Finden Sie alle rationalen Wurzeln eines reichen Begriffs online heraus. Gleichung in der gesamten Mathematik Rationale Wurzel reichhaltiger Terme. Horners Schema. Chi є tse rationale Zahl

Ein reicher Term in Form einer Variablen x heißt anders: anxn + an-1 xn-1 +. . . +a 1 x+a 0 de n ist eine natürliche Zahl; an, an-1, . . . , eine 1, eine 0 - ob sie Zahlen sind, genannt Koeffizienten dieses Polynoms. Virazi anxn, an-1 xn-1, . . . , a 1 x, a 0 werden Mitglieder des Polynoms genannt, und 0 wird ein beliebiges Mitglied genannt. an - Koeffizient bei xn, an-1 - Koeffizient bei xn-1 und so weiter. Beispielsweise ist der Rich-Term 0x2 + 0x + 0 null. Aus der Aufzeichnung des Polynoms geht hervor, dass vin aus der Anzahl der Terme aufaddiert wird. Klingt nach dem Begriff „rich member“ (reiche Mitglieder). Manchmal wird ein reicher Term als Polynom bezeichnet. Dieser Begriff ähnelt den griechischen Wörtern πολι - reich und νομχ - Mitglied.

Ein reiches Mitglied in Form einer Änderung x wird bezeichnet: . f (x), g (x), h (x) und so weiter, zum Beispiel als erster Hinweis auf reichere Terme in Bezug auf f (x), dann kann man schreiben: f (x) = x 4+2 x 3+ (- 3) x 2 + 3/7 x + √ 2. 1. Der reiche Term h (x) wird der größte Schläfer der reichen Terme f (x) und g (x) genannt, also ist es möglich um f (x), g (x) und Lederdilnik hinzuzufügen. 2. Reicher Term f(x) mit Koeffizienten aus dem Körper P von Schritt n heißt reduzierbar über den Körper P, womit reiche Terme h(x), g(x) Î P[x] von Schritt weniger n etabliert werden, so dass f (x) = h(x)g(x).

Dies ist der reiche Term f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . + a 1 x + a 0 і an≠ 0, dann heißt die Zahl n die Stufe des reichen Terms f (x) (oder es scheint: f (x) ist die n-te Stufe) und schreibe Art. f(x) = n. Und hier wird an Senior-Koeffizient genannt, und anxn ist das Senior-Mitglied dieses Polynoms. Wenn zum Beispiel f (x) = 5 x 4 -2 x +3, dann Art. f(x) = 4, Senior-Koeffizient - 5, Senior-Term - 5 x4. Der Polynomschritt ist die größte der Zahlen seiner Koeffizienten, der führenden Arten von Nullen. Die reichen Terme des Nullschritts sind die ganzen Zahlen, die gleich Null sind. der nullreiche Term des Schritts kann nicht sein; reicher Term f(x) = a, wobei a eine Zahl ungleich Null ist, der maximale Schritt 0 ist; step gut ein anderes Polynom sein, das teurer ist als der größte Indikator für den Änderungsschritt x, der Koeffizient beim nächsten ist Null.

Rivnist der Reichen. Zwei reiche Terme f(x) und g(x) werden als gleich angesehen, obwohl ihre Koeffizienten bei denselben Schritten der Änderung x und freie Terme gleich sind (gleiche їх відпровідні-Koeffizienten). f(x) = g(x). Zum Beispiel sind reiche Terme f (x) \u003d x 3 + 2 x 2 -3 x + 1 і g (x) \u003d 2 x 23 x + 1 nicht gleich, der erste von ihnen hat einen Koeffizienten bei x3 gleicher bis 1, und der andere hat Null ( richtig mit den akzeptierten Intelligenzen können wir schreiben: g (x) \u003d 0 x 3+2 x 2 -3 x + 1. In diesem Fall: f (x) ≠ g (x ) x 2 -3 x + 5, s ( x) =2 x 2+3 x+5

Und die Achse des reichen Terms f 1 (x) \u003d 2 x 5 + 3 x 3 + bx + 3 і g 1 (x) \u003d 2 x 5 + ax 3 -2 x + 3 auch wenn a = 3 , aber b = -2. Geben Sie den reichen Term f(x) = anxn+an-1 xn-1+ an. . . +a 1 x+a 0 ist eine Zahl c. Zahl f(c) = ancn+an-1 cn-1+. . . +a 1 c+a 0 heißt der Wert des Polynoms f(x) bei x = c. Um also f (c) zu kennen, ist es notwendig, x zu begründen und die notwendigen Berechnungen durchzuführen. Wenn zum Beispiel f(x) = 2x3+3x2-x+5, dann ist f(-2)=2(-2)3+(-2)2-(-2)+5=3. Ein reiches Mitglied mit unterschiedlichen Änderungswerten x kann genommen werden verschiedene Werte. Die Zahl heißt Wurzel des Polynoms f (x), also f (c) = 0.

Es ist wichtig, den Unterschied zwischen zwei Aussagen zu beachten: "der reiche Term f(x) ist gleich Null (andernfalls ist der reiche Term f(x) gleich Null)" und "der Wert des Polynoms f(x) bei x=z ist gleich Null". Zum Beispiel ist das Polynom f (x) \u003d x 2 -1 nicht gleich Null, vіn kann Koeffizienten ungleich Null sein, so wie der Wert bei x \u003d 1 gleich Null ist. f(x) ≠ 0 und f(1) =0. Zwischen dem Verständnis der Äquivalenz von reichen Begriffen und der Bedeutung des reichen Begriffs besteht die gleiche enge Wechselbeziehung. Wenn zwei gleiche Polynome f(x) und g(x) gegeben sind, dann sind їх gleiche Koeffizienten von Gleichen, und daher gilt f(c) = g(c) für die Hautzahl c.

Operationen auf Polynomen Reichhaltige Terme können gemäß den üblichen Regeln zum Erweitern des Bogens und Verkürzen ähnlicher Terme addiert, gesehen und multipliziert werden. Damit betrete ich im Ergebnis wieder ein reiches Mitglied. Bestimmte Operationen können Potenz haben: f (x) + g (x) = g (x) + f (x), f (x) + (g (x) + h (x)) = (f (x) + g (x)) + h(x), f(x) g(x) = g(x) f(x), f(x)(g(x) h(x)) = (f(x) g( x)) h(x), f(x)(g(x) + h(x)) = f(x) g(x) + f(x) h(x).

Lassen Sie mich Ihnen zwei reichhaltige Terme geben: f(x) = anxn+an-1 xn-1+. . . +a 1 x+a 0, an≠ 0, i g(x)=bmxm+bm-1 xm-1+. . . +b 1 x+bm≠ 0. Es war klar, dass Art. f(x)=n und art. g(x) = m. Wenn Sie qi zwei Polynome multiplizieren, erhalten Sie am Ende einen reichen Term der Form f(x) g(x)=anbmxm+n+. . . +a 0 b 0. Oskilki an≠ 0 und bn≠ 0, dann anbm≠ 0, auch Art. (f(x)g(x))=m+n. Geräusche sind laut und wichtig.

Schritte zum Addieren zweier nicht nullreicher Terme zur Summe der Schritte der Multiplikatoren, Kunst. (f(x)g(x)) = st. f(x) +st. g(x). Das Senior-Mitglied (Koeffizient) der Erstellung von zwei von Null verschiedenen Termen, um die Senior-Mitglieder (Koeffizienten) der Multiplikatoren zu addieren. Ein freies Mitglied der Gründung von zwei mitgliederreichen Mitgliedern ist der Gründung von freien Mitgliedern der gemeinsamen Multiplikatoren würdig. Schritte von reich artikuliertem f (x), g (x) und f (x) ± g (x) sind mit dem bevorstehenden spivvіdnoshennia verbunden: art. (f (x) ± g (x)) ≤ max (st. f (x), st. g (x)).

Die Überlagerung mehrerer Terme f(x) und g(x) heißt. reicher Term, der mit f (g (x)) bezeichnet wird, der statt x auch in das Polynom f (x) eingehen kann, ersetzt das Polynom g (x). Zum Beispiel, wenn f(x)=x 2+2 x-1 і g(x) =2 x+3, dann f(g(x))=f(2 x+3)=(2 x+3) 2 +2(2 x+3)-1=4 x 2+16 x+14, g(f(x))=g(x 2+2 x-1)=2(x 2+2 x-1) + 3=2x2+4x+1. Es ist ersichtlich, dass f(g(x)) ≠g(f(x)), also eine Überlagerung mehrerer Terme f(x), g(x) und eine Überlagerung mehrerer Terme g(x), f( x) anders. Auf diese Weise hat die Überlagerungsoperation keine Verschiebungskraft.

, Algorithmus für Unterschätzung und Überlauf Für ob f(x), g(x) ist klar q(x) (privat) und r(x) (Überschuss), so dass f(x)=g(x)q(x )+ r(x), und die Schritte r(x)

Wörterbücher eines Polynoms Wörterbuch eines reichen Begriffs f(x) ist ein reichhaltiger Begriff g(x), so dass f(x)=g(x)q(x). Das größte Bett aus zwei reich segmentierten Das größte Bett aus reich segmentierten f(x) und g(x) ist ein solches Doppelbett von d(x), das in jedes seiner anderen Bett geteilt werden kann.

Euklidischer Algorithmus (Algorithmus der letzten Unterzeile) des größten gemeinsamen Tagebuchs der reichen Terme f(x) und g(x) Todi ist der größte Dilnik von f(x) und g(x).

Andere ändern Lösung: Wir kennen den ggT dieser reichhaltigen Terme und fixieren den euklidischen Algorithmus 1) х3 + 6 х2 + 11 х + 6 х3 + 7 х2 + 14 х + 8 1 - х2 - 3 х - 2 8 x3 + 3 x2 + 2 x - x2 - 3 x - 2 - x - 4 4 x2 + 12 x + 8 0 Otzhe, reicher Begriff (- x2 - 3 x - 2) Das Ergebnis steht unter dem Banner des Polynoms der Vіdomie.

Lassen Sie uns das Ergebnis der Unterteilung der Zahl wissen. x 3 + 6 x2 + 11 x + 6 - x2 - 3 x - 2 x3 + 3 x2 + 2 x - x - 3 3 x2 + 9 x + 6 0

Horners Schema der Division von einem übermäßig reichen Term f(x) in einen von Null verschiedenen Term g(x) - ne bedeutet, f(x) in der Ansicht f(x)=g(x) s(x)+ aufzudecken r(x), de s(x) ) ) i r(x) -reiche Terme i oder r(x) = 0, oder st. r(x)

Reiche Segmente, die am linken und rechten Teil seiner Spіvvіdnoshennia stehen, sind gleich und auch gleich їhnі vіdpovіdni koefіtsіentsi. Es ist ihnen gleich, nachdem es die Bögen vorne geöffnet und ähnliche Glieder am rechten Teil der Linie des Gleichmuts eingeflößt hat. Minus: a = bn-1, a-1 = bn-2 - cbn-1, a-2 = bn-3 - cbn-2, a 2 = b 1 - cb 2, a 1 = b 0 - cb 1, a 0 = r - cb 0 Virazimo їх іz otrimanih Gleichheiten: bn-1 = an, b n-2 = cbn-1 + an-1, b n-3 = cbn-2 + a n-2, b 1 = cb 2 + a 2, b 0 \u003d cb 1 + a 1, r \u003d cb 0 + a 0. Wir kannten die Formeln, mit denen die Koeffizienten eines ungeraden privaten s (x) und eines Überschusses r berechnet werden können. Damit werden die Gebühren vorne am Tisch aufgestellt; es wird Hornersches Schema genannt.

Tabelle 1. Koeffizienten f(x) c an bn-1 an-1 bn-2=cbn-1+ an-1 an-2 bn-3 = cbn-2+an-2 … … a 0 r = cb 0 + a 0 Die Koeffizienten s(x) sind zu groß. Schreiben Sie in einer anderen Zeile neben der ersten Zelle die Zahl c auf. Reshta Clitin der Zeile wird ausgefüllt, wobei nacheinander die Koeffizienten des nichtlinearen privaten s (x) und des Überschusses r gezählt werden. Schreiben Sie bei einem anderen Client den Koeffizienten bn-1 auf, der, wie wir installiert haben, teurer an ist.

Der Koeffizient für das Stehen an der Skin Offensive Wall wird nach folgender Regel berechnet: Die Zahl c wird mit der Zahl für das Stehen an der Vorderwand multipliziert, und die Zahl wird zum Ergebnis addiert, um über der Mauer zu stehen, um sich zu erinnern . Um sich, sagen wir, fünf Clitin zu merken, um bei ihrem Koeffizienten zu stehen, ist es notwendig, c mit der Zahl zu multiplizieren, die in der vierten Clitin steht, und zum Ergebnis die Zahl zu addieren, die über der fünften Clitin steht. Teilen wir zum Beispiel den reichen Term f (x) \u003d 3 x 4 -5 x 2 + 3 x-1 in x-2 іz zu viel, Horners Schema. Beim Ausfüllen der ersten Zeile dürfen die Zahlen des Schemas nicht über die Nullkoeffizienten des Polynoms vergessen werden. Die Koeffizienten f(x) sind also die Werte der Zahlen 3, 0, - 5, 3, - 1. Außerdem ist zu beachten, dass der Schritt eines unvollständigen Privaten um eins kleiner ist als der Schritt von der fette Term f(x).

Außerdem scheint es nach Horners Schema unterteilt worden zu sein: Tabelle 2. 2 3 3 0 6 -5 7 3 17 -1 33 Es ist wichtig zu beachten, dass privat s(x) =3 x 3+6 x 2+7 x+17 und Überschuss r=33. Respektvoll haben wir den Wert des Polynoms f (2) =33 berechnet. Teilen wir nun den sehr reichhaltigen Term f(x) in x + 2 іz zu viel. Ich habe ein Vipadku mit = -2. optional: Tabelle 3. -2 3 3 0 -6 -5 7 3 -11 -1 21 Als Ergebnis ist f(x) = (x+2) (3 x 3 -6 x 2+7 x-11) + 21 .

Wurzel der Polynome Nehai с1, с2, …, сm - Unterschiedliche Wurzel des Polynoms f(x). Dann ist f(x) durch x-c1 teilbar, dann ist f(x) = (x-c1) s1(x). Bezahlen wir diesen Gleichmut mit x=c2. Wir subtrahieren f(c2) = (c2-c1) s1(c2) i, also f(c2) =0, dann (c2-c1) s1(c2) =0. Ale c2≠c1, dann c2 -c1≠ 0, was bedeutet, dass s 1 (c 2) = 0. Außerdem ist c2 die Wurzel des Polynoms s 1 (x). Es zeigt, dass s1(x) durch x-c2 teilbar ist, also s1(x) = (x-c2) s2(x). Stellen Sie sich vor, Sie subtrahieren virase für s 1 (x) y gleich f (x) = (x-c 1) s 1 (x). Mai f(x) = (x-c1) (x-c2) s2(x). Nachdem wir den Rest der Gleichheit x \u003d c3 eingefügt haben, nehmen wir an, dass c3 die Wurzel des Polynoms s 2 (x) ist, um das zu beheben f (c 3) \u003d 0, c3 c1, c3 c2. Also s 2 (x) \u003d (x-c 3) s 3 (x) und dann f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) (x-c 3) s 3 (x) und so weiter für Wurzeln die verloren gegangen sind, c4, c5, ..., cm, mi, nareshti, f (x) = (x-c 1) (x-c 2) ... (x-cm) sm (x) wird weggenommen, das ist auf eine niedrigere Formel gebracht.

Da c1, c2, ..., cm die unterschiedliche Wurzel des Polynoms f (x) ist, kann f (x) durch Betrachten von f (x) \u003d (x-c 1) (x-c 2) angegeben werden ... (x-cm) sm (x). Klingt nach einer wichtigen Konsequenz. Da c1, c2, ..., cm die Wurzel des Polynoms f (x) ist, wird f (x) durch das Polynom (x-c1) (x-c2) ... (x-cm) dividiert. Die Anzahl verschiedener Nullstellen des von Null verschiedenen Polynoms f(x) ist nicht größer als die untere Stufe. Richtig, da f(x) keine Wurzel hat, ist es klar, dass der Satz richtig ist, mehr Art. f (x) ≥ 0. Sei f (x) nun m Wurzeln c1, c2, ..., cm, außerdem sind alle Gestanke verschieden. So wie f (x) geteilt wird durch (x-c1) (x-c2) ... (x-cm). Manchmal Kunst. f(x)≥st. ((X-C1) (X-C2) ... (X-Cm)) = st. (x-c1) + art. (X-C2) + ... + Art.-Nr. (x-cm) \u003d m, dann st. f(x)≥m, und m ist die Anzahl der Wurzeln des reichen Terms, die berücksichtigt werden können. Und die Achse des nullreichen Begriffs ist unendlich reich an Wurzeln, auch wenn sie eine Bedeutung für alles hat, was x schöner ist 0. Zokrema, um es zu verursachen, und bestrafe nicht denselben Gesangsschritt. Aus gut bewiesenen Theoremen geht dieselbe Behauptung hervor.

Wenn das Polynom f(x) kein Multinom der Stufe, größer, kleiner n ist und größer, kleiner n Wurzeln sein kann, dann ist f(x) ein Nullpolynom. In der Tat ist aus der Sicht des Unternehmens klar, dass f (x) ein Nullpolynom oder eine Kunst ist. f(x) ≤ n. Unter der Annahme, dass das Polynom f(x) nicht Null ist, dann ist Art. f(x) ≤n, und dann kann f(x) nicht mehr sein, unter n Wurzeln. Wir kommen zum Punkt der Superlative. Daher ist f(x) ein von Null verschiedener Term. Seien f(x) und g(x) nicht nullreiche Terme der Stufe, nicht größer, kleiner n. Wenn q Polynome denselben Wert für n + 1 Änderungswerte x annehmen, dann ist f (x) = g (x).

Betrachten wir zum Beweis den reichen Term h(x) = f(x) – g(x). Es dämmerte mir, dass - entweder h (x) = 0 oder st. h (x) ≤ n, dann ist h (x) kein reicher Term der Stufe, größer als, kleiner als n. Lassen Sie mich nun die Zahl so nehmen, dass f (c) = g (c). Dann ist h(c) = f(c) - g(c) = 0, dann ist h die Wurzel des Polynoms h(x). Außerdem hat der reiche Term h(x) n+1 Wurzeln, und wenn, wie es gemacht wurde, h(x) = 0, dann ist f(x) = g(x). Wenn f(x) und g(x) für alle Werte der Variablen x die gleichen Werte haben, dann

Mehrere Wurzeln des Multinoms Da die Zahl є die Wurzel des Multinoms f (x) ist, ist dieses Polynom offensichtlich durch x-s teilbar. Möglicherweise kann f(x) auf den nächsten Schritt erweitert werden bugato-member x-s, d.h. auf (x-c) k, k>1. Dieses Vipadka wird Mehrfachwurzel genannt. Formulieren wir den Termin klarer. Die Zahl heißt Wurzel der Vielfachheit k (k-fache Wurzel) des Polynoms f (x), also ist das Polynom teilbar durch (x-c) k, k>1 (k ist eine natürliche Zahl), aber nicht teilbar durch ( x-c) k + 1. Wenn k = 1, dann spricht man von einer einfachen Wurzel, und wenn k > 1, von einer mehrfachen Wurzel des Polynoms f (x).

Das Polynom f(x) kann also dargestellt werden als f(x)=(x-c)mg(x), m ist eine natürliche Zahl, vin ist teilbar durch (x-c) m+1 und dann ist g(x) teilbar durch xc . Wenn g(x) durch x-c teilbar ist, dann gilt g(x)=(x-c)s(x), dann f(x)=(x-c) m+1 s(x) und auch f(x ) wird durch (x-c) m+1 geteilt. Zurück, da f(x) durch (x-c) m+1 teilbar ist, dann gilt f(x)=(x-c) m+1 s(x). Dann (x-c) mg (x) \u003d (x-c) m + 1 s (x) und nach der kurzen Zeit für (x-c) m wird g (x) = (x-c) s (x) genommen. Es hört sich so an, als wäre g(x) in x-s unterteilt.

Klar ist zum Beispiel, dass Chi die Zahl 2 als Wurzel des reichen Terms f(x) = x 5 -5 x 4+3 x 3+22 x 2 -44 x+24 ist, und wenn ja, dann wir kennen seine Vielfalt. Um die erste Stromversorgung zu verifizieren, können wir nach dem zusätzlichen Horner-Schema suchen, das f(x) durch x-2 teilt. kann sein: Tabelle 4. 2 1 1 -5 -3 3 -3 22 16 -44 -12 24 0 Wie bei Bachimo ist der Exzess beim Teilen von f(x) durch x-2 größer als 0, also sollte er durch geteilt werden x-2. Daher die 2-Wurzel des Polynoms. Außerdem haben wir das f(x)=(x-2)(x 4 -3 x 3 -3 x 2+16 x-12) weggenommen. Jetzt ist es offensichtlich, chi є f (x) auf (x-2) 2. Tse zu hinterlegen, wie mi schoyno gebracht hat, angesichts der Teilbarkeit des Polynoms g (x) \u003d x 4 -3 x 3 -3 x 2 + 16 x-12 auf x-2.

Wieder beschleunigen nach Horners Schema: Tabelle 5. 1 -3 -3 16 -12 2 1 -1 -5 6 0 -x2 -5x +6). Dann f (x) \u003d (x-2) 2 (x 3 - x 2 -5 x + 6). Außerdem ist f(x) durch (x-2) 2 teilbar, jetzt muss man sagen, dass f(x) durch (x-2)3 teilbar ist. Wofür es umkehrbar ist, dass h(x) \u003d x 3 -x 2 -5 x + 6 durch x-2 geteilt wird: Tabelle 6. 1 -1 -5 6 2 1 1 -3 0 x-2, auch, f(x) wird durch (x-2) 3 dividiert, wenn f(x)=(x-2)3(x 2+x-3).

Dann kann auf ähnliche Weise geprüft werden, ob f(x) durch (x-2)4 geteilt wird, sodass s(x)=x 2+x-3 durch x-2 geteilt wird: Tabelle 7. 2 1 1 1 3 -3 3 Es ist bekannt, dass der Exzess, wenn s(x) durch x-2 geteilt wird, gleich 3 ist, dann wird s(x) nicht durch x-2 geteilt. Außerdem subsumiert f(x) nicht auf (x-2) 4. Auf diese Weise subsumiert f(x) auf (x-2)3, aber nicht auf (x-2)4. Außerdem ist die Zahl 2 die Wurzel der Multiplizität des reichen Terms 3 f(x).

Ertönen Sie den Hall der Wurzel für die Vielfältigkeit, weniger am Tisch zu zählen. Für diese Anwendung könnte die Tabelle wie folgt aussehen: Tabelle 8. 1 -5 3 22 -44 -24 2 2 1 1 -3 -1 1 3 -3 -5 -3 3 16 6 0 -12 0 0 Horner subtrahiert die Multinom f (x) durch x-2, in einer anderen Zeile entfernen wir die Koeffizienten des Polynoms g (x). Dann nehmen wir diese andere Zeile in die erste Zeile des neuen Horner-Systems und subtrahieren g (x) von x-2 und so weiter. Auf diese Weise ist die Multiplizität der Wurzel gleich der Anzahl der otrimanih Nullüberschüsse. Um den verbleibenden Überschuss ungleich Null zu rächen, gibt es in einer Reihe auch Koeffizienten des Teils, wenn f (x) durch (x-2) 3 geteilt wird.

Nun, vikoristovuyuchi schoyno proponovan Schema der erneuten Überprüfung der Wurzel für die Vielfalt, es scheint, dass die Aufgabe kommt. Für jedes a und b kann der reiche Term f(x) \u003d x 4 + 2 x 3 + ax 2 + (a + b) x + 2 die Zahl - 2 die Wurzel der Vielfachheit von 2 sein? Die Multiplizität der Wurzel - 2 muss also 2 addieren. Nachdem wir sie für das proponierte Schema durch x + 2 geteilt haben, müssen wir den Überschuss von 0 verdoppeln, und im dritten - den Überschuss, der ist gleich Null. Mai: Tabelle 9. -2 -2 -2 1 1 2 0 -2 -4 aa a+4 a+12 a+b -3 a+b-8 2 2 a-2 b+2

In diesem Rang ist die Zahl - 2 є Wurzel der Multiplizität von 2 des exspiratorischen reichen Begriffs, dann und nur dann, wenn

Die rationale Wurzel des Polynoms Wenn der nichtkurze Term l/m (l, m sind die ganzen Zahlen der Zahl) die Wurzel des reichen Terms f(x) mit mehreren Koeffizienten ist, dann ist der höchste Koeffizient des Polynoms teilbar durch m, und der lange Term ist durch 1 teilbar. Wahr, wie f (x )=anxn+an-1 xn-1+…+a 1 x+a 0, an≠ 0, de an, an-1, . . . , a 1, a 0 ganze Zahlen sind, dann f(l/m) = 0, dann an(l/m) n+an-1 (l/m) n-1+. . . +a 1 l/m+a 0=0. Multiplizieren Sie die störenden Teile des Äquivalenzpreises mit mn. Nimm anln+an-1 ln-1 m+. . . +a 1 lmn-1+a 0 mn=0. Anln=m (-an-1 ln-1 -...- a 1 lmn-2 -a 0 mn-1) ertönt.

Bachimo, die ganze Zahl anln ist durch m teilbar. Ale l/m ist ein nicht kurzer Drib, also sind die Zahlen l und m wechselseitig einfach, aber gemäß der Theorie der Gültigkeit ganzer Zahlen sind auch die Zahlen ln und m wechselseitig einfach. Otzhe, anln, das in m und m geteilt werden soll, ist gegenseitig einfach von ln, auch, an, das in m geteilt werden soll. Wir kennen die rationale Wurzel des reichen Terms f (x) \u003d 6 x 4 + 13 x 2 -24 x 2 -8 x + 8. Gemäß dem Satz findet sich die rationale Wurzel des Polynoms unter nicht kurzen Brüchen in der Form l / m, de l ist der Dilnik des freien Terms a 0 \u003d 8 und m ist der Dilnik des höchsten Koeffizienten a 4 \u003d 6. Wenn ja, dann ist l / m negativ, dann kommt das Zeichen "-" zum Ziffernblatt. Beispiel: - (1/3) = (-1)/3. Wir können auch sagen, dass l der Faktor der Zahl 8 ist und m der positive Faktor der Zahl 6 ist.

Die Oszillatoren der Zahl 8 - tse ± 1, ± 2, ± 4, ± 8, und die positiven Dilatatoren der Zahl 6 werden 1, 2, 3, 6 sein, dann ist die rationale Wurzel des gesuchten reichen Begriffs unter den Zahlen ± 1, ± 1/2, ± 1/3, ±1/6, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8/3. Schätze, wir haben mehr als kurze Brüche aufgeschrieben. In dieser Reihenfolge können wir zwanzig Zahlen haben - "Kandidaten" für Wurzeln. Es blieb nur übrig, die Haut von ihnen zu überdenken und diese auszuwählen, als ob sie den Wurzeln treu wären. Es kommt ein Theorem, das es dem Roboter leichter machen wird. Solange l/m die Wurzel des multiplen Terms f(x) mit mehreren Koeffizienten ist, dann wird f(k) für jede ganze Zahl k durch l-km dividiert, damit l-km≠0 gilt.

Um den Satz zu beweisen, teilen wir f(x) in x-k іz zu viel. Wir subtrahieren f(x)=(x-k)s(x)+f(k). Oskіlki f(x) ist ein reicher Term mit Qlimi-Koeffizienten, dann ist ein solcher reicher Term s(x) und f(k) ist eine ganze Zahl. Sei s(x)=bn-1+bn-2+…+b 1 x+b 0. Dann ist f(x)-f(k)=(x-k) (bnxn-1+bn-2 xn-2+ … +b1x+b0). Zahlen wir für diesen Gleichmut 1 x=l/m. Wenn f(l/m)=0, dann ist f(k)=((l/m)-k)(bn-1(l/m)n-1+bn-2(l/m)n-2+ …+b 1(l/m)+b 0). Multiplizieren Sie den säumigen Teil des verbleibenden Eigenkapitals mit mn: mnf(k)=(l-km)(bn-1 ln-1+bn-2 ln-2 m+…+b 1 lmn-2+b 0 mn-1) . Es ist klar, dass die Zahl mnf (k) durch l-km geteilt wird. Ale oskіlki l і m sind gegenseitig einfach, dann sind mn і l-km auch gegenseitig einfach, außerdem wird f (k) durch l-km geteilt. Das Theorem ist abgeschlossen.

Wenden wir uns unserem Hintern zu, und nachdem wir den Satz bewiesen haben, geht es noch klangvoller um den Klang der rationalen Wurzel. Es ist notwendig, den Satz für k=1 і k=-1 zuzuordnen, das heißt, weil der nicht kurze Drіb l/m die Wurzel des Terms f(x) ist, dann f(1)/(l-m), und f(-1)/(l + m) . Es ist leicht zu wissen, dass in Zeiten f(1)=-5 und f(-1)=-15. Hochachtungsvoll haben wir es sofort auf einen Blick ausgeschaltet ± 1. Von nun an ist die rationale Wurzel unseres reichen Begriffs die folgende Anzahl mittlerer Zahlen ± 1/2, ± 1/3, ± 1/6, ± 2, ± 2 /3, ± 4/3, ± 8/3. Betrachten wir l/m=1/2. Dann werden l-m=-1 und f(1)=-5 durch die ganze Zahl dividiert. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15, also wird es selbst durch 3 geteilt. Also bleibt drіb 1/2 in der Mitte der "Kandidaten" an der Wurzel.

Lassen Sie mich jetzt lm=-(1/2)=(-1)/2. In diesem Fall teilt l-m=-3 і f(1) =-5 nicht durch - 3. Drіb -1/2 kann also nicht die Wurzel dieses reichen Begriffs sein, und wir können ihn aus der Ferne ausschalten. Es ist notwendig, die Hautanwendung der Schüsse zu überdenken, wir berücksichtigen, dass die Wurzel zwischen den Zahlen 1/2, ± 2/3, 2, - 4 zu finden ist. In diesem Rang, um denselben einfachen Trick zu beenden, der Bereich der rationalen Wurzeln des betrachteten Polynoms klang sinnvoll. Nun, um die ausgelassenen Zahlen erneut zu überprüfen, können wir das Horner-Schema verwenden: Tabelle 10. 6 13 -24 -8 8 1/2 6 16 -16 0

Bachimo, scho 1/2 ist die Wurzel des reichen Terms f(x) und f(x) = (x-1/2) (6 x 3+16 x 2 -16 x-16) = (2 x-1 ) (3 x 3+8 x 2 -8 x-8). Es war klar, dass die anderen Wurzeln des Polynoms f(x) von den Wurzeln des Polynoms g(x) =3 x 3+8 x 2 -8 x-8 genommen werden, dann weitere Überprüfung der "Kandidaten" in die Wurzel kann bereits von demselben Polynom durchgeführt werden. Wir wissen: Tabelle 11. 3 8 -8 -8 2/3 3 10 -4/3 -80/9 Wir haben weggenommen, dass der Exzess, wenn g(x) durch x-2/3 geteilt wurde, mehr - 80/9 ist , dann. 2/3 ist keine Wurzel des Polynoms g(x), auch i f(x). Außerdem wissen wir, dass - 2/3 die Wurzel des Polynoms g (x) und g (x) \u003d (3 x + 2) (x 2 + 2 x-4) ist.

Dann ist f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Eine weitere Überprüfung kann für das Polynom x 2+2 x-4 durchgeführt werden, das bemerkenswert einfacher ist, niedriger für g (x) oder größer für f (x). Dadurch wird berücksichtigt, dass die Zahlen 2 i - 4 nicht gewurzelt sind. Außerdem hat der reiche Term f(x) =6 x 4+13 x 3 -24 x 2 -8 x+8 zwei rationale Wurzeln: 1/2 i - 2/3. Dieses Verfahren macht es möglich, nur eine rationale Wurzel eines reichen Terms mit einer großen Anzahl von Koeffizienten zu kennen. Tim ist manchmal ein reiches Mitglied der Mutter und irrationale Wurzel. Wenn Sie sich beispielsweise den Fuß eines reichen Begriffs ansehen, gibt es nur zwei Wurzeln: - 1±√5 (diese Wurzel eines reichen Begriffs ist x2 + 2 x-4). Ein Polynom kann als nichtmaterielle rationale Wurzel bezeichnet werden.

Beim Testen von „Kandidaten“ an der Wurzel des reichen Terms f(x) nach weiterer Ausarbeitung anderer Theoreme sollten Sie die Linke für die Kandidaten k=± 1 nennen. Mit anderen Worten, wenn l/m ein „Kandidat“ ist die Wurzel, dann werden Sie überdenken, dass f( 1 ) und f(-1) auf l-m und l+m richtig sind. Es könnte aber z.B. f(1) =0 sein, also 1 ist die Wurzel, dann kann f(1) als Zahl erweitert werden und die Nachverifikation ergibt Sinn. Teilen Sie in diesem Fall f(x) durch x-1, nehmen Sie also f(x)=(x-1)s(x) und testen Sie auf das Polynom s(x). Falls Sie vergessen, dass eine Wurzel des Polynoms f(x)-x 1=1 ist – das wussten wir bereits. Wenn die "Kandidaten" an der Wurzel vertauscht sind, die nach einem anderen Satz über die rationale Wurzel verloren gegangen sind, ist es nach Horners Schema möglich, dass beispielsweise l / m die Wurzel ist, dann sollten Sie ihre Vielfachheit kennen. Wenn es teurer ist, sagen wir k, dann gilt f(x)=(x-l/m) ks(x), und für s(x) kann eine weitere Überprüfung durchgeführt werden, was die Berechnung verkürzt.

Lösung. Nachdem wir die Änderung y=2 x geändert haben, gehen wir weiter zu einem Polynom mit einem Koeffizienten gleich eins für die höchste Stufe. Für diese Schulter multiplizieren wir das Viraz mit 4. Nimmt man der Wurzel die Funktion weg, dann findet man den Gestank in der Mitte des freien Gliedes. Beschreibbare ix: ±1, ±2, ±3, ±4, ±5, ±6, ±10, ±12, ±15±, ±20, ±30, ±60

Wir berechnen sequentiell den Wert der Funktion g(y) an diesen Punkten bis auf Null. Tobto, y=-5 є Wurzel, otzhe, є Wurzel der externen Funktion. Unter dem Stovpchik (Spule) des reichen Begriffs auf dem Binomial durchgeführt

Die erneute Überprüfung von Dilnikov, die verloren geht, sollte unvollständig durchgeführt werden, damit es einfacher ist, das quadratische Trinom Otzhe in Multiplikatoren von Subtraktionen anzulegen.

Vykoristannya Formeln der schnellen Multiplikation und Newtons Binomial für die Erweiterung eines reichen Begriffs in Faktoren Inodi alt aussehen Polynom, um über die Methode der Verbreitung von Yoga auf Multiplikatoren vorzuschlagen. Zum Beispiel, nach inkonsistenten Transformationen, die Koeffizienten von vishikovyvayutsya in einer Reihe von Pascals Trikot für die Koeffizienten von Newtons Binomial. Hintern. Legen Sie den Multiplikatorterm fest.

Lösung. Wir drehen es auf den Punkt: Die Summenfolge der Koeffizienten in den Armen zeigt deutlich, worum es geht. Aus demselben formulieren wir nun die Formel für die Differenz von Quadraten: Viraz der andere Bogen hat keine Wirkungswurzeln, aber für den reichen Term aus dem ersten Bogen formulieren wir noch einmal die Formel für die Differenz von Quadraten

Vietas Formeln drücken die Koeffizienten eines Polynoms durch die Wurzel aus. Mit diesen Formeln können Sie die Bedeutung der Wurzel des reichen Begriffs sowie die Faltung des reichen Begriffs für gegebene Wurzeln manuell korrigieren. Die Formel als Wurzel eines Polynoms, dann manifestieren sich die Koeffizienten durch die symmetrischen reichen Terme der Wurzeln, und

Mit anderen Worten, eine liebe Summe aller möglichen Kreationen aus k Wurzeln. Als Senior-Koeffizient des Polynoms ist es dann notwendig, alle Koeffizienten vor der Vieta-Formel in eine 0 zu teilen. Vom Rest der Formel ist Vієta stark, als ob die Wurzel des reichen Mitglieds ganzzahlig wäre, dann ist der Gestank der Dilniks des yogofreien Mitglieds, das ebenfalls ganzzahlig ist. Der Beweis basiert auf der Ansicht der Äquivalenz, wobei die Anordnung des reichen Begriffs nach den Wurzeln, vrakhovuchi, weggenommen wird, dass a 0 = 1 Das Gleichsetzen der Koeffizienten auf den gleichen Ebenen von x ist von der Formel Vієta besessen.

Ausrichtung lösen x 6 – 5 x 3 + 4 = 0 Lösen. Signifikant y \u003d x 3, obwohl es gleich ist, y 2 - 5 y + 4 \u003d 0 zu betrachten, sonst Y 1 \u003d 1; Y 2 \u003d 4. Otzhe, vyhіdne r_vnyannya entspricht der Ehe von rіvnyan: x 3 \u003d 1 chi x 3 \u003d 4, d.h. X 1 \u003d 1 chi X 2 \u003d Vidpovіd: 1;

Bezout Destination Theorem 1. Ein Element wird Wurzel eines reichen Terms genannt, also f(c)=0. Satz von Bezout. Der Exzess in der Unterteilung des Polynoms Pn(x) durch das Binom (x-a) erhöht den Wert des Polynoms bei x = a. Bringen. Aufgrund des Algorithmus ist ansonsten f(x)=(xc)q(x)+r(x), de oder r(x)=0. Später f(x)=(x-c)q(x)+r, später f(c)=(c-c)q(c)+r=r und f(x)=(xc)q(x) + f(c).

Letzte 1: Der Exzess in der Unterteilung des Polynoms Pn (x) durch das Binomial ax+b ist wertvoller für das Polynom bei x = -b/a, als R = Pn (-b/a). Letzte 2: Da die Zahl a die Wurzel des Polynoms P (x) ist, dessen Polynom durch (x-a) ohne Exzess teilbar ist. Lektion 3: Wie das Polynom P(x) paarweise verschieden sein kann Wurzeln a 1 , a 2 , … , an, vin Division durch tvir (x-a 1) … (x-an) ohne Exzess. Lektion 4: Ein reiches Mitglied der Stufe n kann drei oder mehr mehr als n verschiedene Wurzeln haben. Lektion 5: Für jedes Polynom P(x) ist diese Zahl a verschieden (P(x)-P(a)) teilbar ohne Exzess durch das Binomial (x-a). Lektion 6: Die Zahl a ist die Wurzel des Polynoms P(x) vom Grad nicht niedriger als der erste und nur dann, wenn P(x) ohne Exzess durch (x-a) geteilt wird.

Anordnung eines rationalen Bruchs auf dem einfachsten Zeigen wir, ob ein korrekter rationaler Bruch auf die Summe der einfachsten Brüche verteilt werden kann. Sei ihm das richtige rationale Argument (1) gegeben.

Satz 1. Sei x=а є die Wurzel des Banners des Stils k, dann , de f(a)≠ 0, dann kann der gleiche richtige Bruch bei der Summe von zwei anderen regulären Brüchen in der folgenden Reihenfolge angegeben werden: (2 ) , und F 1 (x) ist ein reicher Term, dessen Schritt niedriger ist als der Schritt des Standards

de richomember, die Stufe einer Art niedrigerer Stufe des Standards. І analog zur Vorwärtsformel kann genommen werden: (5)

Wie wir bereits bezeichnet haben, ist eine der wichtigsten Aufgaben der Theorie der reich definierten Begriffe die Aufgabe, ihre Wurzeln zu verstehen. Für die Bewältigung dieser Aufgabe können Sie die Auswahlmethode tobto gewinnen. Nehmen Sie eine reelle Zahl und ändern Sie sie, was die Wurzeln dieses Polynoms sind.

Damit können Sie Shvidko auf der Wurzel trinken, oder Sie können es überhaupt nicht wissen. Es ist für aje unmöglich, alle Zahlen zu verdrehen, für diejenigen, die zu reich sind.

Insha-Fluss, Yakby, wir haben es geschafft, die Region nach einem Witz zu untersuchen, um beispielsweise zu wissen, was die Wurzel ist, sagen wir, in der Mitte von dreißig angegebenen Zahlen. Und für dreißig Nummern können Sie auch an einem Hall arbeiten. Bei der Verbindung mit dem Schnurrbart sagen wir wichtiger, und wir sehen eine solche Festigkeit.

Solange l/m (l,m - ganze Zahlen der Zahl) die Wurzel des multiplen Terms f(x) mit mehreren Koeffizienten ist, dann ist der höhere Koeffizient des Polynoms durch m teilbar und der größere Term ist teilbar durch 1.

Wenn nämlich f(x) = anxn+an-1xn-1+... +a1x+a0, an?0, de an, an-1,...,a1, a0 ganze Zahlen einer Zahl sind, dann ist f (l /m) = 0, dann ist an (l/m) n+an-1 (l/m) n-1+...+a1l/m+a0=0.

Multiplizieren Sie die störenden Teile des Äquivalenzpreises mit mn. Nimm anln+an-1ln-1m+... +a1lmn-1+a0mn=0.

Geräusche schreien:

anln=m (-an-1ln-1-... - a1lmn-2-a0mn-1).

Bachimo, die ganze Zahl anln ist durch m teilbar. Ale l / m - kein kurzer Tropfen, tobto. die Zahlen l und m sind wechselseitig einfach, auch gemäß der Theorie der Teilbarkeit ganzer Zahlen sind die Zahlen ln und m auch wechselseitig einfach. Otzhe, anln, das in m und m geteilt werden soll, ist gegenseitig einfach von ln, auch, an, das in m geteilt werden soll.

Das Thema wurde aufgegriffen, damit der Bereich durch die Suche nach einer rationalen Wurzel eines reichen Begriffs mit mehreren Koeffizienten sinnvoll erkundet werden kann. Wir werden es an einer konkreten Anwendung demonstrieren. Wir kennen die rationale Wurzel des reichen Terms f(x) = 6x4+13x2-24x2-8x+8. Gemäß dem Satz findet sich die rationale Wurzel des Polynoms in der Mitte nicht kurzer Brüche in der Form l / m, de l ist der Dilnik des langen Terms a0 = 8 und m ist der Dilnik des höchsten Koeffizienten a4 = 6. Wenn ja, ist yakscho drіb l/m negativ, dann das Zeichen "-" vodnosimeme zur Ziffer. Beispiel: - (1/3) = (-1)/3. Wir können auch sagen, dass l der Faktor der Zahl 8 ist und m der positive Faktor der Zahl 6 ist.

Die Oszillatoren der Zahl 8 - tse ±1, ±2, ±4, ±8, und die positiven Dilatatoren der Zahl 6 sind 1, 2, 3, 6, dann ist die rationale Wurzel des untersuchten reichen Begriffs die Mitte der Zahlen ±1, ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3. Schätze, wir haben mehr als kurze Brüche aufgeschrieben.

In dieser Reihenfolge können wir zwanzig Zahlen haben - "Kandidaten" für Wurzeln. Es blieb nur übrig, die Haut von ihnen zu überdenken und diese auszuwählen, als ob sie den Wurzeln treu wären. Aber auch hier muss ich noch einiges nacharbeiten. Und die Achse kommt, das Theorem wird es dem Roboter erleichtern.

Solange l/m die Wurzel des multiplen Terms f(x) mit mehreren Koeffizienten ist, dann wird f(k) durch l-km geteilt, egal welche ganze Zahl k ist, zum Beispiel l-km?0.

Um den Satz zu beweisen, teilen wir f(x) in x-k іz zu viel. Nimm f (x) = (x-k) s (x) +f (k). Da f(x) ein reicher Term mit mehreren Koeffizienten ist, ist ein solches Polynom s(x) und f(k) eine ganze Zahl. Sei s(x) = bn-1+bn-2+…+b1x+b0. Dann ist f(x) - f(k) = (x-k) (bn-1xn-1+bn-2xn-2+...+b1x+b0). Bezahlen wir diesen Gleichmut mit x=l/m. Vrahovoyuchi, scho f (l / m) = 0, es ist möglich

f (k) = ((l/m) - k) (bn-1 (l/m) n-1+bn-2 (l/m) n-2+…+b1 (l/m) +b0) .

Multiplizieren Sie den beleidigenden Teil der verbleibenden Eifersucht mit mn:

mnf (k) = (l-km) (bn-1ln-1+bn-2ln-2m+…+b1lmn-2+b0mn-1).

Es ist klar, dass die Zahl mnf (k) durch l-km geteilt wird. Ale oskіlki l і m sind gegenseitig einfach, dann sind mn і l-km auch gegenseitig einfach, außerdem wird f (k) durch l-km geteilt. Das Theorem ist abgeschlossen.

Wenden wir uns nun unserem Hintern zu, und nachdem wir den Satz bewiesen haben, klingt er noch lauter, wenn es um den Klang der rationalen Wurzel geht. Es ist notwendig, den Satz für k=1 і k=-1 zuzuordnen, also. als nicht-kurze Drіb ist l/m die Wurzel von f(x), dann f(1)/(l-m) und f(-1)/(l+m). Es ist leicht zu wissen, dass f(1) =-5 und f(-1) =-15. Respektvoll haben wir die Ansteckung auf einen Blick ±1 ausgeschaltet.

Auch die rationale Wurzel unseres reichen Begriffs ist die folgende der mittleren Zahlen ±1/2, ±1/3, ±1/6, ±2, ±2/3, ±4, ±4/3, ±8, ±8/3.

Betrachten wir l/m=1/2. Dann werden l-m=-1 und f(1)=-5 durch die ganze Zahl dividiert. Dalі, l+m=3 і f(1) =-15, also wird es selbst durch 3 geteilt. Also bleibt drіb 1/2 in der Mitte der "Kandidaten" an der Wurzel.

Lassen Sie mich jetzt lm = - (1/2) = (-1) / 2. In diesem Fall teilt l-m=-3 і f(1) =-5 nicht durch - 3. Also kann drіb - 1/2 nicht die Wurzel dieses reichen Begriffs sein, und wir können ihn aus der Ferne ausschalten. Bei dermalen verschreibungspflichtigen Spritzen ist es notwendig, dies zu überdenken. Wir berücksichtigen, dass die Wurzel zwischen den Zahlen 1/2, ±2/3, 2, - 4 zu finden ist.

In diesem Rang haben sie, um den gleichen einfachen Trick zu vollenden, den Bereich sinnvoll auf der Suche nach einer rationalen Wurzel des analysierten Polynoms sondiert. Nun, um die Zahlen erneut zu überprüfen, verwenden wir Horners Schema:

Tabelle 10

Sie nahmen heraus, dass der Überschuss, wenn g (x) durch x-2/3 unterteilt wurde, gleich 80/9 ist, also ist 2/3 nicht die Wurzel des reichen Terms g (x), sondern bedeutet, wenn f (x) .

Außerdem ist leicht zu erkennen, dass - 2/3 die Wurzel des multiplen Terms g(x) ist und g(x) = (3x+2) (x2+2x-4). Dann ist f(x) = (2x-1) (3x+2) (x2+2x-4). Eine weitere Überprüfung kann für das Polynom x2+2x-4 durchgeführt werden, das offensichtlich einfacher ist, kleineres g(x) oder größeres f(x). Dadurch wird berücksichtigt, dass die Zahlen 2 i - 4 nicht gewurzelt sind.

Außerdem hat der reiche Term f(x) = 6x4+13x3-24x2-8x+8 zwei rationale Wurzeln: 1/2 i - 2/3.

Das Erraten, weitere Beschreibungen der Methode geben die Möglichkeit, die rationale Wurzel des reichen Terms mit vielen Koeffizienten zu kennen. Tim ist manchmal ein reiches Mitglied der Mutter und irrationale Wurzel. Wenn man sich beispielsweise den Hintern eines reichen Mitglieds ansieht, gibt es nur zwei Wurzeln: - 1±v5 (diese Wurzel eines reichen Mitglieds ist x2 + 2x-4). Und anscheinend ist ein reiches Mitglied möglicherweise nicht die Mutter einer rationalen Wurzel.

Jetzt ist die Dame glücklich.

Wenn Sie "Kandidaten" an der Wurzel des reichen Begriffs f (x) ausprobieren, klingen Sie nach der weiteren Ausarbeitung weiterer Theoreme nach links für vipadkіv k = ± 1. Mit anderen Worten, da l/m ein "Kandidat" an der Wurzel ist, ist es offensichtlich umgekehrt, ob f(1) und f(-1) in l-m und l+m geteilt werden können. Aber es könnte zum Beispiel sein, dass f (1) = 0, dann ist 1 die Wurzel, und dann kann f (1) durch eine Zahl geteilt werden, und unsere Rückverifikation ergibt Sinn. І Hier ist der nächste Schritt, f (x) durch x-1 zu dividieren, also. Nimm f(x) = (x-1) s(x) und teste auf das Polynom s(x). Wenn Sie nicht vergessen, dass eine Wurzel des reichen Begriffs f(x) – x1=1 – wir bereits wussten. Wie bei der Umkehrung der "Kandidaten" an der Wurzel, die nach einem anderen Satz über die rationale Wurzel verloren ging, ist es nach Horners Schema möglich, dass beispielsweise l / m die Wurzel ist, dann sollten Sie ihre Vielfachheit kennen. Wenn es teurer ist, sagen wir, k, dann ist f(x) = (x-l/m) ks(x), und für s(x) kann eine weitere Überprüfung durchgeführt werden, was die Berechnung verkürzt.

In diesem Rang lernten wir die rationale Wurzel des reichen Terms mit großen Koeffizienten kennen. Es scheint, dass wir selbst die irrationale Wurzel des reichen Begriffs mit rationalen Koeffizienten kennengelernt haben. In der Tat, soweit ich kann, zum Beispiel ein reichhaltiger Begriff f (x) \u003d x4 + 2 / 3x3 + 5 / 6x2 + 3 / 8x + 2, nachdem ich die Koeffizienten zum schlafenden Banner hinzugefügt und Yoga hinzugefügt habe An den Armen nehmen wir f (x) \u003d 1 /24 (24x4+16x3-20x2+9x+48). Es war klar, dass die Wurzeln des Polynoms f(x) aus den Wurzeln des reichen Terms, die an den Armen stehen, und im neuen Koeffizienten – den Zahlen – gebildet werden. Nehmen wir zum Beispiel an, dass sin100 eine irrationale Zahl ist. Beschleunigung mit der Hausformel sin3?=3sin?-4sin3?. Sterne sin300 = 3sin100-4sin3100. Wenn wir auf diejenigen zurückblicken, bei denen sin300=0,5 ist, und umständliche Transformationen durchführen, können wir annehmen, dass 8sin3100-6sin100+1=0 ist. Außerdem ist sin100 die Wurzel des Terms f(x) = 8x3-6x+1. So wie wir rational die Wurzel dieses reichen Mitglieds shukatimemo sind, dann perekaєmosya, wir haben sie nicht. Otzhe, die Wurzel der Sünde100 ist eine rationale Zahl, tobto. sin100 ist eine irrationale Zahl.

Komm schon

- reicher Term von Schritt n ≥ 1 im Effektivwert der komplexen Variablen z mit dem Effektivwert der komplexen Koeffizienten a i . Beweisen wir den folgenden Satz.

Satz 1

Nivellierung Pn (z) = 0 Darf ich eine Wurzel wollen.

Kommen wir Lema.

Lemma 1

Sei P n (z)- Reichsbegriff von Schritt n, z 1 - die Wurzel des Flusses:
Pn (z1) = 0.
Todi Pn (z) kann auf eine Weise aufgedeckt werden, indem man sich ansieht:
Pn (z) = (z - z 1) P n-1 (z),
de P n- 1(z)- Rich-Term-Schritt n - 1 .

Bringen

Um es zu beweisen, machen wir einen Satz (div. Die Division eines multiplen Terms durch einen multiplen Term durch eine Falte und einen Stumpf), es ist für zwei beliebige reiche Terme P n möglich (z) ich Qk (z), Schritte n und k, außerdem n ≥ k
Pn (z) = Pn-k (z) Qk (z) + Uk-1 (z),
de P n-k (z)- reicher Term von Schritt n-k, U k- 1(z)- reicher Term der Stufe ist nicht höher als k- 1 .

Setzen wir k = 1 , Qk (z) = z - z 1 Auch
Pn (z) = (z - z 1) P n-1 (z) + c,
de c - schnell. Stellen Sie sich hier z = z vor 1 dass vrahuєmo, scho P n (z1) = 0:
Pn (z 1 ) = (z 1 – z 1 ) P n-1 (z 1 ) + c;
0 = 0 + c.
Zvіdsi c = 0 . Todi
Pn,
was mitgebracht werden musste.

Die Erweiterung des reichen Begriffs zu Multiplikatoren

Außerdem ist auf der Grundlage von Theorem 1 der reiche Term P n (z) Darf ich eine Wurzel wollen. Signifikant Yogo Yak z 1 , Pn (z1) = 0. Dasselbe auf Stand Lemy 1:
Pn (z) = (z - z 1) P n-1 (z).
Dali, wie n > 1 , dann das Polynom P n- 1(z) damit kann ich eine Wurzel wollen, die sinnvoll ist wie z 2 , Pn- 1(z2) = 0. Todi
Pn- 1 (z) = (z - z 2) P n-2 (z);
Pn (z) = (z - z 1) (z - z 2) P n-2 (z).

Wenn wir diesen Prozess fortsetzen, kommen wir zu dem Schluss, dass wir n Zahlen z haben 1, z 2, ..., z n so dass
Pn (z) = (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n) P 0 (z).
Ale P 0 (z)- tse postiyna. Setzt man die Koeffizienten bei z n gleich, ist bekannt, dass es bei a n teurer ist. Infolgedessen sind wir besessen von der Formel zum Teilen eines reichen Begriffs in Multiplikatoren:
(1) Pn (z) = ein n (z - z 1) (z - z 2) ... (z - z n).

Zahlen z i є zu den Wurzeln des reichen Begriffs P n (z).

Beim zagalny vpadku nicht alle z i, scho vorher eingeben (1) , Riznі. Darunter können die gleichen Werte sein. Wie man einen reichhaltigen Begriff zu Multiplikatoren erweitert (1) man kann bei dem Anblick schreiben:
(2) Pn (z) = ein n (z - z 1 ) n 1 (z - z 2 ) n 2 ... (z - z k ) n k;
.
Hier z i ≠ z j für i ≠ j. Yakscho n ich = 1 , dann Wurzel z ich heißt verzeihen. Geben Sie beim Layout für Multiplikatoren am Anblick ein (z-z i ). Yakscho n i > 1 , dann Wurzel z ich heißt multiple Wurzel der Multiplizität n ich . Geben Sie beim Layout der Multiplikatoren ein, wenn Sie sich die Extraktion von n i Primzahlmultiplikatoren ansehen: (z-z i )(z-z ich ) ... (z-z ich ) = (z-z ich ) n ich.

Reichhaltige Terme mit effektiven Koeffizienten

Lemma 2

Da es sich um eine komplexe Wurzel eines Polynoms mit effektiven Koeffizienten handelt, hängt die Zahl auch komplex mit der Wurzel des Polynoms zusammen, .

Bringen

Deisno-, Yakscho- und Polynomkoeffizienten - Zahlen, dann.

In dieser Reihenfolge ist die komplexe Wurzel paarweise mit ihren komplexen Bedeutungen im Layout auf den Multiplikatoren enthalten:
,
de, - Reelle Zahlen.
Gleiches Layout (2) Ein reichhaltiger Begriff mit effektiven Koeffizienten für Multiplikatoren kann beim Anblick abgelegt werden, in Gegenwart von nur effektiv schnell:
(3) ;
.

Methoden zum Aufteilen eines reichen Begriffs in Multiplikatoren

Mit der Verbesserung des oben Gesagten ist es für die Zerlegung eines Polynoms in Faktoren notwendig, alle Wurzeln der Gleichung P n (z) = zu kennen 0 und benennen ihre Vielheit. Multiplikatoren mit komplexen Wurzeln müssen auf komplexe Weise gruppiert werden. Das gleiche Layout hängt von der Formel ab (3) .

In diesem Rang wird die Methode, den reichen Begriff in Multiplikatoren zu streuen, in der Offensive eingesetzt:
1. Wir kennen root z 1 Ausgleich P n (z1) = 0.
2.1. Yakshcho-Wurzel z 1 effektiv, dann fügen wir im Layout einen Multiplikator hinzu (z-z1) (z-z1) 1 :
.
1(z), ab Punkt (1) , Bis wir alle Wurzeln kennen.
2.2. Als komplexe Wurzel wird die Zahl є komplex als Wurzel eines reichen Begriffs erhalten. Geben Sie vor dem Auslegen den Multiplikator ein

,
de b 1 = - 2 x 1, c 1 = x 1 2 + y 1 2.
Meiner Meinung nach fügen wir im Layout einen Multiplikator hinzu (z 2 + b 1 z + c 1) i verdünne den reichen Term P n (z) durch (z 2 + b 1 z + c 1). Als Ergebnis nehmen wir einen reichen Term von Schritt n - 2 :
.
Wiederholen wir den Vorgang für das Polynom P n- 2(z), ab Punkt (1) , Bis wir alle Wurzeln kennen.

Kenntnis der Wurzel des reichen Mitglieds

Hauptbüro, mit der Erweiterung des Polynoms in Faktoren, die Bedeutung der Yogo-Wurzel. Leider kann man nicht immer analytisch arbeiten. Hier werden wir die Sprotte von Vipadkiv analysieren, wenn Sie die Wurzel des reichen Begriffs analytisch kennen können.

Wurzel des reichen Mitglieds der ersten Stufe

Das reiche Mitglied der ersten Stufe ist eine integrale Funktion. Es gibt nur eine Wurzel. Das Layout kann nur ein Multiplikator sein, um die Änderung von z zu rächen:
.

Wurzel eines reichen Mitglieds einer anderen Ebene

Um die Wurzel des reichen Begriffs einer anderen Ebene zu kennen, ist es notwendig, das Quadrat gleich zu lösen:
P 2(z) = ein 2 z 2 + ein 1 z + ein 0 = 0.
Als Diskriminante gibt es dann zwei echte Wurzeln:
, .
Schauen Sie sich nur die Multiplikatoren an:
.
Was ist die Diskriminante D = 0 , dann kann gleich eine dvorazovy-Wurzel sein:
;
.
Als Diskriminante D< 0 , dann ist die Wurzel komplexer,
.

Reich artikulierte Stufe höher für einen anderen

Іsnuyu-Formeln für die Bedeutung der Wurzeln der reichen Segmente der 3. und 4. Stufe. Sie scheuen selten mit ihnen, die Scherben des Gestanks sind sperrig. Es gibt keine Formeln für das Wissen um die Wurzeln des reich artikulierten Grades, der höher als der 4. ist. Unwissend an Ort und Stelle, in deyakih vipadkas, geht man dazu über, den reichen Begriff in Multiplikatoren zu verbreiten.

Bedeutung der ganzen Wurzel

Es scheint, dass dies ein reicher Begriff für einige Koeffizienten ist - die Anzahl der Zahlen, die Anzahl der Wurzeln, die durch Sortieren aller möglichen Werte ermittelt werden können.

Lemma 3

Gib mir einen reichen Schwanz
,
Koeffizienten a i davon - die Zahl der Zahl, die die Wurzel von z sein kann 1 . Gleiche Wurzel wie dilnik von Nummer a 0 .

Bringen

Lassen Sie uns gleich P n umschreiben (z1) = 0 beim Anblick:
.
Todi - tsile,
Mz 1 = - a0.
Geteilt durch z 1 :
.
Oskіlki M - qile, dann i - qile. Was musste mitgebracht werden.

Daher können Sie als Koeffizienten eines Polynoms - die Anzahl der Zahlen - versuchen, die Zahlen der Wurzel zu kennen. Für wen es notwendig ist, alle Dilniks eines freien Mitglieds zu kennen 0 і, Ausgleichssubstitution P n (z) = 0, perverti, chi є stinken bis zu den Wurzeln dieses Gleichen.
Notiz. Da die Koeffizienten eines Polynoms rationale Zahlen sind, ist die Multiplikation gleich P n (z) = 0 Auf dem hohen Niveau der Zahlen a i nehmen wir die Entzerrung für das Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten.

Die Bedeutung der rationalen Wurzel

Da die Koeffizienten eines Polynoms - die Zahlen der Zahl und die Anzahl der Wurzeln nicht sind, dann für ein n ≠ 1 , können Sie versuchen, die rationale Wurzel zu kennen. Für wen ist es notwendig, eine Vertretung zu schaffen
z = y/a n
und gleich mit a n n- multiplizieren 1 . Als Ergebnis berücksichtigen wir die Gleichheit für den reichen Begriff in der Form der Änderung und bei der Anzahl der Koeffizienten. Dali shukaimo die Wurzel des reichen Mitglieds des mittleren Mitglieds des freien Mitglieds. Da wir eine solche Wurzel y i kannten und dann zur Änderung x übergingen, nehmen wir eine rationale Wurzel an
z ich = y ich / ein n.

Farbige Formeln

Wir führen Formeln ein, mit deren Hilfe es möglich ist, das Polynom in Faktoren zu erweitern.

Haben Sie ein wilderes Temperament, um ein reiches Mitglied auszulegen
Pn (z) = z n - a 0,
Drogenfahndung 0 - Es ist komplexer, es ist notwendig, alle Yogo-Wurzeln zu kennen, damit Sie es gleich enträtseln können:
z n = a 0 .
Tsіvnyannya ist leicht zu verwechseln, als ob es ein Beweis wäre 0 über Modul r i Argument?
.
Oskilki a 0 nicht ändern, um das Argument zu erweitern 2pi, dann stellen Sie sich a vor 0 beim Anblick:
,
de k – qile. Todi
;
.
Werte zuweisen k k = 0, 1, 2, ... n-1, Wir ziehen n Wurzeln des Polynoms. Das Todi-Yogo-Layout für Multiplikatoren kann folgendermaßen aussehen:
.

Biquadratischer bagatonischer Begriff

Schauen wir uns den biquadratischen Term an:
.
Ein biquadratischer Term kann ohne Wurzel in Multiplikatoren unterteilt werden.

Wann vielleicht:

,
de.

Bikubische und reichhaltige Segmente, die auf ein Quadrat reduziert werden können

Schauen wir uns das reiche Mitglied an:
.
Yogo-Wurzel steht für gleich:
.
Won geführt werden quadratische Ausrichtung Substitution t = z n :
a 2 n t 2 + ein n t + ein 0 = 0.
Virishivshi tse eve, wir kennen die Yogo-Wurzel, t 1 , t 2 . Wenn wir die Anordnung beim Anblick kennen:
.
Dali nach der Methode, schauen wir es uns an, erweitern Sie es in Multiplikatoren z n - t 1 i z n - t 2 . Die Visnovka hat eine Gruppe von Multiplikatoren, die die Wurzel auf komplexe Weise rächen.

Rotierende Stiele

Das reiche Mitglied wird gerufen Rückkehr Yakscho-Yogo-Koeffizienten sind symmetrisch:

Hintern des verstaubaren Bagato-Mitglieds:
.

Da die Schritte des umgekehrten Polynoms n ungepaart sind, kann ein solches Polynom die Wurzel z = haben -1 . Die Aufteilung eines so reichhaltigen Begriffs in z + 1 , nehmen wir den Return-Rich-Term des Steps

Im Falle von rozv'yazannі rivnyan i nerіvnjanі oft vykaє nіkaє nebhіdnіst razvіdnіє polynomial razvіdnіє auf Polynomen, stupіnіy і in dіvnіє drei oder mehr. Wir können uns diese Statistiken ansehen, um es einfacher zu machen.

Wie ein Zavzhd, tierisch um Hilfe für die Theorie.

Satz von Bezout stverzhuє, scho Überschuss bei der Aufspaltung eines Polynoms in ein Binomial dorivnyuє.

Aber was für uns wichtig ist, ist nicht der Satz selbst, sondern Konsequenz daraus:

Da die Zahl die Wurzel eines Polynoms ist, kann das Polynom ohne zu viel Binomial dividiert werden.

Vor uns liegt die Aufgabe zu wissen, wie man eine Wurzel eines reichen Begriffs kennt, dann teilen wir den reichen Begriff in de - die Wurzel eines reichen Begriffs. Als Ergebnis nehmen wir ein reiches Mitglied, der Fuß von einem ist kleiner, je niedriger die Rippe des äußeren ist. Und dann für den Verbrauch können Sie den Vorgang wiederholen.

Tse zavdannya in zwei Teile geteilt: wie man die Wurzel eines reichen Begriffs kennt und wie man einen reichen Begriff in ein Binomial unterteilt.

Lassen Sie uns von diesen Momenten berichten.

1. Wie man die Wurzel eines reichen Mitglieds kennt.

Der Handrücken wird verehrt, Chi ist die Zahl 1 und -1 der Wurzeln des reichen Mitglieds.

Hier sind einige Fakten, die uns helfen:

Da die Summe aller Koeffizienten des Polynoms gleich Null ist, ist die Zahl die Wurzel des Polynoms.

Beispielsweise ist das Polynom der Summe der Koeffizienten gleich Null: . Es ist leicht, die Wurzel eines reichen Mitglieds falsch zu interpretieren.

Da die Summe der Koeffizienten des Polynoms bei gepaarten Schritten dieselbe ist wie die Summe der Koeffizienten bei ungepaarten Schritten, ist die Zahl die Wurzel des Polynoms. Vilniy Mitglied vvazhaetsya Koeffizient auf der doppelten Ebene, oskolki und - Kerl Nummer.

Zum Beispiel im Polynom der Summe der Koeffizienten bei gepaarten Schritten : , und der Summe der Koeffizienten bei ungepaarten Schritten : . Es ist leicht, die Wurzel eines reichen Mitglieds falsch zu interpretieren.

Wenn nі 1, nі -1 є zu den Wurzeln des Polynoms, dann bricht der Abstand zusammen.

Für den induzierten fetten Term des Schrittes (zusätzlich zum fetten Term, bei dem der ältere Koeffizient der Koeffizient bei - dem führenden ist) gilt die folgende Formel:

De ist die Wurzel eines reichen Mitglieds.

Es gibt mehr Formeln von Vієta, dass es andere Koeffizienten des Polynoms gibt, aber wir können selbst darüber sprechen.

Z tsієї Formel Vієta viplivaє, scho als die Wurzel eines reichen Mitglieds der Ganzzahl, dann der Gestank der Dilniks des Yogo-freien Mitglieds, das auch eine ganze Zahl ist.

Vihodyachi z tsogo, Wir müssen den variablen Begriff des reichen Begriffs in Vielfache aufteilen und nacheinander vom kleinsten zum größten umkehren, welcher der Plurale die Wurzel des reichen Begriffs ist.

Schau es dir an, zum Beispiel, reiches Mitglied

Tagebücher der kostenlosen Mitglieder: ; ; ;

Die Summe aller Koeffizienten eines Polynoms ist teurer, dann ist die Zahl 1 nicht mehr die Wurzel eines Polynoms.

Die Summe der Koeffizienten für die Zwillingsschritte:

Summe der Koeffizienten für ungepaarte Schritte:

Außerdem ist die Zahl -1 auch die Wurzel eines Polynoms.

Es ist umkehrbar, dass Chi die Zahl 2 als Wurzel eines reichen Begriffs ist: Auch die Zahl 2 ist die Wurzel eines reichen Begriffs. Später, nach dem Satz von Bezout, kann ein reicher Term ohne Exzess in ein Binomial geteilt werden.

2. Wie man einen reichen Term in ein Binomial subtrahiert.

Der reiche Begriff kann in ein Binomial mit einem Stumpf unterteilt werden.

Wir teilen den reichen Begriff in ein Binomial mit einem Stompchik:

Die zweite Möglichkeit, ein Polynom in ein Binom zu unterteilen, ist Horners Schema.

Sehen Sie sich das Video an, um es zu verstehen wie man einen reichen Term in einen binären Term mit einem Schritt i für das zusätzliche Horner-Schema teilt.

Ich werde das respektieren, wenn rozpodіlі stovpchik wie Schritte, die dem vyhіdny-Polynom vіdsutnya unbekannt sind, її mіstsі 0 schreiben - wie і, wie aus dem gefalteten Tisch für Horners Schema.

Da wir also den reichen Term in einen binären Term teilen müssen und als Ergebnis den reichen Term nehmen, können wir die Koeffizienten hinter Horners Schema kennen:

Wir können auch siegreich sein Horners Schema um umzukehren, wenn die Zahl als Wurzel des reichen Begriffs angegeben ist: Wenn die Zahl die Wurzel des reichen Begriffs ist, dann ist der Überschuss im Unterfeld des reichen Begriffs gleich Null, also in der verbleibenden Spalte von die andere Zeile des Horner-Schemas nehmen wir 0.

Vikoristovuyuchi Horners Schema „schlagen wir zwei Fliegen mit einer Klappe“: Eine Stunde lang prüfen wir, ob die Zahl die Wurzel eines reichen Begriffs ist, und wir teilen den reichen Begriff in ein Binomial.

Hintern. Virishiti Rivnyannia:

1. Schreiben Sie die Dilniks des freien Mitglieds und Shukatimemo die Wurzel des reichen Mitglieds der mittleren Dilniks des freien Mitglieds auf.

Dialoge der Nummer 24:

2. Umgekehrt ist Chi die Wurzel Nummer 1 eines reichen Begriffs.

Die Summe der Koeffizienten des Polynoms, auch die Zahl 1 ist die Wurzel des Polynoms.

3. Teile den nach außen gerichteten reichen Term in einen binären Term unter Verwendung des Horner-Schemas.

A) Schreiben Sie die erste Zeile der Koeffiziententabelle des Ausgangspolynoms auf.

Oskіlki-Mitglied, scho vengeance vіdsutnya, an diesem Tischtisch, der möglicherweise einen Koeffizienten hat, wenn wir 0 schreiben. Wir schreiben die böse Wurzel des Wissens: Nummer 1.

B) Speichern Sie die erste Zeile der Tabelle.

Im Rest der Spalte haben wir, als ob es klar wäre, Null subtrahiert, die Welt hat den letzten reichen Term in ein Binomial ohne Überschuss geteilt. Die Koeffizienten des Polynoms, die das Ergebnis unter dem Bild in blauer Farbe in einer anderen Zeile der Tabelle hat:

Es ist leicht zu missverstehen, dass die Zahlen 1 und -1 nicht die Wurzeln eines reichen Begriffs sind

C) Wir setzen die Tabelle fort. Umgekehrt ist Chi die Zahl 2 als Wurzel eines reichen Begriffs:

Die Schrittweite des Polynoms, die im Ergebnis des Unterterms erscheint, ist also um eins kleiner als die Schrittweite des ausgegebenen Terms, auch die Anzahl der Koeffizienten und die Anzahl der Spalten sind um eins kleiner.

Im Rest der Spalte haben wir -40 entfernt - eine Zahl, die sich nicht zu Null addiert, daher wird der reiche Term durch einen binären Term aus dem Überschuss geteilt, und die Zahl 2 ist nicht die Wurzel des reichen Terms.

C) Chi ist umgekehrt die Zahl -2 als Wurzel eines reichen Begriffs. Also, nach wie vor war der Test nicht mehr weit, damit es keinen Schwindel mit Koeffizienten gab, bin ich in einer Reihe, dass ich meinen Test bestätige:

Wunder! Null wurde vom Überschuss weggenommen, dann wurde der reiche Term in ein Binomial ohne Überschuss geteilt, und die Zahl -2 ist die Wurzel des reichen Terms. Die Koeffizienten des Polynoms, das im Ergebnis das Polynom in ein Binom unterteilt, in der Tabelle des Bildes in grüner Farbe.

Als Ergebnis haben wir das quadratische Trinom subtrahiert , dessen Wurzel hinter dem Viet-Theorem leicht zu erkennen ist:

Otzhe, die Wurzel der äußeren Erweckung:

{}

Anregung: ( }

Yakscho reiches Mitglied

Bringen

Lassen Sie uns die Koeffizienten des Polynoms є durch ganze Zahlen haben, und lassen Sie die Zahl a die Wurzel des th reichen Terms sein. Zu demjenigen, in dem der Ton in jedem Moment scheint, wird der Koeffizient durch a geteilt.

Respekt. Dieser Satz ermöglicht es Ihnen in diesem Fall tatsächlich, die Wurzel der reicheren Terme der höheren Stufen zu kennen, wenn die Koeffizienten dieser reicheren Terme Zahlen sind und die Wurzel ist Rationale Zahl. Der Satz kann wie folgt umformuliert werden: So wie wir wissen, dass die Koeffizienten eines Polynoms die Zahlen der Zahl sind und die Wurzel des Yogo rational ist, kann die rationale Wurzel nur wie de p als Dilnik einer Zahl sein (ein freier Begriff), und die Zahl q ist ein Dilatator einer Zahl (ein Senior Coy).

Der Satz über die ganze Wurzel, was man an sich rächen soll

So wie die Zahl α die Wurzel eines reichen Begriffs mit mehreren Koeffizienten ist, dann ist α der Dilnik des yogischen freien Begriffs.

Bringen. Komm schon:

P(x)=a 0 xⁿ +a 1 xⁿ -1 +…+a n-1 x +a n

reichhaltiger Term mit Qlimi-Koeffizienten und Qile-Zahl α - Yogo-Wurzel.

Dann wird der Wert der Wurzel gleichgesetzt P(α)=0;

a 0 αⁿ+a 1 αⁿ -1 +…+a n-1 α +a n =0.

Vinosyachi zagalny Multiplikator α für die Bögen, nimm die Äquivalenz weg:

α(a 0 αⁿ -1 +a 1 αⁿ -2 +…+a n-1)+a n =0 , Sterne

ein n = -α(ein 0 αⁿ -1 +ein 1 αⁿ -2 +…+ein n-1)

Scherben der Zahl a 0 , a 1 ,…a n-1 , an i α −tsіlі, dann sollten die Bögen die ganze Zahl sein, dann, a n durch α geteilt werden, da es vervollständigt werden sollte.

Der Satz wurde aufgegriffen, aber er kann so formuliert werden: Die Anzahl der Wurzeln des Polynoms mit der Anzahl der Koeffizienten ist der Dilatator des ersten freien Terms.
Nach dem Theorem of Foundations der Algorithmus zur Suche nach der ganzzahligen Wurzel eines reichen Terms mit der ganzen Anzahl von Koeffizienten:

2. Satz von Dodatkova über den Wurzelwert

Neben der Anzahl der α-Wurzeln des reichen Terms P(x) mit ganzzahligen Koeffizienten, dann α-1-Teiler der Zahl P(1), α+1-Teiler der Zahl P(-1)

Bringen. 3 die Gleichheit

xⁿ-yⁿ=(x-y)(xⁿ -1 +xⁿ -2 y+…+ xyⁿ -2 +yⁿ -1)

Sie können sehen, dass aus der Anzahl der Zahlen b і c die Zahl bⁿ-cⁿ durch b∙c teilbar ist. Ale für jedes reiche Mitglied im Einzelhandel

P(b)-P(c)= (a 0 b+a 1 bⁿ -1 +…+a n-1 b+a n)-(a 0 cⁿ+a 1 cⁿ -1 +…+a n-1 c +ein n)=

=a 0 (bⁿ- cⁿ)+a 1 (bⁿ -1 -cⁿ -1)+…+a n-1 (b-c)

Auch für ein Polynom P mit zĖlimi-Koeffizienten zĖlih-Zahlen b c wird die Differenz P(b)-P(c) in b-c unterteilt.

Erinnern wir uns: für b = α, z = 1, P (α)-P (1) = -P (1), was bedeutet, dass P (1) durch α-1 geteilt wird. Ebenso gibt es eine andere Ansicht.

Horners Schema

Satz: Lassen Sie ein kurzfristiges Drіb p / q є Wurzel gleich ein 0 x n + ein 1 x n - - 1 + + ein n - - 1 x + ein n =0 bei mehreren Koeffizienten die gleiche Zahl q є dilnik des Senior-Koeffizienten a0 und der Zahl R є dilnik kostenloses Mitglied an.

Respekt 1. Seien Sie die Wurzel der Beziehung mit der Anzahl der Koeffizienten und Dilnik des yogo-freien Mitglieds.

Respekt 2.Da der Senior-Koeffizient gleich der Anzahl der Koeffizienten der Straße 1 ist, sind alle rationalen Wurzeln, wie der Gestank bekannt ist - die Anzahl.

Die Wurzel des reichen Mitglieds. Die Wurzel eines reichen Mitglieds f(x)= ein 0 x n + ein 1 x n − 1 + + ein n − 1 x+ein n є x = c , Na und f (c)=0 .

Notiz 3. Jakscho x = c Wurzel eines reichen Mitglieds , dann kann der reiche Term geschrieben werden als: f(x)=(x−c)q(x) , de tse private Ansicht unter dem reichen Mitglied f(x) in ein Monom xc

Sie können einen reichen Begriff mit dem Horner-Schema in ein Monom unterteilen:

Jakscho f(x)=a 0 x n +a 1 x n − 1 + +a n − 1 x+a n , a0 ≠0 , g(x)=x−c , dann wenn rozpodіlі f (x) auf der g (x) privat q(x) kann aussehen q(x)=b 0 x n − 1 +b 1 x n − 2 + +b n−2 x+b n−1 , de b 0 = a 0 ,

b k = c b k − 1 + a k , k=1, 2, ,n−1.Überschuss r Kenne die Formel r=c b n − 1 + ein n

Lösung: Der Koeffizient auf der Seniorenebene ist gleich 1; 2; 3; vier; 6; 12. Vikoristovuyuchi Horners Schema, wir wissen, dass die Anzahl der Wurzeln gleich ist:

Es gibt eine Wahlwurzel für Horners Schema. dann kannst du das so machen x 3 − x 2 −8x+12=(x−2)(x 2 +x−6)=0 (x−2) 2 (x−3)=0 x=2;x=3