Virishiti vienodas šilumos laidumas. Kailio šilumos laidumo išlyginimo metodas. Regioninio zavdano pareiškimas

Temperatūros lauko ir šilumos srauto analizės formulės atliekant privačias stacionaraus ir nestacionaraus šilumos laidumo užduotis paimtos iš matematinio aprašymo ( matematiniai modeliai) procesas. Modelio pagrindas yra tapti diferenciniu šilumos laidumo išlyginimu, nes jis išvestas iš pirmojo termodinamikos dėsnio kietoms kūnams, kuris neveikia, tai yra šilumos laidumo Fur'є dėsnis. Reikėtų stebėti diferencinį fizinio proceso išlyginimą tylesniam ir žemesniam priėmimui, tarsi supaprastinant procesą. Tam rango paklusnumą lemia procesų klasė, priimamų priedų ribos. Odos užduotį apibūdina skirtingi protai vienareikšmiškai. Taigi, matematinis šilumos laidumo proceso aprašymas apima diferencinį šilumos laidumo išlyginimą ir unikalumo supratimą.

Pažvelkime į diferencinio šilumos laidumo visnovus, kai vyksta gruntavimas:

• a) kūnas yra vienodas ir anizotropinis;
• b) šilumos laidumo koeficientas nusodinti pagal temperatūrą;
• c) matoma tūrio deformacija yra dėl temperatūros pokyčio, ji yra net maža proporcingai pačiam tūriui;
• d) kūno vidurys lygus vidinės šilumos šerdies pasiskirstymui q v = f(x, y, z, m) = const;
• e) kasdien po vieną judančios kūno makrodalelės (konvekcija).

Priimtomis charakteristikomis pasižymintis kūnas turi elementarų tūrį gretasienio su briaunomis pavidalu dx, dy, dz, skirtingos orientacijos stačiakampėje koordinačių sistemoje (14.1 pav.). Atitinka pirmąjį termodinamikos dėsnį kūnams, kad neįveiktų roboto, pakeistų vidinę energiją dU kalbos matytam obsyazui per valandą dx atneškite ateinančios šilumos kiekį

Ryžiai. 14.1.

šilumos laidumo požiūriu dQ x , ta šiluma, matoma vidaus dzherelami dQ 2".

Iš termodinamikos aišku, kad kalbos vidinės energijos pokytis yra privalomas dV per valandą dx vienas

de dG = p dv- kalbos masė; p – mastelio keitimas; h - naminių gyvūnėlių masės šiluminė talpa (stislivyh ridin c = cv (izochorinė šiluminė talpa)).

Daug energijos, matė vidinis dzherelis,

de kv - Vidinių šilumos kamerų tūris, W/m 3 .

Šilumos srautas, kuris turėtų būti šilumos laidumo tūryje, yra padalintas į tris sandėlius, priklausomai nuo koordinačių ašių krypties: Per protilezhnі veidus bus šiluma

Skirtumas tarp tiekiamos ir tiekiamos šilumos kiekio yra tolygus vidinės energijos pokyčiui dėl šilumos laidumo dQ v Įsivaizduokime vertę kaip sandėlių, esančių išilgai koordinačių ašių, sumą:

Todi y tiesiogiai ašis x maєmo

Oskilki -

gretimų kalnų šiluminių srautų storis.

Funkcija qx+dxє be pertrūkių tiriamame intervale dx ir gali būti išdėstyti Taylor serijoje:

Tai priimtina tarp dviejų pirmųjų serijos narių ir pakeitimo (14.6).

Pagal panašų rangą priimame:

Po pakeitimo (14.8) - (14.10) prie (14.4) gegužės mėn

Pakeitę (14.2), (14.3) ir (14.11) į (14.1), imame diferencinį šilumos perdavimo šilumos laidumui išlyginimą su vidinių vamzdžių patobulinimu:

Vidpovidno į šilumos laidumo dėsnį Four'e parašyta prieš projekcijas šilumos srauto pločio koordinačių ašyje:

de X x, X y, X z- Šilumos laidumo koeficientai koordinačių ašių kryptimi (kūno anizotropinis).

Tai priimtina, kai pateikiama qi virazi (14.12).

Rivnyannya (14.13) vadinama diferenciniu šilumos laidumo išlyginimu anizotropiniams kūnams, turintiems nepriklausomą temperatūrą ir fizinę galią.

Kaip priimti X= const, o kūnas yra izotropinis, lygus šilumos laidumui

Čia a = X/(SR), m 2 / s, - temperatūros laidumo koeficientas,

kuris yra fizinis kalbos parametras, apibūdinantis temperatūros pokyčių lankstumą šildymo ar vėsinimo procesuose. Tіla, vikonans iš kalbos su dideliu šilumos laidumo koeficientu, mažesniems vienodiems protams jie labiau įkaista ir atvėsina.

Cilindrinėje koordinačių sistemoje galima pamatyti diferencinį šilumos laidumą izotropiniam kūnui, turinčiam pastovias fizines galias

de g, z, F – matomos radialinės, ašies ir viršūnės koordinatės.

(14.13), (14.14) ir (14.15) lygtys apibūdina šilumos laidumo procesą aukščiausiu požiūriu. Konkrečios užduotys gali keistis nedviprasmiškumo protus, tada. analizuojamo proceso eigos ypatybių aprašymas.

Nuplaukite nedviprasmiškumą. Iš fizinių žvilgsnių į šilumos laidumą galima įvardyti valdininkus, kurie injekuoja procesą: fizinis kalbos autoritetas; rozmarinas, kuri yra kūno forma; ant burbuolės rozpodіlennya temperatūra; plauti šilumos mainus ant kūno paviršiaus (tarpinio). Tokiu būdu, proto vienareikšmiškumas yra padalintas į fizinį, geometrinį, pochatkovinį ir ribinį (teritorinį).

fizinius protus nustatomi fiziniai kalbos parametrai X, s, r ir rozpodіl vnutrishnіh dzherel.

Geometriniai protai nustatoma to kūno linijinio išsiplėtimo forma, kuria vyksta procesas.

Burbuolės protai ospodіl temperatūra rodoma tіli valandos pradžioje t= /(x, y, z) esant t = 0. Pochatkovі pamąstykite apie valandos reikšmę pažvelgti į nestacionarius procesus.

Atsižvelgiant į šilumos mainų pobūdį, ant sienos tarp kūnų (teritorijos) protai skirstomi į chotiri rodi.

Pirmosios rūšies ribos. Nustatykite temperatūros pasiskirstymą ant paviršiaus t n protyazh procesas

Vidutinio kritimo metu paviršiaus temperatūra gali tapti pastovi (/n = const).

Pirmosios rūšies kraštelius galima nuplauti, pavyzdžiui, kontaktinio šildymo metu klijuojant fanerą, presuojant medžio skutimosi ir medienos plaušo plokštes ir kt.

Ribos yra kitokios. Ištempdami procesą nustatykite kūno paviršiaus šilumos srauto storio vertę

Vėsiu oru šilumos srautas paviršiuje gali tapti nuolatinis (

Trečiojo tipo ribinis protas reaguoti į konvekcinius šilumos mainus ant paviršiaus. Tsikh protui turi būti nustatyta šilumos temperatūra, kurioje žinomas kūnas, Gf = / (t), šilumos perdavimo koeficientas os. Svyravimo atveju šilumos perdavimo koeficientas yra kintamoji reikšmė, todėl galima nustatyti jogo kitimo dėsnį a = / (t). Galbūt okremy vipadok: / f = const; a = konst.

Ketvirtojo tipo ribinis protas apibūdina proto šilumos perdavimą skirtingi koeficientaišilumos laidumas esant idealiam srovės kontaktui, jei šiluma perduodama šilumos laidumui ir šilumos srautai išilgai skirtingų paviršiaus kontakto pusių yra lygūs:

Priimti fizines prielaidas, išlyginimą, šių priedų tyrimą ir suprasti vienareikšmiškumą, kad būtų galima sukurti analitinį šilumos laidumo procesų aprašymą (matematinį modelį). Pasirinkto modelio parinkimo konkrečios užduoties kūrimui sėkmė yra pasenusi, priklausomai nuo to, kiek prielaidos priimamos ir proto vienareikšmiškumas yra adekvatus tikriems protams.

Rivnyannya (14.14) ir (14.15) yra gyvybingi vien analitiškai vieno režimo stacionariam šiluminiam režimui. Sprendimai apžvelgti toliau. Dviejų ir trijų pasaulių stacionariems procesams kuriami apytiksliai skaitmeniniai metodai.

Upių (14.13) – (14.15) gerinimui, atsižvelgiant į nestacionarų šiluminį režimą, yra keletas metodų, kurie, kaip teigiama, buvo apžvelgti specialiojoje literatūroje. Vіdomi tochnі kad nablizhenі analizės metodai, skaitiniai metodai ir іn.

Sprendimų dėl šilumos laidumo lygio skaičius daugiausia nustatomas pagal galutinio sąnaudų metodą. Vybіr be to chi іnshoy būdas rozv'yazannya gulėti problemos protus. Dėl to sprendimai analitiniais metodais gaunami formulėmis, pagal kurias užbaigiamas inžinerinių galvų skaičius geriausių žmonių galvose. Skaitiniai metodai, suteikiantys galimybę matyti temperatūros lauką t=f(x, y, z, m) žvelgiant į atskirų temperatūros verčių rinkinį skirtinguose taškuose, nustatant konkrečios užduoties momentą ir valandą. Dėl šios priežasties svarbesnis yra analizės metodų pasirinkimas, globotinis nepajėgia to padaryti turtingoms ir lanksčioms ribinio proto galvoms.

Vyvchennya, ar fizinis reiškinys turi būti nustatytas prieš sukuriant pūdymą tarp reiškiniui būdingų verčių. Atlenkiant fizinius procesus, kai kurioms pradinėms reikšmėms jos gali pasikeisti per tą valandą, sunku nustatyti tarpą tarp šių reikšmių. Pergalingų matematinės fizikos metodų laikais, kaip ir žmogui, kurį skiria valanda ir nuo plačios erdvės, matomas elementarus obsyag. Tse leidžia, esant atvirkštinio tūrio ir nurodyto intervalo riboms, įveikti reikšmių pokyčius, kurie apibūdina procesą, tai yra, klaidingumą.

Obrani tokio rango elementarus tomas dV tas elementarus laiko intervalas dτ, kai kuriems, procesas matomas iš matematinio žvilgsnio, be galo mažais kiekiais, o iš fizinio žvilgsnio - didelis, kad prie sienų būtų galima paimti vidurį kaip stiprų, neišsenkantį її diskretiška kasdienybė. Otrimanas tokiu būdu sąstingis yra didžiulis diferencijuotas procesas. Integruojant diferencines lygybes, galima imti analitinį nebuvimą tarp visos integracijos srities verčių ir viso nagrinėjamo laikotarpio.

Dėl vyrіshennya zavdan, pov'yazanih іz znakhodzhennyam temperatūros lauke, reikia motinos diferencialinio šilumos laidumo išlyginimo.

Paimkime šį pasiteisinimą:

kūno vienodas ir izotropinis;

fiziniai posto parametrai;

matoma tūrio deformacija yra dėl temperatūros pokyčio, ji net nedidelė proporcingai pačiam tūriui;

vidinė dzherela šiluma tіlі, rіvnomіrno razpodіleni.

Diferencinio šilumos laidumo išlyginimo kūrimo pagrindas yra energijos tvermės dėsnis, kuris suformuluotas taip:

Šilumos kiekisdQ, supažindinimas su elementariu obsyagdVskambinti per valandądτbe šilumos laidumo, taip pat vidinio dzherelio forma, sveiki vidinės energijos ar kalbos entalpijos pokyčiai, kuriuos galima rasti elementariame obsyazy.

de dQ 1 – šilumos kiekis, įvedamas į elementarų tūrį dVšilumos laidumo kelias per valandą dτ;

dQ 2 - šilumos kiekis, jakas per valandą dτ matyti elementariose obsyazі dV už rahunok vidaus dzherel;

dQ- Vidinės energijos (izohorinis procesas) arba kalbos entalpijos (izobarinio proceso) pasikeitimas, už kurį atkeršijama elementariame obsyaze. dV per valandą dτ.

Otrimannya išlyginimui galime pažvelgti į elementarų tūrį žiūrint į kubą su jo šonais dx, dy, dz (Padal. 1.2 pav.). Kubas ridenamas taip, kad jo paviršiai būtų lygiagrečios lygiagrečioms koordinačių plokštumoms. Šilumos kiekis, kuris per valandą atnešamas iki elementaraus tūrio ribos dτ tiesios ašys x, y, z reikšmingas dQ x , dQ y , dQ z .

Šilumos kiekis, kuris teka per dauginimosi paviršius tomis pačiomis tiesiomis linijomis, yra labai didelis dQ x + dx , dQ y + dy , dQ z + dz .

Šilumos kiekis, atneštas iki slenksčio dxdy tiesiai į priekį x per valandą dτ, Pridedame:

de q x– šilumos srauto tankio projekcija tiesėje, statmenoje nurodytam paviršiui. Vіdpovіdno kіlkіst šilumos, vіdveden per protilezhnu ribą bus:

Skirtumas tarp šilumos kiekio, atneštos į elementarų tūrį, ir atnešamos šilumos kiekio, є šiluma:

Funkcija qє be pertrūkių tiriamame intervale dx ir gali būti išdėstyti Taylor serijoje:

Jei jus supa du pirmieji dodankai iš eilės, tada rašykite taip:

Panašiai galite sužinoti šilumos kiekį, kuris gali būti padidintas iki tūrio tiesioje dviejų kitų koordinačių ašių linijoje. y і z.

Šilumos kiekis dQ, padidėja dėl šilumos laidumo iki tūrio, kurį galima pamatyti, daugiau:

Reikšmingas ir kitas priedas, atpažinus šilumos kiekį, kurį per valandą mato vidiniai dzhereliai toje pačioje patalpoje viduryje. q v aš tai vadinu joga vidinių šilumos angų sandarumas[W / m 3], tada:

Trečiasis mūsų bendraamžių sandėlis, kaip žinoma, yra nedirbamas dėl sistemos keitimo TD proceso pobūdžio.

Pagal valandą pažiūrėsiu į izochorinį procesą, visą šilumą, atneštą į elementarią prievolę, keičiančią vidinę kalbos energiją, numatytą tai prievolei, tobto. dQ= dU.

Kaip pažvelgti į vieno tūrio vidinę energiją u= f(t, v) , tada galite parašyti:

, J/m3

, J/kg

de c v – izochorinė šiluminė talpa tūrio vienetui masės vienetui, [J/m 3 ];

ρ - Shіlnist, [kg / m 3].

Pašalinkite virazi:

Pašalinimo virusas є izochorinio šilumos perdavimo proceso diferencinis energijos išlyginimas.

Panašiai parodytas izobarinio proceso santykis. Visa šiluma, atnešta į prievolę, pakeisti kalbos entalpiją, įdėta į prievolę.

Otrimane spіvvidnoshennia є izobarinio proceso diferencinės energijos lygybės.

Kietuose kūnuose šilumos perdavimas vyksta dėl Keturių dėsnio
, galima priimti šiluminės talpos vertę
. Spėkime, kad šilumos srauto sustorėjimo vektoriaus projekciją koordinačių ašyse parodo kreivės:

Likusi viruso dalis vadinama diferenciniu šilumos laidumu. Jis užmegs ryšį tarp laikinų ir erdvių temperatūros pokyčių bet kuriame kūno taške, kuriame vyksta šilumos laidumo procesas.

Didžiausias šilumos laidumo skirtumas privačiuose panašiuose yra tos pačios formos, bet naujo dydžio ρ ,  , hє veikia pagal valandą ir erdvę. Lygties tikslas – aprašyti daugybę šilumos laidumo užduočių, kurios kelia praktinį susidomėjimą. Jei imsite pastovius termofizinius parametrus, tada išlyginimas bus paprastesnis:

Gerokai
tada:

Proporcingumo koeficientas a[m 2 / s] vadinamas šilumos laidumo koeficientu ir fiziniu kalbos parametru. Vіn suttєviy nestacionariems šiluminiams procesams, kurie apibūdina temperatūros kitimo greitį. Kaip šilumos laidumo koeficientas apibūdina kūnų pastato gebėjimą laiduoti šilumą, taip temperatūros laidumo koeficientas apibūdina kūno šilumos ir inercijos galios pasaulį. Pavyzdžiui, rіdini ir dujos gali turėti didesnę šiluminę inerciją ir dėl to mažą temperatūros laidumo koeficientą, o metalai gali turėti mažą šiluminę inerciją.

Tai taip pat yra vidinis šilumos šaltinis, o temperatūros laukas yra stacionarus, mes laikome Puasono lygiu:

Zreshtoy, su stacionariu šilumos laidumu ir vidinių šilumos vamzdžių buvimu, esame lygūs Laplasui:

Nuplaukite šilumos laidumo vienareikšmiškumą.

Oskіlki diferencinis šilumos laidumo išlyginimas laukiniai įstatymai fizika, ji apibūdina visą reiškinių klasę. Jogai būtina nustatyti ribinį protą arba proto vienareikšmiškumą.

Atminkite, kad vienareikšmiškumas apima:

geometrinis protas – apibūdinti kūno formą;

fizinis protas – apibūdinti gyvenamosios terpės ir kūno fizinę galią;

pochatkovі (timchasovі) umovi - apibūdinti temperatūros kilimą tili pochatkovy valandą, nustatyti nestacionarių procesų greitį;

ribiniai protai – apibūdinti tiriamo kūno sąveiką su dovkills.

Ribinius protus galima nustatyti įvairiais būdais.

Pirmosios rūšies ribos. Nustatykite kūno paviršiaus temperatūrą odos momento valandai:

t c = f(x, y, z, τ )

de t c- Kūno paviršiaus temperatūra;

x, y, z- Kūno paviršiaus koordinatės.

Vėsiu oru, jei paviršiaus temperatūra trumpą laiką pastovi, šilumos mainų procesas nutrūksta, bus klausiama:

t c = konst

Ribos yra kitokios. Odos taško šilumos srauto vertės kūno paviršiuje atkuriamos bet kuriuo metu. Analitiškai atrodo taip:

q c = f(x, y, z, τ )

Paprasčiausiu atveju šilumos srauto storis kūno paviršiuje tampa pastovus. Tokį elgesį galima pastebėti kaitinant metalo virpesius aukštos temperatūros krosnyse.

Trečiosios rūšies ribos. Kuriuo nustatoma perteklinės šerdies temperatūra t trečia kad šilumos mainų tarp kūno paviršiaus ir vidurio dėsnis. Šilumos perdavimo procesui apibūdinti naudojamas Niutono Richmano dėsnis. Priklausomai nuo dėsnio, šilumos kiekis, kurį per vieną valandą gali matyti ar priimti vienas kūno paviršius, yra proporcingas kūno paviršiaus ir tos terpės temperatūrų skirtumui:

de α proporcijos koeficientas, vadinamas šilumos perdavimo koeficientu [W / (m 2 · Do)], apibūdina šilumos perdavimo intensyvumą. Skaičiuojant skaičiuojamas šilumos kiekis, kurį vienas kūno paviršius pagamina per vieną valandą, esant vieno laipsnio temperatūrų skirtumui. Pagal energijos tvermės dėsnį, šilumos kiekis, kuris patenka į dumblą, yra dėl šilumos laidumo iš vidinių kūno dalių, tobto:

Likite lygus trečios rūšies ribiniam protui.

Atliekami sulankstomi techniniai užsakymai, jei nepavyks persigalvoti, tada bus galima sulaužyti dienos tvarką. Pažeidus tokią užduotį, būtina atkreipti dėmesį į temperatūrų ir šilumos srautų vienodumą išilgai ribos tarp skyrių. Laimės mintyse galite užsirašyti:

Razvyazannya po'yazanoї užduotisі po'yazani zі znakhodzhennyam temperatūra laistoma sienos tarp skyrių pusėje.

Algebros lygties išvedimas Niutono metodu

Užbaikite populiarų metodą rozvyazuvannya rivnyan є dotistinis metodas, arba Niutono metodas. Kieno protas lygus protu f(x) = 0 Galinėje pusėje pasirinktas nulinis požiūris (taškas x 0). Jūsų taškai bus arti diagramos y = f(x). Linijos taškas tsієї dotichї z vissu abscissa є juda šalia šaknies (taško x vienas). Šiuo metu aš vėl būsiu dottychna ir pan. Taškų seka x 0 , x 1 , x 2 ... galima sumažinti iki teisingos šaknies reikšmės. Sąmoningumas є.

Taigi, kaip tiesi linija, eiti per tašką x 0 , f(x 0) (bet tse i є dotichna), užfiksuotas matant

o kaip arčiau x 1 išorinės išlygiavimo šaknies taškas kertamas tiesės linija nuo abscisių taško, šalia ts_y taško y = 0:

Žvaigždės aplaidžiai laikosi puolamojo požiūrio per priekį atpažinimo linijos:

Ryžiai. 3 parodytas Niutono metodo įgyvendinimas naudojant Excel. Komіrku B3 bus pristatytas ant burbuolės arčiau ( x 0 = -3), tada visos tarpinės vertės apskaičiuojamos iki skaičiavimo x vienas . Kitam žymekliui įveskite B10 paraštės reikšmę į paraštę C3 ir skaičiavimo procesas kartojamas C stulpelyje. Tada, pamatę paraštes C2:C10, galite patraukę žymeklį apatiniame dešiniajame kampe. matomą plotą, išplėskite jį ant stulpo D:F. Rezultatas F6 viduryje atima 0 reikšmę, taigi. reikšmė comirci F3 yra lygybės šaknis.

Šis rezultatas gali būti atimtas vikoristovuyuchi cikliniu skaičiavimu. Todi užpildžius pirmąjį stulpelį ir pašalinus pirmąją reikšmę x 1, tada H3 laukelyje įveskite formulę = H10. Su kokiu skaičiavimo procesu bus kilpos ir tam, kad vynas atsirastų meniu Paslauga | Parametrai depozitu Skaičiavimas būtina įrengti praporščiuką Iteracijos ir nurodykite ribinį iteracinio proceso trumpųjų terminų skaičių ir matomus nuostolius (numatytoji numerio 0,001 turtingiems tipams aiškiai nepakanka), pasiekus tokį procesą, skaičiavimo procesas sutrumpėja.

Kaip žinote, tokie fiziniai procesai, kaip šilumos perdavimas, masės perdavimas difuzijos procese, yra pavaldūs įstatymui.

de l- Šilumos laidumo koeficientas (difuzija) ir T- Temperatūra (koncentracija), a - potik vіdpovidnoї vertė. Iš matematikos aišku, kad srauto divergencija yra sveika K tsієї vertybės, tobto.

arba dviejų pasaulių vaizdui, jei temperatūra pakyla vienoje plokštumoje, temperatūrą galima užfiksuoti iš pirmo žvilgsnio:

Šio išlygiavimo variantas analitiškai įmanomas tik paprastos formos srityse: stačiakampis, kolona, ​​žiedas. Kitose situacijose tiksliau atsieti, kuris lygus neįmanomas, tobto. sulenktuose vipaduose temperatūrų skirtumo (ar kalbos koncentracijos) pakeisti neįmanoma. Todі būti pareikštas vicoristovuvat priblizhenі metodus ir rozv'yazannya tokių rivnyan.

Netoliese esantis sprendimas (4) regione sulankstoma forma susideda iš kelių etapų: 1) tinklo suaktyvinimas; 2) mažmeninės prekybos schemos skatinimas; 3) algebros išlyginimo sistemos sukūrimas. Atidžiau pažvelkime į odą iš etapų ir „yogo“ įgyvendinimo „Excel“ paketo pagalba.

Pobudovos tinklai. Suteikite regionui formą, parodytą fig. 4. Esant tokiai formai, neįmanoma tiksliai išspręsti analitinių sprendinių (4), pvz., naudojant skaidymo pakeitimų metodą. To paties lygio sprendimą galima pamatyti kituose keliuose punktuose. Užtepkite plotą, lygų tinkleliui, kuris yra sulankstytas iš šone esančių kvadratų h. Dabar vietoj shukati be pertraukos sprendimas yra lygus (4), jis priskiriamas srities odos taškui, jis yra arčiau sprendimo, jis priskiriamas tik tinklo mazgų taškams, taikomai zonai, tobto. kvadratų kampuose.

Pobudovo mažmeninės prekybos schema. Norėdami įkvėpti mažmeninės prekybos schemą, galime pažvelgti į didesnį vidinį tinklelio C (centrinį) vuzolį (5 pav.). Už jo teisėjas chotiri vuzli: B (viršutinis), N (apatinis), L (levi) ir P (dešinėje). Spėliokime, eikime tarp universitetų mieste h. Todi, vikoristovuyuchi viraz (2), jei norite užfiksuoti kitus panašius lygius (4), galite parašyti uždaryti:

Žvaigždes lengva išardyti naudojant virazą, kuris susieja temperatūros vertes centriniame taške su vertėmis susiuvimo taškuose:

Viraz (5) leidžia mums, žinant temperatūros reikšmes centriniuose taškuose, apskaičiuoti vertes centriniame taške. Tokia schema, kuri kai kuriais atvejais pakeičiama eilutės pabaigos skirtumais ir dėl to, kad reikšmė tinklelio taške yra mažesnė už vertę artimiausiuose pagrindiniuose taškuose, vadinama centrinio skirtumo schema, o pats metodas vadinamas eilutės pabaigos skirtumo metodu.

Reikia suprasti, kas yra lygus, analogiškas (5), imame jį kaip tinklo SKIN tašką, nes toks rangas atrodo sujungtas po vieną. Taigi galime turėti algebrai lygią sistemą, kurioje skaičius lygus mazgų skaičiui tinklelyje. Virishuvati tokią išlyginimo sistemą galima atlikti įvairiais metodais.

Algebros išlyginimo sistemos kūrimas. Iteracijos metodas. Tegul temperatūra ribiniuose mazguose yra 20, o šilumos kameros temperatūra yra 100. h= 1. Todi viraz (5) vidinių taškų temperatūrai apskaičiuoti

„Excel“ arkoje pavaizduokime centro odos mazgelio išvaizdą. Centruose, kurie atitinka ribinius taškus, įvedame skaičių 20 (6 pav. matosi smarvė Sirimo spalva). Užrašykime formulę (6) vidurio srityje. Pavyzdžiui, F2 klientas atrodo taip: =(F1 + F3 + E2 + G2)/4 + 100*(1^2)/4. Užrašę šią formulę F2 kambaryje, galite nukopijuoti ir įklijuoti į kitas sritis, kurios atitinka vidinius mazgus. Naudodami šią „Excel“ priminsime apie tai, kad neįmanoma apskaičiuoti per ciklo rezultatus:

Paspauskite "Skasuvati" ir eikite į langą Paslauga|Parametrai|Kolekcija, „Iteracijos“ poskyryje nustatyti vėliavą, kaip priimtiną klaidą nurodžius 0,00001 reikšmę, o ribinį iteracijų skaičių – 10000:

Tokia prasmė yra užtikrinti mums nedidelį asmens sužalojimą ir garantuoti, kad kartotinis procesas pasieks nurodytą bausmę.

Tačiau šios vertės negarantuoja nedidelių nuostolių pačiam metodui, palaikų šukės lieka deponuoti, jei iki amžiaus pabaigos bus pakeistos kitos panašios. Aišku, kad mažiau netvarkos, kad mažiau tinklo, tai tikrai. kvadrato dydžio, kuriame bus mūsų mažmeninės prekybos schema. Tse reiškia, kad tiksli temperatūros vertė tinklelio mazguose, parodyta fig. 6, iš tikrųjų gali pasirodyti, kad jis negalioja. Іsnuє vienintelis būdas pakeisti žinias apie sprendimą: pažinti jogą didesniu mastu ir pagal priekį. Nors sprendimai yra mažai apgalvoti, galima žinoti, kad žinios apie temperatūrą yra veiksmingos.

Pakeiskime krok udvіchі. 1 pavaduotojas tapo lygus? Mazgų skaičius mūsų šalyje nuolat kinta. Vertikaliai – 7 mazgų pavaduotojas (buvo 6 kvadratai, paskui 7 mazgai) 13 miestelyje (12 kvadratų, paskui 13 mazgų), o horizontaliai – 9 pavaduotojas 17 miestelyje. Taip neliko pamiršti, kad pasėlis pasikeitė du kartus ir dabar formulė (6 ) pakeičia 1 2 reikia pateikti tinkamą dalį (1/2) 2 . Kaip kontrolinį tašką, kuriame palyginsime žinias apie sprendimą, imame tašką su maksimalia temperatūra, nurodyta Fig. 6 gyvena spalvotai. Skaičiavimo rezultatas parodytas fig. 9:

Matyti, kad temperatūros pokytis lėmė pradinį kontrolinio taško temperatūros vertės pokytį: 4 proc. Norėdami pagerinti rasto sprendimo tikslumą, pakeiskite tinklelio dydį. Dėl h= atimama kontroliniame taške 199,9, o jei h = 1/8, reikšmė labiau tikėtina, kad ji bus 200,6. Galite sudaryti žinomos vertės pūdymo grafiką pagal pasėlio vertę:

Iš mažylio galite pasigaminti nebanalią visnovką, kuri sumažins pokytį iki tikslaus temperatūros pokyčio valdymo taške ir bus atsižvelgta į rasto tirpalo tikslumą.

„Excel“ paketo galimybėmis galite sukelti temperatūrą, kurią iš pirmo žvilgsnio galite įsivaizduoti regione, kuriame jums reikia dirbti.

Kai to reikalauja matematinis šilumos plėtimosi šlyties metu modelis, galime atsižvelgti į šią nuolaidą:

1) atskilimų kirpimas iš vienalytės vielos medžiagos iš plyšio ρ ;

2) kirpimo paviršius yra termiškai izoliuotas, todėl šiluma gali plėstis labiau nei oras OI;

3) plonas kirpimas - tai reiškia, kad temperatūra visuose taškuose yra vienoda visoje kirpimo vietoje.

Pažvelkime į kirpimo dalį ant v_drіzka [ x, x + ∆x] (pad. 6 pav.) šilumos kiekio taupymo dėsnis:

Žagalna kilkіst karštis ore [ x, x + ∆x].

Tai karštas šilumos kiekis, todėl būtina patikrinti kirpimo patalpą, kad galėtumėte pakelti temperatūrą ∆U, apskaičiuojamas pagal šią formulę: ∆Q=CρS∆x∆U, de W- medžiagos šiluminė talpa (= šilumos kiekis, todėl reikia pakelti 1 kg kalbos, kad jos temperatūra pakiltų 1 °), S- skerspjūvio plotas.

Šilumos kiekis, kuris per valandą praėjo per Libijos kirpimo aikštelės galą ∆t(Šilumos srautas) apskaičiuojamas pagal formulę: Q 1 \u003d -kSU x (x, t) ∆t, de k- Medžiagos šilumos laidumo koeficientas (= šilumos kiekis, pratekantis per sekundę per vieno ilgio ir vieno skersinio skersinio pjūvio šlyties plotą su temperatūrų skirtumu pailgėjimo linijose, kuris yra 1 ° ). Ši formulė turi specialų paaiškinimą su minusu. Dešinėje, tai, kad puodas laikomas teigiamu, tarsi kaltė nukreipta bik zbіlshennya X, O tse savo eilutėje reiškia, kad tu pyksti taške X temperatūra aukštesnė, apatinė dešiniarankė, tobto U x< 0 . Otzhe, šob Q1 raidė teigiama, formulė turi minuso ženklą.

Panašiai šilumos srautas per dešinįjį kirpimo aikštelės galą apskaičiuojamas pagal šią formulę: Q 2 \u003d -kSU x (x + ∆x, t) ∆t.

Norėdami atleisti, kad kirpime nėra vidinės šilumos, ir pagreitinti pagal šilumos išsaugojimo dėsnį, imame:

∆Q = Q 1 - Q 2 => CpS∆x∆U = kSU x (x + ∆х, t) ∆t - kSU x (x, t)∆t.

Yakshcho tse rіvnіst podіlit ant S∆x∆t aš ištiesinu ∆хі ∆t iki nulio, tada matimemo:

Zvіdsi vіdnyannya teploprovіdnosti maє vyglyad

U t \u003d a 2 U xx,

de – temperatūros laidumo koeficientas.

Tuo metu, jei kirpimo viduryje, tai šilta, be pertraukų q(x,t), vide heterogeninis šilumos laidumo išlyginimas

U t = a 2 U xx + f(x,t),
de .

Pochatkovі protas ir ribinis protas.

Tik šilumos laidumo išlyginimui viena pochatkova umova U | t=0 = φ(x)(arba kitame įraše U(x,0) = φ(x)) ir fiziškai tai reiškia, kad burbuolė pakilo esant šlyties temperatūrai, matosi φ(x). Vienodas šilumos laidumas bute arba atvirose Pochatkov Umov erdvėse gali atrodyti taip, tik funkcija φ pasenęs, vіdpovіdno, vіd du ar trys zminnyh.

Proto ribos šilumos laidumo išlyginimo metu gali atrodyti taip pat, kaip plonam ekvalaizeriui, bet fizinis skirtumas jau skiriasi. nuplauti pirmoji šeima (5) reiškia, kad temperatūra nustatoma kirpimo galuose. Jei tai nesikeičia su valanda, tada g 1 (t) ≡ T 1і g 2 (t) ≡ T 2, de T 1і T 2- Likti. Jei dienos visą valandą laikomos šiltos nulinėje temperatūroje, tai T 1 \u003d T 2 \u003d 0 kad protas bus toks pat. Ribinis protas skirtingos rūšys (6) nustatyti šlyties šiluminį srautą. Zokrema, yakcho g 1 (t) = g 2 (t) = 0, tada būtinai tapkite tokiu pat. Fiziškai smarvė reiškia, kad per kintus nepastebima šilumos mainų iš išorinės šerdies (jie vadinami kintų šilumos izoliacijos protais). Zreshtoy, ribinis protas trečioji rūšis (7) gerai žinoti, jei šilumos mainai stebimi per kirpimo galus nuo perteklinės šerdies pagal Niutono dėsnį (manome, kad rodant šilumos laidumą buvo atsižvelgta į šilumą izoliuotą paviršių). Tiesą sakant, kartais vienodas proto šilumos laidumas (7), užrašomi trys dalykai:

Fizinis šilumos mainų su terpe dėsnis (Niutono dėsnis) slypi tame, kad šilumos srautas per vieną paviršių per vieną valandą yra proporcingas kūno temperatūrų skirtumui. dovkilla. Šiame lygyje kairiosios kintsijos kirpimas yra vіn dorivnuє Čia h1 > 0- Šilumos mainų su reikiama terpe koeficientas, g 1 (t)- Navkolishny vidurio temperatūra kairiajame gale. Formulių teiginių minuso ženklas yra priežastis, kodėl, kai atsižvelgiama į vienodą šilumos laidumą. Kita vertus, per medžiagos šilumos laidumą šilumos srautas per tą patį galą yra brangesnis.

Panašiai išeikite iš proto (14) dešiniajame kirpimo gale, jis yra ne toks greitas λ2 gali buti ivairios, skeveldros, atrodo, ziuri viena i kita, vidurines, kurios paliks levi ir teisingus kinetus, jie bus skirtingi.

Ribiniai protai (14) labiau lyginami su pirmųjų ir kitokio pobūdžio protais. Jei leisime, kad per šį svyravimą nevyksta šilumos mainai iš vidurio (kad šilumos mainų koeficientas būtų lygus nuliui), tai pamatysime kitokį protą. Kitu atveju priimtina, kad šilumos mainų koeficientas, pvz h1, jau puiku.

Perrašome Umov (14) su x = 0 prie žvilgsnio ir tiesiogiai. Rezultatas – pirmosios rūšies protas:

Ribiniai protai suformuluojami panašiai didesniam skaičiui keitėjų. Užduočiai apie šilumos plėtimąsi plokščioje plokštėje Umov reiškia, kad temperatūra kraštuose yra lygi nuliui. Taigi, pirmuoju atveju tai reiškia, kad plokščia plokštė ir kraštai yra termiškai izoliuoti, o kitu reiškia, kad užduotis yra pažvelgti į šilumos plėtimąsi kūne ir jo paviršius yra termiškai izoliuotas.

Pirmosios burbuolės ribos problemos sprendimas šilumos laidumo išlyginimui.

Pažiūrėkime tuo pačiu metu prieš pochatkovo-regioninę zavdannya šilumos laidumo išlyginimui:

Žinokite sprendimą

U t = U xx , 0 0,

kas tenkina ribinius protus

U(0,t) = U(l,t)=0, t>0,

kad burbuolės protas

Virishimo tse zavdannya metodas Four'є.

Krok 1. Shukatimemo sprendimas rivnyannia (15) akyse U(x,t) = X(x)T(t).

Mes žinome privačias keliones:

Įsivaizduokime, kad kainos yra mažesnės iki lygios ir padalijame pokyčius:

Pagal pagrindinę lemą imama

žvaigždės rėkia

Dabar galite virishiti odą iš tsikh zvichaynyh diferencialo rivnyan. Tai žvėriška pagarba tiems, kurie turi pergalingą pasienio protą (16), negalima priimti laukinio sprendimo b), o privatūs sprendimai, kurie džiugina pasienio protus:

Krok 2 Išspręskite Sturm-Liouville užduotį

Visi užsakymai paimti iš Sturm-Liouville užsakymų, pažiūrėkime paskaitos 3. Spėliokime, kuo tik remiasi šio augalo reikšmės galia ir funkcijų galia λ>0.

Vlasnі vertė rіvnі

Galios funkcijos yra lygios (Div. rozvyazannya užduotys)

Krok 3Įsivaizduokime tinkamą lygybės a) reikšmę ir iššifruokime jogą:

Krok 4. Užrašykime upės skiriamąją gebą (15):

Dėl tiesiškumo ir vienodumo išlyginimas (15) yra tiesinis derinys

tai taip pat bus to lygumo viršus ir funkcija U(x,t) tenkina ribinius protus (16).

Krok 5. Reikšmingas koeficientas A n(19)

Prieiname prie to, kad pašto funkcija φ(x) rozkladayetsya serijoje Four'є už savo, kaip Sturm-Liouville vadovo, funkcijas. Pagal Steklovo teoremą toks išdėstymas galimas funkcijoms, kurios tenkina ribojančius protus ir gali be pertrūkių laikytis kitokios tvarkos. Koeficientai Four'e perebuvayut formulėms

Panaši informacija.

Diferencinio šilumos laidumo išlyginimo sprendimas nedengtoje šerdyje esančios šerdies skirtumu yra vadinamas fundamentaliu sprendimu.

Mitteve taškuotas dzherelo

Nenustatytam kūnui, esant kokio nors džerelo taško koordinačių burbului, šilumos laidumo diferencinio išlyginimo pasiskirstymas yra toks:

de T - taško h temperatūra x,y,z koordinates; Q - šilumos kiekis, kuris buvo matomas šiuo metu t = 0 ant burbuolės; t yra valanda po šilumos įvedimo; R - eikite į koordinačių burbulą, de djerelo, iki taško, kurį matote (spindulys - vektorius). Sulygiavimas (4) prie esminių šilumos laidumo išlyginimo sprendinių su punktyrine džerelio pirštine be odos.

Ar turi akimirką t? 0 paties dzherelio temperatūra (R = 0) matoma nuo nulio ir karts nuo karto kinta pagal dėsnį t -3/2, viršydama kitų kūno taškų temperatūrą. Tuo pačiu metu iš toli nuo Džerelio temperatūra sumažinama pagal įstatymą normalus rozpodіlu exp(-R 2 /4at). Izoterminiai paviršiai - sferos, kurių centras yra dzhereli, o temperatūros laukas tam tikrą valandą yra mažesnis už spindulį. Valandos pradžioje (t = 0) temperatūra nepriskiriama (T =?), o tai susiję su zoninio dzherelio schema, kurioje be galo mažame tūryje valandos pradžia yra perstumta. pagal galutinį šilumos kiekį Q.

Remiantis tirpalu nenuluptam kūnui (4), galima apskaičiuoti nenulupto kūno schemos temperatūros lauką, nes jis naudojamas šiluminiams procesams masyviuose virobuose apibūdinti. Tegul tai yra nap_vnesk_chennomu tіlі, kutais paviršius S - S dіє kumštine taškuota dzherelo D (4 pav.). Masyvių kūnų šilumos srautai viduryje yra žymiai didesni nei šilumos perdavimo srautas iš paviršiaus. Todėl įrašyto kūno paviršius gali būti įvestas į adiabatinę ribą, kuriai (skyr. 1.4 p.)

Nelukštentos srities z > 0 pridėjimas prie nenuluptos, srities z pridėjimas< 0. В образовавшемся объеме введем дополнительный (фиктивный) источник нагрева Ф(-z), идентичный действительному источнику Д(z), но расположенный симметрично по другую сторону границы S. На рис. 4 приведено распределение температур в бесконечном теле отдельно для действительного (T Д) и фиктивного (T ф) источников. Суммарная температура от обоих источников T = T Д + T ф. При этом на границе, что соответствует определению адиабатической границы (5). Если действительный источник находится на поверхности полубесконечного тела, то фиктивный с ним совпадает, и T=2T Д. Тогда температурное поле мгновенного точечного источника на поверхности полубесконечного тела

Už šios schemos yra sumodeliuota ir izoterminė riba (1-osios rūšies riba Umov) T S \u003d 0, bet kita kryptimi T \u003d T D - T F.

Grafinis temperatūros lauko vaizdas (6) reiškia aiškų paviršiaus, dėl kurio temperatūra keisis, erdvinės padėties supratimą. Dekarto koordinačių sistemoje (x, y, z) iškreipto kūno su taško dzherel matmenimis kontroliniai pjūviai yra plokštumos xy, xz ir yz (5 pav., a). Išplonėjusiam kūnui izoterminiai paviršiai užpildomi sferomis (temperatūra yra spindulio kryptimi - vektoriumi R). Ties xy plokštuma izotermos, tarsi perpjautos per paviršiaus plokštumą

z = const; Mitvos taško dzherel temperatūros laukas skirtingu momentu ir valanda parodytas fig. (6) (skyr. P 1.1). Mažu mastu temperatūra grafiškai pažymėta reikšmėmis T = 1000K.

Temperatūra bet kuriame laikysenos taške pakyla, o vėliau keičiasi (1.3 pav.). Maksimalios temperatūros vertės pasiekimo momentas šiame taške yra žinomas iš proto

Viraz (6) diferencijavimas pagal valandą, imame valandos paskyrimo formulę, jei maksimali temperatūra

Suploninto kūno maksimalus temperatūros taškas su taško dzherel skirtumu kinta su R 3 .