Ordnung unpersönlicher natürlicher Zahlen. Das Konzept einer natürlichen Zahl und Null. Ausdruck von „gleich“, „weniger“, „größer“ bei unpersönlichen natürlichen Zahlen Ernährungsverständnis für mathematische Analysen
Eine Alternative zu den N natürlichen Reihen ist eine unpersönliche natürliche Zahl, die die natürliche Zahl a nicht ändert, also N = (x | x N i x a).
Zum Beispiel N ce unpersönliche natürliche Zahlen, also nicht 7 ändern, also. N = (1,2,3,4,5,6,7).
Bezeichnenderweise zwei wichtigste Potenzen in der natürlichen Reihe:
1) Be-yaky vіdrіzok N Rache Einsamkeit. Tsya vlastivistvo viplivaє ist vyznachennya vіdrіzka natürliche Serie.
2) Wenn die Zahl x vom Gegner N і x a verschwindet, dann kommt die Zahl x + 1 nach ihnen und verschwindet in N .
Bezlich A wird kіtsevim genannt, als wäre es das gleiche Gegenstück zur N-Naturreihe. Zum Beispiel gesichtslos Und die Spitzen von Trikutnik, gesichtslos stinkt sind gleich N = (1,2,3), das heißt. A~B~N .
Da die Zahl A nicht leer und gleich N ist, heißt die natürliche Zahl a die Anzahl der Elemente des Multiplikators A und schreibe n(A) = a. Wenn zum Beispiel A die Vielheit der Ecken des Trikots ist, dann ist n(A) = 3.
Wenn es nicht leer wäre, ist der kіtsev bezlіch gleich einem und mehr als einem vіdrіzk der natürlichen Serie, tobto. skin endian plural Und es kann in eine eindeutig gleiche Zahl a gesetzt werden, so dass das unpersönliche A in der Zahl N gegenseitig eindeutig ist.
Die Ansiedlung von gegenseitigem und Ein-Adel ist die Ethik der Unerträglichen des unerträglichen Multi-Livo und in der natürlichen Reihe zu essbarem Rakhunka-Pflug A. Zkilka Hinter den Verehrungen der gleichen Zahl. In einer Klasse werden alle Multiplikanden mit einem Element reduziert, in einer anderen Klasse mit zwei Elementen usw. Die erste Zahl kann als die ultimative Macht der Klasse der Fürsten gleicher Stärke angesehen werden. In dieser Reihenfolge ist eine natürliche Zahl aus theoretisch-multiplikatorischer Sicht die Hauptmacht der Klasse der Terminalmultiplikatoren.
Die Zahl 0 kann auch multiplikatortheoretisch sein – sie sollte auf einen leeren Multiplikator gesetzt werden: n() = 0.
Auch eine natürliche Zahl als Merkmal der Größe lässt sich an zwei Stellen erkennen:
1) als Anzahl der Elemente in der Menge A, gewonnen für einen Rahunka;
2) Wie mächtig ist die Macht der Klasse der Kitsevyh gleich starken Massen.
Die Herstellung von Verknüpfungen zwischen finalen Multiplikationen und natürlichen Zahlen ermöglicht uns eine multiplikatorentheoretische Eintrübung von „weniger“.
Wenn a = n(A), b = n(B), dann ist die Zahl a kleiner als die Zahl b, und sei es nur dann, wenn der Multiplikator A gleich dem Potenzteilmultiplikator des Multiplikators ist. A ~ B, de B, B, B (Abb. 1) . Abo wenn in der natürlichen Reihe N є Lass uns viel Kraft bekommen vіdrіzka N, tobto. N N .
Zahlen а і b gleich, Yakscho-Stinke sind gleich Vielfache: a = k А~B de n(A) = a, n (B) = k. Zum Beispiel 2 = 2, weil n(A) = 2, n(B) = 2, A = (a, b), B = (z, x), A~B.
Die Dominanz des „weniger“-Terms für natürliche Zahlen ähnelt auch der multiplikatortheoretischen Eintrübung: Transitivität und Antisymmetrie dieses Terms hängen damit zusammen, die transitive und antisymmetrische des Terms „wird zum Multiplikator“.
Es wird gezeigt, dass die multitheoretische Interpretation des „weniger“ für natürliche Zahlen, das 2 ist
Nehmen wir den Multiplikator A, um 2 Elemente zu rächen, und den Multiplikator B, um 5 Elemente zu rächen, tobto. n(A) = 2, n(B) = 5. Beispiel: A = (a, b), B = (c, d, e, f, r). Aus dem Multiplikator B können Sie den Submultiplikator sehen, den gleichen Multiplikator A: zum Beispiel B = (c, d) і A ~ B.
Fairness gegenüber N
Tsyu nerіvnіst können Sie sich die kleinen 2 ansehen. Komm schon, 2 ist die Anzahl der Falten und 5 ist die Anzahl der Quadrate. Wenn Sie die Kreise auf die Quadrate legen, können Sie mit Sicherheit sagen, dass ein Teil der Quadrate unfertig bleibt.
Otzhe, die Anzahl der Falten ist geringer als die Anzahl der Quadrate, tobto. 2
Multiplikatortheoretisches Ungleichmäßigkeitsgefühl 0
Die Ausrichtung von Zahlen im Cob-Kurs Mathematik wird auf unterschiedliche Weise entwickelt - sie basiert auf allen Ansätzen, die wir uns angesehen haben, bevor wir den Ausdruck "weniger" interpretiert haben.
Sätze über die „größte“ und „kleinste“ Zahl
Satz 4 (über die „kleinste“ Zahl). Wenn es nicht leer wäre, umgeben von unpersönlichen Zahlen, räche die kleinste Zahl. (Hier wird wie bei den natürlichen Zahlen das Wort „multiple“ durch das Wort „multiple“ E ersetzt
Bringen. Lassen Sie O A Z i A von unten gesäumt ist, tobto. 36? Zva? A(b)< а). Тогда если Ь Е А, то Ь- наименьшее число во множестве А.
Komm schon LA.
Todi Ua e Af< а) и, значит, Уа А(а - Ь >Ö).
Machen wir aus allen Zahlen unpersönliches M in der Form a - b, de probіgaє unpersönliches A, tobto. M \u003d (s [c \u003d a - b, a E A)
Es ist offensichtlich, dass das unpersönliche M nicht leer ist, die Scherben A 74 0
Yak ist höher, M C N . Später, nach dem Theorem o r a l n o m h i s l e (54, Kap. III), hat der Multiplikator M die kleinste natürliche Zahl m. A, und Scherben von t zumindest in M, dann Wah? Bei< а - Ь) , т.е. А (01 - Ь < а - Ь). Отсюда Уа е А(а1 а), а так как ат (- А, то - наименьшее число в А. Теорема доказана.
Satz 5 (über die "größte" ganze Zahl). Sei etwas nicht Leeres, umgebe das Tier unpersönlicher Zahlen, um die größte Zahl zu rächen.
Bringen. Sei O 74 AC Z i A von dem Tier mit der Nummer b umgeben, also. ? ZVa e A(a< Ь). Тогда -а >b für alle Zahlen a? ABER.
Später ist der Multiplikator M (z g \u003d -a, a? A) nicht leer und von der Zahl (-6) unten umgeben. Nach dem vorigen Satz hat der Multiplikator M also die kleinste Zahl. As? ICC? M (z< с).
Tse bedeutet was Wah? Wie< -а), откуда Уа? А(-с >a)
Z. Verschiedene Formen der Methode der mathematischen Induktion ganzer Zahlen. Satz über den Überschuss
Satz 1 (die erste Form der Methode der mathematischen Induktion). Seien P(s) - einzelnes Prädikat, Zuordnungen zu Vielfachen von Z ganzen Zahlen., 4 . Derselbe Weg Für die deyaky ZAHL und Z der Satz P (o) і Für eine ausreichende ganze Zahl K > a z P (K) rutschte P (K -4- 1), dann ist der Satz P (g) richtig Für alle Zahlen z > a (also beim Multiplikator Z є lautet die wahre Formel zur Berechnung von Prädikaten:
P(a) cibulya > + 1)) Vus > aP(s)
für jede feste ganze Zahl a
Bringen. Lassen Sie die Sätze P (c) für alles wahr sein, um für den Sinn des Theorems zu sprechen, tobto.
1) P(a) - wahr;
2) KK SC bis + gilt auch.
Irgendwie inakzeptabel. Nehmen wir an, dass es eine solche Zahl gibt
b> a, sho RF) - hallo. Es ist offensichtlich, dass a, oskіlki R (a) wahr ist. Zufriedenstellend unpersönlich M = (z?> a, P (z) - hibno).
Todi bezlich M0, oskіlki L? M und M werden unten von der Zahl a umrandet. Später, nach dem Satz über na i m e n n m e l e l o m h i sl (Satz 4, 2), hat der Multiplikator M die kleinste Zahl c. Zvіdsi z\u003e a, sho, mein Schwarzer, ziehe s - 1\u003e a.
Nehmen wir an, dass Р(с-1) wahr ist. Wenn c-1 = a, dann ist P (c-1) aufgrund des Verstandes wahr.
Sei c-1 > a. Todi pripuschennya, scho R (s-1) - hibno, der den Besitz von s 1 hinter sich herzieht? M, was nicht sein kann, die Anzahl von s ist die kleinste in M.
In dieser Reihenfolge, s - 1> a und P (c - 1) - wahr.
Denken Sie an den Satz P((c- 1) + 1) aus dem Satz P((c- 1) + 1) - das ist wahr. R(s) - wahr. Tse superechit die Wahl der Zahl c, oskіlki? Das Theorem ist abgeschlossen.
Bei allem Respekt, dieser Satz ist eine enge Konsequenz aus Korollar 1 zu Peanos Axiomen.
Theorem 2 (eine andere Form der Methode der mathematischen Induktion ganzer Zahlen). Sei P (s) - deaky one-m_sny predshsatp, vizna-day) auf einer Vielzahl von Z ganzen Zahlen. Der Satz P (c) gilt jedoch für eine dezimale ganze Zahl K und für eine adäquate ganze Zahl s, um den Satz P (c) für alle ganzen Zahlen zu korrigieren, der die Unregelmäßigkeiten von K erfüllt< с < s, слеДует справеДливость этого преДложения Для числа s , то это преДложение справеДливо Для всег целыс чисел с >Vor.
p align="justify"> Der Beweis dieses Satzes ist reichhaltig, deshalb wiederhole ich den Beweis eines ähnlichen Satzes für natürliche Zahlen (Satz 1, 55, Kap.III).
Satz 3 (die dritte Form der Methode der mathematischen Induktion). Lassen Sie P (s) - ein einziges Prädikat, Zuweisungen auf dem Multiplikator Z cіlіs CHІСі. Wenn P(c) wahr ist Für alle Zahlen des Dezimalmultiplikators M von Null natürliche Zahlen i Für eine hinreichende ganze Zahl a C ist wahr P(a) dann ist P(a - 1) wahr, dann ist der Satz P(c) wahr true Für alle Zahlen.
Der Beweis ist analog zum Beweis des Doppelsatzes für natürliche Zahlen.
Proponuemo yogo wie eine Zikade rechts.
Bemerkenswert ist, dass die dritte Form der mathematischen Induktion in der Praxis immer ausgeprägter, tiefer und tiefer ist. Es wird erklärt, dass es für її zastosuvannya notwendig ist, den unendlichen Submultiplikator M des Multiplikators natürlicher Zahlen zu kennen, wie im Satz klar wird. Die Kenntnis eines solchen Multiplikators mag zu schwierigen Aufgaben erscheinen.
Ale, der Vorteil der dritten Form vor den anderen liegt darin, dass der zusätzliche Satz P (c) auf alle ganzen Zahlen gebracht wird.
Unten zielen wir auf den Hinterschaft der dritten Form von Zastosuvanya ". Ale, Rücken an Rücken, Damo ist ein respektvolleres Verständnis.
Geplanter Termin. Der absolute Wert einer ganzen Zahl a ist die gemäß der Regel zugewiesene Zahl
0, wenn a O a, wenn a > O
Ein Yakscho a< 0.
Otzhe, also wie eine 0? N.
Dem Leser wird nahegelegt, dass er das Recht hat, diese Macht auf absolute Größe zu bringen:
Satz (über den Überlauf). Für beliebig viele Zahlen a i b, de b 0, iñnuє i davor gibt es nur ein Zahlenpaar q U m mit a r: bq + T L D.
Bringen.
1. Basis der Wette (q, t).
Lassen Sie a, b? Z i 0. Es wird gezeigt, dass es ein Zahlenpaar q i gibt
Der Beweis erfolgt per Induktion in der dritten Form für die Größe a mit fester Zahl b.
M = (mlm = n lbl, n? N).
Es ist offensichtlich, dass M lt ein Ausdruck f: N M ist, der durch die Regel f (n) = nlbl für beliebige n? N ist eine Bijektion. Tse bedeutet, dass M N, dass. M-undeutlich.
Sagen wir, ab einer bestimmten Zahl a? M (і L-fixed) Behauptung des Theorems über die Basis des Zahlenpaares q і t ist wahr.
Stimmt, lass es ein (- M. Todi ein pf! für ein echtes p sein?
Wenn b > 0, dann a \u003d n + O. Wenn wir nun q \u003d n und m O betrachten, nehmen wir das notwendige Zahlenpaar q und m.< 0, то и, значит, в этом случае можно положить q
Zrobimo jetzt Einarbeitungsgeld. Nehmen wir an, dass ab einer hinreichenden ganzen Zahl s (und einem hinreichend festen b 0) die Behauptung des Theorems wahr ist. ein Zahlenpaar (q, m) ist, so dass
Man kann zeigen, dass für die Zahl (ç 1) i richtiger ist. Z ist gleich s \u003d bq -4 - viplivaє bq + (t - 1). (eines)
Eventuell fällt.
1) t\u003e 0. Todі 7 "- 1\u003e 0. An diesem Punkt, nachdem wir - t - 1 gesetzt haben, nehmen wir z - 1 - bq + Tl, de para (q, 7" 1,) gefällt offensichtlich dem Geist
0. Todi h - 1 bq1 + 711 de q1
Ohne Übung ist es möglich, dass 0< < Д.
In dieser Reihenfolge gilt die Festigkeit auch für eine Zahlenwette
Der erste Teil des Theorems ist abgeschlossen.
P. Einzelwette q і usw.
Nehmen wir an, dass es für die Zahlen a i b 0 möglich ist, zwei Zahlenpaare (q, m) i (q1) festzulegen, um die Köpfe zu befriedigen (*)
Mal sehen, dass Gestank entweicht. Ach komm schon
Ich bin ein bq1 L O< Д.
Zvіdsi vyplivaє, scho b(q1 -q) t-7 1
Nehmen wir nun an, dass q ql, dann q - q1 0, Sterne lq - q1l 1. - q11 D. (3)
Vodnocha ist nerіvnosti 0< т < lbl и О < < очевидным образом следует - < ф!. Это противоречит (3). Теорема доказана.
U r a f n i n nya:
1. Vervollständigen Sie die Beweise der Sätze 2 und 3 von 5 1.
2. Ergänze Korollar 2 aus Theorem 3, 1.
3. Zu addieren, was ist die Summe der NS Z, was aus den angegebenen Zahlen im Formular addiert wird< п + 1, 1 >(n? N), geschlossene Art, diese Multiplikation zu falten.
4. Lassen Sie N die gleichen unpersönlichen Dinge bedeuten, auf die Sie ein Recht haben 3. Bringen Sie, was Sie sehen ј: M erfreut den Verstand:
1) ј - bієktsіya;
2) j(n + m) = j(n) + j(m) und j(nm) = j(n) j(m) für beliebige Zahlen n, m , i (H, +,).
5. Vervollständigen Sie den Beweis von Theorem 1 von 2.
6. Um zu beweisen, dass für eine beliebige Anzahl von Zahlen a, b die folgenden Implikationen gelten:
7. Erzähle einem Freund von dem Drittel des Satzes von Z.
8. Zu beweisen, dass die Anzahl von Z ganzen Zahlen die Zahlen von Null nicht rächt.
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Vidavnitstvo "Zmina"
Eine natürliche Zahl ist die ganze Zahl, als würde man für ein Rahunka von Objekten gewinnen. Vono viniklo z praktische Bedürfnisse der Menschen. Die Entwicklung des Verständnisses der natürlichen Zahl lässt sich in mehrere Schritte unterteilen: 1. Alte Menschen legten zur Überwindung des Unpersönlichen das Wesentliche fest: zum Beispiel die Einlagen, die Finger an den Händen. Nedolik - por_vnyuvani mnozhini vinni buli, aber eine Stunde zur Inspektion verfügbar. 2. Bezlich - Vermittler, zB Steine, Schildkröten, Stöcke. Das Konzept von kіlkіst ist mehr gefaltet. І Nummern, die an bestimmte Themen gebunden sind. 3. Erscheinen einer Nummer (Bezeichnung einer Nummer durch die sichtbaren Ziffern). Die Geburt der Mathematik. Arithmetik als Wissenschaft hat ihren Ursprung in den Ländern der alten Abstammung - China, Indien, Ägypten, ferne Entwicklung in Griechenland. Der Begriff "natürliche Zahl" wurde erstmals von der römischen Lehre von Boetius verwendet. Rakhunok ist notwendig, um viel Geld zu benennen. Rozіb'єmo alle kіlkіsnі Multiplikatoren in der Äquivalenzklasse, zum Beispiel in einer Äquivalenzklasse. die gesichtslosen Spitzen der Trikutniks zu sehen, die Seiten des Platzes, die gesichtslosen Buchstaben des Wortes Licht. Wenn Sie diesen Prozess fortsetzen, dann ist durch diejenigen, die Äquivalenz haben, alles gleich stark. Kіntsevі multiplizierte vyyavlyatsya für den Unterricht. Dass. theoretisch - die Mehrzahl der kіlkіsnogo natürlichen Zahl - є zagalna vlastіvіst Klasse kіncevih gleich starke Pluralformen. Die Skin-Klasse hat eine eigene Nummer. Null wird auf leeren Multiplikator gesetzt.
Die Zahlen A und B heißen gleich, weil sie zahlenmäßig gleich sind.
Eine solche Methode stagniert in Cob-Klassen.
Die Technik, an Aufgaben zu arbeiten, die die spezifischen Bedeutungen des Arithmetik-DIY offenbaren.
Rechenaufgaben im Mathematikunterricht nehmen einen bedeutenden Platz ein. Mayzhe eine halbe Stunde vor einer Stunde Mathematikunterricht zur Erledigung der Aufgabe eingeführt werden. All die große spirituelle und erhellende Rolle, die der Gestank unter der Stunde der Kindererziehung spielt. Virishennya-Rechenaufgaben helfen, die grundlegende Mathematik von Rechenhandlungen aufzudecken, zu konkretisieren und auf die singende Lebenssituation zu beziehen. Zavdannya übernimmt Mathe verstehen, Vіdnosin, Gesetze. Wenn die Aufgabe erfüllt ist, entwickeln Kinder durchaus Respekt, Vorsicht, mehr logisches Denken, Mova, kmіtlivist. Das Ziel ist es, solche Prozesse der kognitiven Aktivität wie Analyse, Synthese, Ausrichtung und Verfeinerung zu entwickeln.
Im Prozess des Lösens von Rechenaufgaben lernen die Lernenden, ihre Aktivitäten zu planen und zu kontrollieren, öffnen Akzeptanz, Selbstkontrolle (Erneutes Überprüfen von Aufgaben, Schätzen von Aufgaben dann) sie schwanken in ihrer Arroganz, werden, entwickeln Interesse auf den Punkt Aufgaben zu lösen. Großartig ist die Rolle des Virishennya Zavdan bei der Vorbereitung von Kindern auf das Leben, auf die Zukunft Arbeitstätigkeit. Beim Lösen der Handlungsaufgaben beginnen die Lernenden, zwischen Objekten und Werten hin zur „Sprache der Mathematik“ zu wechseln. Bei den Rechenaufgaben siegt Zahlenmaterial, das den Erfolg des Landes in den verschiedenen Galerien des Volksstaates, der Kultur und der Wissenschaft beflügelt. Tse spryaє erweitern den Horizont der Schüler, angereichert mit neuem Wissen über die aktuelle Aktion. Uminnyam vyrishuvati Arithmetik zavdannya uchnі opanovuyut mit großen Schwierigkeiten.
Die Gründe für die Verzeihungsaufgaben der Kinder schreien nach uns angesichts der Besonderheiten ihres Verstandes. Im Prozess von navchannya rozvyazannyu sollten Aufgaben eindeutig an der Spitze der Aufgabe des ersten Geistes gestreckt werden, es ist notwendig, die Herangehensweise an die rozvyazannya von Aufgaben zu berücksichtigen, sich an der einfachen Lebenssituation, den Beschreibungen der Aufgabe zu orientieren , die Betrachtung der Aufgabe, die Betrachtung der gegebenen Vision. Bei der Bearbeitung eines arithmetischen Problems können Sie die folgenden Phasen sehen:
1. Arbeiten Sie am Task-Manager.
2. Poshuk-Problemlösung.
3. Problemlösung.
4. Formulierung des Gutachtens.
5. Überarbeitung der Problemlösung.
6. Weg vom Roboter über die obersten Aufgaben.
Ich meine den Respekt vor dem nächsten, die Roboter über dem zmist der Fabrik anzubringen, tobto. über das Verständnis der Situation in den Aufgaben, die Einrichtung von Brachen zwischen Danim und Shukanim. Die Reihenfolge der Arbeit an der Eroberung der Aufgabe;
a) Analyse von unwissenden Wörtern und Virazivs;
b) Lesen des vom Lehrer gegebenen Textes und Lernen;
c) eine Aufzeichnung über die Wahrnehmung der Aufgabe;
d) Wiederholung der Essensaufgabe.
Vyraznym liest den Text des Leiters der nächsten Studie. Es muss daran erinnert werden, dass Kinder vor allem eine Werbelesung lesen müssen, sie können die Aufgabe nicht alleine richtig lesen, können keine logischen Stimmen arrangieren usw.
Die Reihenfolge der Konkretisierung der Aufgabe für zusätzliche Fächer, Schablonen und Kleinkinder in der Praxis von Robotern in Schulen mit breiter Breite wurde für die Aufgabenstellung in einer solchen Form gebildet:
1. Die Form der Notiz wird verkürzt, wenn im Text der Aufgabe numerische Daten und nur wenige Wörter und Wörter notiert werden, die zum Verständnis des logischen Sinns der Aufgabe erforderlich sind.
2. Eine kurzstrukturierte Schreibform, wenn der hautlogische Teil der Aufgabe ab einer neuen Zeile geschrieben wird.
3. Schematische Form des Datensatzes.
4. Grafische Schreibweise.
Da die Kontrollfunktion bei Kindern geschwächt ist, kann die erneute Untersuchung der rozvyazannya zavdannya erhellt werden und diese von Bedeutung sein. In jüngeren Klassen ist es notwendig:
1. Formulieren Sie mündlich die Aufgaben und streifen Sie dabei über die Objekte.
2. Überdenken Sie die Realität der Situation.
3. Überdenken Sie die Angemessenheit des Geistes und der Nahrung der Pflanze. Das erneute Überprüfen der Lösung von Aufgaben auf andere Weise її vyshennya ist ab der 4. Klasse möglich.
Um die Richtigkeit der Entwicklung der Aufgabe zu kontrollieren, ist es notwendig, die Elemente des programmierten Trainings auszuwählen und darauf zu reagieren. Dieses Element ist noch kitschiger, dass ich die Korrektheit des Chi und die Verzeihung meiner eigenen Handlungen noch einmal berücksichtigen werde. Für die Verzeihung der Entscheidung von Weinen gibt es neue Wege der Kirsche.
Der Lehrer an der Schule wird höchstwahrscheinlich gesungen, dass die Rozvyazannya Avdannya durch die Lehren erleuchtet wurde. Es ist besser für ihn, den Abschluss dieser Aufgabe zu fixieren. Die Arbeit fester Aufgaben kann auf unterschiedliche Weise ausgeführt werden.
1. Richten Sie ein Uni-Essen ein, um den Tag zu retten.
2. Proponuetsya rozpovіsti all rozvyazannya zadovі z obґruntuvannyam vyboru dіy.
3. Stellen Sie Essen auf okremih diy chi food. Für die Studierenden ist die Anzahl der Varianten analoger Aufgaben wichtig, und das Verständnis der fachlichen Situation zwischen ihnen ist wichtig. Tsіy metі, um als Roboter über die Aufgaben der Aufgabe zu dienen, da Sie sehen können, wie wichtig es ist, den Beginn der Aufgabe dieser Art zu bilden. Zum besseren Verständnis des Themas, der Aufgabe, der Brachflächen zwischen den Daten und dem Shukani, der Vollendung der Aufgabe aus dem Abspann der täglichen Zahlenangaben, nicht in Zahlen, sondern in Worten geschrieben. Achten Sie darauf, zu zeigen, dass die besten Lehrer als eine der Methoden zum Unterrichten der Aufgaben, Aufgaben durch die Lehrer selbst zu arrangieren, weithin siegreich sind.
Das Ordnen der Aufgabe hilft Kindern, die lebenspraktische Bedeutung der Aufgabe besser zu verstehen, ihre Struktur besser zu verstehen und zu lernen, die Aufgabe von verschiedenen Arten zu unterscheiden, die Entscheidung zu verstehen. Die Bestellung der Aufgaben erfolgt parallel zu den Entscheidungen der vorbereiteten Aufgaben. Dosvid diese Vorsicht wird zeigen, dass es für die gefaltete Aufgabe uchnіv chastkovo einfacher ist. Rutschte, um die Bildung der Lehren der Leiter der verschiedenen Handlungen anzuregen. Tse spryaє razvitku їhnyoї vyavlyaet Gnade, inіtsiativi. Es ist peinlicher, wenn sie für die Aufbewahrung des Schulleiters das Material bekommen, das sie für eine Stunde Exkursion „bekommen“, von dovіdnikіv, Zeitungen, Zeitschriften usw. Schüler der Oberstufe müssen lernen, wie man Geschäftsdokumente schreibt und schreibt, die sich auf diese und andere Rosrahunka beziehen. Schreiben Sie zum Beispiel ein Genehmigungsschreiben, füllen Sie das Formular für eine Penny-Bestellung aus. Alle höheren Verabredungen können bei der Feier aller Art von Aufgaben breit genutzt werden.
Eine einfache Rechenaufgabe wird Aufgabe genannt, als ob eine Rechenaufgabe gelöst werden soll. Verzeihen Sie dem Zavdannya, dass er die Hauptrolle in der Stunde des Mathematikunterrichts spielt. Mit einfachsten Aufgaben erweitern Sie das Grundwissen und konkretisieren arithmetische Funktionen, formulieren diese und andere mathematische Konzepte. Verzeihen Sie die Reihenfolge der Faltreihenfolge des Lagers, später bereitet der Lehrer die Schüler auf die Eröffnung der Faltreihenfolge vor, indem er die vminnya virishuvati їx formt.
Lernen Sie anhand des dermalen Primings neue Arten der einfachsten Aufgaben kennen. Die schrittweise Einführung in sie wird durch die verschiedenen Stadien des Problems des mathematischen Verständnisses erklärt, der Prozess der Kultivierung leiser arithmetischer Prozesse, die spezifische Lösung eines solchen Gestanks wird offenbart. Nicht weniger Respekt für den Lehrer bei der Auswahl des Leiters, welche Art von Verdienst und Konkretisierung dieser Ehre. Nareshti, Leser, um das zmіst zavdannya, rozkrivayuchi zalezhnistі mіzh dannymi, das shukanimi für zusätzliche Formen der Kurzaufzeichnung zu konkretisieren.
Die Fertigstellung der Arbeit der besten Leser zeigt, dass die Vorbereitung auf die Bewältigung von Rechenaufgaben von der Verbesserung der Entwicklung praktischer Lernkenntnisse und deren Ausrichtung auf die erforderliche Effizienz ausgehen sollte. Gelernt ist es notwendig, in jener Lebenssituation zu führen, in der es möglich ist, sich zu verbessern, Rechenaufgaben zu überarbeiten, an Veränderungen zu arbeiten. Darüber hinaus sind diese Situationen nicht das nächste, was Stück für Stück zu schaffen ist, es ist weniger wahrscheinlich, dass sie sich umdrehen und den Respekt der Schüler einnehmen. Anstelle von Gefäßen organisiert der Lehrer Bewachungen für die wechselnde Anzahl von Elementen in den Fächermengen. bud., sho priyaє razvitku yavlen uchnіv pro kіlkіst to znajomstvo їх іz sing termіnologiєyu, yak zstrіnetsya mit der verbalen Formulierung der Aufgabe: Es wurde, alles war verloren, sie nahmen es, es nahm zu, es änderte sich usw. Es ist notwendig, eine solche spielerische und praktische Aktivität der Schüler zu organisieren, damit die Schüler als ununterbrochene Teilnehmer an dieser Aktivität sowie Posterigayuchi selbst die Visnovka am cremigen Tropfen der Haut bearbeiten können; die Anzahl der Elemente des Multiplikators hat zugenommen oder die Anzahl der Elemente des Multiplikators hat sich geändert, und einige Operationen, die das verbale Viraz zeigen, zeigen die Zunahme oder Änderung. Diese Phase der Vorbereitung der Arbeit beginnt mit der Arbeit an den Zahlen der ersten Zehn und der Vertrautheit mit arithmetischen Operationen, mit Lösungen und Faltungsanwendungen von Operationen aus Subjektplural.
Zuallererst, zu Beginn des Lernens der Rechenaufgaben, ist der Lehrer schuldig, sich klar zu offenbaren, wie Wissen, es ist notwendig, diese Fähigkeiten den Schülern zu vermitteln. Um die Aufgabe zu lösen, lernen Sie die Aufgaben der Arithmetik, wenden Sie sie an, hören Sie zu und lesen Sie dann die Aufgabe, wiederholen Sie die Aufgabe aus dem Essen, für eine kurze Notiz, aus dem Gedächtnis, sehen Sie sich die Lagerkomponenten im Problem an, überprüfen Sie die Aufgabe und kehren Sie sie um Korrektheit der Aufschlüsselung. In der 1. Klasse beginnen die Lernenden, die Aufgabe zu überprüfen, die Tasche und den Überschuss zu tadeln. Die Qi der Aufgabe werden vor Beginn der Stunde des Beginns der Zahlen der ersten Zehn eingetragen. Zu Beginn des Rozvyazannya bestand die Aufgabe darin, die Summe der gleichen Dodankivs zu ändern, auf der Unterseite ging der gleiche Teil des Chi für das Silber weiter, gefolgt von einer Spirale zum Verständnis der täglichen arithmetischen Prozesse der Multiplikation und die Unterseite. Vor der Eröffnung der Ordnung des Unterschieds zwischen den Lehren ist es notwendig, ein Verständnis für die Ordnung der Objekte in einer Gesamtheit, zwei objektiven Gesamtheiten, Größen, Zahlen zu geben und die s-Ähnlichkeit von ihnen in dieselbe Linie zu setzen Äquivalenz und Nervosität. Fassen wir es zusammen, oder fassen wir es zusammen, Rechenaufgaben werden Aufgaben genannt, wie zwei Menschen es nicht können mehr arithmetische Prozesse. Psychologische Untersuchungen zur Entwicklung der Merkmale der arithmetischen Lageraufgaben zeigen, dass Kinder einfache Aufgaben nicht im Kontext einer neuen Lageraufgabe erkennen. Die Vorbereitung der Arbeiten bis zur Erledigung der Lageraufgaben ist dem System der Rechte, Zulassungen und Ordnungsmäßigkeit der Bildungseinrichtungen bis zur Erledigung der Beschlüsse der Lageraufgaben zuzurechnen. Vor der Fertigstellung des Lagerverwalters können Sie, wenn Sie Ihre Meinung ändern, an die gleiche Stelle gehen, an der die Wissenschaftler die Anordnung einfacher Aufgaben mit Hilfe von Tricks gemeistert haben, wenn Sie zum Lagerverwalter gehen, können Sie sich selbst stellen zusammen eine einfache Aufgabe eines singenden Geistes. Wenn rozv'yazannі Warehousing zavdan uchnі povinnі oder danih Lebensmittel oder Lebensmittel ablegt, um Daten zu erhalten. Auch in der Vorbereitungszeit tobto. indem man das letzte des ersten Schicksals streckt, das auf dem Kolben eines anderen Schicksals, lernt, den Lehren der Aufgabe folgt:
1. Waschen Sie Ihr Essen, bevor es fertig ist.
2. Addieren Sie die Aufgabe aus dem Essen und nehmen Sie die täglichen numerischen Daten auf.
Einfache und Lageraufgaben falten, Schritt für Schritt lernen, von Lageraufgaben zu lernen, ist einfach, auch wenn Sie sie noch richtiger erledigt haben, haben Sie das Recht, Faltaufgaben zu falten. Sie akzeptieren die kürzeste Beherrschung der Ansichten einfacher Aufgaben, verbessern sie, um sie von Lageraufgaben zu unterscheiden, und helfen den Lernenden, die Aufgaben zu analysieren. Wenn vyrіshennі Lagerhaus zavdan uchnіv Schlitten nauchit zagalnyh priyom_v arbeitet z zavdannyam; vminnyu zmist Aufgaben zu analysieren, in den gegebenen Daten Shukane zu sehen (um festzustellen, was notwendig ist, um in der Aufgabe erkannt zu werden), je nachdem, welche Daten nicht für die Überprüfung des Kopfes der Ernährung in der Aufgabe verwendet werden. In der Praxis wird die Arbeit der Schule durch die Arbeit mit Karten, Aufgaben, in denen die Reihenfolge der Bearbeitung von Aufgaben festgelegt ist, sich selbst treu. Wenn die Bestellung abgeschlossen ist, wird die Entscheidung mit Ernährung aufgeschrieben, oder die Hautaktion festgehalten und erklärt. Die Variation der vorgegebenen Methode zur Anordnung von Aufgaben eines bestimmten Typs wird durch die unterschiedliche Anordnung von Aufgaben mit verschiedenen Typen, von den Schülern selbst vorbereiteten und gefalteten Plots, Lösungen, Aufgaben eines bestimmten Typs mit zuvor gelösten Problemtypen, usw.
1. Erklären Sie die Zählmethode für vipadkіv 40 + 20, 50-30, 34 + 20, 34 + 2, 48-30, 48-3 müssen mit einer hundert Konzentration gezählt werden.
1) 40+20= 4d+2d=6d=60
2) 50-30 = 5d-3d = 2d = 20
3) 34+20= 3d+4od+2d=5d 4ed=54
4) 34+2 \u003d 3d + 4od + 2od \u003d 3d 6od \u003d 36
5) 48-30 \u003d 4d + 8od-3d \u003d 1d 8ed \u003d 18
6) 48-3= 4d+8od-3d=4d 5d=45
Usі priyomi und Zählen von usnі und vykonuyutsya auf der Grundlage der Reihen des Faltens und vіdnіmannya.
Wie sich herausstellt, können die zahllosen natürlichen Zahlen für einen zusätzlichen „weniger“-Ausdruck geordnet werden. Aber die Regeln der axiomatischen Theorie sollten betont werden, damit das Ziel nicht nur bestimmt wurde, sondern es wurde anhand der bereits Beschriebenen in dieser Theorie besser zu verstehen. Sie können mehr tun, indem Sie die Zahlung durch die Addition "weniger" machen.
Geplanter Termin. Die Zahl a ist kleiner als die Zahl b (a< b) тогда и только тогда, когда существует такое натуральное число с, что а + с = b.
Für Tsikh-Geiste, um dasselbe zu sagen, Scho-Nummer b mehr a Sie schreibt b > a.
Satz 12. Für beliebige natürliche Zahlen aі b kann eine und nur eine der drei lebensfähigen sein: a = b, a > b, a < b.
Der Beweis dieses Satzes entfällt. Z ієї des Theorems ist offensichtlich, was ist das?
a ¹ b, te chi a< b, oder a > b Tobto. vіdnoshennia "weniger" kann die Macht von pov'yazanostі sein.
Satz 13. Jakscho a< b і b< с. dann a< с.
Bringen. Dieser Satz drückt die Kraft der Transitivität aus, indem er „weniger“ vorschlägt.
also Jak a< b і b< с. dann gibt es zum Zweck der Benennung "weniger" solche natürlichen Zahlen Vor und was b \u003d a + ich c \u003d b + ich. Ale todi h = (a + k)+ / і auf der Grundlage der Assoziativität der Faltung wird genommen: h \u003d a + (bis +/). Oskilki bis + ich - ist dann eine natürliche Zahl a< с.
Satz 14. Jakscho a< b, das stimmt nicht b< а. Bringen. Das Tsya-Theorem drückt die Macht aus Antisymmetrie vodnosini "weniger".
Beginnen wir von vorne, was für eine beliebige natürliche Zahl a nicht wi-!>! ■ ) її Rücktritt a< a. Akzeptieren wir es nicht, tobto. was a< а maє mistse. Todi, im Sinne des blauen "weniger", gibt es eine solche natürliche Zahl Mit, was a+ h= a, und Satz 6 nicht zu ersetzen.
Sagen wir jetzt, dass Yakscho a< b, dann stimmt das nicht b < a. Akzeptieren wir es nicht, tobto. was für ein yakscho a< b , dann b< а gewinnen. Eine Liste von Gleichheiten in Theorem 12 a< а, was unmöglich ist.
„Weniger“ ist also, wie wir sagen, antisymmetrisch und transitiv und mag Macht in Bezug auf die lineare Ordnung haben, aber die Unpersönlichkeit natürlicher Zahlen linear geordnet ohne Gesicht.
Aus der Bezeichnung „weniger“ lässt sich das Yoga der Macht in das Haus der Macht eines Multiplikators natürlicher Zahlen einführen.
Satz 15. Von allen natürlichen Zahlen ist eins die kleinste Zahl, tobto. ich< а для любого натурального числа a¹1.
Bringen. Komm schon a - eine natürliche Zahl sein. Dann gibt es zwei Möglichkeiten: ein = 1 Ta ein¹ 1. Yakscho ein = 1, dann ist es eine natürliche Zahl b, wofür man folgt a: a \u003d b " \u003d b + Ich = 1+ b, tobto, zum Zweck der Vodnosini "weniger", 1< a. Otzhe, sei es natürlich mehr 1 Chi mehr als 1. Abo, Einsamkeit ist die kleinste natürliche Zahl.
Die Einführung von „weniger“ ist mit der Faltung und Multiplikation von Zahlen durch die Kraft der Monotonie verbunden.
Satz 16.
a \u003d b => a + c \u003d b + c dass a c \u003d b c;
a< b =>a+c< b + с и ас < bс;
a > b => a + c > b + c und ac > bc.
Bringen. 1) Die Gerechtigkeit dieser Festigkeit ergibt sich aus der Einheit von Faltung und Multiplikation.
2) Yakscho a< b,
dann ist es eine natürliche Zahl k, was a
+ k = b.
Todi b+ c = (a + k) + c = a + (k + c) = a + (c+ zu)= (a+c)+k. Eigenkapital b+ c = (a + c) + zu bedeutet, dass a+c< b
+ Mit.
Das versteht sich also von selbst a< b =>As< bс.
3) Auf die gleiche Weise gebracht werden.
Satz 17(Umgekehrter Satz 16).
1) a+ c = b + c oder ac ~ bc-Þ a = b
2) a+c< Ь + с oder As< v. ChrÞ a< Ь:
3) a + c > b+ wo ac > bcÞ a > b.
Bringen. Wir bringen zum Beispiel was mit As< bс nächste a< b Akzeptieren wir es nicht, tobto. dass der Satz nicht siegreich ist. Todi kann nicht buti, scho a = b. darauf, dass auch dann die Eifersucht siegen würde ac = bc(Satz 16); kann ich nicht sein a> b, so oder so ac > bc(Satz!6). Daher gilt bis Satz 12: a< b.
Aus den Sätzen 16 und 17 kann man die Regel der Term-für-Term-Addition und Multiplikation von Unregelmäßigkeiten einführen. Wir lassen es weg.
Satz 18. Für beliebige natürliche Zahlen aі b; ist auch eine natürliche Zahl n, die p ein.
Bringen. Für wen a Finde eine solche Nummer P, was n > a. Für wen ist genug zu nehmen n = ein + 1. Multiplizieren von Term mit Term-Unebenheit P> aі b> 1, akzeptabel pb > a.
Beim Blick auf die Autoritäten sieht man das blaue „weniger“, um die wichtigen Singularitäten des Multiplikators natürlicher Zahlen hervorzuheben, die wir ohne Beweis induzieren.
1. Ні für eine natürliche Zahl a keine solche natürliche Zahl P, was a< п < а +
1. Tsya-Macht wird gerufen in Kraft
Diskretion unpersönliche natürliche Zahlen und Zahlen aі ein + 1 Name gerichtlich.
2.
Be-yak nicht leerer Submultiplikator natürlicher Zahlen, um sich zu rächen
kleinste Zahl.
3. Yakscho M- Leere Zahl unpersönlicher natürlicher Zahlen
und ist die gleiche Nummer b, was für alle zahlen x s M wird nicht gewinnen
Gleichmut x< b, dann in den gesichtslosen Mє die meisten.
Veranschaulichung der Potenz von 2 und 3 auf dem Hintern. Komm schon M- anonyme zweistellige Nummern. also Jak Mє Submultiplikator natürlicher Zahlen і für alle Zahlen< 100, то в множестве Mє Die größte Zahl ist 99. M, - Nummer 10.
Auf diese Weise ermöglichte die Einführung von "weniger", die Bedeutung der Anzahl der Potenzen eines Multiplikators natürlicher Zahlen zu betrachten (und in eine Reihe von vipadkiv zu bringen). Zokrema, es ist linear angeordnet, diskret, mindestens 1.
Mit der Einstellung „weniger“ („mehr“) für natürliche Zahlen sind kleine Schulkinder mit dem Lernen von Anfang an vertraut. Und oft wird in der Reihenfolge der Yogo-Multiplikator-theoretischen Interpretationen die von uns im Rahmen der axiomatischen Theorie gegebene Definition implizit bestätigt. Die Schüler können beispielsweise erklären, dass 9 > 7, Scherben 9 - nicht 7 + 2. Oft und implizit siegreich macht Monotonie Faltung und Multiplikation. Kinder erklären zum Beispiel, dass „6 + 2< 6 + 3, так как 2 < 3».
Rechts
1, Warum können die unpersönlichen natürlichen Zahlen nicht nach Hilfe des Blaus „ohne mittlere Ordnung“ geordnet werden?
Formulieren Sie eine Vision a > b und beweise, dass es sowohl transitiv als auch antisymmetrisch ist.
3. Sag mir, was es ist a, b, c- natürliche Zahlen, dann:
a) a< b Þ ас < bс;
b) a+ h< b + so> a< Ь.
4. Einige Sätze über die Monotonie von Addition und Multiplikation können
vykoristovuvaty junge Schulkinder, vykonuyuchi zavdannya "Porіvnya, berechnen Sie nicht vykonuyuchi":
a) 27+8...27+18;
b) 27-8 ... 27-18.
5. Wie die Macht des Multiplikators natürlicher Zahlen gewinnen junge Schulkinder implizit die gleiche Aufgabe:
A) Notieren Sie die Zahlen, wie größer, kleiner 65, kleiner, kleiner 75.
B) Benennen Sie die nächste Zahl nach dem Datum vor der Zahl 300 (800.609.999).
C) Nennen Sie die kleinste und größte dreistellige Zahl.
Vidnimannja
Bei axiomatische Motivation Die Theorie der natürlichen Zahlen klingt bekanntlich wie eine Operation, die zum Bestand zurückkehrt.
Geplanter Termin. Betrachtet man die natürlichen Zahlen a und b, so heißt die Operation, die dem Verstand gefällt: a - b = s nur und nur wenige, wenn b + c = a.
Nummer a - b heißt die Differenz der Zahlen a i b, Nummer a- ändern, und die Nummer b- gesehen.
Satz 19. Variation der natürlichen Zahlen a- b Es ist heute weniger als heute, wenn b< а.
Bringen. Einzelhandel lassen a- bІсnuє. Todi, für den ausgewiesenen Einzelhandel gibt es eine solche natürliche Zahl Mit, was b + c = a, und tse bedeutet das b< а.
Yakshcho b< а, dann ist es im Sinne der Benennung „weniger“ auch eine natürliche Zahl that b + c = a. Todi, für den beauftragten Einzelhandel, c \u003d a - b, Tobto. Einzelhandel a - bІсnuє.
Satz 20. Was ist der Unterschied zwischen natürlichen Zahlen? aі b Ich bin sicher, es gibt nur einen.
Bringen. Es ist akzeptabel, dass es zwei gibt verschiedene Werte Unterschied der Zahlen aі b;: a - b= c₁і a - b= c₂, Außerdem c₁ ¹ c₂ . Todi für bestimmte Einzelhändler, vielleicht: a = b + c₁,і a = b + c₂ : . Siehe was folgt b+ s₁ \u003d b + c₂ : und aufgrund von Theorem 17 ist eine Anpassung möglich c₁ = c₂. Sie kamen an den Punkt der Auslassung, also ist es falsch, aber das Theorem ist richtig.
Vyhodyachi z vznachennya raznitsі natürliche Zahlen, die daran denken, dass її іsnuvannya Sie den Regeln der vіdnimannya-Zahlen von Sumi und Sumi von Zahlen folgen können.
Satz 21. Komm schon a. bі h- natürliche Zahlen.
aber yakscho a > c, dann (a + b) - c \u003d (a - c) + b.
b) Jakscho b > c. dann (a + b) - h - a + (b - c).
c) Yakscho a > c und b > c. dann können Sie vikoristovuvati ob-yaku aus diesen Formeln.
Bringen. In Zeiten a) Unterschied in Zahlen aі cіsnuє, oskelki a > c. Deutlich її durch x: a - c \u003d x. Sterne a = c + x. Jakscho (a+ b) - c \u003d y. dann, für den vereinbarten Preis, a+ b = h+ bei. Wir vertreten in qiu Gleichmut zamіst a viraz h + x:(h + x) + b = c + y. Wir beschleunigen die Kraft der Assoziativität, um Folgendes hinzuzufügen: c + (x + b) = c+ bei. Ändern wir diesen Gleichmut auf der Grundlage der Macht der Monotonie, indem wir hinzufügen:
x + b = j.. Ersetzt in der dänischen Äquivalenz x durch viraz ein - c, lass uns Mutter (a - G) + b = y. In diesen Rang wurden wir gebracht, scho yakscho a > c, dann (a + b) - c = (a - c) + b
Analog wird der Beweis im Fall b) geführt.
Das Ergebnis des Satzes lässt sich als leicht zu merkende Regel formulieren: Um die Zahl aus der Summe zu entnehmen, genügt es, die Zahl aus einer Lagersumme zu entnehmen und zum Ergebnis weitere Ergänzungen hinzuzufügen.
Satz 22. Komm schon a, b ich c - natürliche Zahlen. Jakscho a > b+ c, dann a- (b + c) = (a - b) - c oder a - (b + c) \u003d (a - c) - b.
Der Beweis dieser Theorie ähnelt dem Beweis von Theorem 21.
Theorem 22 kann als visuelle Regel formuliert werden, um die Summe der Zahlen aus der Zahl zu berücksichtigen, reicht es aus, die Anzahl der aufeinanderfolgenden Hautadditionen einzeln zu berücksichtigen.
Bei Kolben Mathematiker vyznachennya vіdnimannya yak dії, zvorotnogo dodavannya, beim Anblick, Ton, geben nicht, aber sie sind ständig koristuyutsya, pochinayuchi z vikonannya dіy über einstellige Zahlen. Lernen Sie den Falten ein gutes Verständnis zu verdanken und überzeugen Sie sich beim Rechnen von den Zusammenhängen. Sehen Sie zum Beispiel aus der Zahl 40 die Zahl 16, lernen Sie so zu markieren: „Schauen Sie sich die Zahl 16 von der 40 an - was bedeutet, eine solche Zahl zu kennen, wenn Sie sie mit der Zahl 16 falten, geben Sie 40 ein; Diese Zahl wird 24 sein, also 24 + 16 = 40. Durchschnitt. 40 - 16 = 24".
Regeln zum Interpretieren von Zahlen aus Summe und Summe aus Zahlen im Cob-Kurs der Mathematik є theoretische Basis Berechne andere Einkünfte. Zum Beispiel kann der Wert einer Virase (40 + 16) - 10 bekannt sein, nicht nur durch Zählen der Summe in den Armen, sondern auch durch Zählen der Zahl 10 daraus, aber in einem solchen Rang;
a) (40 + 16) - 10 = (40 - 10) + 16 = 30 + 16 = 46:
b) (40 + 16) - 10 = 40 + (16-10) = 40 + 6 = 46.
Rechts
1. Chi hat Recht, was ist eine natürliche Hautzahl, um aus einer ununterbrochen fortschreitenden Einsamkeit herauszukommen?
2. Warum ist die logische Struktur von Theorem 19 speziell? Können Sie siegreich die Worte „notwendig genug“ formulieren?
3. Was mitbringen:
aber yakscho b > c, dann (a + b) - c \u003d a + (b - c);
b) Jakscho a > b + c, dann ein - (b+ c) = (a – b) – p.
4. Chi kann, ohne zu zählen, die Bedeutung eines solchen Virazіv dorivnyuvatimut sagen:
a) (50 + 16) - 14; d) 50+ (16-14 ),
b) (50 - 14) + 16; e) 50 - (16 - 14);
c) (50 - 14) - 16, f) (50 + 14) - 16.
a) 50 - (16 + 14); d) (50 - 14) + 16;
b) (50 - 16) + 14; e) (50 - 14) - 16;
c) (50 - 16) - 14; e) 50 - 16-14.
5. Yakі power vіdnіmannya є theoretische Grundlage für die Weiterentwicklung des Priyomіv-Kalküls, scho vychayutsya im Cob-Kurs der Mathematik:
12 - 2-3 12 -5 = 7
b) 16-7 \u003d 16-6 - P;
c) 48 - 30 \u003d (40 + 8) - 30 \u003d 40 + 8 \u003d 18;
d) 48 - 3 = (40 + 8) - 3 = 40 + 5 = 45.
6. Beschreiben Sie die möglichen Methoden zur Berechnung des Sichtwertes. a - b- h und veranschaulichen Sie sie auf bestimmten Hintern.
7. Sag mir was b< а und jeder natürliche c virna Gleichmut sein (a - b) c \u003d ac - bc.
Wkaziwka. Der Beweis basiert auf Axiom 4.
8. Berechnen Sie den Wert des Virazu, ohne die Buchstaben zu zählen. Vidpovidi-Wrap.
a) 7865 × 6–7865 × 5 b) 957 × 11–957; c) 12×36 - 7×36.
Podil
Unter der axiomatischen Theorie der natürlichen Zahlen klingt das Rozpodil wie eine Operation, die sich in eine Multiplikation verwandelt.
Geplanter Termin. Die Unterteilung der natürlichen Zahlen a und b ist eine Operation, die den Verstand befriedigt: a: b \u003d s todi und nur todi, Vor wenn b× h = a.
Nummer a:b genannt Privatgelände Zahlen aі b, Nummer a dilimim, nummer b- dilnik.
Wie es scheint, ist es nicht notwendig, natürliche Nummern von unpersönlichen natürlichen Nummern zu unterscheiden, und es gibt keine so offensichtlichen Anzeichen einer privaten Basis, wie es für den Einzelhandel notwendig ist. Єtilki notwendigen Verstand die Basis des Privaten.
Satz 23. Um privat zwei natürliche Zahlen zu schaffen aі b notwendig b< а.
Bringen. Private natürliche Zahlen behalten aі b Ich weiß das. ist so eine natürliche Zahl c, dass bc = a. Oskіlki für jede natürliche Zahl 1 gilt nerіvnіst 1 £ Mit, dann Multiplizieren des problematischen Teils mit einer natürlichen Zahl b, vergriffen b£ v. Chr. Ale bc \u003d ein, och, b£ a.
Satz 24. Wie privat natürliche Zahlen sind aі bіsnuє, es gibt nur einen.
Der Beweis des Satzes ähnelt dem Beweis des Satzes über die Einheit der Differenz natürlicher Zahlen.
Vykhodyachi z vyznachennya Teile natürlicher Zahlen, die yogo іsnuvannya ausmachen, Sie können die Regel gemäß dem Sumi (Einzelhandel, Erstellen) auf die Zahl aufrunden.
Satz 25. Was sind die Zahlen aі b durch Zahl dividieren Mit, dann dieser Betrag a+b teilen mit und mehr privat a+ b pro Zahl Mit, eine Summe privater a auf der hі b auf der h, dann. (ein + b):c = a: c + b:Mit.
Bringen. Oskilki-Nummer a geteilt sein in Mit, dann ist dies eine natürliche Zahl x = a; h, scho a = cx.Ähnlich wie die bestehende natürliche Zahl y = b:Mit, was
b= so. Ale todi a + b = cx+ su \u003d - s (x + y). Tse bedeutet was a+b geteilt durch c, außerdem ist es privater, was bei der Verbreitung von Sumi weggenommen wird a+ b auf die Zahl c, die teurer ist x + y, Tobto. Axt + b: c.
Das Ergebnis des Theorems lässt sich mit der Regel der Teilung der Summe durch die Zahl formulieren: Um die Summe durch die Zahl zu teilen, genügt es, die Summe durch die Anzahl der Hautadditionen zu teilen und die Ergebnisse zu subtrahieren.
Satz 26. Wie natürliche Zahlen aі b durch Zahl dividieren hі a > b dann Einzelhandel a - b durch c geteilt werden, außerdem ist es privat, gewonnen, wenn die Differenz durch die Zahl c geteilt wird, privater, gewonnen, wenn die Differenz geteilt wird a auf der hі b bis c, toto. (a - b): c \u003d a: c - b: c.
Der Beweis dieses Satzes wird analog zum Beweis des vorigen Satzes geführt.
Dieser Satz lässt sich als Regel zur Unterteilung der Differenz auf die Zahl formulieren: zum Um die Differenz durch die Zahl zu dividieren, reicht es außerdem aus, durch die ganze Zahl zu dividieren, die sich ändert und ab der ersten privaten Sichtung eines Freundes zu sehen ist.
Satz 27. Was ist eine natürliche zahl a durch eine natürliche Zahl c teilbar sein, dann für jede natürliche Zahl b tvir ab teilen auf S. Im Falle einer Privatsphäre, was weggenommen wird, wenn Sie Kreativität verbreiten ab zur Zahl z , ein Dobutka eines Gefreiten a auf der Mit, Ich nummeriere b: (a × b): c – (a: c) × b.
Bringen. also Jak a geteilt sein in Mit, dann gibt es eine natürliche Zahl x, die wie= x, Sterne a = cx. Nachdem sich die beleidigenden Teile der Eifersucht vervielfacht haben b, vergriffen ab = (cx) b. Oskіlki Plural also assoziativ (cx)b = c(xb). Zvіdsi (ein b): c \u003d x b \u003d (ein: c) b. Der Satz lässt sich als Regel zum Teilen einer Zahl durch eine Zahl formulieren: Zahl durch eine Zahl teilen, Zahl durch einen der Multiplikatoren dividieren, Ergebnis subtrahieren, den anderen Multiplikator multiplizieren.
Für den versierten Mathematiker wird der Podil als Operation der Wende zugewiesen, für den wilden Look gibt es keinen Ton von sich, aber sie sind ständig koristuyutsya, beginnend mit den ersten Lektionen des Wissens über den Podil. Lernen Sie gute Gründe dafür zu tadeln, dass er die Gründe für die Multiplikationen und siegreichen Zusammenhänge während der Berechnungen angab. Zum Beispiel teilte er 48 durch 16, die Lernenden sagen Folgendes: „48 durch 16 zu teilen bedeutet, eine solche Zahl zu kennen, wenn wir sie mit 16 multiplizieren, erhalten wir 48; Diese Zahl ist 3, Scherben 16 × 3 = 48. Außerdem 48: 16 = 3.
Rechts
1. Was mitbringen:
a) nur ein Bruchteil der natürlichen Zahlen ein b wenn ja, dann gibt es nur einen;
b) wie Zahlen ein b etwas abonnieren hі a > b dann (a - b): c \u003d a: c - b: c.
2. Was kann bestätigt werden, dass alle Daten korrekt sind:
a) 48:(2×4) = 48:2:4; b) 56:(2×7) = 56:7:2;
c) 850:170 = 850:10:17.
Was ist die Regel, um diese Vipadkіv zu verschlimmern? Formulieren Sie Yoga und bringen Sie es mit.
3. Yakі power podіlu є theoretische Grundlage für
vikonanna in den kommenden Tagen, vor Schulkindern gepredigt Cob-Klassen:
Wie können Sie, ohne vom Boden abhängig zu sein, sagen, dass die Bedeutungen solcher Wörter gleich sein werden:
a) (40 + 8): 2; c) 48:3; e) (20 + 28): 2;
b) (30 + 16): 3; d) (21+27): 3; f) 48:2;
Chi vіrnі іvnostі:
a) 48:6:2 = 48: (6:2); b) 96:4:2 = 96: (4-2);
c) (40 - 28): 4 = 10-7?
4. Beschreiben Sie Möglichkeiten, den Wert des Virus zu berechnen
Geist:
a) (a+ b):c; b) a:b: Mit; in) ( a × b): s .
Vorgeschlagene Methoden und Illustrationen zu bestimmten Hintern.
5. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks auf rationale Weise heraus; besitzen
wickeln Sie ein:
a) (7 × 63): 7; c) (15 × 18):(5× 6);
b) (3 × 4× 5): 15; d) (12 × 21): 14.
6. Runden Sie die nächsten Schritte und den Boden auf eine doppelte Zahl:
a) 954:18 = (900 + 54): 18 = 900:18 + 54:18 = 50 + 3 = 53;
b) 882:18 = (900 – 18): 18 = 900:18 – 18:18 = 50 – 1 = 49;
c) 480:32 = 480: (8 × 4) = 480:8:4 = 60:4 = 15:
d) (560 × 32): 16 = 560 (32:16) = 560x2 = 1120.
7. Verprügeln Sie sich nicht unter der Couch, finden Sie das Vernünftigste
auf private Weise; Wählen Sie einen Weg zum Primen:
a) 495:15; c) 455:7; e) 275:55;
6) 425:85; d) 225:9; e) 455:65.
Vortrag 34
1. Anonyme Nummer von unbekannten Nummern. Die Kraft einer Vielzahl von Tsilih Nevid'emnyh-Zahlen.
2. Verstehen der natürlichen Zahlenreihe und Elemente des Endmultiplikators. Ordinale und kіlkіsnі natürliche Zahlen.
Bis hin zur Fachhoheit
1. Linearer (Vektor-)Raum über dem Feld. anwenden. Unter dem Weltraum die einfachste Kraft. Lineare und unabhängige Vektoren.
2. Grundlage und Frieden Vektorraum. Die Koordinatenmatrix des Vektorsystems. Übergang von einer Basis zur anderen. Isomorphismus des Vektorraums.
3. Algebraischer Abschluss des Körpers der komplexen Zahlen.
4. Ein Ring aus ganzen Zahlen. Ordnung ganzer Zahlen. Sätze über die „größte“ und „kleinste“ Zahl.
5. Gruppe, Gruppe anwenden. Die einfachsten Machtgruppen. Untergruppen. Homomorphismus und Isomorphismus von Gruppen.
6. Die Hauptmacht der gefälschten Zahlen. Verzeihen Sie die Zahlen. Unendlich unpersönliche Primzahlen. Das kanonische Layout der Bestandsnummer ist diese Einzigartigkeit.
7. Das Kronecker-Capelli-Theorem (Kriterium für die Integrität des Systems). lineare Flüsse).
8. Hauptmerkmale der Straßen. Povna, die durch das System v_drahuvan modulo induziert wird. Kіltse kіltse v_drahuvan für das Modul. Satz von Euler und Fermat.
9. Der Nachtrag der Theorie von Porіvnyan zu Vysnovka ist ein Zeichen der Falschheit. Zvernennya zvichaynogo Bruchteil bis zum Zehntel und die Ernennung der letzten Yogo-Periode.
10. Erfolg einer expliziten Wurzel eines Polynoms mit effektiven Koeffizienten. Geschah über dem Gebiet der reellen Zahlen mit reichen Begriffen.
11. Lineare Ausrichtung mit einer Änderung (Kriterium von rozvyaznosti, Wege von rozvyazannya).
12. Gleiche Systeme linearer Ausrichtungen. Die Methode des späteren Ausschlusses ist unbekannt.
13. Kiltse. Bringen Sie einen Kiel an. Die einfachste Macht der Kitets. Pidkiltse. Homomorphismen und Isomorphismen des Rings. Aufstellen. Beispiel Bewässerung. Die einfachste Kraft. Minimalität des Körpers der rationalen Zahlen.
14. Natürliche Zahlen (Grundlagen der axiomatischen Theorie der natürlichen Zahlen). Sätze über die „größte“ und „kleinste“ natürliche Zahl.
15. Reiche Segmente über dem Feld. Satz über den Überschuss. Der größte gemeinsame Dilnik zweier reicher Mitglieder, die Macht dieser Art zu wissen.
16. Binärer Blues. Äquivalenzvorschlag. Äquivalenzklassen, Faktormultiplikator.
17. Mathematische Induktion für natürliche und ganze Zahlen.
18. Die Dominanz gegenseitiger Primzahlen. Das niedrigste Vielfache der Zahlen, die Macht dieser Art zu wissen.
19. Feld der komplexen Zahlen, numerische Felder. Geometrisches Aussehen trigonometrische Form komplexe Zahl.
20. Der Satz über den Überschuss für ganze Zahlen. Die größte Sammlung von Zahlen, die Macht dieser Art zu wissen.
21. Lineare Operatoren des Vektorraums. Kernel und Bild eines linearen Operators. Algebra linearer Operatoren im Vektorraum. Leistungswerte und Leistungsvektoren eines linearen Operators.
22. Athener Transformation der Wohnung, ihre Herrschaft ist der Weg von Zavdannya. Eine Gruppe athenischer Transformationen des Flugzeugs und der її-Untergruppen.
23. Bagatokutniki. Bagatokutnik-Platz. Der Satz von Vernunft und Einheit.
24. Äquivalenz und Ebenheit von bagatokutnikiv.
25. Geometrie von Lobatschewski. Nichtüberlegenheit von Lobatschewskis System der geometrischen Axiomen.
26. Das Konzept der Parallelität in der Geometrie von Lobatschewski. Gegenseitige Erweiterung des geraden Lobachevsky-Bereichs.
27. Formeln ruhіv. Klassifizierung der Ruinen des Gebiets. Dodatki zu rozvyazannya Aufgaben.
28. Gegenseitige Ausdehnung von zwei Wohnungen, gerade Wohnungen, zwei gerade Wohnungen in der Nähe der Ausdehnung (in einer analytischen Darstellung).
29. Projektive Transformation. Der Satz von Vernunft und Einheit. Formeln projektiver Transformationen.
30. Skalar, kein Vektor zmіshane erstellen Vektoren, їх Ergänzungen zur Entwicklung von Aufgaben.
31. Weyls Axiomensystem des trivimetrischen euklidischen Raums und її zmistovna Nichtüberlegenheit.
32. Ruhi des Gebiets und Yoga der Kraft. Gruppe von Ruinen flach. Der Satz von der Gründung und Einheit der Bewegung.
33. Die projektive Ebene dieses її-Modells. Projektive Transformation, Macht. Gruppe von Designänderungen.
34. Reformation der Ähnlichkeit mit der Wohnung, ihrer Herrschaft. Eine Gruppe von Transformationen, die den Untergruppen Flugzeug und її ähneln.
35. Glatte Oberflächen. Die erste quadratische Form der Oberfläche ist zastosuvannya.
36. Parallele Projektion dieses Yoga der Kraft. Bilder von flachen und weiträumigen Figuren in einer Parallelprojektion.
37. Glatte Linien. Die Krümmung der Raumkurve ist gleich.
38. Elips, Hyperbel und Parabel als endliche Parabel. Kanonische Gleichheit.
39. Richtwirkung der Ellipse, Hyperbel und Parabel. Polare Ausrichtung.
40. Unter dem Einfluss einiger Punkte der geraden Linie die Macht dieser Berechnung. Harmonisch gespaltene Dampfpunkte. Povniy chotirikutnik und Yoga der Kraft. Ein Nachtrag zu den Aufgaben von Rozvyazannya auf Pobudova.
41. Satz von Pascal und Brianchon. Pole und Polare.
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