Határozzuk meg egy homogén egyenes tömegközéppontjának koordinátáit! Hogyan lehet kiszámítani egy lapos körülírt alak súlypontját egy aláhúzott integrál segítségével? Egy tipikus rozrahunka vikonányi rendje

A célpont fenekét a test tömegének középpontjába vezetjük a podіlu jóga módszerével a test határára, a házban lévők tömegközéppontjára.

fenék 1. Jelölje ki egy homogén lemez tömegközéppontjának koordinátáit (9. ábra). Számítsa ki a feladatokat milliméterben, baby 9.

Megoldás: Mutatjuk az i koordinátatengelyeket. A tányért darabokra törjük, három egyenes vágással készítjük. A dermális rectushoz átlókat rajzolunk, amelyek keresztlécének pontjai a dermális rectus tömeg középpontjának helyzetét jelzik. Az elfogadott koordinátarendszerben nem könnyű kiszámítani a koordináták és pontok értékét. És magának:

(-1; 1), (1; 5), (5; 9). A bőrtest területei mérsékelten javultak:

; ; .

Az összes tányér területe jó:

Az adott lemez tömegközéppontjához való koordináták hozzárendeléséhez a virazi (21) szükséges. Minden ismert mennyiség értékét képviseljük ez az ember egyenlő, vett

Vіdpovіdno-ig otrimanih a koordináták értékét a lemez tömegének közepéig, megadhat egy pontot a kicsin. Mint látható, a lemez tömegközéppontja (geometriai pontja) a határok mögött található.

Hozzáadás módja. Tsej sposіb є chastkovy vpadkom módon podіlu. Vіn is zastosovuvatisya to tіl, yakі mаyut virіzi (üres). Sőt, vir_zanoї nélkül látható a test tömegközéppontjának helyzete. Nézzük meg például zastosuvannya egy ilyen módszert.

fenék 2. Jelölje meg egy R sugarú kerek lemez vaga tömegközéppontjának helyzetét, r sugarú de є virіz (10. ábra). Na gyere.

Megoldás: Bachimohoz hasonlóan a 10. ábrából a lemez tömegközéppontja a lemez szimmetriatengelyén fekszik, vagyis egy egyenesen a szilánkok egyenesek, az összes szimmetria. Ilyen módon ahhoz, hogy a pozíciót a lemez tömegközéppontjához hozzárendeljük, csak egy koordinátát kell hozzárendelni, de a többi koordináta a szimmetriatengelyen lesz megrajzolva, és nullával egyenlő. Mutassuk meg a koordinátatengelyeket. Elfogadott, hogy a tányért két testre hajtogatják - egy új karóból (viriz nélkül) ez a test, mint a nibi vikonane virizzel. Az elfogadott koordinátarendszerben a szervek kijelölésének koordinátái: .A szervek területei: ; . Az egész test teljes területe jobban megegyezik az első és a másik test területei közötti különbséggel, és

Számítsa ki az értékeket m,és a (4), (5) és (7) képleteket egyeztetni kell. Ennek eredményeként vesszük képletek a vékony lemez tömegének középpontjához tartozó koordinátákhoz :

4. fenék (a koordináták kiszámítása egy egységes ruha tömegének középpontjához)

Határozzuk meg egy homogén alakzat tömegközéppontjának koordinátáit, amelyeket vonalak és vonalak vesznek körül.

Miután megihlette az ábrát, megjegyezzük, hogy geometriailag kifelé áll és szimmetrikus, mint egy egyenes. jobbkezes. Ezután a megadott fizikai erők mögé fektetjük le a borok tömegközéppontját a szimmetriatengelyen úgy, hogy

A kiszámításhoz adja össze a statikus nyomatékot, és nyerje meg a (4) és (5) képleteket:

;

Javaslat: C.

A harmadik integrálok adalékai

A további integrációkhoz hasonló programok hasonlóak az alintegrálok kiegészítéseihez, de csak a trivimerekhez.

Ha meg akarod nyerni a hármas integrál valamelyik hatványát (kb. ugyanannyi a függvény értéke, ami egyben az egység értéke is), akkor menj képlet a kötelezettség számítására tágas test :

Írjuk fel az obyagu keresztül képletet harmadik integrálés kiszámítható veszteségintegrál hengeres koordinátákban:

Vidpovid: (egyedül kötelezi).

Az V kötetet kölcsönző trivimer objektum tömegének kiszámítási képlete, így nézhet ki:

(13)

Íme a schіlnіst rozpodіlu masi kötete.

6. fenék

Ismerje meg a hideg sugarú tömeget R hogyan arányos a tér a középen és az egyetlen falon lévő kockával k.

V: elemi hangerő ta .

Érdemes megjegyezni, hogy a háromszoros integrál számításakor már nem volt integrál, a belső integrálok chipjei a külső integrálok változása esetén parlagon mutatkoztak.

Vidpovid: (egyetlen masi).

A kötés mechanikai jellemzői V(A statikus nyomatékok, tehetetlenségi nyomatékok, a tömegközéppont koordinátái) képletek alapján számíthatók ki, pl.

a két világtestek képleteivel analógiával hajtogatva.

Elemi statikus nyomatékok és tehetetlenségi nyomatékok a koordinátatengelyek mentén:

elemi tehetetlenségi nyomatékok a koordinátasíkok mentén és pontok a koordináta-csövek mentén:

Dali, hogy kiszámítsa az egész obyagu mechanikai jellemzőit V,A bontás minden részéhez összegezni kell a jellemzők elemi összeadásait (a legnagyobb additív erejű jellemzőket számoljuk), majd az összegben el kell menni arra a határra, ami túl volt az eszén, hogy minden a bontás elemi részei megváltoznak (pontokba kötés). A mennyiségeket a mechanikai jellemzők elemi adalékának integrálásaként írják le, amelyek kiszámítása kötelező V.

Ennek eredményeként gyere képletek a М statikus nyomatékok és a tehetetlenségi nyomatékok számítására I trivimer tіl :

Valóban úgy fogalmazták meg a képleteket, mint a győztesek, ahogy készen vannak, és rávezették őket a virishuvaniy feladatokra.

7. alkalmazása (háromdimenziós testek mechanikai jellemzőinek kiszámítása)

Határozzuk meg egy egyenletes henger tehetetlenségi nyomatékát, amelynek magassága! hés alapsugár R, hogyan tengely, amely zbіgaєtsya az alap átmérőjével.

Tudjuk d a henger egy részpontjához:

mozgassa a tengely koordinátáival rendelkező pontot – a pont közepétől a tengelyig húzott merőleges hossza . Tegyük a síkot merőlegessé a tengelyre úgy, hogy a pont ezen a síkon legyen. Akkor legyen egyenes, ami keresztez mindent és ezen a síkon fekszik, merőleges lesz . Zokrema, egyenes vonal, amely egy pontot és egy pontot összeköt, merőleges lesz a tengelyre, és ha e pontok között állsz, akkor egy shukana leszel d. Számítsa ki a jógát a megadott képlethez két pont között!

3 Mögöttes integrálok hozzáadása

3.1 Elméleti bevezetés

Nézzük a programokat alátét integrált az alacsony geometriai feladatok és a mechanika feladatok csúcsára.

3.1.1 Síklapterület számítás

Nézzünk egy vékony anyaglemezt D, bővítve a lakásban Ohu. terület S tsієї lemezek találhatók a képlet aluláram-integráljának segítségével:

3.1.2 Statikus pillanatok. Lapos lemez tömegközéppont

statikus pillanat M x shodo tengely Ökör anyagi pont P(x;y), amelyek a lakás közelében fekszenek Oxyés maє masu m, Dobutok tömegpontoknak hívják a її ordinátán, tobto. M x = az én. Hasonlóképpen a statikus pillanat M y shodo tengely Jaj: ­ ­ ­ M y = mx. Statikus pillanatok lapos lemezek felületi résszel γ = γ (x, y) kiszámítása a következő képletekkel történik:

Ahogy a mechanikából látszik, koordináták x c ,y c egy lapos anyagrendszer tömegközéppontjait egyenlőségek határozzák meg:

de m- Masa rendszer, ill M xі M y- A rendszer statikus pillanatai. Lapos lemez súlya m az (1) képlettel meghatározva egy síklap statikus nyomatékai a (3) és (4) képlet segítségével számíthatók ki. Todi, zgіdno z képletek (5), a lapos lemez tömegének középpontjához tartozó koordinátákra viraz kerül:

Tipikus rozrahunok bosszút áll két feladat. A bőrorvos lapos tányért kap D, vonalakkal körülvéve, a feladat elméjére mutatva. G(x,y) - a lemez felületi hézaga D. A táblák számának megismeréséhez: 1. S- Négyzet; 2. m- Masu; 3. M y , M x- Statikus nyomatékok a tengelyekhez Oyі Ó nyilvánvalóan; 4. , - A tömegközéppont koordinátái.

3.3 A sorrend vykonannya tipikus rozrahunku

Bőrfeladat végrehajtásakor szükséges: 1. Távolítsa el a széket egy adott területről. Válasszon ki egy koordináta-rendszert, amelyhez a részintegrálokat számítja. 2. Jegyezze fel az egyenetlenségek vizuális rendszerének területét a választott koordinátarendszerben. 3. Számítsa ki a területet S ta masu m az (1) és (2) képletet követő lemezekre. 4. Számítsa ki a statikus pillanatokat! M y , M x(3) és (4) képlet. 5. Számítsa ki a középponti tömeg koordinátáit a (6) képletekkel! Vigye fel a massza közepét a fotelre. A vizuális (jaki) kontrollt hibáztatjuk az eredmények elvesztéséért. A numerikus számokat ki lehet venni a számhármasból.

3.4 Viseljen fel egy tipikus köntöst

1. feladat. lemez D vonalakkal körülvéve: y = 4 – x 2 ; x = 0; y = 0 (x ≥ 0; y≥ 0) Felületi vastagság γ 0 = 3. Megoldás. A feladatban megadott területet egy parabola veszi körül y = 4 – x A 2. ábrán az i koordinátatengelyek az első negyedben fekszenek (1. ábra). A feladat a derékszögű koordinátarendszerben módosul. Ez a terület a szabálytalanságok rendszerével írható le:

Rizs. egy

terület S a lemezek stabilabbak (1): Mivel a lemez egyenletes, m = γ 0 S= 3 = 16. A (3), (4) képletek mögött ismerjük a lemez statikus nyomatékait: A mas középpont koordinátáit a (6) képlet adja meg: Javaslat: S ≈ 5,33; m = 16; M x = 25,6; M y = 12; = 0,75; = 1,6.

2. feladat. lemez D vonalakkal körülvéve: x 2 + nál nél 2 = 4; x = 0, nál nél = x (x ≥ 0, nál nél≥ 0). Felületi vastagság γ (x,y) = nál nél. Megoldás. A lemezt karó és egyenes vonalak veszik körül, amelyek átmennek a koordináták csövekén (2. ábra). Ezért a feladat elvégzéséhez a polárkoordináta-rendszer kézi átírása szükséges. sarki kut φ változás π/4-ről π/2-re. A pólustól a lemezen áthaladó Promin ρ = 0-nál „belép” előtte, és „belép” a tétbe, egyenlő: x 2 + nál nél 2 = 4 <=>p = 2.

Rizs. 2

Ismét egy adott terület szabálytalansági rendszerrel írható: A lemez területe az (1) képletből ismert: A lemez tömege a (2) képletből ismert, helyettesítve γ (x,y) = y = ρ bűn φ :
A lemez statikus nyomatékainak kiszámításához használhatjuk a (3) és (4) képleteket:
A tömegközéppont koordinátái a (6) képletekből származnak: Javaslat: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; M x = 2,57; M y = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 A hang tervezése

A csillagok ábrázolhatják az összes vikonan rozrahunkát, szépen vikonan foteleket. A numerikus számokat ki lehet venni a számhármasból.

– a súlypont számítása lapos rojtos alak . A gazdag olvasó intuitív módon megérti, mi a súlypont, javaslom az egyik lecke anyagának megismétlését analitikus geometria de én megoldottam zavdannya a trikutnik súlypontjárólés hozzáférhető formában megfejtve a fizikai kifejezést.

Független és irányítási feladatoknál a tökéletesség érdekében általában a legegyszerűbb vipadokat szaporítják - a lakás körül van véve homogén egy alak, annak érdekében, hogy tegye a postiynoї fizikai erő - üveg, derev'yana, pewter'yana chavunnі іgry, kemény gyerekesség vékony. Dali az umovchannyam mova pіde tіlki az ilyen figurákról =)

Az első szabály a legegyszerűbb fenék: bár az alak lapos szimmetria központ, akkor vin є a súlypont tsієї ábra. Például egy kerek egységes lemez közepe. Logikus és élettudatos - egy ilyen figura tömege „igazságosan eloszlik minden oldalon”, mint a középpont. Hidd el – nem akarom.

A valóságban azonban nem valószínű, hogy édesgyökeret ad elliptikus csokoládé Tomnak komoly konyhai szerszámmal kell megküzdenie:

Egy egyenletes lapos körülírt ábra súlypontjának koordinátáit a haladó képletek fedik le:

, vagy:

, de - a régió területe (ábrák); de röviden:

, de

Az integrált mentálisan „ixovim” integrálnak, az integrált pedig „igrom” integrálnak nevezik.

Átvétel-befejezés : lapos barázdásúhoz heterogénábrák, amelyek szélességét a függvény adja meg, hajtogatási képletek:
, de - Masa figurák;egységes erősség idején a bűzt megbocsátják több képlet bevezetése.

A képleteken, vlasne, minden újdonság és vége, reshta - minden vminnya virishuvati szubvinciális integrálok, a beszéd erejéig egyszerre reménykedik az ember egy csodálatos képességben, hogy kidolgozza és tökéletesítse a technikáját. És az alaposság, mint látszik, nincs különbség =)

Egy nagy adag parabola dobása:

fenék 1

Keresse meg egy egyenletes lapos alak vaga középpontjának koordinátáit, vonalakkal körülvéve!

Megoldás: az itt található vonalak alapvetőek: állítsa be a teljes abszcisszát, és egyenlő - egy parabolát, így könnyebb lesz segítséget kérni a grafika geometriai átalakítása:

– parabola, 2 egységgel balra és 1 egységgel lefelé tolva.

Az egész fotelt egy kész ponttal összefűzöm a figura szeszélyének közepére:

Uralj egy barátot: mi van az ábrán minden szimmetria, akkor ennek az alaknak a súlypontja a tengelyén kell lennie.

Az alakunk szimmetrikus a shodohoz egyenes tehát valójában már ismerjük az „em” pont „ix” koordinátáját.

Fontos figyelembe venni azt is, hogy az elmozdulások súlypontja a függőleges mentén közelebb van az abszcissza tengelyhez, az ott lévő oszcillátorok masszív alakot alkotnak.

Így talán még nem mindenki találta ki, milyen a vaga közepe: légy kedves, emeld fel az ujjad, és tegyél egy pontot az új, árnyékolt „lábra”. Elméletileg az alak nem hibás az elesésben.

Az ábra súlypontjának koordinátáit a képletek ismerik de .

A terület (ábrák) megkerülésének sorrendje itt nyilvánvaló:

Tisztelet! A kitérő legéletképesebb sorrendje határozza meg egyszer- Vikoristovuemo jógázok mindenkinek integrált!

1) A hátoldalon kiszámolom az ábrák területét. Az integrál kézenfekvő egyszerűsége révén a megoldás kompaktan, smucosan elrendezhető, hogy ne vesszen el a számításokban:

Csodálkozunk a fotelben, és úgy teszünk, mintha a téren lennénk. Viyshlo bіlya csináld.

2) A tömegközéppont x-koordinátáját a „grafikus módszerrel” már megtaláltuk, így a szimmetriára hivatkozva a következő pontra lehet lépni. Azonban még mindig nem rádzsa így dolgozni – nagyszerű arra gondolni, hogy jó ötlet elutasítani a „nyerd meg a formulát” formulát.

Tartsa tiszteletben, hogy itt lehet borszínű számításokkal foglalkozni - néha nem kötelező a törteket kettős mércére hozni és a számológépet kínozni.

Ebben az értelemben:
, Mit és kell venni.

3) Ismerjük a súlypont ordinátáját. Számítsuk ki a görög integrált:

És a tengely itt számológép nélkül nehéz lett volna. Minden változásnál megjegyzem, hogy a gazdagon tagozódó tagok sokasága miatt 9 tag van, sőt a diakónusok is hasonlóak hozzájuk. Hasonló dodanki szájon át oltottam (hogy kell robinak hangozni az ilyen vipadkáknál)és azonnal felírta a táska összegét.

Ennek eredményeként:
ami egyre jobban hasonlít az igazsághoz.

Az utolsó szakaszban a fotelfolton megjelölik. Az elmének nem kellett fotelt készítenie, de nagyobb számban figurát akarok ábrázolni, még ha nem is akarok. A Natomist egy őrült plusz - az eredmény vizuális és hatékony újraellenőrzése.

Vidpovid:

Jöjjön két csikk egy független megoldás.

fenék 2

Keresse meg egy egyenletes lapos alak vaga középpontjának koordinátáit, vonalakkal körülvéve!

A beszéd előtt, mint látható, mintha egy parabolát feszítettek volna ki és hengerelték volna a pontokat, amiben minden felborul, akkor itt tényleg lehet fotel nélkül is.

І összecsukható:

fenék 3

Keresse meg egy egyenletes lapos alak vaga közepét, vonalakkal körülvéve

A költségvetés utáni ütemtervből adódó nehézségek idején vivchit (ismétlés) parabolikus leckeés/vagy csikk No. 11 statti Függesztett integrálok teáskannákhoz.

Srazkovі zrazki megoldás, mint egy leckét.

Emellett az oldalsó archívumban vagy tucatnyi hasonló alkalmazás található Kész megoldások a matematikához.

Nos, nem tehetek mást, mint a szerelmesek kedvét haladó matematika, Milyen gyakran kérjenek meg a fontos feladatok rendezésére:

fenék 4

Keresse meg egy egyenletes lapos alak vaga közepét, vonalakkal körülvéve. A її súlypont alakja a karosszéken látható.

Megoldás: umova tsієї zadachi vzhe kategorikusan vmagaє vykonannya fotel Aje vimoga not nastіlki і formálisan! - Tsyu figura zdatna felfedni az elmében egy személyt a képzés középső szintjéről:

Egyenes roz_kaє kolo 2 részen, és kiegészítő védőburkolat (Div. lineáris szabálytalanságok) Felhívom a figyelmet arra, hogy én magam is ráérek egy kis árnyékoló shmatochokra.

A figura szimmetrikus és vizuálisan egyenes (szaggatott vonallal ábrázolva), ezen a vonalon a súlypont a hibás. І nyilvánvaló, hogy a yogo koordinátái egyenlőek a modul mögött. Útmutató, amely gyakorlatilag bekapcsolja a kegyelmet!

Most piszkos újdonság =) A láthatáron egy alacsony bevételű integrál a gyökérből, amit állítólag a 4. számú alkalmazásból vittünk át a leckére Hatékony módszerek az integrációk megoldására. És ki tudja, mi van még ott festve. A jelenléten keresztül megadatik kóla Nyilván nem minden olyan egyszerű. A Rivnyannya egyenes egy pillantással átalakul és az integráció nem biztos, hogy igaz (ha a fanatikusok akarják trigonometrikus integrálokértékelni). A zvyazku z tsim általában zupinitsya derékszögű koordinátákon.

Az ábra megkerülésének sorrendje:

1) Számítsa ki az ábra területét:

A racionális felfogás első integrálja p_dvedennyam p_d a differenciál jele:

És egy másik integrálban szabványos cserét hajtunk végre:

Számoljuk az új interintegrációt:

2) Tudjuk.

Itt a 2. integrálnál van egy új csavar módszer. Vіdpratsyuyte ta vіzmіt on ozbroєnnya qі optimális (a fejemben) elfogadja a tipikus integrálok fejlesztését.

A nehéz és triviális után számold ki újra a fotel vadállati pillantását (ne feledje, hogy a pontokat Még mindig nem tudjuk! ) és otrimuemo bizonyos fokú erkölcsi elégedettségre tekintettel a talált értékre.

3) Vykhodyachi z végzett korábbi elemzést, elvesztette a megbékélést, scho.

Jegyzet:

Reprezentatív pont a széken. Vіdpovіdno a formuláris elmének, felírjuk a її-t maradékként bizonyíték:

Hasonló feladat önálló látásmódhoz:

fenék 5

Keresse meg egy egyenletes lapos alak vaga közepét, vonalakkal körülvéve. Vikonati fotel.

Arra vagyunk kíváncsiak, hogy benne a figura kis emlékezésre adják, és ha van egy kis idő a kegyelemre, akkor a nagy tűzerőt „nem költik el” a térségben. Mi, bezperechno, a kontroll megoldás szempontjából jó.

Srazkovy zrazok tervezett, mint egy leckét.

Іnodi buvaє dotsіlnim átmenet poláris koordinátákra az alsó integráloknál. Lásd az ábrát. Shukav-shukav otthon messze fenék Ha nem tudja, megmutatom a megoldást a kijelölt óra 1. bemutató feladatára:


Képzeld, mi van abban a fenékben, ahová mentünk poláris koordináták, ismertette a terület megkerülésének menetét és virahuvali її területen

Ismerjük meg a figurák súlypontját. A séma ugyanaz: . Az érték közvetlenül a fotelből látszik, az „ix” koordináta pedig kicsit közelebb tolható az y tengelyhez, az ottani szilánkokat a sör masszív része szórja szét.

Integrálokban használhatjuk a szabványos képleteket az átmenethez:

Ymovirno, mindenre jobb, nem könyörültek.