Mossuk le két egyenes térbeli merőlegességét. Párhuzamos vonalak, párhuzamos vonalak jelei és gondolatai. Sétáljon a ponttól az egyenes vonalig

KUT lakások között

Ugyanígy nézzünk meg két α 1 és α 2 síkbeli feladatot:

Pid cutom két lakás között az egyik kétarcú kutіv, amely ezekből a lakásokból áll, érthető. Nyilvánvaló, hogy a normálvektorok és az 1. és 2. sík közötti vágás több . Tom . Mert і , akkor

csikk. Jelöljön ki egy vágást a lakások között x+2y-3z+4=0 és 2 x+3y+z+8=0.

Mossuk le két sík párhuzamosságát.

Két α 1 és α 2 sík párhuzamos egymással, és csak akkor azonos, ha normálvektorok és párhuzamosak, valamint .

Ezenkívül két sík párhuzamos az eggyel, és kevesebb ugyanannyira, ha a megfelelő koordináták együtthatói arányosak:

vagy

Mossuk le a síkok merőlegességét.

Világos volt, hogy két sík merőleges és ugyanaz, ha normálvektorok és merőlegesek is.

Ilyen módon,

alkalmaz.

KÖZVETLENÜL A TÉRBEN.

VECTORNE RIVNYANNYA KÖZVETLENÜL.

PARAMÉTERES SZINTEZÉS KÖZVETLEN

Az egyenes helyzete a térben teljesen függ az adott adatoktól, mivel її fix pont van M 1 i vektor, párhuzamos az egyenessel.

Vektornak, párhuzamos egyenesnek nevezzük közvetlen a vektor egyenes.

Otzhe, szia egyenesen l ponton halad át M 1 (x 1 , y 1 , z 1), amely a vektorral párhuzamos egyenesen fekszik.

Nézzünk egy bizonyos pontot M(x, y, z) egyenes vonalon. A kicsiből ezt láthatod .

Vektorok és kolіnearnі, tehát van egy ilyen szám t, sho , de szorzó t felveheti, hogy ez egy számérték a parlagon a pont pozíciójában M egyenes vonalon. Szorzó t paraméternek nevezzük. A sugár-vektor pont hozzárendelése M 1 ta M nyilván az i, otrimuemo révén. Tse egyenlőnek nevezzük vektor egyenes vonalak. A paraméter értékét mutatja a bőr számára t változtassa meg a deac pont sugara-vektorát M, amelyek egy egyenesen fekszenek.

Írjuk fel a koordinátaforma sorrendjét. Tisztelettel, sho, és csillagok

Otrimani egyenlők nevezik parametrikus egyenes.

A paraméter megváltoztatásakor t változnak a koordináták x, yі z foltosodtam M egyenes vonalban mozogni.

CANONIC RIVNYANNYA DIRECT

Na gyere M 1 (x 1 , y 1 , z 1) - egy pont, amely egy egyenesen fekszik l, і - Її közvetlen vektor. Egyenesen a lényegre térek M(x, y, z) nézem a vektort.

Világos volt, hogy a vektorok és a kollineárisok, amelyekkel a megfelelő koordinátáik arányosak lehetnek,

– kánoni egyenes vonalak.

Tisztelet 1. Tisztelettel, az egyenes kanonikus igazítása a paraméter bekapcsolásával elvehető a paraméteresektől t. Igaz, a parametrikus egyenlőségekből ez szükséges vagy .

csikk.Írj egyenes vonalakat parametrikus megjelenés.

Szignifikánsan , csillagok x = 2 + 3t, y = –1 + 2t, z = 1 –t.

Jegyzet 2. Legyen az egyenes merőleges az egyik koordinátatengelyre, például a tengelyre Ökör. Ezután a merőleges egyenesek közvetlen vektora Ökör, otzhe, m=0. Otzhe, a közvetlen előretekintés parametrikus kiegyenlítése

Beleértve a kiegyenlítési paramétert t, Vegye el egyenesen a látványtól

Prote és egyben formálisan írjuk le a direkt jak kanonikus egyenlőségeit . Ebben a sorrendben, ha az egyik tört szalaghirdetésében nulla van, akkor az azt jelenti, hogy az egyenes merőleges a kettős koordináta tengelyére.

Hasonlóképpen a kanonikus egyenlők egyenes merőleges a tengelyekre Ökörі Jaj vagy tengellyel párhuzamos Oz.

alkalmaz.

ZAHALNI RIVNYANNYA DIRECT, YAK LINE KÉT REPÜLŐ VISSZAFORGATÁSA

A bőrön keresztül egyenesen a nyílt térben, hogy áthaladjon egy személytelen területen. Legyen az kettő, egymásba fonódva, térben jelentenek. Otzhe, ha két ilyen lakás lenne, amelyeket együtt nézünk, akkor egyenlők az egyenesekkel.

Vzagali be-mint kettő párhuzamos síkok, meg a lelkes egyenlők

jelöljön ki egy egyenest. Qi egyenlőnek nevezzük vad féltékenység egyenes.

alkalmaz.

Prompt egyenes, társai által meghatározott

A közvetlen ösztönzéshez elég tudni, hogy van-e її pont. A legegyszerűbb módja az egyenes és a koordinátasík keresztezési pontjainak kiválasztása. Például egy keresztezési pont egy síkkal xOy egyenesen vesszük, vvazhuchi z= 0:

Virishivshi tsyu rendszer, tudjuk a lényeget M 1 (1;2;0).

Hasonlóképpen, tisztelettel y= 0 xOz:

Az egyenes felső szintjeiről a її kanonikus vagy parametrikus szintre léphet. Akinek tudnia kell valami pontot M 1 egy egyenesen, a direkt vektor pedig egyenes.

Pont koordinátái M Az 1-et a kiegyenlítő rendszer közepéből vesszük, miután az egyik koordinátát megfelelő értékre nyomtuk. A direkt vektor kérdéséhez a vektornak merőlegesnek kell lennie mindkét normálvektorra. і . Ahhoz, hogy a közvetlen vektor l el tudod venni vektor witwear normál vektorok:

csikk. Vezessen egyenesen előre a kanonok tekintetére.

Keressünk egy pontot, amely egy egyenesen fekszik. Amelyhez csak egy koordinátát választunk, pl. y= 0, és felosztjuk a kiegyenlítő rendszert:

A síkok normálvektorai, amelyek egy egyenest határoznak meg, határozzák meg a koordinátákat. Ezért a közvetlen vektor közvetlen lesz

. Otzhe, l: .

KUT MIZH EGYENES

Kutom a térben lévő egyenesek között azt fogjuk nevezni, hogy adott-e a két, párhuzamosan húzott, két egyenesből álló összesítő kutiv.

Állítson két egyenest a térköz:

Nyilvánvaló, hogy a їх egyenesek közötti kut felfogható kutnak a їх közvetlen vektorok között i . Tehát yak, akkor a vektorok közötti koszinusz kuta képletéhez vesszük

V. partíció *. Egyenletek a nyílt térhez közeli egyenesek és lapok.

70. § Gondoljunk két egyenes párhuzamosságára és merőlegességére!

Egyenes vonalak közvetlen vektorokkal a і b :

a) párhuzamos azonos és kevésbé azonos, ha a vektorok a і b kollineáris;

b) merőleges ugyanarra és kevésbé ugyanarra, ha a vektorok a і b merőleges, akkor ha a b = 0.

Figyelembe kell venni két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének szükséges és elégséges megértését, amelyet a kanonikus egyenlőségek adnak meg.

Erre egyenesen

a golyók párhuzamosak, szükségesek és elegendőek, így az elme győz

Van egy vipadku, mint néhány szám b 1 , b 2 , b 3 vissza nullára, akkor bűn, ha a másik szám nullára tér vissza a 1 , a 2 , a 3 .

Az egyenesek merőlegességéhez szükséges és elégséges, hogy az elme

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0. (2)

1. feladat. Az előrehaladó egyenes párok között a fogadások párhuzamosak vagy merőlegesek az egyenesekre:

a) Közvetlen vektorok a = (2; 4; -13) és b = (3; 5; 2) nyilvánvalóan nem kollineáris. Otz, nem közvetlenül párhuzamos. Nézzük meg újra az elme merőlegességét

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 3 + 4 5 - 13 2 = 0.

Egyenes merőleges.

b) A másik egyenes egyenes vektora koordinálható b = (3; 2; 4). Közvetlen vektorhoz először vehetem a normálvektorok vektorkomplementerét
n 1 = (2; -3; 0) és n 2 \u003d (4; -2; -2) sík, a qiu egyenes beállítása:

Umov (1) nyer, szilánkok 6/3 = 4/2 = 8/4. Közvetlenül párhuzamosan.

c) Az első egyenes maє koordinátáinak közvetlen vektora a = (2; 3; 1). Könnyű egy másik egyenes vonalat hozni a kanonikus megjelenéshez.

Otzhe, b =(- 1 / 2 ; 1; 3 / 2) .

Vektorok a і b nem párhuzamos. A bűz nem merőleges, a szilánkok

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 (- 1 / 2) + 3 + 3 / 2 =/= 0.

Az adatok egyenesek, nem párhuzamosak és nem merőlegesek.

2. feladat. Ismerje meg az egyenes vonalát az M 0 (2; -3; 4) ponton átmenő egyenesre merőlegesen

Tsya cikk a párhuzamos egyenesekről és a párhuzamos egyenesekről. A síkon és a szabad tér közelében párhuzamos vonalak jelölését a hátoldalon kapjuk, a jelölést bevezetjük, és párhuzamos vonalak grafikus illusztrációit alkalmazzuk. Jeleket adtak és megértették az egyenesek párhuzamosságát. Visnovka jellegzetes feladatok megoldásait mutatja be az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására, valamint egy téglalap alakú koordináta-rendszer egyenesének ilyen egyenlőségeinek hozzárendelését síkon és triviális térben.

Navigáció az oldalon.

Párhuzamos közvetlen főhidak.

Időpont egyeztetés.

A síkon két egyenest nevezünk párhuzamos miért nem büdös vagy forró pontok.

Időpont egyeztetés.

A trivi-világ térben két egyenest nevezünk párhuzamos mint az egy lakásban fekvés bűze, és nem alvópontokon alszik.

Tartsa tiszteletben a figyelmeztetést, hogy „a bűz egy síkban van” a szabad térben a kijelölt párhuzamos vonalakon, még fontosabb. Magyarázzuk meg ezt a pillanatot: ketten egyenesek egy trivi-világi térben, hogy ne legyenek alvó pontjaik, és ne egy síkban feküdjenek, ne párhuzamosak, hanem keresztezzék egymást.

Tegyünk néhány példát párhuzamos egyenesekre. A zoshita lap protilezhnі szélei párhuzamos egyenes vonalakon fekszenek. Egyenes, amely mögött a fülke falának síkja keresztezi a sztélé és az alátétek síkját, amelyek párhuzamosak. Azt is láthatja, hogy a párhuzamos egyenesek mennyire egyenlőek.

A párhuzamos vonalak meghatározásához a "" szimbólumot használjuk. Mivel a és b egyenes párhuzamos, ezért rövid b-t írhatunk.

Mutasson tiszteletet: mivel az a és b egyenesek párhuzamosak, azt mondhatjuk, hogy az a egyenes párhuzamos a b egyenessel, és azt, hogy a b egyenes párhuzamos az a egyenessel.

Jól szilárd, mintha a síkon néhány párhuzamos egyenes fontos szerepét töltené be: egy olyan ponton keresztül, amely nem az adott egyenesen fekszik, haladjon át egy, az adott egyenessel párhuzamos egyenest. Ezt az állítást tényként fogadjuk el (a planometria axiómái alapján nem bizonyítható), és a párhuzamos egyenesek axiómájának nevezzük.

Térben lévő térre a következő tétel érvényes: azon keresztül, hogy egy olyan pont a térben, amely nem egy adott egyenesen fekszik, átmegy-e egy, az adott egyenessel párhuzamos egyenesen. A Tsya-tétel könnyen segítségére lehet a párhuzamos egyenesek axiómáinak bevezetésében (її a bizonyítékot a geometria 10-11 osztály kézikönyvéből ismerheti meg, amelyet a cikkben a hivatkozási listában jelez).

Az egyenes vonalak párhuzamossága – ennek a szellemi párhuzamosságnak a jelei.

Párhuzamos vonalak jele Van elég intelligencia az egyenesek párhuzamosságához, így egy olyan gondolkodásmód, amely garantálja az egyenesek párhuzamosságát. Más szóval, vykonannya tsієї gondolkodjon eleget ahhoz, hogy megbizonyosodjon a párhuzamos vonalak tényéről.

Ezenkívül meg kell állapítani az egyenesek síkbeli és triviális térbeli párhuzamosságának szükséges és elégséges elméjét.

Érthető az „az egyenesek elegendő mentális párhuzamossága” kifejezés megváltoztatása.

Az egyenesek kellő mentális párhuzamosságával már rendeztük. És mi ez? szükséges elme egyenesek párhuzamossága? A „szükséges” elnevezés mögött azt lehetett érteni, hogy a vikonnannya tsієї elme szükséges a vonalak párhuzamosságához. Más szóval, ha az egyenesek párhuzamossága nem szükséges, akkor az egyenesek nem párhuzamosak. ilyen módon, szükséges, hogy elegendő mentális párhuzamosság az egyenesek- Tse elme, vykonannya, ahogy szükséges, így elegendő az egyenesek párhuzamosságához. Vagyis az egyik oldalról az egyenes vonalak párhuzamosságának jele, a másik oldalról - az integritás, mintha párhuzamos vonalak láthatók.

Az első lépés az egyenesek szükséges párhuzamosságának megfogalmazása, amely elegendő ahhoz, hogy az elme egy kis további jeleket kitaláljon.

Egyenes- Tse egyenes, mintha két egyenes vonalban kereszteznénk a bőrt.

Nyugdíjba vonulásakor két egyenes sichny utvoryuyutsya vіsіm égetlen. Az egyenesek képletszerűen szükséges és elégséges elmepárhuzamának sorsa az ún fejjel lefelé fekvő, fekvőі egyoldalú kuti. Mutasd meg őket a fotelben.

Tétel.

Mint két egyenes a sichny metszéssíkján, akkor párhuzamosságukhoz szükséges és elégséges, hogy a bevágások keresztezve legyenek, feküdjenek, egyenlőek legyenek, vagy a két oldal egyenlő legyen, vagy az egy- oldalirányú vágás 180 fokos volt.

Mutassuk meg grafikusan az egyenesek szükséges és elégséges elmepárhuzamát egy síkon.

Az egyenesek párhuzamosságára a geometria asszisztenseitől találhat bizonyítékot 7-9 osztályra.

Fontos, hogy úgy gondolja, lehet győztes és egy triviális térben - egy smuk, úgy, hogy két egyenes vonal ugyanabban a síkban feküdjön.

Mutassunk be még néhány tételt, amelyeket gyakran megkérdőjeleznek az egyenesek párhuzamosságának bizonyítására.

Tétel.

Ha a síkon két vonal párhuzamos a harmadik vonallal, akkor a bűz párhuzamos. A bizonyíték arra, hogy a jelek nyilvánvalóak a párhuzamos egyenesek axiómáiból.

Ez analóg az elme által a triviális térben lévő egyenesek párhuzamosságával.

Tétel.

Mint két egyenes a térben, amely párhuzamos a harmadik egyenessel, minden bűz párhuzamos. Bizonyíték arra, hogy a 10. évfolyam geometriaóráin jelek láthatók.

Illusztráljuk a tétel hangzását!

Bevezetünk még egy tételt, amely lehetővé teszi az egyenesek párhuzamosságát a síkon.

Tétel.

Mint két egyenes a harmadik egyenesre merőleges síkon, párhuzamosak.

Hasonló tétel létezik a térbeli vonalakra is.

Tétel.

Mint két egyenes vonal egy triviális kiterjedésű, egy síkra merőlegesen, a bűz párhuzamos.

Képzelhetően kicsik, yakі vіdpovіdat zim tételek.

A tétel összes megfogalmazása, jelei és a szükséges elegendő elme csodálatos módon alkalmasak az egyenesek párhuzamosságának geometriai módszerekkel történő bizonyítására. Tehát ahhoz, hogy két egyenes feladat párhuzamos legyen, meg kell mutatni, hogy párhuzamosak a harmadik egyenessel, vagy meg kell mutatni a vágások igazítását, a fekvést stb. A névtelen hasonló feladatokat megsértik a geometria órák első órájában egy ismeretlen középiskolában. Meg kell azonban jegyezni, hogy gazdag vipadokban könnyen használható a koordináták módszere az egyenesek síkon vagy a triviális térrel való párhuzamosságának bizonyítására. Megfogalmazzuk az egyenesek párhuzamosságának szükséges kellő megértését, feladatként egy derékszögű koordinátarendszernél.

Egyenesek párhuzamossága téglalap alakú koordinátarendszerben.

Ebben a bekezdésben a statisztikák megfogalmazásra kerülnek szükséges és elégséges az egyenesek párhuzamosságának megértéséhez egyenes koordináta-rendszerben parlagon van rіvnyan formájában, ami tsі egyeneseket jelöl, és a jellemző feladatok elosztásáról is jelentéseket indukálunk.

Emlékezzünk két egyenes párhuzamosságára az Oxy téglalap alakú koordinátarendszer síkján. Az alapján a jóga bizonyítani, hogy hazugság az egyenes közvetlen vektorának kijelöléseі az egyenes normálvektora a lakáson.

Tétel.

A síkon két nem beeső egyenes párhuzamosságához szükséges és elegendő, hogy ezen egyenesek direkt vektorai kollineárisak, vagy ezen egyenesek normálvektorai kollineárisak, vagy egy merőleges egyenes vektora a normálra a másik egyenes vektora.

Nyilvánvaló, hogy a síkon két egyenes mentális párhuzamossága redukálható (egyenesek közvetlen vektorai vagy egyenesek normálvektorai) vagy (a másik egyenes normálvektorának egyik egyenesének közvetlen vektora). Ebben a sorrendben, mint i - a і b és egyenesek közvetlen vektorai і - az a és b egyenesek normálvektorai helyesek, akkor az a és b egyenesek megfelelő mentális párhuzamosságát kell felírni , vagy , vagy de t valós szám. Az a és b egyenesek egyeneseinek és (vagy) normálvektorainak saját koordináta-tartománya van az egyenesek adott vonalai mögött.

Zokrema, mint egy egyenes a az Oxy derékszögű koordinátarendszerben a síkon egyenesész , és egyenes b - akkor a tsikh egyenesek normálvektorai і vіdpovіdno koordináták lehetnek, és az a і b egyenesek Um párhuzamossága így lesz felírva.

Yakshcho közvetlen egy vіdpovіdaє egyenes vonalak igazítása vágási együtthatóval elme, és a b- egyenes, akkor ezen egyenesek normálvektorainak lehetnek i koordinátái, és ezeknek az egyeneseknek a mentális párhuzamossága látható lesz. . Továbbá, bár a téglalap alakú koordinátarendszer síkjában lévő egyenesek párhuzamosak, és egyenlőre állíthatók a csúcsegyütthatós egyenesekkel, az egyenesek csúcsegyütthatói egyenlőek lesznek. Mindenekelőtt: habár a téglalap alakú koordináta-rendszer síkjában az egyenesek, amelyek nem hajlanak, beállíthatók egyenlő élegyütthatójú egyenesekkel, az ilyen egyenesek párhuzamosak.

Mint az a egyenes és a b egyenes egy egyenes koordináta-rendszerben egyenes vonalak kanonikus igazítása a síkonész і , vagy egyenes paraméteres igazítása síkonész і nyilvánvalóan ezeknek az egyeneseknek a direkt vektorai lehetnek i koordináták, az a és b egyenesek mentális párhuzamosságát pedig .

Nézzünk meg néhány alkalmazást.

csikk.

Chi párhuzamos vonalak і?

Megoldás.

Írjuk át egyenes vonalak igazítása a tekercseknél egy vad egyenes láttán: . Most már láthatja, hogy a scho az egyenesek normál vektora , és a normálvektor egy egyenes. A Qi vektorok nem kollineárisak, mert ilyen nincs dátum szám t , amelyre az egyenlőség helyes ( ). Ezért nem szükséges felülkerekedni az egyenesek azon kellő mentális párhuzamosságán a síkon, az egyenesek feladatai nem párhuzamosak ezzel.

Javaslat:

Nem, nem közvetlenül párhuzamosan.

csikk.

Egyenesek és párhuzamosak?

Megoldás.

Hajózható kanonikusan egyenlő egyenesen egyenlő egyenesen a vágási együtthatóból: . Nyilvánvaló, hogy az egyenesek kiegyenlítése és ugyanaz (különböző feladatok esetén az egyenesek kerülendők) és a közvetlen egyenlők kutovі együtthatói, valamint a vihіdnі egyenesek párhuzamosak.