Bezeichnung des Trägheitsmoments des Querschnitts bei Parallelverschiebung der Achsen. Änderung des Trägheitsmoments beim parallelen Verfahren der Koordinatenachsen Formeln zum Verfahren der Achsen

Komm z h, y z– zentrale Achse von pereriziv; – Trägheitsmomente über den Chodo-Achsen. Signifikante Trägheitsmomente über neue Achsen z1, 1, parallel zu den Mittelachsen und Stellen, an denen sie sich auf dem Ständer befinden aі d. Komm schon da- elementarer Maidan am Rande des Punktes M mit Koordinaten jі z am zentralen Koordinatensystem. 3 Abb. 4.3 ist ersichtlich, dass die Koordinaten des Punktes Z des neuen Koordinatensystems aktualisiert werden, .

Deutlich Trägheitsmoment quer zur Achse y 1 :

Abb.4.3

z c

ja

z1

ja 1

d

a

C

Offensichtlich ist das erste Integral ja, das andere ist , die Scherben des äußeren Koordinatensystems sind zentral und das dritte ist die Fläche des Schnitts ABER.

derart,

Ähnlich

Änderung der Trägheitsmomente des Überschnitts beim Drehen der Achsen

Wir kennen die Brache zwischen den Trägheitsmomenten und um die Achsen j, z und Trägheitsmomente um die Achsen ja 1, z1 Sie schaltete den Schnitt ein a. Komm schon Jy> Jz ta positiv kut a in der Achse aufwickeln j Anti-Jahres-Pfeil. Koordinatenpunkte senden M vor der Wende j, z, nach dem Wenden - ja 1, z1(Abbildung 4.4).

Von der Kleinen wimmert:

Für die Achsen sind nun die Trägheitsmomente von Bedeutung ja 1і z1:

Reis. 4.4

M

z

z1

ja 1

j

a

j

ja 1

z1

z

. (4.13)

Ähnlich:

Wenn wir Term für Term gleich (4.13) und (4.14) addieren, nehmen wir:

Tobto. die Summe der Trägheitsmomente, falls vorhanden, senkrecht zueinander stehende Achsen, ist dauerhaft festgelegt und ändert sich nicht, wenn das Koordinatensystem gedreht wird.

Kopfträgheitsachsen und Kopfträgheitsmomente

Zі zmіnoyu kuta Achsen drehen a Hautwerte ändern sich, aber die Summe bleibt unverändert. Otzhe, hat die gleiche Bedeutung

ein = ein 0 , für die die Trägheitsmomente extreme Werte erreichen, das heißt. einer von ihnen erreicht seinen maximalen Wert, und der andere erreicht seinen minimalen Wert. Für die Bedeutung a 0 werfen wir einen Blick darauf (ansonsten) und setzen es mit Null gleich:

Es zeigt sich, dass bei weggenommenen Achsen das zentrale Trägheitsmoment gleich Null ist. Rechts davon ist ein Teil der Gleichung (4.15) gleich Null: , Sterne, Tobto. nahm die gleiche Formel für a 0 .

Achsen, bei denen ein zentrales Trägheitsmoment nahe Null ist und Achsenträgheitsmomente extreme Werte erreichen, werden als Kopfachsen bezeichnet. Yakscho tsi osі є і zentral, alle Gestanke werden als Kopfmittelachsen bezeichnet. Achsträgheitsmomente werden wie Kopfachsen als Kopfträgheitsmomente bezeichnet.

Schlagzeilenachse deutlich durch ja 0і z0. Todi

Wenn die Netzhaut ganz symmetrisch sein kann, dann ist alles eine der zentralen Trägheitsachsen des Kopfes perezu.

Betrachten wir das Trägheitsmoment der flachen Figur (Bild) für die Achsen $(Z_1)$ und $(Y_1)$ für die gegebenen Trägheitsmomente für die Achsen $X$ und $Y$.

$(I_((x_1))) = \int\limits_A (y_1^2dA) = \int\limits_A (((\left((y + a) \right))^2)dA) = \int\limits_A ( \left(((y^2) + 2ay + (a^2)) \right)dA) = \int\limits_A ((y^2)dA) + 2a\int\limits_A (ydA) + (a^2 )\int\limits_A (dA) = $

$ = (I_x) + 2a(S_x) + (a^2)A$,

von $(S_x)$ - das statische Moment der Figur liegt um die Achse $X$.

Ähnlich wie die Achse $(Y_1)$

$(I_((y_1))) = (I_y) + 2a(S_y) + (b^2)A$.

Zentrales Trägheitsmoment für die Achsen $(X_1)$ und $(Y_1)$

$(I_((x_1)(y_1))) = \int\limits_A ((x_1)(y_1)dA) = \int\limits_A (\left((x + b) \right)\left((y + a ) \right)dA) = \int\limits_A (\left((xy + xa + by + ba) \right)dA) = \int\limits_A (xydA) + a\int\limits_A (xdA) + b\int \limits_A(ydA) + ab\int\limits_A(dA) = (I_(xy)) + a(S_x) + b(S_y) + abA$

Meistens gibt es einen Übergang von den Mittelachsen (den oberen Achsen der flachen Figur) zu den vollen, parallelen Achsen. Dann ist $(S_x) = 0$, $(S_y) = 0$, die Shards der Achse $X$ und $Y$ sind zentral. Restliche Mayonnaise

de, - die Kraftträgheitsmomente, dh die Trägheitsmomente entsprechend der Kraft der Mittelachsen;

$a$, $b$ - vіdstanі mit Mittelachsen zu analіzovanih;

$A$ - Figurenfläche.

Zu beachten ist, dass bei der Zuordnung des zentralen Trägheitsmoments zu den Größen $a$ und $b$ das Vorzeichen schuld ist, so dass der Gestank tatsächlich in den Koordinaten des Schwerpunkts der Figur liegt die betrachteten Achsen. Wenn die axialen Trägheitsmomente und Werte zugewiesen werden, werden die Werte hinter dem Modul angezeigt (wie im Standard), jedoch steigen die Scherben des Gestanks zum Quadrat auf.

Für Hilfeformeln parallele Übertragung Es ist möglich, den Übergang von den Mittelachsen zu den oberen oder Navpak zu ändern- in den prevіlnyh Mittelachsen Der erste Übergang ist mit einem "+" -Zeichen gekennzeichnet. Eine weitere Kreuzung ist mit einem Schild gekennzeichnet- ".

Wenden Sie verschiedene Formeln auf den Übergang zwischen parallelen Achsen an

Rechteckiges Retin

Bezeichnenderweise ist das zentrale Trägheitsmoment eines Rechtecks ​​proportional zu den Hauptträgheitsmomenten um die Achsen $Z$ und $Y$.

$(I_x) = \frac((b(h^3)))(3)$; $(I_y) = \frac((h(b^3)))(3)$.

.

Ähnlich ist $(I_y) = \frac((h(b^3)))((12))$.

Trikutny Pereriz

Bezeichnenderweise ist das zentrale Trägheitsmoment des Tricoutters über dem gegebenen Trägheitsmoment der Basis $(I_x) = \frac((b(h^3)))((12))$.

.

Wenn die Mittelachse $(Y_c)$ eine andere Konfiguration hat, dann können wir uns das auch anschauen. Das Trägheitsmoment aller Figuren entlang der Achse $(Y_c)$ ist größer als die Summe aus dem Trägheitsmoment des Trikots $ABD$ entlang der Achse $(Y_c)$ und dem Trägheitsmoment des Trikots $CBD$ entlang der Achse $(Y_c)$, tobto

.

Termin zum Trägheitsmoment der gefalteten Schiene

Lassen Sie uns ein Peratin zusammenstellen, das aus okremih-Elementen besteht, den geometrischen Merkmalen von jedem von ihnen. Die Fläche, das statische Moment und das Trägheitsmoment der Lagerfigur addieren sich zur Summe der relevanten Eigenschaften des Lagers. Wie Falten des Umfangs können Sie es von außen wie eine der Figuren aussehen lassen, die geometrischen Merkmale der Figur sind sichtbar. Zum Beispiel Trägheitsmomente einer Lagerfigur, die in Abb. wird so erscheinen

$I_z^() = \frac((120 \cdot ((22)^3)))((12)) - 2 \cdot \frac((50 \cdot ((16)^3)))((12 )) = 72 \, 300 $ cm 4 .

$I_y^() = \frac((22 \cdot ((120)^3)))((12)) - 2 \cdot \left((\frac((16 \cdot ((50)^3)) )((12)) + 50 \cdot 16 \cdot ((29)^2)) \right) = 1\.490\.000$cm 4

Lass mich dich und Ix, Iy, Ixy sehen. Parallel zu den xy-Achsen zeichnen wir eine neue Linie x1, y1.

І erhebliches Trägheitsmoment beim Schneiden der neuen Achsen.

X 1 \u003d x-a; y 1 = y-b

I x 1 = ∫ y 1 dA = ∫ (y-b) 2 dA = ∫ (y 2 - 2by + b 3) dA = ∫ y 2 dA – 2b ∫ ydA + b 2 ∫dA=

Ix - 2b Sx + b 2A.

Geht alles durch den Schnittschwerpunkt, so ist das statische Moment Sx =0.

I x 1 = Ix + b 2 A

Ähnlich wie bei der neuen Achse y 1 können wir die Formel I y 1 = Iy + a 2 A berechnen

Zentrales Trägheitsmoment für neue Achsen

Ix 1 und 1 \u003d Ixy - b Sx -a Sy + abA.

Wenn die Achse xy durch den Schwerpunkt des Schnitts geht, dann ist Ix 1 y 1 = Ixy + abA

Wenn der Strahl symmetrisch ist und sich eine der Mittelachsen um die gesamte Symmetrie bewegt, dann Ixy \u003d 0, auch Ix 1 y 1 \u003d abA

Ändern des Trägheitsmoments unter der Stunde des Drehens der Achsen.

Teilen Sie uns die axialen Trägheitsmomente um die xy-Achsen mit.

Das neue Koordinatensystem xy wird weggenommen, indem das alte System auf kut (a> 0) gedreht wird, also der Anti-Jahres-Pfeil gedreht wird.

Lassen Sie uns die Brache zwischen den alten und neuen Koordinaten des Maidanchik installieren

y 1 \u003d ab \u003d ac - bc \u003d ab-de

von tricot acd:

ac/ad \u003d cos α ac \u003d ad * cos α

von tricot oed:

de/od=sinα dc=od*sinα

Lassen Sie uns den Wert von virase für y darstellen

y 1 \u003d ad cos α - od sin α \u003d y cos α - x sin α.

Ähnlich

x 1 \u003d x cos α + y sin α.

Wir berechnen das axiale Trägheitsmoment für die neue Achse x 1

Ix 1 = ∫y 1 2 dA = ∫ (y cos α - x sin α) 2 dA = ∫ (y 2 cos 2 α - 2xy sin α cos α + x 2 sin 2 α) dA = = cos 2 α ∫ y 2 dA - sin2 α ∫xy dA + sin 2 α ∫x 2 dA = Ix cos 2 α - Ixy sin2 α + Iy sin 2 α .

In ähnlicher Weise Iy 1 \u003d Ix sin 2 α - Ixy sin2 α + Iy cos 2 α.

Wir haben den linken und rechten Teil des weggelassenen Virus zusammengestellt:

Ix 1 + Iy 1 \u003d Ix (sin 2 α + cos 2 α) + Iy (sin 2 α + cos 2 α) + Ixy (sin2 α - cos2 α).

Ix 1 + Iy 1 = Ix + Iy

Die Summe der axialen Trägheitsmomente ändert sich beim Drehen nicht.

Wesentlich ist das zentrale Trägheitsmoment für neue Achsen. Der Wert x 1 ,y 1 ist sichtbar.

Ix 1 y 1 = ∫x 1 y 1 dA = (Ix – Iy)/2*sin 2 α + Ixy cos 2 α .

Hauptmomente und Hauptträgheitsachsen.

Kopfträgheitsmomente Nennen Sie ihre Extremwerte.

Die Achsen, die einige Extremwerte haben, werden Kopfträgheitsachsen genannt. Der Gestank ist immer senkrecht zueinander.

Vіdtsentrovy Moment innertsії schodo Kopfachsen zavzhdі dorivnyuє 0. Oskіlki vіdomo, scho shcho haben gegen Symmetrie, dann vіdtsentrovy Moment in vіvnyuє 0, auch alle Symmetrie in Kopf vіssyu. Wenn wir die erste Zeile in viraz I x 1 nehmen und dann її mit „0“ gleichsetzen, dann nehmen wir den Wert von kuta = die entsprechende Position der Trägheitsachsen des Kopfes.

tg2 α 0 = -

Ist α 0 >0, so muss die alte Station der Kopfachsen in Richtung des Jahrespfeils gedreht werden. Eine der Hauptachsen ist є max und іnsha - min. Mit Hilfe des maximalen Gewichts bläst der Wind einen kleineren Kut tієї vypadkovoї, vyssyu schodo kakoї kann ein größeres axiales Trägheitsmoment haben. Die Extremwerte des axialen Trägheitsmoments werden nach folgender Formel bestimmt:

Kapitel 2. Grundlegendes Verständnis der Unterstützung von Materialien. Die Aufgabe dieser Methode.

Unter der Stunde des Entwerfens verschiedener Sporen ist es notwendig, unterschiedliche Nährwerte, Zhorstkost und Ausdauer zu virishuvate.

Mitsnist- Der Bau dieses Körpers wird den Unterschied in der Eitelkeit ohne Zerstörung demonstrieren.

Härte- den Aufbau der Struktur ohne große Verformungen (Verschiebung) zu nutzen. Vorwärts zulässige Verformungswerte regeln die zukünftigen Normen und Regeln (SNIP).

Durchhaltevermögen

Wir können uns den Griff der Gnuchka-Schere ansehen

Wenn Sie sich Schritt für Schritt steigern möchten, dann gibt es einen schnellen Haarschnitt auf dem Rücken. Wenn die Kraft F den kritischen Wert erreicht, wölbt sich die Scherung. - Absolut kurz.

Damit bricht die Scherung nicht zusammen, sondern ändert stark ihre Form. Ein solches Phänomen wird als Vtratoy-Ausdauer bezeichnet und führt zum Ruin.

Sopromat- Diese Grundlagen der Wissenschaften über Mіtsnіst, zhorstkіst, stіykіst von Ingenieurstrukturen. Spivpromatі vikoristovuyutsya-Methoden Theoretische Mechanik, Physiker, Mathematiker Auf der vіdmіnu und teoreticії mekhanіki spromat vrakhovuє zminі rozmirіv bilde ich bis pіl ієyu navantazhennya diese Temperatur.

Deutliche Brachflächen zwischen unterschiedlichen Trägheitsmomenten über zwei parallele Achsen (Abb. 6.7), die durch Brachflächen verbunden sind

1. Für statische Trägheitsmomente

Brunnen,

2. Für axiale Trägheitsmomente

och,

Yakshcho alles z dann durch den Schwerpunkt des Schnitts gehen

Von den erforderlichen Trägheitsmomenten parallel zu den Achsen kann das axiale Trägheitsmoment am wenigsten wichtig sein, damit die Achse durch den Schwerpunkt des Querschnitts verläuft.

Ähnlich für die Achse

Ich falle j durch den Schwerpunkt gehen

3. Für das Wasserzentrum müssen Trägheitsmomente genommen werden

Der Rest kann geschrieben werden

Manchmal, wenn der Kolben des Koordinatensystems ja im Schwerpunkt des Schnitts sein, nehmen Sie ihn weg

Haben Sie ein Vipadku, wenn der eine oder andere die Achse mit den Symmetrieachsen verletzt,

6.7. Wechselnde Massenträgheitsmomente beim Drehen von Achsen

Die Aufgabe des Trägheitsmoments sei entlang der Koordinatenachsen geschnitten zy.

Es ist notwendig, das Trägheitsmoment desselben Achsenquerschnitts zu bezeichnen, der um einen Dezimalpunkt in Bezug auf das Koordinatensystem gedreht ist zy(Abbildung 6.8).

Kut vvazhaetsya positiv, wie das alte Koordinatensystem für den Übergang zum neuen, muss der Pfeil gegen das Jahr gedreht werden (für das rechtwinklige kartesische Koordinatensystem). Neu und alt zy Koordinatensysteme po'yazanі Brachen, yakі vyplyvayut in Abb. 6.8:

1. Signifikant für die axialen Trägheitsmomente entlang der Achsen des neuen Koordinatensystems:

Ähnlich dem Betriebssystem

Wenn wir die Größe des Trägheitsmoments entlang der Achsen i addieren, dann nehmen wir

d.h. wenn die Achsen gedreht werden, ist die Summe der axialen Trägheitsmomente ein konstanter Wert.

2. Sehen wir uns die Formeln für das zentrale Trägheitsmoment an.

.

6.8. Hauptträgheitsmomente. Hauptträgheitsachsen

Die Extremwerte der axialen Trägheitsmomente des Schnitts werden als Kopfträgheitsmomente bezeichnet.

Zwei senkrecht zueinander stehende Achsen, wobei solche Trägheitsmomentachsen Extremwerte haben können, werden als Kopfträgheitsachsen bezeichnet.

Für die Bedeutung der Hauptträgheitsmomente und der Lage der Kopfträgheitsachsen ist zunächst entlang des Hecks in dem der Formel (6.27) zugeordneten Trägheitsmoment von Bedeutung

Dieses Ergebnis gleich Null setzen:

de - Kut, bei dem Sie die Koordinatenachsen drehen müssen jі z schob Gestank zbіglisya z Kopfachsen.

Porіvnyuyuchi vrazi (6.30) und (6.31) können Sie installieren, scho

,

Otzhe, shdo die Hauptträgheitsachsen vydtsentrovy Trägheitsmoment auf Null.

Gegenseitig senkrecht zu den Achsen, von denen der eine oder andere die Symmetrieachsen des Umfangs und die Trägheitsachsen des Kopfes beleidigt.

Rozv'yazhemo rivnyannya (6.31) shodo kuta:

.

Wenn >0, dann ist die Zuordnung der Position einer der Kopfträgheitsachsen zum rechten (linken) kartesischen rechtwinkligen Koordinatensystem notwendig z drehen Sie den Kut gegen den Verlauf der Umwicklung (entlang der Umwicklung) des Jahrespfeils. Jakscho<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо осьz Drehe dich entlang der Umwicklung (entgegen der Umwicklungsrichtung) des Jahrespfeils zum Kut.

Achse maximal zavzhdi skladє kleiner kut z tієї osі ( j oder z), so dass das axiale Trägheitsmoment größer als der Wert (Bild 6.9) werden kann.

Das gesamte Maximum wird unter dem Schnitt zur Achse (), Yaksho () begradigt und in gepaarten (ungepaarten) Vierteln der Achsen, Yaksho (), gefaltet.

Die Hauptträgheitsmomente sind signifikant. Vicoristische Formeln aus der Trigonometrie, die Funktionen verknüpfen, werden mit Funktionen, Formeln (6.27) genommen

,