Կորագիծ ինտեգրալի անկախությունը եզրագծի վրա: Լվացեք երկրորդ տեսակի կորագիծ ինտեգրալի անկախությունը ինտեգրման ճանապարհով: Լվացեք կորագիծ ինտեգրալի անկախությունը ինտեգրման ուղղությամբ

2-րդ տեսակի ինտեգրում

Եկեք նայենք 2-րդ տեսակի կորագիծ ինտեգրալին, որտեղ L-ը M և N կետերը միացնող կոր է: Թող P(x, y) և Q(x, y) ֆունկցիաները կարողանան անխափան քայլել իրական տարածքում: D, որի մակերեսը գտնվում է կորը L. Հատկանշական է, որ որոշ վերլուծություններում կորագիծ ինտեգրալը չի կարող տեղավորվել L կորի տեսքով, միայն M և N կետերն են ընդլայնված:

Մենք գծում ենք երկու լրացուցիչ կորեր MSN և MTN, որոնք ընկած են D հեռավորության վրա և միացնում են M և N կետերը (նկ. 14):

Ասենք՝ ինչ, թոբտո

de L - փակ հանգույց, ծալովի MSN և NTM կորերից (նաև, այն կարող է ավելացվել ավելին): Այսպիսով, մտքի անկախությունը 2-րդ տեսակի կորագիծ ինտեգրալից ինտեգրման ճանապարհով հավասար է այն մտքին, որ ցանկացած փակ օղակի հետևում գտնվող նման ինտեգրալը հավասար է զրոյի:

Թեորեմ 5 (Գրինի թեորեմ). D իրական տարածքի բոլոր կետերում տվեք P(x, y) և Q(x, y) ֆունկցիաները և դրանց մասնավոր անցումները: Այնուհետև, որպեսզի փակ ուրվագիծը L, որը գտնվում է D շրջանում, լինի

անհրաժեշտ և բավարար մարզի բոլոր կետերի համար Դ.

Բերելով.

1) Բարեկեցություն՝ թող ձեր միտքը գնա = vikonano: Դիտարկենք D շրջանի L ավելի փակ եզրագիծը, որը շրջապատում է S շրջանը, և գրենք Գրինի բանաձևը նորի համար.

Otzhe, բավարարություն բերեց.

2) Անհրաժեշտություն. ասենք, որ միտքը գրվել է D տարածքի մաշկային կետում, բայց եթե ուզում եք տարածքի կենտրոնում գտնել մեկ կետ, որում՝? 0. Եկեք, օրինակ, P(x0, y0) կետում միգուցե՝ - > 0: Այսպիսով, քանի որ նյարդայնության ձախ հատվածն անխափան գործառույթ ունի, այն մեկ օրով դրական և մեծ կլինի՞: > 0 deakіy փոքր տարածաշրջանում D`, վրեժխնդիր լինել P. Otzhe կետից,

Կարևոր է հաշվի առնել Գրինի բանաձևը

de L` - ուրվագիծը, որը շրջապատում է D` տարածքը: Tsey արդյունք superchit միտքը. Նաև՝ = D շրջանի բոլոր կետերում, որն անհրաժեշտ էր բերել.

Հարգանք 1. Նմանապես, չնչին աշխարհային տարածության համար կարելի է բերել կորագիծ ինտեգրալի անկախության անհրաժեշտ և բավարար մտքերը.

ինտեգրման ուղղությամբ є:

Նշում 2. Երբ vykonannі մտքում (52) viraz Pdx + Qdy + Rdz є վերին դիֆերենցիալփաստացի գործառույթ: Սա թույլ է տալիս հաշվարկել կորագիծ ինտեգրալի հաշվարկը մինչև նշված տարբերության արժեքը և ինտեգրման եզրագծի վերջում և եգիպտացորենի կետերը, մասշտաբը

Ո՞ր ֆունկցիայի համար ես կարող եմ իմանալ բանաձևից

de (x0, y0, z0) - D տարածաշրջանի կետը, իսկ C - բավական է դարձել: Իրոք, հեշտ է շփոթել, որ (53) բանաձևով տրված մասնավոր ֆունկցիաները հավասար են P-ին, Q-ին և R-ին:

հետույք 10.

Հաշվի՛ր 2-րդ տեսակի կորագիծ ինտեգրալը

ամբողջ կորի երկայնքով, որը միացնում է (1, 1, 1) և (2, 3, 4) կետերը։

Անցնենք, թե ինչ են մտածում վիկոնները (52).

Otzhe, գործառույթը ներկա է: Մենք գիտենք її բանաձևի հետևում (53)՝ սահմանելով x0 = y0 = z0 = 0: Այնուհետև

Այս աստիճանում ֆունկցիան և որոշվում է ճշգրտությամբ մինչև բավարար տեղադրման dodanku: Ենթադրենք Z = 0, ապա u = xyz: Օտժե,

Դիտարկենք կորագիծ ինտեգրալը

վերցնելը հետո deak հետ հարթ կորի Լ, որը միավորում է կետերը Մі Ն. Ենթադրենք, որ գործառույթները P (x, y)і Q(x, y)կարող են լինել անխափան մասնավոր արձակուրդներ այն տարածքում, որը դուք կարող եք տեսնել Դ. Իհարկե, կորագիծ ինտեգրալ գրելու նման մտքերի համար չի կարող լինել կորի տեսքով Լ, և ավանդադրել միայն կոճի և վերջնակետի դիրքում Մі Ն.

Դիտարկենք ևս երկու կոր MPNі MQN, որը գտնվում է բաց տարածքի մոտ Դև միացնող կետերը Մі Ն. Դե արի

(1)

Այնուհետև 1 և 4 հզորությունների հիման վրա կորագիծ ինտեգրալները կարող են լինել.

tobto. փակ հանգույցի ինտեգրալ Լ

Բանաձևի մնացած մասում փակ եզրագծի երկայնքով անցումների կորագիծ ինտեգրալը Լծալված կորերից MPNі ԱԿՄ. Tsey ուրվագիծը Լդուք կարող եք, ակնհայտորեն, vvazhati dovilnym.

Այս վարկանիշում նկատի ունեցեք.

այնպես որ M և N ցանկացած երկու կետերի համար կորագիծ ինտեգրալը գտնվում է ոչ թե կորի տեսքով, այլ միայն կորի տեսքով, այլ միայն գտնվում է այս կետերի դիրքում, հաջորդը. ինչ Ցանկացած փակ եզրագծի հետևում կորագիծ ինտեգրալը հավասար է զրոյի .

Արդար և չար visnovok:

եթե ցանկացած փակ օղակի հետևում կորագիծ ինտեգրալը հավասար է զրոյի, ապա այս կորագիծ ինտեգրալը չի կարող ընկած լինել կորի տեսքով, որը գտնվում է երկու կետերի միջև:, և պառկել միայն ցիխի ճամբարներում կետ . Ճիշտ է, համարժեքության scho (2) բուռն համարժեքություն (1)

Թեորեմ

Թող P(x, y), Q(x, y) ֆունկցիաները օգտագործվեն դյակո շրջանի բոլոր կետերում միանգամից իրենց անձնականով և առանց ընդհատումների։ Այնուհետև ցանկացած փակ օղակի L-ի հետևում կորագիծ ինտեգրալ ունենալու համար, որն ընկած է սենյակի կենտրոնում՝ հասնելով զրոյի, ապա. շոշափել

(2')

անհրաժեշտ և բավարար vikonannya համարժեքություն

տարածքի բոլոր կետերում Դ.

Բերելով

Եկեք ավելի սերտ նայենք փակ շրջանին Լտարածաշրջանում Դիսկ նորի համար գրում ենք Գրինի բանաձևը.

Եթե միտքը հաղթում է (3), ապա թերագնահատված ինտեգրալը, որն արժե չարժե, նույնպես հավասար է զրոյի i, ապա.

նման կերպ, բավարարությունլվանալ (3) բերել.

Հիմա բերենք անհրաժեշտությունմիտք, խելք. Հնարավոր է, որ հավասարությունը (2) հաղթական լինի ցանկացած փակ կորի համար Լտարածաշրջանում Դ, ապա շրջանի մաշկի կետում միտքը հաղթական է (3)։

Ընդունելի է, մյուս կողմից, որ խանդը (2) հաղթում է, tobto.

իսկ Umov (3) չի հաղթում, tobto.

տաք բի մեկ կետում. Եկեք, օրինակ, երգելու կետը կարող է նյարդայնանալ

Քանի որ նյարդայնության ձախ հատվածն ունի անխափան գործառույթ, բոլոր կետերում դրական և որոշակի թվից ավելի կլինի հասնել փոքր տարածքի վրեժ լուծելու համար: Vіzmemo podvіyny іntegrа іn іy galluzі vіd raznitsi: Vin matime-ը դրական նշանակություն ունի. Ճիշտ,

Կանաչ բանաձևի հետևում մնացած անհավասարության ձախ հատվածը ավելի մոտ է միջտարածաշրջանի վրա կորագիծ ինտեգրալին, որը, նպաստների հետևում, ավելի մոտ է զրոյին: Otzhe, ostannya nerіvnіst supercheat մտքերը (2), otzhe, pripuschennya, scho վրա vіdminu vіd զրոյական ցանկանալով լինել մի կետում, ոչ այնքան: Հնչում է ճչում, ինչ

բոլոր կետերում Դ.

Otzhe, թեորեմը կրկին ավարտված է:

Դիֆերենցիալ հավասարի հարսանիքի ժամին մտքիս բերվեց

համարժեք է նրան, որ վիրազ pdx + Քդի• ընթացիկ ֆունկցիայի վերջին դիֆերենցիալը u(x, y), ապա.

Ale in tsomu vipadku վեկտորը

є գրադիենտ ֆունկցիա u(x, y);

Գործառույթ u(x, y), գրադիենտը նման է վեկտորին ներուժոր վեկտորը.

Տեղեկացրեք մեզ դա ով ունի կորագիծ ինտեգրալ Ցանկացած L կորի հետևում, որը միացնում է M և N կետերը, այս կետերում i ֆունկցիայի արժեքների տարբերությունը.

Բերելով

Յակշո Рdx + Qdyє ֆունկցիայի վերին դիֆերենցիալը u(x, y), ապա կանդրադառնամ կորագիծ ինտեգրալին

Այս ինտեգրալի հաշվարկի համար մենք գրում ենք կորի պարամետրային հավասարեցումը Լ, որը միավորում է կետերը Մі Ն:

Վիրազ, ինչ կանգնել տաճարներում, գործում են տ, որը լիովին նման գործառույթ է ըստ տ. Թոմ

Յակ մի Բաչիմո, կորագիծ ինտեգրալը շարունակական դիֆերենցիալի տեսքով չի կարող լինել կորի տեսքով, որի համար անհրաժեշտ է ինտեգրում.

Այս ոճով:

հաշվի առեք երկրորդ տեսակի կորագիծ ինտեգրալների անկախությունըձևավորեք ինտեգրման ձևը հետևյալ կերպ.

Yakshcho է deakіy galuzі P (x, y)і Q(x, y) առանց ընդհատումներիիրենց սեփական i-ի հետ միասին, ապա.

1. տարածքում Դ մի ստեք ձևի մեջինտեգրման ուղիները, yakscho yogo նշանակում է շմատկովո-հարթ կորի հետևում, scho պառկել tsіy galuzі եւ մայրիկ zagalny cob ի zagalny kіnets. սակայն.

2. ինտեգրալ ուզդովժ բե նման փակ կորի Լ, որը գտնվում է տարածաշրջանում D-ն հավասար է զրոյի:

3. Հիմնական գործառույթը u(x, y), yakoї viraz-ի համար pdx + qdyІsnuє povny դիֆերենցիալ, ապա.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

տարածքի մաշկի կետում Դ.

Ինտեգրալի հաշվարկի համար, որպեսզի չընկնենք ինտեգրման եզրագծի մեջ

Հաջորդը ընտրեք որպես լամանի ինտեգրման առավել նավարկող ուղի, որ միացնող կետերը և լանկաները զուգահեռ են Ox և Oy առանցքներին:

Պիդինտեգրալ Վիրազ P(x, y)dx + Q(x, y)dyմտքերի նշանակման համար վերին դիֆերենցիալգործող գործառույթներ u = u (x, y) tobto.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

ֆունկցիան u(x, y)(օրիգինալ) դուք կարող եք իմանալ, թե ինչպես կարելի է հաշվարկել ամենատարածված կորագիծ ինտեգրալը lamania de-ի կողմից, լինի դա ֆիքսված կետ, B (x, y) – փոփոխվող կետ, իսկ կետը առավելագույն կոորդինատն է Xոր . Todi vzdovzh maєmo որ dy = 0, եւ vzdovzh maєmo x = կոնստі dx = 0.

Վերցնենք այս բանաձևը.

Նմանապես, ինտեգրելով lamanoy de otrimaemo

Դիմել

1. Հաշվիր

Այս ինտեգրալը պետք է տեղադրվի ինտեգրման եզրագծի երկայնքով, քանի որ

Մենք ընտրում ենք որպես լաման ինտեգրելու միջոց, գծերը զուգահեռ են կոորդինատային առանցքներին։ Առաջին ճյուղում.

Մեկ այլ վայրում.

Օտժե,

2. Նախ իմացիր u, նման

Եկեք և ուրվագծեք Նախքանє lamana OMN. Թոդի

3. Իմացիր, յակչո

Այստեղ անհնար է վերցնել կոորդինատների կոշտ կետը, քանի որ գործառույթի այս կետում P (x, y)і Q(x, y)նշանակված չէ, դրա համար մենք այն վերցնում ենք որպես կետ, օրինակ,. Թոդի

4. Իմացեք տարածքը, որը շրջապատված է էլիպերով

Նկարի մակերեսը, որը խճճված է HOW տարածքում և շրջապատված փակ գծով C, հաշվարկվում է ըստ բանաձևի.

de contour Z-ը շրջանցվում է դրական ուղղությամբ։

Եկեք կորագիծ ինտեգրան վերածենք երգի՝ ստեղծելով փոփոխություն

Պարամետր տանցնե՞լ արժեքները 0-ից 2:

Նման կոչում

3. Ամենաբարձր կորագիծ ինտեգրալը աղեղի երկարության վրա Լյակշո Լ- ծաղկակաղամբի ցիկլոիդ

ԱՌԱՋԱԴՐԱՆՔՆԵՐ «ԿՈՌԻ ԻՆՏԵԳՐԱԼ» ԹԵՄԱՅԻ ՄԱՍԻՆ

Տարբերակ 1

De L-ը XOY հարթության վրա ընկած A(0;-2) և B(4;0) կետի ուղիղ գծի եռանկյունն է:

vzdovzh lamanoї L:OAB, de O(0,0), A(2,0), B(4,5): Շրջանցեք հակատարվա սլաքի ուրվագիծը.

Կոորդինատների հետևում, քանի որ L-ն էլիպսի աղեղն է, որն ընկած է առաջին քառորդում։

De L-ը տրիկոտի ուրվագիծն է՝ A(1,1), B(2,2), C(1,3) գագաթներով: Շրջանցեք հակատարվա սլաքի ուրվագիծը.

և իմանալ յոգա:

7. Ուժային դաշտը ստեղծվում է F(x, y) ուժով, որը թույլ է տալիս ավելի շատ կետեր ամրագրել կոորդինատների կոճում և ուղղել դեպի կոորդինատների կոճը։ Ռոբոտին դաշտի ուժգնությունը իմանալու համար կիրառվում է մեկ զանգվածի նյութական կետի տեղաշարժը պարաբոլայի աղեղի երկայնքով y2 = 8x (2; 4) կետից մինչև (4; 4) կետը:

Տարբերակ 2

1. Հաշվի՛ր աղեղի եզրի վրայի կորագիծ ինտեգրալը (Դեկարտյան կոորդինատներ):

De L-ը ուղիղ կետի կծկում է, որը միացնում է O (0; 0) և A (1; 2):

2. Հաշվի՛ր կորագիծ ինտեգրալը որտեղ L-ն պարաբոլիկ աղեղ է A(-1;1) կետից մինչև B(1,1) կետը: Շրջանցեք հակատարվա սլաքի ուրվագիծը.

3. Հաշվի՛ր կորագիծ ինտեգրալը yakscho L - աղեղ ցց ինչ է գտնվում 1 և 2 քառակուսիներում: Շրջանցեք տարվա սլաքի հետևի եզրագիծը:

4. Զաստոսովյուչի Գրինի բանաձևը, հակագոդիննիկովյան սլաքի ուրվագիծը շրջանցելու ժամանակ հաշվի՛ր ինտեգրալը, դե L՝ ուրվագիծը, գծի և հակառակ առանցքի OX լուծումները։

5. Սահմանեք, թե ինչպես է հաշվարկվում ինտեգրալի մտքի անկախությունը ինտեգրալի համար ինտեգրվելու ուղղությամբ և իմանալ յոգա:

6. Վերանայեք, chi є առաջադրանքներ U(x, y) ֆունկցիայի նոր դիֆերենցիալով և իմացեք її:

7. Ուժային դաշտի մաշկային կետում ուժը կարող է ուղղակիորեն բացասական լինել և հավասար ծրագրային կետի աբսցիսայի քառակուսուն։ Իմանալ դաշտը ռոբոտի համար մեկ պարաբոլային զանգված (1,0) կետից (0,1) տեղափոխելիս:

Տարբերակ 3

1. Հաշվի՛ր աղեղի եզրի վրայի կորագիծ ինտեգրալը (Դեկարտյան կոորդինատներ):

1. de L - պարաբոլայի աղեղը երեւում է պարաբոլայով:

2. Հաշվի՛ր կորագիծ ինտեգրալը yakscho L-wire-ը ուղիղ գիծ է, որը միացնում է A(0,1), B(2,3) կետերը: Շրջանցեք հակատարվա սլաքի ուրվագիծը.

3. Հաշվե՛ք կորագիծ ինտեգրալը, քանի որ L-ն ցիկլոիդի առաջին աղեղի աղեղն է: Շրջանցեք տարվա սլաքի հետևի եզրագիծը:

4. Զաստոսովյուչի Գրինի բանաձեւը, հաշվարկիր ինտեգրալը de L – elіps Obkhіd ուրվագիծը հակագոդիննիկովի նետի.

6. Վերանայեք, chi є առաջադրանքներ U(x, y) ֆունկցիայի նոր դիֆերենցիալով և իմացեք її:

7. Հաշվե՛ք ռոբոտի ուժը և էլիպսի վերին կեսի նյութական կետի շարժման ժամը A կետից (a, 0), B կետից (-a, 0):

Տարբերակ 4.

1. Հաշվի՛ր աղեղի եզրի վրայի կորագիծ ինտեգրալը (Դեկարտյան կոորդինատներ):

1. de L - քառակուսի ուրվագիծ

2. Հաշվի՛ր կորագիծ ինտեգրալը որտեղ L-ը А(0,0) կետի պարաբոլայի աղեղն է՝ մինչև (1,1) կետը։ Շրջանցեք հակատարվա սլաքի ուրվագիծը.

3. Հաշվի՛ր կորագիծ ինտեգրալը yakscho L - էլիպսի վերին կեսը Շրջանցեք տարվա սլաքի հետևի եզրագիծը:

4. Օգտագործելով Green բանաձևը, հաշվարկեք ինտեգրալ de L - տրիկոտի ուրվագիծը A (1; 0), B (1; 1), C (0.1) գագաթներով: Շրջանցեք հակատարվա սլաքի ուրվագիծը.

6. Վերանայեք, chi є առաջադրանքներ U(x, y) ֆունկցիայի նոր դիֆերենցիալով և իմացեք її:

7. Ուժ է կիրառվում ցցի մաշկային կետում՝ կոորդինատային առանցքի վրա ելքերով є Ռոբոտին հատկացրեք ուժը ցցի երկայնքով նյութական կետը տեղափոխելու ժամի համար: Ինչու է ռոբոտի արժեքը զրո:

Տարբերակ 5.

1. Հաշվի՛ր աղեղի եզրի վրայի կորագիծ ինտեգրալը (Դեկարտյան կոորդինատներ):

De L - ուղիղ գիծ, որը միացնում է 0 (0.0), і A (4; 2) կետերը:

2. Հաշվե՛ք կորագիծ ինտեգրալը, քանի որ L-ն կոր կետի աղեղն է, որն անցնում է A(0.1)-ից B կետ (-1,e): Շրջանցեք հակատարվա սլաքի ուրվագիծը.

3. Հաշվե՛ք կորագիծ ինտեգրալը որպես L - ցցի 1 քառորդ Շրջանցեք տարվա սլաքի հետևի եզրագիծը:

4. Զաստոսովյուչի Գրինի բանաձեւը, հաշվարկիր ինտեգրալը de L - եզրագիծ, շրջապատ և շրջանցելով հակառակ սլաքի ուրվագիծը:

6. Վերանայեք, chi є առաջադրանքներ U(x, y) ֆունկցիայի նոր դիֆերենցիալով և իմացեք її:

7. Դաշտը ստեղծվում է ուժով // = ուղիղ ճանապարհ սահմանելու կտրվածքը ուղիղ գծի շառավղից - її zastosuvannya կետի վեկտորը: Իմանալ ռոբոտի համար դաշտը, երբ m զանգվածի նյութական կետը ցցի աղեղի հետևում տեղափոխվում է (a, 0) կետից մինչև (0, a) կետը:

Տարբերակ 6

1. Հաշվի՛ր աղեղի եզրի վրայի կորագիծ ինտեգրալը (Դեկարտյան կոորդինատներ):

De L - ցցի քառորդ մասը, որը գտնվում է I քառակուսիում:

2. Հաշվի՛ր կորագիծ ինտեգրալը yakcho L - laman ABC, A (1; 2), B (1; 5), C (3; 5): Շրջանցեք հակատարվա սլաքի ուրվագիծը.

3. Հաշվե՛ք կորագիծ ինտեգրալը, քանի որ L-ն ցցի վերին կեսն է Շրջանցեք տարվա սլաքի հետևի եզրագիծը:

4. Զաստոսովույուչի Գրինի բանաձևը, հաշվարկիր դե Լ-ի ինտեգրալը՝ ուրվագիծը, շրջապատը՝ շրջանցելով հակագոդիննիկովի նետի ուրվագիծը։

6. Վերանայեք, chi є առաջադրանքներ U(x, y) ֆունկցիայի նոր դիֆերենցիալով և իմացեք її:

7. Իմացեք զսպանակային ուժի աշխատանքը՝ անմիջապես կոորդինատների կոճի վրա, քանի որ ուժի լճացման կետը նկարագրում է էլիպսի քառորդի հակառակ սլաքը։ այն, ինչ գտնվում է I քառակուսիում: Ուժի մեծությունը համամասնական է կետի հեռավորությանը կոորդինատների կոճին:

Տարբերակ 7.

1. Հաշվի՛ր աղեղի եզրի վրայի կորագիծ ինտեգրալը (Դեկարտյան կոորդինատներ):

De L - պարաբոլայի մի մասը (1, 1/4) կետից մինչև (2; 1) կետը:

2. Հաշվի՛ր կորագիծ ինտեգրալը de L - ուղիղ գծի գագաթ, որը միացնում է B (1; 2) և B (2; 4) կետերը: Շրջանցեք հակատարվա սլաքի ուրվագիծը.

3. Հաշվե՛ք կորագիծ ինտեգրալը որպես L - ցիկլոիդի առաջին կամարը Տարվա սլաքի հետևի ուրվագծով:

6. Վերանայեք, chi є առաջադրանքներ U(x, y) ֆունկցիայի նոր դիֆերենցիալով և իմացեք її:

7. Մեկ զանգվածի նյութական կետը շարժվում է ցցի երկայնքով ուժի ուղղությամբ, որի ելքերը գտնվում են կոորդինատային առանցքի վրա є . Ամրապնդեք մաշկի ցցի կոճը: Իմացեք եզրագծի աշխատանքը:

Տարբերակ 8.

1. Հաշվի՛ր աղեղի եզրի վրայի կորագիծ ինտեգրալը (Դեկարտյան կոորդինատներ):

De L - 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2) կետերում գագաթներով ուղղանկյան ուրվագիծ:

2. Հաշվե՛ք կորագիծ ինտեգրալը, օրինակ L-ն պարաբոլայի աղեղն է A կետից (0; 0) մինչև B կետը (1; 2): Շրջանցեք հակատարվա սլաքի ուրվագիծը.

3. Հաշվի՛ր կորագիծ ինտեգրալը yakscho L - ցցի մաս 1. Շրջանցեք տարեկան սլաքի հետևի եզրագիծը:

4. Զաստոսովյուչի Գրինի բանաձեւը, հաշվարկիր ինտեգրալը de L - տրիկոտի եզրագիծը A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1) գագաթներով: Շրջանցեք հակատարվա սլաքի ուրվագիծը.

5. Տեղադրեք, chi vykonuetsya մտքի անկախությունը ինտեգրալ ճանապարհին ինտեգրման համար ինտեգրալ եւ գիտեք յոգայի.

6. Վերանայեք, chi є առաջադրանքներ U(x, y) ֆունկցիայի նոր դիֆերենցիալով և իմացեք її:

7. Նյութական կետը շարժվում է էլիպսով pіd dієyu ուժ, որի արժեքը ամենաթանկ կետն է դեպի էլիպսի կենտրոն և ուղղվում է դեպի էլիպսի կենտրոն։ Հաշվեք ռոբոտի ուժը՝ որպես ամբողջ էլիպսը շրջանցելու կետ:

Տարբերակ 9.

1. Հաշվի՛ր աղեղի եզրի վրայի կորագիծ ինտեգրալը (Դեկարտյան կոորդինատներ):

De L - պարաբոլայի աղեղը, որը գտնվում է կետերի միջև

Ա , (2;2).

2. Հաշվի՛ր կորագիծ ինտեգրալը որտեղ L-ն ուղիղ գծի սեղմումն է, որը միացնում է A (5; 0) և B (0.5) կետերը: Շրջանցեք հակատարվա սլաքի ուրվագիծը.

3. Հաշվե՛ք կորագիծ ինտեգրալը, օրինակ՝ L - կետերի միջև ընկած էլիպսի աղեղը, որը ցույց կտա ուրվագծի շրջագիծը տարվա սլաքի հետևում:

4. Zastosovuyuchi Green-ի բանաձևը, հաշվարկեք ինտեգրալը de L - հակասլաքի եզրագծի շուրջ:

6. Վերանայեք, chi є առաջադրանքներ U(x, y) ֆունկցիայի նոր դիֆերենցիալով և իմացեք її:

7. Կորի մաշկային կետում կիրառվում է ուժ, որի ելքերը կոորդինատային առանցքների վրա ցույց են տալիս ուժի աշխատանքը, երբ մեկ զանգվածի նյութական կետը կորի երկայնքով շարժվում է M կետից (-4; 0): մինչև N կետը (0; 2):

Տարբերակ 10.

1. Հաշվի՛ր աղեղի եզրի վրայի կորագիծ ինտեգրալը (Դեկարտյան կոորդինատներ):

De L - ուղիղ գիծ, որը միացնում է A կետերը

2. Հաշվե՛ք կորագիծ ինտեգրալը, օրինակ L-ն կորի աղեղն է A(1;0) կետից մինչև B(e,5): Շրջանցեք հակատարվա սլաքի ուրվագիծը.

3. Հաշվե՛ք կորագիծ ինտեգրալը, քանի որ L-ն ցցի աղեղն է ինչ է գտնվում 1U քառակուսու վրա: Շրջանցեք տարվա սլաքի հետևի եզրագիծը:

4. Օգտագործելով Green բանաձևը, հաշվարկեք ինտեգրալ de L - տրիկոտի ուրվագիծը A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2) գագաթներով: Շրջանցեք հակատարվա սլաքի ուրվագիծը.

6. Վերանայեք, chi є առաջադրանքներ U(x, y) ֆունկցիայի նոր դիֆերենցիալով և իմացեք її:

7. Ուժ է կիրառվում գծի մաշկի կետի վրա, որի ելքերը գտնվում են կոորդինատային առանցքի վրա. Հաշվեք ռոբոտը, որի վրա ազդում է ուժը, երբ նյութական կետը շարժվում է գծի երկայնքով M (1; 0)-ից մինչև N կետը: (0; 3):

Դասախոսություն 4

Թեմա՝ Գրինի բանաձեւը. Մաքրել կորագիծ ինտեգրալի անկախությունը ինտեգրման ճանապարհին:

Գրինի բանաձեւը.

Գրինի բանաձևը կապ է հաստատում հարթության վրա փակ ուրվագծի Г կորագիծ ինտեգրալի և եզրագծով շրջապատված տարածքի վրա ստորին ինտեգրալի միջև:

Փակ եզրագծի վրա կորագիծ ինտեգրալը Г նշվում է խորհրդանիշով. Փակ ուրվագիծը Г սկսվում է եզրագծի հիմնական կետից և ավարտվում B կետով: Փակ եզրագծի երկայնքով ինտեգրալը չի գտնվում, եթե ընտրված է B կետը:

Նշանակում 1. Գ ուրվագծի շրջանցումը համարվում է դրական, քանի որ G ուրվագիծը շրջանցելու ժամանակ D տարածքը դառնում է ձախակողմյան։ P + - միացում P շրջանցում է դրական ուղղությունը, P - - շրջանցում է բացասական ուղղությունը: հակառակ ուղղությամբ

G+

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

Y=y 2 (x)

Y= y 1 (x)

Եկեք նայենք հիմքում ընկած ինտեգրալին

Նմանապես, կարելի է պնդել, որ.

(1) և (2) հավասարություններից անհրաժեշտ է.

Օտժե,

Մանրացված բացթողումների համար Գրինի բանաձեւն ավարտված է։

Հարգանք 1. Գրինի բանաձևը մնում է արդար, քանի որ G շրջանի D և իրական ուղիղ գծերի միջև, առանցքին զուգահեռ 0X կամ 0Y երկու կետում ավելի ցածր է տեղաշարժվում: Krim ts'ogo, Գրինի բանաձեւը վավեր է n-աստղային շրջանների համար:

Լվացեք կորագիծ ինտեգրալի անկախությունը որպես հարթության վրա ինտեգրում:

Այս պարբերությունում հեշտ է հասկանալ, օրինակ, վիկոնանիստների մոտ, կորագիծ ինտեգրալն ընկնելն է ինտեգրման ուղղությամբ և ընկնելը ինտեգրման կոդի և վերջնակետերի տեսքով:

Թեորեմ 1. Որպեսզի ունենանք կորագիծ ինտեգրալ առանց միակողմանի տարածաշրջանում ինտեգրման ճանապարհին ընկնելու, դա անհրաժեշտ և բավարար է, որպեսզի այս տարածաշրջանում փակ, շմատկովո-հարթ ուրվագիծ վերցնելու ինտեգրալը հասնի զրոյի։

Ապացույց՝ անհրաժեշտություն։Տրված է՝ ավանդ դնել ինտեգրման ուղղությամբ։ Պետք է բերել, որ փակ, հարթ-հարթ եզրագծի հետևում կորագիծ ինտեգրալը հավասար է զրոյի։

Վերցնենք մի քանի հատված-հարթ փակ ուրվագիծ G D տարածքի մոտ: Եզրագծային G-ի վրա վերցրեք ևս մի քանի B և C կետեր:

Oskіlki սուտ ճանապարհին ինտեգրման, ապա

, ապա.

Բարեկեցություն. Տրված է՝ կորագիծ ինտեգրալ Be-yakim zaknenim shmatkovo-հարթ եզրագիծը զրոյի.

Անհրաժեշտ է ապացուցել, որ ինտեգրալը պետք է ի պահ դրվի ինտեգրման ուղղությամբ։

Եկեք նայենք կորագիծ ինտեգրալին, որը գտնվում է երկու խճճված հարթ ուրվագծերի հետևում, որոնք միացնում են B և C կետերը: Մտքի հետևում.

Տոբտո. կորագիծ

անբաժանելի է ներդնել ինտեգրման ուղղությամբ:

Թեորեմ 2.Գնացեք առանց ընդհատումների միևնույն ժամանակ մասնավոր զբոսանքներով և մեկ կապով տարածության մեջ D. կորագիծ ինտեգրալ ունենալու համար Ինտեգրման ճանապարհին ցածր չմնալն անհրաժեշտ և բավարար է, որպեսզի D դիվիզիան հաղթական լինի

Ապացույց՝ բավարարություն։Տրված է. Պետք է բերել ինչ ներդրում կատարել ինտեգրման ուղղությամբ. Ում համար բավարար է ինչ բերել dovnyuє զրո փակ, shmatkovo-հարթ եզրագծի հետևում: Գրինի բանաձևի համաձայն՝ մենք կարող ենք.

Անհրաժեշտություն.Տրված է՝ թեորեմ 1-ով կորագիծ ինտեգրալը ներդրում կատարել ինտեգրման ուղղությամբ. Պետք է բերել ինչ

6. Սինգ ինտեգրալի միջին արժեքի բանաձևը.

7. Ինտեգրալ փոփոխվող վերին սահմանի վրա: Yogo bezperervnіst այդ տարբերակումը:

8. Նյուտոն-Լայբնիցի բանաձևը երգող ինտեգրալի համար.

9. Երգային ինտեգրալի հաշվարկն ըստ մասերի և փոփոխության փոխարինում։

10. Երգող ինտեգրալի կարում (հարթ գործչի մակերեսը, կոր աղեղի երկարությունը, մարմնի փաթաթման ծավալը):

11. Հասկանալով թա յոգո սումի թվային շարքը: Չափանիշներ Koshі zbіzhnostі տող. Անհրաժեշտ բանականություն.

12. Delambert-ի և Koshі zbіzhnostі ryadіv іz nevid'єmnimi անդամների նշանները:

13. Koshі zbіzhnostі թվերի շարքի ինտեգրալ նշան:

14. Զգալի թվով տողեր. Բացարձակապես այդ մտավոր zbіzhnist. Նշանների շարքեր. Լայբնիցի նշան.

15. Ֆունկցիոնալ շարք. Գումարը ցածր է։ Հավասար եկամտի արժեքը ցածր է։ Չափանիշ Koshі ֆունկցիոնալ շարքի հավասար շահութաբերությունը:

16. Weijerstras-ը նույնիսկ ապրելու նշան է:

18. Քայլի շարք. Աբելի թեորեմ.

19. Ստատիկ շարքի կյանքի շառավիղը: Ստատիկ շարքի շառավիղի շառավիղի համար Cauchy-Hadamard բանաձեւը.

21. Հարուստ փոփոխության ֆունկցիաներ. Հասկանալով n-աշխարհի Էվկլիդեսյան տարածությունը: Էվկլիդյան տարածության անանձնական կետ։ Կետերի հաջորդականությունը և її սահմանը: Փոքր թվով փոփոխությունների նշանակված գործառույթներ:

22. Մի շարք փոփոխությունների ֆունկցիաների միջեւ: Անխափան գործառույթ: Անձնական արձակուրդներ

23. Մի շարք փոփոխականների դիֆերենցիալ ֆունկցիայի նշանակում և її դիֆերենցիալ: Pokhіdnі և բարձրագույն պատվերների դիֆերենցիալներ:

24. Փոփոխությունների հարստության Թեյլորի բանաձեւը. Փոքր թվով փոփոխականների ֆունկցիայի ծայրահեղությունը: Անհրաժեշտ մտքի ծայրահեղություն. Բավական է մտքի ծայրահեղություն:

25. Կայուն ինտեգրալ և ուժի յոգա: Zvedennya podvіynogo іntegral մինչեւ կրկնվող.

27. Փոփոխությունների փոխարինում երրորդ ինտեգրալում. Գլանաձև և գնդաձև կոորդինատներ:

28. Հարթ մակերեսի մակերեսի հաշվարկ՝ տրված պարամետրային և հստակ:

29. Առաջին և այլ տեսակի կորագիծ ինտեգրալների նշանակումը, դրանց հիմնական հզորությունը և հաշվարկը:

30. Գրինի բանաձեւը. Մաքրել կորագիծ ինտեգրալի անկախությունը ինտեգրման ճանապարհին:

31. Առաջին և այլ տեսակի մակերեսային ինտեգրալներ, դրանց հիմնական հզորությունը և հաշվարկը:

32. Գաուս-Օստրոգրադսկու թեորեմ, її նշում կոորդինատային և վեկտորային (ինվարիանտ) ձևերով։

33. Սթոքսի բանաձեւը՝ գրված կոորդինատային եւ վեկտորային (ինվարիանտ) ձեւերով։

34. Սկալյար և վեկտորային դաշտեր: Գրադիենտ, դիվերգենցիա, ռոտոր: Potentiyne և աղի դաշտեր.

35. Հեմիլթոնի օպերատոր. (Nabla) yogo zastosuvannya (դիմել):

36. Հիմնական հասկացությունները, որոնք օգտագործվում են առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ (ոդա)՝ գլոբալ լուծում, գլոբալ ինտեգրալ, ինտեգրալ կոր: Zavdannya Koshі, її երկրաչափական նշանակալի.

37. Օդի ինտեգրում առաջին կարգի փոփոխություններով, որոնք բաժանված են, և նույնը.

38. Առաջին կարգի գծային ոդերի ինտեգրում և Բեռնուլիի հավասարեցում:

39. Օդի ինտեգրումը բևեռային դիֆերենցիալներում առաջին ֆրետին: Ինտեգրվող բազմապատկիչ:

40. Առաջին կարգի դիֆերենցիալ հավասարումներ՝ անփոփոխ նման: Պարամետրի հարցման մեթոդ.

41. n-րդ կարգի համարժեքությունը հաստատուն գործակիցներով. Հատկանշական հավասար: Միատարր հավասարեցման հիմնարար լուծման համակարգ (FSR), տարասեռ հավասարեցման գլոբալ լուծում։

42. Առաջին կարգի գծային դիֆերենցիալ հավասարումների համակարգ. Միատարր համակարգի FSR. Միատարր համակարգի փայլուն տեսլական:

30. Գրինի բանաձեւը. Մաքրել կորագիծ ինտեգրալի անկախությունը ինտեգրման ճանապարհին:

Գրինի բանաձևը. Եթե C-ն փակ է D տարածքի և P(x, y) և Q(x, y) ֆունկցիաների միջև՝ իրենց առաջին կարգի մասնավոր անալոգներով առանց ընդհատման D փակ տարածքում (ներառյալ C-ը), ապա Գրինի բանաձևը վավեր է. ավելին, C ուրվագծի շուրջ շրջանցումն ընտրված է այնպես, որ D տարածքը ձախակողմյան լինի:

Երեք դասախոսություն՝ Տրված P(x,y) և Q(x,y) ֆունկցիաները որպես չընդհատվող D տիրույթներ տվեք միաժամանակ առաջին կարգի մասնավորներից։ Ինտեգրալ շղթայի (L) վրա, որը գտնվում է հենց D շրջանում և ծածկում է D շրջանի բոլոր կետերը. Անմիջապես ուրվագծի նկատմամբ դրականն այդպիսին է, եթե եզրագծի հատվածը շրջապատված է ձախ ձեռքով։

Ումովի անկախությունը կորագիծ ինտեգրալի 2-րդ տեսակի ինտեգրման ուղու: Անհրաժեշտ է, որ բավականաչափ խելամիտ լինի, որ առաջին տեսակի կորագիծ ինտեգրալը, որը միացնում է M1 և M2 կետերը, չի ընկած ինտեգրման ճանապարհին, այլ ընկած է միայն կոճ և վերջնակետերում, հավասարություն:

31. Առաջին և այլ տեսակի մակերեսային ինտեգրալներ, դրանց հիմնական հզորությունը և հաշվարկը:

- Մակերեւութային կառավարիչ:

Մենք նախագծում ենք S-ը xy հարթության վրա, վերցնում ենք D տախտակ: Այն մասի վրա ցանցային գծով գծում ենք D տախտակ, որը կոչվում է Di: Մաշկի գծի մաշկի կետից զուգահեռ գծեր ենք քաշում z, ապա i S-ը բաժանվում է Si-ի։ Մենք ավելացնում ենք ինտեգրալ գումարը՝ . Դի տրամագծի առավելագույնն ուղղում ենք զրոյի:, վերցնում ենք.

Ce մակերեսային ինտեգրալ առաջին տեսակի

Ահա թե ինչպես է ի հայտ գալիս առաջին տեսակի մակերեսային ինտեգրալը։

Հակիրճ նշանակում. Որպես կանոն, գոյություն ունի ինտեգրալ գումարի սահմանափակող սահման, այնպես որ չի կարելի պառկել S տարրական սյուժեի վրա S բաժանելու ճանապարհին, իսկ կետերի ընտրության ժամանակ vin-ը կոչվում է առաջին տեսակի մակերեսային ինտեգրալ։

Փոփոխված x і y-ից u և v անցնելիս.

Պ մակերեսային ինտեգրալը կարող է ունենալ աստղային ինտեգրալի ողջ հզորությունը։ Սննդի մեջ դիվաներն ավելի բարձր են:

Մակերեւութային ինտեգրալի նպատակը այլ տեսակի է, որն այդ հաշվարկի հիմնական ուժն է։ Հղում առաջին տեսակի ինտեգրալից:

Թող տրվի S մակերեսը, շրջապատված գծով L (նկ. 3.10): S մակերևույթի վրա S մակերևույթին հնարավոր է ավելացնել երկու նորմալ, որը չի կարող կրկնակի կետ լինել L-ի հետ։ Ուրվագծե՛ք L եզրագծի հետևում գտնվող M կետը՝ ընտրելով ուղիղ գիծը նորմալ:

Եթե M կետի դիրքը պտտվում է այս նույն նորմալի երկայնքով (և ոչ հակառակ), ապա S մակերեսը կոչվում է երկկողմանի։ Մենք կարող ենք նայել միայն երկկողմանի մակերեսներին: Երկկողմանի մակերևույթ - լինի դա հավասար մակերեսով:

Թող S լինի երկկողմանի բաց մակերես, որը շրջապատված է L տողով, որպեսզի ինքնահատման կետ չլինի։ Մենք ընտրում ենք մակերեսի նույն կողմը: Եզրագծային L-ի դրական ուղիղ շրջանցումն անվանենք այնպիսի ուղիղ, երբ Ռուսաստանում, մակերեսի մյուս կողմում, մակերեսն ինքնին զուրկ է չարությունից։ Երկկողմանի մակերեսը, որը տեղադրվում է դրա վրա նման դրական կարգով ուրվագծերի ուղիղ շրջանցմամբ, կոչվում է կողմնորոշված մակերես:

Եկեք անցնենք այլ տեսակի մակերեսային ինտեգրալին: Վերցնենք երկկողմանի S մակերեսը, որը ձևավորվում է վերջնական քանակի կտորներից, կաշվից՝ խելքին հավասար որոշ առաջադրանքներից, կամ գլանաձև մակերևույթ՝ հագեցնող Օզ զուգահեռ առանցքներով։

Թող R (x, y, z) - ֆունկցիա, նշանակված և անխափան S մակերևույթի վրա: Մի շարք տողերով S-ը բավարար կարգով բաժանվում է n «տարրական» գծապատկերների ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, անկախ քնկոտ ներքին կետերից: Մաշկի տարածության ΔSi-ի վրա ողջամիտ հերթականությամբ ընտրում ենք Mi(xi,yi,zi) կետը (i=1,...,n): Թող (ΔSi)xy լինի ΔSi գծապատկերի պրոյեկցիայի տարածքը Oxy կոորդինատային հարթության վրա՝ վերցված «+» նշանով, այնպես, որ S մակերևույթի նորմալը Mi(xi,yi,zi) կետում: (i=1,...,n) բավարարում է Vіsyu Oz-ը թշնամական կտրվածք է, և «-» նշանով, ինչը նշանակում է, որ այս կտրվածքը հիմարություն է։ Մենք ավելացնում ենք R(x,y,z) ֆունկցիայի ինտեգրալ գումարը S մակերևույթի վրա x,y-ը փոխելուց հետո: Թող λ լինի ΔSi տրամագծերից ամենամեծը (i = 1, ..., n):

Եթե կա վերջնական սահման, որպեսզի չխոչընդոտի S մակերևույթը «տարրական» գծապատկերի վրա պառակտելու և կետի ընտրության ճանապարհին, ապա vin ֆունկցիայի մեջ կոչվում է մակերևույթի ինտեգրալ S մակերևույթի ընտրված կողմով: R (x, y, z) x, y կոորդինատների համար (կամ այլ տեսակի մակերեսային ինտեգրալ) և նշանակված է. .

Նմանապես, հնարավոր է մակերևութային ինտեգրալներ առաջացնել x, z կամ y, z կոորդինատների վրա մակերեսի հակառակ կողմի երկայնքով, այսինքն: і .

Ինչպես նաև բոլոր ինտեգրալները, դուք կարող եք ներկայացնել «բարձր» ինտեգրալ մակերեսի հակառակ կողմում.

Մեկ այլ տեսակի մակերեսային ինտեգրալը կարող է կախված լինել ինտեգրալի հզորությունից: Ավելի հարգալից է, որ եթե որևէ այլ տեսակի մակերեսային ինտեգրալ փոխում է մակերեսի կողմի փոփոխության նշանը։

Կապը առաջին և այլ տեսակի մակերեսային ինտեգրալների միջև:

Թող S մակերեսը տրվի հավասար՝ z \u003d f (x, y), ընդ որում, f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) - անխափան գործառույթներփակ շրջանի մոտ τ (S մակերևույթի պրոյեկցիան Oxy կոորդինատային հարթության վրա), իսկ R(x,y,z) ֆունկցիան շարունակական է մակերևույթի S. մակերևույթի կողմերում S. Todi.

For a zagalny vpadku maєmo: