Виконууд юу гэж бодож байгааг үргэлжлүүлье (52):

Otzhe, функц нь одоо байгаа. Бид x0 = y0 = z0 = 0 гэж тохируулснаар (53) томъёоны ард її гэдгийг мэднэ. Дараа нь

Энэ зэрэглэлд, функц нь хангалттай dodanku байршуулах хүртэл нарийвчлалтайгаар тодорхойлогддог. Z = 0, дараа нь u = xyz гэж үзье. Отже,

Муруй шугаман интегралыг авч үзье

хавтгай муруй нь deak дараа авах Лцэгүүдийг холбодог Мі Н. Функцүүд гэж үзье P(x, y)і Q(x, y)Таны харж байгаа хэсэгт тасралтгүй хувийн амралтын өдрүүд байж болно Д. Мэдээжийн хэрэг, муруй шугаман интеграл бичих ийм сэтгэлгээний хувьд муруй хэлбэртэй байж болохгүй. Л, мөн зөвхөн коб болон төгсгөлийн цэгийн байрлалд хадгална Мі Н.

Өөр хоёр муруйг харцгаая MPNі MQN, нээлттэй талбайн ойролцоо байрладаг Дболон холбох цэгүүд Мі Н. Аливээ

(1)

Дараа нь 1 ба 4-р зэрэглэлийн үндсэн дээр муруйн интегралууд нь:

tobto. хаалттай циклийн интеграл Л

Томъёоны үлдсэн хэсэгт битүү контурын дагуух авалтын муруйн интеграл Лмуруйгаас нугалав MPNі NQM. Цей контур ЛТа мэдээжийн хэрэг, vvazhati dovilnym болно.

Энэ зэрэглэлд анхаарлаа хандуулаарай:

Иймээс дурын хоёр M ба N цэгийн хувьд муруйн интеграл нь муруйн хэлбэрээр биш, зөвхөн муруй хэлбэртэй байх ба зөвхөн эдгээр цэгүүдийн байрлалд байх болно, дараа нь, юу ямар ч битүү контурын ард муруй шугаман интеграл тэгтэй тэнцүү байна .

Шударга, хорон муу висновок:

хэрэв ямар ч битүү гогцооны арын муруй шугаман интеграл нь 0-тэй тэнцүү бол энэ муруйн интеграл нь хоёр цэгийн хооронд байрлах муруй хэлбэртэй байж болохгүй., зөвхөн цикийн хуаранд хэвтэнэ цэг . Энэ нь үнэн, scho of equivalence (2) exuperant equivalence (1)

Теорем

P(x, y), Q(x, y) функцуудыг D дико мужийн бүх цэгүүдэд нэгэн зэрэг өөрийн хувийн болон тасалдалгүйгээр ашиглая. Дараа нь өрөөний голд байрлах ямар ч хаалттай L-ийн ард муруйн интегралтай байхын тулд тэг хүрнэ. шоб

(2΄)

шаардлагатай, хангалттай vikonannya тэнцэх

талбайн бүх цэгүүдэд D.

авчирч байна

Хаалттай хэлхээг нарийвчлан авч үзье Лбүс нутагт ДШинэ хувилбарын хувьд бид Гриний томъёог бичнэ.

Хэрэв оюун ухаан (3) хожвол муугаар үнэлэгддэг дутуу үнэлэгдсэн интеграл нь мөн тэг i-тэй тэнцүү байна.

ийм байдлаар, хүрэлцээугаах (3) авчирсан.

Одоо авчиръя хэрэгцээоюун ухаан, tobto. аль ч битүү муруйн хувьд тэгш байдал (2) ялах боломжтой Лбүс нутагт Д, дараа нь бүс нутгийн арьсан цэг дээр оюун ухаан нь ялалт (3).

Нөгөө талаар атаархал (2) ялдаг нь хүлээн зөвшөөрөгдөхүйц юм.

болон Umov (3) ялах биш, tobto.

нэг цэгт халуун би. Алив, жишээ нь дуулах цэг нь сандарч магадгүй юм

Мэдрэлийн зүүн хэсэг нь тасалдалгүй функцтэй байдаг тул цэгийн өшөөг авахын тулд жижиг талбайд хүрэхийн тулд бүх цэгүүдэд эерэг, тодорхой тооноос илүү байх болно. Vіzmemo podvіyny іntegra іn іy galluzі vіd raznitsi. Vin matime нь эерэг утгатай. Үнэн,

Ногоон томъёоны ард үлдсэн тэгш бус байдлын зүүн хэсэг нь бүс хоорондын муруйн интегралд ойртох бөгөөд энэ нь тэтгэмжийн ард тэг рүү ойртдог. Otzhe, ostannya nerіvnіst supercheat оюун ухаан (2), otzhe, pripuschennya, scho дээр vіdminu vіd тэг нэг цэгт байхыг хүсдэг, тийм биш. Орилж байгаа сонсогдож байна, юу вэ

бүх цэг дээр Д.

Отже, теорем дахин дууслаа.

Дифференциал тэгшитгэлийн хурим болох үед энэ нь санаанд орж ирэв

вираз гэдэгтэй дүйцэж байна pdx + Qdyє одоогийн функцийн хамгийн сүүлийн дифференциал u(x, y), дараа нь.

Цому випадку вектор дахь але

є градиент функц u(x, y);

Чиг үүрэг u(x, y), градиент нь вектортой төстэй боломжаль вектор.

Үүнийг бидэнд мэдэгдээрэй муруйн интегралтай хэн M ба N цэгүүдийг холбосон ямар ч L муруйн ард эдгээр цэгүүд дэх i функцийн утгуудын ялгаа:

авчирч байна

Якчо Рdx + Qdyє функцийн дээд дифференциал u(x, y), дараа нь би муруйн интегралыг харна

Энэ интегралыг тооцоолохын тулд бид муруйны параметрийн тэгшитгэлийг бичнэ Лцэгүүдийг холбодог Мі Н:

Вираз, ариун сүмд юу зогсох вэ, үйл ажиллагаа явуулдаг т, энэ нь дагуу бүрэн төстэй функц юм т. Том

Як ми бачимо, Тасралтгүй дифференциал хэлбэрийн муруйн интеграл нь муруй хэлбэртэй байж болохгүй, үүнд интеграл шаардлагатай.

Ийм байдлаар:

Хоёр дахь төрлийн муруйн интегралуудын бие даасан байдлыг анхаарч үзээрэйИнтеграцийн аргыг дараах байдлаар бүрдүүлнэ.

Yakshcho in deakіy galuzі P(x, y)і Q(x, y) тасалдалгүйөөрийн i-тэй хамт, тэгвэл:

1. талбайд D хэлбэрээр худал хэлэх хэрэггүйнэгтгэх арга замууд, yakscho yogo нь shmatkovo-гөлгөр муруйны ард гэсэн утгатай, scho tsіy galuzі болон mum zagalny cob і zagalny kіnets дээр хэвтэх Гэсэн хэдий ч.

2. интеграл uzdovzh be-like битүү муруй Лбүс нутагт оршдог D нь тэгтэй тэнцүү.

3. Үндсэн функц u(x, y), yakoї viraz-ийн хувьд pdx+qdyІsnuє povny дифференциал, дараа нь.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

5

талбайн арьсны цэг дээр Д.

Интегралын контур руу орохгүйн тулд интегралыг тооцоолохын тулд

Дараа нь холбогч цэгүүд ба ланкасууд нь Үхэр ба Ой тэнхлэгүүдтэй параллель байхаар ламыг нэгтгэх хамгийн залуурдах замыг сонгох хэрэгтэй.

Пидинтеграл вирус P(x, y)dx + Q(x, y)dyоюун ухааныг томилохын тулд дээд дифференциалгүйцэтгэх функцууд u = u(x, y) tobto.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

функц u(x, y)(эх) та хамгийн түгээмэл муруйн интегралыг lamania de-ээр хэрхэн тооцоолохыг мэдэж болно - энэ нь тогтмол цэг ч бай, B(x, y) – өөрчлөх цэг, цэг нь хамгийн их координат юм Xтэр . Todi vzdovzh maєmo гэж dy = 0, мөн vzdovzh maєmo x = constі dx = 0.

Энэ томъёог авч үзье:

Үүний нэгэн адил, lamanoy де otrimaemo нэгтгэх

Өргөдөл гаргах

1. Тооцоол

Энэ интеграл нь интеграцийн контурын дагуу хадгалагдах ёстой, учир нь

Бид ламыг нэгтгэх арга замыг сонгож, шугамууд нь координатын тэнхлэгтэй параллель байна. Эхний салбар дээр:

Өөр байршилд:

Отже,

2. Эхлээд мэд у, гэх мэт

Алив контур хий Өмнө ньє ламана OMN. Тоди

3. Мэдээрэй, якчо

Энд координатын коб цэгийг авах боломжгүй, учир нь функцийн энэ цэг дээр P(x, y)і Q(x, y)хуваарилагдаагүй, Үүний тулд бид үүнийг нэг цэгийн хувьд авдаг, жишээлбэл,. Тоди

4. Элипсээр хүрээлэгдсэн газар нутгийг мэдэх

ХЭРХЭН хэсэгт эргэлдэж, хаалттай C шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг томъёоны дагуу тооцоолно.

,

de contour Z эерэг чиглэлд тойрч гардаг.

Муруй шугаман интегрийг дуу болгон хувиргаж, өөрчлөлтийг бий болгоцгооё

Параметр т 0-ээс 2 хүртэлх утгыг дамжуулах уу?

Ийм зэрэглэл

3. Нумын уртын хамгийн өндөр муруйн интеграл Лякчо Л- цэцэгт байцааны циклоид

“МУРЖИЛТЫН ИНТЕГРАЛ” СЭДЭВТ ДААЛГАВАР

Сонголт 1

De L нь XOY хавтгай дээр байрлах A(0;-2) ба B(4;0) цэгүүдийн шулуун шугамын гурвалжин юм.

vzdovzh lamanoї L:OAB, de O(0,0), A(2,0), B(4,5). Жилийн эсрэг сумны контурыг тойрч гарах.

Координатын ард, учир нь L нь эхний улиралд байрлах эллипсийн нум юм.

De L нь A(1,1), B(2,2), C(1,3) оройтой трикотын контур юм. Жилийн эсрэг сумны контурыг тойрч гарах.

мөн йог мэддэг.

7. Хүчний орон нь F(x, y) хүчээр үүсгэгддэг бөгөөд энэ нь координатын координатад илүү олон цэгийг тогтоож, координатын координат руу чиглүүлэх боломжийг олгодог. Роботын талбайн хүчийг мэдэхийн тулд y2 = 8x параболын нумын дагуу нэг массын материаллаг цэгийг (2; 4) цэгээс (4; 4) шилжүүлэхэд хэрэглэнэ.

Сонголт 2

1. Нумын ирмэг дээрх муруй шугаман интегралыг (декарт координат) тооцоол.

De L нь O (0; 0) ба А (1; 2) хоёрыг холбосон шулуун цэгийн агшилт юм.

2. Муруй шугаман интегралыг тооцоол Энд L нь А(-1;1) цэгээс В(1,1) цэг хүртэлх параболик нум юм. Жилийн эсрэг сумны контурыг тойрч гарах.

3. Муруй шугаман интегралыг тооцоол yakscho L - нуман гадас 1 ба 2 квадратад юу оршдог. Жилийн сумны ард байгаа контурыг тойрч гарах.

4. Zastosovuyuchi Green-ийн томъёо, интеграл, де L - эсрэг Godinnikov сумны контурыг тойрч гарах үед контур, шугамын шийдлүүд болон эсрэг тэнхлэг OX.

5. Интегралын интегралын чиглэлд оюун санааны бие даасан байдлыг хэрхэн тооцдогийг тогтооно мөн йог мэддэг.

6. U(x, y) функцийн шинэ дифференциал бүхий chi є даалгавруудыг дахин үзэж, її-г мэдэх.

7. Хүчний талбайн арьсны цэг дээр хүч нь шууд сөрөг байж болох ба программын цэгийн абсциссийн квадраттай тэнцүү байна. Нэг параболик массыг (1,0) цэгээс (0,1) цэг рүү шилжүүлэхэд роботын талбарыг мэдэх.

Сонголт 3

1. Нумын ирмэг дээрх муруй шугаман интегралыг (декарт координат) тооцоол.

1. de L - параболын нумыг параболоор хардаг.

2. Муруй шугаман интегралыг тооцоол yakscho L-утас нь A(0,1), B(2,3) цэгүүдийг холбосон шулуун шугам юм. Жилийн эсрэг сумны контурыг тойрч гарах.

3. L нь циклоидын эхний нумын нум тул муруйн интегралыг тооцоол. Жилийн сумны ард байгаа контурыг тойрч гарах.

4. Zastosovuyuchi Green-ийн томъёо, интегралыг тооцоол de L – anti-godinnikov-ийн сумны Obkhіd контурыг elіps.

5. Интегралын интегралын чиглэлд оюун санааны бие даасан байдлыг хэрхэн тооцдогийг тогтооно мөн йог мэддэг.

6. U(x, y) функцийн шинэ дифференциал бүхий chi є даалгавруудыг дахин үзэж, її-г мэдэх.

7. Роботын хүч чадал, эллипсийн дээд хагасын материаллаг цэгийн хөдөлгөөний цагийг тооцоол. A цэгээс (a, 0), B цэгээс (-a, 0).

Сонголт 4.

1. Нумын ирмэг дээрх муруй шугаман интегралыг (декарт координат) тооцоол.

1. de L - дөрвөлжингийн тойм

2. Муруй шугаман интегралыг тооцоол Энд L нь А(0,0) цэгийн (1,1) цэг хүртэлх параболын нум юм. Жилийн эсрэг сумны контурыг тойрч гарах.

3. Муруй шугаман интегралыг тооцоол yakscho L - эллипсийн дээд тал Жилийн сумны ард байгаа контурыг тойрч гарах.

4. Ногоон томъёог ашиглан интеграл de L - трикотын контурыг A (1; 0), B (1; 1), C (0.1) оройтой тооцоол. Жилийн эсрэг сумны контурыг тойрч гарах.

6. U(x, y) функцийн шинэ дифференциал бүхий chi є даалгавруудыг дахин үзэж, її-г мэдэх.

7. Координатын тэнхлэгт проекцууд є гадасны арьсан цэгт хїч їйлчилнэ. Материалын цэгийг гадасны дагуу хөдөлгөх цагийн хүчийг роботод оноо. Робот яагаад тэг үнэтэй байдаг вэ?

Сонголт 5.

1. Нумын ирмэг дээрх муруй шугаман интегралыг (декарт координат) тооцоол.

De L - 0 (0.0), і A (4; 2) цэгүүдийг холбосон шулуун шугам.

2. L нь A(0.1)-ээс B (-1,e) цэг хүртэл явах муруй цэгийн нум байх тул муруйн интегралыг тооцоол. Жилийн эсрэг сумны контурыг тойрч гарах.

3. Муруй шугаман интегралыг L - гадасны дөрөвний 1 гэж тооцоол. Жилийн сумны ард байгаа контурыг тойрч гарах.

4. Zastosovuyuchi Green-ийн томъёо, интегралыг тооцоол de L - контур, хүрээлэн буй орчин, эсрэг талын сумны контурыг тойрч гарах.

5. Интегралын интегралын чиглэлд оюун санааны бие даасан байдлыг хэрхэн тооцдогийг тогтооно мөн йог мэддэг.

6. U(x, y) функцийн шинэ дифференциал бүхий chi є даалгавруудыг дахин үзэж, її-г мэдэх.

7. Талбарыг хүчээр үүсгэсэн // = шулуун шугамын радиусаас зүсэлтийг тохируулах шулуун зам - цэгийн вектор її zastosuvannya. m масстай материаллаг цэгийг гадасны нумын ард (a, 0) цэгээс (0, a) цэг рүү шилжүүлэх үед роботын талбайг мэдэх.

Сонголт 6

1. Нумын ирмэг дээрх муруй шугаман интегралыг (декарт координат) тооцоол.

Де Л - гадасны дөрөвний нэг нь I квадратад байрладаг.

2. Муруй шугаман интегралыг тооцоол yakcho L - laman ABC, A (1; 2), B (1; 5), C (3; 5). Жилийн эсрэг сумны контурыг тойрч гарах.

3. L нь гадасны дээд тал байх тул муруйн интегралыг тооцоол Жилийн сумны ард байгаа контурыг тойрч гарах.

4. Zastosovuyuchi Green-ийн томъёо, интеграл де L-ийг тооцоолно - контур, эргэн тойрон, эсрэг годинниковын сумны контурыг тойрч гарах.

5. Интегралын интегралын чиглэлд оюун санааны бие даасан байдлыг хэрхэн тооцдогийг тогтооно мөн йог мэддэг.

6. U(x, y) функцийн шинэ дифференциал бүхий chi є даалгавруудыг дахин үзэж, її-г мэдэх.

7. Хүчний зогсонги байдлын цэг нь эллипсийн жилийн эсрэг сумыг дүрсэлдэг тул координатын координат руу шууд чиглэсэн пүршний хүчний ажлыг мэдэх. I квадратад юу байгаа вэ. Хүчний хэмжээ нь тухайн цэгээс координатын коб хүртэлх зайтай пропорциональ байна.

Сонголт 7.

1. Нумын ирмэг дээрх муруй шугаман интегралыг (декарт координат) тооцоол.

De L - (1, 1/4) цэгээс (2; 1) цэг хүртэлх параболын хэсэг.

2. Муруй шугаман интегралыг тооцоол de L - B (1; 2) ба B (2; 4) цэгүүдийг холбосон шулуун шугамын орой. Жилийн эсрэг сумны контурыг тойрч гарах.

3. Муруй шугаман интегралыг L - циклоидын эхний нумыг Жилийн зүүний арын контураар тооцоол.

5. Интегралын интегралын чиглэлд оюун санааны бие даасан байдлыг хэрхэн тооцдогийг тогтооно мөн йог мэддэг.

6. U(x, y) функцийн шинэ дифференциал бүхий chi є даалгавруудыг дахин үзэж, її-г мэдэх.

7. Нэг массын материаллаг цэг нь координатын тэнхлэг дээр проекц нь гадасны дагуух хүчний чиглэлийн дагуу хөдөлдөг. . Арьсны гадас дээр хүч чадлыг өдөөх. Контурын ажлыг мэдэх.

Сонголт 8.

1. Нумын ирмэг дээрх муруй шугаман интегралыг (декарт координат) тооцоол.

De L - 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2) цэгүүдэд оройтой тэгш өнцөгтийн контур.

2. Муруй шугаман интегралыг тооцоол, жишээ нь L нь А (0; 0) цэгээс В (1; 2) цэг хүртэлх параболын нум юм. Жилийн эсрэг сумны контурыг тойрч гарах.

3. Муруй шугаман интегралыг тооцоол yakscho L - гадасны нэг хэсэг 1. Жилийн сумны ард байгаа контурыг тойрч гарах.

4. Zastosovuyuchi Green-ийн томъёо, интегралыг тооцоол de L - A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1) оройтой трикотын контур. Жилийн эсрэг сумны контурыг тойрч гарах.

5. Суулгах, чи интегралын хувьд интеграцийн арга замд интегралын оюун санааны бие даасан байдлыг vykonuetsya, йог мэднэ.

6. U(x, y) функцийн шинэ дифференциал бүхий chi є даалгавруудыг дахин үзэж, її-г мэдэх.

7. Материаллаг цэг нь эллипсээр хөдөлдөг pіd dієyu хүч, түүний үнэ цэнэ нь эллипсийн төв хүртэлх хамгийн үнэтэй цэг бөгөөд эллипсийн төв рүү шулуун байна. Бүхэл бүтэн элипсийг тойрч гарахын тулд роботын хүчийг тооцоол.

Сонголт 9.

1. Нумын ирмэг дээрх муруй шугаман интегралыг (декарт координат) тооцоол.

De L - цэгүүдийн хооронд байрлах параболын нум

A , (2;2).

2. Муруй шугаман интегралыг тооцоол Энд L нь A (5; 0) ба B (0.5) цэгүүдийг холбосон шулуун шугамын хумилт юм. Жилийн эсрэг сумны контурыг тойрч гарах.

3. Жилийн сумны ард байгаа контурын тойргийг харуулах L - цэгүүдийн хоорондох эллипсийн нум гэх мэт муруйн шугаман интегралыг тооцоол.

4. Zastosovuyuchi Green-ийн томъёо, интеграл де L-ийг тооцоол - эсрэг сумны контурын эргэн тойронд.

5. Интегралын интегралын чиглэлд оюун санааны бие даасан байдлыг хэрхэн тооцдогийг тогтооно мөн йог мэддэг.

6. U(x, y) функцийн шинэ дифференциал бүхий chi є даалгавруудыг дахин үзэж, її-г мэдэх.

7. Муруйн арьсан цэг дээр нэг массын материаллаг цэгийг М (-4; 0) цэгээс муруйн дагуу хөдөлгөх үед координатын тэнхлэг дээрх проекцууд нь хүчний ажлыг илэрхийлдэг хүч үйлчилнэ. N цэг хүртэл (0; 2).

Сонголт 10.

1. Нумын ирмэг дээрх муруй шугаман интегралыг (декарт координат) тооцоол.

De L - А цэгүүдийг холбосон шулуун шугам

2. Муруй шугаман интегралыг тооцоол, жишээ нь L нь A(1;0) цэгээс B(e,5) хүртэлх муруйн нум юм. Жилийн эсрэг сумны контурыг тойрч гарах.

3. L нь гадасны нум тул муруйн интегралыг тооцоол 1U квадратад юу оршдог. Жилийн сумны ард байгаа контурыг тойрч гарах.

4. Ногоон томъёог ашиглан интеграл de L - трикотын контурыг A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2) оройтой тооцоол. Жилийн эсрэг сумны контурыг тойрч гарах.

5. Интегралын интегралын чиглэлд оюун санааны бие даасан байдлыг хэрхэн тооцдогийг тогтооно мөн йог мэддэг.

6. U(x, y) функцийн шинэ дифференциал бүхий chi є даалгавруудыг дахин үзэж, її-г мэдэх.

7. Шугамын арьсан цэгт хүч үйлчилж, проекцууд нь координатын тэнхлэгүүд дээр байна. Материалын цэгийг шугамын дагуу M (1; 0) цэгээс N цэг рүү шилжүүлэхэд үзүүлэх хүчний нөлөөллийн роботыг тооцоол. (0; 3).

Лекц 4

Сэдэв: Ногоон томъёо. Интегралчлалын аргаар муруйн интегралын бие даасан байдлыг цэвэрлэ.

Ногоон томъёо.

Грийн томьёо нь хавтгай дээрх битүү контурын Г дээрх муруй шугаман интеграл ба контураар хүрээлэгдсэн талбай дээрх доод интегралын хоорондох холбоог тогтоодог.

Битүү контур дээрх муруй шугаман интеграл Г нь контурын үндсэн цэгээс эхлээд В цэг дээр төгсдөг Битүү контур Г тэмдгээр тэмдэглэнэ. В цэгийг сонгосон тохиолдолд битүү контурын дагуух интеграл худлаа болохгүй.

Цаг 1. G контурыг тойрч гарахад G контурыг тойрч гарахад D хэсэг зүүн гартай болдог тул G контурыг тойрч гарах нь эерэг гэж тооцогддог. P + - хэлхээ P эерэг чиглэлийг тойрч, P - - хэлхээ сөрөг чиглэлийг тойрч гардаг. эсрэг чиглэлд

G+

X

Ю

в

г

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

а

б

Б

C

Y=y 2 (x)

Y= y 1 (x)

м

n

Үндсэн интегралыг харцгаая

.

Үүнтэй адилаар дараахь зүйлийг маргаж болно.

(1) ба (2) тэгшитгэлээс дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

Отже,

Буталсан орхигдуулах Green-ийн томъёо дууссан.

Хүндэтгэл 1. Грийн D бүс ба бодит шулуун шугамуудын хооронд Грийн томъёо шударга хэвээр байна. тэнхлэгтэй параллель 0X эсвэл 0Y нь хоёр цэг дээр илүү бага шилждэг. Krim ts'ogo, Грийн томъёо нь n одны мужуудад хүчинтэй.

Муруй шугаман интегралын бие даасан байдлыг хавтгай дээр интеграл болгон угаана.

Энэ догол мөрөнд ойлгоход хялбар байдаг, жишээ нь виконанид муруйн интеграл нь интегралын чиглэлд унах, интегралын төгсгөл ба төгсгөлийн цэг хэлбэрээр унах явдал юм.

Теорем 1. Муруй шугаман интегралтай байхын тулд нэг холбоост мужид интеграцийн замд орохгүйгээр энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай бөгөөд ингэснээр энэ бүсэд хаалттай, сайн жигд контурын дагуу авсан интеграл тэг болно.

Нотолгоо: Шаардлагатай.Үүнд: нэгтгэх чиглэлд байршуулах. Хаалттай, гөлгөр-гөлгөр контурын ард байгаа муруйн интеграл нь тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай.

Хэсэгчилсэн гөлгөр битүү G контурыг D талбайн ойролцоо авъя. G контур дээр B ба C цэгүүдийг нэмж ав.

Г

Д

n

м

Б

C

Oskіlki интеграцийн замд хэвтэж, дараа нь

, дараа нь.

Хөгжил дэвшил. Өгөгдсөн: Муруй шугаман интеграл Бе-яким закненим шматково-тэг хүртэл контур.

Интегралыг интеграцийн чиглэлд байршуулах ёстой гэдгийг батлах шаардлагатай.

В ба С цэгүүдийг холбосон хоёр гөлгөр контурын ард байгаа муруйн интегралыг харцгаая. Оюун санааны ард:

Тобто. муруй шугаман

интеграцийн чиглэлд хадгалуулах салшгүй .

Теорем 2.Хувийн алхалт болон нэг холбоост орон зайд нэгэн зэрэг тасалдалгүй явах D. Муруй шугаман интегралтай байхын тулд Интеграцийн замд доогуур орохгүй байх нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай бөгөөд ингэснээр D хэсэг ялалт байгуулав.

Нотолгоо: Хангалттай.Өгөгдсөн: . Юу авчрах хэрэгтэй нэгтгэх чиглэлд байршуулах. Хэнд юу авчрах нь хангалттай хаалттай, shmatkovo-гөлгөр контурын ард dovnyuє тэг. Грийн томъёоны дагуу бид:

Хэрэгцээ.Өгөгдсөн: 1-р теоремоор муруйн интеграл нэгтгэх чиглэлд байршуулах. Юу авчрах хэрэгтэй

6. Син интегралын дундаж утгын томьёо.

7. Өөрчлөгдөж буй дээд хил дээрх интеграл. Yogo тэр ялгааг bezperervnіst.

8. Синг интегралын Ньютон-Лейбницийн томъёо.

9. Синг интегралыг хэсгүүдээр тооцох, өөрчлөлтийг солих.

10. Сын интегралыг оёх (хавтгай дүрсний талбай, муруй нумын урт, биеийн ороосон хэмжээ).

11. Та його сүми тооны цувааг ойлгох. Шалгуур Koshі zbіzhnostі эгнээ. Шаардлагатай оюун ухаан.

12. Деламберт болон Koshі zbіzhnostі ryadіv іz nevid'єmnimi гишүүдийн шинж тэмдэг.

13. Koshі zbіzhnostі тооны цувралын салшгүй тэмдэг.

14. Чухал тооны эгнээ. Мэдээжийн хэрэг оюун санааны zbіzhnist. Тэмдгийн эгнээ. Лейбницийн тэмдэг.

15. Функциональ цуврал. Хэмжээ бага байна. Ижил орлогын үнэ цэнэ бага байна. Шалгуур Koshі функциональ цувралын тэгш ашигт ажиллагаа.

16. Weijerstras жигд амьдрахын тэмдэг.

18. Алхам мөр. Абелийн теорем.

19. Статик эгнээний амьдралын радиус. Статик цувралын радиусын радиусын Коши-Хадамард томъёо.

21. Баян өөрчлөлтийн функцууд. n-дэлхийн Евклидийн орон зайг ойлгох. Евклидийн орон зайн хувийн бус цэг. Цэгүүдийн дараалал ба хил хязгаар. Цөөн тооны өөрчлөлтийн зориулалтын функцууд.

22. Олон тооны өөрчлөлтүүдийн функцүүдийн хооронд. Тасралтгүй функц. Хувийн амралтын өдрүүд

23. Олон тооны хувьсагч ба дифференциалын дифференциал функцийн тэмдэглэгээ. Pokhіdnі ба өндөр тушаалын дифференциалууд.

24. Өөрчлөлтийн баялагийн тухай Тейлорын томъёо. Цөөн тооны хувьсагчийн функцын экстремум. Шаардлагатай оюун санааны экстремум. Сэтгэлийн хэт туйлшрал хангалттай.

25. Тогтвортой салшгүй хэсэг, хүч чадлын йог. Zvedennya podvіynogo іntegral хүртэл давтан.

27. Гурав дахь интеграл дахь өөрчлөлтийг орлуулах. Цилиндр ба бөмбөрцөг координатууд.

28. Гөлгөр гадаргуугийн талбайн тооцоо, параметрийн болон тодорхой өгөгдсөн.

29. Нэгдүгээр болон бусад төрлийн муруйн интегралыг томилох, тэдгээрийн үндсэн хүч, тооцоо.

30. Грийн томъёо. Интегралчлалын аргаар муруйн интегралын бие даасан байдлыг цэвэрлэ.

31. Эхний болон бусад төрлийн өнгөц интеграл, тэдгээрийн үндсэн хүч ба тооцоо.

32. Гаус-Остроградскийн теорем, координат ба вектор (инвариант) хэлбэрээр її тэмдэглэгээ.

33. Стоксын томъёо, координат ба вектор (инвариант) хэлбэрээр бичигдсэн.

34. Скаляр ба вектор талбарууд. Градиент, зөрүү, ротор. Потенций ба давсны талбайнууд.

35. Хамилтон оператор. (Набла) його застосування (хэрэглэх).

36. Гол ойлголтууд нь нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал тэгшитгэл (ode) юм: глобал шийдэл, глобал интеграл, интеграл муруй. Завдання Коші, її геометрийн ач холбогдолтой.

37. Хуваагдсан өөрчлөлтүүдтэй нэгдүгээр зэрэглэлийн шүлгийг нэгтгэх, мөн адил.

38. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман оддыг нэгтгэх, Бернуллигийн тэнцүүлэх.

39. Туйлын дифференциал дахь анхны дэгдлийн дууны интеграцчлал. Үржүүлэгчийг нэгтгэх.

40. Нэгдүгээр эрэмбийн ялгавартай тэнцүү, байнга төстэй. Параметр хүсэлтийн арга.

41. Тогтмол коэффициент бүхий n-р эрэмбийн эквивалент. Онцлог шинж чанараараа тэнцүү. Нэг төрлийн тэгшитгэлийн үндсэн шийдлийн систем (FSR), нэг төрлийн тэгш бус байдлын глобал шийдэл.

42. Нэгдүгээр эрэмбийн шугаман дифференциал тэгшитгэлийн систем. Нэг төрлийн системийн FSR. Нэг төрлийн тогтолцооны гайхалтай алсын хараа.

30. Грийн томъёо. Интегралчлалын аргаар муруйн интегралын бие даасан байдлыг цэвэрлэ.

Грийн томьёо: Хэрэв C нь D талбай ба P(x, y) ба Q(x, y) функцүүдийн хооронд тэдгээрийн хувийн нэгдүгээр эрэмбийн аналогуудын хамт хаалттай D хэсэгт тасалдалгүйгээр (C кордон орно) хаалттай байвал Green-ийн томъёо хүчинтэй байна:, үүнээс гадна контурын эргэн тойронд D хэсгийг солгой байхаар сонгосон.

Гурван лекц: Өгөгдсөн P(x,y) ба Q(x,y) функцуудыг эхний эрэмбийн хувийн функцүүдээс нэгэн зэрэг тасалдалгүй D домэйн болгон өг. Кордон дээрх интеграл (L) нь яг D мужид байх ба D бүсийн бүх цэгийг хамарна: . Хэрэв контурын хэсэг нь зүүн гараараа хүрээлэгдсэн байвал контур руу шууд эерэг нөлөө үзүүлдэг.

Умовын 2-р төрлийн интеграцийн замын муруйн интегралын бие даасан байдал. M1 ба M2 цэгүүдийг холбосон эхний төрлийн муруйн интеграл нь интегралын замд оршдоггүй, зөвхөн коб ба төгсгөлийн цэгүүдэд, тэнцвэрт байдалд оршдог гэдгийг хангалттай оюун ухаан шаардлагатай.

.

31. Эхний болон бусад төрлийн өнгөц интеграл, тэдгээрийн үндсэн хүч ба тооцоо.

- Гадаргуугийн менежер.

Бид S-ийг xy хавтгай дээр проекц, бид D самбарыг авна. Ди гэж нэрлэгддэг хэсэг дээр тор шугамтай D самбарыг зурна. Арьсны шугамын арьсны цэгээс бид z зэрэгцээ шугамуудыг зурж, дараа нь i S нь Si-д хуваагдана. Бид интеграл нийлбэрийг нэмнэ: . Диаметрийн дээд хэмжээг тэг рүү чиглүүлнэ:, бид дараахь зүйлийг авна.

Эхний төрлийн Ce гадаргуугийн интеграл

Нэгдүгээр төрлийн гадаргуугийн интеграл ийм байдлаар гарч ирдэг.

Товчхондоо уулзалт. Дүрмээр бол интеграл нийлбэрийн хязгаарлагдмал зааг байдаг тул S-ийг энгийн Si талбай дээр хуваах замаар хэвтэх боломжгүй бөгөөд цэгийг сонгохдоо vin-ийг нэгдүгээр төрлийн өнгөц интеграл гэж нэрлэдэг. .

Өөрчлөгдсөн x і y-аас u ба v руу шилжих үед:

П гадаргуугийн интеграл нь одны интегралын бүх хүчийг агуулж болно. Дива нь хоол хүнсээр илүү өндөр байдаг.

Гадаргуугийн интегралын зорилго нь өөр төрлийнх бөгөөд энэ нь уг тооцооны гол хүч юм. Эхний төрлийн интегралын холбоос.

S гадаргууг өгье, шугамаар хүрээлэгдсэн L (Зураг 3.10). L кордонтой давхар цэг байж болохгүй S гадаргуу дээр S гадаргуу дээр хоёр нормал нэмэх боломжтой. L контурын ард байгаа M цэгийг тоймлон, хэвийн шулуун шугамыг сонго.

Хэрэв M цэгийн байрлал ижил хэвийн (эсрэг биш) дагуу эргэдэг бол S гадаргууг хоёр талт гэж нэрлэдэг. Бид зөвхөн хоёр талт гадаргууг харж болно. Хоёр талын гадаргуу - тэгш гадаргуутай тэгш гадаргуутай эсэх.

Өөрийгөө огтлолцох цэг байхгүй байхын тулд L шугамаар хүрээлэгдсэн хоёр талт задгай гадаргуутай S-г үзье. Бид гадаргуугийн ижил талыг сонгоно. Л контурын эерэг шууд тойруулалтыг ийм шулуун шугам гэж нэрлэе, Оросын гадаргуугийн нөгөө талд байгаа, гадаргуу нь өөрөө муу зүйлгүй. Контурыг шууд тойруулан ийм эерэг дарааллаар суурилуулсан хоёр талт гадаргууг чиглэсэн гадаргуу гэж нэрлэдэг.

Өөр төрлийн гадаргуугийн интеграл руу шилжье. Төгсгөлийн тооны хэсгүүдээс бүрдсэн хоёр талт гадаргууг S, оюун ухаантай тэнцэх зарим ажлуудаас арьс шир эсвэл Oz хангасан параллель тэнхлэг бүхий цилиндр гадаргууг авцгаая.

R (x, y, z) - функц, томилогдсон ба S гадаргуу дээр тасалдалгүй. Хэд хэдэн шугамаар S нь хангалттай дарааллаар n "элементар" графикт ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi хуваагдана. , ..., ΔSn, нойрмог дотоод цэгүүд хамаагүй. Арьсны орон зай ΔSi дээр бид Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) цэгийг боломжийн дарааллаар сонгоно. Mi(xi,yi,zi) цэг дээрх S гадаргуугийн нормаль болохын тулд "+" тэмдгээр авсан ΔSi графикийн Oxy координатын хавтгай дээрх проекцын талбайг (ΔSi)xy гэж үзье. (i=1,...,n) Vіsyu Oz нь дайсагнасан зүсэлт бөгөөд "-" тэмдгээр тогтоосон нь энэ зүсэлт нь тэнэг гэсэн үг юм. R(x,y,z) функцийн интеграл нийлбэрийг x,y-г өөрчилсний дараа S гадаргуу дээр нэмнэ: . λ нь ΔSi (i = 1, ..., n) диаметрүүдийн хамгийн том нь байг.

Хэрэв ΔSi "элементар" график дээр S гадаргууг хуваах, цэг сонгоход саад болохгүйн тулд эцсийн хил байгаа бол vin функцэд S гадаргуугийн сонгосон талын дагуух гадаргуугийн интеграл гэж нэрлэдэг. x, y (эсвэл өөр төрлийн өнгөц интеграл) координатын хувьд R (x, y, z) ба оноогдсон байна. .

Үүний нэгэн адил, гадаргуугийн эсрэг талын дагуу x, z эсвэл y, z координатуудын хувьд гадаргуугийн интегралыг индукцлэх боломжтой, өөрөөр хэлбэл. і .

Бүх интегралуудын нэгэн адил та гадаргуугийн эсрэг талд "өндөр" интеграл оруулж болно: .

Өөр төрлийн өнгөц интеграл нь интегралын хүчнээс хамааралтай байж болно. Хэрэв өөр төрлийн гадаргуугийн интеграл нь гадаргуугийн хажуугийн өөрчлөлтийн тэмдгийг өөрчлөх нь илүү хүндэтгэлтэй байдаг.

Эхний болон бусад төрлийн гадаргуугийн интегралуудын хоорондын холбоо.

S гадаргууг тэнцүү гэж өгье: z \u003d f (x, y), үүнээс гадна, f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) - тасалдалгүй функцуудхаалттай муж τ ойролцоо (Oxy координатын хавтгайд S гадаргуугийн проекц), функц R(x,y,z) гадаргуу дээр тасралтгүй байна S. гадаргуугийн талууд S. Todi.

Загалын vpadku маємогийн хувьд:

=