Ring- und Vektorraummatrizen. Linearer Vektorraum: Ernennung, Autorität. Vektorzeilenraum

Vorlesung 6. Vektorraum.

Basische Ernährung.

1. Vektorlinearer Raum.

2. Grundlage ist die Raumerweiterung.

3. Orientierung zum Raum.

4. Bereitstellung eines Vektors hinter einer Basis.

5. Vektorkoordinaten.

1. Vektorlinearer Raum.

Anonymität, die sich aus Elementen beliebiger Art zusammensetzt, bei denen lineare Operationen angegeben sind: Addition zweier Elemente, die Multiplikation eines Elements mit einer Zahl genannt werden Freiflächen, Und їх Elemente - Vektoren th Raum і werden als і, Yak і Vektorgrößen in der Geometrie zugewiesen: . Vektoren solche abstrakten Weiten sind in der Regel mit den größten geometrischen Vektoren nicht zu begreifen. Elemente abstrakter Räume können Funktionen, ein Zahlensystem, Matrizen usw. und in einem okreme-Fall variable Vektoren sein. Deshalb ist es üblich, Namen zu nennen Vektor Freiflächen .

Vektorraum, zum Beispiel, zahllose Anzahl nichtärer Vektoren, die angegeben werden v1 , ohne koplanare Vektoren v2 , unpersönlicher Vektor beträchtlich (realer Raum) v3 .

Für dieses spezielle Vipadka ist es möglich, der Vektorausdehnung ein Sprungbrett zu geben.

Termin 1. Anonymer Vektor wird aufgerufen Vektorraum, Als lineare Kombination gilt, ob es irgendwelche Vektoren in einem Multiplikator gibt, es ist auch ein Vektor dieses Multiplikators. Die Vektoren selbst werden aufgerufen Elemente Vektorraum.

Es ist sowohl in der theoretischen als auch in der angewandten Perspektive und im abstrakteren (abstrakten) Verständnis des Vektorraums wichtiger.

Termin 2. Bezlich R Elemente, bei denen für zwei beliebige Elemente auch die Summe zugewiesen wird und für jedes Element width="68" aufgerufen wird Vektor(oder linear) Freifläche, wie Elemente - Vektoren, wie die Operation, Vektoren zu addieren und einen Vektor mit einer Zahl zu multiplizieren, um die kommenden Köpfe zufrieden zu stellen ( Axiome) :

1) die Addition ist kommutativ, also gif width = "184" height = "25";

3) Verwenden Sie ein solches Element (Nullvektor), das für was auch immer https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" width="45". 99" height="27">;

5) für eine beliebige Anzahl von Vektoren kann eine solche Anzahl λ gleich sein;

6) für beliebige Vektoren und beliebige Zahlen λ і µ Fairness https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif" λ і µ Messe ;

8) https://pandia.ru/text/80/142/images/image003_99.gif".

Von den Axiomen, die den Vektorraum bezeichnen, rufe das einfachste auf Beweis :

1. Der Vektorraum hat mehr als eine Null – das Element ist ein Nullvektor.

2. Ein Vektorraum hat einen einzigen Vektor.

3. Bis zum Hautelement vykonuetsya Gleichmut.

4. Für eine beliebige Tagesnummer λ i des Nullvektors.

5..gif" width="145" height="28">

6..gif" width="15" height="19 src=">.gif" width="71" height="24 src="> wird ein Vektor aufgerufen, der die Gleichheit https://pandia.ru/ erfüllt text/80/142/images/image026_26.gif" width="73" height="24">.

Otzhe, fiyno und unpersönlich aller geometrischen Vektoren im є linearen (Vektor-) Raum, also für die Elemente, deren Multiplikator der Addition und Multiplikation mit der Zahl zugeordnet ist, was die Formulierung der Axiome erfüllt.

2. Grundlage ist die Raumerweiterung.

Іstotnimi Konzepte des Vektorraums є Verständnis der Basis und des Rozmіrnіst.

Geplanter Termin. Die Sammlung linear unabhängiger Vektoren aus der Singordnung Basis welchen Raum. Vektor. Lagerbasis für Raum, genannt Basis .

Als Basis der unpersönlichen Vektoren, die auf der geraden Linie verteilt sind, können Sie einen kollinearen geraden Vektor verwenden .

Basis im Flugzeug Nennen wir zwei nicht kollineare Vektoren auf dieser Ebene in derselben Reihenfolge.

Stehen die Basisvektoren paarweise senkrecht (orthogonal), so heißt die Basis senkrecht, und wenn q Vektoren doppelt sein können, gleich eins, dann heißt die Basis orthonormal .

Größte Zahl linear unabhängige Vektoren heißen im Raum Frieden dieser Raum, d. h. die Ausdehnung des Raums wächst mit der Anzahl der Grundvektoren in diesem Raum.

Otzhe, offensichtlich zum Dagi gelobt:

1. Eine-Welt-Raum v1 ist eine gerade Linie, und die Basis wird gebildet aus eine kollineare Vektor https://pandia.ru/text/80/142/images/image028_22.gif" width="39".

3. Große Weite mit trivialer Weite v3 , dessen Basis gebildet wird aus drei nicht koplanar Vektor_v.

Mir scheint, dass die Anzahl der Basisvektoren auf einer Geraden, auf einer Ebene, im realen Raum mit derjenigen variiert, die man in der Geometrie gewöhnlich die Anzahl einer Geraden, einer Ebene, eines Raumes nennt. Es ist natürlich, dass dies zu einer noch krasseren Bestrafung führt.

Geplanter Termin. Vektorraum R genannt n- friedlich, wie in der neuen Welt nicht mehr n linear unabhängige Vektoren und werden zugeordnet R n. Nummer n genannt Frieden Platz.

Vіdpovіdno bis zum rozmіrnostі Freiraum podіlyayutsya kіntsevіі unbegrenzt. Die Offenheit der Null-Ausdehnung über die Termine hinaus wird als gleich Null betrachtet.

Respekt 1. Im Skinspace kann man zwar angeben, wie viele Basen benötigt werden, aber alle Basen dieses Spaces werden aus der gleichen Anzahl von Vektoren aufsummiert.

Anmerkung 2. Bei n- Zu einem friedlichen Vektorraum wird die Basis genannt, ob die geordnete Ordnung vorliegt oder nicht n linear unabhängige Vektoren.

3. Orientierung zum Raum.

Zum um den raum zu orientieren, ist es notwendig, eine gewisse basis zu setzen und positiv zu äußern .

Es kann gezeigt werden, dass die unpersönlichen Grundlagen des Raums in zwei Klassen unterteilt sind, dass sie in zwei Submultiple unterteilt sind, dass sie sich nicht überschneiden.

a) Alle Basen, die zu einer Unterzahl (Klasse) gehören, dürfen jedoch Orientierung (gleiche Menübasis);

b) zwei beliebige Basen, die liegen Leben p_dmnozhin (Klassen), mayut protilezhnu Orientierung, ( anders Basis).

Wenn eine der beiden Klassen von Basen positiv und die andere negativ ist, dann scheint die Ausdehnung orientiert .

Oft wird bei der Orientierung am Raum eine Basis genannt regieren, und інші - livimi .

https://pandia.ru/text/80/142/images/image029_29.gif" width="61" height="24 src="> Name Regel, Wenn jedoch der dritte Vektor bewacht wird, ist die kürzeste Windung des ersten Vektors Anti-Jahres-Pfeil(Abb. 1.8, a).

https://pandia.ru/text/80/142/images/image036_22.gif" width="16" height="24">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image037_23.gif" width="15" height="23">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image039_23.gif" width="13" height="19">

https://pandia.ru/text/80/142/images/image033_23.gif" width="16" height="23">

Reis. 1.8. Rechte Basis (a), linke Basis (b)

Klingeln Sie mit einer positiven Basis

Die rechte (livy) Basis kann dem Leerzeichen zugeordnet werden, und für die zusätzliche Regel der „Rechts“ („Links“) geschraubt oder verdreht werden.

Analog zu cim wird der Begriff rechts und links eingeführt Dreiergruppen nicht-kommunale Vektoren, die auf Ordnung zurückzuführen sind (Abb. 1.8).

Auf diese Weise können in einem wilden Trend zwei geordnete Tripel von ungeplanten Vektoren die gleiche Orientierung (die gleiche) im Raum haben v3 wenn der Gestank der Beleidigung richtig ist oder wenn er anstößig ist, ist er links, und die entgegengesetzte Ausrichtung (anders), wenn einer von ihnen rechts ist und der andere links ist.

Ähnlich wie passen und Platz haben v2 (Quadrate).

4. Bereitstellung eines Vektors hinter einer Basis.

Die Spiegelung ist der Einfachheit halber am Beispiel eines Trivimir-Vektorraums zu sehen R3 .

Komm schon - dovіlny vector tsgo space.

VEKTORRAUM (linearer Raum), eines der Grundverständnisse der Algebra, das das Verständnis der Gesamtheit der (freien) Vektoren erleichtert. Im Vektorraum werden die Vektoren betrachtet, ob sie Objekte sind, ob sie addiert und mit Zahlen multipliziert werden können; ggf. so, dass die Hauptpotenzen algebraischer Operationen die gleichen sind wie bei Vektoren in der elementaren Geometrie. An der genau bezeichneten Zahl werden sie durch Elemente des Feldes K ersetzt. Der Vektorraum über dem Feld K wird das unpersönliche V genannt mit der Operation, Elemente aus V zu addieren und der Operation, Elemente aus V mit Elementen aus dem Feld K zu multiplizieren , was zur Machtübernahme führen kann:

x + y \u003d y + x für ob x, y z V, damit V in eine abelsche Gruppe gefaltet werden kann;

λ(x + y) = λ χ + λy für jedes λ z K і x, y z V;

(λ + μ)х = λх + μх für jedes λ, μ z K і x z V;

(λ μ)х = λ(μх) für jedes λ, μ z K i x z V;

1x \u003d x für jedes x aus V, hier bedeutet 1 die Einheit des Feldes K.

Kolben des Vektorraums є: Multiplikatoren L 1 L 2 і L 3 aller Vektoren in der elementaren Geometrie, anscheinend auf einer geraden Linie, Ebenen і im Raum mit den herausragenden Operationen zum Falten von Vektoren und Multiplizieren mit einer Zahl; Koordinatenvektorraum K n , dessen Elemente є alle Zeilen (Vektoren) n mit Elementen aus dem Feld K sind und die Operationen durch Formeln gegeben sind

unpersönliche F(M, K) aller Funktionen, die einem festen Multiplikator M zugeordnet sind und Werte im Feld To annehmen, mit den wichtigsten Operationen auf Funktionen:

Elemente des Vektorraums e 1 ..., e n heißen linear unabhängig, wegen der Gleichheit λ 1 e 1 + ... n = 0 ´ K. In umgekehrter Richtung sind die Elemente e 1 , e 2 , ·· ·> e n heißen linear brach. Wenn der Vektorraum V n + 1 Elemente e 1 ,..., e n+1 linear unbestimmte und n linear unabhängige Elemente hat, dann heißt V der n-Welt-Vektorraum, und n ist die Dimension des Vektorraums V Genau wie ein Vektorraum V für beliebige natürliche n existierende n linear unabhängige Vektoren, so heißt V ein unendlicher Vektorraum. Zum Beispiel der Vektorraum L 1 , L 2 , L 3 і K n auf die gleiche Weise 1-, 2-, 3- und n-mіrnі; wenn M unpersönlich ist, dann ist der Vektorraum F(M, K) nicht beschränkt.

Die Vektorräume V und U über dem Körper K heißen isomorph, so dass φ : V -> U gegenseitig eindeutig ist, sodass φ(x+y) = φ(x) + φ(y) für entweder x, y z V und φ (λx) = λ φ(x) für jedes λ z K i x z V. Isomorphe Vektorräume sind algebraisch nicht unterscheidbar. Die Klassifikation endlicher Vektorräume bis hin zur Isomorphie ist ihrer Verschiedenheit geschuldet: ob es einen n-dimensionalen Vektorraum über dem Körper Do gibt, ist isomorph zum Koordinatenvektorraum Do n . Staunen Sie über die gleiche Weite von Hilbert, Lineare Algebra.

Lassen Sie R - Feld. Elemente a, b, ... í R wir werden benennen Skalare.

Termin 1. Klasse v Objekte (Elemente) , , , ... hinreichender Natur werden genannt Vektorraum über dem Körper Р, und die Elemente der Klasse V werden aufgerufen Vektoren obwohl V geschlossen ist, aber die Operation „+“ ist die Operation der Multiplikation mit Skalaren von P (d. h. für jedes , íV + í v; "aÎ R aÎV), und vykonuyutsya so wohlgemerkt:

A 1: Algebra - Abelsche Gruppe;

A 2: ob a, bÎР, ob ÎV, a(b)=(ab)-relevantes Assoziativgesetz;

A 3: für was auch immer a, bÎP, für was auch immer ÎV, vikonuetsya (a+b)= a+ b;

A 4: für jedes a z P, für jedes s V gewinnen wir a(+)=a+a(erhöhte Verteilungsgesetze);

A 5: ob V siegreich ist oder nicht 1 = , de 1 - die Einheit des Feldes P - die Kraft der Einheit.

Die Elemente des Feldes P werden Skalare genannt, und die Elemente des Multiplikators V werden Vektoren genannt.

Respekt. Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ist keine binäre Operation auf dem Multiplikator V, aber die Skalierung ist PV®V.

Schauen wir uns Vektorräume an.

Beispiel 1. Null (Null-Welt)-Vektor-Ausdehnung - Ausdehnung V 0 =() - die aus einem Null-Vektor zusammengesetzt ist.

Für was auch immer aОР a=. Betrachten wir die Gültigkeit der Axiome des Vektorraums noch einmal.

Respektvoll der nulldimensionale Raum über dem Feld R. Also der nulldimensionale Raum über dem Feld Rationale Zahlen Ich über dem Feld Tageszahlen vvazhayutsya raznimi, hoch addieren sich aus einem einzigen Nullvektor.

Hintern 2. Der Körper P ist selbst ein Vektorraum über dem Körper P. Sei V=P. Betrachten wir die Gültigkeit der Axiome des Vektorraums noch einmal. Da P ein Feld ist, ist P eine additive Gruppe und A1 gewinnt. Rückblickend auf die zdіysnennostі in R asociativnostі mnozhennja vykonuєtsya A 2 . Die Axiome A 3 und A 4 gewinnen aufgrund der Tatsache, dass R distributiv ist und frei multipliziert werden kann. Scherben im Feld R ist ein einzelnes Element 1, die Kraft der Einheitlichkeit A 5 . In dieser Reihenfolge ist das Feld P ein Vektorraum über dem Feld P.

Beispiel 3. Arithmetischer n-dimensionaler Vektorraum.

Lassen Sie R - Feld. Erheblich unpersönlich V = P n = ((a 1, a 2, …, a n) ½ a i P, i = 1, ..., n). Lassen Sie uns auf dem Multiplikator V die Operation des Addierens von Vektoren und Multiplizieren eines Vektors mit einem Skalar gemäß den folgenden Regeln einführen:

"= (a 1 , a 2 , … , a n), = (b 1 , b 2 , … , b n) О V, "aО P += (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + Mrd.) (1)

a=(aa 1 , aa 2 , … , aa n) (2)

Elemente und multipliziert V genannt n-Welt-Vektoren. Zwei n-Welt-Vektoren heißen gleich, da ihre zweidimensionalen Komponenten (Koordinaten) gleich sind. Es kann gezeigt werden, dass V ein Vektorraum über dem Feld P ist. Da die Operation des Faltens eines Vektors in und Multiplizieren eines Vektors mit einem Skalar bekannt ist, ist V eine geschlossene Wahl dieser Operationen. Da das Hinzufügen von Elementen aus V auf das Hinzufügen von Elementen des Feldes P reduziert wird und P eine additive abelsche Gruppe ist, ist V eine additive abelsche Gruppe. Außerdem ist = , de 0 die Nullstelle des Feldes Р, -= (-a 1, -a 2, ..., -a n). In diesem Rang gewinnt A1. Die Skalierungen der Multiplikation des Elements V mit dem Element P reduzieren sich auf die Multiplikation der Elemente des Körpers P, dann gilt:

A 2 gewinnt aufgrund der Assoziativität des Multiplikators auf P;

A 3 und A 4 werden durch die distributive Multiplikation von How Folding auf P verkettet;

Und 5 gewinnt, denn 1 P ist ein neutrales Element, das mit R multipliziert werden kann.

Termin 2. Das unpersönliche V = P n mit den durch die Formeln (1) und (2) definierten Operationen wird als arithmetischer n-dimensionaler Vektorraum über dem Körper Р bezeichnet.

Schauen wir uns die Sequenz an, die durch die Elemente der Aktion gebildet wird einfaches Feld GF(q) (a^, a......ein p). Eine solche Sequenz wird aufgerufen l-durch

Konsistenzüber das Feld GF)