Nuplaukite dviejų tiesių linijų statmenumą erdvėje. Lygiagrečios linijos, lygiagrečių linijų ženklai ir mintys. Eikite nuo taško iki tiesios linijos

KUT tarp butų

Pažvelkime į dvi plokštumų α 1 ir α 2 užduotis vienodai:

Pid cutom tarp dviejų butų suprantamas vienas iš dvipusių kutіv, sudarytų iš šių butų. Akivaizdu, kad pjūvis tarp normaliųjų vektorių ir 1 ir 2 plokštumų yra daugiau . Tomas . Nes і , tada

užpakalis. Pažymėkite pjūvį tarp butų x+2y-3z+4 = 0 ir 2 x+3y+z+8=0.

Nuplaukite dviejų plokštumų lygiagretumą.

Dvi plokštumos α 1 ir α 2 yra lygiagrečios viena kitai ir tik su ta pačia, jei jos yra normalieji vektoriai ir lygiagrečios, taip pat .

Be to, dvi plokštumos yra lygiagrečios vienai, o mažiau – vienodai, jei atitinkamų koordinačių koeficientai yra proporcingi:

arba

Nuplaukite plokštumų statmeną.

Buvo aišku, kad dvi plokštumos yra statmenos ir vienodos, jei jos yra normalūs vektoriai ir statmenos.

Tokiu būdu,

taikyti.

TIESIOGIAI KOSMOSE.

VECTORNE RIVNYANNYA TIESIOGIAI.

PARAMETRINIS LYGAVIMAS TIESIOGIAI

Tiesios linijos padėtis erdvėje visiškai priklauso nuo pateiktų duomenų, nes yra її fiksuotų taškų M 1 i vektorius , lygiagretus tiesei.

Vektorius, lygiagreti linija, vadinamas tiesioginis vektorius yra tiesus.

Otzhe, labas tiesiai l pereiti per tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1), kuri yra tiesėje, lygiagrečioje vektoriui.

Pažvelkime į tam tikrą tašką M(x, y, z) tiesioje linijoje. Iš mažylio tai matosi .

Vektoriai ir kolіnearnі, todėl yra toks skaičius t, sho , de daugiklis t galite pasiimti, ar tai yra skaitinė reikšmė pūdyme taško padėtyje M tiesioje linijoje. Daugiklis t vadinamas parametru. Spindulio-vektoriaus taško priskyrimas M 1 ta M matyt per i, otrimuemo. Tse lygus vadinamas vektorius tiesios linijos. Tai rodo parametro reikšmę odai t pakeisti deak taško spindulį-vektorių M, kurios yra tiesioje linijoje.

Užsirašykime koordinačių formos eiliškumą. Su pagarba, sho, ir žvaigždės

Otrimani lygūs vadinami parametrinis tiesiai.

Keičiant parametrą t keičiasi koordinatės x, yі z aš margau M judėti tiesia linija.

CANONIC RIVNYANNYA DIRECT

Nagi M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - taškas, esantis tiesioje linijoje l, і - Її tiesioginis vektorius. Pereisiu tiesiai į visą esmę M(x, y, z)žiūriu į vektorių.

Buvo aišku, kad vektoriai ir kolinearinės jų atitinkamos koordinatės gali būti proporcingos,

– kanoninis tiesios linijos.

Pagarba 1. Pagarbiai įjungus parametrą kanoninį tiesės išlygiavimą galima atimti iš parametrinių t. Tiesa, iš parametrinių lygybių tai būtina arba .

užpakalis. Rašykite tiesias linijas parametrinė išvaizda.

Gerokai , žvaigždės x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Užrašas 2. Tegul tiesė yra statmena vienai iš koordinačių ašių, pavyzdžiui, ašiai Jautis. Tada tiesioginis statmenų linijų vektorius Jautis, otzhe, m=0. Otzhe, tiesioginio žvilgsnio į priekį parametrinis išlyginimas

Įskaitant išlyginimo parametrą t, Paimkite tiesiai iš akių

Prote ir tuo pačiu formaliai užrašykime tiesioginio jako kanonines lygybes . Šia tvarka, jei vienos iš trupmenų reklamjuostėje yra nulis, tai reiškia, kad tiesė yra statmena dviejų koordinačių ašiai.

Panašiai ir kanoniniai lygūs tiesi linija yra statmena ašims Jautisі Ach arba lygiagrečiai ašiai Ozas.

taikyti.

ZAHALNI RIVNYANNYA DIRECT, DVIEJŲ LĖKTUVIŲ JOKŲ LINIJA ATGURTA

Per odą tiesiai atviroje erdvėje praeiti beasmenę sritį. Ar tai būtų du iš jų, persipynę, jie reiškia erdvėje. Otzhe, jei būtų du tokie butai, kurie žiūrimi kartu, jie yra lygūs tiesioms linijoms.

Vzagali be-kaip du lygiagrečios plokštumos, nustatyta karštų lygių

pažymėkite tiesią liniją. Qi lygūs vadinami laukinis pavydas tiesiai.

taikyti.

Paskubėjimas tiesiai, nustatytas bendraamžių

Norint paskatinti tiesiogiai, pakanka žinoti, ar yra її taškų. Lengviausias būdas yra pasirinkti tiesės kryžminius taškus su koordinačių plokštumomis. Pavyzdžiui, kryžiaus taškas su plokštuma xOy imame tiesiai, vvazhuchi z= 0:

Virishivshi tsyu sistema, mes žinome esmę M 1 (1;2;0).

Panašiai, pagarbiai y= 0 xOz:

Iš viršutinių tiesios linijos lygių galite pereiti į її kanoninius arba parametrinius lygius. Kam būtina žinoti tam tikrą tašką M 1 tiesėje, o tiesioginis vektorius yra tiesi linija.

Taško koordinatės M 1 paimamas iš išlyginimo sistemos centro, paspaudus vieną iš koordinačių iki pakankamos vertės. Kalbant apie tiesioginį vektorių, vektorius turi būti statmenas abiem normaliesiems vektoriams. і . Prie to tiesioginiam vektoriui l ar gali imti vektoriaus witwear normalūs vektoriai:

užpakalis. Veda tiesiai į priekį į kanono išvaizdą.

Raskime tašką, kuris yra tiesioje linijoje. Kuriai pasirenkame tik vieną iš koordinačių, pavyzdžiui, y= 0 ir padalinkite išlyginimo sistemą:

Normalieji plokštumų vektoriai, nusakantys tiesę, nustato koordinates. Todėl tiesioginis vektorius bus tiesioginis

. Otzhe, l: .

KUT MIZH TRAIGHT

Kutom tarp tiesių erdvėje vadinsime, ar duota viena iš suminių kutivų, sudarytų iš dviejų tiesių, nubrėžtų per tam tikrą tašką lygiagrečiai.

Tegul erdvė nustato dvi tiesias linijas:

Akivaizdu, kad kut tarp їх tiesių gali būti laikomas kut tarp їх tiesioginių vektorių i . Taigi jak, tada kosinuso kuta formulei tarp vektorių imame

V skirsnis *. Tiesių linijų ir plokščių lygtis šalia atviros erdvės.

§ 70. Pagalvokite apie dviejų tiesių lygiagretumą ir statmenumą.

Tiesios linijos su tiesioginiais vektoriais a і b :

a) lygiagreti vienodi ir mažiau vienodi, jei vektoriai a і b kolinearinis;

b) statmenai tam pačiam ir mažiau tam pačiam, jei vektoriai a і b statmenai, tai jei a b = 0.

Būtina atsižvelgti į būtiną ir pakankamą dviejų tiesių lygiagretumo ir statmenumo supratimą, pateiktą kanoninėmis lygybėmis.

Už tai tiesiai

rutuliukai yra lygiagretūs, reikalingi ir pakankami, kad laimi protas

Ar vipadku, kaip kai kurie skaičiai b 1 , b 2 , b 3 grįš į nulį, tada kaltas, jei kitas skaičius grąžinamas į nulį a 1 , a 2 , a 3 .

Tiesių linijų statmenumui būtina ir pakanka, kad protas

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0. (2)

1 užduotis. Tarp einančių tiesių porų statymai yra lygiagrečiai arba statmenai tiesioms linijoms:

a) Tiesioginiai vektoriai a = (2; 4; -13) ir b = (3; 5; 2) akivaizdžiai nėra kolinearinis. Otz, ne tiesiogiai lygiagrečiai. Dar kartą pažiūrėkime į proto statmenumą

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 3 + 4 5 - 13 2 = 0.

Tiesiai statmenai.

b) Kitos tiesės tiesioginis vektorius gali būti suderintas b = (3; 2; 4). Tiesioginiam vektoriui pirmiausia galiu paimti normaliųjų vektorių vektorinį komplementą
n 1 = (2; -3; 0) ir n 2 \u003d (4; -2; -2) plokštumos, kaip nustatyti qiu tiesiai:

Umovas (1) laimi, skeveldros 6/3 = 4/2 = 8/4. Tiesiogiai lygiagrečiai.

c) Pirmosios tiesės maє koordinačių tiesioginis vektorius a = (2; 3; 1). Nesunku sukurti kitą tiesią liniją iki kanoninės išvaizdos.

Otzhe, b =(- 1 / 2 ; 1; 3 / 2) .

Vektoriai a і b ne lygiagrečiai. Smarvė ne statmena, šukės

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 (- 1 / 2) + 3 + 3 / 2 =/= 0.

Duomenys yra tiesūs, ne lygiagrečiai ir ne statmeni.

2 užduotis.Žinokite tiesės išlyginimą, kad ji eitų per tašką M 0 (2; -3; 4), statmeną tiesei

Tsya straipsnis apie lygiagrečias linijas ir lygiagrečias linijas. Lygiagrečių linijų plokštumoje ir šalia atviros erdvės žymėjimas suteikiamas nugarai, įvedamas žymėjimas, taikomos grafinės lygiagrečių linijų iliustracijos. Jie davė ženklus ir suprato tiesių lygiagretumą. Visnovka rodo charakteringų užduočių sprendimus, įrodančius tiesių lygiagretumą, taip pat tokių stačiakampės koordinačių sistemos tiesės lygybių priskyrimus plokštumoje ir trivialioje erdvėje.

Navigacija šone.

Lygiagrečiai tiesioginiai pagrindiniai tiltai.

Paskyrimas.

Vadinamos dvi tiesės plokštumoje lygiagrečiai kodėl tu nesmirdi Karštos vietos.

Paskyrimas.

Vadinamos dvi tiesės trivi-pasaulinėje erdvėje lygiagrečiai kaip dvokia gulint viename bute ir nemiegant ant miegamųjų vietų.

Atsižvelkite į tai, kad įspėjimas „kad smarvė slypi toje pačioje plokštumoje“ ties nustatytomis lygiagrečiomis linijomis atviroje erdvėje yra dar svarbesnis. Paaiškinkime šį momentą: du yra tiesūs trivi-pasaulinėje erdvėje, kad jie neturėtų miego taškų ir negulėtų toje pačioje plokštumoje, ne lygiagrečiai, o kertasi.

Pateiksime keletą lygiagrečių linijų pavyzdžių. Protilezhnі lapo zoshita kraštai guli ant lygiagrečių tiesių linijų. Tiesi, už kurios kabinos sienos plokščia kerta lygiagrečiai esančią stelos ir paklotų plokštumą. Taip pat galite pamatyti, kaip lygiagrečios tiesios linijos yra vienodos.

Lygiagrečioms linijoms apibrėžti naudojamas simbolis "". Kadangi tiesė a ir b yra lygiagrečios, galite parašyti trumpą a b.

Parodykite pagarbą: kadangi tiesės a ir b yra lygiagrečios, galite sakyti, kad tiesė a yra lygiagreti tiesei b, o tiesė b lygiagreti tiesei a.

Tvirtai tvirtai, tarsi vaidintų svarbų kai kurių lygiagrečių tiesių vaidmenį plokštumoje: per tašką, kuris nėra ant nurodytos tiesės, pereikite vieną tiesią, lygiagrečią nurodytai linijai. Šis teiginys priimamas kaip faktas (jo negalima įrodyti remiantis planometrijos aksiomomis), ir jis vadinamas lygiagrečių tiesių aksioma.

Erdvei erdvėje galioja tokia teorema: per tai, ar erdvės taškas, kuris nėra ant duotosios tiesės, eina per vieną tiesę, lygiagrečią duotajai. Tsya teoremą galima lengvai padėti įvesti lygiagrečių tiesių aksiomas (її jūs galite sužinoti apie save iš geometrijos 10-11 klasės vadovo, kuris nurodytas straipsnyje literatūros sąraše).

Tiesių linijų lygiagretumas – to proto lygiagretumo požymiai.

Lygiagrečių linijų ženklas Tiesių lygiagretumui intelekto pakanka, kad toks mąstymas, garantuojantis tiesių lygiagretumą. Kitaip tariant, vykonannya tsієї pagalvokite pakankamai, kad išsiaiškintumėte lygiagrečių linijų faktą.

Taip pat būtina nustatyti būtinus ir pakankamus tiesių lygiagretumo protus plokštumoje ir trivialioje erdvėje.

Suprantama pakeisti frazę „kad būtinas pakankamas protinis tiesių lygiagretumas“.

Turėdami pakankamą protinį tiesių lygiagretumą, mes jau išsiaiškinome. Ir kas tai yra? reikalingas protas tiesių lygiagretumas? Už pavadinimo „būtina“ buvo suprantama, kad vikonnannya tsієї protas yra būtinas linijų lygiagretumui. Kitaip tariant, jei tiesių lygiagretumas nėra būtinas, tai tiesės nėra lygiagrečios. tokiu būdu, būtina, kad užtektų tiesių tiesių protinis lygiagretumas- Tse protas, vykonannya kaip reikia, todėl pakanka tiesių linijų lygiagretumo. Tai yra, iš vienos pusės yra tiesių linijų lygiagretumo ženklas, iš kitos pusės - vientisumas, tarsi matyti lygiagrečios linijos.

Pirmas žingsnis – suformuluoti reikiamą tiesių lygiagretumą, pakankamą protui atspėti šiek tiek papildomų ženklų.

Tiesi linija- Tse yra tiesi, tarsi mes kertame odą dviem tiesiomis linijomis.

Kai išeina į pensiją, du tiesūs sichny utvoryuyutsya vіsіm nesudegę. Formuliniam būtinam ir pakankamam protui tiesių lygiagretumu ištinka vadinamasis likimas aukštyn kojomis guli, guliі vienašalis kuti. Parodykite juos ant fotelio.

Teorema.

Kaip dvi tiesios linijos sichny susikirtimo plokštumoje, tada jų lygiagretumui būtina ir pakanka, kad pjūviai būtų kirsti, jie gulėtų, jie būtų lygūs arba abi kraštinės būtų lygios, arba vieno- šoniniai pjūviai buvo 180 laipsnių.

Parodykime būtino ir pakankamo proto lygiagretumo tiesių plokštumoje grafinę iliustraciją.

Tiesių linijų lygiagretumo įrodymų galite rasti iš 7–9 klasių geometrijos padėjėjų.

Svarbu, kad jūs manote, kad galite laimėti, o trivialioje erdvėje - smėlis, kad dvi tiesios linijos būtų toje pačioje plokštumoje.

Pateikiame dar kelias teoremas, kurios dažnai ginčijamos įrodant tiesių lygiagretumą.

Teorema.

Jei dvi linijos plokštumoje yra lygiagrečios trečiajai linijai, tada smarvė lygiagreti. Įrodymas, kad ženklai yra akivaizdūs iš lygiagrečių tiesių aksiomų.

Tai analogiška proto lygiagrečiai tiesioms linijoms trivialioje erdvėje.

Teorema.

Kaip dvi tiesios linijos erdvėje, lygiagrečios trečiajai tiesei, visos smarvės yra lygiagrečios. Įrodymas, kad ženklai matomi geometrijos pamokose 10 klasėje.

Pavaizduokime teoremos skambėjimą.

Pateikiame dar vieną teoremą, kuri leidžia nustatyti tiesių lygiagretumą plokštumoje.

Teorema.

Kaip dvi tiesės plokštumoje, statmenoje trečiajai tiesei, jos yra lygiagrečios.

Yra panaši teorema tiesėms erdvėje.

Teorema.

Kaip dvi tiesios linijos trivialioje erdvėje, statmenos vienai plokštumai, smarvė yra lygiagreti.

Įsivaizduojama, mažieji, yakі vіdpovіdat zim teoremos.

Visos teoremos formuluotės, ženklai ir būtini pakankami protai stebuklingai tinka tiesių lygiagretumui įrodyti geometrijos metodais. Taigi, norint gauti dviejų tiesių užduočių lygiagretumą, reikia parodyti, kad jos yra lygiagrečios trečiajai tiesei, arba parodyti pjūvių išlyginimą, gulėti ir pan. Anoniminės panašios užduotys pažeidžiamos per pirmąją geometrijos pamokų valandą nepažįstamoje vidurinėje mokykloje. Tačiau reikia pažymėti, kad turtinguose vipaduose nesunku naudoti koordinačių metodą tiesių lygiagretumui plokštumoje arba trivialei erdvei įrodyti. Suformuluojame būtiną pakankamą supratimą apie tiesių lygiagretumą, kaip užduotį stačiakampei koordinačių sistemai.

Tiesių lygiagretumas stačiakampėje koordinačių sistemoje.

Šioje pastraipoje suformuluota statistika būtina ir pakanka suprasti tiesių lygiagretumą tiesiojoje koordinačių sistemoje jis yra pūdymas rіvnyan pavidalu, kuris reiškia tsі tiesias linijas, taip pat sukelsime ataskaitas apie būdingų užduočių pasiskirstymą.

Prisiminkime dviejų tiesių lygiagretumą stačiakampės koordinačių sistemos Oxy plokštumoje. Jogos pagrindu įrodykite, kad meluojate tiesioginio linijos vektoriaus žymėjimasі normalusis tiesės vektorius ant buto.

Teorema.

Dviejų nenukrentamųjų tiesių lygiagretumui plokštumoje būtina ir pakanka, kad šių tiesių tiesioginiai vektoriai būtų kolineariniai arba šių tiesių normalieji vektoriai būtų kolineariniai, arba vienos statmenų linijos tiesioginis vektorius normaliajai kitos linijos vektorius.

Akivaizdu, kad dviejų tiesių protinis lygiagretumas plokštumoje gali būti sumažintas iki (tiesioginiai tiesių vektoriai arba normalūs linijų vektoriai) arba iki (tiesioginis kitos tiesės normalaus vektoriaus vienos linijos vektorius). Tokia tvarka, kaip i - tiesioginiai eilučių vektoriai a і b ir і - normalieji tiesių a ir b vektoriai yra teisingi, tada reikia, kad pakankamas tiesių a ir b mentalinis lygiagretumas būtų parašytas kaip , arba , arba de t yra tikrasis skaičius. Tiesių a ir b tiesių koordinatės ir (arba) normalieji vektoriai turi savo koordinačių diapazoną už duotųjų tiesių linijų.

Zokrema, kaip tiesi linija a Oxy stačiakampėje koordinačių sistemoje plokštumoje tiesi linija protas , ir tiesi linija b - tada įprastiniai tsikh tiesių vektoriai gali būti koordinatės і vіdpovіdno, o Um linijų a і b lygiagretumas bus parašytas kaip .

Yakshcho tiesioginis a vіdpovіdaє tiesių linijų sulyginimas su pjūvio koeficientu protas , o tiesė b - , tada šių tiesių normalieji vektoriai gali turėti koordinates i ir bus matomas šių tiesių mentalinis lygiagretumas . Be to, nors tiesės stačiakampės koordinačių sistemos plokštumoje yra lygiagrečios ir gali būti nustatytos lygios tiesėms su viršūnių koeficientais, tai tiesių viršūnių koeficientai bus lygūs. Visų pirma: nors tiesės, kurios nesilenkia, plokštumoje stačiakampėje koordinačių sistemoje gali būti nustatomos tiesėmis, kurių briaunos koeficientai yra vienodi, tai tokios tiesės yra lygiagrečios.

Kaip tiesė a ir tiesė b tiesių koordinačių sistemoje kanoninis tiesių linijų lygiavimas ant plokščio protas і , arba parametrinis tiesės išlyginimas plokštumoje protas і akivaizdu, kad tiesioginiai šių eilučių vektoriai gali būti koordinatės i , o tiesių a ir b mentalinis lygiagretumas parašytas kaip .

Pažvelkime į keletą programų.

užpakalis.

Chi lygiagrečios linijos і?

Sprendimas.

Perrašykime tiesių linijų išlyginimas ties apvijomis pamačius laukinę tiesią liniją: . Dabar matote, kad scho yra įprastas tiesių linijų vektorius , o normalusis vektorius yra tiesi linija. Qi vektoriai nėra kolineariniai, nes tokių nėra datos numeris t , kuriai teisinga lygybė ( ). Todėl nebūtina įveikti to pakankamo mentalinio tiesių lygiagretumo plokštumoje poreikio, tiesių užduotys tam nėra lygiagrečios.

Pasiūlymas:

Ne, ne tiesiogiai lygiagrečiai.

užpakalis.

Ar jie tiesūs ir lygiagrečiai?

Sprendimas.

Naviguojamas kanoniškai lygus tiesiai į lygų tiesiai iš pjūvio koeficiento: . Akivaizdu, kad tiesių linijų išlyginimas ir tas pats (skirtingoms užduotims tiesių bus išvengta) ir tiesioginių lygių kutovі koeficientai, taip pat vihіdnі tiesės yra lygiagrečios.