Kitas yra pakankamas ekstremumo pagrindo požymis. Funkcijų augimas ir kitimas intervalais, ekstremumais. Pakankamas kraštutinumo ženklas

Funkcijos ekstremalus taškas yra funkcijos žymėjimo srities taškas, kuriame funkcijos reikšmė nustatoma į mažiausią arba didžiausią reikšmę. Funkcijos reikšmės šiuose taškuose vadinamos funkcijos kraštutinumais (minimalus ir didžiausias)..

Paskyrimas. Krapka x1 priskirtos funkcijos sritys f(x) vadinamas maksimalios funkcijos taškas nors funkcijos reikšmė šiame taške yra didesnė už funkcijos reikšmę šalia jos esančiuose taškuose, joje plinta dešiniarankiai ir kairiarankiai (kad būtų išvengta netolygumų f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimalus.

Paskyrimas. Krapka x2 priskirtos funkcijos sritys f(x) vadinamas mažiausias funkcijos taškas nors funkcijos reikšmė šiame taške yra mažesnė už funkcijos reikšmę šalia jos esančiuose taškuose, dešiniarankiai ir pikti joje (todėl atsiranda nelygumai f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Visiems atrodo, kad funkcija gali būti taške x2 minimumas.

Taškuokime x1 - maksimalios funkcijos taškas f(x). Todi intervale iki x1 funkcija auga Tai panašu į funkcijas, didesnes už nulį ( f "(x) > 0 ), o intervale po x1 funkcija pasikeičia, dabar ir panašias funkcijas mažiau nei nulis ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Taip pat gali būti, kad taškas x2 - nurodykite funkcijos minimumą f(x). Todi intervale iki x2 funkcija pasikeičia, o panaši funkcija yra mažesnė už nulį ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funkcija auga, o panaši funkcija yra didesnė už nulį ( f "(x) > 0). Kieno protas turi tą patį x2 Pokhіdna funkcijos yra lygios nuliui arba ne.

Fermato teorema. Koks taškas x0 - funkcijos ekstremumo taškas f(x), tada n-ajame taške funkcija yra panaši į nulį ( f "(x) = 0) arba ne.

Paskyrimas. Vadinami taškai, kurių funkcijos yra lygios nuliui arba ne kritinius taškus .

1 pavyzdys. Pažiūrėkime į funkciją.

Taške x= 0 x= 0 yra kritinis taškas. Tačiau, kaip matyti iš funkcijos grafiko, padidėja visa paskyrimo sritis, tai yra esmė x= 0 nėra funkcijos ekstremumas.

Tokiu būdu pagalvokite apie tuos, kurie yra verti funkcijos iki nulio, arba nebūtini, arba būtini kraštutinumo protai, arba nepakankami, galite nurodyti skeveldras ir kitas funkcijų programas, kai kuriems protas gali būti apgautas arba gali būti ekstremumo funkcija. Tomas mamai reikia pakankamai ženklų, kuri leidžia spręsti, chi є konkrečiame kritiniame ekstremumo taške ir pačiame yaky – maksimalus chi minimumas.

Teorema (pirmasis yra pakankamas funkcijos ekstremumo pagrindo ženklas). kritinis taškas x0 f(x), kad, eidama per šį tašką, funkcija pakeistų ženklą, be to, jei ženklas pasikeičia iš "pliuso" į "minusą", tada maksimalus taškas, o jei iš "minuso" pasikeičia į "pliusą", tada minimalus taškas.

Kaip arti esmė x0 , kairiarankiai ir dešiniarankiai jame, jei jis užima ženklą, tai reiškia, kad funkcija arba keičiasi, arba tik auga šalia taško x0 . Kokia kryptimi taške x0 nėra ekstremumo.

Otzhe, prireikus priskirti taškus funkcijos ekstremumui :

1. Raskite tinkamą funkciją.
2. Nustatykite lygų nuliui ir priskirkite kritinius taškus.
3. Mintys chi dokumentai žymi kritinius taškus skaitinėje ašyje ir žymi panašios funkcijos atėmimo intervalus ženklus. Jei ženklas pasikeičia iš „pliuso“ į „minusą“, tai kritinis taškas yra maksimalus taškas, o jei iš „minuso“ keičiasi į „pliusą“, tada minimalus taškas.
4. Apskaičiuokite funkcijos reikšmę ekstremaliuose taškuose.

užpakalis 2. Išmanyti ekstremumo funkcijas .

Sprendimas. Mes žinome šias funkcijas:

Jis lygus nuliui, kad būtų žinomi kritiniai taškai:

.

Taigi, jei bet kuriai „ix“ reikšmei reklamjuostė nėra lygi nuliui, tada skaičius yra lygus nuliui:

Pašalinkite vieną kritinį tašką x= 3. Priešingybės ženklas reikšmingas tašku ribotuose intervaluose:

minuso neatitikimo intervale iki 3 - minuso ženklo, kad pasikeistų funkcija,

intervale nuo 3 iki pliuso neatitikimų - pliuso ženklas, kad funkcija augtų.

Tobto, taškas x= 3 – minimumas.

Žinome funkcijos reikšmę minimaliame taške:

Šia tvarka randamas funkcijos ekstremumo taškas: (3; 0), be to, tai yra minimalus taškas.

Teorema (kitas yra pakankamas funkcijos ekstremumo pagrindo ženklas). kritinis taškas x0 є funkcijos ekstremalus taškas f(x); f ""(x) ≠ 0); f ""(x) > 0 ), tada taškas yra didžiausias, o atvirkščiai yra mažesnis už nulį ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Pastaba 1. Kas yra taške x0 pasukti į nulį ir pirmąjį, o kitas yra miręs, tai šiame taške negalima spręsti apie ekstremumo pasireiškimą remiantis kitu pakankamu ženklu. Būtina, kad tokio tipo nuotaiką paspartintų pirmasis pakankamas funkcijos ekstremumo požymis.

Pagarba 2. Neužtenka dar vieno pakankamo funkcijos ekstremumo ženklo, ir net jei stacionariame taške pirmasis nėra geras (kito blogo nėra). Taip pat būtina, kad tokio tipo požiūrį paspartintų pirmasis pakankamas funkcijos ekstremumo požymis.

Vietinis funkcijos ekstremumų pobūdis

Akivaizdu, kad funkcijos ekstremumas gali turėti vietinį pobūdį – didžiausios ir mažiausiai funkcijos reikšmių reikšmė yra lygi artimiausioms reikšmėms.

Tarkime, vieną dieną pažvelgsite į savo pajamas vestuvių metu. Jei iš žolės uždirbote 45 000 rublių, iš ketvirčio - 42 000 rublių, o iš raudonųjų - 39 000 rublių, tada uždarbis už žolės yra uždarbio funkcijos maksimumas pagal artimiausias reikšmes. Ale nuo geltonumo uždirbo 71 000, iš pavasario – 75 000, nuo lapų kritimo – 74 000 rublių, taigi tos pačios pajamos – minimalių pajamų funkcija lygi artimiausioms reikšmėms. Galite lengvai bachitą, kad maksimali vidutinė pavasario-žolės-vyšnios vertė būtų mažesnė nei pavasario-žovinio lapų kritimo minimali vertė.

Kalbant zagalneno, tuo tarpu funkcija gali būti kraštutinumų pabarstymo motina, be to, gali pasirodyti, kad funkcijos minimumas yra didesnis už maksimumą. Taigi, pavaizduotai funkcijai šiek tiek daugiau, .

Taigi nereikia galvoti, kad funkcijos maksimumas ir minimumas, matyt, yra didžiausios ir mažiausios reikšmės visose matomose dalyse. Taške iki maksimumo funkcija turi mažiausią reikšmę šių reikšmių diapazone, jei visuose taškuose įmanoma pasiekti tašką, artimą maksimumui, o taške iki minimumo - mažiausią reikšmę šių reikšmių diapazonas, jei jis yra arti taškų iki mažiausio taško.

Todėl galima paaiškinti, kad būtų galima geriau suprasti funkcijos ekstremumo tašką ir minimumo taškus vadinti lokalinio minimumo taškais, o maksimumo taškus – vietinio maksimumo taškais.

Shukaemo ekstremalios funkcijos vienu metu

3 pavyzdys.

Sprendimas. Funkcija priskiriama ir be pertrūkių visoje skaičių eilutėje. Її pokhіdna іsnuє taip pat sveikoje skaičių eilutėje. Tomas įeina šiam konkrečiam tipui kritiniai taškai є mažiau ti, jakui, tobto. , žvaigždės kad . Kritinius taškus ir padalinkite visą priskirtos funkcijos sritį į tris monotoniškumo intervalus: . Viberemo jų odoje per vieną kontrolinį tašką, o kitame taške žinome kito ženklą.

Intervalo valdymo taškas gali būti: žinomas. Paėmę tašką intervale, atimame, o paėmę tašką intervale galime. Taip pat intervalais i ir intervalais . Zgіdno su pirmu pakankamu ekstremumo ženklu, taške ekstremumo nėra (skaldos dažniau paima ženklą intervale), o taškuose funkcija gali būti minimali (einant per kitą skeveldros yra mažiau taškas, keičiant ženklą iš minuso į pliusą). Mes žinome atitinkamas funkcijos reikšmes: , a . Intervale funkcija keičiasi, šuoliai šiame intervale, o intervalai didėja, spygliai tame intervale.

Norėdami patikslinti būsimą grafiką, žinome jogos linijos taškus su koordinačių ašimis. Kai imame lygybę , kurios šaknis i , tada randami du funkcijos grafiko taškai (0; 0) ir (4; 0). Vikoristovuyuchi visi otrimani vіdomosti, budєmo tvarkaraštis (div. ant burbuolės užpakalio).

Norėdami patikrinti save naudodami rozrachunkah, galite paspartinti Internetinė panaši skaičiuoklė .

užpakalis 4.Žinokite funkcijos kraštutinumus ir sudarykite tvarkaraštį.

Funkcijos apimtis yra visa skaičiaus eilutė, išskyrus taškus, tobto. .

Norėdami greitai stebėti, galite paspartinti tai, kad garinė pirtis, skeveldros . Todėl grafikas yra simetriškas ašies atžvilgiu Ach kad stebėjimas gali būti naudojamas tik intervalui.

Mes žinome, kad aš eisiu ir kritiniai funkcijos taškai:

1) ;

2) ,

Bet jei funkcija žino skirtumą šiame taške, tai negali būti kraštutinis taškas.

tokiu būdu, funkcija nustatyta du kritiniai taškai: i. Vrahovoyuchi funkcijų poravimas, perevirim dar vienas pakankamas ekstremumo požymis yra tik taškas. Dėl kurio pažįstame draugą aš mirsiu і reikšmingas її ženklas adresu: otrimaєmo. Kadangi i , tai є mažiausias funkcijos taškas, kuriame .

Norint pridėti daugiau informacijos apie funkcijos tvarkaraštį, būtina sekti elgesį prie nurodytos zonos ribų:

(čia simbolis rodo pratimą x dešiniarankė iki nulio, be to x tapti perpildytas pozityvo; panašiai reiškia mankštą x iki nulio piktas, be to x perpildyti neigiamu). Tokiu rangu, yakscho, tada. Dali, mes žinome

,

tobto. šitaip.

Lūžio taškas su grafiko funkcijos ašimis negali būti. Mažylis – ant burbuolės užpakalio.

Norėdami patikrinti save naudodami rozrachunkah, galite paspartinti Internetinė panaši skaičiuoklė .

Prodovzhuєmo shukati ekstremalios funkcijos vienu metu

8 pavyzdys. Išmanyti ekstremumo funkcijas.

Sprendimas. Mes žinome priskirtos funkcijos apimtį. Taigi, jei nervingumas gali nugalėti, mes esame apsėsti.

Sužinokime pirmąsias pokhіdnu funkcijas.

duje svarbi informacija apie funkcijos elgseną, sukelia augimo ir nykimo laikotarpius. Їхнє perebuvannya є proceso dalis sekimo funkcijos ir greita grafika. Iki tol ekstremaliems taškams, kuriuose vyksta pokytis nuo augimo į nuosmukį arba nuo pokyčio į augimą, skiriama ypatinga pagarba, kai funkcijos didžiausios ir mažiausios reikšmės reikšmė esamu intervalu.

Šiame straipsnyje reikia apibrėžti, suformuluoti pakankamą to funkcijos pokyčio padidėjimo požymį per intervalą ir pakankamą priežastį ekstremumui, taikydami tą užduotį ištobulinsime visą teoriją.

Navigacija šone.

Funkcijos intervale augimas ir kitimas.

Paskirta auginimo funkcija.

Funkcija y=f(x) auga intervale X, taip pat bet kokiam i nerіvnіst vykonuetsya. Priešingu atveju atrodo – didesnė argumento reikšmė yra didesnė už funkcijos reikšmę.

Nurodyta skilimo funkcija.

Funkcija y=f(x) kinta intervalu X, kaip ir bet kuriai i nervistas . Kitu atveju, matyt – didesnę argumento reikšmę suteikia mažesnė funkcijos reikšmė.

PASTABA: kadangi funkcija priskirta ir be pertrūkių augimo arba mažėjimo intervaluose (a; b), tada, kai x = a і x = b, tada qi taškai įtraukiami į augimo arba mažėjimo intervalą. Nepervertinkite intervalo X augimo ir nykimo funkcijos tikslo.

Pavyzdžiui, iš pagrindinių elementariųjų funkcijų galių žinome, kad y=sinx yra priskirtas ir yra nepertraukiamas visų argumento efektyvių verčių. Todėl iš sinusinės funkcijos augimo intervaluose galime patvirtinti sinusinės funkcijos augimą intervale.

Krapki ekstremumas, ekstremumo funkcijos.

Pavadinkite esmę maksimalus taškas funkcijos y=f(x) , todėl visi x kaimynystėje yra teisingi. Iškviečiama funkcijos reikšmė taške iki maksimumo maksimali funkcija turiu omeny.

Pavadinkite esmę minimalus taškas funkcijos y=f(x) , todėl visi x kaimynystėje yra teisingi. Funkcijos reikšmė minimumo taške vadinama minimali funkcija turiu omeny.

Taško periferijoje supraskite intervalą , de – Užbaikite nedidelį teigiamą skaičių.

Vadinami minimumo ir maksimumo taškai ekstremalūs taškai, ir iškviečiama funkcijos reikšmė, atitinkanti ekstremumo taškus funkcijos ekstremumai.

Nepainiokite ekstremalių funkcijų su didžiausia mažiausia vertė funkcijas.

Pirmajame mažajame didžiausia funkcijos reikšmė viršuje pasiekiama funkcijos maksimumo taške ir kito maksimumo taške, o kito mažojo didžiausia funkcijos reikšmė pasiekiama taške x = b, bet ne maksimalaus taško.

Pakanka suprasti tos pakeistos funkcijos augimą.

Remiantis pakankamu tos pakeistos funkcijos augimo protu (ženklu), yra tos pasikeitusios funkcijos augimo spragų.

Formulės ašis yra intervalo funkcijos augimo ir pasikeitimo ženklas:

• jei panaši funkcija y=f(x) yra teigiama bet kuriam x intervale X, tai funkcija auga X;
• Jei panaši funkcija y=f(x) yra neigiama, ar x yra intervale X , tada funkcija pasikeičia į X .

Šia tvarka norint reikšti augimo augimą ir funkcijos pasikeitimą, būtina:

Pažvelkime į įsiterpusio augimo ir funkcijos pasikeitimo žinojimo pavyzdį algoritmo paaiškinimui.

užpakalis.

Žinokite augimo ir funkcijų pokyčių spragas.

Sprendimas.

Pirmajam derliui tai būtina žinoti funkcijos apimtį. Virazo užpakalyje, prie banermano, jis gali virsti nuliu, vėliau,.

Pereikime prie pažįstamos funkcijos:

Dėl promіzhkіv zrostannya, kad zmenshennya funktії už pakankamą ženklą vyrishuєmo nerіvієmі і dėl paskyrimo srityje. Greitai naudokite intervalų metodą. Viena dienoraščio šaknis yra є x = 2, o znamennik virsta nuliu, kai x = 0. Qi taškai padalija priskirto intervalo plotą, kai kurioms kitoms funkcijoms jie paima ženklą. Reikšmingi qi taškai skaičių tiesėje. Pliusai ir minusai yra psichiškai reikšmingi intervalai, kuriems tai yra teigiama ir neigiama. Rodyklės apačioje schematiškai rodo funkcijos padidėjimą arba pasikeitimą tam tikru intervalu.

tokiu būdu, і .

Taške x=2 funkcija priskirta ir nepertraukiama, prie to її reikia pridėti prie augimo intervalo ir prie skilimo intervalo. Taške x=0 funkcija nepriskirta, todėl šis taškas neįtraukiamas į intervalus, kuriais juokaujama.

Nubraižome funkcijos grafiką, kad gautume iš jos rezultatus.

Pasiūlymas:

Funkcija auga , keičiasi intervalu (0; 2] .

Pakanka atsižvelgti į funkcijos kraštutinumą.

Žinant funkcijos maksimalų ir minimumą, galima koristuvatisya, ar vienas iš trijų yra ekstremumo požymis, aišku, nes funkcija tenkina jūsų mintis. Plačiausi ir patogiausi yra pirmieji iš jų.

Persha pakanka Umovo ekstremumui.

Tegul funkcija y=f(x) yra diferencijuota taško apylinkėse, bet be pertrūkių pačiame taške.

Kitaip tariant:

Algoritmas, kaip rasti tašką iki ekstremumo po pirmojo funkcijos ekstremumo ženklo.

• Mes žinome priskirtos funkcijos apimtį.
• Mes žinome priskirtos srities funkcijas.
• Reikšmingi numerio rinkimo nuliai, atitinkamo nurodytos srities taško reklamjuostės nuliai, kurioje nėra galimi kraštutiniai taškai, einant per qi taškus, galima pakeisti savo ženklą).
• Qi taškai padalija zoną, skirtą promyzhki funkcijai, kai kuriems geriau pasiimti ženklą. Galime matyti panašaus odos intervalo požymius (pavyzdžiui, apskaičiuojant panašios funkcijos reikšmę bet kuriame gerai paimto intervalo taške).
• Parenkame taškus, kuriuose funkcija nepertraukiama ir, eidama per jakus, pakeičia ženklą - smirdantys ekstremumai.

Per daug turtingi žodžiai, gražiau pažvelgus į kilka pritaikė reikšmingus taškus ekstremumui ir funkcijos ekstremumus, kad padėtų pirmajam proto užtenka funkcijos ekstremumas.

užpakalis.

Išmanyti ekstremumo funkcijas.

Sprendimas.

Funkcijų sritis yra beasmenė dienų numeriai, Krim x = 2 .

Mes žinome, kad eisiu:

Skaitiklio є taškai x = -1 і x = 5 znamennik pavirsta į nulį ties x = 2 . Reikšmingas taškų skaičius skaitinėje ašyje

Matomi panašaus odos intervalo ženklai, su kuriais apskaičiuojama panašaus odos intervalo reikšmė, pavyzdžiui, taškuose x=-2, x=0, x=3 ir x=6.

Be to, intervale jis yra teigiamas (virš cim intervalo mažyliui uždedamas pliuso ženklas). Panašiai

Už kitą intervalą dedame minusą, trečią intervalą – minusą, ketvirtį – pliusą.

Neteko pasirinkti taškų, kurių funkcija nepertraukiama ir її pokhіdna keitimo ženklas. Tse i є ekstremalūs taškai.

Taške x=-1 funkcija yra nepertraukiama ir palaipsniui keičia ženklą iš pliuso į minusą, tada po pirmojo ženklo iki ekstremumo x=-1 yra taškas iki maksimumo, antrasis yra funkcijos maksimumas .

Taške x=5 funkcija yra nepertraukiama ir palaipsniui keičia minuso ženklą į pliusą, tada x=-1 yra minimumo taškas, o tai reiškia funkcijos minimumą .

Grafinės iliustracijos.

Pasiūlymas:

ATVIRKŠTINĖ PAGARBA: ekstremumui pakanka pirmojo ženklo, jis neturi įtakos paties taško diferencinei funkcijai.

užpakalis.

Raskite ekstremalių taškų ir ekstremalių funkcijų .

Sprendimas.

Funkcijos apimtis yra visi beasmeniai realieji skaičiai. Pačią funkciją galima įrašyti rodinyje:

Mes žinome šias funkcijas:

Taške x=0 negalima, vienpusių tarpinių reikšmių skeveldroms neleidžiama pasiekti nulio, kai argumentas yra perdėtas:

Tą pačią valandą išvesties funkcija yra nenutrūkstama taške x=0 (dal. padalijimas funkcijos tęstinumą):

Mes žinome argumento, pagal kurį verta pasukti į nulį, prasmę:

Žymiai visi taškai skaičių eilutėje ir žymiai mažesnis ženklas ant odos intervalų. Kuriam galima apskaičiuoti santykinio reikšmę tam tikruose odos intervalo taškuose, pavyzdžiui, su x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Tobto,

Tokia tvarka po pirmojo ekstremumo ženklo – minimumo taškai , nurodo didžiausią є .

Minimalių funkcijų skaičiavimas

Funkcijos maksimumų apskaičiavimas

Grafinės iliustracijos.

Pasiūlymas:

.

Kitas funkcijos ekstremumo požymis.

Kaip ir bachete, funkcijos ekstremumo ženklui reikės panašaus, bent jau skirtinga taškais.

Pirmasis pakankamas ekstremumo požymis suformuluojamas tobulinant pirmos geros valandos perėjimo per kritinį tašką ženklo kaitą. Apie kitą ekstremumo požymį žr. toliau § 6.4.

Teorema (pirmasis ekstremumo ženklas) : YakschoX 0 - Kritinis funkcijos taškasy=f(x) ir tikroje taško kaimynystėjeX 0 , eidamas per jį zlіva į dešinę, pokhіdna pakeisk ženklą į pailgėjimą, tadaX 0 є ekstremalus taškas. Be to, kadangi priešingo ženklo ženklas pakeičiamas iš „+“ į „-“, tadaX 0 yra maksimalus taškas irf(x 0 ) yra funkcijos maksimumas, ir panašu, kad ženklą „-“ pakeisti į „+“, tadaX 0 yra mažiausias taškas irf(x 0 ) - Minimali funkcija.

Ekstremaliai atrodantis dėvėti vietinis(Misceviy) mažo kritinio taško pakraščio pobūdis ir jautrumas.

Ekstremalumo ir išsiplėtimo taškai padalija monotoniškumo intervalo priskirtos funkcijos plotą.

6.3 pavyzdys. Pavyzdžiui, 6.1. žinojome kritinius taškus X 1 =0 і X 2 =2.

Žinoma, tai, kas teisinga šiuose taškuose, yra funkcija y = 2x 3 -6x 2 +1 gali ekstremalumas. Įsivaizduokite її pokhіdnu
prasmė X, paimta zliva ir taške dešiniarankė X 1 =0 gyventi netoli pakraščio, pavyzdžiui, x=-1і x = 1. paimtas. Oskіlki pokhіdna pakeiskite ženklą iš „+“ į „-“, tada X 1 =0 - nurodykite funkcijos maksimumą ir maksimumą
. Dabar paimame dvi reikšmes x = 1 i x = 3 iš kito kritinio taško X 2 =2 . Tai jau buvo parodyta
, a
. Oskіlki pokhіdna pakeiskite ženklą iš „-“ į „+“, tada X 2 =2 – Minimalus taškas. Ir bent jau funkcijos
.

Žinoti didžiausią ir mažiausią funkcijos vertę, netrukdant vėjui
reikia apskaičiuoti її reikšmes visuose kritiniuose apvijos taškuose ir kintsijoje, kad bv pasirinktų daugiausiai ir mažiausiai.

6.3. Funkcijos grafiko patinimo ir susitraukimo požymiai. Kink taškai

Diferencijuotos funkcijos grafikas vadinamasopuklimintervalu, kaip vynai roztashovaniya mažesnis, ar tai buvo jūsų dotichnu tuo intervalu;nusilenkti (nusileisti)yakscho vіn raztashovaniya vshee be-yakої dotichї intervale.

6.3.1. Būtini ir pakankami grafikos patinimo ir susitraukimo požymiai

a) Reikalingi ženklai

Koks yra funkcijų grafikasy=f(x) auglys ant intervalo(a, b) , tada draugas geras
kokiu intervalu; kaip tvarkaraštisbauginimas ant(a, b) , tada
ant(a, b) .

P st tvarkaraščio funkcija y=f(x) auglys (a, b) (6.3a pav.). Yakshcho dotichna kovzaє vzdovzh patinę kreiva zlіva į dešinę, її kut blogai pasikeitė (
), tuo pačiu keičiasi galutinis taško koeficientas, o tai reiškia, kad keičiasi pirmasis kartas
ant (a, b) . Tačiau ale yra panašus į pirmąjį, nes panašus į recesyvinę funkciją, bet gali būti neigiamas, tobto
ant (a, b) .

Koks yra funkcijų grafikas bauginimas ant (a, b) , Tai, mirkuyuchi panašiai, Bachimo, kad kaljant dotinį vzdovzh kreivę (6.3b pav.) nupjauna liguista dotinė atauga (
); Ir net jei tai atrodo kaip auganti funkcija, ji gali būti teigiama, taigi
ant (a, b) .

b ) Pakankamai ženklų

Kaip dėl funkcijosy=f(x) visi taškai turės tą patį intervalą
, tada funkcijos grafikasbauginimas kokiu intervalu, bet kaip
, tadaauglys .

„Taisyklė Doschu“ : Norint prisiminti kokį nors kito požymio pov'yazuvati z patinimą, o kurį iš lenkto grafiko lanko, rekomenduojama atsiminti: plius vanduo kreivuose lunatuose, „minus vandens“ – išsipūtusiuose mėnuliuose (6.4 pav.).

Krapka grafika nepertraukiama funkcija, kuriame išsipūtimas keičiasi į chi navpako iškilimą, vadinamaskink taškas .

Teorema (užtenka vingio taško ženklui).

Yakscho taške funkcija
dvіchі atskyrė, kad draugas taške panašus į nulį ar ne, ir net eidamas per tašką geras draugas
pakeiskite ženklą, tada tašką є vingio taškas. Sulenkimo taško koordinatės
.

Taškai, kai kuriam draugui, galima pasukti į nulį ar ne, vadinami kitokio pobūdžio kritiniais taškais.

6.4 pavyzdys.Žinokite vingio taškus ir pažymėkite kreivės išsipūtimo ir įdubimo intervalus
(Gaus kreivė).

R sprendimas. Mes žinome, kad draugas pokhіdnі:
,. Draugas tau geras . Lygus nuliui ir virishima otrimane lygus
, de
taip pat
, žvaigždės
,
- Kitokio pobūdžio kritiniai taškai. Dar vienos geros valandos kritinio taško kirtimo ženklo pasikeitimo atšaukimas
. Yakscho
pavyzdžiui,
, tada
, bet
pavyzdžiui,
, tada
Tobto draugas pakeis ženklą. Otzhe,
- lenkimo taško abscisė, її koordinatės
. Per pariteto funkcijas
, margas
, simetriškas taškas
, tezh bus vingio taškas.

Teorema (Umovo ekstremumui pakanka pirmosios). Tegul funkcija taške yra nepertraukiama, bet jei valanda eina per tašką, ženklas pasikeičia. Todi – ekstremumo taškas: maksimalus, o tai reiškia, kad ženklas keičiasi iš „+“ į „-“ ir į minimumą, kuris reiškia „-“ į „+“.

Atneša. Užeik su aš.

Dėl Lagranžo teoremos , de .Todі yakshcho, tada; prie to , otzhe, , arba . Gerai tada; prie to , otzhe, arba .

Otzhe atnešė, scho bet kuriuose netoliese esančiuose taškuose, tobto. yra maksimalus funkcijos taškas.

Panašiai atliekamas ir minimalaus taško teoremos įrodymas. Teorema baigta.

Kai tik valanda praeina per tašką, tai nekeičia ženklo, tada taškas nėra ekstremalus.

Teorema (Umovo ekstremumui užtenka draugo). Tegul taškas turi panašią funkciją, kuri yra dvejetainis diferencijavimas, gaunant 0 (), o kitas yra panašus esamame taške kaip nulis () ir be pertrūkių aktyvioje taško kaimynystėje. Todi – ekstremumo taškas; kuriame taške yra minimumas, o kuriame – maksimumas.

Ekstremalios funkcijos atpažinimo algoritmas po pirmosios pakankamos priežasties ekstremumui išspręsti.

1. Žinokite gudrybę.

2. Nurodykite svarbiausius funkcijos taškus.

3. Sekite kairiarankių ir dešiniarankių ženklą odoje kritinis taškas ir visnovo augimas apie kraštutinumų pasireiškimą.

4. Žinokite kraštutines funkcijos reikšmes.

Ekstremalumo funkcijos atpažinimo algoritmas, padedantis dar vienai pakankamai priežasčiai pašalinti ekstremumą.

1. Žinokite gudrybę.

2. Pažink draugą pokhіdnu.

3. Žinokite tі taškus, u yakikh.

4. Šiuose taškuose priskirkite ženklą.

5. Zrobiti vysnovok apie ekstremumų prigimtį.

6. Žinokite kraštutines funkcijos reikšmes.

užpakalis.Žiūrėti į . Mes žinome . Daly, aš už . Dolіdzhuєmo kritiniai taškai, skirti pirmajam pakankamam proto ekstremumui. Galbūt, kam aš at , aš at . Taškuose i geriau pakeisti jų ženklą: ties „+“ į „-“, o ties „-“ į „+“. Tse reiškia, kad taško funkcija turi maksimumą, o taškas – minimumą; . Kad išsilygintume, turime pasiekti kritinį tašką padedami kito pakankamo proto ir ekstremumo. Žinok, kad draugas mirs. Gegužė: , o tse reiškia, kad taškas turi maksimalią funkciją, o taškas – minimumą.

Funkcijos grafiko asimptotikos supratimas. Horizontali, silpna ir vertikali asimptotika. taikyti.

Paskyrimas. p align="justify"> Funkcijos grafiko asimptote vadinama tiesia linija, kuri leidžia pereiti nuo taško į tiesės centrą iki nulio, kai grafiko taškas nėra toli nuo koordinačių burbuolė.

Atskirkite vertikalias (6.6 pav. a), horizontalias (6.6 pav. b) ir siūbavimo (6.6 pav. c) asimptotes.

Ant pav. Rodomas 6.6a vertikali asimptota.

6.6b paveiksle - horizontalioji asimptote.

Ant pav. 6,6 V - asimptotas.

1 teorema. Vertikalių asimptočių taškuose (pavyzdžiui, ) funkcija žino išplėtimą, її tarp eilučių ir taškų dešinysis kelias yra:

2 teorema. Tebūnie paskirta funkcija užbaigti didįjį ir nustatyti galutines ribas

І .

Tada jis yra tiesus, nušiuręs funkcijos grafiko asimptotas.

3 teorema. Leiskite funkcijai paskirti dosit puikiai ir іsnuє tarp funkcijų. Tada tiesi linija yra funkcijos grafiko horizontalioji asimptotė.

Horizontalioji asimptote є vadiname bloga asimptote, jei . Prie to, nors tiesioje linijoje kreivė turi horizontalią asimptotę, tai toje tiesėje nėra blogos ir nesėkmės.

užpakalis.Žinokite funkcijos grafiko asimptotiką.

Sprendimas. Taške funkcija nepriskirta, mes žinome tarp kairiarankių ir dešiniarankių funkcijų taške:

; .

Be to, yra vertikali asimptotė.

Pagrindinė funkcijų stebėjimo ir jų tvarkaraščių skatinimo schema. užpakalis.

Bendra sekimo funkcijos schema kad raginimas її grafika.

1. Žinokite tikslinę sritį.

2. Sekite pariteto – nelygybės funkciją.

3. Žinokite plėtimosi taško vertikalią asimptotiką (kaip є).

4. Stebėkite funkcijos elgesį esant nenuoseklumui; žinoti horizontalius ir liguistus asimptotus (pvz., є).

5. Raskite funkcijos monotoniškumo ekstremumus ir intervalus.

6. Raskite grafiko linijos taškus su koordinačių ašimis i, kaip tai būtina schematiškai diagramai, norint žinoti papildomus taškus.

7. Schematiškai skambinkite tvarkaraščiu.

Išsami schema stebėjimo funkcijos kurie skatina grafiką .

1. Žinokite paskirties vietą .

a. Yakshcho є znamennik, vin yra kaltas dėl zratatisya in 0.

b. Suporuotos stadijos šaknies pošaknis gali būti neneigiamas (didesnis už nulį arba lygus jam).

c. Sublogaritminė virazė gali būti teigiama.

2. Vykdykite pariteto - nelygybės funkciją.

a. Yakscho , tada funkcija susieta.

b. Yakshcho , tada funkcija yra nesusieta.

c. Jakščo ne vikonano ne, ne , tai yra globalaus vaizdo funkcija.

3. Žinokite plėtimosi taško vertikalią asimptotiką (pvz., є).

a. Vertikalusis asimptotas gali būti mažiau ryškus priskirtos funkcijos tarpregioniuose.

b. Yakscho (arba ), tada grafiko asimptotė yra vertikali.

4. Sekite funkcijos elgesį nenuoseklumu; žinoti horizontalius ir liguistus asimptotus (pvz., є).

a. Yakscho, tada grafiko asimptotė yra horizontali.

b. Jakščas i tada tiesi linija yra silpna grafiko asimptotė.

c. Kalbant apie ribas, nurodytas a, b punktuose, tai įmanoma tik su vienpusiu pragnennі nesuderinamumu (arba ), tada asimptotika bus pašalinta vienpusiškai: kairioji jei ir dešinioji, jei.

5. Raskite funkcijos monotoniškumo ekstremumus ir intervalus.

a. Žinokite pokhidnu.

b. Žinokite kritinius taškus (ti taškus, de chi de nemaє).

c. Skaitmeninėje ašyje nurodykite nurodytą sritį ir її kritinius taškus.

d. Skaitinių intervalų turinio odoje pažymėkite kito ženklą.

e. Pagal panašių visnovokų tyrimų požymius apie kraštutinumų pasireiškimą tuose tipuose.

f. Žinokite kraštutines vertybes.

g. Pagal ūsų žygio augimo požymius apie augimą ir kaitą.

6. Žinoti grafiko linijos su koordinačių ašimis i taškus, kaip reikia schematinei schemai, žinoti papildomus taškus.

a. Schob, norint žinoti grafiko linijos taškus nuo vіssyu, būtina atskirti liniją. Taškai , de nulis , bus grafiko z vyssyu linijos taškai .

b. Grafiko linijos taškas matomas iš viršaus. Vaughn іsnuє, tai mažiau kaip taškas, skirtas įvesti nurodytos funkcijos sritį.

8. Schematiškai skambinkite tvarkaraščiu.

a. Sukelti koordinačių sistemą ir asimptotes.

b. Nurodykite kraštutinius taškus.

c. Nurodykite grafiko lūžio taškus koordinačių ašimis.

d. Schematiškai indukuokite grafiką taip, kad, eidami per nurodytus taškus ir artėdami prie asimptotų.

užpakalis. Vykdykite funkciją ir schematiškai sukelkite її tvarkaraštį.

2. – laukinio proto funkcija.

3. Oskіlki i , tada tiesios linijos є vertikalios asimptotės; taškai і є taškuoti. , kai neįeikite į priskirtos funkcijos sritį