Das Verfahren zur Berechnung des verlustbehafteten Integrals ähnelt der allgemeinen Operation des Laufintegrals. Für die Beschreibung von її führen wir das Verständnis des richtigen trivialen Bereichs ein:

Termin 9.1. Triviales Gebiet V, umgeben von einer geschlossenen Fläche S, heißt regulär, weil:

1. sei gerade, parallel zur Achse Oz, das durch den inneren Punkt der Region gezogen wird und S an zwei Punkten kreuzt;
2. die gesamte Region V wird auf die Oxy-Ebene in einer regulären Zwei-Welten-Region D projiziert;
3. ob ein Teil des Bereichs V, der darin durch eine Ebene sichtbar ist, parallel zu den Koordinatenebenen, die Macht 1) und 2) haben kann.

Betrachten wir den korrekten Bereich V, ich werde unten und oben mit den Flächen z=χ(x,y) und z=ψ(x,y) einfassen und auf die Oxu-y-Ebene projizieren, den korrekten Bereich D, die Mitte von denen sich x in den Grenzen von a nach b ändert, werden von den Kurven y=φ1(x) und y=φ2(x) umgeben (Abb. 1). Sei f(x, y, z) eine stetige Funktion im Definitionsbereich V.

Termin 9.2. Es heißt das dreifache Integral der Funktion f(x, y, z) über dem Bereich V in der Form:

Trirazovy integriert mit zh vlastivostі, shcho in dvorazovy. Pererakhuyemo їх Ohne Bestätigung werden Gestanksplitter ähnlich wie beim Fall des Yard-Integrals hochgebracht.

Berechnung des verlustbehafteten Integrals.

Satz 9.1. Das dreifache Integral der Funktion f(x, y, z) des korrekten Bereichs V ist dasselbe wie das dreifache Integral über denselben Bereich:

. (9.3)

Bringen.

Rozіb'ёmo-Bereich V-Ebenen, parallel zu den Koordinatenebenen, auf n regelmäßigen Bereichen. Todz macht 1 schreien

wobei das dreifache Integral der Funktion f(x,y,z) im Definitionsbereich ist.

Vikoristovuyuchi-Formel (9.2), Vorwärtsparität kann auf einen Blick umgeschrieben werden:

Das Verständnis der Stetigkeit der Funktion f (x, y, z) ist klar, die zwischen der Integralsumme, die auf der rechten Seite der Gleichheitsgleichung steht, und dem dritten Integral gleich ist. Dann, wenn wir zur Grenze übergehen, nehmen wir:

was mitgebracht werden musste.

Respekt.

Ähnlich wie beim Abfall des Unterstromintegrals kann man bewirken, dass eine Änderung der Integrationsreihenfolge den Wert des Dreifachintegrals nicht ändert.

Hintern. Berechnung des Integrals de V ist eine dreieckige Pyramide mit Scheitelpunkten an den Punkten (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) und (0, 0, 1). Її Projektion auf die Oxy-Ebene є Tricutnik mit Eckpunkten (0, 0), (1, 0) und (0, 1). Die Fläche wird von unten durch die Fläche z = 0 und von oben durch die Fläche x + y + z = 1 begrenzt. Kommen wir zum Dreifachintegral:

Multiplikatoren, die nicht in veränderlicher Integration liegen, können für das Vorzeichen des Doppelintegrals verantwortlich gemacht werden:

Krummlinige Koordinatensysteme im trivialen Raum.

1. Zylindrisches Koordinatensystem.

Zylinderkoordinaten des Punktes Р(ρ,φ,z) – Cepolarkoordinaten ρ, φ der Projektion des Punktes auf die Ohu-Ebene und des Applikators des gegebenen Punktes z (Abb. 2).

Die Formeln für den Übergang von Zylinderkoordinaten zu kartesischen Koordinaten können wie folgt eingestellt werden:

x = ρcosφ, y = ρsinφ, z = z. (9.4)

1. Sphärisches Koordinatensystem.

Bei sphärischen Koordinaten wird die Position des Punktes im Raum durch die lineare Koordinate ρ angegeben - der Abstand vom Punkt zum Kolben des kartesischen Koordinatensystems (oder die Pole des sphärischen Systems), φ - die Polarkante zwischen dem Positiven pіvvіssyu Ox und die Projektion des Punktes auf die Oxy-Ebene und θ - das Kutom zwischen dem positiven Oz und dem doppelten OP (Abb. 3). Mit denen

Gegeben sei die Formel für den Übergang von sphärischen Koordinaten zu kartesischen:

x = ρ sinθ cosφ, y = ρ sinθ sinφ, z = ρ cosθ. (9.5)

Jacobian und Yogo geometrischer Zmist.

Schauen wir uns den wilden Trend an, die Änderungen im U-Bahn-Integral zu ersetzen. Nehai im flachen Ohu-Bereich D ist gegeben, umgeben von einer Linie L. Nehmen Sie an, dass х і у є einwertige und ununterbrochen differenzierende Funktionen neuer sich ändernder u und v sind:

x = φ(u, v), y = ψ(u, v). (9.6)

Betrachten wir das rechtwinklige Koordinatensystem Ouv, den Punkt P(u, v), der auf P(x, y) von der Region D zeigt. Alle diese Punkte bilden die Region D in der Nähe der Ebene Ouv, Ich bin von einer Linie umgeben L?. Es kann gesagt werden, dass die Formeln (9.6) eine Eins-zu-Eins-Beziehung zwischen Punkten der Bereiche D und D herstellen. Für welche Linien gilt u = const that

v = const in der Ouv-Ebene wird den Linien in der Ohu-Ebene ähnlich sein.

Wir sehen in der Ouv-Ebene einen rechteckigen Maidan ΔS, begrenzt durch gerade Linien u = const, u + Δu = const, v = const і v + Δv = const. Їy vіdpovidatimé krummliniger Maidanchik ΔS in der Nähe der Ohu-Ebene (Abb. 4). Die Analysebereiche von Maidanchiks werden als ΔS und ΔS bezeichnet. Für ciomu ΔS = Δu Δv. Wir kennen die Fläche ΔS. Bezeichnenderweise sind die Eckpunkte des krummlinigen Chotyrikutnik P1, P2, P3, P4 de

P1(x1, y1), x1 = φ(u, v), y1 = ψ(u, v);

P2(x2, y2), x2 = φ(u+Δu, v), y2 = ψ(u+Δu, v);

P3(x3, y3), x3 = φ(u+Δu, v+Δv), y3 = ψ(u+Δu, v+Δv);

P4(x4, y4), x4 = φ(u, v+Δv), y4 = ψ(u, v+Δv).

Ersetzen kleiner zbіlshennya Δu in Δv vіdpovіdmi-Differentiale. Todi

Womit chotirikutnik P1 P2 P3 P4 als Parallelogramm genommen werden kann und die Fläche der Formel für analytische Geometrie zugeordnet werden kann:

(9.7)

Termin 9.3. Die Variante heißt funktionale Variante oder Jacobi der Funktionen φ(x, y) und ψ(x, y).

Wenn wir zur Grenze mit Gleichheit (9.7) übergehen, entfernen wir die geometrische Jacobi-Verschiebung:

Der Jacobi-Modul ist also die Grenze zwischen dem Bereich der unendlich kleinen Quadrate S und S.

Respekt. In ähnlicher Weise kann man dem n-Weltraum das Verständnis der Jacobi- und geometrischen Bedeutung zuordnen: dass x1 = φ1(u1, u2,…,un), x2 = φ2(u1, u2,…,un) ,…, xn = φ(u1 , u2, ..., un), dann

(9.8)

Damit gibt der Jacobi-Modul eine Grenze zwischen "obsyagiv" kleinen Raumbereichen x1, x2, ..., xn und u1, u2, ..., un an.

Ersetzen von Änderungen in mehreren Integralen.

Dolіdzhuєmo zagalny vpadok zameni zmini z butt podvіynogo іntegral.

Sei im Bereich D eine stetige Funktion z = f(x,y) gegeben, im Bereich D, de der gleiche Wert der Funktion z = F(u, v).

F(u, v) = f(φ(u, v), ψ(u, v)). (9.9)

Betrachten wir die Integralsumme

Die Deintegralsumme auf der rechten Seite wird über den Bereich D genommen. Übergang zur Grenze, wenn wir die Formel für die Transformation der Koordinaten in das durchziehende Integral wegnehmen.

Probieren Sie die Integrale aus. Berechnung des Körpervolumens.
Versuchsintegral in Zylinderkoordinaten

Drei Tage im Dekanat lag der Himmel an den Hosen von Pіthagoras Roben,
In den Händen von Fikhtengolts gibt es ein Volumen von Trimavs, dass der Yogi des weißen Lichts lebt,
Zu nichts banden sie das dritte Integral und wickelten die Leiche in die Matrix,
Und der Stellvertreter des Gebets ist wie ein Nahabnik, nachdem er den Satz von Bernoulli gelesen hat.

Verlorene Integrationen sind solche, vor denen Sie keine Angst mehr haben müssen =) Denn wenn Sie den ganzen Text lesen, dann ist es besser für alles, was Sie falsch verstanden haben Theorie und Praxis "höherer" Integrale, ebenso gut wie abhängige Integrale. Und dort, de podvіyny, in der Nähe und verloren:

In der Tat, wovor sollte man sich fürchten? Das Integral ist kleiner, das Integral ist größer.

Werfen wir einen Blick auf die Aufzeichnung:

- das Symbol des Dreifaltigkeitsintegrals;
- Pidіntegralna dreifache Wechselfunktion;
- Dobutok-Differentiale.
- Bereich der Integration.

Besonders hervorzuheben für Galerie-Integration. Jakscho rein unterstrichenes Integral gewonnen flache Figur, dann hier - ausgedehnter Körper , yaka, weißt du oben drauf. In diesem Rang ist das Verbrechen des viszeral erahnten Sie schuldig, sich daran zu orientieren Hauptflächen und denken Sie daran, die einfachsten Trivimir-Sessel zu gewinnen.

Die Deyakianer waren verlegen, weise…. Leider kann der Artikel nicht als „nützliche Integrale für Dummies“ bezeichnet werden, und es ist notwendig, etwas zu wissen / sich zu merken. Ale, nichts Schlimmes - das gesamte Material von Veröffentlichungen in einer grenzwertig zugänglichen Form wird in kürzester Zeit gemeistert!

Was bedeutet es, das verlorene Integral zu berechnen, und was war dafür nötig?

Berechnen Sie das verlorene Integral - tse bedeutet kennen KILO:

Im einfachsten Fall, wenn das dritte Integral ist in Bezug auf den Körper zahlenmäßig fortgeschrittener. І deisno, vіdpovіdno zu Integration, tvir eins unendlich klein das Volumen der elementaren "Ceglinka" des Körpers. Und das dritte Integral ist vereinigt alles Qi unendlich kleine Teilchen nach Region, wonach der integrale (Gesamt-) Wert des Körpervolumens herauskommt: .

Außerdem ist das dritte Integral wichtig körperliche Programme. Ale über tse pіznіshe - im 2. Teil der Lektion Widmung Berechnung der Zusatzverluste von Integralen, für die die Funktion der Variablen als Konstante konstant und in der Sphäre ununterbrochen ist. In diesem Artikel können wir die Bedeutung der Verpflichtung im Detail sehen, da meine subjektive Einschätzung 6-7 mal häufiger beobachtet wird.

Wie löst man das verlorene Integral?

Vіdpovіd ist logischerweise viplivає aus dem vorherigen Punkt. Es ist notwendig zu ernennen Body-Bypass-Befehl ich gehe zu wir wiederholen die Integrale. Löse danach nacheinander mit drei Einzelintegralen.

Yak Bachite, die ganze Küche ist mehr und mehr Nagaduє zugrunde liegende Integrale, Aus dem tієyu vіdminnіstyu, scho haben wir gleichzeitig eine dodatkova rozmіrnіst (ungefähr scheinbar, Höhe) erhalten. Ich allein, viele von Ihnen haben bereits erraten, wie die Verluste der Integrale verletzen.

Fassen wir zusammen, was wir verloren haben:

Hintern 1

Seien Sie freundlich, schreiben Sie mit einem Stempel auf Papier um:

І Ratschläge für die nächste Mahlzeit geben. Chi weißt du, was sind die Flächen, um Qi gleichzusetzen? Chi zrozumіly Sie informell zmіst tsikh rivnyan? Chi yavlyaєєєєєєєєєєєV, Yak in der Oberfläche Raztashovanі im Weltraum?

Sobald Sie zum vulgären vіdpovіdі „more nі, nizh so“ shilyatsya, dann obov'yazkovo opratsyut Lektion, sonst kommen Sie nicht weiter!

Lösung: vikoristische Formel

Um z'yasuwati zu schob Body-Bypass-Befehl ich gehe zu wir wiederholen die Integrale Es ist notwendig (alles ist genial einfach), zu verstehen, was es war. Und es ist großartig, Sessel in reichen Vipadkas auf eine solche Rose zu stellen.

Hinter dem Geist ist der Körper von Kilkom-Oberflächen umgeben. Warum schick anfangen? Ich spreche die nächste Bestellung diy aus:

Am Kolben ist denkbar parallel orthogonal Projektion des Körpers auf die Koordinatenebene. Beim ersten Mal sagte ich, wie heißt die Projektion, lol =)

Wenn das Design im großen Stil ausgeführt werden soll, dann in Persh Oberflächen, yakі parallel zur tsієї-Achse. Ich schätze, was für Oberflächen wie z Rache nicht die Buchstaben "ze". Der geprüfte Manager hat drei:

- Rivnyannya legt den Koordinatenbereich fest, wie man durch das Ganze geht;
- Rivnyannya legt den Koordinatenbereich fest, wie man durch das Ganze geht;
- gleiche Aufgabe eben "flach" gerade parallel zur Achse.

Shvidshe für alles, Shukana-Projektion є kommender Trikutnik:

Möglicherweise hatte nicht jeder ein Restverständnis darüber, wohin er gehen sollte. Zeigen Sie, dass alles aus dem Monitorbildschirm kommt und direkt in Ihrer Übertragung steckt ( Tobto. Komm raus, du staunst über den 3. Welt Stuhl des Tieres). Doslіdzhuvane-Flächen des Körpers befinden sich im nicht enthäuteten dreiflächigen "Korridor" und seiner Projektion auf den Bereich der naimovіrnіshe є schattierten Tricutnik.

Ich zolle dem, was wir verbracht haben, besonderen Respekt mehr Entschuldigung über Projektion und die Warnung „neishvidshe“, „nayimovirnishe“ waren vipadkovy. Rechts, insofern noch nicht alle Flächen analysiert sind, und es kann sein, dass auch bei ihnen ein Teil des Tricutniks „entdeckt“ wird. Wie ein Primer-Hintern fragst du Kugel zentriert auf der Spitze von Koordinaten mit einem Radius kleiner als eins, zum Beispiel eine Kugel – її Projektion auf die Ebene (Spalte ) Ich werde den „nakry“ schattierten Bereich nicht wiederholen, und die Projektion des Körpers wird kein Trikot genannt (kolo "zrіzhe" youmu gostrі kuti).

Von der anderen Seite der Bühne ist es z’yasovuєmo, chim der Körper ist von der Bestie umgeben, niedriger von unten und vikonuemo die Weite des Sessels. Wir wenden uns dem Verstand zu und staunen über die Oberfläche, als ob die Oberfläche verschwunden wäre. Nivellierung legt die Koordinatenebene selbst fest, und Nivellierung - parabolischer Zylinder, Nachkostung Oben flach und durch das Ganze gehen. In diesem Rang ist die Projektion des Körpers diisno є trikutnik.

Vor der Rede ist hier erschienen überweltlich Denken Sie - in der neuen Glühbirne ist es nicht obov'yazkovo, sogar Ebenen, Scherben der Oberfläche, die die Abszissenachse herausragen, einzubeziehen, und so schließt sich der Körper. Das bedeutet, dass wir in diesem Moment keine Projektion hätten erstellen können - der Tricutnik wurde erst nach der Analyse des Ausgleichs "gezeichnet".

Ein Fragment eines parabolischen Zylinders ist genau dargestellt:

Nachdem der vikonannya Sessel z den Körper umgehen keine Probleme!

Auf dem Hinterkopf ist es von Bedeutung, in welcher Reihenfolge der Vorsprung durchlaufen wird (Lassen Sie sich mit Hilfe der besten Hand von Zwei-Welten-Sesseln leiten). Ich bin schüchtern ABSOLUT SO, Yak, ich bin dabei niedrigere Integrale! Raten Laserpointer das Scannen einer ebenen Fläche. Wählen Sie die "traditionelle" 1. Bypass-Methode:

Dali nimmt das charmante Feuerzeug in die Hände, staunt über den Trivimir des Sessels und streng bergab den Patienten aufklären. Änderungen treten durch die Oberfläche in den Körper ein und verlassen ihn durch die Oberfläche. In dieser Reihenfolge die Reihenfolge der Umgehung des Körpers:

Kommen wir zu wiederholten Integrationen:

1) Beginnen Sie im Folgenden mit dem „Z“-Integral. Viktoristovuemo Newton-Leibniz-Formel:

Stellen Sie sich das Ergebnis des „igame“-Integrals vor:

Was ist passiert? Tatsächlich wurde die Lösung auf ein Teilintegral und selbst auf eine Formel reduziert. Volumen des zylindrischen Strahls! Mehr wissen:

2)

Respektieren Sie die rationale Technik zur Lösung des 3. Integrals.

Vidpovid:

Die Berechnung kann aufgeschrieben und „in einer Zeile“ durchgeführt werden:


Aber seien Sie auf diese Weise vorsichtig - wenn Sie bei swidkost gewinnen, drohen Sie mit etwas anderem, und wenn Sie einen wichtigen Hintern haben, gibt es mehr Chancen auf eine Begnadigung.

Hinweis zu wichtiger Ernährung:

Warum ist es notwendig, einen Sessel zu bearbeiten, damit der Kopf des Geistes seine Vikonannia nicht benötigt?

Sie können Chotirma mit Wegen trinken:

1) Zeichnen Sie die Projektion desselben Körpers. Die beste Option ist, dass es möglich ist, zwei anständige Sessel zu vikonieren, nicht zu jammern, beleidigte Sessel auszurauben. Ich empfehle uns weiter.

2) Zeichne mehr Körper. Passend, wenn der Körper ungeschickt ist, dieser offensichtliche Vorsprung. So wurde zum Beispiel ein dreireihiger Sessel an den ausgewählten Hintern geklebt. Hier ist jedoch das Minus - laut 3D-Bild ist es nicht praktisch, die Reihenfolge der Umgehung der Projektion zu bestimmen, und auf diese Weise freue ich mich nur für Menschen mit einem guten Trainingsniveau.

3) Zeigen Sie mehr Projektion. Tezh nicht schlecht, aber über obov'yazkovі dodatkovі pisletovі komentari, nizh zamezhena region aus raznih storіn. Leider ist die dritte Option oft verwirrend – wenn es zu spät ist, ist es zu groß, um mit anderen Schwierigkeiten fertig zu werden. І takі mi so razglyademom anwenden.

4) Ohne Sessel herumkommen. Es ist erforderlich, dass jede Person den Gedankenkörper darstellt und sich schriftlich zu Form / Format äußert. Es ist gut, sich für die einfachsten zu entscheiden, bis chi zavdan, de vikonannya, sowohl der Sessel als auch der Sessel wichtig sind. Trotzdem ist es besser, wenn Sie skizzenhafte Kleine verwenden möchten, Scherben einer „Ziel“ -Lösung können abgelehnt werden.

Kommen Sie Körper für unabhängige Hilfe:

Hintern 2

Berechnen Sie mit Hilfe des Verlustintegrals das Volumen des von Flächen umgebenen Körpers

Bei zu dieser besonderen Sorte Der Integrationsbereich wird durch Unregelmäßigkeiten wichtiger und der Preis ist kürzer - ohne Unregelmäßigkeiten setzt den 1. Oktanten, einschließlich der Koordinatenebenen, und die Unebenheiten - napіvspіr, wie man den Koordinatenkolben rächt (umkehren)+ das Gebiet selbst. Die „vertikale“ Ebene wird durch eine Paraboloid-Parabel ausgebreitet und auf dem Sessel-Bazhan muss Löwenzahn induziert werden. Für wen es notwendig ist, den zusätzlichen Referenzpunkt zu kennen, einfacher ausgedrückt, die Spitze der Parabel. (Wir können die Bedeutung sehen und rozrakhovuyemo vіdpovіdne "z").

Lassen Sie uns weiter verstehen:

Hintern 3

Berechnen Sie mit Hilfe des Verlustintegrals das Volumen des von bezeichneten Flächen umgebenen Körpers. Vikonati-Sessel.

Lösung: Die Formel "Viconati des Sessels" gibt uns deak Freiheit, Ale, besser für alles, indem sie die Vikonanny eines geräumigen Sessels überträgt. Allerdings lässt sich die Projektion auch nicht aufziehen, das ist hier nicht ganz einfach.

Dotrimuёmosya vіdpratsovanoї frühere Taktiken Oberflächen, als ob parallel zur Achse der Anwendung. Die Egalisierung solcher Flächen sollte nicht durch deutliche Veränderung des „Z“ gerächt werden:

- Rivnyannya legt die Koordinatenebene so fest, dass sie durch das Ganze verläuft ( Yak auf der Wohnung ist dem "gleichen Namen" gleich zugeordnet);
- gleiche Aufgabe eben, um durch die "gleiche Linie" zu gehen "flach" gerade parallel zur Achse.

Der Körper, der scherzt, ist von einem flachen Boden umgeben und parabolischer Zylinder Tier:

Lassen Sie uns ein Verfahren zur Umgehung des Körpers zusammenstellen, bei dem „iksovі“ und „igrokovі“ zwischen der Integration meiner Meinung nach besser hinter den Zwei-Welten-Sesseln singen:

Auf diese Weise:

1)

Beim Integrieren hinter dem "iplayer" - "ix" wird als Konstante betrachtet, dann sollte die Konstante für das Vorzeichen des Integrals verantwortlich gemacht werden.

3)

Vidpovid:

Also, ohne ein wenig zu vergessen, zdebіlshogo otmany das Ergebnis von kleinen (und navit shkіdlivo) zvіryati z trivimirnym Sesseln, oskolki z great ymovіrnіstyu vinikne Illusion verpflichten, Über Yaku habe ich im Unterricht rozpov_shche Volumen Körperpackung. Als ich den Körper des gesuchten Anführers schätzte, hatte ich besonders viel Glück, dass der neue mehr als 4 „Würfel“ enthält.

Ein offensiver Hintern für eine eigenständige Vision:

Hintern 4

Berechnen Sie mit Hilfe des Verlustintegrals das Volumen des von bezeichneten Flächen umgebenen Körpers. Die Arbeit des Sessels dieses Körpers und seine Projektion auf die Ebene.

Zrazok als Aufgabe für eine Unterrichtsstunde konzipiert.

Es ist nicht selten, wenn die Vikonnanny des Trivimir-Stuhls schwieriger ist:

Hintern 5

Zur Hilfe des verlustbehafteten Integrals, um das Volumen des Körpers zu kennen, gegeben durch die Oberflächen, die ihn umgeben.

Lösung: Die Projektion hier ist ungeschickt, aber über die Reihenfolge der Umgehung müssen Sie nachdenken, wie Sie die 1. Methode wählen, dann muss die Figur in zwei Teile geteilt werden, was die Berechnung von Sumi unweigerlich gefährden wird zwei Trinitätsintegrale. Für jemanden mit einer reicheren Perspektive gibt es einen anderen Weg. Es kann durch die Projektion dieses Körpers auf den Sessel gesehen und visualisiert werden:

Ich werde nochmals nach der Genauigkeit solcher Bilder fragen, ich wirl sie direkt aus meinen eigenen Manuskripten.

Wir wählen eine praktikablere Reihenfolge zum Umgehen der Figur:

Jetzt nach rechts hinter der Leiche. Von unten ist es von einer flachen Fläche umgeben, vom Tier - von einer flachen Fläche, um die gesamte Ordinate zu durchlaufen. Und alles wäre nichts, aber der Rest der Ebene ist zu steil und es ist nicht so einfach, sich in der Gegend fortzubewegen. Die Wahl hier ist nicht beneidenswert: Entweder ist der Schmuckroboter klein (weil er dünn war, um ihn dünn zu machen), oder der Sessel ist etwa 20 Zentimeter hoch (das und diejenigen, die passen können).

Ale und die dritte, ruhige russische Methode zur Lösung des Problems ist es, zu punkten =) und eine Wohnung zur Seite, eine Wohnung zum Boden und eine Wohnung zum Tier.

"Vertikale" Interintegration sieht offensichtlich so aus:

Lassen Sie uns das Volumen des Körpers berechnen, wobei wir nicht vergessen, dass wir die Projektion auf eine kleinere erweiterte Weise umgangen haben:

1)

Vidpovid:

Wie Sie sich erinnern, ist das Proponieren im Zavdannya des Körpers für hundert Dollar nicht teuer, oft umgeben von einer Wohnung darunter. Aber es ist keine Regel, also müssen Sie bereit sein - Sie können den Tag verbringen, de tilo roztashovani PID eben. Wenn Sie sich zum Beispiel die Wohnung im gewählten Zamіst ansehen, wird der Körper im unteren Raum symmetrisch dargestellt und von unten von einer Wohnung und von einer Wohnung zum Tier umgeben!

Es ist einfach, umzuschalten, um das gleiche Ergebnis zu sehen:

(Denken Sie daran, dass es notwendig ist, sich fortzubewegen streng bergab!)

Außerdem kann "verliebt" in die Wohnung vorne nicht rechts erscheinen, der einfachste Hintern: ein Sack, mehr verstaut als die Wohnung - bei der Berechnung der yogischen Pflicht braucht man nicht nach vorne zu schauen.

Wir können all diese Ansichten sehen, aber vorerst ist die Aufgabe für eine unabhängige Vision ähnlich:

Hintern 6

Zur Hilfe des verlustbehafteten Integrals, um den von Oberflächen umgebenen Körper zu kennen

Kurz gesagt, die Lösung besteht darin, die Lektion zu veranschaulichen.

Kommen wir zu einem weiteren Absatz mit nicht weniger beliebten Materialien:

Versuchsintegral in Zylinderkoordinaten

Zylinderkoordinaten - ce, in der Tat, Polar Koordinaten im Weltraum.
In einem zylindrischen Koordinatensystem wird die Position eines Punktes im Raum durch die Polarkoordinaten des Punktes bestimmt - die Projektion des Punktes auf die Ebene und die Applikation des Punktes selbst.

Der Übergang vom trivimeren kartesischen System zum zylindrischen Koordinatensystem erfolgt nach folgenden Formeln:

Einhundertfünfzig unserer Transformationen sehen so aus:

Ich offenbar auf einfache Weise, was in diesem Artikel leicht zu erkennen ist:

Golovne, vergessen Sie nicht den zusätzlichen Multiplikator "er" und ordnen Sie ihn richtig an Polarität zwischen Integration bei Umgehung der Projektion:

Hintern 7

Lösung: dotrimuєmosya der gleichen Ordnung diy: Wir schauen auf das Gleiche, an manchen Tagen wird das „Z“ geändert. Hier gibt es nur eines. Projektion zylindrische Oberfläche auf dem Gebiet є "gleichnamig" kolo .

Quadrate umgeben den Shukane-Körper von unten und das Biest (Yoga vom Zylinder hängen) und sind in der Farbe gestaltet:

Auf einem schwarzen Trivimir-Sessel. Die Hauptschwierigkeit liegt in der Oberfläche, als ob der Zylinder unter der „schrägen“ Motorhaube verdreht wäre, wonach es gehen soll Ellipsen. Lassen Sie uns dieses Umschreiben analytisch verdeutlichen: wofür wir die Ebene der funktionalen Ansicht umschreiben und wir berechnen den Wert der Funktion („Höhe“) an den Punkten, die wir fragen, als ob sie auf der Interprojektion liegen würden:

Sieht so aus, als kennst du die Punkte auf dem Sessel und genau (und nicht so, wie ich =)) zadnuєmo їх Linie:

Die Projektion des Körpers auf die Ebene ist die Länge und die Länge das Argument für die Geschwindigkeit des Übergangs in ein zylindrisches Koordinatensystem:

Wir kennen die Ausrichtung der Fläche in Zylinderkoordinaten:

Folgen Sie nun dem Verfahren zum Umgehen des Körpers.

Werfen wir einen Blick auf den Hinterkopf aus der Projektion. Wie bestimme ich die Bypass-Reihenfolge? Genau wie das Berechnung von Teilintegralen in Polarkoordinaten. Hier ist Wein elementar:

Die "vertikale" Interintegration ist ebenfalls offensichtlich - sie tritt durch die Ebene in den Körper ein und verlässt ihn durch die Ebene:

Kommen wir zu wiederholten Integrationen:

Für den Multiplikator wird „er“ sofort in das „eigene“ Integral eingesetzt.

Vinik Yak Zavzhd ist leichter durch die Zweige zu brechen:

1)

Wir nehmen das Ergebnis des Offensivintegrals:

Und dabei wird nicht vergessen, dass fi als Konstante wichtig ist. Ale tse bis zur Singstunde:

Vidpovid:

Ähnliche Aufgabe für eine unabhängige Vision:

Hintern 8

Berechnen Sie mit Hilfe des Verlustintegrals das Volumen des von Flächen umgebenen Körpers. Vikonati-Sessel dieses Körpers und seine Projektion auf dem Platz.

Zrazok feines Design wie eine Lektion.

Allerdings ist in den Köpfen der Problematik nicht von demselben Wort die Rede vom Übergang zu einem zylindrischen Koordinatensystem, und die Person wird bekanntermaßen nicht mit wichtigen Integralen in kartesischen Koordinaten zu kämpfen haben. ... Oder vielleicht auch nicht - auch wenn es die dritte, gelassene russische Art ist, Probleme zu lösen.

Alle fangen einfach an! … im guten Sinne : =)

Hintern 9

Zur Hilfe des verlustbehafteten Integrals, um den von Oberflächen umgebenen Körper zu kennen

Bescheiden und genüsslich.

Lösung: ganz endliche Oberflächeі Elliptisches Paraboloid. Leser, die mit den Materialien des Artikels respektvoll vertraut sind Hauptflächen des Weltraums, bereits dargestellt, als würde man den Körper betrachten, aber in der Praxis fallen gefaltete Vipads oft ein, daher werde ich einen Bericht über die analytische Welt führen.

Wir kennen die Linien auf der Rückseite, mit denen die Flächen getönt werden. Wir bauen und bauen folgendes System:

Ab dem 1. Gleichstand können wir uns in Begriffen sehen:

Dadurch werden zwei Wurzeln weggenommen:

Stellen Sie sich vor, Sie wüssten, was es bedeutet, ob das System gleich ist:
die Sterne schreien
Otzhe, root vіdpovіdaє einzelner Punkt - der Koordinatenkolben. Natürlich - auch die Spitzen der Spitzen der Spitzen laufen auf.

Stellen wir uns nun eine andere Wurzel vor - die gleiche, ob das System gleich ist:

Was ist der geometrische Ersatz für das Ergebnis? "Auf den Höhen" (in der Nähe der Ebene) sind das Paraboloid und der Kegel entlang getönt Cola- Einzelradius zentriert am Punkt.

Wenn der "Becher" des Paraboloids den "Trichter" des Kegels enthält, beschwichtigen die letzte Fläche sollte mit einer gepunkteten Linie gekreuzt werden (hinter der Rebe ist es eine entfernte Ansicht von uns, wie aus diesem Winkel gesehen):

Die Projektion des Körpers auf die Ebene kolo mit dem Mittelpunkt auf dem Koordinatenkolben des Radius 1, den ich wegen der Offensichtlichkeit dieser Tatsache nicht darzustellen gewagt habe (Schutzbrief kommentieren robimo!). Vor der Rede, bei den beiden vorderen Stühlen auf dem Stuhl, konnten die Vorsprünge geschlagen werden, yakby nichts dagegen.

Beim Übergang zu Zylinderkoordinaten können die Standardformeln mit einfachster Optik geschrieben werden, um die Projektion alltäglicher Probleme zu umgehen:

Wir kennen die Flächenausrichtung des Zylinderkoordinatensystems:

Da das Problem den oberen Teil des Kegels betrifft, ist es zu sehen:

"Scanuemo-Körper" von unten bergauf. Ändern Sie das Licht, um vor dem neuen Durchgang einzutreten Elliptisches Paraboloid und treten durch die Endfläche aus. In dieser Reihenfolge die "vertikale" Reihenfolge der Umgehung des Körpers:

Zweite rechte Technik:

Vidpovid:

Nicht selten wird der Körper aufgefordert, ihn nicht mit Flächen, sondern ohne Unregelmäßigkeiten zu umgeben:

Hintern 10

Geometrischer Nebel Unregelmäßigkeiten, erklärte ich Berichten zufolge aus demselben Prüfungsartikel. Die Hauptflächen des Raumes.

Tse zavdannya will und verstaut den Parameter, aber erlaubt den genauen Sessel, der ein wichtiges Erscheinungsbild des Körpers inspiriert. Denken Sie wie ein vikonati pobudova. Kurz gesagt, die Lösung besteht darin, es zu beweisen - wie eine Lektion.

... na was, ist es eine Sprotte? Denke darüber nach, die Lektion zu beenden, aber dann schätze ich, was du mehr willst =)

Hintern 11

Berechnen Sie mit Hilfe des verlustbehafteten Integrals das Volumen des gegebenen Körpers:
, De - Positivere Zahl.

Lösung: Unebenheit Setzen Sie die Spalte mit dem Mittelpunkt auf den Koordinatenkolben auf den Radius und die Unebenheit - "Internalität" eines Kreiszylinders mit all der Symmetrie des Radius. In dieser Reihenfolge wird der Körper flüsternd von einem Kreiszylinder an der Seite und flächensymmetrischen Kugelsegmenten oben und unten umschlossen.

Als Grundeinheit der Welt nehmen wir den Sessel:

Genauer gesagt sollte Yoga ein kleines Baby heißen, die Proportionsscherben entlang der Achse I werden nicht besser. Prote, um der Gerechtigkeit willen, für den Verstand, war es nicht nötig, etwas zu erheben, und eine solche Veranschaulichung schien völlig ausreichend zu sein.

Um Respekt zu zeigen, dass es hier nicht obov'yazkovo z'yasovuvati Höhe ist, an einem solchen Zylinder, der von der Rückseite des "Hutes" hängt - nehmen Sie einfach einen Kompass in die Hand und markieren Sie die Säule mit der Mitte auf dem Koordinatenkolben mit einem Radius von 2 cm, dann erscheinen die Punkte des Querbalkens mit dem Zylinder von selbst .

1. Zylinderkoordinaten sind ein Satz von Polarkoordinaten in der xy-Ebene und vom signifikanten kartesischen Applikator z (Abb. 3).

Sei M(x, y, z) ein hinreichender Punkt im Raum xyz, P ist die Projektion des Punktes M auf die Ebene xy. Der Punkt M ist durch eine Dreiheit von Zahlen eindeutig zugeordnet – die Polarkoordinaten des Punktes P, z – die Applikate des Punktes M. Die Formeln, die sie kartesisch nennen, können aussehen

Jakobische Gärung (8)

Hintern 2.

Berechnen Sie das Integral

de T - von Flächen umgebener Bereich

Lösung. Wir übergeben das Integral in Kugelkoordinaten mit Formeln (9). Gleicher Integrationsbereich kann mit Unregelmäßigkeiten eingestellt werden

Und das heißt

Hintern 3 Kennen Sie das Volumen des Körpers, gesäumt:

x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8,

Maemo: x 2 + y 2 + z 2 \u003d 8 - eine Kugel mit einem Radius R \u003d v8 mit einem Zentrum am Punkt O (000),

Der obere Teil des Kegels z2 = x2 + y2 mit der ganzen Symmetrie von Oz und der Spitze im Punkt O (Abb. 2.20).

Wir kennen die Linie des Querbalkens der Kegelkugel:

І Scherben für den Verstand z? 0 also

Kreis R=2, der nahe der Ebene z=2 liegt.

Richtig (2.28)

de area u begrenzt von der Bestie

(Teil einer Kugel),

(Teil eines Kegels);

Bereich U wird auf den Ohu-Bereich Bereich D projiziert - Radius 2.

Auch um inkrementell in das Integral zu den Zylinderkoordinaten überzugehen, siegreiche Formeln (2.36):

Zwischen den Änderungen ist r entsprechend dem Abstand D v außerhalb der Spalte R = 2 mit dem Zentrum am Punkt O signifikant, ebenso: 0?c?2p, 0?r?2. Auf diese Weise wird der Bereich U in Zylinderkoordinaten durch fortschreitende Unregelmäßigkeiten gekennzeichnet:

Das respektieren wir

Zavantage von Depositfiles

Potentialintegral.

Lebensmittel kontrollieren.

Konsequentes Integral, Yoga der Kraft.

Ersetzen von Änderungen im dritten Integral. Berechnung des verlustbehafteten Integrals in Zylinderkoordinaten.

Berechnung des verlustbehafteten Integrals in Kugelkoordinaten.

Komm schon Funktion u= f(x, y,z) dem geschlossenen Bereich zugeordnet v Platz R 3 . Rozib'ёmo-Region v anständigen Rang auf n elementare geschlossene Bereiche v 1 , … ,v n, Scho v 1 , …,  v n offensichtlich. Bedeutend d- der größte der Durchmesser der Regionen v 1 , … ,v n. Im Hautbereich v k Wählen Sie einen guten Punkt P k (x k , ja k ,z k) und Lagerhaltung integrale Summe Funktionen f(x, j,z)

S =

Geplanter Termin.Versuchsintegral Art der Funktion f(x, j,z) nach Region v wird als Interintegralsumme bezeichnet
yakscho vin isnuє.

derart,

(1)

Respekt. Integralsumme S Kaution im Wege der Auflösung der Region v Punkt auswählen P k (k=1, …, n). Wenn es jedoch eine Grenze gibt, dann steht sie einer Aufspaltung der Region nicht im Weg v Punkt auswählen P k. Wenn Sie die Bezeichnung der Untervariante und der inkrementellen Integrale vergleichen, ist es einfach, in ihnen dieselbe Analogie zu verwenden.

Ausreichende Begründung für das verlustbehaftete Integral. Als Funktion wird das Versuchsintegral (13) verwendet f(x, j,z) ist eingefasst v Ich bin ununterbrochen dabei v, hinter der Krone der letzten Reihe von klumpig-glatten Flächen, verrottet an v.

Machtakte des Potry-Integrals.

1) Yakscho W- Numerische Konstante also

3) Additivität nach Region. Yakscho-Region v in Regionen aufgeteilt v 1 і v 2 dann

4) Fitter Körper v dorivnyuє

(2 )

Berechnung des verlustbehafteten Integrals in kartesischen Koordinaten.

Komm schon D Körperprojektion v auf der Wohnung xOy, auftauchen z=φ 1 (x,j),z=φ 2 (x, j) umgeben den Körper v unter diesem Tier ist klar. Tse bedeutet was

v = {(x, j, z): (x, j)D , φ 1 (x,j)≤ z ≤ φ 2 (x,j)}.

Ein solcher Körper wird genannt z- Zylindrisch. Versuchsintegral (1) z-zylindrischer Körper v berechnet durch den Übergang zum wiederholten Integral, das aus dem Gelenktyp des Integrals aufsummiert wird:

(3 )

In diesem wiederholten Integral des Rückgrats wird das interne Einzelintegral der Änderung berechnet z, bei welchem x, j vvazhayutsya unmittelbar bevorsteht. Lass uns zählen unteres Integral Ansicht der ausgewählten Funktion nach Region D.

Jakscho v x- zylindrisch bzw y- zylindrischer Körper, dann korrigieren Sie die Formel

Für die erste Formel D  Körperprojektion v zur Koordinatenebene yOz, und in der anderen - im Flugzeug xOz

anwenden. 1) Berechnen Sie die Körpersumme v, umgeben von Oberflächen z = 0, x 2 + j 2 = 4, z = x 2 + j 2 .

Lösung. Zählen wir zur Hilfe das Verlustintegral hinter der Formel (2)

Kommen wir zum wiederholten Integral nach Formel (3).

Komm schon D- kolo x 2 +y 2 ≤ 4, φ 1 (x , j ) = 0, φ 2 (x , j )= x 2 +y 2. Todi gemäß der Formel (3) genommen wird

Um dieses Integral zu berechnen, gehen wir zu Polarkoordinaten über. Wenn tsimu kolo D verwandeln sich in gesichtslose

D r = { (r , φ ) : 0 ≤ φ < 2 π , 0 ≤ r ≤ 2} .

2) Thilo v von Flächen umgeben z=y , z=-y , x= 0 , x= 2, y= 1. Berechnen

Quadrate z=y , z=-y Um den Körper von unten zu umschließen und das Tier flach zu halten x= 0 , x= 2 umschließen den Körper hinten und vorne und die Wohnung y= 1 rechte Hand V-z- zylindrischer Körper, Yoga-Projektion D auf der Wohnung halloє Rechteck OABC. Legen wir es hin φ 1 (x , j ) = -y

Überarbeitung des vertikalen Integrals in Form von rechtwinkligen Koordinaten zu Polarkoordinaten
, verbunden mit rechtwinkligen Koordinaten
,
, folgen Sie der Formel

Was ist der Integrationsbereich
umgeben von zwei Börsen
,
(
), die aus den Polen herausgehen, sind diese beiden schief
і
, dann wird das zugrunde liegende Integral mit der Formel berechnet

.

Hintern 1.3. Berechnen Sie die Fläche der Figur, umgeben von diesen Linien:
,
,
,
.

Lösung. Zur Berechnung der Fläche der Region
beschleunigt durch die Formel:
.

Vorstellbares Gebiet (Abb. 1.5). Für wen konvertieren wir Kurven: , , , . Kommen wir zu den Polarkoordinaten: , . . Im Polarkoordinatensystem die Fläche gleich beschrieben werden:

.

1.2. Potentielle Integrale

Die Hauptpotenzen der dritten Integrale sind analog zu den Potenzen der unteren Integrale.

In kartesischen Koordinaten sollte das dritte Integral wie folgt geschrieben werden:

.

Jakscho
, dann das dritte Integral über die Region numerisch größeres Volumen des Körpers :

.

Berechnung des verlustbehafteten Integrals

Lassen Sie den Bereich der Integration es ist von unten und bis zum Tier von eindeutig eindeutigen ununterbrochenen Flächen umgeben
,
, außerdem die Projektion der Fläche zur Koordinatenebene
є flacher Bereich
(Abbildung 1.6).

Dasselbe gilt für feste Werte gültige Bewerbungen Gebietspunkt Veränderung an den Grenzen. Todi otrimuemo: . Was im Übrigen eine Projektion Unregelmäßigkeiten bedeuten , , de - eindeutig ununterbrochene Funktionen auf der , dann

.

Hintern 1.4. Berechnung
, de - solide, umgeben von Wohnungen:

	, , , ( , , ). Lösung. Der Integrationsbereich ist die Pyramide (Abb. 1.7). Flächenprojektion є trikutnik , durch gerade Linien , , (Abb. 1.8). Bei Applikation Punkt die Nervosität stillen dazu .
	Interintegration für tricoutnik arrangieren , vergriffen

Versuchsintegral in Zylinderkoordinaten

Beim Umschalten auf kartesische Koordinaten
zu Zylinderkoordinaten
(Abb. 1.9), pov'yazanih z
spіvvіdneshennya
,
,
, Außerdem

	, ,, das dritte Integral wird umgewandelt in: Hintern 1,5. Berechnen Sie das Volumen des Körpers, umgeben von Oberflächen: , , . Lösung. Volumen des Körpers, worüber man Witze macht dorivnyuє .
	Die Integrationsbereiche sind Teil eines Zylinders, der von einem flachen Boden umgeben ist. , aber das Biest ist platt (Abbildung 1.10). Flächenprojektion є kolo zentriert auf dem Koordinatenkolben und mit einem einzigen Radius. Kommen wir zu zylindrischen Koordinaten. , , . Bei Applikation Punkt , befriedigt die Nervosität oder in Zylinderkoordinaten:

Region
, umgeben von einer Kurve
, freue mich darauf, ansonsten zu sehen
bei tsimu polar kut
. Mai die Ergebnisse

.

2. Elemente der Feldtheorie

Lassen Sie uns vorab raten, wie krummlinige und Oberflächenintegrale berechnet werden.

Berechnung des krummlinigen Integrals über die Koordinaten der den Kurven zugeordneten Funktionen , auf die Berechnung des ersten Integrals in der Form reduziert werden

wie schief parametrisch gegeben
zeigt den Kolben der Kurve , a
- Її Endpunkte.

Berechnung des Flächenintegrals als Funktion
, markiert auf der doppelseitigen Oberfläche , addieren sich zur Berechnung des unterschätzten Integrals, zum Beispiel mind

,

wie die Oberfläche , gleich zugeordnet
, eindeutig auf die Ebene projiziert
in die Region
. Hier - Schnitt zwischen einem einzelnen Normalenvektor zu der Oberfläche und alles
:

.

Verbraucht von den Köpfen der Kopfseite der Oberfläche wird durch die Wahl des Vorzeichens der Formel (2.3) bestimmt.

Termin 2.1. Vektorfeld
heißt die Vektorfunktion des Punktes
sofort aus dem Bereich її zugewiesen:

Vektorfeld
gekennzeichnet durch einen skalaren Wert - Abweichungen:

Termin 2.2. fließen Vektorfeld
durch die Oberfläche heißt Oberflächenintegral:

,

de - ein einzelner Normalenvektor zur ausgewählten Seite der Fläche , a
- skalares doboot vector_v і .

Termin 2.3. Verkehr Vektorfeld

an geschlossene Kurve wird als krummliniges Integral bezeichnet

,

de
.

Ostrogradsky-Gauß-Formel Stellen Sie eine Verbindung zwischen dem Vektorfeldfluss her durch eine geschlossene Fläche und die Divergenz des Feldes:

de - Oben, umgeben von einer geschlossenen Schleife , a - Einzelner Normalenvektor zur Oberfläche. Direkt normal, es kann Vorteile durch eine direkte Umgehung der Kontur geben .

Hintern 2.1. Berechnen Sie das Oberflächenintegral

,

de - Zovnishnya Teil des Kegels
(
), die vom Flugzeug gesehen wird
(Abbildung 2.1).

Lösung. oben drauf einzigartig in der Gegend gestaltet
Wohnungen
, und das Integral wird nach Formel (2.2) berechnet.

Einzelner normaler Vektor zur Oberfläche wir wissen aus Formel (2.3): . Hier wird für das Normale das Pluszeichen gewählt, die Scherben werden geschnitten in der Luft das normal - dumm ich, otzhe, kann negativ sein. Vrakhovuyuchi sho , an der Oberfläche akzeptabel

Region
є kolo
. Daher gehen wir im verbleibenden Integral zu Polarkoordinaten über, für die
,
:

Hintern 2.2. Finden Sie die Divergenz und Kräuselung eines Vektorfeldes
.

Lösung. Für Formel (2.4) nehmen wir

Der Rotor des Vektorfeldes ist aus Formel (2.5) bekannt

Hintern 2.3. Kenne den Wert des Vektorfeldes
durch einen Teil des Areals :
, roztashovanu im ersten Oktantі
).

	Lösung. Die Kraft der Formel (2.6) . Wir vertreten einen Teil der Region : , raztashovanu im ersten Oktanten. Die Ausrichtung der gegebenen Fläche an den Windschutzwänden kann aussehen (Abbildung 2.3). Der Normalenvektor zur Ebene kann koordinieren: , einzelner normaler Vektor
	. . , , Sterne , otsch,

de
- Flächenprojektion auf der
(Abbildung 2.4).

Beispiel 2.4. Berechnen Sie den Fluss eines Vektorfeldes durch eine geschlossene Fläche , von einer Wohnung besiedelt
dieser Teil des Kegels
(
) (Abb. 2.2).

Lösung. Beschleunigt durch die Ostrogradsky-Gauß-Formel (2.8)

.

Wir kennen die Divergenz des Vektorfeldes Formel (2.4):

de
- Obsyag-Kegel, Yakim führte іtegruvannya durch. Beschleunigen Sie mit der Home-Formel zur Berechnung des Volumens des Kegels
(- Radius der Basis des Kegels, - Yogo-Höhe). Für unseren Verstand können wir nehmen
. Restwert

.

Hintern 2.5. Berechnen Sie die Zirkulation des Vektorfeldes
entlang der Kontur , oben mit Peratin bedeckt
і
(
). Überprüfen Sie das Ergebnis mit der Stokes-Formel.

Lösung. Peretina zaznachenih Oberfläche є colo
,
(Abbildung 2.1). Unter direkter Umgehung des vibrierenden, klingenden Schalls, der von ihm umgeben war, wurde der Bereich mit dem Bösen verlassen. Lassen Sie uns die parametrische Ausrichtung der Kontur aufschreiben :

Sterne

außerdem der Parameter verändern in Vor
. Hinter der Formel (2.7) nehmen wir die Gleichungen (2.1) und (2.10) ab

.

Geben wir nun die Stokes-Formel (2.9) an. Yak-Oberfläche , auf der Kontur gestreckt , Sie können einen Teil des Gebiets einnehmen
. Direkt normal
zu tsієї surfy zgodzhuєtsya z direkter Bypass . Der Rotor des th Vektorfeldes der Berechnungen in Anwendung 2.2:
. Also Shukana-Zirkulation

de
- Bereich der Region
.
- in der Nähe des Radius
, Sterne