2. tapa integraatio

Tarkastellaan 2. tyyppistä kaarevaa integraalia, jossa L on käyrä, joka yhdistää pisteet M ja N. Olkoon funktioiden P(x, y) ja Q(x, y) käyrä L. Merkittävää on, että joissakin analyyseissä käyrän integraalia ei voida tallettaa käyrän L muotoon, vain pisteitä M ja N laajennetaan.

Piirrämme kaksi lisäkäyrää MSN ja MTN, jotka sijaitsevat etäisyydellä D ja yhdistävät pisteet M ja N (kuva 14).

Sanotaanpa mitä, tobto

de L - suljettu silmukka, taitto MSN- ja NTM-käyristä (myös voidaan lisätä). Tällä tavalla 2. tyypin kaarevan integraalin riippumattomuuden mieli integrointitavassa on yhtä suuri kuin mieli, että sellainen integraali minkä tahansa suljetun silmukan takana on yhtä suuri kuin nolla.

Lause 5 (Greenin lause). Anna reaalialueen D kaikkiin pisteisiin funktiot P(x, y) ja Q(x, y) sekä niiden yksityiset siirtymät. Sitten, jotta suljettu ääriviiva L, joka sijaitsee alueella D, olisi

välttämätön ja riittävä alueen D kaikille pisteille.

Tuominen.

1) Hyvinvointi: anna mielesi mennä = vikonano. Katsotaan alueen D suljempaa ääriviivaa L, joka ympäröi aluetta S, ja kirjoitetaan vihreän kaava uudelle:

Otzhe, riittävyys toi.

2) Välttämättömyys: oletetaan, että mieli on kirjoitettu alueen D ihopisteeseen, mutta jos haluat löytää yhden pisteen alueen keskeltä, missä -? 0. No vaikkapa pisteessä P(x0, y0) ehkä: - > 0. Joten, koska hermostuneisuuden vasemmalla puolella on keskeytymätön toiminta, niin onko se positiivinen ja suurempi päiväksi? > 0 deakіy pienellä alueella D`, kostaaksesi pisteen P. Otzhe,

Greenin kaavan huomioon ottaminen on välttämätöntä

de L` - ääriviiva, joka ympäröi aluetta D`. Tsey tuloksena superchit mieli. Myös = kaikissa pisteissä alueella D, joka oli tarpeen tuoda.

Kunnioitus 1. Samoin trivi-maailmalliseen avaruuteen voidaan tuoda tarpeelliset ja riittävät mielet kaarevan integraalin riippumattomuudesta

integraation suuntaan є:

Huomautus 2. Kun vykonannі mieleen (52) viraz Pdx + Qdy + Rdz є ylätaso todellinen toiminto. Tämän avulla voit laskea kaarevan integraalin laskennan määritettyyn eroarvoon asti ja integroinnin ääriviivan loppu- ja maissipisteissä, skaalaus

Mille funktiolle i voidaan tietää kaavasta

de (x0, y0, z0) - alueen D piste ja C - on tullut tarpeeksi. On todellakin helppo hämmentää, että kaavan (53) antamat yksityiset funktiot ovat yhtä suuria kuin P, Q ja R.

peppu 10.

Laske 2. tyypin kaareva integraali

täyskäyrää pitkin, joka yhdistää pisteet (1, 1, 1) ja (2, 3, 4).

Jatketaan, mitä viconit ajattelevat (52):

Otzhe, toiminto on olemassa. Tunnemme її kaavan (53) takana asettamalla x0 = y0 = z0 = 0. Sitten

Tässä listalla toiminto ja määritetään tarkkuudella riittävän lähettämisen dodanku. Oletetaan, että Z = 0, sitten u = xyz. Otzhe,

Katsotaan kaarevaa integraalia

ottaa jälkeen deak tasainen käyrä L, joka yhdistää pisteet Mі N. Oletetaan, että funktiot P(x, y)і Q(x, y) voi olla keskeytymätöntä yksityislomaa alueella, jonka näet D. Tietenkin sellaisille kirjoittamismielille kaareva integraali ei voi olla käyrän muodossa L, ja tallentaa vain tähkän ja päätepisteen kohtaan Mі N.

Katsotaanpa vielä kahta käyrää MPNі MQN, joka sijaitsee lähellä avointa aluetta D ja liitoskohdat Mі N. Älä viitsi

(1)

Tällöin potenssien 1 ja 4 perusteella kaarevat integraalit voivat olla:

tobto. suljetun silmukan integraali L

Kaavan loppuosassa suljetun ääriviivan ottojen käyräviivainen integraali L taitettuna käyristä MPNі NQM. Tsey ääriviivat L voit tietysti, vvazhati dovilnym.

Tässä luokassa, muista:

joten kahdelle pisteelle M ja N kaareva integraali ei ole käyrän muodossa, vaan vain käyrän muodossa, vaan on vain näiden pisteiden sijainnissa, seuraavaksi, mitä kaareva integraali minkä tahansa suljetun ääriviivan takana on nolla .

Reilu ja paha visnovok:

jos kaareva integraali minkä tahansa suljetun silmukan takana on nolla, tämä kaareva integraali ei voi olla käyrän muodossa, joka on kahden pisteen välissä, ja makaa vain tsikhin leireillä piste . Se on totta, scho of equivalence (2) ylenpalttinen vastaavuus (1)

Lause

Olkoon funktioita P(x, y), Q(x, y) käytössä kaikissa deakon alueen D pisteissä kerralla omalla yksityisellä ja keskeytyksettä. Sitten, jotta huoneen keskellä sijaitsevan suljetun silmukan L takana on kaareva integraali, joka saavuttaa nollan. shob

(2΄)

välttämätön ja riittävä vikonannya vastaavuus

kaikissa D-alueen pisteissä.

Tuominen

Katsotaanpa tarkemmin suljettua piiriä L alueella D ja uudelle kirjoitamme Greenin kaavan:

Jos mieli voittaa (3), niin aliarvioitu integraali, joka maksaa pahaa, on myös yhtä suuri kuin nolla i, niin,

sellaisella tavalla, riittävyys pesu (3) tuotu.

Tuodaan se nyt välttämättömyys mieli, tobto. on mahdollista, että tasaisuus (2) voittaa minkä tahansa suljetun käyrän L alueella D, silloin alueen ihopisteessä mieli on voittaja (3).

Toisaalta on hyväksyttävää, että mustasukkaisuus (2) voittaa, tobto.

ja Umov (3) ei voita, tobto.

kuuma bi yhdessä pisteessä. No, esimerkiksi laulukohta voi olla hermostunut

Koska hermostuneisuuden vasemmalla osalla on keskeytymätön toiminta, se on positiivista ja yli tietyn määrän kaikissa kohdissa saavuttaa pieni alue kostaakseen pisteen. Vіzmemo podvіyny іntegra іy іy galluzі vіd raznitsi. Vin matimella on positiivinen merkitys. Totta,

Vihreän kaavan takana vasen osa muusta epätasaisuudesta on lähempänä alueiden välistä kaarevaa integraalia, joka on päästöoikeuksien takana lähempänä nollaa. Otzhe, ostannya nerіvnіst supercheat mielet (2), otzhe, pripuschennya, scho on vіdminu vіd nolla, joka haluaa olla jossain vaiheessa, ei niin. Kuulostaa huutavalta, mitä

kaikissa kohdissa D.

Otzhe, lause on taas valmis.

Erotusarvoisten häiden hetkellä se tuotiin mieleen

vastaa sitä tosiasiaa, että viraz pdx + Qdyє nykyisen toiminnon viimeisin ero u(x, y), sitten.

Ale tsomu vipadku-vektorissa

є gradienttitoiminto u(x, y);

Toiminto u(x, y), gradientti on samanlainen kuin vektori potentiaalia mikä vektori.

Kerro se meille jolla on kaareva integraali Minkä tahansa pisteet M ja N yhdistävän käyrän L takana funktion i arvojen ero näissä pisteissä:

Tuominen

Yakscho Рdx + Qdyє toiminnon yläero u(x, y), niin katson kaarevaa integraalia

Tämän integraalin laskemista varten kirjoitetaan käyrän parametrinen kohdistus L, joka yhdistää pisteet Mі N:

Viraz, mitä seistä temppeleissä, toimi t, joka on täysin samanlainen toiminto mukaan t. Tom

Yak mi bachimo, kaareva integraali jatkuvan differentiaalin muodossa ei voi olla käyrän muodossa, jota varten integrointi on välttämätöntä.

Tällä tavalla:

muista toisen tyyppisten kaarevien integraalien riippumattomuus muodosta integraatiotapa seuraavasti:

Yakshcho in deakіy galuzі P(x, y)і Q(x, y) keskeytyksettä yhdessä oman i:n kanssa, sitten:

1. alueella D älä valehtele muodossa integraatiotapoja, yakscho yogo tarkoittaa shmatkovo-sileän käyrän takana, scho makaamaan tsіy galuzі ja äiti zagalny cob і zagalny kіnets kuitenkin.

2. integraali uzdovzh be-kuin suljettu käyrä L, joka sijaitsee alueella D on yhtä suuri kuin nolla.

3. Päätoiminto u(x, y), yakoї virazille pdx+qdyІsnuє povny differentiaali siis.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

5

alueen ihopisteessä D.

Integraalin laskemiseen, jotta se ei putoa integroinnin ääriviivaan

valitse seuraavaksi lamaanin integraatiopoluksi, että yhdyspisteet ja lankat ovat yhdensuuntaiset akselien Ox ja Oy kanssa.

Pidintegral Viraz P(x, y)dx + Q(x, y)dy mielen nimittämistä varten ylätaso näyttelevät toiminnot u = u(x, y) tobto.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

toiminto u(x, y)(alkuperäinen) osaat laskea yleisimmän kaarevan integraalin lamanialla de - oli se sitten kiinteä piste, B(x, y) – muuttuva kohta, ja piste on maksimikoordinaatti X että . Todi vzdovzh maєmo that dy = 0, ja vzdovzh maєmo x = vakioі dx = 0.

Otetaan tämä kaava:

Samoin integroimalla lamanoy de otrimaemo

Käytä

1. Laskea

Tämä integraali tulisi sijoittaa integrointiääriviivaa pitkin, koska

Valitsemme tavan integroida laman, suorat ovat yhdensuuntaisia ​​koordinaattiakseleiden kanssa. Ensimmäisessä haarassa:

Toisessa paikassa:

Otzhe,

2. Tiedä ensin u, Kuten

Tule ja muotoile Ennen ja lamana OMN. Todi

3. Tiedä, yakscho

Tässä on mahdotonta ottaa koordinaattien tähkäpistettä, koska tässä toimintapisteessä P(x, y)і Q(x, y) ei ole osoitettu, sitä varten otamme sen esimerkiksi pisteenä. Todi

4. Tunne alue, jota ympäröivät elіps

HOW-alueella rypytetty ja suljetulla viivalla C ympäröimän kuvan pinta-ala lasketaan kaavan mukaan

,

de muoto Z ohitetaan positiivisessa suunnassa.

Tehdään kaareva integra kappaleeksi, mikä luo muutosta

Parametri t siirtää arvot 0:sta 2:een?

Sellainen arvosana

3. Korkein kaareva integraali kaaren pituudella L yakscho L– kukkakaalin sykloidi

TEHTÄVÄT TEEMASSA ”KÄYRITYS INTEGRAALI”

Vaihtoehto 1

De L on XOY-tasossa olevien pisteiden A(0;-2) ja B(4;0) suoran kolmio.

vzdovzh lamanoї L:OAB, de O(0,0), A(2,0), B(4,5). Ohita vuosiluvun vastaisen nuolen ääriviivat.

Koordinaattien takana, koska L on ellipsin kaari, joka sijaitsee ensimmäisessä neljänneksessä.

De L on kolmion ääriviiva, jonka kärjet ovat A(1,1), B(2,2), C(1,3). Ohita vuosiluvun vastaisen nuolen ääriviivat.

ja osaa joogaa.

7. Voimakentän muodostaa voima F(x, y), joka mahdollistaa useamman pisteen kiinnittämisen koordinaattitähkään ja suoraan koordinaattitähkään. Tietääksesi robotille kentän voimakkuuden, sovellettuna yksittäisen massan materiaalipisteen siirtymiseen paraabelin kaarella y2 = 8x pisteestä (2; 4) pisteeseen (4; 4).

Vaihtoehto 2

1. Laske kaaren reunan kaareva integraali (Carteesiset koordinaatit).

De L on suoran pisteen supistuminen, joka yhdistää O (0; 0) ja A (1; 2).

2. Laske kaareva integraali jossa L on parabolinen kaari pisteestä A(-1;1) pisteeseen B(1,1). Ohita vuosiluvun vastaisen nuolen ääriviivat.

3. Laske kaareva integraali yakscho L - kaari pylväs mitä on 1 ja 2 ruudussa. Ohita vuoden nuolen takana oleva ääriviiva.

4. Zastosovuyuchi Greenin kaava, laske integraali, de L - ääriviiva, linjan ja vastakkaisen akselin OX ratkaisut ohittaessaan anti-Godinnikov-nuolen ääriviivat.

5. Selvitä, kuinka integraalin mielen riippumattomuus lasketaan integraalin integroinnin suunnassa ja osaa joogaa.

6. Käy uudelleen, chi є tehtäviä funktion U(x, y) uudella differentiaalilla ja tiedä її.

7. Voimakentän ihopisteessä voima voi olla suoraan negatiivinen ja yhtä suuri kuin ohjelmapisteen abskissan neliö. Tietää robotin kentän siirrettäessä yksittäistä parabolista massaa pisteestä (1,0) pisteeseen (0,1).

Vaihtoehto 3

1. Laske kaaren reunan kaareva integraali (Carteesiset koordinaatit).

1. de L - paraabelin kaari näkyy paraabelilla.

2. Laske kaareva integraali yakscho L-lanka on suora viiva, joka yhdistää pisteet A(0,1), B(2,3). Ohita vuosiluvun vastaisen nuolen ääriviivat.

3. Laske kaareva integraali, koska L on sykloidin ensimmäisen kaaren kaari. Ohita vuoden nuolen takana oleva ääriviiva.

4. Zastosovuyuchi Greenin kaava, laske integraali de L – elіps Obkhіd ääriviivat anti-godinnikovin nuolen.

5. Selvitä, kuinka integraalin mielen riippumattomuus lasketaan integraalin integroinnin suunnassa ja osaa joogaa.

6. Käy uudelleen, chi є tehtäviä funktion U(x, y) uudella differentiaalilla ja tiedä її.

7. Laske robotin voimakkuus ja ellipsin ylemmän puoliskon materiaalipisteen liiketunnit pisteestä A (a, 0), pisteestä B (-a, 0).

Vaihtoehto 4.

1. Laske kaaren reunan kaareva integraali (Carteesiset koordinaatit).

1. de L - neliön ääriviivat

2. Laske kaareva integraali jossa L on pisteen А(0,0) paraabelin kaari pisteeseen (1,1). Ohita vuosiluvun vastaisen nuolen ääriviivat.

3. Laske kaareva integraali yakscho L - ellipsin ylempi puolisko Ohita vuoden nuolen takana oleva ääriviiva.

4. Laske Vihreän kaavan avulla integraali de L - kolmion ääriviivat, joiden kärjet ovat A (1; 0), B (1; 1), C (0,1). Ohita vuosiluvun vastaisen nuolen ääriviivat.

6. Käy uudelleen, chi є tehtäviä funktion U(x, y) uudella differentiaalilla ja tiedä її.

7. Voima kohdistetaan paalun ihopisteeseen projektioiden koordinaattiakselilla є Anna robotille voima tunnille, jolloin materiaalipiste siirretään paalua pitkin. Miksi robotti maksaa nolla?

Vaihtoehto 5.

1. Laske kaaren reunan kaareva integraali (Carteesiset koordinaatit).

De L - suora viiva, joka yhdistää pisteet 0 (0.0), і A (4; 2)

2. Laske kaareva integraali, koska L on kaarevan pisteen kaari, joka kulkee pisteestä A(0.1) pisteeseen B (-1,e). Ohita vuosiluvun vastaisen nuolen ääriviivat.

3. Laske kaareva integraali muodossa L - 1 neljännes panosta Ohita vuoden nuolen takana oleva ääriviiva.

4. Zastosovuyuchi Greenin kaava, laske integraali de L - ääriviiva, ympäristö ja vastakkaisen nuolen ääriviivan ohittaminen.

5. Selvitä, kuinka integraalin mielen riippumattomuus lasketaan integraalin integroinnin suunnassa ja osaa joogaa.

6. Käy uudelleen, chi є tehtäviä funktion U(x, y) uudella differentiaalilla ja tiedä її.

7. Kenttä luodaan voimalla // = suora tapa asettaa leikkaus suoran säteen - pisteen vektori її zastosuvannya. Tietää robotin kenttä, kun materiaalipiste, jonka massa on m, siirretään paalun kaaren taakse pisteestä (a, 0) pisteeseen (0, a).

Vaihtoehto 6

1. Laske kaaren reunan kaareva integraali (Carteesiset koordinaatit).

De L - neljännes panoksesta, joka sijaitsee I-kvadrantissa.

2. Laske kaareva integraali yakcho L - laman ABC, A (1; 2), B (1; 5), C (3; 5). Ohita vuosiluvun vastaisen nuolen ääriviivat.

3. Laske kaareva integraali, koska L on panoksen ylempi puolisko Ohita vuoden nuolen takana oleva ääriviiva.

4. Zastosovuyuchi Greenin kaava, laske integraali de L - ääriviiva, ympäristö ohittaen anti-godinnikovin nuolen ääriviivat.

5. Selvitä, kuinka integraalin mielen riippumattomuus lasketaan integraalin integroinnin suunnassa ja osaa joogaa.

6. Käy uudelleen, chi є tehtäviä funktion U(x, y) uudella differentiaalilla ja tiedä її.

7. Tunne jousivoiman työ, suoraan koordinaattien tähkälle, koska voiman pysähtymispiste kuvaa ellipsin vuosinuolineljännestä mitä I-kvadrantissa on. Voiman suuruus on verrannollinen pisteen etäisyyteen koordinaattien tähkään.

Vaihtoehto 7.

1. Laske kaaren reunan kaareva integraali (Carteesiset koordinaatit).

De L - paraabelin osa pisteestä (1, 1/4) pisteeseen (2; 1).

2. Laske kaareva integraali de L - suoran kärkipiste, joka yhdistää pisteet B (1; 2) ja B (2; 4). Ohita vuosiluvun vastaisen nuolen ääriviivat.

3. Laske kaareva integraali muodossa L - sykloidin ensimmäinen kaari vuosikäteen takana olevan ääriviivan mukaan.

5. Selvitä, kuinka integraalin mielen riippumattomuus lasketaan integraalin integroinnin suunnassa ja osaa joogaa.

6. Käy uudelleen, chi є tehtäviä funktion U(x, y) uudella differentiaalilla ja tiedä її.

7. Yhden massan aineellinen piste liikkuu paalua pitkin voiman suunnassa, jonka projektiot ovat koordinaattiakselilla є . Lisää voimaa ihon tähkälle. Tunne ääriviivan työ.

Vaihtoehto 8.

1. Laske kaaren reunan kaareva integraali (Carteesiset koordinaatit).

De L - suorakulmion ääriviiva, jonka kärjet ovat pisteissä 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2).

2. Laske kaareva integraali, esimerkiksi L on paraabelin kaari pisteestä A (0; 0) pisteeseen B (1; 2). Ohita vuosiluvun vastaisen nuolen ääriviivat.

3. Laske kaareva integraali yakscho L - osa panosta 1. Ohita vuosinuolen takana oleva ääriviiva.

4. Zastosovuyuchi Greenin kaava, laske integraali de L - trikoan ääriviivat, joiden kärjet ovat A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1). Ohita vuosiluvun vastaisen nuolen ääriviivat.

5. Asenna, chi vykonuetsya mielen riippumattomuus integraali tapa integraatio integraali ja tietää jooga.

6. Käy uudelleen, chi є tehtäviä funktion U(x, y) uudella differentiaalilla ja tiedä її.

7. Materiaalipiste liikkuu ellipsin mukana pіd dієyu voima, jonka arvo on kallein piste ellipsin keskustaan ​​ja on suoristettu ellipsin keskustaan. Laske robotin voimakkuus pisteenä ohittaaksesi kaikki elipit.

Vaihtoehto 9.

1. Laske kaaren reunan kaareva integraali (Carteesiset koordinaatit).

De L - paraabelin kaari, joka sijaitsee pisteiden välissä

A, (2;2).

2. Laske kaareva integraali jossa L on pisteet A (5; 0) ja B (0,5) yhdistävän suoran supistus. Ohita vuosiluvun vastaisen nuolen ääriviivat.

3. Laske kaareva integraali, kuten L - pisteiden välinen ellipsin kaari, joka näyttää ääriviivan kehän vuosinuolen takana.

4. Zastosovuyuchi Greenin kaava, laske integraali de L - laskurin nuolen ääriviivan ympäri.

5. Selvitä, kuinka integraalin mielen riippumattomuus lasketaan integraalin integroinnin suunnassa ja osaa joogaa.

6. Käy uudelleen, chi є tehtäviä funktion U(x, y) uudella differentiaalilla ja tiedä її.

7. Käyrän ihopisteeseen kohdistetaan voima, jonka koordinaattiakseleiden projektiot osoittavat voiman työn, kun yksittäisen massan materiaalipistettä siirretään käyrää pitkin pisteestä M (-4; 0) pisteeseen N (0; 2).

Vaihtoehto 10.

1. Laske kaaren reunan kaareva integraali (Carteesiset koordinaatit).

De L - suora viiva, joka yhdistää pisteitä A

2. Laske kaareva integraali, esimerkiksi L on käyrän kaari pisteestä A(1;0) pisteeseen B(e,5). Ohita vuosiluvun vastaisen nuolen ääriviivat.

3. Laske kaareva integraali, koska L on panoksen kaari mikä on 1U neliössä. Ohita vuoden nuolen takana oleva ääriviiva.

4. Laske Vihreän kaavan avulla integraali de L - kolmion ääriviivat, joiden kärjet ovat A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2). Ohita vuosiluvun vastaisen nuolen ääriviivat.

5. Selvitä, kuinka integraalin mielen riippumattomuus lasketaan integraalin integroinnin suunnassa ja osaa joogaa.

6. Käy uudelleen, chi є tehtäviä funktion U(x, y) uudella differentiaalilla ja tiedä її.

7. Viivan ihopisteeseen kohdistetaan voima, jonka projektiot ovat koordinaattiakseleilla. Laske robotti, johon voima vaikuttaa, kun materiaalipiste siirretään viivaa pitkin kohdasta M (1; 0) pisteeseen N (0; 3).

Luento 4

Aihe: Greenin kaava. Puhdista kaarevan integraalin riippumattomuus integroinnissa.

Vihreän kaava.

Greenin kaava muodostaa yhteyden tasossa suljetun ääriviivan Г kaarevan integraalin ja ääriviivan ympäröimän alueen alemman integraalin välille.

Suljetun ääriviivan kaareva integraali Г on merkitty symbolilla Suljettu muoto Г alkaa ääriviivan pääpisteestä ja päättyy pisteeseen B. Suljetun ääriviivan integraali ei ole, jos piste B valitaan.

Tapaaminen 1. Muotin G ohitusta pidetään positiivisena, koska ääriviivaa G ohitettaessa alue D muuttuu vasenkätiseksi. P + - piiri P ohittaa positiivisen suunnan, P - - piiri ohittaa negatiivisen suunnan. vastakkaiseen suuntaan

G+

X

Y

c

d

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

a

b

B

C

Y=y 2 (x)

Y= y 1 (x)

m

n

Katsotaanpa alla olevaa integraalia

.

Samoin voidaan väittää, että:

Yhtälöistä (1) ja (2) tarvitaan:

Otzhe,

Greenin murskattujen laiminlyöntien kaava on valmis.

Kunnioitus 1. Greenin kaava pysyy oikeudenmukaisena, kuten G-alueen D ja todellisten suorien välillä, yhdensuuntainen akselin kanssa 0X tai 0Y siirtyy alemmas kahdessa pisteessä. Krim ts'ogo, Greenin kaava pätee n-tähden alueille.

Pese kaarevan integraalin riippumattomuus integraationa tasossa.

Tässä kappaleessa on helppo ymmärtää, esimerkiksi vikoneissa kaarevan integraalin on pudottava integroinnin suuntaan ja putoaa integroinnin tähkän ja päätepisteiden muodossa.

Lause 1. Jotta saataisiin käyräviivainen integraali olematta yhden linkin alueella integraation polulla, se on välttämätöntä ja riittävää, jotta integraali, joka ottaa tämän alueen suljetun, hyvin tasaisen ääriviivan, saavuttaa nollan.

Todiste: välttämättömyys. Se annetaan: tallettaa yhdentymisen suuntaan. On tarpeen tuoda, että suljetun, sileän ja sileän ääriviivan takana oleva kaareva integraali on yhtä suuri kuin nolla.

Otetaan jokin paloittain sileä suljettu ääriviiva G lähellä aluetta D. Otetaan ääriviivalta G lisää pisteitä B ja C.

G

D

n

m

B

C

Oskіlki makaa yhdentymisen tiellä, sitten

, sitten.

Hyvinvointi. Annettu: Kaareva integraali Be-yakim zaknenim shmatkovo-sileä ääriviiva nollaan.

On tarpeen todistaa, että integraali tulee tallettaa integroinnin suuntaan.

Katsotaan kaarevaa integraalia kahden sekoitettu-sileän ääriviivan takana, jotka yhdistävät pisteet B ja C. Mielen takana:

Tobto. kaareva

integraali tallettaaksesi integraation suuntaan.

Lause 2. Kulje keskeytyksettä samaan aikaan yksityisillä kävelyillä ja yhden linkin tilassa D. Jotta saataisiin käyräviivainen integraali ei laskeudu alhaalla yhdentymisen tiellä on tarpeellista ja riittävää, jotta D-divisioona voitti

Todiste: Riittävyys. Annettu: . On tarpeen tuoda mitä tallettaa integraation suuntaan. Kenelle riittää tuoda mitä dovnyuє nolla suljetun, shmatkovo-sileän ääriviivan takana. Greenin kaavan mukaan voimme:

Välttämättömyys. Annettu: Lauseen 1 mukaan kaareva integraali tallettaa integraation suuntaan. On tarpeen tuoda mitä

6. Sing-integraalin keskiarvon kaava.

7. Integraali muuttuvan ylärajan yli. Yogo bezperervnіst että erottelu.

8. Sing-integraalin Newton-Leibnizin kaava.

9. Sing-integraalin laskenta osittain ja muutoksen korvaaminen.

10. Sing-integraalin ompeleminen (tasaisen hahmon pinta-ala, kaarevan kaaren pituus, vartalokääreen tilavuus).

11. Numerosarjan ymmärtäminen ta yogo sumi. Kriteerit Koshі zbіzhnostі rivi. Tarvittava älykkyys.

12. Merkkejä Delambertin ja Koshі zbіzhnostі ryadіv іz nevid'єmnimi jäsenistä.

13. Koshі zbіzhnostі numerosarjan kiinteä merkki.

14. Merkittäviä numerorivejä. Ehdottomasti että henkinen zbіzhnist. Rivejä merkkejä. Leibnizin merkki.

15. Toiminnalliset sarjat. Määrä on pieni. Saman tulon arvo on alhainen. Kriteeri Koshі yhtä kannattavuus toiminnallinen sarja.

16. Weijerstrasin merkki tasaisesta elämisestä.

18. Askelarivi. Abelin lause.

19. Staattisen rivin elinkaaren säde. Cauchy-Hadamardin kaava staattisen sarjan säteen säteelle.

21. Rikkaan muutoksen funktiot. N-maailman euklidisen avaruuden ymmärtäminen. Euklidisen avaruuden persoonaton piste. Pisteiden järjestys ja її raja. Nimetyt toiminnot pieni määrä muutoksia.

22. Toimintojen välillä useita muutoksia. Keskeytymätön toiminto. Yksityiset lomat

23. Useiden muuttujien differentiaalifunktion nimitys ja її differentiaali. Pokhіdnі ja korkeampien tilausten erot.

24. Taylorin kaava muutoksen rikkaudelle. Pienen muuttujien määrän funktion ääriarvo. Tarpeellinen mielen ääripää. Ihan tarpeeksi mielen ääripäätä.

25. Jatkuva integraali ja voiman jooga. Zvedennya podvіynogo іintegral jopa toistuva.

27. Muutosten korvaaminen kolmannessa integraalissa. Sylinterimäiset ja pallomaiset koordinaatit.

28. Tasaisen pinnan pinta-alan laskenta parametrisesti ja eksplisiittisesti annettuna.

29. Ensimmäisen ja muun tyyppisten kaarevien integraalien nimitys, niiden pääteho ja laskenta.

30. Greenin kaava. Puhdista kaarevan integraalin riippumattomuus integroinnissa.

31. Ensimmäisen ja muun tyyppiset pinnalliset integraalit, niiden pääteho ja laskenta.

32. Gaus-Ostrogradskyn lause, її merkintä koordinaatti- ja vektorimuodossa (invariantti).

33. Stokes-kaava, kirjoitettu koordinaatti- ja vektorimuodossa (invariantti).

34. Skalaari- ja vektorikentät. Gradientti, poikkeama, roottori. Potentiyne ja suolaiset kentät.

35. Hamilton-operaattori. (Nabla) yogo zastosuvannya (hae).

36. Pääkäsitteet, joita käytetään, ovat ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt (ode): globaali ratkaisu, globaali integraali, integraalikäyrä. Zavdannya Koshі, її geometrisesti merkittävä.

37. Odin integrointi ensimmäiseen järjestykseen jaettujen muutosten kanssa, ja sama.

38. Ensimmäisen kertaluvun lineaaristen oodien integrointi ja Bernoullin tasaus.

39. Odin integrointi napadifferentiaalien ensimmäiselle nauhalle. Integroiva kerroin.

40. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliset yhtälöt, aina samanlaiset. Parametrin pyyntömenetelmä.

41. N:nnen kertaluvun ekvivalenssi vakiokertoimien kanssa. Tyypillisesti tasa-arvoinen. Homogeenisen kohdistuksen perusratkaisujärjestelmä (FSR), heterogeenisen kohdistuksen globaali ratkaisu.

42. Ensimmäisen kertaluvun lineaaristen differentiaaliyhtälöiden järjestelmä. Homogeenisen järjestelmän FSR. Häikäisevä visio homogeenisesta järjestelmästä.

30. Greenin kaava. Puhdista kaarevan integraalin riippumattomuus integroinnissa.

Greenin kaava: Jos C on suljettu alueen D ja funktioiden P(x, y) ja Q(x, y) ja niiden yksityisten ensimmäisen asteen analogien välissä keskeytyksettä suljetulla alueella D (mukaan lukien kordoni C), niin Vihreän kaava on voimassa:, lisäksi muodon C ohitus valitaan siten, että alue D on vasenkätinen.

Kolme luentoa: Anna annetut funktiot P(x,y) ja Q(x,y) keskeytymättömiksi alueiksi D samanaikaisesti ensimmäisen kertaluvun yksityisistä. Integraali kordonin (L) yli, joka on tarkalleen alueella D ja kattaa kaikki pisteet alueella D: . Positiivinen suoraan ääriviivalle on sellainen, jos ääriviivan osaa ympäröi vasen käsi.

Umovin riippumattomuus toisenlaisen integraatiopolun kaarevasta integraalista. On välttämätöntä, että riittävä tieto, että ensimmäisen tyyppinen kaareva integraali, joka yhdistää pisteet M1 ja M2, ei ole integraatiopolulla, vaan on vain tähkä- ja päätepisteissä, tasaisuus:.

.

31. Ensimmäisen ja muun tyyppiset pinnalliset integraalit, niiden pääteho ja laskenta.

- Pintapäällikkö.

Projisoimme S tasolle xy, otamme laudan D. Piirrämme levyn D ruudukkoviivalla kappaleeseen, jota kutsutaan nimellä Di. Ihoviivan ihopisteestä piirretään yhdensuuntaiset viivat z, jolloin i S jaetaan Si:ksi. Lisäämme kokonaissumman: . Suuntaamme halkaisijan Di maksimiarvon nollaan:, otamme:

Ensimmäisen tyyppinen Ce-pintaintegraali

Näin ensimmäisen tyyppinen pintaintegraali tulee peliin.

Tapaaminen lyhyesti. Integraalisummalla on pääsääntöisesti rajoittava raja, joten alkeiskaaviolla Si ei ole mahdollista olla S:n jakamisen tiellä ja pisteiden valinnassa vin kutsutaan ensimmäisen tyypin pintaintegraaliksi. .

Kun siirrytään muuttuneesta x і y:stä arvoihin u ja v:

P pintaintegraalilla voi olla kaikki tähtiintegraalin teho. Divat ovat korkeampia ruoassa.

Pintaintegraalin tarkoitus on erilainen, mikä on laskennan päävoima. Linkki ensimmäisen tyypin integraalista.

Olkoon pinta S annettu, linjan ympäröimänä L (kuva 3.10). Pintaan S on mahdollista lisätä kaksi normaalia pinnalla S, joka ei voi olla kaksoispiste kordonin L kanssa. Piirrä pisteen M ääriviivan L takana valitsemalla suora normaali.

Jos pisteen M paikka pyörii tätä samaa normaalia pitkin (eikä vastapäätä), niin pintaa S kutsutaan kaksipuoleiseksi. Voimme katsoa vain kaksipuolisia pintoja. Kahdenvälinen pinta - onko se tasainen pinta yhtä.

Olkoon S kaksipuolinen avoin pinta, jota ympäröi viiva L, niin että itse ylityskohtaa ei ole. Valitsemme pinnan saman puolen. Kutsukaamme ääriviivan L positiivista suoraa ohitusta sellaiseksi suoraksi viivaksi, kun Venäjä on pinnan toisella puolella, pinta itsessään on vailla pahaa. Kaksipuolista pintaa, joka on asennettu siihen positiivisessa järjestyksessä ääriviivojen suoralla ohituksella, kutsutaan suunnatuksi pinnaksi.

Jatketaan erilaista pintaintegraalia. Otetaan kaksipuolinen pinta S, joka muodostuu lopullisesta kappalemäärästä, nahka jostain mielen tasoisista tehtävistä tai lieriömäinen pinta, jossa on tyydyttävät yhdensuuntaiset akselit Oz.

Olkoon R (x, y, z) - funktio, joka on määritetty ja ilman keskeytyksiä pinnalla S. Useilla viivoilla S jaetaan riittävällä järjestyksessä n "alkeiskuvaajaan" ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi , ..., ΔSn, ei väliä uneliaisista sisäpisteistä. Iho-avaruudessa ΔSi valitaan piste Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) järkevässä järjestyksessä. Olkoon (ΔSi)xy pinta-ala, jossa kuvaaja ΔSi projektio koordinaattitasolle Oxy, otettuna "+"-merkillä, niin että normaali pinnan S pisteessä Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) asettaa Visyu Oz on vihamielinen leikkaus, ja merkillä "-", mikä tarkoittaa, että tämä leikkaus on tyhmä. Lisäämme funktion R(x,y,z) integraalisumman pinnan S yli sen jälkeen, kun x,y: . Olkoon λ suurin halkaisijasta ΔSi (i = 1, ..., n).

Jos on olemassa lopullinen raja, jotta se ei estä jakamasta pintaa S "alkeis"kuvaajalla ΔSi ja valitsemalla piste, niin vin kutsutaan pintaintegraaliksi pinnan S valittua puolta pitkin funktiossa. R (x, y, z) koordinaateille x, y (tai muuntyyppiselle pinnalliselle integraalille) ja se on määritetty .

Vastaavasti on mahdollista indusoida pintaintegraalit koordinaateille x, z tai y, z pinnan vastakkaiselle puolelle, eli. і .

Kaikkien integraalien lisäksi voit lisätä "korkean" integraalin pinnan vastakkaiselle puolelle: .

Muunlainen pinnallinen integraali voi olla riippuvainen integraalin tehosta. On kunnioittavampaa, että jos mikä tahansa toisenlainen pintaintegraali muuttaa pinnan sivun muutoksen merkkiä.

Linkki ensimmäisen ja muuntyyppisten pintaintegraalien välillä.

Olkoon pinta S yhtä suuri: z \u003d f (x, y), lisäksi f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) - keskeytymättömät toiminnot lähellä suljettua aluetta τ (pinnan S projektio koordinaattitasolle Oxy), ja funktio R(x,y,z) on jatkuva pinnan S. puolilla S. Todi.

Zagalny vpadku maєmo:

=