Grupa O se naziva ciklička, jer su svi elementi stupnjevi jednog te istog elementa.Ovaj element se naziva potvrdna ciklička grupa O. Da li je ciklička grupa očito Abelova.

Ciklička grupa je, na primjer, grupa cijelih brojeva za sabiranje. Qiu grupa mi označena je simbolom 2. í̈ tvirnoy ê broj 1 (í navit broj - 1). Ciklička grupa je također grupa koja se sastoji od samo jednog elementa (single).

U velikoj skupini O rebrima bilo kojeg elementa g postati ciklička podgrupa s čvrstim g. Redoslijed podskupina, zrozumílo, zbígaêtsya s redoslijedom g elementa. Rezultati Lagrangeovog teorema (div. stranica 32) pokazuju da red bilo kojeg elementa grupe treba podijeliti, poredak grupe (odnosno, da su svi elementi konačne grupe elementi konačnog reda).

Tome, za bilo koji element g konačne skupine, poredak može biti jednak

To jednostavno poštovanje često je pogrešno.

Očito, budući da je grupa ciklička i ona se uspostavlja, tada je redoslijed elementa točan. Natrag, kao skupina volodnih elemenata u redu, onda su među stupnjevima ovog elementa različiti, a na taj korak cijela skupina Pro.

Mi bachimo, u takvom rangu, da ciklička grupa može imati dekilku različitih utvoryuyuchih (sama, biti neki element reda ê tvernoy).

Menadžer. Dovesti da je grupa jednostavnog reda ciklička grupa.

Menadžer. Donesite ono što ciklička grupa može narediti, ravnomjerno odobriti, odbrojiti pozitivni brojevi, manji i međusobno jednostavniji s .

Redoslijedu, bilo da se radi o kíntsevíy grupi, možete dodati broj - najmanje značajan višekratnik redoslijeda svih njenih elemenata.

Menadžer. Donijeti, bez obzira na kraj grupe, broj za podjelu redoslijeda grupe.

Očito je da u cikličkoj skupini broj raste redom. Natrag, vzagali naizgled, nije istina. Tim nije manje, može biti otvrdnjavanje, koje karakterizira cikličke grupe u klasi konačnih Abelovih grupa:

krajnja Abelova grupa, za koji je broj napredniji u odnosu na red, ê ciklička grupa.

Dobro, nemojmo

Narudžbe svih vídmínkh víd odiní elementí v kíntseí̈ abelíí̈ í̈ í̈ í̈ O redoslijedu, í nehay - njihove barem zagalne višestruke.

Rastavimo broj dodatnih koraka različitih prostih brojeva:

Neka Oskílki broj ê, u svrhu, najmanji zajednički višekratnik brojeva (1), među brojevima želite imati jedan broj koji dijeli točno na tj. Neka je broj ê redoslijed elementa g. Isti je element u redu (div. sekvenca 1) na strani 29).

U takvom rangu, za bilo koga u grupi Pro ísnuê koji želi koristiti jedan element redom. Vibracija za kožu je jedan takav element, pogledajmo vaše lice. Zgidno z firmzhennyam, dovesti na stranu. 29-30; Oskílki ostatak broja za um je dobar, Tim je sam donio da u grupi postoji element u redoslijedu stavki. Otzhe, ova grupa je ciklička grupa.

Hajde sad O - prilično ciklička grupa s upletenom i H - deak njezina podgrupa. Pitajte je li element podskupine H element Pro grupe, možete ga pogledati, de d - može biti pozitivniji ili negativniji broj (vzagali, sevne je dvosmislen). Možemo pogledati impersonalnost svih pozitivnih brojeva, koji element pripada podskupini N. Oskilki ce impersonalnost nije prazna (zašto?), tada se pokazuje najmanji broj, da li je element h podskupina H korak elementa. Zapravo, argumenta radi, postoji isti broj d, koji (broj može biti negativan). Podijeli (previše) broj d s brojem

Dakle, zbog minimalnog broja viškova krivo je doći do nule. Na takav način,

Tim je sam otkrio da je element čvrsta grupa H, tako da je grupa H ciklička. Otzhe, biti podskupina cikličke skupine cikličke skupine.

Menadžer. Dovedite broj do indeksa podskupine H, a zatim podijelite redoslijed grupe (poput grupe O Kintsev).

S poštovanjem, za bilo koji dilnik, poredak posljednje cikličke grupe Q u grupi Pro je jedna i više od jedne podgrupe H po redu (a sama podgrupa je

Očito je da je endijska ciklička grupa jednostavna, da je poredak prost broj (ili jedinica).

Značajno je da li je faktor (skupina od sada, da li homomorfna slika) cikličke grupe Q ciklička grupa.

Da biste to dokazali, zapamtite da grupa tvirnoi treba služiti klasi pametnih, koja će osvetiti grupu Pro tvirno.

Dakle, da li je faktor grupe cijelih brojeva Z ciklička grupa. Vivchimo tsí tsíchíchíchí grupí príkníshe.

Kako je grupa Z Abelova, onda je li podgrupa Z normalan dilnik. S druge strane, sa stajališta dovođenja više, podskupina H je ciklička skupina. Budući da nam je faktor grupe iza trivijalnih podskupina poznat, onda možemo smatrati da je podskupina H netrivijalna. Neka broj ê zadovoljava podgrupu N. Broj možemo učiniti pozitivnim (zašto?) í, također, većim od jedan.

Podskupina N. formirana je, očito, od svih brojeva koji se dalje dijele na. Zato dva broja još uvijek pripadaju samo jednom razredu zbroja za podskupinu H, ako se razlika podijeli s , onda ako smrad može biti jednak modulu (div. Tečaj, str. 277). U ovom rangu, zbrojevi razreda za podskupinu H nisu ništa drugo, kao klase brojeva, tako da se možete međusobno izjednačiti za modul.

Drugim riječima, faktor grupe grupe Z za podgrupu H je grupa (za sabiranje) klasa brojeva koji su međusobno jednaki za modul . Označit ćemo ovu grupu kroz ë odobravajuću klasu, koja će osvetiti broj 1.

Pojavljuje se da li je ciklička grupa izomorfna ili grupa Z (jer nije ograničena), ili jedna od grupa (jer je poredak skiniran).

Istina, reci mi - ja činim grupu O. Značajno je da izraz grupe 2 u grupi O, međutim

Pogledajmo multiplikativnu grupu sva dva koraka od dva (2Z, ), gdje je 2Z = (2 n | P e Z). Analog grupe aditiva my ê je aditivna grupa cijelih brojeva blizanaca (2Z, +), 2Z = (2n | p e Z). Damo zagalne vyznachennya grupe, okremi stražnjice takvih ê daní grupa.

Termin 1.8. Multiplikativna grupa (G,) (Aditivna skupina (G, +)) naziva se ciklički kako se zbraja iz uzastopnih razina (svih višekratnika) jednog elementa a e G, tobto. G=(A p | p e Z) (podpovídno, G - (pa | p e Z)). Oznaka: (a), čitati: ciklička grupa generirana elementom a.

Pogledajmo ga.

• 1. Kraj multiplikativne cikličke grupe bez skaliranja može biti grupa svih koraka ciklusa fiksnog cijelog broja a F±1, prikazan je dobitak i r. na takav način, i d - (a).
• 2. Ispod multiplikativne terminalne cikličke skupine je skupina C korijen n-ti korak od samog sebe. Pogodi što korijen n-ti korak od jednog do znanja

iza formule e k= cos---hisin^-, de prije = 0, 1, ..., P - 1. Slajd- p str

stvarno, Z „ \u003d (e x) \u003d (e x = 1, e x, ef \u003d e 2, ..., e "-1 \u003d? „_ x). Pogodite što kompleksni brojevi e do, do = 1, ..., P - 1, prikazani su vrhovima jednog kolca, jak P jednake dijelove.

• 3. Karakterističan primjer aditivne neskalirajuće cikličke grupe je aditivna grupa cijelih brojeva Z koja je generirana brojem 1, tj. Z = (1). Geometrijski, pojavljuje se pogledom na cijele točke numeričkog pravca. Zapravo, ovako je prikazana sama multiplikativna grupa 2 7 - = (2) a z \u003d (a), decilni broj a F±1 (div. sl. 1.3). O kvaliteti slika govori se u paragrafu 1.6.
• 4. Vibero u velikoj multiplikativnoj grupi G aktivni element a. Tada svi ciklusi koraka elementa zadovoljavaju cikličku podskupinu (a) = (a p p e ZAGREB.
• 5. Može se pokazati da aditivna skupina racionalnih brojeva Q nije sama po sebi ciklička, već leže li dva elementa u cikličkoj podskupini ili ne.

A. Dokazujemo da aditivna skupina Q nije ciklička. Dopušteno neprihvatljivo: neka je Q = (-). Osnovni ciljni broj b,

ne dijeliti t. Oskílki - eQ = (-) = sn-|neZ>, zatim imenica-

b t/ (t J

ê tsile broj gs 0 so sho - \u003d n 0 -. Ale todi m = n 0 kb,

zvijezde t:- díyshli super-oštrina.

B. Recimo još ta dva racionalni brojevi -

h „ /1

i - preklapanje cikličke podskupine (-), de t nalazim- d t/

manji od velikog višekratnika brojeva bі d. Dobro, nemojmo m-bi

, a 1 /1 h cv 1/1

i m = av, u, v e Z, zatim i - = - = aí̈-e(-)i - = - = cv-e(-).

b b i t t/ a dv t t/

Teorem 1.3. Redoslijed cikličke grupe isti je kao redoslijed roditeljskog elementa grupe, tobto.|(a)| = | a |.

Dovođenje. 1. Hajde | = ">. Znamo da su svi prirodni koraci elementa a drugačiji. Dopušteno neprihvatljivo: hajde ak = tí 0 Todiju t - prije - prirodni brojі a t ~ to = e. Ale tse superechit from that scho | a = ° °. Na taj način, svi prirodni koraci elementa a razní, zvídki vyplivaê neskíchenníst skupina (a). Otzhe, | (a)| = ° ° = | a |.

2. Hajde | a | = n. (a) \u003d (e - a 0, a, a 2,..., a "-1). Iz oznake cikličke skupine, uključivanje (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) s (a). Uključimo ga. Dodatni element cikličke grupe (a) može izgledati a t, de ti Z. Pretjerano dijeljenje rakije: m-nq + r, de 0 p. Oskilki a n = e, zatim a t = a p i + g \u003d a p h? a r = a r e(a 0, a, a 2,..., a "- 1). Zvídsi (a) s (a 0, a, a 2, ..., Ovim redom, (a) \u003d (a 0, a, a 2, ..., a" -jedan).

Potrebno je dovesti da se svi elementi množe (a 0, a, a 2,..., i "-1) različito. Dopušteno neprihvatljivo: neka 0 i P, ale a" = a). Isto vino - e ta 0 j - i - díyshli super-oštrina z umovoy | a | = P. Teorem je dovršen.

Podskupine cikličkih skupina

Dolazi teorem koji definira postojanje podskupine cikličkih grupa.

Teorem 1.4. Podskupina cikličke skupine je ciklička. Yakscho G = (a)uH - nesamostalna podskupina grupe G, moH = (i e) de str - najmanji prirodni broj, kao što je p e N.

Dovođenje. Hajde G = (a) to H- podskupina grupe G. Kao podskupina H samac, dakle H =(f) – ciklička skupina. dođi H- podskupina koja nije sama. Značajno kroz P najmanji prirodni broj, dakle kemijska olovka, i javi nam to H \u003d (a p). Uključenje, Ubrajanje ( a str) h H očito. Uključimo ga. dođi h e H. Oskilki G = (a), onda je to prava predstava prije, pa što h = a do. Podijelimo prije na P previše: prije = nq+ g, od 0 str. g F 0, zatim uzmi h = a do = a pa p h a g, zvijezde a r \u003d a ~ p hN e N. Došao do izvrsnosti s minimalnim zaslonom P. Također, r = 0 i do - nq. Zvídsi h = a k = a p h e a") U ovom rangu, H h ( a n), kasnije, H = (a e). Teorem je dovršen.

Roditeljski elementi cikličke grupe

Od kojih elemenata može nastati ciklička skupina? Postoje dva teoreme koja podupiru ova dva teoreme.

Teorem 1.5. Neka je cikličkoj grupi G = (a) dan nereducirani red. Todi (a) - (a do) tada, i samo tada, ako je do - ± 1.

Dovođenje. dođi G = (a),|a| = ° ° i (a) = (Ak). Todí ísnuê tíla kílkíst P, pa što a = a kp. Odaberi * "-1 \u003d e, i oskolki | a = zatim kp - 1 = 0. Alethodi kp = 1 ich-± 1. Ozbiljnije otvrdnjavanje je očitije.

Teorem 1.6. Zadajmo cikličku grupu G = (a) reda m. gcd(/s, t) = 1.

Dovođenje.(=>) Hajde (a) = (prije), obavijestite nas da je GCD(/s, t) - 1. Značajno SNDC-ovi, t) – d. Oskilki a e (a) - (a do), zatim a = a kp sa sadašnjom cjelinom P. Za točan redoslijed elemenata, zvijezde pjevaju, scho (1 - kp) : t, tobto. jedan - kp = mt za pravi cijeli broj t. Ale todi 1 = (kp + mt) : d, zvijezde d = 1 í GCD(/s, t)= 1.

(Idemo NID (k, t) = 1. Da znamo što (a) = (Ak). Obavijest (prije) h (a) je očigledan. Natrag, imajte na umu GCD br., t) = 1 sljedećih brojeva і i v, takav ki + mv= 1. Koristuyuchis tim sho | a | - t, prihvatljiv a = a ku + mv = a ku a mv = a kí e (a do). Otzhe, (a) = (a do). Teorem je dovršen.

Pogodi što Eulerova funkcija f(t) označava broj prirodnih brojeva, koji ne mijenja prirodni broj t a međusobno jednostavni t. Zvuči kao opsesivna posljedica.

Posljedica. Ciklička grupa (a) narudžba t maê f(t) različitih elemenata koji se generiraju.

Za zadanu geometrijsku točnost teorema 1.5 predstavljamo cikličku grupu G = (a) narudžba t točke udjela A 0, A b ..., A t _ b podijeliti ga na t jednake dijelove. element a do zadane skupine koje pokazuju bodove I prijeće generirati neke i samo neke, ako su, sukcesivno, točke A 0, Ak, A 2k itd., doći ćemo do točke A]. Da znamo sve prije na t= 10 nabrojimo samo vipadkív (sl. 1.5). Kao rezultat toga, uzimamo prije =1,3, 7, 9. Za cikličku grupu (a) to znači da (a) \u003d (a 3) \u003d (a 7) \u003d (a 9). natrag: znati prije, međusobno prosti s istim brojem t, možete ljubazno vikreslyuvaty vodpovidnu "zirochka", čvrsto znajući da rano chi pizno gutljaj na točki kože, više (a) = ( a do).

dođi G– grupirati taj element a G. Redoslijed elementa a (označen s ׀a׀) naziva se najmanji prirodni broj nN, što

a n = a . . . . a =1.

Ako takav broj nije poznat, onda se čini da a- Element nedosljednog reda.

Lema 6.2. Yakscho a k= 1, tada k podijeliti prema redoslijedu elemenata a.

Ugovoreni sastanak. dođi G- ta grupa a G. Todi bezlich

H = (ak ׀ k }

ê podgrupa grupe G, kako se naziva ciklička podgrupa generirana elementom a (označeno s H =< а >).

Lema 6.3. Ciklička podskupina H, generiran elementom a narudžba n, redoslijed krajnje grupe n, štoviše

H = (1 = a 0, a, ..., a n-1).

Lema 6.4. dođi a- Element nedosljednog reda. Ista ciklička podskupina H = <a> - bez kože i bilo kojeg elementa H prijavite se na licu mjesta a k , prijeZ, štoviše, u jednom rangu.

Grupa se zove ciklički yakscho je osvojio zbígaêtsya z odníêyu zíh svoí̈kh tsíchnyh podgrupa.

guza 1. Grupa aditiva Z svih cijelih brojeva je beskonačna ciklička grupa generirana elementom 1.

guza 2. Bezlični korijeni n-ti korak od 1. cikličkog grupnog reda n.

Teorem 6.2. Je li podskupina cikličke grupe ciklička.

Teorem 6.3. Je li beskonačno ciklička grupa izomorfna aditivnoj grupi cijelih brojeva Z. Bilo da se radi o kíntseva cikličkom sustavu n izomorfna skupini svih korijena n- korak od 1.

Normalna podskupina. faktor grupe.

Lema 6.5. dođi H- Podskupina grupe G, na temelju svih lijevih zbrojnih klasa u isto vrijeme ê i desnih sum_ klasa. Todi

aH=Ha, a G.

Ugovoreni sastanak. Podskupina H grupnjak G nazvao normalnim u G(navedeno HG), jer su svi i lijevo summízhní classi desni, dakle

aH=Ha, aG.

Teorema 6.4. dođi H
G, G/N– bezličan od svih sumativnih klasa grupe G po podskupini H. Kako umnožiti G/N operacija množenja

(aH)(bH) = (ab)H,

zatim G/N postaje grupa, budući da se faktor naziva grupna grupa G po podskupini H.

Grupni homomorfizam

Ugovoreni sastanak. dođi G 1 i G 2 - grupe. Todi fermentacija f: G 1
G 2 naziva se homomorfizam G 1 in G 2, kao

F(ab) = f(a)f(b) , a,b G 1 .

Lema 6.6. dođi f– grupni homomorfizam G 1 grupi G 2. Todi:

1) f(1) - pojedinačna skupina G 2 ;

2) f(a -1) = f(a) -1 ,aG 1 ;

3) f(G 1) - podskupina grupe G 2 ;

Ugovoreni sastanak. dođi f– grupni homomorfizam G 1 grupi G 2. Todi bezlich

kerf = {aG 1 ׀f(a) = 1G 2 }

naziva se jezgrom homomorfizma f .

Teorem 6.5. kovaj f
G.

Teorem 6.6. Budite normalna podskupina grupe Gê srž svakog homomorfizma.

Kiltsya

Ugovoreni sastanak. Prazan bez lica Prije nazvao kíltsem, kao i na novom, dodijeljene su dvije binarne operacije, kako se zovu zbrajanje i množenje i zadovoljavaju napredne umove:

Prije- Abelova grupa za daljnje djelovanje;

množina asocijativ;

vikonuyutsya zakoni distributivnosti

x(y+z) = xy+xz;

(x+y)z = xz+yz, x,y,zK.

kundak 1. Bezlich Qі R- Kiltsya.

Kíltse se zove komutativni, Kao

xy=yx, x,yK.

guza 2. (Porivnyannia). dođi m- fiksni prirodni broj, aі b- Dovílní tsílí broj. Isti broj a uskladio s brojem b iza modula m kao maloprodaja a – b podijeliti na m(napisano: ab(mod m)).

Ocjena jednaka postavci ekvivalencije na bezličnom Z, što se lomi Z na klasi, yakí poziv klase vídrahuvan za modul m i označavaju Z m. Bezlich Z mê komutativni prsten s jedinicom.

polja

Ugovoreni sastanak. Polje se zove prazno, bezlično R, Da ne osvetim 2 elementa, s dvije binarne operacije presavijanja i množenja tako da:

guza 1. Bezlich Qі R neograničena polja.

guza 2. Bezlich Z r- Kíntseve polje.

Dva elementa aі b polja R vídminní víd 0 nazivaju se dileri nule, poput ab = 0.

Lema 6.7. Polje nema broj nula.

Neka je g dodatni element grupe G. Todi koji prihvaća minimalnu podgrupu
, generiran jednim elementom
.

Ugovoreni sastanak. Minimalna podskupina
, generiran jednim elementom g grupe G, naziva se ciklička podskupina skupina G.

Ugovoreni sastanak. Kao što je cijela grupa G rođena iz jednog elementa, tj.
, onda se zove ciklička grupa.

dođi element multiplikativne grupe G, ista minimalna podgrupa, generirana ovim elementom, formirana je iz elementa na umu

Pogledajmo korak elementa , onda. elementi

.

Dvije mogućnosti:

1. Usí korak element g razní, tobto.

, onda ovdje da kažem da se element g ne može reducirati po redu.

2. Ê zbígi korake, tobto. , pivo
.

Í ovdje je element g konačni poredak.

Dobro, reci mi npr.
і
todi,
, onda. uspostaviti pozitivne korake
element
, jednako jednom elementu.

Neka d - najmanje pozitivan pokazatelj razine elementa , za koji
. Tada se čini da element
Svibanj zadnja narudžba, jednako d.

Visnovok. Imati neku vrstu grupe G posljednjeg reda (
) svi će elementi biti u konačnom redoslijedu.

Neka je g element multiplikativne grupe G, ili multiplikativne podgrupe
se zbraja iz svih različitih koraka g elementa. Otzhe, broj elemenata u podskupini
zbigaêtsya s redoslijedom elementa tobto.

broj elemenata u grupi
ispraviti redoslijed elementa ,

.

S druge strane, može biti ista tvrdoća.

Čvrstoća. Narudžba bez obzira na element
do reda minimalne podskupine koju generira ovaj element
.

Dovođenje. 1.Yakscho - Element konačnog poretka , onda

2. Yakscho - Element nekonzistentnog reda, onda ne donosi ništa.

Yakscho element može naručiti , zatim, u svrhu, svi elementi

drugačiji i biti korak zbígaêtsya s jednim od ovih elemenata.

Istina, neka razmetljiv korak
, onda. - dovoljan broj i ne idi
. Isti broj može se vidjeti na prvi pogled
, de
,
. Todí, vikoristuuuuuuuuuuuu nivo snage elementa g,

.

Zokrema, jako.

kundak. dođi
- Abelova grupa cijelih brojeva je aditivna. Grupa G je formirana od minimalne podgrupe, generirane jednim od elemenata 1 ili –1:

,

otzhe,
- Bezkínechna tsiklíchna grupa.

Cikličke grupe konačnog reda

Kao primjer cikličke grupe konačnog reda, jasno je skupina omatanja ispravnog n-kutnik shodo yogo u središte
.

Groupi elementi

ê okrenuti n-kutnik protiv godinnikove strijele na kuti.

Groupi elementi
є

,

a iz geometrijskog zrcaljenja jasno je da

.

skupina
osvetiti se elementima, tobto.
, već zadovoljavajući element grupe
є , onda.

.

dođi
todi (div. sl. 1)

Riža. jedan – skupina - omot ispravnog trikutnika ABC shodo u središte O.

Algebarska operacija  u grupi - Zadnje omatanje protiv godišnje strelice, na kutu, višestruko , onda.

Zvorotny element
- omatanje iza strelice godine na kutu 1, tobto.

.

Tablica Kechi

Analiza kíntsevyh grupa najvjerojatnije će se koristiti unaprijed za dodatne tablice Keli, kao i za uvođenje "tablice množenja".

Neka se grupa G osveti elementima n.

Po mom mišljenju, stol Keli ê kvadratna matrica ima n redova i n redova.

Redu skina i sloju skina, jedan ili više od jednog elementa grupe.

element tablica Kelí, scho da stoji na mrežnici i-tog retka i j-tog stupca, do rezultata operacije "množenja" i-tog elementa s j-tim elementom grupe.

kundak. Neka grupa G osveti tri elementa (g1, g2, g3). Operacija u skupini "množenje". U ovom trenutku, tablica Keli može izgledati:

Poštovanje. U redu kože i stupcu kože tablice Keli nalaze se svi elementi grupe i nema smrada. Tablica Keli za zamjenu svih podataka o grupi. Što možete reći o snazi ​​ove grupe?

1. Jedini element ove grupe je g1.

2. Grupa je abelska jer stol je simetričan duž glavne dijagonale.

3. Za skin element grupe potrebno je

za g 1 omotaj ê element g 1 za g 2 element g 3 .

Idemo po grupama Tablice ćelija.

Za značaj ključnog elementa za element, na primjer, , potrebno za red, za određeni element znati stovpets element osvete . element vidpovídny dan stovptsyu i ê vorotnym elementu , jer
.

Kao što je Keli tablica simetrična poput dijagonale glave, tse to znači

- Tobto. operacija analizirane grupe je komutativna. Rasprave radi, Keli tablica je simetrična iako dijagonala glave znači da operacija u komutativno, tj.
,

grupa - Abelova.

Možete vidjeti cijelu skupinu transformacija simetrije ispravnog n - kosinusa dodavši operaciji omotavanje dodatne operacije prostranog okretanja oko osi simetrije.

Za trikutnik
, i grupa osvetiti šest elemenata

de
Tse okrenuti (div. sl. 2) na desnu visinu, medijan, bisekciju i može izgledati:

;

,

,
.

Riža. 2.– Grupa - Promjena simetrije pravilnog trikoa ABC.