Wechselnde Trägheitsmomente bei paralleler Achsübergabe. Änderung der Trägheitsmomente der Schere bei paralleler Achsübergabe

Änderung der Trägheitsmomente der Schere bei parallele Übertragung Achsen.

Zusätzlich zu den statischen Momenten betrachten wir drei fortgeschrittenere Integrale:

Zuvor sind durch x und y die aktuellen Koordinaten des Elementarbereichs dF in einem hinreichend aufgenommenen Koordinatensystem xOy bekannt. Die ersten 2 Integrale werden aufgerufen axiale Trägheitsmomente die Wahl der x- und y-Achse ist klar. Das dritte Integral wird aufgerufen Mittenträgheitsmoment überschnitten Nun, x, y. Achsmomente sind immer positiv, weil Die Fläche dF wird als positiv angesehen. Das zentrale Trägheitsmoment kann sowohl positiv als auch negativ sein, es kann in Bezug auf die Ausdehnung entlang der Länge der x-, y-Achsen veraltet sein.

Wir zeigen die Formel für die Transformation des Trägheitsmoments bei Parallelverschiebung der Achsen. (Div. Bild). Wichtig ist, dass wir die Trägheitsmomente und statischen Momente für die x 1 - und y 1 -Achsen einstellen müssen. Es ist notwendig, die Momente der x2- und y2-Achsen zu berechnen.

Ersetzen Sie hier x 2 \u003d x 1 -a und y 2 \u003d y 1 -b Bekannt

Schiefe Bögen vielleicht.

Wenn die Achsen x 1 und y 1 zentral sind, dann sagen S x 1 = S y 1 = 0 und otrimani virazi:

Wenn die Achsen parallel bewegt werden (z. B. eine der Achsen ist mittig), ändern sich die axialen Trägheitsmomente um einen Betrag, der die Fläche des Querschnitts um ein Quadrat zwischen den Achsen vergrößert.

2. Statische Momente der Fläche über die Breite der Achsen Unzeі Ey(div 3, m 3):

4. Zentrales Trägheitsmoment über die Breite der Achsen Unzeі Autsch(div 4, m 4):

Oscilki also

Achse Jzі Jy das polar J p Trägheitsmomente sind immer positiv, Scherben unter dem Zeichen des Integrals sind Koordinaten einer anderen Welt. Statische Momente Grі Sy, sowie das zentrale Trägheitsmoment Jzy kann sowohl positiv als auch negativ sein.

Im Bereich Walzstahl für Coils sind die Werte der Mittenmomente hinter dem Modul angegeben. Die Rozrahunkas haben die folgenden, um ihre Bedeutung für die Verbesserung des Zeichens zu erlangen.

Bei der Bezeichnung des Vorzeichens des Mittenmoments der Spule (Abb. 3.2) fällt auf, dass die Summe dreier Integrale sichtbar wird, da sie nur für die Teile des Umfangs berechnet werden, die auf die Viertel der Spule verteilt sind Koordinatensystem. Es ist offensichtlich, dass wir für die Teile, die sich im 1. und 3. Quartal ausbreiten, einen positiven Wert des Integrals haben werden, zydA positiv, und die Integrale, die für die Teile berechnet werden, die sich in den Vierteln II und IV ausbreiten, sind negativ (tvir zydA negativ sein). Otzhe, für die Kutotschka in Abb. 3.2, und der Wert des zentralen Trägheitsmoments wird negativ sein.

Rozmirkovuyuchi hat einen ähnlichen Rang für das Nachschneiden, sodass Sie, wenn Sie eine ganze Symmetrie wünschen (Abb. 3.2, b), eine Visnovka erstellen können das zentrale Trägheitsmoment J zy ist gleich Null, weil eine der Achsen (Oz oder Oy) vollkommen symmetrisch zum Schnitt ist. Definitiv, für die Teile des Trikots, roztashovannyh in 1 und 2 Viertel des Wasserzentrums, die Trägheitsmomente werden nur durch ein Zeichen herausgenommen. Man kann sagen, dass es mehrere Teile gibt, die in den Vierteln III und IV zu finden sind.

Statische Momente Dem Schwerpunkt zugeordnet

Berechenbare statische Momente für verschiedenste Achsen Unzeі Ey das in Abb. 3.3.

Reis. 3.3. Bis zur Berechnung der statischen Momente

Hier: ABER- Kreuzungsbereich, y Cі zC- Koordinaten des Schwerpunkts. Der Schwerpunkt des Rechtecks ​​wird auf den Diagonalen verändert.

Wenn die Achsen, auf denen statische Momente berechnet werden, durch den Schwerpunkt der Figur verlaufen, erreichen ihre Koordinaten offensichtlich Null ( zC = 0, y C= 0), i, ähnlich Formel (3.6), statische Momente und gleich Null. derart, Der Schwerpunkt der Frequenzweiche ist der Punkt, der eine solche Kraft haben kann: das statische Moment, unabhängig von der Achse, um es zu passieren,Null.

Formeln (3.6) ermöglichen es, die Koordinaten des Schwerpunkts zu kennen zCі y C umschneiden Faltform. Yakshcho peretin kann beim Anblick gegeben werden n Teile, die im Bereich des Schwerpunktes liegen, dann kann die Berechnung der Koordinaten des Schwerpunktes des gesamten Querschnittes geschrieben werden als:

.

(3.7)

Wechselnde Trägheitsmomente bei paralleler Achsübergabe

Lassen Sie mich Momente der Trägheit sehen Jz, Jyі Jzy Shodo-Äxte Oyz. Es ist notwendig, das Trägheitsmoment zu berechnen JZ, J Yі JZY Shodo-Äxte Ö 1 YZ, parallel zu den Achsen Oyz(Abb. 3.4) a(horizontal) und b(vertikal)

Reis. 3.4. Wechselnde Trägheitsmomente bei paralleler Achsübergabe

Koordinaten des elementaren Maidanchik da binden Sie sich mit solchen Äquivalenzen: Z = z + a; Y = j + b.

Lassen Sie uns die Trägheitsmomente berechnen JZ, J Yі JZY.

(3.8)

(3.9)

(3.10)

Was für ein Punkt Ö Achsen Oyz laufen mit einem Punkt W- der Schwerpunkt der Peresis (Abb. 3.5); statische Momente Grі Sy gleich Null werden, und die Formeln sagen Y i Z ich Es ist notwendig, mit der Verbesserung von Symbolen zu nehmen. Auf der Achse des Trägheitsmoments passen die Vorzeichen der Koordinaten nicht (die Koordinaten werden zu einem anderen Schritt verschoben), und auf der Achse auf dem zentralen Trägheitsmoment das Vorzeichen der Koordinaten in der Linie (Erstellung Z ich Y ich ein ich kann negativ sein).

Wir führen das rechtwinklige kartesische Koordinatensystem Oxy ein. Wir können die Koordinatenebene betrachten, es gibt einen kleinen Überschnitt (geschlossener Bereich) von der Ebene A (Abb. 1).

Statische Momente

Punkt C mit Koordinaten (x C, y C)

genannt Schwerpunkt.

Wenn die Koordinatenachsen durch den Schwerpunkt der Kante gehen, werden die statischen Momente der Kante Null:

Axiale Trägheitsmomente die die x- und y-Achse durchlaufen, heißen Integrale der Form:

Polares Trägheitsmoment Der Schnittpunkt der Koordinatenkolben heißt Integral der Form:

Zentrales Trägheitsmoment der Abschnitt heißt das Integral des Geistes:

Die Kopfträgheitsachsen sind geschnitten heißen zwei senkrecht zur Achse stehende, wobei I xy =0 ist. Was die zueinander senkrechten Achsen betrifft, so ist die gesamte Symmetrie des Schnitts, dann I xy \u003d 0 i, auch qi-Achse - Schmutz. Kopfachsen, die durch den Schwerpunkt des Schnitts verlaufen, werden genannt Kopfmittelachsen der Trägheit

2. Der Satz von Steiner-Huygens über die Parallelübertragung von Achsen

Der Satz von Steiner-Huygens (der Satz von Steiner).
Das axiale Trägheitsmoment des Querschnitts I um eine ziemlich stabile Achse x ist größer als die Summe der axialen Trägheitsmomente des Querschnitts I von der sichtbaren parallelen Achse x * , die durch den Massenmittelpunkt geht Querschnitt, und die zusätzliche Fläche des Querschnitts A ist pro Quadrat der Achse zwei d.

Berücksichtigen wir die Trägheitsmomente I x і I y für die x- und y-Achsen, dann werden für die um kut α gedrehten Achsen ν і u die Trägheitsmomente der Achse und des Schwerpunkts mit berechnet Formeln:

Aus den Formeln geht hervor, dass dies klar ist

Tobto. die Summe der axialen Trägheitsmomente ändert sich beim Drehen senkrecht zueinander stehender Achsen nicht, also. . Kopfachsen, die durch den Schwerpunkt des Schnitts verlaufen, werden genannt Kopf Mittelachsen pererazu. Für symmetrische Achsquerschnitte und Symmetrie zu den Kopfmittelachsen. Die Position der Kopfachsen des Querschnitts der anderen Achsen wird durch die stellvertretende Spіvvіdnoshennia bestimmt:

de? Die Achsen des Trägheitsmoments werden wie die Kopfachsen genannt Kopfträgheitsmomente:

das Pluszeichen vor einem weiteren Zusatz wird auf das maximale Trägheitsmoment gebracht, das Minuszeichen auf das Minimum.

Bei praktischen Aufgabenstellungen ist es oft erforderlich, die Trägheitsmomente über den Achsen in unterschiedlichen Orientierungen auf derselben Ebene zu bezeichnen. Wenn Sie den Wert des Moments in der Trägheit der gesamten Frequenzweiche (vor allem Lagerteile) manuell anpassen müssen, gibt es andere Achsen, die Sie in der Fachliteratur, in speziellen Indikatoren und Tabellen finden und auch nach den Formeln suchen können. Daher ist es wichtig, Brachen zwischen den Trägheitsmomenten ein und derselben Kreuzung verschiedener Achsen herzustellen.

Der Übergang vom alten zum neuen Koordinatensystem kann in wilder Weise als zwei aufeinanderfolgende Transformationen des alten Koordinatensystems angesehen werden:

1) ein Weg der Parallelverschiebung der Koordinatenachsen an der neuen Position

2) eine Möglichkeit, їх shоdo einen neuen Koordinatenkolben zu drehen. Betrachten wir die erste dieser Transformationen, also die parallele Übertragung der Koordinatenachsen.

Es ist akzeptabel, dass die Trägheitsmomente des Thogo-Querschnitts der alten Achsen (Abb. 18.5) im Haus liegen.

Nehmen wir ein neues Koordinatensystem von Achsen, die parallel zu uns verlaufen. Bezeichnenderweise sind a und b die Koordinaten des Punktes (der des neuen Koordinatenbündels) im alten Koordinatensystem

Werfen wir einen Blick auf den elementaren Bereich Koordinaten її y des alten Koordinatensystems ist gleich y i . Das neue System stinkt genauso

Wir können den Wert der Koordinaten des axialen Trägheitsmoments um die Achse darstellen

Auf andere Weise - das Trägheitsmoment ist das statische Moment der Frequenzweiche entlang der Achse des Straßenbereichs F der Frequenzweiche.

Otzhe,

Wenn alles z durch den Schnittschwerpunkt geht, dann ist das statische Moment i

Aus der Formel (25.5) ist ersichtlich, dass das Trägheitsmoment wie bei einer Achse, um nicht durch den Schwerpunkt zu gehen, größer sein sollte als das Trägheitsmoment für die Achse, die durch den Schwerpunkt geht, um der Betrag des Jochs ist positiv. Aus dem gleichen Trägheitsmoment für parallele Achsen kann das axiale Trägheitsmoment werden geringsten Wert wie man durch den Schwerpunkt des Schnitts geht.

Trägheitsmoment um die Achse [in Analogie zu Formel (24.5)]

Bei einem Okremy-Sturz, wenn alles durch den Schwerpunkt des Schnitts geht

Die Formeln (25.5) und (27.5) werden häufig zur Berechnung der axialen Trägheitsmomente von faltbaren (Lager-) Überläufen verwendet.

Jetzt können wir uns den Wert des zentralen Trägheitsmoments für die Breite der Achsen vorstellen

Wenn die Achse zentral ist, sollte die Achse des Moments aussehen:

15.Brachland Trägheitsmomente beim Drehen von Achsen:

J x 1 \u003d J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 = J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y) sin2a + J xy cos2a;

Kut a>0, was bedeutet, dass der Übergang vom alten zum neuen Koordinatensystem ein Jahr dauert. J y 1 + J x 1 = J y + J x

Extreme (maximale und minimale) Werte des Trägheitsmoments werden genannt Kopfträgheitsmomente. Als Achsen werden Achsen bezeichnet, bei denen solche Achsenträgheitsmomente Extremwerte haben können Kopfträgheitsachsen. Die Hauptträgheitsachsen stehen senkrecht aufeinander. Vіdtsentrovі Trägheitsmomente shоdo Hauptachsen = 0, dann. Die Hauptträgheitsachsen sind die Achsen, bei denen ein beliebiges Wassermittelpunkt-Trägheitsmoment = 0 ist. Als eine der Achsen werden die Angriffe aus der Symmetrie verschoben, alle Gestanks sind schmutzig. Kut, der die Position der Hauptachsen bestimmt: also a 0 >0 Þ die Achsen drehen sich in die entgegengesetzte Richtung. Das gesamte Maximum sollte auf ein kleineres kut z tієї osі eingestellt werden, damit das Trägheitsmoment signifikanter sein kann. Kopfachsen, die durch das Zentrum der Vaga verlaufen, werden genannt Kopfmittelachsen der Trägheit. Trägheitsmomente für diese Achsen:

Jmax + Jmin = Jx + Jy. Das zentrale Trägheitsmoment ist gleich der Kopf-Mittelträgheitsachsen gleich 0. Daraus ergibt sich für das Kopf-Trägheitsmoment die Formel für den Übergang auf die gedrehten Achsen:

J x 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min) sin2a;

Kіntsevoy-Methode zur Berechnung geometrischer Angaben in Pererazu є Bezeichnung der wichtigsten zentralen Trägheitsmomente und der Position der wichtigsten zentralen Trägheitsachsen. Trägheitsradius - ; J. x = F. x ich x 2 , J. y = F. x ich y 2 .

Wenn J x ta J y Hauptträgheitsmomente sind, dann i x ta i y - Kopfträgheitsradien. Elips, Aufforderungen an den Kopfträgheitsradien, wie an den Pivos, werden genannt Trägheitsellipse. Mit Hilfe der Trägheitsellipse können Sie den Trägheitsradius i x 1 für eine beliebige Achse x 1 grafisch ermitteln. Dazu müssen Sie einen Punkt in eine Ellipse parallel zur x-Achse 1 zeichnen und den Abstand von der Mitte der Achse zum Punkt verringern. Wenn man den Trägheitsradius kennt, kann man das Trägheitsmoment des Schnitts entlang der Achse x 1 berechnen: . Für Perepіzіv kann scho mehr als zwei Symmetrieachsen haben (z. B.: Colo, Square, Ring und In) Trägheitsmomente der Achsen entlang aller Mittelachsen sind gleich, J xy \u003d 0, sonst rollen sie auf die Anteil der Trägheit.