Išsiaiškinkite svarbiausią skaičiaus funkciją. Svarbiausios ir mažiausiai svarbios funkcijos iš kelių pokyčių regione. Daugelio pakeitimų funkcijos

Paskyrimas 1.11 Tegul nustatoma dviejų keitiklių funkcija z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (x 0 ;y 0 ) - vidinis zonos taškas D .

Jaksčas D є tokia kaimynystė UM 0 dėmės M 0 , kuri visiems taškams

tada taškelis M 0 vadinamas vietiniu maksimaliu tašku. Ir prasmė z(M 0 ) - vietinis maksimumas.

Ir dėl visų punktų

tada taškelis M 0 vadinamas funkcijos lokalaus minimumo tašku z(x,y) . Ir prasmė z(M 0 ) - Vietinis minimumas.

Vietinis maksimumas ir lokalus minimumas vadinami lokaliniais funkcijos ekstremumais z(x,y) . Ant pav. 1.4 paaiškinta geometrinis zmist vietinis maksimumas: M 0 - nukreipkite į maksimumą, į tai, kas yra paviršiuje z = z(x, y) aiškus taškas C 0 kad geriau žinotų dėl kokios nors kitos priežasties C (kuris turi didžiausią vietovę).

Pagarbiai, paviršiuje yra taškų (pvz. At ), jei žinote daugiau C 0 , ale qi taškai (pavyzdžiui, At ) ne є "teisminis" su tašku C 0 .

Zocrema, taškas At patvirtina pasaulinio maksimumo supratimą:

Panašiai nustatomas pasaulinis minimumas:

Žinios apie visuotinius maksimumus ir minimumus bus aptartos 1.10 punkte.

1.3 teorema (reikalingas ekstremumas).

Leiskite nustatyti funkciją z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (x 0 ;y 0 D - Vietinis ekstremumo taškas.

Ką tu turi z" x і z" y , tada

Geometrinis patvirtinimas yra „akivaizdus“. Kas toliau C 0 ant (1.4 pav.), kad nubrėžtumėte taškiškai plokščią sritį, ten "natūraliai" praeina horizontaliai, t.y. po gaubtu 0° į ašį Oi aš į ašį OU .

Tas pats pasakytina apie geometrinį privačių giminaičių pasikeitimą (1.3 pav.):

ką reikėjo atnešti.

Paskyrimas 1.12.

Kas toliau M 0 galvoti (1.41), tada jis vadinamas stacionariuoju funkcijos tašku z (x, y) .

1.4 teorema (pakanka proto ekstremumui).

Leiskite paklausti z = z (x, y), (x, y) D , nes punkto apylinkėse gali vykti ir kitos eilės privatūs renginiai M 0 (x 0 ,y 0 ) D . Ir kodėl M 0 - Stacionarus taškas Paskaičiuokime:

Vikoristo teoremos įrodymas tais (Taylor kintamųjų skaičiaus funkcijos formulė ir kvadratinių formų teorija), kurios nenagrinėja joks pagalbininkas.

užpakalis 1.13.

Eikite į kraštutinumą:

1. Žinome stacionarius taškus, kurie sulaužo sistemą (1.41):

todėl radome keletą stacionarių taškų. 2.

po 1.4 teoremos taškai turi minimumą. Ir kodėl

pagal 1.4 teoremą taške

Maksimalus. Ir kodėl

§10 Didžiausia ir mažiausia dviejų kintamųjų funkcijos reikšmė uždaroje srityje

1.5 teorema Leiskite pereiti prie uždaros srities D funkcija nustatyta z = z(x, y) , tai gali būti be pertraukų pirmos eilės privačios kelionės. Kordonas G regionuose D є shmatkovo sklandžiai (tai yra sulankstytas iš shmatkіv "lygiai ant dotik" kreivių arba tiesių linijų). Todi regione D funkcija z(x,y) pasiekti savo didžiausią M ir mažiausiai m vertė.

Be patvirtinimo.

Galite propaguoti kitą priekaištų planą M і m . 1. Būsime kėdės, matysime visas regiono kordono dalis D ir mes žinome visus kordono "kutovі" taškus. 2. Žinome stacionarius taškus viduryje D . 3. Žinomi stacionarūs odos taškai iš kordonų. 4. Apskaičiuokite visuose stacionariuose ir viršūnių taškuose, tada pasirinkite daugiausiai M ir mažiausiai m prasmė.

1.14 atvejis Sužinokite daugiau M ir mažiausiai m funkcijos reikšmė z = 4x2-2xy+y2-8x šalia uždaros zonos D , apribota: x=0, y=0, 4x+3y=12 .

1. Perkelkime sritį D (1.5 pav.) ant buto Oho .

Kutovo taškai: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Kordonas G regionuose D susideda iš trijų dalių:

2. Žinome stacionarius taškus regiono viduryje D :

3. Stacionarūs taškai ant kordonų l 1 ,l 2 ,l 3 :

4. Skaičiuojamos šešios reikšmės:

Iš šešių reikšmių praleidimo pasirinkite daugiausia ir mažiausia.

1.5 teorema Leiskite pereiti prie uždaros srities D funkcija nustatyta z = z(x, y) , tai gali būti be pertraukų pirmos eilės privačios kelionės. Kordonas G regionuose D є shmatkovo sklandžiai (tai yra sulankstytas iš shmatkіv "lygiai ant dotik" kreivių arba tiesių linijų). Todi regione D funkcija z (x, y) pasiekti savo didžiausią M ir mažiausiai m vertė.

Be patvirtinimo.

Galite propaguoti kitą priekaištų planą M і m .
1. Būsime kėdės, matysime visas regiono kordono dalis D ir mes žinome visus kordono "kutovі" taškus.
2. Žinome stacionarius taškus viduryje D .
3. Žinomi stacionarūs odos taškai iš kordonų.
4. Apskaičiuokite visuose stacionariuose ir viršūnių taškuose, tada pasirinkite daugiausiai M ir mažiausiai m prasmė.

1.14 atvejis Sužinokite daugiau M ir mažiausiai m funkcijos reikšmė z = 4x2-2xy+y2-8x šalia uždaros zonos D , apribota: x = 0, y = 0, 4x + 3y = 12 .

1. Perkelkime sritį D (1.5 pav.) ant buto Oho .

Kutovo taškai: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Kordonas G regionuose D susideda iš trijų dalių:

2. Žinome stacionarius taškus regiono viduryje D :

3. Stacionarūs taškai ant kordonų l 1, l 2, l 3 :

4. Skaičiuojamos šešios reikšmės:

Taikyti

1 pavyzdys.

Ši funkcija priskiriama visoms besikeičiančioms reikšmėms x і y , įbrėžkite koordinačių burbulą, de znamennik virsta nuliu.

Turtingas narys x2+y2 nepertraukiamas usudi, todėl i nepertraukiama nepertraukiamos funkcijos kvadratinė šaknis.

Drib visur bus nepertraukiamas, Krymo taškas, de banner iki nulio. Ta funkcija, į kurią žiūrima, yra nenutrūkstama visoje koordinačių plokštumoje Oho , įskaitant koordinačių burbulą.

užpakalis 2.

Saugumo sumetimais vadovaukitės funkcija z=tg (x, y) . Vertybių liestinė ir be pertraukų visiems galutinės reikšmės argumentas, ribinė vertė, lygi nesuporuotam dydžio skaičiui π /2 , tada. įskaitant taškus, de

Su oda fiksuota "k" Lygtis (1.11) reiškia hiperbolę. Todėl funkcija є nepertraukiama funkcija x ir y įskaitant taškus, esančius kreivėse (1.11).

3 pavyzdys.

Žinokite privačias lauko funkcijas u = z-xy , z > 0 .

užpakalis 4.

Parodykite, kokia funkcija

patenkintas tuo pačiu:

– ši lygybė galioja visiems taškams M(x; y; z) kremo taškas M 0 (a; b; c) .

Pažiūrėkime į dviejų nepriklausomų kintamųjų funkciją z=f(x, y) ir įdiegsime privačių kintamųjų geometrinį pakaitalą z" x = f" x (x, y) і z"y = f"y (x, y) .

Kieno protas lygus z=f (x, y) є paviršiaus išlyginimas (1.3 pav.). Laikytas butas y = konst . Tuo pererizі tsієї paviršinius paviršius z=f (x, y) vide deyka linija l 1 peretina, vzdovzh, kad pakeisti maiau nei dydis X і z .

Privati ​​kelionė z" x (її geometrinis poslinkis be vidurinio vyplyaє z mums žinomas vieno kintamojo panašios funkcijos geometrinis pojūtis) yra skaitiniu požiūriu pranašesnis už kuta liestinę α liguistas, pratęsiant ašį Oi , shodo L1 į kreivę l 1 , scho eiti arti paviršiaus z=f (x, y) butas y = konst taške M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgα .

Prie tinklainės ir paviršiaus z=f (x, y) butas X = konst plati linija peretina l 2 , vzdovzh kad pokytis mažesnis nei dydis adresu і z . Todi privačios pramogos z" y skaitiniu požiūriu pranašesnis už kutos liestinę β nahilu pratęsiant iki ašies OU , shodo L2 į nurodytą eilutę l 2 peretina taškais M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgβ .

5 pavyzdys.

Koks kutvoruє іz vіssyu Oi dotichna į eilutę:

taške M(2,4,5) ?

Vikoristovuєmo geometrinis pakeitimas privatus pakaitalas pakeitimui X (greitai adresu ):

6 pavyzdys.

Zgidno (1,31):

7 pavyzdys.

Vvayayuchi, scho lygus

netiesiogiai apibrėžti funkciją

žinoti z" x , z" y .

Dėl šios priežasties (1.37) mums reikia įrodymų.

8 pavyzdys.

Eikite į kraštutinumą:

1. Žinome stacionarius taškus, kurie sulaužo sistemą (1.41):

todėl radome keletą stacionarių taškų.
2.

po 1.4 teoremos taškai turi minimumą.

Ir kodėl

4. Skaičiuojamos šešios reikšmės:

Iš šešių reikšmių praleidimo pasirinkite daugiausia ir mažiausia.

Literatūros sąrašas:

ü Belko I. V., Kuzmichas K. K. Puiki matematika ekonomistams I semestras: Ekspres kursas. - M.: Naujos žinios, 2002. - 140 p.

ü Gusakas A. A. Matematinė analizė ir diferencialinis derinimas. - Minskas: TetraSystems, 1998. - 416 p.

ü Gusakas A. A. Vishcha matematika. 2 tomų antraštės vadovas universiteto studentams. - Mn., 1998. - 544 p. (1 t.), 448 p. (2 tonos).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Matematika ekonomistams: vadovas universitetams / Red. prof. N. Š. Kremeris. - M.: UNITI, 2002. - 471 p.

ü Jablonskis A. I., Kuznecovas A. V., Šilkina E. aš. kad in. Vishcha matematika. Zagalniy kursas: Pidruchnik / Zag. red. S. A. Samal. - Mn.: Viš. mokykla, 2000. - 351 p.

Vis mažiau prasmės

Funkcija, apsupta uždaros zonos, pasiekia didžiausias ir mažiausias vertes arba stacionariuose taškuose, arba taškuose, kurie yra ribinėje srityje.

Norint rasti didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę, būtina:

1. Raskite stacionarius taškus, esančius šios srities viduryje, ir apskaičiuokite jiems funkcijos reikšmes.

2. Žinoti didžiausią (mažiausią) tarpregioninės funkcijos reikšmę.

3. Išlyginkite visas neigiamas funkcijos reikšmes: didžiausias (mažiau) ir bus didžiausias (mažiausias) šios galerijos funkcijos reikšmes.

užpakalis 2. Raskite didžiausią (mažiausią) funkcijos reikšmę: y .

Sprendimas.

taškas yra nejudantis; .

2 . Uždarosios zonos riba yra žiedas, de.

Tarpregioninė funkcija tampa vieno pokyčio funkcija: , de . Žinome svarbiausias ir mažiausiai svarbias funkcijas.

Jei x = 0; (0,-3) ir (0,3) yra kritiniai taškai.

Apskaičiuokite funkcijos reikšmę vainiko galuose

3 . Porivnyuyuchi mizh pats otrimuemo,

Taškuose A ir B.

Taškuose C ir D.

3 pavyzdys. Raskite didžiausią ir mažiausią funkcijos reikšmę uždaroje srityje, atsižvelgiant į nelygumus:

Sprendimas. Plotas є trikutnik, koordinačių ašis і apjuosime tiesia linija x + y = 1.

1. Žinome stacionarius taškus regiono viduryje:

; ; y = - 1/8; x = 1/8.

Stacionarus taškas nepriklauso šiai sričiai, todėl z reikšmė jame neskaičiuojama.

2 .Doslіdzhuєmo funkcija ant kordono. Ribos šukės susidaro iš trijų dіlyanki, apibūdinamų trimis skirtingais lygiais, doslіdzhuєmo funkcija odos dіlantsі okremo:

a) div 0A: y=0- lygus 0A, tada ; iš lygaus aišku, kad funkcija padidėja 0A nuo 0 iki 1. Vidurkis .

b) atstumu 0B: x = 0 - atstumas 0B, tada; -6y + 1 = 0; - Kritinis taškas.

in) į tiesioginį x + y = 1: y = 1-x, tada imame funkciją

Apskaičiuojame funkcijos z reikšmę taške B(0,1).

3 .Perіvnyuyuchi numeriai otrimuemo, mokyklų mainai

Tiesiai AB.

Taške B.

Savikontrolės žinių testas.

vienas . Funkcijos ekstremumas – ce

a) її pokhіdnі pirmoji tvarka

b) її lygus

c) її tvarkaraštis

d) її didžiausias ir mažiausias

2. Galima pasiekti kuo daugiau funkcijos ekstremumo:

a) tik tuose taškuose, kurie yra nurodytos zonos viduryje, tokiu atveju pirmosios eilės privačios vertės yra didesnės už nulį

b) tik taškuose, kurie yra nurodytos zonos viduryje, tokiu atveju privačios pirmosios eilės vertės yra mažesnės už nulį

c) tik tuose taškuose, kurie yra nurodytos zonos viduryje, tokiu atveju pirmosios eilės privačios vertės nėra lygios nuliui

d) tik taškuose, kurie yra nurodytos zonos viduryje, tokiu atveju privatūs pirmos eilės panašumai yra lygūs nuliui

3. Funkcija, kuri yra nepertraukiama uždaroje srityje ir pasiekia aukščiausią ir mažiausią reikšmes:

a) stacionariose vietose

b) arba stacionariuose taškuose, arba taškuose, kurie yra tarpregioniniame taške

c) tarpregioniniuose taškuose

d) visuose taškuose

4. Stacionarieji taškai funkcijai, kiek kintamųjų vadinami taškais:

a) kai kuriems u

b) kai kurių iš jų privatūs pirmos eilės skirtumai yra didesni už nulį

c) kai kurių iš jų pirmos eilės privatūs pakeitimai yra lygūs nuliui

d) kai kurių iš jų privatus pirmosios eilės elgesys yra mažesnis už nulį

Tegu funkciją y = f (x) nutraukia vėjas. Matyt, tokia funkcija pasiekia didžiausią. kad samdymas. vertė. Šią funkciją galima atlikti vidiniame lango taške arba ant lango ribos, tobto. ties = a arba = b. Kaip taškas, skirtas atsekti tam tikros funkcijos kritinių taškų vidurį.

Mes naudojame didžiausios ir mažiausios funkcijos reikšmės taisyklę:

1) nustatyti funkcijos kritinius taškus intervale (a, b);

2) apskaičiuokite funkcijos reikšmes rastuose kritiniuose taškuose;

3) apskaičiuokite kintsyah vіdrіzka, tobto funkcijos reikšmę. taškuose x=a ir x=b;

4) funkcijos apskaičiuotų verčių vidurkis yra pasirinkti daugiausiai ir mažiausiai.

Pagarba:

1. Jei funkcija y = f (x) turi daugiau nei vieną kritinį tašką vienam vdrіzku ir laimėjo є maksimalaus (minimalaus) tašką, tai šiuo metu funkcija įgyja didžiausią (mažiausią) reikšmę.

2. Kadangi funkcija y=f(x) neturi kritinių taškų, tai reiškia, kad funkcija monotoniškai didėja ir mažėja naujai. Be to, funkcija pasiekia didžiausią vertę (M) į vieną eigos galą, o mažiausią (m) į kitą.

60. Sudėtiniai skaičiai. Moivre formulė.
kompleksinis skaičius vardas viraz mind z = x + iy, de x ir y - dіysnі skaičiai, o aš - taip vadinamas. akivaizdi vienatvė. Jei x=0, tai skaičius 0+iy=iy reitinguojamas. parodykime skaičiumi; nors y=0, skaičius x+i0=x susietas su esamu skaičiumi x, bet tai reiškia, kad visų funkcijų beasmenis R. skaičiai yavl. pagal beasmenį Zusikh daugumą kompleksiniai skaičiai, tada. . Skaičius x vardai dešimtainė dalis z, . Du kompleksiniai skaičiai і vadinami lygiais (z1=z2) lyginiais ir tik vieną kartą, jei lygios dalys ir lygios dalys yra lygios: x1=x2, y1=y2. Zocrema, kompleksinis skaičius Z=x+iy lygus nuliui ir tada, jei x=y=0. Sąvokos „didesnis“ ir „mažiau“ kompleksiniams skaičiams neįvedamos. Du kompleksiniai skaičiai z \u003d x + iy і, kurie laikomi tik aiškiosios dalies ženklu, vadinami gautais.

Geometrinis kompleksinių skaičių vaizdavimas.

Ar kompleksinis skaičius z = x + iy gali būti pavaizduotas plokštumos Oxy tašku M(x,y), kad x=Re z, y=Im z. Pirma, koordinačių plokštumos odos taškas M(x;y) gali būti naudojamas kaip kompleksinio skaičiaus z = x + iy vaizdas. Plotas, kuriame rodomi kompleksiniai skaičiai, vadinama kompleksine sritimi, nes jis turi meluoti tikruosius skaičius z = x + 0i = x. Visos ordinatės vadinamos eksplicitinėmis viršūnėmis, nes jose yra tariamieji kompleksiniai skaičiai z = 0 + iy. Kompleksinį skaičių Z=x+iy galima įterpti už pagalbinio spindulio vektoriaus r=OM=(x,y). Vektoriaus r, kuris reiškia kompleksinį skaičių z, ilgis vadinamas šio skaičiaus moduliu ir žymimas | z | arba r. Rozmir kuta mizh poklade. Tiesiogiai tikrojoje ašyje vektorius r, kuris reiškia kompleksinį skaičių, vadinamas kompleksinio skaičiaus argumentu, žymimu Arg z arba . Kompleksinio skaičiaus argumentas Z = 0 nepriskirtas. Kompleksinio skaičiaus argumentas - reikšmė yra labai reikšminga ir matuojama tikslumu iki dodanku, de arg z - pagrindinė argumento reikšmė, įrašyta į tarpą (), tada. - (Kartais kaip pagrindinę argumento reikšmę naudokite reikšmę, kurioje turėtų būti intervalas (0; )).

Skaičiaus z užrašymas z=x+iy vadinamas kompleksinio skaičiaus algebrine forma.

Dії per kompleksinius skaičius

Papildymas. Dviejų kompleksinių skaičių z1=x1+iy1 ir z2=x2+iy2 suma yra lygus kompleksinis skaičius: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Kompleksinių skaičių sudėjimas gali keistis ir keisti galią: z1+z2=z2+z1. (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3). Vidnіmannya. Vіdnіmannya vyznaєtsya jakų dіya, zvorotne dodavannya. Skirtumas tarp kompleksinių skaičių z1 ir z2 vadinamas tokiu kompleksiniu skaičiumi z, kad, pridėjus prie z2, gaunamas skaičius z1, t.y. z = z1-z2, taigi z + z2 = z1. Kaip ir z1=x1+iy1, z2=x2+iy2, iš šio priskyrimo lengva išimti z: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). daugiskaita. Kompleksinių skaičių z1=x1+iy1 ir z2=x2+iy2 papildinys yra kompleksinis skaičius, lygus z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2). Zvіdsi, zokrema, i vyplyaє: . Kaip ir trigonometrinės formos užduočių skaičius: .

Kai kompleksiniai skaičiai dauginami, jų moduliai dauginami, o argumentai pridedami. De Moivre formulė(taip pat ir є n daugikliai ir smirda vienodai): .

Iki 2020 metų pabaigos NASA pradeda ekspediciją į Marsą. Pristatykite erdvėlaivį į Marsą su elektroniniu nešikliu, kuriame yra visų registruotų ekspedicijos dalyvių pavardės.

Balsavimo dalyvių registracija. Atimkite bilietą į Marsą, kad gautumėte palaiminimų.

Pamėgti šį įrašą, išsprendę savo problemą ar tiesiog būdami jūsų verti, pasidalykite jėgomis su draugais socialiniuose tinkluose.

Turite nukopijuoti ir įklijuoti vieną iš šių kodo parinkčių į savo tinklalapio kodą tarp žymų і arba tik po žymos . Pirmoje MathJax versijoje pirmenybė teikiama mažesnei ir mažiau lipniai pusei. Kita parinktis „Natomist“ automatiškai pasirenka ir atnaujina į naujausią „MathJax“ versiją. Jei įterpsite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įterpsite kitą kodą, šonai labiau susidomės, todėl jums nereikės nuolat sekti MathJax atnaujinimų.

Įgalinkite „MathJax“ paprasčiausiu būdu „Blogger“ arba „WordPress“: pridėkite valdiklį svetainės atsiskaitymo skydelyje, trečiosios šalies „JavaScript“ kodo įterpimo vietas, nukopijuokite pirmąją ar kitą parinktį į anksčiau pateiktą įtraukimo kodą ir pakeiskite valdiklio dydį arčiau šablono viršuje (prieš kalbėjimą mums nereikia naujos kalbos), MathJax scenarijaus scenarijai iškviečiami asinchroniškai). Nuo aš visų. Dabar patikrinkite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML sintaksę ir esate pasirengę įterpti matematines formules į savo svetainės tinklalapius.

Čergovys prieš Naująją uolą... oras šaltas ir didelės nuolaidos... Viskas paskatino vėl parašyti apie... fraktalus, ir apie tuos, kurie žino apie Volframą Alfa. Іz thogo drive є tsіkava stattya, in yakіy є dvimačių fraktalų struktūrų sėdmenys. Iškart pasaulis gali pamatyti sulenktus trivialių fraktalų užpakalius.

Fraktalas gali būti vizualiai išreikštas (apibūdintas), kaip geometrinė figūra ar kūnas (šylantis ore, kuris taip pat yra beasmenis, šiam konkrečiam tipui, beasmenis taškas), detales, kurios sudaro tokią formą, kaip ir pati figūra. Tobto tse į save panaši struktūra, žvelgiant į detales tarsi padidintas, imituoja pačią formą, kuri yra be padidinimo. Panašiai ir vizualiai stulbinančioje geometrinėje figūroje (ne fraktalėje), su smulkesnėmis detalėmis, tarsi galima padaryti paprastą formą, matoma žemesnė figūra. Pavyzdžiui, kai baigiate didžiąją elipsės dalį, ji atrodo kaip tiesus medis. Fraktalų atveju taip nėra: bet kokiam patobulinimui mes atnaujinsime tą pačią lankstymo formą, tarsi kartodami vėl ir vėl su odos patobulinimais.

Fraktalų mokslo įkūrėjas Benoit Mandelbrotas savo straipsnyje Fraktalai ir paslaptis mokslo vardan rašė: formali forma. Tai yra, jei dalis fraktalo bus padidinta iki visumos, ji bus matoma kaip visuma arba tiksliai, arba, galbūt, su nedidele deformacija.