Rivnyannya zv'yazuvannya stanovi. Greda stana, greda stana. Hrpa stanova - znak

Mokrim snopom ravnina naziva se množina svih ravnina koje prolaze jednom ravnom crtom.

Nejasan snop ravnina naziva se bezlične ravnine koje su međusobno paralelne.

Teorem 1. Za to postoje tri stana postavljena pocinčanim ravninama

kako koristiti globalni Kartezijev koordinatni sustav, koji je pripadao jednoj gredi, slobodan i nejasan, potreban i dovoljan, pa rang matrice

dorivnyuvav bilo dvoje ili sam.

Dokaz o potrebi. Neka tri stana (1) leže na jednom svežnju. Potrebno je donijeti što

Prihvatljivo je imati poleđinu, tako da tri dana na površini leže na vašem svežnju. Tada sustav (1) može biti bezlično rješenje (jer za svrhu snopa kose: tri ravnine leže na snopu, tako da smrad prolazi kroz jednu ravnu crtu); Ako će biti isti i samo ako jest, tada sustav (1) može ili imati jedno rješenje, ili biti nerazumljiv, jer će biti vođa zbrajanja koeficijenata kada su koeficijenti nepoznati, razlika je nula ili nula.

Ako tri navedena područja leže na snopu bez dlaka, tada je rang matrice

rezultat 1, što znači rang matrice M dorívnyuê ili dva ili jedan.

Dokaz dostatnosti. Zadano: Potrebno je dovesti da tri zadane površine leže na jednoj gredi.

Yakscho, zatim th. Dođi. Ako se sustav (1) rascijepi, može biti bezlično rješenje, au sredini se ti stanovi preklapaju (jer se jakbi nisu preklapali, onda bi smrad bio sav paralelan i rang matrice bi bio jednak 1), tada tri zadane ravnine leže na gornjoj gredi.

Yakscho; sve ravnine su kolinearne (dvije nisu uvijek paralelne, a treća može polaziti iz jedne od paralelnih ravnina).

Yakscho, tada i sva područja su zbígayutsya.

Teorem 2. Neka središnji kartezijanski koordinatni sustav postavlja dvije različite ravnine i gornje ravnine: ; .

Kako bi se treći avion dao i divljim ravnima

ako postoje tri koordinatna sustava koji leže na gredi, a koji su označeni ravninama i, potrebno je i dovoljno, da lijevi dio ravnine bude linearna kombinacija lijevih dijelova ravnina i.

Dokaz o potrebi. Zadano je: ravnina leži na hrpi ravnina, što označava te ravnine. Potrebno je donijeti da se brojevi razumiju i kako bi se slavila istovjetnost, vrijedi za sve vrijednosti x, na, z:

Istina, kao da su tri ravnine, a leže na jednoj gredi, onda de

Prva dva retka matrice su linearno neovisna (dijelovi površine i razlike), fragmenti trećeg reda su linearna kombinacija prva dva, tobto. potkrijepiti broj i tako da

Umnožavanje uvreda prvog dijela ljubomore na x, vrijeđajući dijelove drugog na na, uvredljivi dio treći na z i zbrajanje pojam po pojam otrimani rivností í rivníst, otrimaêmo ozhníst, scho done.

Dokaz dostatnosti. Neka istost

pravedno za sve vrijednosti x, naі z. Potrebno je iznijeti na vidjelo da područje leži u gredi, da je označeno tim područjem.

Iz kojeg identiteta pjevati spívvídnoshennia,

pa treći red matrice M Ovo je linearna kombinacija prva dva, i to. Ch.t.d.

Jednake de, a ne jednake nuli u isto vrijeme, nazivaju se jednake zrake ravnina, koje se razlikuju po dvije različite ravnine i jednake su onima u gornjem Kartezijevom koordinatnom sustavu kako slijedi:

Kao što je izneseno na svjetlo, biti jednaka ravnini snopa, koja se razlikuje po različitim ravninama i može se snimiti od strane gledatelja.

Natrag, yakscho jednako, u kojem se želi jedan od brojeva i nije jednak nuli, jednak je prvom koraku, jednak je ravnini, koja leži u gredi, koja pokazuje ravnine i. Desno, treći redak matrice M, Zaliha s jednakim koeficijentima i može izgledati

tobto. ê linearna kombinacija dva druga, tom.

Ako se ravnine i mijenjaju, a i ne dosegnu odjednom nulu, tada su svi koeficijenti at x, na, z u jednakosti ne mogu do nule, pa kao da su male bilo je mjesta za špijuniranje

tada su stanovi i b bili kolinearni u superach pripuschen.

Ali ako su ravnine paralelne, onda upotrijebi takve brojeve i, čija sredina, ako jedan nije jednaka nuli, i tako, da su jednaki svi koeficijenti na x, naі z jednaka nuli. A onda će biti ne-glazirana greda, i kao hrpa ravnih linija, ovdje moramo biti više poštovani.

U ovom članku postoji oznaka grede ravnina, koja se uzima jednaka gredi ravnina prema zadanom pravokutnom koordinatnom sustavu, te se navodi da su karakteristični zadaci koji se odnose na koncepte grede ravnina. su jasno vidljivi.

Navigacija sa strane.

Hrpa aviona je znak.

Iz geometrijskih osi jasno je da u trivijalnom prostoru kroz ravnu liniju i točku koja ne leži na njoj prolazi jedna ravnina. I zbog ove tvrdoće jasno je da postoje bezlični stanovi, da se osveta daje ravno naprijed. Obguruntuemo tse.

Neka nam je dana pravac a . Uzmimo točku M 1, kako ne bi ležala na pravoj liniji a. Todi kroz pravac i točku M 1 možemo povući ravninu, i to samo jednu. Značajno je. Uzmimo sada točku M 2 koja ne leži u blizini ravnine. Kroz pravac i točku M 2 prolazi jedna ravnina. Ako uzmete točku M 3 koja ne leži ni u ravnini ni u ravnini, možete inducirati ravninu da prolazi kroz ravnu liniju a i točku M 3 . Očito, cijeli proces induciranja ravnina koje prolaze kroz zadanu ravnu liniju a može se nastaviti neograničeno dugo.

Tako smo otišli do odredišta hrpe stanova.

Ugovoreni sastanak.

Greda stanova- Tse bezličan od svih stanova u trivijalnom prostranstvu, koji može proći kroz jednu ravnu liniju.

Izravno, kao da osveti brkove ravnine grede, naziva se središte grede aviona. U ovom redoslijedu, maê misce viraz "hrpa ravnina sa središtem a".

Određeni snop ravnina može se definirati bilo pokazivanjem njegovog središta, bilo pokazivanjem da li postoje dvije ravnine snopa, koje su u biti iste. S druge strane, budite kao dva stana, koji su međusobno isprepleteni, postavite hrpu stanova.

Poravnanje grede stanova - raščlamba zadataka.

Iz praktičnih razloga, nije potrebno pljeskati hrpom stanova po geometrijskoj slici neba.

Pogledajmo logično pitanje: "Što je poravnanje grede stanova"?

Za koga je važno napomenuti da se u trivijalnom prostoru uvodi Oxyz, zadaje snopu ravnina za dodatno umetanje dvije ravnine i treće. Neka se stanovi pokažu jednakiji stanovima uma, ali stanovi uma. Dakle, iz poravnanja grede ravnina, poravnanje se naziva, kao što postavite poravnanje svih ravnina grede.

Okrivite takav logičan razlog: "Kakvo poravnanje snopa ravnina u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz"?

Promatranje poravnanja hrpe ravnina daje sljedeći teorem.

Teorema.

Područje leži na snopu ravnina, što označava dvije ravnine koje su isprepletene i postavljene jednako i jednako, tada i samo malo, ako njezina zagalne jednaka može izgledati, de i - dovoljno díysní brojevi, nije jednako nuli odjednom (ostatak uma je ekvivalent nejednakosti).

Dovođenje.

Da biste dokazali dostatnost, morate pokazati:

Prepišimo vršnjake. Otrimane jednake najdivljim ravnima na tom području, kao viraz koji ne doseći nulu preko noći.

Recimo samo da se smrad metodom recidiva doista ne svodi na nulu preko noći. Recimo što. Todi, kao, onda, kao, onda. Povlačenje ljubomore znači da vektori pov'yazaní spívvídnoshennymi abo (za konzumaciju čudesnog članka), također, vikonuêtsya i. Dakle, jak je normalni vektor područja, - normalni vektor površine i vektori i kolineari, zatim ravnine i paralele ili se izbjegavaju (div. Umov statut paralelizma dviju ravnina). I ne možete ali, na to avioni i postaviti hrpu aviona, i onda, oni su zatamnjeni.

Otzhe, jednaka istini divljeg jednakog područja. Pokazuje se da ravnina, kako je označena kao jednaka, prolazi kroz liniju peretine ravnina.

Ako je tako, onda je sustav jednak umu može biti neosobna odluka. (Ako je sustav napisan jednak jednom jedinom rješenju, tada ravnine, od kojih je ravnina sustav sastavljen, mogu činiti jednu točku, tada se ravnina crta ravno, što se označava ravninama, koje se mijenjaju i . da jedan sat leže sve tri ravnine, dakle, ravnina je paralelna s ravnom linijom, zadanom ravninama koje se preklapaju, i).

Budući da je prvo izjednačavanje sustava za izjednačavanje snimljeno linearnom kombinacijom drugog i trećeg izjednačivača, može se bez traga isključiti iz sustava (o tome su govorili u članku). Tobto, vanjski sustav jednakih je ekvivalentan sustavu jednakih uma . I ovaj sustav može biti bezlično rješenje, krhotine područja i može bezlične točkice kroz one koji smrde.

Dostatnost donesena.

Prijeđimo na potvrdu potrebe.

Da bi se dokazala nužnost, potrebno je pokazati da je ne bi bilo unaprijed dato područje, scho da prolazi kroz liniju peretine ravnina i neće biti jednaka zadanim vrijednostima parametara i .

Idemo avionom, kao da prolazimo kroz točku a kroz liniju prečke ravnina i (M 0 ne leži na liniji prečke tih ravnina). Pokazat će se da je uvijek moguće odabrati takve vrijednosti i parametre i, za koje su koordinate točke M 0 zadovoljene jednakošću, tako da je jednakost pravedna. Tsim će biti doveden do prosperiteta.

Predstavimo koordinate točke M0: . Budući da ravnine i ne prolaze kroz točku M 0 odjednom (u prošlosti su ravnine zbígali b), onda ako samo jedna od viraziv abo vídmínno víd zero. Yakshcho, tada možete promijeniti izbor parametra yak i, nakon što se parametru da vrijednost prilično različita od nule, on se može izračunati. Dakle, dajući parametru vrijednost prilično različitu od nule, moguće je izračunati .

Teorem je dovršen.

Otzhe, mogu li pogledati. Određuje sva područja zraka. Kako mogu uzeti deaco nekoliko značenja i stavimo u poravnanje grede ravnina, uzimamo u obzir ravnost jedne ravnine te grede.

Dakle, kao u jednakom snopu ravnina, parametri i ne dosežu nulu odjednom, tada se to može zapisati u pogledu, yakshcho, iu pogledu, yakshcho.

Međutim, poravnanje nije ekvivalentno poravnanju snopa ravnina uma, tako da za neke vrijednosti poravnanja nije moguće uzeti poravnanje ravnine uma, a ni za koje vrijednosti nije moguće uzeti poravnanje ravni uma.

Prijeđimo na vrh aplikacija.

kundak.

Napiši poravnanje snopa ravnina koje u pravokutnom koordinatnom sustavu Oxyz postavlja dvije ravnine koje se preklapaju. taj .

Riješenje.

Postavljanje jednake površine vjetrova je jednako revna ljubomora ravni vid. Sada možemo zapisati potrebu za gredom ravnina: .

Prijedlog:

kundak.

Či ležati ravno na hrpi stanova sa centrom?

Riješenje.

Ako ravnina leži na gredi, tada je ravna, koja je središte grede, da leži u blizini ove ravnine. Na ovaj način možete uzeti dvije različite točke ravne linije i okrenuti je, a smrad se nalazi blizu stana. Ako je tako, onda stan treba ležati na navedenoj hrpi stanova, ako nije - ne ležati.

Parametarsko poravnanje ravne linije u prostoru omogućuje jednostavno određivanje koordinatne točke koja leži na njoj. Uzimamo dvije vrijednosti parametra (na primjer, i) i izračunavamo koordinate dviju točaka M1 i M2 ravno:

U članku možemo lako razumjeti snop ravnih linija. Vidljivo jednak snop ravnih linija. Primijenimo znanje o poravnanju niza ravnih linija koje prolaze kroz ovu točku.

ê ravna linija, scho proći kroz točku P. Leđa, budi ravno, prođi kroz točku P vynachaetsya jednako (3), s realnim brojevima λ 1 ta λ 2 .

Dovođenje. Prvo će se pokazati da je jednak (3) ê linearni jednaki(Jednako prvog reda), tobto. jednako, s bilo kojim koeficijentom pri x ili g nije jednako nuli.

Skupni koeficijenti pri xі g:

Todi npr. kada λ 1 ≠ 0 λ 1 ta λ 2 nije jednako nuli), možemo uzeti:

Otrimanova jednakost je mentalni paralelizam ravnih linija, koje su definirane jednakostima (1) i (2), koje zamjenjuju mentalne teoreme (prave se preklapaju i ne prekidaju). Također, željeti jednu od jednakosti (5) nije pobjednička, tobto. Želim jedan koeficijent na xі g jednako (4) nije jednako nuli. Zvídsi vyplyaê, scho jednako (4) linearnim jednakima (rijeke prvog koraka) i jednako deyak ravnim linijama. Prema teoremu uma, ravno je proći kroz točku P(x 0 , g 0), kao ravna crta (1) koja (2), tobto. vykonuyutsya rivností:

tobto. linija (3) prolazi kroz točku P.

Dolazimo do drugog dijela teoreme. Pokazat će se da li je ravna, kako prolazi kroz šareno P jednaki su (3) pri stvarnim vrijednostima λ 1 ta λ 2 .

Provedite dan ravno kroz mrlje Pі M"(x", y"). Pokazat će se da je to izravno povezano s jednakostima (3) za određene vrijednosti λ 1 ta λ 2, koji nije jednak nuli u isto vrijeme.

U prvom dijelu dokaza teorema pokazali smo da je ravna, kao da prolazi kroz mrlju P vynachaetsya jednako (3). Sada, kako pravac može proći kroz još jednu točku M"(x", y"), tada su koordinate točke zbog zadovoljenja poravnanja (3):

Poštovana, to vješanje na okovima nemoguće je preko noći doći do nule, jer tse je značilo b, scho napad jednak proći kroz bodove Pі M"(x", y") i, otzhe, zbígayutsya. hajde npr. λ 1 (A 1 x" 0 +B 1 y" 0 +C 1) ≠0. Todi stavljajući λ 2 je priličan broj koji se računa kao nula λ 1:

Zamislite koordinate točke M za jednako (12):

Oprost (13):

Pitajući npr. λ 2 = 4, izborno λ 1 =−5.

Stavimo vrijednost λ 1 ta λ 2 (12):

Prijedlog:

Primjer 2. Inducirajte poravnanje ravnih greda sa središtem M(4,1):

Riješenje. Uzimamo dvije različite točke, koje ne izbjegavaju točku M: M 1 (2,1), M 2 (-1,3). Poticat ćemo vas da prođete kroz točke Mі M jedan . Normalni vektor n 1 linija pravca je zbog okomitosti na vektor Mі M 1:=(2-4, 1-1)=(-2,0). Tobto. možete li uzeti n 1 = (0,1). Todi izravnanje izravno s normalnim vektorom n 1 proći kroz točku M može izgledati ovako:

Prijedlog:

S poštovanjem, uzimam druge bodove M 1 ta M 2, uzimamo izjednačenje istog snopa ravnih linija, ali s druge dvije prave.

Kažemo prije nas da je stan

ê linearna kombinacija ravnina

koliko je jednako (1) linearna kombinacija jednakih (2) i (3)

Iz istosti (4) vyplivaê, scho svaka točka), scho zadovoljava oba jednako (2) i (3), zadovoljava i jednako (1) - bila to točka na kojoj leže oba stana (2) í (3), laž í stanovi (1) . Drugim riječima:

Ravnina, koja je linearna kombinacija dviju zadanih ravnina, koje se preklapaju (2) i (3), prolazi ravnom crtom tih ravnina. Recimo da i, natrag, bilo da se radi o ravnini (1), prolazi kroz pravac d dviju zadanih ravnina (2) i (3), ili bolju kombinaciju tih ravnina.

Bez posredovanja pospanosti, možemo pretpostaviti da se područje (1) ne preklapa s istim područjem (2) i (3). Dokaz je isti kao i za prave (poglavlje V, §5).

Ponovno ćemo dodijeliti područje koje prolazi kroz pravac d, kao što ćemo označiti kao točku (sl. 122), koja ne leži na pravcu d.

Uzmimo takvu točku na našoj ravnini (1) i zapišimo jednako dvije nepoznanice:

Dakle, što se tiče dodataka, točka ne leži na ravnoj liniji d, ako je samo jedan od lukova u lijevom dijelu linije (5) vidljiv od nule; iz čega se nedvojbeno utvrđuje podobnost (5).

Recite mi sada brojeve koji zadovoljavaju proporcije (6). Isto vrijedi i za jednakost (5), što znači da točka leži na ravnini

Ale tsya područje, koje je linearna kombinacija ravnina (2) í (3), prolazi kroz ravnu liniju d í da pokrije točku , koja leži na ravnini (što znači da površina (1) ide s ravninom (7) i ê linearna kombinacija ravnina (2) í ( 3).

Također, budući da je ravnina (1) prolazila kroz ravnu liniju dviju ravnina (2) i (3), bilo je potrebno i dovoljno, da ravnina (1) bude linearna kombinacija ravnina (2) i (3 ).

Sada usporedite ravnine (2) i (3). Dakle, baš kao u § 5 Poglavlja V, razmatramo da, bilo da je ravnina, da je linearna kombinacija ravnina (2) i (3), ona će biti paralelna i da će, natrag, bila to ravnina ravne, paralelne s dvije (usporedne jedna s drugom) ravnine (2) i (3), ê njihova linearna kombinacija.

Sveukupnost svih ravnina koje prolaze kroz zadanu ravnu liniju d nazivamo mokrim snopom ravnina s vrha, neglatkim snopom ravnina nazivamo ukupnost svih ravnina paralelnih (u širem značenju riječi) jednoj ravnini . Nareshti, zovemo bezličnost svih ravnina, koje su linearne kombinacije dva takva-nebud stana i jednodimenzionalnih različitih ravnina, generiranih od dva njihova elementa i . Donijeli smo, da je hrpa stanova (Vlasny chi unsmooth) u jedan svijet ríznomaníttyam, rođen od svoja dva elementa.

Povratak, svi isti svjetski različiti stanovi (generirani pomoću neke vrste dva stana i 62) - hrpa stanova - vlasny, kao što su stanovi i 62 tonirani, a ne sjajni, kao da je smrad paralelan.

Pri distribuciji XXIII tsikha "Lektsii" stvorit ćemo dizajnersko prostranstvo, dopunivši sjajno prostranstvo nejasno udaljenih (neglatkih) točaka u takvom rangu da konglomerat ovih bezbrojno udaljenih točaka uspostavlja nejasno udaljenu (neglatku) ravninu;

Sve ravno, što leži na ovom stanu, nazvat ćemo i nejasno udaljenim ili nejasnim. Koža je "visoka" (tobto zvichayna) područje prostranstva isprepleteno je s grubim područjem duž grube ravne linije - iza jedne grube ravne linije vlažnog područja. Time se čini da su dva vodena stana jednaka, a tek poneka paralelna, ako smrad preplavi (svojim žarkim) neumoljivo ravnim crtama. Na taj način u projektivnom prostoru postoji razlika između čistih i neglatkih greda ravni: čista greda je lanac ravni, čija je visina jedna od ravnih linija projektivnog prostora.