Finden Sie die wichtigste Funktion der Zahl heraus. Die wichtigsten und unwichtigsten Funktionen der wenigen Änderungen in der Region. Funktionen vieler Änderungen

Termin 1.11 Die Funktion zweier Wechsler einstellen lassen z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (x 0 ;j 0 ) - interner Punkt des Bereichs D .

Jakscho rein D є eine solche Nachbarschaft ÄH 0 Flecken M 0 , die für alle Punkte

dann ein Fleck M 0 heißt lokaler Maximumpunkt. Und die Bedeutung z(M 0 ) - lokales Maximum.

Und was alle Punkte betrifft

dann ein Fleck M 0 heißt Punkt des lokalen Minimums der Funktion z(x,y) . Und die Bedeutung z(M 0 ) - Lokales Minimum.

Das lokale Maximum und das lokale Minimum werden lokale Extrema der Funktion genannt z(x,y) . Auf Abb. 1.4 erklärt geometrisch zmist lokales Maximum: M 0 - Zeigen Sie auf das Maximum, auf das, was sich an der Oberfläche befindet z = z(x, y) klarer Punkt C 0 aus anderen Gründen besser zu wissen C (Welches hat die maximale Lokalität).

Mit Respekt, es gibt Punkte auf der Oberfläche (z. B. Bei ), wenn Sie mehr wissen C 0 , Ale-Qi-Punkte (zum Beispiel Bei ) nicht є "gerichtlich" mit einem Punkt C 0 .

Zocrema, Punkt Bei bestätigt das Verständnis des globalen Maximums:

In ähnlicher Weise wird das globale Minimum bestimmt:

Die Kenntnis globaler Maxima und Minima wird in Abschnitt 1.10 diskutiert.

Satz 1.3 (erforderliches Extremum).

Lassen Sie die Funktion eingestellt werden z = z (x, y), (x, y) D . Krapka M 0 (x 0 ;j 0 D - Lokaler Extrempunkt.

Was hast du z" x і z" j , dann

Geometrische Bestätigung ist "offensichtlich". Was kommt als nächstes C 0 auf (Abb. 1.4), um eine punktuell ebene Fläche zu zeichnen, dort "natürlich" horizontal verlaufen, also unter der Motorhaube 0° zur Achse Oh ich zur Achse OU .

Gleiches gilt für eine geometrische Veränderung privater Verwandter (Abb. 1.3):

was mitgebracht werden musste.

Termin 1.12.

Was kommt als nächstes M 0 denken Sie (1.41), dann heißt er Stationärpunkt der Funktion z (x, y) .

Satz 1.4 (genügend Verstand für das Extremum).

Lass mich fragen z = z (x, y), (x, y) D , da in der Nähe des Punktes private Veranstaltungen anderer Art stattfinden können M 0 (x 0 , ja 0 ) D . Und warum M 0 - Stationären Punkt Rechnen wir:

Der Beweis des Satzes von Vicorist durch jene (Taylors Formel der Funktion einer Anzahl von Variablen und die Theorie der quadratischen Formen), die von keinem Helfer berücksichtigt wird.

Hintern 1.13.

Bis zum Äußersten gehen:

1. Wir kennen die stationären Punkte, die das System (1.41) brechen:

also haben wir einige stationäre Punkte gefunden. 2.

nach Satz 1.4 haben Punkte ein Minimum. Und warum

nach Satz 1.4 an der Stelle

Maximal. Und warum

§10 Der größte und kleinste Wert der Funktion zweier Variablen in einem geschlossenen Bereich

Satz 1.5 Lassen Sie in der Nähe eines abgeschlossenen Gebiets los D Funktion eingestellt ist z = z(x, y) , das können ungestörte Privatreisen erster Güte sein. Kordon G Regionen D є shmatkovo glatt (das wird aus shmatkіv "glatt auf dotik" Kurven oder geraden Linien gefaltet). Tödi in der Region D Funktion z(x,y) erreiche dein Größtes M und am wenigsten m Wert.

Ohne Bestätigung.

Sie können den nächsten Plan der Zurechtweisung propagieren M і m . 1. Wir werden Stühle sein, wir können alle Teile des Kordons der Region sehen D und wir kennen alle "kutovі" -Punkte der Kordon. 2. Wir kennen die stationären Punkte in der Mitte D . 3. Stationäre Punkte der Haut von den Kordons sind bekannt. 4. Berechnen Sie an allen Stationär- und Scheitelpunkten und wählen Sie dann die meisten aus M und am wenigsten m Bedeutung.

Fall 1.14 Mehr wissen M und am wenigsten m Funktionswert z = 4x2-2xy+y2-8x in der Nähe des geschlossenen Bereichs D , umschrieben: x=0, y=0, 4x+3y=12 .

1. Lassen Sie uns den Bereich verschieben D (Abb. 1.5) auf der Ebene Ohu .

Kutovі-Punkte: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Kordon G Regionen D besteht aus drei Teilen:

2. Wir kennen die stationären Punkte in der Mitte der Region D :

3. Stationäre Punkte auf Kordons l 1 ,l 2 ,l 3 :

4. Sechs Werte werden gezählt:

Wählen Sie unter Auslassen von sechs Werten den höchsten und den niedrigsten aus.

Satz 1.5 Lassen Sie in der Nähe eines abgeschlossenen Gebiets los D Funktion eingestellt ist z = z(x, y) , das können ungestörte Privatreisen erster Güte sein. Kordon G Regionen D є shmatkovo glatt (das wird aus shmatkіv "glatt auf dotik" Kurven oder geraden Linien gefaltet). Tödi in der Region D Funktion z (x, y) erreiche dein Größtes M und am wenigsten m Wert.

Ohne Bestätigung.

Sie können den nächsten Plan der Zurechtweisung propagieren M і m .
1. Wir werden Stühle sein, wir können alle Teile des Kordons der Region sehen D und wir kennen alle "kutovі" -Punkte der Kordon.
2. Wir kennen die stationären Punkte in der Mitte D .
3. Stationäre Punkte der Haut von den Kordons sind bekannt.
4. Berechnen Sie an allen Stationär- und Scheitelpunkten und wählen Sie dann die meisten aus M und am wenigsten m Bedeutung.

Fall 1.14 Mehr wissen M und am wenigsten m Funktionswert z = 4x2-2xy+y2-8x in der Nähe des geschlossenen Bereichs D , umschrieben: x = 0, y = 0, 4x + 3y = 12 .

1. Lassen Sie uns den Bereich verschieben D (Abb. 1.5) auf der Ebene Ohu .

Kutovі-Punkte: Pro (0; 0), B (0; 4), A (3; 0) .

Kordon G Regionen D besteht aus drei Teilen:

2. Wir kennen die stationären Punkte in der Mitte der Region D :

3. Stationäre Punkte auf Kordons l1, l2, l3 :

4. Sechs Werte werden gezählt:

Sich bewerben

Beispiel 1.

Diese Funktion wird allen sich ändernden Werten zugewiesen x і j , crim den Koordinatenkolben, de znamennik dreht sich auf Null.

Reiches Mitglied x2+y2 ununterbrochenes usudi und daher i ununterbrochene Quadratwurzel einer ununterbrochenen Funktion.

Drib wird überall ununterbrochen sein, Krimpunkt, de Banner auf Null. Die betrachtete Funktion ist auf der gesamten Koordinatenebene ununterbrochen Ohu , einschließlich des Koordinatenkolbens.

Hintern 2.

Befolgen Sie die Funktion zur Sicherheit z=tg (x, y) . Tangente der Werte und ohne Unterbrechung für alle endgültige Bedeutungen Argument, Krimwert, gleich der ungepaarten Zahl der Größenordnung π /2 , dann. inklusive Punkte, de

Mit kutaner Fixierung "k" Gleichung (1.11) bedeutet eine Übertreibung. Daher ist die Funktion є ununterbrochene Funktion x Andy einschließlich Punkten, die auf Kurven liegen (1.11).

Beispiel 3.

Kennen Sie private Outdoor-Funktionen u=z-xy , z > 0 .

Hintern 4.

Zeigen Sie, was die Funktion

zufrieden mit der Gleichheit:

– diese Gleichheit gilt für alle Punkte M(x;y;z) Sahne Punkt M 0 (a; b; c) .

Schauen wir uns die Funktion z=f(x, y) zweier unabhängiger Variablen an und installieren die geometrische Substitution privater Variablen z"x = f"x (x, y) і z" y = f" y (x, y) .

Wessen Geist gleich ist z=f (x, y) є Nivellierung der Oberfläche (Abb. 1.3). Flach gehalten j = konst . Bei pererizі tsієї oberflächlichen Oberflächen z=f (x, y) siehe Deyka-Linie l 1 peretina, vzdovzh, die weniger als die Größe ändern X і z .

Privatreise z"x (її geometrische Verschiebung ohne mittleres Vyplyaє z uns bekannter geometrischer Sinn einer ähnlichen Funktion einer Variablen) ist der Tangente der Kuta numerisch überlegen α kränklich, durch Verlängerung der Achse Oh , Schodo L1 zur Kurve l 1 , scho an die Oberfläche zu gehen z=f (x, y) eben j = konst am Punkt M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgα .

An der Netzhaut und der Oberfläche z=f (x, y) eben X = konst breite Linie peretina l 2 , vzdovzh, die weniger als Größenordnung ändern bei і z . Todi privater Spaß z" y der Tangente der Kuta zahlenmäßig überlegen β nahilu durch Verlängerung der Achse OU , Schodo L2 zur angegebenen Zeile l 2 Peretina in Punkten M (x, y, f (xy)): z "x \u003d tgβ .

Beispiel 5.

Welche Art von Kutvoruє ist vіssyu Oh dotichna zur Zeile:

am Punkt M(2,4,5) ?

Vikoristovuєmo geometrischer Ersatz eines privaten Ersatzes für einen Ersatz X (schnell bei ):

Beispiel 6.

Zgidno (1.31):

Beispiel 7.

Vvayayuchi, scho gleich

implizit eine Funktion definieren

kennt z"x , z" y .

Aus diesem Grund (1.37) brauchen wir Beweise.

Beispiel 8.

Bis zum Äußersten gehen:

1. Wir kennen die stationären Punkte, die das System (1.41) brechen:

also haben wir einige stationäre Punkte gefunden.
2.

nach Satz 1.4 haben Punkte ein Minimum.

Und warum

4. Sechs Werte werden gezählt:

Wählen Sie unter Auslassen von sechs Werten den höchsten und den niedrigsten aus.

Literaturliste:

ü Belko I. V., Kuzmich K. K. Tolle Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler I Semester: Expresskurs. - M.: Neue Erkenntnisse, 2002. - 140 p.

ü Gusak A.A. Mathematische Analyse und differenzielle Ausrichtung. - Minsk: TetraSystems, 1998. - 416 p.

ü Gusak A. A. Vishcha Mathematik. Überschriftenführer für Studierende in 2 Bänden. - Mn., 1998. - 544 S. (1 Bd.), 448 S. (2 Tonnen).

ü Kremer N. Sh., Putko B. A., Trishin I. M., Fridman M. N. Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Ein Handbuch für Universitäten / Ed. Prof. N. Sch. Kremer. - M.: UNITI, 2002. - 471 S.

ü Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. ICH. das hinein. Vishcha-Mathematik. Zagalniy-Kurs: Pidruchnik / Zag. ed. S. A. Samal. - Mn.: Visch. Schule, 2000. - 351 S.

Immer weniger Sinn

Die von einer geschlossenen Fläche umgebene Funktion erreicht ihren größten und kleinsten Wert entweder an stationären Punkten oder an Punkten, die auf der Randfläche liegen.

Um den größten und kleinsten Wert der Funktion zu finden, ist es notwendig:

1. Finden Sie stationäre Punkte, die in der Mitte dieses Bereichs liegen, und berechnen Sie die Werte der Funktion für sie.

2. Den höchsten (kleinsten) Wert der Funktion der Interregion kennen.

3. Gleichen Sie alle negativen Werte der Funktion aus: die größten (weniger) und die größten (kleinsten) Werte der Funktion für diese Galerie.

Hintern 2. Finden Sie den größten (kleinsten) Wert der Funktion: y .

Lösung.

der Punkt ist stationär; .

2 . Die Grenze des geschlossenen Bereichs ist der Ring, de.

Die Funktion der Interregion wird zur Funktion einer Veränderung: , de . Wir kennen die wichtigsten und unwichtigsten Funktionen.

Für x = 0; (0,-3) und (0,3) sind kritische Punkte.

Berechnen Sie den Wert der Funktion an den Enden des Kranzes

3 . Porivnyuyuchi mizh sich selbst otrimuemo,

An den Punkten A und B.

An den Punkten C und D.

Beispiel 3. Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion im geschlossenen Bereich angesichts der Ungleichmäßigkeit:

Lösung. Der Bereich є trikutnik, wir werden die Koordinatenachsen і mit einer geraden Linie x + y = 1 umgeben.

1. Wir kennen stationäre Punkte mitten in der Region:

; ; y = -1/8; x = 1/8.

Der stationäre Punkt gehört nicht zu diesem Bereich, daher wird der Wert von z darin nicht berechnet.

2 .Doslіdzhuєmo-Funktion auf der Kordon. Die Scherben der Grenze werden aus drei Dіlyanki gebildet, die von drei verschiedenen Gleichen beschrieben werden, doslіdzhuєmo-Funktion der Haut dіlantsі okremo:

a) div 0A: y=0- gleich 0A, dann ; aus gleich ist klar, dass die Funktion um 0A von 0 auf 1 ansteigt. Mittelwert .

b) auf dem Abstand 0B: x = 0 - der Abstand 0B, dann; -6y + 1 = 0; - Kritischer Punkt.

in) zum direkten x + y = 1: y = 1-x, dann nehmen wir die Funktion

Wir berechnen den Wert der Funktion z am Punkt B(0,1).

3 .Perіvnyuyuchi Zahlen otrimuemo, scho

Zum geraden AB.

Am Punkt B.

Test für Selbstbeherrschung Wissen.

eines . Funktionsextremum – ce

a) її pokhіdnі erste Bestellung

b) її gleich

c) її Zeitplan

d) її Maximum und Minimum

2. Das Extremum der Funktion können möglichst viele erreichen:

a) nur an den Punkten, die in der Mitte des bezeichneten Bereichs liegen, dann sind die privaten Werte erster Ordnung größer als Null

b) nur an Punkten, die in der Mitte des bezeichneten Bereichs liegen, dann sind die privaten Werte erster Ordnung kleiner als Null

c) nur an den Punkten, die in der Mitte des bezeichneten Bereichs liegen, dann sind die privaten Werte erster Ordnung ungleich Null

d) nur an Punkten, die in der Mitte des bezeichneten Bereichs liegen, dann sind private Ähnlichkeiten erster Ordnung gleich Null

3. Eine Funktion, die in einem geschlossenen Bereich ununterbrochen ist und ihre höchsten und niedrigsten Werte erreicht:

a) an stationären Punkten

b) entweder an stationären Punkten oder an Punkten, die auf der Zwischenregion liegen

c) an Punkten, die auf der Zwischenregion liegen

d) an allen Punkten

4. Stationäre Punkte für die Funktion, wie viele Variablen Punkte genannt werden:

a) für einige u

b) einige von ihnen haben private Differenzen erster Ordnung größer als null

c) für einige von ihnen sind die privaten Änderungen erster Ordnung gleich Null

d) für einige von ihnen sind private Verhaltensweisen erster Ordnung kleiner als null

Die Funktion y = f (x) sei durch den Wind unterbrochen. Anscheinend erreicht eine solche Funktion ihren größten Wert. diese Einstellung. Wert. Diese Funktion kann am inneren Punkt des Fensters oder an der Grenze des Fensters tobto genommen werden. bei = a oder = b. Wie ein Punkt, um die Mitte der kritischen Punkte einer gegebenen Funktion zu verfolgen.

Wir nehmen die Wertregel des größten und kleinsten Wertes der Funktion zu:

1) bestimme die kritischen Punkte der Funktion auf dem Intervall (a, b);

2) Berechnen Sie die Werte der Funktion an den gefundenen kritischen Punkten;

3) Berechnen Sie den Wert der Funktion der Kintsyah vіdrіzka, tobto. an den Punkten x=a und x=b;

4) Der Durchschnitt der berechneten Werte der Funktion ist am meisten und am wenigsten zu wählen.

Respekt:

1. Wenn die Funktion y = f (x) mehr als einen kritischen Punkt pro vdrіzku hat und є den Punkt des Maximums (Minimums) gewonnen hat, erhält die Funktion an diesem Punkt den größten (kleinsten) Wert.

2. Da die Funktion y=f(x) keine kritischen Punkte hat, bedeutet dies, dass die Funktion für die neue monoton zunimmt und abfällt. Außerdem nimmt die Funktion ihren maximalen Wert (M) an einem Ende des Hubs und den kleinsten (m) an dem anderen an.

60. Komplexe Zahlen. Formula de Moivre.
komplexe Zahl Name viraz mind z = x + iy, de x und y - Zahlen, und ich - so genannt. offensichtliche Einsamkeit. Wenn x=0, dann zählt die Zahl 0+iy=iy. lassen Sie es uns durch Zahl zeigen; obwohl y=0, wird die Zahl x+i0=x auf die aktuelle Zahl x abgebildet, aber das bedeutet, dass das unpersönliche R aller Funktionen funktioniert. Zahlen javl. unter der Vielfalt des unpersönlichen Z usikh komplexe Zahlen, dann. . Nummer x Namen der Dezimalteil z, . Zwei komplexe Zahlen і heißen gleich (z1=z2) gerade und nur einmal, wenn gleiche Teile und gleiche Teile gleich sind: x1=x2, y1=y2. Zocrema, die komplexe Zahl Z=x+iy ist gleich Null und dann wenn x=y=0. Die Begriffe „größer“ und „kleiner“ für komplexe Zahlen werden nicht eingeführt. Zwei komplexe Zahlen z \u003d x + iy і, die nur durch das Vorzeichen des expliziten Teils berücksichtigt werden, werden als erhalten bezeichnet.

Geometrische Darstellung komplexer Zahlen.

Ob eine komplexe Zahl z = x + iy durch einen Punkt M(x,y) der Ebene Oxy dargestellt werden kann, so dass x=Re z, y=Im z. Zum einen kann der Hautpunkt M(x;y) der Koordinatenebene als Bild der komplexen Zahl z = x + iy verwendet werden. Der Bereich, in dem komplexe Zahlen angezeigt werden, wird als komplexer Bereich bezeichnet, weil er muss die reellen Zahlen z = x + 0i = x liegen. Alle Ordinaten heißen explizite Ecken, weil auf ihnen die scheinbaren komplexen Zahlen z = 0 + iy liegen. Hinter dem Hilfsradiusvektor r=OM=(x,y) kann die komplexe Zahl Z=x+iy eingesetzt werden. Die Länge des Vektors r, der die komplexe Zahl z darstellt, heißt Modul dieser Zahl und wird mit | bezeichnet z | oder r. Rozmir kuta mizh poklade. Direkt auf der reellen Achse wird der Vektor r, der eine komplexe Zahl darstellt, als Argument der komplexen Zahl bezeichnet, bezeichnet mit Arg z oder . Das komplexe Zahlenargument Z = 0 wird nicht zugewiesen. Das Argument einer komplexen Zahl - der Wert ist von großer Bedeutung und wird mit Genauigkeit bis zum Dodanku gemessen, de arg z - der Hauptwert des Arguments, der dann in das Leerzeichen () eingefügt wird. - (Nehmen Sie manchmal als Kopfwert des Arguments den Wert, der die Lücke enthalten sollte (0; )).

Das Schreiben der Zahl z als z=x+iy wird als algebraische Form einer komplexen Zahl bezeichnet.

Dії über komplexe Zahlen

Nachtrag. Die Summe zweier komplexer Zahlen z1=x1+iy1 und z2=x2+iy2 ist eine komplexe Zahl, die gleich ist: z1+z2=(x1+x2) + i(y1+y2). Die Addition komplexer Zahlen kann die Potenz verändern und verändern: z1+z2=z2+z1. (Z1 + Z2) + Z3 = Z1 + (Z2 + Z3). Vidnіmannya. Vіdnіmannya vyznaєtsya yak dіya, zvorotne dodavannya. Die Differenz zwischen den komplexen Zahlen z1 und z2 heißt eine solche komplexe Zahl z, die, zu z2 addiert, die Zahl z1 ergibt. z = z1-z2, also z + z2 = z1. Wie z1=x1+iy1, z2=x2+iy2 ist es einfach, z aus dieser Zuordnung herauszunehmen: z=z1-z2=(x1-x2) + i(y1-y2). Plural. Das Komplement der komplexen Zahlen z1=x1+iy1 und z2=x2+iy2 ist eine komplexe Zahl, die gleich z=z1z2= (x1x2-y1y2) + i(x1y2+y1x2) ist. Zvіdsi, zokrema, ich vyplyaє: . Wie die Anzahl der Zuordnungen für die trigonometrische Form: .

Wenn komplexe Zahlen multipliziert werden, werden ihre Module multipliziert und die Argumente addiert. De Moivre-Formel(sowie є n Multiplikatoren und stinkt gleich): .

Bis Ende 2020 startet die NASA eine Expedition zum Mars. Bringen Sie das Raumschiff mit einem elektronischen Datenträger zum Mars, der die Namen aller registrierten Teilnehmer der Expedition trägt.

Registrierung der Teilnehmer an der Abstimmung. Nehmen Sie Ihr Ticket zum Mars für die Segnungen mit.

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Chergovy vor dem New Rock ... das Wetter ist frostig, diese Snizhinki auf Shibtsі ... Alles veranlasste mich, wieder über ... Fraktale und über diejenigen zu schreiben, die über Wolfram Alpha Bescheid wissen. Іz thogo drive є tsіkava stattya, in yakіy є Gesäß zweidimensionaler fraktaler Strukturen. Sofort kann die Welt gefaltete Enden trivialer Fraktale sehen.

Ein Fraktal kann visuell manifestiert (beschrieben) werden, wie eine geometrische Figur oder ein Körper (der in der Luft auftaucht, was auch unpersönlich ist, zu dieser besonderen Sorte, unpersönlicher Punkt), die Details, die eine solche Form ausmachen, wie die Figur selbst. Tobto tse selbstähnliche Struktur, die die Details wie vergrößert betrachtet, ahmt genau die Form nach, die ohne Vergrößerung ist. In ähnlicher Weise ist in einer visuell auffälligen geometrischen Figur (kein Fraktal) mit kleineren Details, als ob eine einfache Form hergestellt werden könnte, eine niedrigere Figur sichtbar. Wenn Sie beispielsweise den großen Teil der Ellipse fertig gestellt haben, sieht es aus wie ein gerader Baum. Bei Fraktalen ist dies nicht der Fall: Für jede Art von Verbesserung wiederholen wir dieselbe Faltform, wie bei Hautverbesserungen, immer wieder.

Benoit Mandelbrot, der Begründer der Wissenschaft der Fraktale, schrieb in seinem Artikel Fractals and Mystery in the name of science: formelle Form. Das heißt, wenn ein Teil des Fraktals auf das Ausmaß des Ganzen vergrößert wird, wird es als Ganzes oder genau oder möglicherweise mit einer leichten Verformung gesehen.