Zavdannya, was verstehst du? Bügel integriert.

Es ist zulässig, dass die Funktion der Elemente zugewiesen wird und schreibe den Betrag auf

wie es Integral heißt.

F: Unter dem singenden Integral (o.i.) als Funktion und als Auswahl

Bezeichnung:

Zahlen werden als integriert (nach Rіman) auf bezeichnet.

T. іsnuvannya: Für deinen Verstand, sho.

Vіdpovіdno bis zur Ernennung von o.i. Wesentlich ist, dass das Integral in der Form hinterlegt werden kann

Vіdpovіdno bis cl.17.1.1 und 17.1.2 und o. Wir schreiben die Formeln für die Fläche des krummlinigen Trapezes auf: , Roboterkräfte

auf der:

Verständnis der Teilintegrale, Integralsummen.

Die Basis des Bügelintegrals, damit die Interintegralsumme für das Gegebene offensichtlich ist, so dass die Grenze das Volumen eines zylindrischen Körpers angibt. Tse mirkuvannya ist jedoch nicht є suvorim. In höheren Verfestigungsgängen ist es notwendig, den Satz auf der Grundlage des subvertikalen Integrals heranzuziehen und zu nennen.

Satz ist snuvannya. Denn ob es eine Funktion ist, ohne Unterbrechung in einem geschlossenen Bereich, wo ich a messen kann, es gibt ein Subintegral, so dass es eine Interintegralsumme mit einer unbegrenzten Zunahme der Anzahl kleiner Maidanchiks für den Geist gibt, dass die Haut von ihnen zu einem Fleck gezogen wird. Tsya-Grenze kann nicht im Wege der Aufteilung der Region hinterlegt werden, sondern seitens der Wahl der Punkte nicht.

Nadalі mi vzglyaditimemo keine Funktion, ohne Unterbrechung im Bereich der Integration.

Nach dem Stiftungssatz können wir beispielsweise das Gebiet in kleine Rechtecke mit geraden Seiten parallel zu den Koordinatenachsen aufteilen (Abb. 230). Wenn tsimu. Vibirayuchi potim an der Haut kleines Rektum durch Punkte, die wir schreiben können, zgіdno z Bezeichnungen des subvertikalen Integrals

Um zu belegen, dass das zugrunde liegende Integral zwischen der Summe des Geistes gewonnen werden kann, ist der Name des Zeichens des Vikoristen auch das Zeichen von

Viraz wird ein Element eines Quadrats in kartesischen Koordinaten und ein zusätzliches Quadrat eines Rechtecks ​​​​mit Seiten parallel zu den Koordinatenachsen genannt.

Es ist wichtig, dass, wenn der integrale Beutel gefaltet wird, die Maidans, die an den Zwischenbereich angrenzen, keine Rechtecke bilden. Es kann jedoch gebracht werden, dass die Begnadigung für das Ersetzen solcher Maidanchiks durch Quadrate zwischen Quadraten auf Null reduziert wird.

Die Potenz der untergeordneten Integrale

Die Kraft des Subintegrals (dass yogo visnovok) ist analog zur Kraft des Einmal-Sing-Integrals.

1°. Additivität. Was ist die Funktion f(x, j) in die Region integriert D und als Fläche D für Hilfskurve G Der Nullbereich ist in zwei Glieder unterteilt und dämpft nicht die hohen inneren Punkte der Region D 1 Ta D 2 , dann die Funktion f(x, j) in Hautareale integriert D 1 Ta D 2 übrigens

2°. Lineare Leistung . Welche Funktionen f(x, j) das g(x, j) Integration in das Gebiet D, a α і β - seien es Sprachnummern, dann ist die Funktion [ α · f(x, j) + β · g(x, j)] ist ebenfalls in die Region integriert D, Außerdem

3°. Welche Funktionen f(x, j) das g(x, j) Integration in das Gebiet D, dann werden zusätzliche Funktionen dieser Funktionen integriert D.

4°. Welche Funktionen f(x, j) das g(x, j) Offensive Integration in der Region D und überall in meiner Galerie f(x, j) ≤ g(x, j), dann

5°. Was ist die Funktion f(x, j) in die Region integriert D, die funktionieren | f(x, j)| in die Region integriert D, Außerdem

(Natürlich mit Integration | f(x, j)| in D zeigt keine Integration f(x, j) in D.)

6°. Der Mittelwertsatz. Was für eine beleidigende Funktion f(x, j) das g(x, j) Integration in das Gebiet D, Funktion g(x, j) ist überall in dieser Galerie unsichtbar (kraftschlüssig), Mі m- genaue Ober- und Untergrenzen der Funktion f(x, j) in der Region D, dann gibt es eine Zahl μ das befriedigt die Nervosität m ≤ μ ≤ M und damit die Formel gültig ist

Zocrema als Funktion f(x, j) ist ununterbrochen in D, und die Gegend D zv'yazkova, dann gibt es in dieser Galerie so einen Punkt ( ξ , η ), was μ = f(ξ , η ) und Formel (11) aussieht

BEWEGEN VON INTEGRALEN

vortrag 1

Getragene Integrale.Der Zweck des Unterstromintegrals ist der der Leistung. Wiederholte Integrationen. Verknüpfungen niedrigerer Integrale mit wiederholten. Platzierung zwischen Integration. Berechnung der zugrunde liegenden Integrale des kartesischen Koordinatensystems.

Das Subintegral ist eine Vertiefung des Verständnisses des einzelnen Integrals in verschiedenen Funktionen zweier Variablen. Auf diese Weise wird die umgekehrte Integration als flache Figur vorliegen.

Komm schon D- Dejaka ist ein geschlossenes, begrenztes Gebiet und f(x, y) - eine ausreichende Funktion, wurde durch diese Galerie markiert. Nehmen wir an, dass zwischen den Regionen D werden aus der letzten Kurvenzahl aufsummiert, Aufgaben von Kollegen Geist j=f(x) oder x=g( j), de f(x) das g(j) sind ununterbrochene Funktionen.

Rozib'ёmo-Region D anständigen Rang auf n Teil. Bereich ich-ї delyanki ist durch das Symbol D bedeutungsvoll ich. Auf der Haut dilyantsi ist eine ziemliche Stimmung ein Punkt Pi, und lassen Sie es in be-yak_y aus, indem Sie die Koordinaten des kartesischen Systems maє ( x ich, y ich). Sklademo integrale Summe für die Funktion f(x, y) nach Region D, für die der Wert der Funktion an allen Stellen bekannt ist Pi, Multiplizieren von їх mit der Fläche der Doppelparzellen Ds ich Und wir gehen davon aus, dass alle Ergebnisse weggenommen werden:

Nazvemo Durchm(G) Bereiche G der größte Abstand zwischen den Grenzpunkten der Region.

Integral Funktionen f(x, y) im Bereich D heißt die Grenze, inwieweit die Folge von Integralsummen (1.1) mit unbegrenzter Erhöhung der Anzahl der Pausen n (bei wem). Schreibe so auf

Es ist erwähnenswert, dass anscheinend die Integralsumme für eine bestimmte Funktion und einen bestimmten Integrationsbereich im Wege der Erweiterung des Bereichs fallen soll D Punkt auswählen Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse bedeutet, dass es zwischen den vіdpovіdіkh integralen Summen nicht möglich ist, zwischen den ernannten Chinnikіv zu liegen. In Ordnung(oder, wie es scheint, allgemeine Funktion f(x, y) in die Domäne D integriert ist), reicht es aus, dass die Integralfunktion der bool ununterbrochen bei der Aufgabengalerie-Integration.

Komm schon Funktion f(x, y) in die Region integriert D. Scherben zwischen den kumulativen Summen für solche Funktionen können nicht durch die Methode der Aufteilung des Integrationsbereichs akkumuliert werden, die Aufteilung kann mit Hilfe vertikaler und horizontaler Linien durchgeführt werden. Todі mehr Geschäftsleute der Region D Matim gerade geschnitten aussehend, der Bereich eines solchen Dorivnyu D ich=D x ich D y ich. Daher kann das Flächendifferential geschrieben werden als ds=dxdy. Otzhe, im kartesischen Koordinatensystem unter den Integralen Sie können beim Anblick aufschreiben

Respekt. Wie die Integrand-Funktion f(x, y)º1, dann ist das Unterintegral des Bereichs der Integrationsregion:

Bedeutsam ist, dass unterstrichene Integrationen sowohl die gleiche Leistung als auch einzeln integriert sein können. Ihre Taten sind bedeutsam.

Potenz der untergeordneten Integrale.

1 0 .Lineare Kraft. Integral der Summe der Funktionen der anderen Summe der Integrale:

und konstanter Multiplikator kann für das Vorzeichen des Integrals verantwortlich gemacht werden:

2 0 .Additive Kraft. Da der Integrationsbereich D in zwei Teile geteilt wird, ist das Subintegral vollständiger als die Summe der Integrationen über den Hautteil:

3 0 .Der mittlere Satz. Was ist die Funktion f( x, y)im Bereich D stetig ist, dann gibt es einen solchen Punkt in der Galerie(x, h) , was:

Weitere Post Ernährung: Wie werden die Subintegrale berechnet? Yogo kann ungefähr virahuvati sein, mit dieser Methode wird es gebrochen wirksame Methoden gefaltete Summen von kumulativen Summen, die dann numerisch mit zusätzlichem EOM berechnet werden. Bei einer analytischen Berechnung der Teilintegrale werden diese auf zwei Sing-Integrale reduziert.

Abgehängte Integrale für Teekannen

Diese Lektion führt in das große Thema der multiplen Integrale ein, aus dem die Schüler einen weiteren Kurs ausloten werden. Bewegen Sie das durch Dreifachintegrale Sie können den Polsterer nicht höher, niedriger zalyakate Differential gleich Schauen wir uns zu diesem Vіdrazu das Essen an: Nun, was ist es? Zvichayno, Deakim wird kohärent sein, und ehrlich gesagt habe ich ein wenig mit der Benennung von Statistiken verleumdet - um zu lernen, wie man virishuvati podvіynі integrali macht, ist es notwendig, dass Mutter deyakі Novize ist. Erstens, wenn Sie sich um Integrationen kümmern, müssen Sie natürlich integrieren. Logik. Otzhe, für die Entwicklung von Anwendungen müssen Sie es wissen unbedeutende Integrale das zählt lineare Integrale heiße bi auf der mittleren ebene. Eine gute Neuheit ist die Tatsache, dass sie sich durch mächtige Kräfte in größere Vipadkiv integriert haben, um es einfach zu machen.

Wer wird hart? Rechts habe ich verstanden. Tim, der in den ersten Semestern viel Bier getrunken hat. Normale Studenten können jedoch überfordert sein – auf der Website gibt es alle Materialien, um die Lücken zu füllen oder unverständlich. Du verbringst einfach mehr als eine Stunde. Possilannya auf diesen, yakі rutschte vyvchiti oder wiederholen Sie, dodavatimutsya pіd hour statti.

In der Einführungsstunde werden Schritt für Schritt die folgenden grundlegenden Momente besprochen:

– Verständnis des Unterstromintegrals

– Bereich der Integration. Die Reihenfolge der Umgehung des Integrationsbereichs. Wie ändere ich die Bypass-Reihenfolge?

Danach, da Sie ganz Asien GUT verstehen, können Sie zum Artikel gehen Wie berechnet man das unterschätzte Integral? Lösung auftragen. Darüber hinaus gibt es eine umfassendere Aufgabe Berechnung des Laufintegrals in Polarkoordinaten diese typische Ergänzung über Bedeutung für den Schwerpunkt einer flach umschriebenen Figur.

Beginnen wir mit unverschämtem Essen – was ist das?

Das Unterstromintegral verstehen

Das subvariante Integral der unwissenden Person wird wie folgt geschrieben:

Werfen wir einen Blick auf die Begriffe und Definitionen:
- Das Symbol des vertikalen Integrals;
- Integrationsbereich (flache Zahl);
- Integralfunktion von zwei Variablen, oft ist es einfach;
- Abzeichen von Differentialen.

Was bedeutet es, das unterschätzte Integral zu berechnen?

Berechnen Sie das zugrunde liegende Integral - tse bedeutet kennen KILO. Einfachste Zahl:

І vkray bazhano kennt Yogo richtig =)

Das Ergebnis (Zahl) kann negativ sein. Und Null kann einfach eingegeben werden. Besonders zupinivsya für einen bestimmten Moment waren oskolki Chimalo-Studenten unruhig, wenn Sie "etwas anderes Wunderbares" herauskommen.

Bagato, der sich an das "hervorragend" erinnert Wertintegral- Tezh-Nummer. Hier ist es einfach so. Das Bügelintegral hat іsnuє i vіdminny geometrisch zmist, Ale über tse pіznіshe, usumu svіy hour.

Wie berechnet man das unterschätzte Integral?

Um das zugrunde liegende Integral zu berechnen, muss es wie folgt aufgerufen werden wir wiederholen die Integrale. Zrobiti tse möglich zwei Wege. Die größte Erweiterung der offensiven Methode:

Eine stellvertretende Lebensmittelversorgung ist notwendig, um zwischen der Integration einzurichten. Darüber hinaus sind die Ernährungszeichen des äußeren Integrals allein - tse Zahlen, und die Subdrähte der Ernährungszeichen des inneren Integrals sind Funktionen odnієї zminnoї , scho in Form von "iks" einzuzahlen.

Nehmen Sie die Sterne zwischen Integration? Der Gestank soll in einem v_d tsgogo liegen, was den Geist des Leiters des gegebenen Gebiets betrifft. Die Fläche ist eine prächtige flache Figur, mit der man zum Beispiel immer wieder zusammenklebt, wenn nummerierte Bereiche flacher Figuren oder Berechnung des Volumens der Körperpackung. Nezabar du weißt, wie man die Grenzen der Integration richtig setzt.

Danach, wenn der Übergang zu den wiederholten Integralen entschieden ist, wird die folgende Berechnung ohne Zwischenschaltung durchgeführt: zuerst wird das innere Integral genommen und dann das äußere. Einer nach demanderen. Zvіdsi Name - iterative Integrale.

Grob gesagt besteht die Aufgabe darin, bis zur Berechnung zweier singender Integrale hochzuzählen. Wie alles nicht so kohärent und beängstigend ist und wie Sie auf das „singuläre“ Singintegral gestoßen sind, was brauchen Sie, um von zwei Integralen getrennt zu werden?!

Ein anderer Weg, um zu iterierten Integralen zu gelangen, ist einfacher:

Was hat sich verändert? Die Reihenfolge der Integration hat sich geändert: Jetzt wird das innere Integral für "ix" und das äußere für "iplayer" genommen. Zwischenintegration, mit Sternen markiert - Sei anders! Einer nach dem anderen die Sterne des äußeren Integrals - tse Zahlen, und die zugrunde liegenden Sterne des inneren Integrals sind Drehfunktionen, scho in Form von "igrok" liegen.

Welche bi mi wählte nicht den Weg des Übergangs zu wiederholten Integrationen, Restton von obov'yazkovo viide das selbst:

Bitte, Denken Sie an die Bedeutung der Macht, wie es möglich ist, vikoristovuvati, zokrema, zur erneuten Überprüfung der Lösung.

Algorithmus zur Lösung des Teilintegrals:

Wir systematisieren Informationen: In welcher Reihenfolge sollten Sie die Aufgabe angehen?

1) Der Stuhl muss viskoniert werden. Ohne Sessel ist die Aufgabe nicht zu brechen. Genauer gesagt, Sie werden nicht gewinnen, aber es wird einem Schachspiel ähneln. Stellen Sie auf dem Sessel den Bereich als flache Figur dar. Meistens ist die Figur einfach und von Linien, Parabeln, Hyperbeln usw. umgeben. Kompetent, dass shvidku tekhnіku pobudovі koslene im Unterricht gemeistert werden kann Graphen und grundlegende Potenzen elementarer Funktionen, geometrische Transformation von Grafiken. Otzhe, die erste Stufe ist die Vikonati des Sessels.

2) Richten Sie zwischen Integrationen ein und gehen Sie zu wiederholten Integrationen.

3) Nehmen Sie das innere Integral

4) Nehmen Sie das aktuelle Integral und subtrahieren Sie die Differenz (Zahl).

Bereich der Integration. Die Reihenfolge der Umgehung des Integrationsbereichs.
Wie ändere ich die Bypass-Reihenfolge?

In diesem Absatz können wir die wichtigsten Lebensmittel sehen – wie man zu wiederholten Integrationen geht und wie man richtig zwischen Integrationen platziert. Wie schon gesagt wurde, kannst du es so machen:

Ich mag das:

In der Praxis führt das Erlernen der schwierigsten Aufgaben zu den meisten Schwierigkeiten, und die Schüler verlieren sich oft im Integrationsprozess. Schauen wir uns ein konkretes Beispiel an:

Hintern 1

Lösung: Stellen wir uns den Bereich der Integration auf dem Sessel vor:

Zvichayna flache Figur und nichts Besonderes.

Jetzt werde ich ein Hautpflegewerkzeug für Sie sehen - einen Grabstock, einen Laserpointer. Die Aufgabe besteht darin, den Hautpunkt des schattierten Bereichs zu scannen:

Prominieren Sie den Laser, um den Integrationsbereich zu passieren streng bergab, dann müssen Sie Ihre Bestellung abschließen niedriger flache Figuren. Betreten Sie die Region durch die gesamte Abszisse, wie Sie von Gleichgestellten aufgefordert werden, und verlassen Sie die Region durch eine Parabel (roter Pfeil). Um die ganze Region aufzuklären, braucht man scharf nach rechts wütend Zeichnen Sie eine vkazіvka vzdovzh osі mit 0 bis 1 (grüner Pfeil).

Otzhe, was ist passiert:
"Іgrek" wechselt von 0 auf ;
„ix“ wechselt von 0 auf 1.

Bei Aufgaben soll bei Unstimmigkeiten oben geschrieben werden:

Nennen Sie die Daten der Inkonsistenz Umgehung der Galerie der Integration oder nur Reihenfolge der Integration

Nachdem wir die Umgehungsreihenfolge aussortiert haben, können wir vom Unterstromintegral zu den iterierten Integralen übergehen:

Die Hälfte der Aufgabe ist erledigt. Nun ist es notwendig, auf andere Weise zu iterierten Integralen überzugehen. Für wen sollten Sie die zentralen Funktionen kennen. Wer kennt einen anderen Absatz der Lektion Volumen Körperpackung das wird einfacher. Blick auf die Funktionen, die den Bereich definieren . Es ist noch einfacher, dann gehen Sie zu den Rückgabefunktionen, was bedeutet, "iksi" durch "igreeks" zu sagen. Einzelfunktion, de є i "iks" und "iplayer", є.

Yakscho, dann außerdem:
die Umkehrfunktion stellt die rechte Seite der Parabel ein;
Die Umkehrfunktion setzt die linke Ecke der Parabel.

Es ist nicht ungewöhnlich, sumniv, die Achse, zum Beispiel die Funktion des Signierens links oder rechts der Parabel zu beschuldigen? Noch einfacher ist es, die Unterschiede zusammenzufassen: Nehmen Sie zum Beispiel einen Parabelpunkt (von der rechten Nadel) und setzen Sie die Koordinaten auf eine gerade Linie, zum Beispiel dieselbe Linie:

Die richtige Gleichheit wird weggenommen, fortan wird die Funktion der rechten Hand der Parabel zugeordnet, aber nicht der linken.

Mehr als das Tsyu-Hall(Gedanken darüber in schwarz) den Abend verbringen danach, da Sie zu den Rückgabefunktionen übergegangen sind. Ich leihe mir eine Stunde lang nichts, aber ich singe ein Pardon an der Küste!

Der Integrationsbereich wird auf andere Weise umgangen:

Jetzt können wir den Laserpointer trimmen Levoruch Galerieintegration anzeigen. Promin Laserpassbereich scharf nach rechts wütend. Bei zu dieser besonderen Sorte Betreten Sie die Region durch die parabolische Nadel und verlassen Sie die Region durch eine gerade Linie, wie durch die Gleichheit (roter Pfeil) festgelegt. Um den gesamten Bereich mit einem Laser zu scannen, muss eine Vzdovzh-Achse durchgeführt werden streng bergab Geben Sie 0 bis 1 ein (grüner Pfeil).

Auf diese Weise:
„iks“ ändert sich von bis zu 1;
„Іgrek“ ändert sich von 0 auf 1.

Das Verfahren zum Umgehen des Bereichs neben der Aufzeichnung als Unregelmäßigkeit:

Dann ist der Übergang zu wiederholten Integrationen wie folgt:

Vidpovid kann so geschrieben werden:

Ich vermute noch einmal, dass das Restergebnis nicht in Abhängigkeit von der Reihenfolge berechnet werden kann, in der die Regionen umgangen wurden (die Berechtigung wurde dafür festgestellt). Allerdings ist man noch lange nicht am Endergebnis, jetzt ist es nicht mehr unsere Aufgabe, die Interintegration richtig zu platzieren.

Hintern 2

Dänemarks Teilintegral mit der Integrationsregion. Wechseln Sie zu wiederholten Integrationen und erweitern Sie zwischen Integrationen auf zwei Arten.

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung. Wecken Sie den Stuhl kompetent auf Fahren Sie auf der Umleitung geradeaus(Sterne und wo man mit einem Laserpointer glänzt). Zrazok feines Design wie eine Lektion.

Die meisten typische Aufgaben Trochs werden in einer anderen Formel verschrumpelt:

Hintern 3

Induzieren Sie den Bereich der Integration

Lösung: Für den Verstand war die erste Möglichkeit gegeben, die Region zu umgehen. Entscheidungen beginnen wieder vom Vorsitzenden. Hier liegt die Region nicht auf einem Silbertablett mit einem blaky oblyamіvkoy, sondern um Sie zu ermutigen, keine besonderen Schwierigkeiten zu schaffen. Auf dem Handrücken funktioniert "knіmaєmo" aus der Interintegration: , . Die Funktion setzt willkürlich eine gerade Linie, aber was setzt die Funktion? Lassen Sie uns її troch ändern:
- in der Nähe des Zentrums auf dem Koordinatenkolben mit Radius 2. Die Funktion w setzt die obere Linie (vergessen Sie nicht, wenn Sie es zusammenfassen, dann können Sie immer einen Punkt setzen, der auf der oberen oder unteren Linie liegt).

Wir wundern uns zwischen den äußeren Integralen: "ix" ändert sich von -2 auf 0.

Vikonaemo-Sessel:

Um genau zu sein, habe ich mit Pfeilen den ersten Weg angedeutet, um die Region zu umgehen, was wiederum den iterativen Integralen des Geistes sagt: .

Jetzt ist es notwendig, die Reihenfolge der Umgehung der Region zu ändern, wofür wir zu den Wendefunktionen gehen werden (nämlich „iksi“ bis „іgreki“):

Vor nicht allzu langer Zeit haben wir die Funktion auf die Ebene des Einsatzes, sagen wir „iks“, umgestellt:
Demzufolge sind zwei zentrale Funktionen erforderlich:
- Unterzeichnung des rechten Pivkolo;
- Bedeutende Leva pіvkolo.
Ich weiß dasselbe, als würde ich Sumniv beschuldigen, einen Punkt auf dem Spiel haben und sagen, de links und de rechts.

Ändern Sie die Reihenfolge der Umgehung des Bereichs:

Zgidno mit einem anderen Weg herum, Laser promin Eintreten in die Region Levoruch durch den Löwen pivkolo i rechts gehen durch eine gerade Linie (roter Pfeil). Zur selben Stunde Lasereinfügung auf der Ordinatenachse durchgeführt werden bergauf Geben Sie 0 bis 2 ein (grüner Pfeil).

In dieser Reihenfolge die Reihenfolge, um den Bereich zu umgehen:

Zagal kann geschrieben werden Hinweis:

Hintern 4

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung. Der Hintern ist nicht mehr faltbar, aber respektieren Sie, dass das Verfahren zum Umgehen einer Handvoll Aufgaben auf andere Weise erfolgt! Warum in einer solchen Vipadkah arbeiten? Erstens, die Schwierigkeiten der Stühle verantwortlich zu machen, die Scherben des Stuhls machen den Zeitplan der hämorrhagischen Funktion plötzlich mir selbst unterstellt. Ich empfehle die nächste Bestellung: Zuerst nehmen wir die „primäre“ Funktion (wir sagen „gravets“ bis „iks“). Wir geben Ihnen einen Zeitplan für die „extreme“ Funktion (Sie können sich jederzeit verwöhnen lassen, wenn Sie krapkovo wollen). Ebenso können wir eine größere einfache lineare Funktion verwenden: Wir können eine gerade Linie „gravieren“ und führen.

Wir analysieren die Interintegrationslücken: Wir betreten die mittlere Region durch i und verlassen sie durch . Wenn Sie alles richtig machen, können Sie von -1 bis 0 auf die „griechische“ Glätte gehen. Da Sie auf dem Stuhl einen Integrationsbereich festgelegt haben, ändern Sie die Reihenfolge des Herumgehens im Lager mit besonderen Schwierigkeiten. Zrazok hat eine Lösung für eine Unterrichtsstunde entworfen.

Einen ähnlichen Hintern werde ich später etwas genauer aussortieren.

Navіt yakscho du hast alles gut verstanden, sei freundlich, beeilen Sie sich nicht, fahren Sie geradeaus bis zur Berechnung des laufenden Integrals. Die Reihenfolge des Umwegs ist reichhaltig, und es ist wichtig, einige der Köpfe in die Hände zu bekommen, mehr noch, ich habe mir noch nicht alles angesehen!

In den vorderen Chotyroh-Hintern wurde der Integrationsbereich als Ganzes im 1., 2., 3. und 4. Koordinatenviertel gesehen. Warum so warten? Nein, offensichtlich.

Hintern 5

Ändern Sie die Reihenfolge der Integration

Lösung: Es ist wie ein Stuhl, bei dem der Graph der Funktion eigentlich eine kubische Parabel ist, einfach nicht „auf der Seite liegen“ will:

Die Reihenfolge der Umgehung der Region, die die iterierten Integrale anweist , mit Pfeilen markiert. Es sollte verehrt werden, dass im Zuge der Vikonnanny des Stuhls eine weitere umrissene Figur gemalt wurde (levoruch in der Ordinatenachse). Daher sollten wir die Integration der Region respektieren – für die Region kann man die falsche Zahl verzeihen.

Kommen wir zu den Rückgabefunktionen:
- wir brauchen den rechten Kopf einer Parabel;

Lassen Sie uns die Reihenfolge der Umgehung der Region ändern. Wie Sie sich erinnern, ist es bei einer anderen Möglichkeit, den Bereich zu umgehen, erforderlich, den Bereich mit einem Laserschalter auf der rechten Seite zu scannen. Ale hier posterіgaєtsya cіkava reich:

Wie repariert man in ähnlichen Situationen? Teilen Sie in solchen Fällen den Integrationsbereich in zwei Teile und addieren Sie für den Hautteil Ihre wiederholte Integration:

1) Ändert sich die „Schwerkraft“ von -1 auf 0 (grüner Pfeil), dann betreten Sie den Bereich bitte durch eine kubische Parabel und verlassen Sie ihn durch eine gerade Linie (roter Pfeil). Daher lautet die Reihenfolge zum Umgehen des Bereichs wie folgt:

2) Wenn sich die „Schwerkraft“ von 0 auf 1 ändert (brauner Pfeil), dann betreten Sie den Bereich sofort durch die parabolische Nadel und verlassen Sie ihn durch diese sehr gerade Linie (roter Pfeil). Dann lautet die Reihenfolge zum Umgehen des Bereichs wie folgt:

Ich wiederholte wiederholte Integrale:

Singen und multiple Integrale haben eine gewisse Kraft Additivität damit sie gefaltet werden können, die in einer bestimmten Weise und neben wachsen:
- Und die Achse und unser Spaziergang um die Region auf andere Weise, indem wir die Summe zweier Integrale betrachten.

Vidpovid schreibe so:

Welche Umgehungsreihenfolge ist die offensichtlichste? Zvichayno derjenige, welcher Buchstabe im Kopf einer Aufgabe gegeben wird - Sie werden zweimal weniger zählen!

Hintern 6

Ändern Sie die Reihenfolge der Integration

Dies ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung. An der neuen gibt es ein Pivkol, dessen Analyse Berichten zufolge in Anhang 3 überprüft wurde. Die Lösung wurde wie eine Lektion erstellt.

Und sofort, obіtsyane zavdannya, wenn eine Liste von Aufgaben eine andere Möglichkeit ist, die Region zu umgehen:

Hintern 7

Ändern Sie die Reihenfolge der Integration

Lösung: Wenn das Verfahren zum Umgehen von Aufgaben auf andere Weise vor dem Weckstuhl ausgeführt wird, müssen Sie zu den „übergeordneten“ Funktionen wechseln. Bei wem gibt es zwei Patienten für die Transformation: i.
Bei einer linearen Funktion ist alles einfach:

Der Graph der Funktion ist eine Parabel mit Kanonizitätsanspruch.

Virazimo „iplayer“ bis „ix“:

Wir nehmen zwei Stifte der Parabel: i. Yaku von ihnen vibrati? Am einfachsten ist es, das Vikonat des Sessels zu sehen. Wenn Sie das Material der analytischen Geometrie über eine Parabel vergessen haben, können Sie krapkovo alle eine Beleidigung machen:

Noch einmal, ich zolle der Tatsache Respekt, dass auf diesem Sessel viele flache Figuren gestreut wurden und es wichtig ist, eine Figur zu wählen! Bei der Wahl der Figuren, die herumalbern, helfen sie Ihnen beim Integrieren der anderen Integrale:
, dabei nicht vergessen, was die Umkehrfunktion einstellt alle Parabel.

Pfeile, die den Umweg der Figuren anzeigen, zeigen genau die Grenzen der Integration von Integrationen an .

Dosit shvidko Sie lernen, eine solche Analyse in Ihrem Kopf durchzuführen und die Notwendigkeit eines Integrationsbereichs zu kennen.

Wenn die Figur gefunden wird, ist der letzte Teil der Lösung noch einfacher, wir ändern die Reihenfolge der Umgehung des Bereichs:

Die Rückgabefunktionen sind bereits bekannt, und das notwendige Verfahren zum Umgehen des Bereichs:

Anregung:

Das letzte Beispiel eines Absatzes für die unabhängige Entwicklung:

Hintern 8

Ändern Sie die Reihenfolge der Integration

Äußerlich ist die Lösung, dass es dem Unterricht ähnlich ist.

Beginnen wir damit, uns den Prozess der Berechnung des subvarianten Integrals anzusehen und ihn mit geometrischer Komplexität kennenzulernen.

Das Teilintegral ist der Fläche einer flachen Figur (Integrationsregionen) zahlenmäßig überlegen. Die einfachste Form des Unterintegrals, wenn die Funktion zweier veränderlicher ist: .

Wir können den berüchtigten Blick auf den Hinterkopf werfen. Gleichzeitig bewegen Sie sich, alles ist ganz einfach! Berechnen Sie die Fläche von flachen Figuren, umgeben von Linien. Zum Singen ist es wichtig, dass Sie ein vіdrіzku haben. Die Bereiche der Figuren sind zahlenmäßig fortgeschrittener:

Wir stellen den Bereich auf dem Sessel dar:

Wählen Sie den ersten Weg, um den Bereich zu umgehen:

Auf diese Weise:

І einmal wichtiger technischer Trick: Wiederholte Integrale können eingegeben werden. Zuerst das innere Integral, dann das äußere Integral. Ich empfehle den dänischen Weg zu diesen Teekannen.

1) Berechnen Sie das interne Integral, mit dem für die Änderung „Grav“ integriert wird:

Nicht-Signifikanz-Integral hier ist die einfachste und weiter siegreiche, die banale Formel von Newton-Leibnitz, mit dem gleichen Unterschied, dass zwischen Integrationen sind keine Zahlen, sondern Funktionen. Der Hinterkopf wurde in die obere Grenze des "igrok" (ursprüngliche Funktion) gelegt, dann in die untere Grenze

2) Das Ergebnis, subtrahiert vom ersten Punkt, muss zum aktuellen Integral addiert werden:

Eine größere kompakte Aufzeichnung der gesamten Lösung sieht folgendermaßen aus:

Otriman-Formel - das ist genau eine Arbeitsformel zur Berechnung der Fläche einer flachen Figur mit Hilfe des "extremen" Gesangsintegrals! Staunen Sie über die Lektion Flächenberechnung mit Hilfe des Singintegrals, Da ist es auf der Haut Kroki!

Tobto, die Aufgabe, die Fläche mit Hilfe des Bügelintegrals zu berechnen wenige Leute kümmern sich darum für die Hilfe des singenden Integrals! Tatsächlich ist es dasselbe!

Offensichtlich ist es nicht an irgendwelchen Schwierigkeiten schuld! Ich werde einen Blick auf die kleinen Hintern werfen, die Scherben von Ihnen, die bei diesen Aufgaben mehr als einmal zusammengeklebt sind.

Hintern 9

Berechnen Sie mit Hilfe des Bügelintegrals die Fläche der flachen Figur, umgeben von Linien,

Lösung: Wir stellen den Bereich auf dem Sessel dar:

Die Fläche der Figur wird mit Hilfe des subvertikalen Integrals für die Formel berechnet:

Wählen Sie den nächsten Befehl, um den Bereich zu umgehen:

Hier und im Folgenden gehe ich nicht darauf ein, wie ich die Region besprechen soll, die Scherben im ersten Absatz wurden mehr als nur ein Bericht zur Klärung gebracht.

Auf diese Weise:

Wie ich bereits benannt habe, ist es für die Bürger einfacher, die wiederholten Integrale schneller zu berechnen, was ich der Methode hinzufügen werde:

1) Zeile hinter dem Rücken der Newton-Leibniz-Formeln werden mit dem internen Integral analysiert:

2) Das Ergebnis, abzüglich des ersten croc, wird durch das vorhandene Integral ersetzt:

Punkt 2 - in der Tat, das Zurückweisen des Bereichs der flachen Position mit Hilfe des singenden Integrals.

Anregung:

Die Achse ist so schlecht und naїvne zavdannya.

Cicavi-Hintern für unabhängige Kirsche:

Hintern 10

Berechnen Sie mit Hilfe des Bügelintegrals die Fläche der flachen Figur, umgeben von Linien,

Ein Blick auf eine endgültige Designlösung für eine Unterrichtsstunde.

In Prikladakh 9-10 ist es wesentlich wichtiger, den ersten Weg zu gewinnen, um die Region zu umgehen, mehr zu lesen, bevor Sie sprechen, Sie können die Reihenfolge der Umgehung ändern und die Fläche auf andere Weise berechnen. Wenn Sie nicht verzeihen, werden Sie natürlich Ihren eigenen bedeutenden Bereich sehen.

1.1 Bestimmung des vertikalen Integrals

1.2 Dominanz des Subintegrals

Die Kraft des Subintegrals (dass yogo visnovok) ist analog zur Kraft des Einmal-Sing-Integrals.

1°. Additivität. Wenn die Funktion f(x, y) in den Bereich D integriert ist und wenn der Bereich D jenseits der zusätzlichen Kurve Г der Bereich Null in zwei Glieder geteilt ist und keine gemeinsamen inneren Punkte des Bereichs D 1 und D 2 haben kann, dann ist die außerdem ist die Funktion f(x, y) in die Haut aus den Bereichen D 1 und D 2 integriert

2°. Lineare Kraft. Wie sind die Funktionen f(x, y) und g(x, y) im Raum D integrierbar, huh? ich? - seien es Sprachziffern, dann ist die Funktion [? f (x, y) + ? g (x, y)] ist außerdem auch in die Domäne D integriert

3°. Da die Funktionen f(x, y) und g(x, y) im Definitionsbereich D integrierbar sind, sind die Zusatzfunktionen dieser Funktionen in D integrierbar.

4°. Wie lassen sich die Funktionen f(x, y) und g(x, y) in den Definitionsbereich D integrieren und f(x, y) kreuzen? g(x, y), dann

5°. Da die Funktion f(x, y) durch den Definitionsbereich D integriert wird, ist die te Funktion |f(x, y)| außerdem in Region D integriert

(Offensichtlich zeigt die Integration von | f (x, y) | D nicht die Integration von f (x, y) in D.)

6°. Der Mittelwertsatz. Obwohl die Offensivfunktionen f(x, y) und g(x, y) im Bereich D integriert sind, ist die Funktion g(x, y) überall in diesem Bereich unsichtbar (nicht positiv), M und m sind die exakten Ober- und Untergrenzen der Funktion f(x, y) im Bereich D, dann gibt es eine Zahl?, die die Ungleichheit von m? ? ? M i damit die Formel gilt

Sokrema, da die Funktion f(x, y) stetig D ist und die Domäne D verbunden ist, gibt es in dieser Domäne einen solchen Punkt (?, ?), Was? = f(?, ?), und die Formel sieht so aus

7°. Wichtige geometrische Kraft. Wohnbereich Bereich D

Lassen Sie den Körper T (Abb. 2.1) dem Raum unterhalb des Bereichs D dem Tier geben - einem Graphen einer ununterbrochenen und unsichtbaren Funktion) z \u003d f (x, y,), wie er dem Raum zugeordnet ist D, von den Seiten - eine zylindrische Oberfläche, eine direkte є zwischen der Fläche D und parallel zur Oz-Achse. Ein solcher Körper wird als zylindrischer Körper bezeichnet.

1.3 Geometrische Interpretation des vertikalen Integrals

1.4 Das vertikale Integral eines Rechtecks ​​verstehen

Dem Rechteck R = ? sei überall eine hinreichende Funktion f(x, y) zugeordnet. (div. Abb. 1).

Rosmarinsegment a? x? b um n Teilstrecken jenseits des Hilfspunktes a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Tsomu razbittya für die Hilfe von geraden Linien, parallele Achsen Ox і Oy zerlegt das Rechteck R in n · p Teilrechtecke R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Angegeben durch die Teilung des Rechtecks ​​R, ist es durch das Symbol T signifikant. Wir haben ihm eine Teilung unter dem Begriff "Rechteck" gegeben, um das Rechteck mit Seiten parallel zu den Koordinatenachsen zu verstehen.

Auf dem Haut-Chastkovy-Rechteck Rkl wählen wir einen vollen Punkt (?k,?l). Nachdem ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1 gesetzt wurde, ist es signifikant durch ?R kl der Fläche des Rechtecks ​​R kl . Offensichtlich ist ?R kl = ?x k ?y l .

wird die Integralsumme der Funktion f(x, y) genannt, die eine gegebene Verteilung T eines Rechtecks ​​R und eine gegebene Auswahl von Zwischenpunkten (? k, l) auf Teilrechtecken einer Verteilung T ergibt.

Die Diagonale heißt Durchmesser des Rechtecks ​​R kl . Ein Symbol? Deutlich größter Durchmesser aller gängigen Rectocuts R kl .

Die Zahl I heißt die Grenze der Integralsummen (1) bei? > 0, wie kann es eine positive Zahl sein? kannst du das sagen Datum?, Was an?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - Ich |< ?.

Die Funktion f(x, y) heißt integriert (nach Riemann) auf dem Rechteck R, weil es eine letzte Grenze zwischen den I Integralsummen der Funktion at? >0.

Die bezeichnete Grenze I heißt das Teilintegral der Funktion f(x, y) durch das Rechteck R und wird mit einem der folgenden Symbole bezeichnet:

Respekt. Damit ist ebenso wie bei einem einmaligen Singintegral festgestellt, dass die Funktion f(x, y) auf dem Rechteck R integriert und auf diesem Rechteck umschrieben wird.

Dies gibt die Möglichkeit, weiter weg von der Grenze der Funktionen f(x, y) zu schauen.

Das Unterintegral hat die Potenz, analog zur Potenz des Singintegrals. Deutlich weniger als die wichtigsten:

1. Was sind die Funktionen
Integration in die Region
, dann ist die Integration in sie im Übrigen die Menge und die Differenz

2. Ein konstanter Multiplikator kann für das Vorzeichen des gleitenden Integrals verantwortlich gemacht werden:

3. Yakscho
in die Region integriert
, und dieser Bereich ist in zwei Bereiche unterteilt, die sich nicht überschneiden і
, dann

.

4. Yakscho
і
Integration in die Region
, in yakіy

, dann

.

5. Was ist in der Gegend
Funktion
zufrieden mit den Ungereimtheiten


de
і
handelt Zahlen, dann

,

de – Bereich der Region
.

Die Beweise dieser Potenzen sind analog zum Beweis der zweiten Theoreme für das einfache Integral.

Berechnung des vertikalen Integrals in rechtwinkligen kartesischen Koordinaten

Lassen Sie es notwendig sein, das zugrunde liegende Integral zu berechnen
, Bereich - Rechteckig, das durch Unregelmäßigkeiten gekennzeichnet ist ,.

Nehmen wir das an
liegt ununterbrochen im gleichen Rechteck und schwillt im neuen unbekannten Wert an, obwohl das Integral des Volumens des Körpers mit der Basis , gesäumt mit dem Tier an der Spitze
, von den Seiten - Wohnungen
,
,
,
:

.

Umgekehrt lässt sich eine solche Figur mit Hilfe des Singintegrals berechnen:

,

de
- der Bereich, in dem dieser Körper mit einem Flugzeug gekreuzt wird, das durch einen Punkt verläuft und senkrecht zur Achse
. Analysesplitter, gekreuzt mit einem krummlinigen Trapez
, umgeben von dem Tier mit einem Funktionsgraphen
, de fest, und , dann

.

Z tsikh triokh Gleichheiten vyplivaє, scho

.

Von nun an war die Berechnung des Basisintegrals die Berechnung der beiden Einzelintegrale; bei der Berechnung des "internen Integrals" (in Bögen geschrieben) unveränderlich sein.

Respekt. Können Sie erklären, dass der Rest der Formel wann richtig ist?
, sowie auf einen Blick, ob die Funktion
ändern Sie das Vorzeichen des angezeigten Rechtecks.

Die Rechte des Teils der Formel werden iteriertes Integral genannt und wie folgt bezeichnet:

.

Ebenso lässt sich das zeigen

.

Über dem Gesagten jammern Sie

.

Bleibende Gleichheit bedeutet, dass das Ergebnis der Integration in die Reihenfolge der Integration fallen sollte.

Um einen Blick auf den tiefsten Hang zu werfen, führen wir das Verständnis des Standardbereichs ein. Die direkt der Achse zugeordnete Standard- (oder korrekte) Fläche wird eine solche Fläche genannt, für die sie gerade sein sollte, parallel zum Mittelpunkt der Achse, nicht mehr zwischen den Flächen eingestreut, an zwei Punkten niedriger. Ansonsten scheint es, als würde die Region selbst umgeworfen, dass її Cordon nur eine Brise geradeaus ist.

Es ist akzeptabel, dass die Region umzingelt ist

das von dem Tier mit einem Funktionsgraphen umgeben ist
, unten - Graph der Funktion
. Komm R ( ,) - minimales Rechteck, in das die Region gelegt wird
.

Geh in die Gegend
dass eine ununterbrochene Funktion zugewiesen ist
. Lassen Sie uns eine neue Funktion einführen:

,

ähnlich den Kräften des Bügelintegrals

.

Ich später

.

Oskіlki vіdrіzok
um das Gebiet abzudecken
dann später,
bei


, aber liegen Sie dann in einer vіdrіzkom-Position
.

Mit fest wir können schreiben:

.

Das erste und dritte Integral auf der rechten Seite der Integration addieren sich dann zu Null

.

Otzhe,

.

Warum muss die Formel zur Berechnung des laufenden Integrals über die Fläche der Standardachse verwendet werden?
über den Link zum wiederholten Integral:

.

Yakscho-Region
є Standard y gerade Achse
Sie zeigt sich als Inkonsistenzen ,

, ebenso kann man das beweisen

.

Respekt. Für die Region
, Standard y gerade Achsen
і
, es wird Vicons geben

Bei dieser Formel ändert sich die Integrationsreihenfolge und die Stunde der Berechnung des sublinearen Integrals.

Respekt. Sobald der Integrationsbereich an beiden Koordinatenachsen nicht mehr standardmäßig (korrekt) ist, teilen Sie sich an der Summe der Standardbereiche auf und stellen das Integral als Summe der Integrationen in diesen Bereichen dar.

Hintern. Berechnen Sie das laufende Integral
nach Region
, umgeben von Linien:
,
,
.

Lösung.

Tsya-Bereich є Standard-Yak-Schodo-Achse
, also ich
.

Wir berechnen das Integral unter Berücksichtigung der Fläche der Standardachse
.

.

Respekt. So berechnen Sie das Integral unter Berücksichtigung der Fläche der Standardachse
, nehmen wir das gleiche Ergebnis:

.

Hintern. Berechnen Sie das laufende Integral
nach Region
, umgeben von Linien:
,
,
.

Lösung. Stellvertretend wird dem Kleinen die Region der Integration gegeben.

Tsya-Bereich є Standard-Schodo-Achse
.

.

Hintern. Ändern Sie die Integrationsreihenfolge für die wiederholte Integration:

Lösung. Stellen wir uns die Region der Integration vor.

Von den Interintegrationslinien kennen wir die Linien, die den Integrationsbereich umschließen: ,
,
,
. Um die Reihenfolge der Integration zu ändern, können wir als Funktionen in und wir kennen den Kreuzungspunkt:

,
,
.

Also in einem der Intervalle die Funktion wird durch zwei analytische Viren ausgedrückt, dann muss der Integrationsbereich in zwei Bereiche unterteilt werden, und das wiederholte Integral der Steuer ist die Summe zweier Integrationen.

.