Axiome reeller Zahlen. Weiterverfolgung der Axiome der Zahlentheorie

Sprachzahlen, die durch (sog. R ruban) gekennzeichnet sind, wird die Additionsoperation („+“) eingeführt, so dass das Skin-Paar von Elementen ( x,j) mit unpersönlichen Sprachnummern, die auf das vіdpovіdnіst-Element gesetzt werden x + j z tsієї w Multiplikator, Titel Sumo xі j .

Axiome der Pluralität

Die Multiplikationsoperation („·“) wird eingeführt, sodass das Skin-Paar von Elementen ( x,j) für unpersönliche Sprachnummern ein Element (ansonsten abgekürzt, xj) s tsієї w Multiplikator, Titel der Schöpfung xі j .

Zvyazok dodavannya dieser Plural

Axiome zum Bestellen

Auf die Aufgabe der Bestellung "" (weniger als eins), dann auf Wette x, y vykonuєtsya möchte einer der Köpfe sein.

Zv'yazok, um das Falten

Zvyazok vіdnoshennia bestellt diesen Plural

Axiom der Kontinuität

Kommentar

Dieses Axiom bedeutet das Xі Y- zwei leere Multiplikatoren reeller Zahlen, so dass es irgendein Element von gibt X kein Element umkippen Y, dann können Sie eine Sprachnummer dazwischen einfügen. Zum Rationale Zahlen dieses Axiom ist nicht siegreich; klassischer Hintern: erkennbar positive rationale Zahlen und sichtbar zu Unpersönlichkeit X diese Zahlen, deren Quadrat kleiner als 2 ist, und die anderen - bis zu Y. Todi mizh Xі Y kann keine rationale Zahl einfügen (keine rationale Zahl).

Dies ist das zentrale Axiom, das die Sicherheit gewährleistet und dadurch eine mathematische Analyse ermöglicht. Lassen Sie mich zur Veranschaulichung seiner Bedeutung auf zwei grundlegende Implikationen hinweisen.

Erbe der Axiome

Ohne dazwischenliegendes Axiom sind Diakone wichtig für die Macht der heutigen Zahlen, zum Beispiel,

Einheit von Null,
die Einheit des proliferativen und des virulenten Elements.

Literatur

Zorich V.A. Mathematische Analyse. Band I. M.: Fazis, 1997, Teil 2.

Abt. Auch

Posilanja

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Siehe auch "Axiomatik der reellen Zahlen" in anderen Wörterbüchern:

Sprache, die eine reelle Zahl ist, ist eine mathematische Abstraktion, die vinikla z die Verwendung geometrischer und physikalischer Größen des erforderlichen Lichts sowie die Durchführung von Operationen wie Wurzelziehen, Berechnung von Logarithmen und Lösungen erfordert.

Rede, Chi tatsächliche Zahlen ist eine mathematische Abstraktion, was zu dienen, zokrema, die Manifestation dieser Ähnlichkeit des Wertes physikalischer Größen. Eine solche Zahl kann intuitiv als Beschreibung der Position eines Punktes auf einer geraden Linie dargestellt werden.

Wiktionary hat den Artikel "Axiom" Axiom (in. Griechisch ... Wikipedia

Ein Axiom, wie es in verschiedenen Axiomensystemen verwendet wird. Axiomatik der reellen Zahlen Hilberts Axiomatik der euklidischen Geometrie Axiomatik der Kolmogorov-Theorie der Imovirnosti ... Wikipedia

Zahlensystem

Nehmen wir an, dass die natürliche Reihe für die Übertragung von Objekten erschienen ist. Aber wenn wir mit Objekten arbeiten wollen, dann brauchen wir Rechenoperationen mit Zahlen. Tobto, wenn wir einen Apfel falten oder einen Kuchen teilen wollen, müssen wir die Anzahl der Zahlen übersetzen.

Es ist ein beschämender Respekt, dass nach der Einführung von Operationen + і * in der Sprache der natürlichen Zahlen Axiome hinzugefügt werden müssen, die die Macht dieser Operationen bezeichnen. Aletoden und unpersönliche natürliche Zahlen tezh erweitern.

Wir staunen darüber, wie sich die unpersönlichen natürlichen Zahlen ausdehnen. Die einfachste Operation, wie es für einen der ersten notwendig war - ce dodavannya. Wenn wir eine zusätzliche Operation ernennen wollen, ist es notwendig, eine Rückkehr zu ihr zu benennen - eine Entscheidung. Es ist wahr, wie wir wissen, dass wir als Ergebnis der Addition von beispielsweise 5 und 2 schuldig sind, der Reihenfolge des Typs hinzuzufügen: was zu 4 hinzugefügt werden muss, um 11 zu nehmen. vimagatimut vminnya viroblyat i zvorotnu diyu - vіdnіmannya. Ale, yakscho dodavannya natürliche Zahlen geben wieder natürliche Zahl, dann ergibt die Betrachtung natürlicher Zahlen ein Ergebnis, das nicht in N passt. Wir brauchen mehr Zahlen. In Analogie zu einer vernünftigen Vision von größere Zahl kleinerer Boulo führte die Regel von vidnіmannya z kleiner größer ein - also erschien die Anzahl der negativen Zahlen.

Wenn wir die natürliche Reihe mit Operationen + і - mi ergänzen, gelangen wir zu unpersönlichen ganzen Zahlen.

Z=N+Operationen(+-)

System der rationalen Zahlen Yak Mov Arithmetik

Schauen wir uns das jetzt zum Falten von diu - Plural an. Tatsächlich ist dies eine Bagatarase-Zugabe. І zusätzliche Anzahl von ganzen Zahlen wird mit einer ganzen Zahl gefüllt.

Ale, eine umgekehrte Operation zu einem Multiple - tse podіl. Aber es ist weit davon entfernt, immer ein gutes Ergebnis zu liefern. Und wieder stehen wir vor einem Dilemma - oder zu akzeptieren, als ob das Ergebnis nicht "verstanden" werden könnte, oder die Nummer eines neuen Typs zu erraten. Also gaben sie rationalen Zahlen die Schuld.

Nehmen wir ein System ganzer Zahlen und ergänzen es mit Axiomen, die die Operation der Multiplikation und den Boden bestimmen. Wir nehmen das System der rationalen Zahlen weg.

Q=Z+Operationen(*/)

Vater, die Sprache der rationalen Zahlen erlaubt dir zu arbeiten alle Rechenoperationenüber Zahlen. Die Sprache der natürlichen Zahlen war nicht genug.

Führen wir axiomatisch das System der rationalen Zahlen ein.

Geplanter Termin. Das unpersönliche Q wird die Unpersönlichkeit der rationalen Zahlen genannt, wie die Elemente - rationale Zahlen, als fortschreitender Komplex der Gedanken, Titel wird die Axiomatik der rationalen Zahlen genannt:

Axiome der Faltoperation. Für be-like-order Wette x, y Elemente Q deyaky-Element x+yÎQ, Reihen in der Summe Xі bei. Wenn Sie gewinnen, denken Sie so:

1. (Isnuvannya Null) Iznuє Element 0 (Null) so dass für alle XОQ

X+0=0+X=X.

2. Für jedes Element X Q Q Hauptelement - XО Q (Gegenteil X) so dass

X+ (-X) = (-X) + X = 0.

3. (Kommutativität) Für was auch immer x, yО F

4. (Assoziativität) Für jedes x, y, z Q

x + (y + z) = (x + y) + z

Axiome der Multiplikationsoperation.

Für be-like-order Wette x, y Elemente von Q, die dem tatsächlichen Element zugeordnet sind huÎ Q, Titel der Schöpfung Xі j. Wenn Sie gewinnen, denken Sie so:

5. (Isnuvannya einzelnes Element) Iznuє Element 1 Q so dass für was auch immer XО F

X . 1 = 1. x = x

6. Für jedes Element X QQ, ( X≠ 0) Hauptelement X-1 ≠0 so dass

X. x-1 = x-1. x = 1

7. (Assoziativität) Für Dinge x, y, zО F

X . (bei . z) = (x . j) . z

8. (Kommutativität) Für was auch immer x, yО F

Axiom zv'azku gefaltet und multipliziert.

9. (Distributiv) Für was auch immer x, y, zО F

(x+y) . z=x . z + y . z

Axiome sind in Ordnung.

Sei wie zwei Elemente x, y, Q Q beginnen am Zeilenende ≤. Wenn Sie gewinnen, denken Sie so:

10. (X≤bei) L ( bei≤x) ó x=y

11. (X≤j) L ( y≤ z) => x≤z

12. Für be-yakah x, yО Q oder x< у, либо у < x .

Einstellung< называется строгим неравенством,

Verhältnis = Gleichheit von Q-Elementen genannt.

Axiom zv'yazku dodavannya dieser Reihenfolge.

13. Für alle x, y, z ñQ, (x £ y) z x+z £ y+z

Axiom zv'yazku mnozhennya dieser Reihenfolge.

14. (0 £ x)Ç(0 £ y) z (0 £ x´y)

Das Axiom der Ewigkeit von Archimedes.

15. Für ob a > b > 0, haben wir m N und n Q, so dass m ³ 1, n< b и a= mb+n.

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Somit ist das System der rationalen Zahlen die Arithmetik von Zem.

Prote, neben praktischen Zählaufgaben reicht der Film nicht aus.

Axiomatische Methode in der Mathematik.

Grundlegendes Verständnis und Verständnis der axiomatischen Theorie der natürlichen Reihen. Ernennung einer natürlichen Zahl.

Addition natürlicher Zahlen.

Eine Zunahme der natürlichen Zahlen.

Potenz des Multiplikators natürlicher Zahlen

Vіdnіmannya raspodіl natürliche Zahlen.

Axiomatische Methode in der Mathematik

Mit axiomatischer Aufforderung wird eine Art mathematische Theorie ergänzt singen die Regeln:

1. Deyakі versteht die Theorie vibirayutsya wie Haupt Sie wird ohne Haftbefehl angenommen.

2. Formuliert Axiome, die von diesen Theorien ohne Beweis akzeptiert werden, die die Kraft haben, die wichtigsten zu verstehen.

3. Die Haut versteht die Theorie, um sich nicht an der Liste der wichtigsten zu rächen, ist es gegeben geplanter Termin, für ein neues, es wird erklärt yogo zmist für die hilfe der wichtigsten und die front zu diesem verständnis.

4. Der Hautsatz der Theorie, der bei der Liste der Axiome nicht fehlen darf, kann ans Licht gebracht werden. Solche Sätze werden genannt Sätze und bringen sie anhand von Axiomen und Theoremen, die überarbeitet werden sollen.

Das Axiomensystem kann sein:

a) rücksichtslos: wir sind schuldig an buti vpevnenі, scho, roblyachi raznі vysnovki z gegebenem System von Axiomen, kommen nicht zu Superechnosti;

b) unabhängig: Keines der Axiome ist der Befolgung anderer Axiome des Systems schuldig.

in) wieder Auch innerhalb dieses Rahmens ist es immer möglich, das Chi der Firma zu bringen, welches Yogo aufgeführt ist.

Der erste Beweis für die axiomatische Motivation der Theorie ist durch Euklids Geometriebuch in Yogo "Cobs" (3. Jahrhundert e.) zu berücksichtigen. Ein bedeutender Beitrag zur Entwicklung der axiomatischen Methode, die Geometrie und Algebra inspiriert, wurde von N.I. Lobachevsky und E. Galois. Zum Beispiel 19 st. Der italienische Mathematiker Peano löste ein System von Axiomen für die Arithmetik auf.

Grundverständnis und Verständnis der axiomatischen Theorie der natürlichen Zahl. Ernennung einer natürlichen Zahl.

Als das wichtigste (nicht signifikante) Verständnis in der deakіy Multiplizität N wählen Verschluss und navigiere vikoristovuyutsya theoretisch-multiples Verständnis, navigiere die Regeln der Logik.

Ein Element, das dem Element ohne Unterbrechung folgt a, bedeuten a".

Scheinbar begnügen sich „ohne Zwischenfolger“ mit den kommenden Axiomen:

Axiome Peano:

Axiom 1. Bei den Gesichtslosen N іsnuє Element, ohne Mitte nicht beleidigend es gibt keine Multiplikatoren für irgendein Element. Nennen wir Yoga Einsamkeit die symbolisieren 1 .

Axiom 2. Für Hautelement a h N grundlegendes einzelnes Element a" , unerbittlich voranschreitend für a .

Axiom 3. Für Hautelement a h Nіsnuє nicht mehr als ein Element, für das es ohne Vermittler folgt a .

Axiom 4. Seien Sie wie ein Multiplikator M gesichtslos N spіvpadє z N , yakscho maє Macht: 1) 1 sich rächen M ; 2) wovon a sich rächen M , als nächstes, was ich a" sich rächen M.

Termin 1. Bezlich N , für deren Elemente ein Rollladen installiert ist „Folgen Sie sofort", das die Axiome 1-4 erfüllt, aufgerufen bezlіchchu natürliche Zahlen, und Yoga-Elemente - natürliche Zahlen.

Diese ernannte Person hat nichts über die Art der Elemente des Multiplikators zu sagen N . Sie können also dabei sein. Vibirayuchi wie ein Gesichtsloser N der Tag ist ein bestimmter Multiplikator, auf den ein bestimmter Hinweis „ohne Zwischenfolge“ gegeben wird, der die Axiome 1-4 erfüllt, nehmen wir an Modell dieses Systems Axiome.

Das Standardmodell von Peanos Axiomensystem ist eine Zahlenreihe, die die Wurzel des historischen Entwicklungsprozesses der Sukzession ist: 1,2,3,4,... Die natürliche Reihe beginnt mit der Zahl 1 (Axiom 1 ); nach der natürlichen Zahl der Haut folgt unmittelbar eine natürliche Zahl (Axiom 2); eine natürliche Hautzahl folgt nicht mehr als einer natürlichen Zahl (Axiom 3); Beginnend mit der Zahl 1 und in Reihenfolge zu den natürlichen Zahlen, die nacheinander fortschreiten, nehmen wir alle Multiplikatoren der Zahlen (Axiom 4).

Otzhe, wir haben das axiomatische Pobudov-System der natürlichen Zahlen mit der Wahl der Hauptzahl entwickelt vodnosiny "ohne Vermittler folgen für" dieses Axiom in einigen Beschreibungen des Yoga der Macht. Ein wenig weiter auf Pobudovs Theorie der Übertragung einen Blick auf die Potenzen der natürlichen Zahlen und Operationen von ihnen. Der Gestank kann bei den Ernannten und Theoremen rozkritі sein, tobto. eingeleitet durch den täglichen logischen Weg der Einführung von „ohne Zwischenüberlegung“ und Axiome 1-4.

Das erste, was zu verstehen ist, wie wir nach der Bezeichnung einer natürlichen Zahl einführen, ist Verschluss „sofort weiter“ , Yake oft vikoristovuyut für eine Stunde, um die Kräfte der natürlichen Serie zu betrachten.

Termin 2. Was ist eine natürliche zahl b Folgen Sie ohne Zwischenhändler natürliche Zahl a, diese Nummer a genannt direkt voraus(sonst vorne) Zahl b .

Vіdnoshennia "pereduє" maє neben Behörden.

Satz 1. Unity hat keine natürliche Vorwärtszahl.

Satz 2. Haut ist eine natürliche Zahl a, Vіdmіnne vіd 1, kann eine Vorwärtsnummer sein b, Na und b"= a.

Die axiomatische Begründung der Theorie der natürlichen Zahlen wird weder in der Mittelstufe noch in der Mittelstufe gesehen. Prote dominion vіdnosinі "ohne zwischengeschaltete Gefolgschaft", wie es in Peanos Axiomen der Fall war, das Studienfach im Cob-Kurs der Mathematik. Schon bei der ersten Klasse ist es eine Stunde, sich die Nummern der ersten Zehn anzuschauen, klar, da kann man eine Skinnummer bekommen. Unter wem die Wörter „rutschen“ und „vorher“ verstanden werden. Die Haut ist eine neue Zahl als Fortsetzung der verdrehten Wendung der natürlichen Zahlenreihe. Lernen Sie bei tsiom, scho mit einer Skin-Nummer zu überdenken, es ist dasselbe und mehr als eins, dass die natürliche Zahlenreihe unerschöpflich ist.

Addition natürlicher Zahlen

Für die Regeln der axiomatischen Theorie, die die Addition natürlicher Zahlen bezeichnen, ist es notwendig, stellvertretend auszuführen, "sofort folgen", ich verstehe "natürliche Zahl"і "vorherige Nummer".

Viperedimo vyznachennya gefaltet durch Vorrücken von mirkuvannyami. Wie zu jeder natürlichen Zahl a addiere 1, dann nimm die Zahl a", unaufhaltsam voran a, dann. a+ 1= ein" Und dann nehmen wir die Regel, 1 zu jeder natürlichen Zahl zu addieren. Ale Yak hinzufügen a natürliche Zahl b, vіdminne vіd 1? Wir beschleunigen die kommende Tatsache: Wenn wir sehen, dass 2 + 3 = 5, dann ist die Summe 2 + 4 = 6, die ohne Zwischenhändler auf die Zahl 5 folgt, in dieser Reihenfolge 2 + 4 = 2 + 3 " =(2+3)". In der Hitze sehen aus wie vielleicht, .

Diese Tatsache ist die Grundlage für die Bezeichnung natürlicher Zahlen in der axiomatischen Theorie.

Termin 3. Natürliche zahlen addieren wird eine algebraische Operation aufgerufen, die mächtig sein kann:

Nummer a+b genannt Summe von Zahlen aі b , und die Zahlen selbst aі b - dodanki.

STAATLICHE PÄDAGOGISCHE UNIVERSITÄT OMSK
ZWEIG VON OmDPU in der Nähe von G. TARI
LBC arbeitet für die Entscheidungen der Redaktion und des Verlags
22. 73. Filiale der OmDPU in der Nähe der Metro Tari
Ch67

Empfehlungen werden für Studierende pädagogischer Hochschulen anerkannt, da sie das Fach „Algebra und Zahlentheorie“ lehren. Im Rahmen dieser Disziplin wird im 6. Semester der Bereich „Zahlen des Systems“ entwickelt. Diese Empfehlungen umfassen Material über die axiomatische Begründung für Systeme natürlicher Zahlen (Axiomensystem von Peano), Systeme ganzer Zahlen und rationale Zahlen. Tsya Axiomatics ermöglicht es Ihnen, besser zu verstehen, was eine solche Zahl ist, als eine der wichtigsten, um den Schulmathematikkurs zu verstehen. Zur möglichst kurzen Aneignung des Stoffes wird die Einführung relevanter Themen vorgeschlagen. Zum Beispiel Empfehlungen und Empfehlungen, Erklärungen, Aufgaben.

Gutachter: Ph.D., prof. Dalinger V.A.

Unterschrieben bei einem Freund - 22.10.98

Zeitungspapier
Auflage 100 Exemplare.
Operative Methode für einander
OmDPU, 644099, Omsk, nab. Tuchatschewski, 14
Filiya, 644500, Tara, st. Shkilna, 69

1. NATÜRLICHE ZAHLEN.

Bei der axiomatischen Argumentation des Systems der natürlichen Zahlen ist es wichtig, das Verständnis des Multiplikators, des Blaus, der Funktionen und anderer multitheoretischer Verständnisse zu berücksichtigen.

1.1 Peanos Axiomensystem und die einfachsten Schlüsse.

Das gemeinsame Verständnis in der axiomatischen Theorie von Peano ist das unpersönliche N (wie es die Unpersönlichkeit der natürlichen Zahlen genannt wird), insbesondere die Zahl Null (0), die aus der neuen und binären Beziehung auf N "folgt", die mit S bezeichnet wird ( a) (oder ein ().
AXIOM:
1. ((a(N) a"(0 (Dies ist eine natürliche Zahl 0, die keiner Zahl folgt.))
2. a=b (a"=b"
3. a "=b" (a=b (Die natürliche Zahl der Haut folgt mehr als einer Zahl.)
4. (Axiom der Induktion) Als Multiplikator befriedigt M(N und M) zwei Meinungen:
A) 0(M;
B) ((a(N) a(M ® a)(M, dann M=N).
In der funktionalen Terminologie bedeutet ze, dass S:N®N inaktiv ist. Aus Axiom 1 geht hervor, dass die S:N®N-Fermentation nicht sur'aktiv ist. Axiom 4 ist die Grundlage für den Beweis der harten Arbeit „durch die Methode der mathematischen Induktion“.
Signifikant wirkt die Macht der natürlichen Zahlen, die ohne Zwischenschaltung nach Axiomen schreien.
Potenz 1. Haut ist eine natürliche Zahl a(0, die einer und mehr als einer Zahl folgt.
Bringen. Signifikant durch M unpersönliche natürliche Zahlen, scho verschwinden Null und alle natürlichen Zahlen, Skin für jede beliebige Zahl. Es genügt zu zeigen, dass M=N, Einheit aus Axiom 3 ersichtlich ist. Beweisen wir Axiom der Induktion 4:
A) 0(M - durch EM;
B) sogar a(M, denen a"(M, more a" folgt a.
Mittelwert aus Axiomen 4 M=N.
Potenz 2. Wie a (b, dann ein "(b").
Macht wird durch die Methode „vom Inakzeptablen“ gebracht, vikoristisches Axiom 3. Ähnlich wird solche Macht 3 gebracht, vikoristisches Axiom 2.
Potenz 3. Wie ein "(b", dann ein (b.)"
Potenz 4. ((a(N)a(a). (Es folgt keine natürliche Zahl.)
Bringen. Sei M=(x(x(N, x(x))). ) in einer solchen Reihe von Umov A) Axiomen 4 0(M - gewinnen. Wenn x(M, dann x(x"), dann 2 x" ((x")" ist an der Macht, und tse bedeutet, dass Umov B) x ( M ® x"(M. Alethodisch folgt Axiom 4 M=N."
Lassen Sie (- die Zwei der Potenz natürlicher Zahlen. Die Tatsache, dass die Zahl a Macht hat (, schreiben Sie auf ((a)).
Aufgabe 1.1.1. Lassen Sie mich Ihnen sagen, dass Axiom 4 der Bezeichnung der unpersönlichen natürlichen Zahlen näher an der fortschreitenden Härte liegt: für jede Art von Autorität (, wie ((0) i, dann).
Aufgabe 1.1.2. Die unäre Operation (: a(=c, b(=c, c(=a)) ist auf diese Weise auf dem dreielementigen Multiplikator A=(a,b,c) definiert.)
Aufgabe 1.1.3. Sei A \u003d (a) - Ein-Element-Multiplikator, ein (= a) Yaki mit Peanos Wahrheitsaxiomen auf dem Multiplikator A mit der Operation (?)
Aufgabe 1.1.4. Auf einer Vielfachheit von N ist eine signifikant unäre Operation signifikant, egal wer. Erklären Sie, was von Peanos Axiomen gilt, die in Bezug auf die Operation formuliert wurden.
Aufgabe 1.1.5. Komm schon. Beweisen Sie, dass A abgeschlossen ist, indem Sie die Operation ( verwenden. Kehren Sie die Wahrheit von Peanos Axiomen auf dem Multiplikator A mit der Operation (.) um.
Aufgabe 1.1.6. Komm schon, . Signifikant auf A ist jedoch eine unäre Operation. Inwiefern gelten Peanos Axiome für den Multiplikator A der Operation?

1.2. Nichtüberwählbarkeit und Kategorizität von Peanos Axiomensystem.

Das Axiomensystem wird als nicht überwindbar bezeichnet, da es mit її-Axiomen unmöglich ist, den Satz T und її quer zu bringen (T. Es wurde verstanden, dass supereffiziente Axiomensysteme in der Mathematik nicht den gleichen Wert haben können, weil in einem solchen a Theorie ist es möglich, alles zu bringen, was Daher ist die mangelnde Erhabenheit des Axiomensystems absolut wesentlich.
Yakshcho im Aksіomatic Theoret hat den Satz nicht gestreamt і ї ї ї ї ї ї ї nicht gemeint, das System von Aksi ist nicht überwältigt; zu der Tatsache, dass die Interpretation des Axiomensystems in einer offensichtlich nicht überlegenen Theorie S, dann das Axiomensystem selbst ist nicht-supergleich.
Für das Axiomensystem von Peano kann man reiche unterschiedliche Interpretationen zbuduvat. Besonders reich an Interpretation der Theorie der Multiplizität. Eine dieser Interpretationen ist bedeutsam. Bei natürlichen Zahlen können wir Vielfache nehmen (, ((), ((())), (((())),..., wir unterscheiden Null durch die Zahl (. (M), das einzige Element von so und so M. In dieser Reihenfolge ("=((), (()"=((()) und so weiter)). ist kein Superlativ, aber noch wichtiger ist der Beweis der Nichtüberlegenheit des Axiomensystems der Vielfachtheorie.
Ein System von Axiomen, das nicht superlativ ist, heißt unabhängig, weil das Skin-Axiom dieses Systems nicht als Satz auf der Grundlage anderer Axiome bewiesen werden kann. Um das Axiom ans Licht zu bringen
(1, (2, ..., (n, ((1))
genug, um zu beweisen, dass das Axiomensystem nicht überwindbar ist
(1, (2, ..., (n, (((2))
Es ist wahr, yakby (es war möglich, von den anderen Axiomen von System (1) abzuweichen, dann war System (2) superintelligent, die Scherben davon wären wahr für das Theorem (und Axiom ((.)).
Um die Unabhängigkeit der Axiome (von anderen Axiomen des Systems (1) zu erreichen, reicht es auch aus, die Interpretation des Axiomensystems (2) zu fördern.
Die Unabhängigkeit des Axiomensystems ist eine große Neobov'yazkova. Um den Beweis "wichtiger" Theoreme zu vermeiden, werden wir manchmal ein überweltliches (Ablagerungs-) System von Axiomen erstellen. „zayv“-Axiome machen es jedoch einfacher, die Rolle von Axiomen in der Theorie sowie interne logische Verbindungen zwischen verschiedenen Abteilungen der Theorie zu erkennen. Darüber hinaus ist die Pobudova-Interpretation für brachliegende Axiomensysteme erheblich gefaltet, niedriger für unabhängige; auch wenn Sie die Gültigkeit von „zayvih“-Axiomen überdenken müssen. Von den Gründen für die Ernährung des Brachlandes wurde unter den Axiomen vor langer Zeit die erste Bedeutung beigemessen. Versuchen Sie, es in Ihre Zeit zu bringen, dass das 5. Postulat in Euklids Axiomatik "Es ist nicht mehr als eine gerade Linie, die durch den Punkt A parallel zur geraden Linie verläuft" (", є nach dem Satz (in den anderen Axiomen liegen) und zum Abschluss der Geometrie von Lobatschewski gebracht).
Ein nicht hochgestelltes System wird deduktiv neu genannt, als ob der Satz A einer gegebenen Theorie entweder gebracht oder verkündet werden kann, dann entweder A oder (A ist ein Theorem der gegebenen Theorie. Ein Axiom heißt deduktive Povnota - tezh nicht obov'yazkova vimoga, zum Beispiel ein System von Axiomen der Gruppentheorie, der Territorialtheorie, der Bewässerungstheorie - nicht wahr, Scherben basieren auf und kіntsevі und neskіnchennі Gruppen, kіltsya, Felder, dann in diesen Theorien, die Sie nicht fragen können, können Sie nicht vorbringen.: "Gruppe (Kіltse, Feld), um kіltse kіlkіst Elemente zu rächen".
Es sollte beachtet werden, dass in reichen axiomatischen Theorien (selbst, in nicht formalisierten) unpersönliche Sätze nicht genau berücksichtigt werden können und es unmöglich ist, die deduktive Vollständigkeit des Axiomensystems einer solchen Theorie zu erreichen. Die zweite Änderung wird oft als kategorisch bezeichnet. Das Axiomensystem heißt kategorial, also seien es zwei Interpretationen isomorph, so dass es eine solche gegenseitig eindeutige Unterscheidung zwischen mehreren cob-Objekten und anderen Interpretationen gibt Kategorizität - tezh neobov'yazkova mind. Beispielsweise ist das Axiomensystem der Gruppentheorie nicht kategorisch. Der Grund ist, dass die Kintsev-Gruppe keine isomorphe ungehäute Gruppe sein kann. Mit der Axiomatisierung der Theorie eines numerischen Systems wird jedoch die kategorische Natur von obov'yazkova; Zum Beispiel bedeutet die kategorische Natur des Axiomensystems, das die natürlichen Zahlen bezeichnet, dass es bis auf Isomorphie nur eine natürliche Reihe gibt.
Bringen wir die Kategorisierung von Peanos Axiomensystem. Seien (N1, s1, 01) und (N2, s2, 02) zwei Interpretationen von Peanos Axiomensystem. Es ist notwendig, einen solchen biektivne (gegenseitig eindeutigen) Ausdruck f: N1®N2 anzugeben, für den Sie denken sollten:
a) f(s1(x)=s2(f(x)) für jedes x N1;
b) f(01) = 02
Wenn die unären Operationen s1 und s2 durch denselben Strich verletzt werden, dann umova a) umschreiben
a) f(x()=f(x)(.
Deutlich auf den Multiplikator N1(N2)
1) 01f02;
2) wie xfy, x(fy(.
Lassen Sie uns ändern, was die Verwendung von Fermentation N1 zu N2 ist, dann für dermal x s N1
(((y(N2)xfy(1)
Signifikant durch M1 unpersönliche Elemente x N1, für einige Köpfe (1) gewinnen. Todi
A) 01 (M1 z 1);
B) x(M1 ® x((M1 aufgrund von 2) und der Potenz von 1 Punkt 1).
Daher ist es gemäß Axiom 4 möglich, dass M1=N1, und tse i bedeutet, dass die Einführung von f є Fermentation von N1 N2. Bei tsimu z 1) ist offensichtlich, dass f (01) = 02. Umov 2) wird so geschrieben: f(x)=y, dann f(x()=y(. Es klingt wie f(x()=f(x)(. Denken Sie auch für die Spiegelung von f an a )) und b.
Signifikant durch M2, unpersönliche ruhige Elemente von N2, Skin von jedem von ihnen in Form von einem und nur einem Element von N1, wenn f angezeigt wird.
Scherben f(01)=02, dann 02 є. Wenn ja x(N2 і x(01), dann folgt für Potenz 1 Item 1 x dem aktuellen Element c z N1 і dann f(x)=f(c()=f(c)((02. Mean, 02 f) der Rang eines einzelnen Elements 01, dann 02 (M2.
Gehe weiter y(M2 і y=f(x), wobei x das einzelne Urbild des Elements y ist. Dann, aufgrund von a) y(=f(x)(=f(x()), dann y( є das Bild des Elements x ) (. Sei c ein Vorbild des Elements y(, dann ist f(c)=y(. Skіlki y((02, dann c(01 і c) ist das Vorwärtselement, was durch d sinnvoll ist.)) Dann gilt y( =f( c)=f(d()=f(d)(, wegen Axiom 3 y=f(d)).M2 ® y
Alle vorgriechische Mathematik hat wenig empirischen Charakter. Alle Elemente der Theorie gingen in der Masse empirischer Ansätze zur Entwicklung praktischer Aufgaben unter. Die Griechen gaben dieses empirische Material der logischen Analyse, versuchten, die Verbindung zwischen verschiedenen empirischen Daten zu finden. Für wen der ganze Sinn für Geometrie eine große Rolle spielt, spielten Pythagoras und die Schule (5. Jahrhundert n. Chr.). Die Ideen der axiomatischen Methode wurden in den Werken von Aristoteles (4. Jahrhundert n. Chr.) Deutlich zum Ausdruck gebracht. Prote, eine praktische Entwicklung dieser Ideen wurde von Euklid im Yoga "Cobs" (3 Jahrhunderte n. Chr.) durchgeführt.
Es lassen sich drei Formen axiomatischer Theorien benennen.
eines). Zmistovna Axiomatik, als ob es bis Mitte des letzten Jahrhunderts eine gewesen wäre.
2). Napіvformale Axiomatik, Scho-Vinyl im letzten Viertel des vergangenen Jahrhunderts.
3). Formal (auch formalisiert) ist die Axiomatik, deren Geburtsdatum auf 1904 angesetzt werden kann, als D. Hilbert sein berühmtes Programm über die Grundprinzipien der formalisierten Mathematik veröffentlichte.
Die neue Hautform wird nicht vorne blockiert, aber mit einer Entwicklung und Klärung, das gleiche gilt für die Entwicklung der neuen Hautform, tiefer vorne.
Die Axiomatik von Zmistovna zeichnet sich dadurch aus, dass sie vor der Formulierung von Axiomen intuitiv klar verstanden werden kann. Also, in den „Cobs“ von Euklid, unter dem Punkt des Verstehens, diejenigen, die unter diesem Verständnis intuitiv selbstverständlich sind. Gleichzeitig gibt es eine großartige Sprache und eine großartige intuitive Logik, die eher Aristoteles ähnelt.
Die formalen axiomatischen Theorien haben auch eine starke Sprache und intuitive Logik. Die ersten Versteher verlassen sich jedoch nicht auf denselben intuitiven Sinn, sie sind nur durch Axiome gekennzeichnet. Tim selbst bewegt Strenge, Splitter der Intuition mit singender Welt erobern Strenge. Außerdem wächst die Schläfrigkeit, denn das in eine solche Theorie eingebrachte Skin-Theorem wird jeder Deutung gerecht. Eindeutig in Form einer formalen axiomatischen Theorie – Hilberts Theorie, enthalten in dem Buch „Imagine Geometry“ (1899). Die Hintern der nap_vformalnyh-Theorien sind auch die Theorie der Kіlets und anderer Theorien, die im Verlauf der Algebra vorgestellt werden.
Der Kern der formalisierten Theorie ist die Berechnung der Wortzahl, die im Zuge der mathematischen Logik entwickelt wird. Auf der vіdmіnu vіd zmіstovnoї und napіvformalії Axiomatik siegreich die Formalisierung der Theorie besonders symbolische Mova. Das Alphabet der Theorie ist sich selbst zugeordnet, so dass es ein Zweier von unpersönlichen Symbolen ist, die die gleiche Rolle spielen wie die Buchstaben in der Originalsprache. Sei es eine kіntseva-Sequenz von Symbolen, sie wird Viraz oder ein Wort genannt. Unter den Viren gibt es eine Klasse von Formeln, und das genaue Kriterium, das die Erkennung des Hautvirus ermöglicht, wird durch die Formel angegeben. Die Formeln spielen die gleiche Rolle wie die Sprache der großen Sprache. Deyakі-Formeln goloshuyutsya-Axiome. Darüber hinaus werden logische Sehregeln aufgestellt; Eine solche Regel bedeutet, dass im Verlauf der Gesamtformel die Gesamtformel mittellos ist. Der Beweis des Satzes selbst ist das Ende des Lantz der Formeln, der Rest der Formel ist der Satz selbst und die Hautformel ist entweder ein Axiom, oder der Satz wurde früher gebracht, sonst singt es aus der Mitte heraus Formeln der Lanze auf einer der Beobachtungsregeln. In diesem Rang sollten wir nicht für die Beweise über die Gültigkeit von Beweisen stehen: sonst Dänisch lanciugє Beweis, oder є, es gibt keine schlüssigen Beweise. An der Verbindung mit dem cim wird die Axiomatik formalisiert, um sich an die besonders subtilen Prinzipien des Primings zu gewöhnen mathematische Theorien, wenn die offensichtliche intuitive Logik zu Begnadigungen führen kann, die durch die Ungenauigkeiten und Mehrdeutigkeiten unserer großen Bewegung den Hauptrang bilden.
So wie man bei der Formalisierung der Theorie über Hautviraz sagen kann, dass es sich um eine Formel handelt, dann können die unpersönlichen Aussagen der formalisierten Theorie berücksichtigt werden. In diesem Zusammenhang ist es prinzipiell möglich, das Argument um den Beweis des deduktiven Grundes sowie um den Beweis der Nichtoberflächlichkeit aufzuschlüsseln, ohne auf Interpretation einzugehen. Auf einige der einfachsten Arten können Sie den Unterschied erkennen. Beispielsweise wird die fehlende Oberflächlichkeit der Berechnung ohne Interpretation durchgeführt.
In nicht-formalisierten Theorien sind unpersönliche Aussagen nicht klar definiert, daher wird der Grund für den Beweis der Nichtoberflächlichkeit, ohne zur Interpretation zu gehen, dumm formuliert. Derselbe Wert und Nahrung über den Beweis deduktiver Povnoti. Wenn jedoch ein solcher Vorschlag einer nicht formalisierten Theorie gehört wurde, da es unmöglich ist, ihn zu bringen oder zu fragen, dann ist die Theorie offensichtlich deduktiv ungenau.
Längst hat sich die axiomatische Methode nicht nur in der Mathematik, sondern auch in der Physik etabliert. Versuchen Sie es zuerst direkt, Aristoteles versuchte es, aber er korrigierte auch seine eigene axiomatische Methode in der Physik, indem er Newtons Roboter aus der Mechanik ausschloss.
Im Zusammenhang mit dem turbulenten Prozess der Mathematisierung der Wissenschaften steht auch der Prozess der Axiomatisierung. Keine der axiomatischen Methoden findet sich in verschiedenen Bereichen der Biologie, beispielsweise in der Genetik.
Die Möglichkeiten der axiomatischen Methode sind nicht endlos.
Es ist bezeichnend, dass wir nicht vergessen sollten, Theorien zu formalisieren, ohne die Intuition zu ignorieren. Die Theorie selbst wird formalisiert, ohne dass die gewünschte Bedeutung interpretiert wird. Die Schuld daran liegt gering in der Verbindung zwischen der formalisierten Theorie und der Interpretation. Hinzu kommt, wie bei der Formalisierung von Theorien, die Frage nach der Nichtüberlegenheit, Unabhängigkeit und Vollständigkeit des Axiomensystems. Die Gesamtheit all dieser Lebensmittel wird zur Essenz einer anderen Theorie, die als Metatheorie einer formalisierten Theorie bezeichnet wird. Auf der Grundlage der formalisierten Theorie ist die Sprachmetatheorie die wichtigste Alltagssprache, und die logische Spiegelung erfolgt nach den Regeln der natürlichen intuitiven Logik. Auf diese Weise taucht die Intuition, die wiederum der formalisierten Theorie entnommen ist, in der Metatheorie wieder auf.
Aber die Hauptschwäche der axiomatischen Methode liegt nicht in Tsoma. Zuvor wurde bereits über das Programm von D. Hilbert nachgedacht, da es den Grundstein für eine formalisierte axiomatische Methode legte. Hilberts Hauptidee ist es, die klassische Mathematik zu einer formalisierten axiomatischen Theorie zu machen, die Nichtüberwindbarkeit bringt. Das Programm erschien jedoch in seinen Grundzügen utopisch. 1931 entwickelte der berühmte österreichische Mathematiker K. Gödel seine berühmten Theoreme, die deutlich machten, dass die Verletzung der von Hilbert gestellten Hauptaufgaben nicht veröffentlicht wurde. Yomu ging über die Hilfe seiner Methode des Codierens hinaus, um mit Hilfe der Formeln der formalisierten Arithmetik zu lernen und mit Hilfe der Metatheorie zu bringen, dass diese Formeln in der Formalisierung der Arithmetik nicht sichtbar sind. Auf diese Weise erschien formalisierte Arithmetik deduktiv ungenau. Aus Gödels Ergebnissen war es offensichtlich, dass selbst wenn eine unbeweisbare Formel in die Anzahl der Axiome aufgenommen wird, es eine andere unbeweisbare Formel gibt, die dieselbe korrekte Aussage ausdrückt. All dies bedeutete, dass nicht nur alle Mathematik, sondern auch Arithmetik zu lernen - der einfachste Teil, es ist unmöglich zu formalisieren. Zokrema, Gödel, nachdem er eine Formel inspiriert hat, die die Sätze "Formalisierte Arithmetik ist nicht überwindbar" zeigt und zeigt, dass die Formel auch nicht gezeigt werden kann. Diese Tatsache bedeutet, dass die Unvollkommenheit der formalisierten Arithmetik nicht in die Mitte der Arithmetik selbst gebracht werden kann. Zrozumіlo, Sie können eine starke formalisierte Theorie und її fördern, indem Sie die Nicht-Überlegenheit der formalisierten Arithmetik einbringen und gleichzeitig die Schuld für die Nicht-Überlegenheit der neuen Theorie geben.
Gödels Ergebnisse zeigen die Gültigkeit der axiomatischen Methode. Und, was noch wichtiger ist, podstav für pessimistische Visnovkіv in der Theorie des Wissens desjenigen, der die Wahrheit nicht kennt, - nein. Die Tatsache, dass arithmetische Wahrheiten aufgestellt werden, die nicht zur Formalisierung der Arithmetik gebracht werden können, bedeutet nicht die Manifestation von Unkenntnis der Wahrheiten und bedeutet nicht die Dunkelheit des menschlichen Denkens. Vin bedeutet nur, dass die Möglichkeiten unseres Geistes nicht auf Prozeduren reduziert werden, dass sie stärker formalisiert werden und dass die Menschen immer noch neue Beweisprinzipien testen und finden müssen.

1.3 Natürliche Zahlen speichern

Faltungs- und Multiplikationsoperationen natürlicher Zahlen mit dem Achsensystem von Peano werden nicht postuliert, sondern anstelle von Operationen.
Geplanter Termin. Die Addition natürlicher Zahlen wird als binäre algebraische Operation + auf dem Multiplikator N bezeichnet, die mächtig sein kann:
1s. ((a(N)a+0=a);
2c. ((a, b (N) a + b (= (a + b)).
Ernährung beschuldigen - was ist eine solche Operation, aber wenn ja, was ist sie dann?
Satz. Addition von natürlichen Zahlen ist notwendig und nur eine.
Bringen. Die binäre Operation der Algebra auf der Multiplizität N ist die Gärung (:N(N®N). Es ist notwendig zu bringen, dass es nur eine Gärung gibt (:N(N®N mit Potenzen: 1)) ((x(N) ((x,0)= x ; 2) ((x,y(N) ((x,y()=((x,y))). 0) )=x; ).
Maßgeblich am Multiplikator N, binärer Ausdruck fx von den Köpfen:
a) 0fxx;
b) wie yfxz, y(fxz(.
Lassen Sie uns ändern, was die Verwendung von N zu N ist, dann für die Haut y z N
(((z(N) yfxz (1)
Bedeutsamerweise durch M, den Multiplikator der natürlichen Zahlen y, für den minds (1) siegreich ist. Denken Sie also a) vyplyaє, scho 0 (M, a z um b) und Leistung 1 p. und bedeutet, dass der fx die Fermentation von N zu N ist. Für welche Fermentation denken Sie:
1() fx(0)=x - s a);
2() fx((y)=fx(y() - bis b).
Tim selbst brachte die Argumentation zum Folden mit.
Wir bringen Einheit. Sei + i (- wie zwei binäre Operationen der Algebra auf Mengen N mit Potenzen 1c und 2c. Es ist notwendig, das zu bringen
((x, y(N) x + y = x(y)
Es ist fest genug, dass die Zahl x i durch S der unpersönlichen natürlichen Zahlen y signifikant ist, für die Gleichmut
x+y=x(y (2)
gewinnen. Skilki zgіdno 1с x+0=x і x(0=x, dann
A) 0(S
Sei nun y(S), so dass Gleichheit (2) gewinnt. Also x+y(=(x+y)(, x(y(=(x(y)))(і x+y=x(y, then) ) Axiome 2 x+y(=x(y(, damit der Verstand gewinnt)
B) y(S ® y((S.)
Also nach Axiom 4 S=N, was den Beweis des Theorems vervollständigt.
Bringen wir die Behörden zum Dodavannya.
1. Die Zahl 0 ist das neutrale Additionselement, also a+0=0+a=a für die natürliche Hautzahl a.
Bringen. Gleichmut a+0=a Schreie aus dem Verstand 1s. Wir bringen Gleichheit 0+a=a.
Deutlich durch M unpersönliche Zahlen, die nicht gewinnen. Offensichtlich ist 0+0=0 und 0(M. Sei a(M, dann 0+a=a.) Dann 0+a(=(0+a)(=a(i, aka, a((M) ) Otzhe, M=N, wie und man muss bringen.
Gib uns ein Lema.
Lemma. a(+b=(a+b)(.
Bringen. Sei M eine unpersönliche Zahl aller natürlichen Zahlen b, für die die Gleichheit a(+b=(a+b)(wahr für jeden Wert von a.) ist:
A) 0(M, Scherben a(+0=(a+0)(;);
C) b(M ® b((M. Definitiv, da b(M und 2c) möglich ist)
a(+b(=(a(+b))(=((a+b)()(=(a+b()(,
also b ((M. Mean, M = N, was ich mitbringen muss).
2. Die Addition natürlicher Zahlen ist kommutativ.
Bringen. Sei M=(a(a(N(((b(N))a+b=b+a))) Sag mir, dass M=N. Vielleicht:
A) 0(M - Kosten 1.
C) a(M ® a((M)
a(+b=(a+b)(=(b+a)(=b+a(.)).
a((M, i aus Axiom 4 M=N) bedeuten.
3. Assoziativ addieren.
Bringen. Komm schon
M=(c(c(N(((a,b(N)))(a+b)+c=a+(b+c))
Es ist notwendig, dass M = N zu bringen. Also (a+b)+0=a+b und a+(b+0)=a+b, dann 0(M. Sei s(M, dann (a+b)+c=a+(b+c) ) .
(a+b)+c(=[(a+b)+c](=a+(b+c)(=a+(b+c())).
c((M i nach Axiom 4 M=N) bedeuten.
4. a+1=a(, de 1=0(.
Bringen. a+1=a+0(=(a+0)(=a(.
5. Wenn b(0), dann ((a(N)a+b(a)).
Bringen. Sei M=(a(a(N(a+b(a)) 0+b=b(0, dann 0(M)). 2 p.1 (a+b)((a(sonst a( +b (a)) bedeutet a((M ÷ M=N)).
6. Wenn b(0, dann ((a(N)a+b(0))
Bringen. Wenn a=0, dann 0+b=b(0, wenn a(0 æ a=c(, dann a+b=c(+b=(c+b))((0. Also, y be- which Zeit a) + b (0.
7. (Das Gesetz der Trichotomiefaltung). Für alle natürlichen Zahlen a und b ist nur eine und nur eine der drei Ähnlichkeiten wahr:
1) a = b;
2) b=a+u de u(0;
3) a=b+v de v(0.
Bringen. Wir legen eine bestimmte Zahl a fest und sie ist signifikant durch M den Multiplikator aller natürlichen Zahlen b, für die wir sogar eine der Zahlen 1), 2), 3) gewinnen können. Es ist notwendig, dass M = N zu bringen. Sei b = 0. Wenn a=0, dann 1), und wenn a(0, nur 3), dann a=0+a. Otzhe, 0(M.
Es ist nun akzeptabel, dass b(M, so dass die Inverse von a eine der Umkehrungen von 1), 2), 3) ist. Wenn a=b, dann b(=a(=a+1, dann wird für b(der Offset 2 gezählt).) Wenn b=a+u, dann b(=a+u(, dann für b(der Offset wird gezählt) 2 ) Wenn a=b+v, dann sind zwei Deklinationen möglich: v=1 und v(1. Wenn v=1, dann a=b+v=b", dann ist für b" das umgekehrte Verhältnis 1 genommen. und v(1 , dann v=c", de c(0 und dann a=b+v=b+c"=(b+c)"=b"+c, de c(0, also für b " wir haben eine Konversation 3). Später brachten wir das b (M ® b "(M, i, auch M = N, also ob a und b, man will eine der Konsonanzen 1), 2 verwenden), 3) Sie können nicht sofort besiegt werden spіvvіdnoshennia 2) und 3), dann klein b a = (a + u) + v = a + + (u + v), aber es ist unmöglich durch die Potenz von 5 und 6. Die Potenz von 7 wird zu Ende gebracht.
Aufgabe 1.3.1. Sei 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9)))). Sag mir 3+5 = 8, 2+4=6.

1.4. MULTIPLIZIEREN VON NATÜRLICHEN ZAHLEN.

Termin 1. Die Multiplikation natürlicher Zahlen nennt man eine solche binäre Operation (auf dem Multiplikator N, für den der Verstand gezählt wird:
1 u. ((x(N)x(0=0);
2 Jahre. ((x, y(N)x(y)=x(y+x).
Ich verteidige die Ernährung erneut - warum ist eine solche Operation und wie ist sie, was ist dann das Einzige?
Satz. Die Operation der Multiplikation natürlicher Zahlen ist nur eine.
Der Nachweis kann wie beim Zusatznachweis geführt werden. Es ist notwendig, einen solchen Ausdruck zu kennen (:N(N®N), as
1) ((x(N)) ((x,0)=0;
2) ((x, y (N) ((x, y")) = ((x, y) + x).
Wir reparieren ziemlich viele x. Es ist auch möglich für Skin x(N іsnuvannya vіrazhennya fx: N®Ns Autorität
1") fx(0)=0;
2") ((y(N) fx(y")=fx(y)+x,
dann die Funktion ((x,y), die gleich ((x,y)=fx(y) ist und Verstand 1) und 2 erfüllt).
Später geht der Beweis des Satzes bis zum Beweis der Basis dieser Einheit für Haut x der Funktion fx(y) mit den Potenzen 1") und 2"). Stellen wir die Anzahl der N-Werte nach folgender Regel ein:
a) die Zahl Null wird auf die Zahl 0 gesetzt,
b) da der Zahl y die Zahl c gegeben wird, dann die Zahl y (die Zahl c + x ist gleich).
Denken wir noch einmal darüber nach, dass in einer solchen Situation die Hautzahl y ein einzelnes Bild sein kann: und es ist bezeichnend, dass es möglich ist, N in N umzuwandeln. Bezeichnenderweise kann durch M, die Unpersönlichkeit aller natürlichen Zahlen y, ein einzelnes Bild gebildet werden. Denke a), dass Axiom 1 klar ist, also 0(M. Sei y(M. Denke b) und Axiom 2 ist klar, dass y((M. Also, M=N, also ist unser Grund N) in N , ist signifikant in Bezug auf fx, dann fx(0)=0 wegen a) und fx(y()=fx(y)+x - wegen b).
Später wurde der Grund für die Multiplikationsoperation bestätigt. Lassen Sie mich nun (i (- zwei binäre Operationen auf dem Multiplikator N mit Potenzen 1y und 2y sein. Bleibt noch zu sagen, dass ((x,y(N) x(y=x(y)) Wir fixieren eine ganze Zahl x und nicht))
S=(y?y(N(x(y=x(y)))
Springe durch 1y x(0=0 і x(0=0, then 0(S. Let y(S), then x(y=x(y))
x(y(=x(y+x=x(y+x=x(y(
i, dann y((S. Also, S=N, niedrigeres i, der Beweis des Theorems endet).
Bedeutend viele Diakone der Macht.
1. Das neutrale Element ist normalerweise die Zahl 1=0(, also ((a(N) a(1=1(a=a))).
Bringen. a(1=a(0(=a(0+a=0+a=a)) Damit ist die Gleichheit von a(1=a vollendet. N) (1(a=a). Also 1 (0=0, dann 0(M. Sei a(M, dann 1(a=a)). Dann 1(a(=1(a+1=a +1=) a(, i, otzhe, a( (M. Also, von den Axiomen 4 M = N, was notwendig war, um zu bringen).
2. Für eine Reihe von Messen also ein rechtsverteilendes Gesetz
((a,b,c(N) (a+b)c=ac+bc).
Bringen. Sei M=(c(c(N(((a,b(N)))(a+b)c=ac+bc))). , dann 0(M. Also c(M, dann (a+b) c=ac+bc), dann (a + b)(c(= (a + b)c +(a + b) = ac + bc +a+b=(ac+a)+(bc+b)= ac(+bc(.) Also, c((M і M=N).
3. Die Multiplikation natürlicher Zahlen ist kommutativ, dh ((a,b(N) ab=ba).
Bringen. Machen wir es richtig für b (N gleich 0 (b = b (0 = 0. Gleich b (0 = 0) ist klar 1y. Sei M = (b (b (N (0 (b = 0))) ) 0 =0, dann 0(M. Also b(M, dann 0(b=0, dann 0(b(=0(b+0=0)) i, also b((M. Also, M= N, dann Gleichheit 0(b=b(0 gebracht zu allen b(N. Gehen wir weiter) S=(a (a(N(ab=ba))). a) (S, dann ab = ba. Dann a (b = (a + 1) b = ab + b = ba + b = ba (, dann a ((S. Also S = N), was notwendig ist, um zu bringen) .
4. Mehrfache distributive Faltung. Tsya Herrschaft viplivaє z Herrschaft 3 und 4.
5. Der Plural ist assoziativ, das heißt ((a, b, c (N) (ab) c = a (bc)).
Der Nachweis erfolgt, wie beim Lager, Induktion auf s.
6. Wenn a(b=0, dann a=0 und b=0, dann hat N keine Nullteiler.
Bringen. Sei b(0 і b=c(. Wenn ab=0, dann ac(=ac+a=0, die Vorzeichen folgen der Potenz von 6 Punkt 3, also a=0).
Aufgabe 1.4.1. Sei 1(=2, 2(=3, 3(=4, 4(=5, 5(=6, 6(=7, 7(=8, 8(=9))). Sag mir, was 2(4 =8, 3(3=9.
Seien n, a1, a2, ..., an natürliche Zahlen. Die Summe der Zahlen a1, a2,...,an heißt die Zahl, wie sie von den Köpfen durch sie bezeichnet wird; für jede natürliche Zahl k
Eine Teilmenge der Zahlen a1, a2,...,an ist eine natürliche Zahl, wie sie mit i bezeichnet wird und mit minds bezeichnet wird: ; für jede natürliche Zahl k
Wie diese Nummer durch ein angezeigt wird.
Aufgabe 1.4.2. Was mitbringen
a);
b);
in);
G);
e);
e);
und);
h);
і) .

1.5. ORDNUNG DES SYSTEMS DER NATÜRLICHEN ZAHLEN.

Die Aussage "folgt" ist antireflexiv und antisymmetrisch, aber nicht transitiv und folgt dieser Reihenfolge nicht. Wir ändern die Reihenfolge erheblich und verlassen uns auf die Addition natürlicher Zahlen.
Termin 1. a
Ziel 2. a(b (((x(N) b=a+x)).
Perekonaєmosya, scho vіdnoshennia Vіdznachimo deyaki vlastnostі natürliche Zahlen, povyazanih іz vіdnosinami in nerіvnostі.
1.
1.1 a=b (a+c=b+c).
1.2 a = b (ac = bc).
1.3a
1.4a
1,5 a+c=b+c (a=b).
1.6ac=bc(c(0(a=b).
1.7a+c
1,8ac
1.9a
1.10a
Bringen. Dominanz 1.1 und 1.2 strahlen die Einzigartigkeit der Faltungs- und Multiplikationsoperationen aus. Yakscho a
2. ((a(N) ein
Bringen. Oskils a(=a+1, dann a
3. Das kleinste Element N ist 0, und das kleinste Element N\(0) ist die Zahl 1.
Bringen. Also ((a(N) a=0+a, dann 0(a, i, daher ist 0 das kleinste Element von N.) Dann, wie x(N\(0), dann x=y(, y( N ) , sonst x = y + 1. Die Antwort lautet: ((x (N \ (0)) 1 (x, also ist 1 das kleinste Element in N \ (0)).
4. Vorschlag ((a, b (N) ((n (N)) b (0 (nb> a)).
Bringen. Offensichtlich gibt es zu jedem natürlichen a auch eine natürliche Zahl n, die
a Eine solche Zahl є, zum Beispiel n = a (. Dahl, wenn b (N \ (0), dann für Potenz 3
1(b(2)
Z (1) und (2) auf der Grundlage der Potenzen 1,10 und 1,4 nehmen aa.

1.6. DIE WIRKLICHE ORDNUNG DES SYSTEMS DER NATÜRLICHEN ZAHLEN.

Termin 1. Als Skin-nicht-leerer Submultiplikator eines geordneten Multiplikators (M; Überdenke, dass die neue Ordnung linear ist. Seien a und b zwei Elemente eines ganzen geordneten Multiplikators (M; Lema) . 1) a
Bringen.
1) a((b (b=a(+k, k(N)(b=a+k(, k((N\(0)))
2) a(b(b=a+k, k(N)(b(=a+k(, k((N\(0)))
Satz 1. Die natürliche Ordnung auf der Menge der natürlichen Zahlen ist eine höhere Ordnung.
Bringen. Sei M leer von den unpersönlichen natürlichen Zahlen, und S ist die Immaterialität der unteren Inters in N, also S = (x (x (N (((m (M))) x (m)). als nächstes 0(S Yakby war siegreich und andere Axiome von Umov 4 n(S(n((S, dann kleines b S=N)).
Theorem 2. Wenn es eine nicht-leere Grenze für das Tier der unpersönlichen natürlichen Zahlen gibt, kann es das größte Element geben.
Bringen. Sei M eine nichtleere Grenze zwischen dem Tier der unpersönlichen natürlichen Zahlen und S die Unpersönlichkeit der oberen Kordons, also S=(x(x(N((m(M))) m(x)).) Signifikant durch x0, das kleinste Element von y S. Wenn m
Aufgabe 1.6.1. Was mitbringen
a);
b);
in).
Aufgabe 1.6.2. Komm schon (- Deak Potenz natürlicher Zahlen und k - mehr als eine natürliche Zahl. Bring was
a) be-so wie eine natürliche Zahl eine Potenz sein kann (wie nur 0 eine Potenz für irgendein n sein kann (0
b) ob es sich um eine natürliche Zahl handelt, größer oder gleich k, maє Potenz (, wenn nur k maє tsyu Potenz i für was auch immer n (k (n) s Weglassung, scho n maє Potenz (, als nächstes scho Zahl n + 1 auch Volodya tsієyu macht).
c) ob es sich um eine natürliche Zahl handelt, die größer oder gleich k ist, Potenz haben kann (da nur k Potenz haben kann und für was auch immer n (n > k) eine Zulässigkeit ist, dass alle Zahlen t, zugewiesen durch mentales k (t

1.7. INDUKTIONSPRINZIP.

Vikoristovuyuchi povryadkovannost des Systems der natürlichen Zahlen, Sie können einen solchen Satz, eine der Grundlagen der Beweismethoden, Titel durch die Methode der mathematischen Induktion bringen.
Satz (Induktionsprinzip). Usі vyslovlyuvannya z sequent A1, A2, ..., An, ... є іstnymi, yakshcho vykonuyutsya mind:
1) A1 ist wahr;
2) wie man Ak mit k verwendet
Bringen. Es ist zulässig, nicht zu akzeptieren: denken Sie, dass 1) und 2) gewinnen, aber wenn der Satz nicht wahr ist, werden wir nicht zulassen є unpersönlich M = (m (N (N \ (0), Am - hibno)). Element, das in Bezug auf n sinnvoll ist. mental 1) A1 ist wahr, und An ist schlecht, dann 1(n, i, aka, 1)
Zur Bestätigung durch die Induktionsmethode sind zwei Stadien zu sehen. Auf der ersten Stufe, die als Induktionsbasis bezeichnet wird, wird die Mentalität des Geistes umgestürzt 1). Von der anderen Seite der Bühne, dem sogenannten Induktionstopf, wird der Geist ins Gedächtnis gerufen 2). Höchstens werden Vipades durchlaufen, wenn es zum Beweis der Wahrheit von An nicht möglich ist, den Sieg über die Wahrheit von Ak bei k zu verwenden
Hintern. Um Unebenheiten zu bringen Zahlbar = Sk. Es ist notwendig, die Wahrheit der Ableitung Ak=(Sk zu bringen. Die Folge der Ableitung, wie in Theorem 1 beschrieben, kann aus dem Prädikat A(n) stammen, das der Menge N oder der ten Teilmenge Nk=(x( x(N, x(k)), wobei k eine feste natürliche Zahl ist.
Sokrema, wenn k=1, dann N1=N(0), und die Nummerierung kann für weitere Gleichheiten A1=A(1), A2=A(2), ..., An=A(n) durchgeführt werden, .. Wenn k(1), dann kann die Folge der Vorkommen aus weiteren Geraden A1=A(k), A2=A(k+1), ..., An=A(k+n-1), . ..Vidpovidno zu solchen Werten, Theorem 1 kann in einer anderen Form formuliert werden.
Satz 2. Das Prädikat A(m) ist auch auf dem Multiplikator Nk wahr, also wissen Sie:
1) A(k) ist wahr;
2) wie man A(m) für m verwendet
Aufgabe 1.7.1. Lassen Sie mich Ihnen sagen, dass diese Art von Gleichheit keine Entscheidung in der Galerie der natürlichen Zahlen trifft:
a) x + y = 1;
b) 3x = 2;
c) x2 = 2;
d) 3x+2=4;
e) x2+y2=6;
f) 2x+1=2y.
Aufgabe 1.7.2. Bring, siegreiches Prinzip der mathematischen Induktion:
a) (n3+(n+1)3+(n+2)3)(9;
b);
in);
G);
e);
e).

1.8. VIDCHITANNYA I DELENNYA NATÜRLICHE ZAHLEN.

Bezeichnung 1. Die Differenz zwischen den natürlichen Zahlen a und b ist eine solche natürliche Zahl x, dass b+x=a. Die Differenz der natürlichen Zahlen a und b wird mit a-b bezeichnet, und die Operation der Differenz der Differenz wird als Differenz bezeichnet. Vіdnimannya ist keine Operation der Algebra. Tse vyplyvaє iz nastupnoї Satz.
Satz 1. Retail a-b ist der einzige Unterschied und nur einer, wenn b(a. Wenn es einen Unterschied gibt, dann nur einen).
Bringen. Wenn b(a, dann für die Bezeichnung der Referenz (wenn es eine natürliche Zahl x ist, dann ist b+x=a. Ale ce i bedeutet, dass x=a-b. dass b + x = a. Alece bedeutet, dass b (a .
Wir bringen Einheit Einzelhandel a-b. Sei a-b=x und a-b=y. Dasselbe gilt für die Termine 1 b+x=a, b+y=a. Zvіdsi b+x=b+y ist auch x=y.
Ziel 2. Der Bruch zweier natürlicher Zahlen a und b(0) heißt natürliche Zahl c, so dass a = bc.
Theorem 2. Es ist privater als einer.
Bringen. Komm schon = x das = y. Dasselbe gilt für die Termine 2 a=bx und a=by. Zvіdsi bx=by і, auch x=y.
Es ist erwähnenswert, dass die bei dieser Gelegenheit durchgeführten Operationen buchstäblich genauso gezählt werden können wie im Fall von Schulassistenten. Tse bedeutet, dass in den Abschnitten 1-7 auf der Grundlage der Peanoschen Axiome die theoretischen Grundlagen der Arithmetik der natürlichen Zahlen gelegt wurden und anschließend im Gymnasiallehrgang Mathematik und im Universitätslehrgang „Algebra und Zahl“ weitere Entwicklungen etabliert werden Theorie".
Aufgabe 1.8.1. Bringen Sie solche Behauptungen zur Rechenschaft, indem Sie zugeben, dass alle Unterschiede, die in ihren Formeln angegeben sind, klar sind:
a) (a-b)+c=(a+c)-b;
b) (a-b) (c = a (c-b (c);
c) (a+b)-(c+b)=a-c;
d) a-(b+c)=(a-b)-c;
e) (a – b) + (c – d) = (a + c) – (b + d);
e) (a-b)-(c-d)=a-c;
g) (a+b)-(b-c)=a+c;
h) (a-b)-(c-d)=(a+d)-(b+c);
i) a-(b-c)=(a+c)-b;
bis) (a-b)-(c+d)=(a-c)-(b+d);
k) (a-b)(c+d)=(ac+ad)-(bc+bd);
l) (a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc);
m) (a-b)2=(a2+b2)-2ab;
o) a2-b2=(a-b)(a+b).
Aufgabe 1.8.2. Um die Gerechtigkeit der kommenden Härten zu bringen, ist es klar, dass alles privat ist, dass sie in der gegebenen Formel angegeben sind.
a); b); in); G); e); e); und); h); ich); zu); l); m); n); um); P); R).
Aufgabe 1.8.3. Um zu beweisen, dass Mütter zweier verschiedener natürlicher Lösungen nicht so gleich sein können: a) ax2+bx=c (a,b,c(N); b) x2=ax+b (a,b(N); c) 2x= ax2 + b(a,b(N).
Aufgabe 1.8.4. Auflösen natürlicher Zahlen gleich:
a) x2+(x+1)2=(x+2)2; b) x + y = x (y; c); d) x2+2y2=12; e) x2-y2 = 3; e) x + y + z = x (y (z.
Aufgabe 1.8.5. Um zu beweisen, dass es im Bereich der natürlichen Zahlen keine solche gleiche Lösung gibt: a) x2-y2=14; b) x-y = xy; in); G); e) x2=2x+1; f) x2 = 2y2.
Aufgabe 1.8.6. Enträtseln der natürlichen Zahlen der Ungleichmäßigkeit: a) ; b); in); d) x+y2 Aufgabe 1.8.7. Sagen Sie mir, dass im Bereich der natürlichen Zahlen der Beginn des Spivings fair ist: a) 2ab(a2+b2; b) ab+bc+ac(a2+b2+c2; c) c2=a2+b2 (a2+b2 +c2 1.9 KILKISNIY TOD natürliche Zahlen.
Wirklich, die natürlichen Zahlen sollten als Hauptrang des Rahunka der Elemente platziert werden, und die muss man theoretisch in den Kalkül der natürlichen Zahlen von Peano einfügen.
Ziel 1. Anonym (x(x(N, 1(x(n))) heißt im Gegensatz zur natürlichen Reihe) und wird durch (1; n ()) bezeichnet.
Termin 2. Ein kіntsevoj-Multiplikator wird aufgerufen, ob es sich um einen Multiplikator handelt, der jedem Zähler der natürlichen Reihe entspricht, und auch um einen leeren Multiplikator. Bezlich, wie nicht є kіtsevim, wird als ungehäutet bezeichnet.
Satz 1 ins Nasse(Tobto podmnozhini, vіdmіny vіd A).
Bringen. Wie A=(, der Satz ist wahr, es gibt keine leeren Scherben leerer Teiler. Lassen Sie uns A((і A gleich schwer (1,n((A((1,n()).)) Wir können das beweisen Satz durch Induktion nach n. Yakscho n= 1 , dann A((1,1(, dann verwenden wir den einzelnen Teilmultiplikator des Multiplikators A ist ein leerer Multiplikator). Es war klar, dass A(i auch für n=1 , der Satz ist wahr. Angenommen, der Satz ist wahr für n=m, dann sind alle Terminals Multiplikatoren, gleiche Stärken (1,m(, denke nicht an gleiche Stärken. invers)) (1,m+1(in A Wenn ((k) bekannt ist durch ak, k=1,2,...,m+1, dann kann das unpersönliche A geschrieben werden als A=(a1, a2, ...)) , am, am+ 1) Unser Ziel ist es zu beweisen, dass A keine gleich starken Potenzteiler hat.
Betrachten wir die Multiplikatoren A1 = A (am + 1) und B1 = B (am + 1). Da f(am+1)=am+1, dann zeigt die Funktion f zdіysnyuvatime bioaktiv den Multiplikator A1 durch den Multiplikator B1 an. In diesem Rang ist das unpersönliche A1 gleich seinem mächtigen Teiler B1. Ale oskіlki A1((1,m(, ersetzt nicht die Induktionszulage).
Schlussfolgerung 1. Das Fehlen natürlicher Zahlen ist nicht beschränkt.
Bringen. Aus Peanos Axiomen geht hervor, dass S:N®N\(0), S(x)=x(bjektiv) fermentiert wird.
Schlussfolgerung 2. Wenn der Multiplikator A von Kіntsev nicht leer ist, ist er gleich einem und nur einem Gegenstück der natürlichen Reihe.
Bringen. Sei A((1,m(і A((1,n(. Todі) (1,m(((1,n(, wegen Theorem 1 ist es klar), also m=n.)).
Last 2 ermöglicht die Eingabe einer Bezeichnung.
Bezeichnung 3. Als A((1,n(, dann wird die natürliche Zahl n die Anzahl der Elemente im Multiplikator A genannt), und der Prozess der Feststellung einer eindeutigen Ähnlichkeit zwischen den Multiplikatoren A und (1,n (genannt die Zahl der Elemente in den Multiplikator A. Die Anzahl der natürlichen Elemente des Vielfachen der leeren Eingabe) die Zahl Null.
Über die große Bedeutung des Rahunka für ein praktisches Leben sprich Zayve.
Hochachtungsvoll, wenn man den Kalkül einer natürlichen Zahl kennt, wäre es möglich, die Multiplikationsoperation durch die Addition selbst zu berechnen:
.
Wir haben diesen Weg vorerst nicht geschickt, um zu zeigen, dass das Rechnen selbst nicht im Kalkülsinn erforderlich ist: Der Kalkülsinn der natürlichen Zahl wird nur in Ergänzungen zur Arithmetik benötigt.

1.10. DAS SYSTEM DER NATÜRLICHEN ZAHLEN ALS DISKRETE RÜCKSEITE IST ORDENTLICHES BAGATO.

Wir haben gezeigt, dass die unpersönlichen natürlichen Zahlen mit der natürlichen Ordnung und der ganzen Ordnung kompatibel sind. Wenn ja, ((a(N) a
1. für jede Zahl a(N іsnuє sudіdnє kommt nach ihm 2. für jede Zahl a(N \ (0) іsnuє suіdnє yoma vor dir) Die gesamte Ordnung des Unpersönlichen (A;()) mit Potenzen 1 und 2 heißt memo diskreter Zyklus Es scheint, dass die Ordnung mit den Potenzen 1 und 2 die charakteristische Potenz des Systems der natürlichen Zahlen ist Element i, auch Axiom 1 Peano gewinnt).
Es ist also wie eine lineare Ordnung, dann folgt auf jedes Element a ein einzelnes Element und nicht mehr als ein Vorwärts-Sudidny-Element.
1) a0(M, wobei a0 das kleinste Element von A ist;
2) a(M (a((M.))
Nehmen wir an, M=N. Zulässig wird nicht akzeptiert, dann A\M((. Bedeutsamerweise durch b das kleinste Element in A\M.
Wir brachten auch die Möglichkeit einer anderen Bezeichnung des Systems der natürlichen Zahlen.
Geplanter Termin. Das System der natürlichen Zahlen heißt, ob eine Vielheit als Ganzes geordnet ist, auf die Köpfe gezählt werden:
1. für jedes Element gibt es ein nächstes fortschreitendes Element dahinter;
2. für jedes Element das am wenigsten sichtbare Element, das wichtigste gerichtliche Element.
Іsnuyut іnshі pіdhodi Ziel des Systems der natürlichen Zahlen, auf das wir hier nicht zupinaєmosya gehen.

2. TSILI UND RATIONALE ZAHLEN.

2.1. BEDEUTUNG UND MACHT DES ZAHLENSYSTEMS.
Es scheint, dass es im Kopf eines intuitiven Verstandes keine Anzahl von ganzen Zahlen gibt, und der Ring ist in der Lage, diesen Multiplikator zu falten, außerdem soll der Ring die natürlichen Zahlen rächen. Es wurde verstanden, dass es in den kіltsі tsіlih-Zahlen kein Fluchen gibt, als würde es alle natürlichen Zahlen rächen. Das Qi der Macht, so scheint es, kann als Grundlage für eine strenge Bezeichnung eines Zahlensystems herangezogen werden. In den Abschnitten 2.2 und 2.3 wird auf die Richtigkeit einer solchen Bezeichnung eingegangen.
Termin 1. Das Zahlensystem wird als algebraisches System bezeichnet, für das der Verstand ist:
1. Algebraisches System є kіltse;
2. Die Anonymität natürlicher Zahlen sollte berücksichtigt werden, außerdem wird die Addition dieser Multiplikation in der kіltsі auf dem Submultiple aus der Addition dieses Multiplikators der natürlichen Zahlen, tobto, entnommen
3. (Umova-Minimalität). Z ist das Minimum für die Einbeziehung des Multiplikators mit Potenz 1 und 2. Mit anderen Worten, um die natürlichen Zahlen zu rächen, dann ist Z0=Z.
Termin 1 kann einen axiomatischen Charakter erhalten. Die ersten Konzepte in dieser axiomatischen Theorie werden sein:
1) Anonymes Z, dessen Elemente ganze Zahlen genannt werden.
2) Eine spezielle ganze Zahl, wie sie Null genannt wird und durch 0 angezeigt wird.
3) Ternäre vіdnosini + ta (.
Durch N werden wie üblich die unpersönlichen natürlichen Zahlen durch Faltungen ( und Multiplikationen ( bezeichnet. Tatsächlich heißt das System der ganzen Zahlen bis zur Bezeichnung 1 ein solches System der Algebra (Z; +, (, N ), für die die folgenden Axiome siegreich sind):
1. (Axiome der kіltsya.)
1.1.
Dieses Axiom bedeutet, dass + є eine binäre Operation der Algebra auf der Menge Z ist.
1.2. ((a,b,c(Z)(a+b)+c=a+(b+c)).
1.3. ((a, b (Z) a + b = b + a).
1.4. ((a(Z) a+0=a, also kann die Zahl 0 als neutrales Element hinzugefügt werden).
1.5. ((a(Z)((a((Z) a+a(=0), also für die Skin-Ganzzahl gibt es die entgegengesetzte Zahl a()).
1.6. ((a,b(Z))((! d(Z) a(b=d)).
Dieses Axiom bedeutet, dass die Multiplikation eine binäre Operation der Algebra auf dem Multiplikator Z ist.
1.7. ((a, b, c(Z)) (a(b)(c = a((b(c))).
1.8. ((a, b, c (Z) (a + b) (c = a (c + b (c, c ((a + b)) = c (a + c (b))
2. (Axiome der Verbindung zwischen Z und dem System der natürlichen Zahlen.)
2.1. N (z.
2.2. ((a, b (N) a + b = a (b).
2.3. ((a, b(N)) a(b = a(b).
3. (Axiom der Minimalität.)
Wenn Z0 das Ende des Rings Z ist und N(Z0, dann Z0=Z.
Maßgebliche Machtakte des Zahlensystems.
1. Die Anzahl der Skins kann durch Betrachten der Differenz zwischen zwei natürlichen Zahlen dargestellt werden. Das Aussehen ist außerdem mehrdeutig, z=a-b und z=c-d, de a, b, c, d (N, beide und nur wenn a+d=b+c).
Bringen. Bezeichnenderweise sieht das Fehlen aller ganzen Zahlen bis Z0 wie zwei natürliche Zahlen aus. Offensichtlich ist ((a(N) a=a-0, i, aka, N(Z0).
Gehen wir x,y(Z0, dann x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N). Dann x-y=(a-b)-(c-d)=(a+d)--(b + c )=(a(d)-(b(c)), x(y=(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)=(a(c(b(d))- ( a(d(b(c). Es ist ersichtlich, dass x-y, x(y(Z0 i, im Folgenden ist Z0 eine Teilmenge des Rings Z, um das unpersönliche N zu rächen.)).
2. Der Ring der ganzen Zahlen ist ein kommutativer Ring mit Eins, und die Null des Rings ist die natürliche Zahl 0, und die Einheit des Rings ist die natürliche Zahl 1.
Bringen. Seien x,y(Z. Gültig hoch 1 x=a-b, y=c-d, de a,b,c,d(N.) Dann x(y=(a-b)((c-d)=(ac+bd)- (ad) +bc)=(a(c(b(d))-(a(d(b(c)), y(x=(c-d))(a-b)=(ca+db)-(da+ cb )=(c( a(d(b)-(d(a(c(b)))). Daher gilt aufgrund der Kommutativität der Multiplikation natürlicher Zahlen, dass xy=yx. Die Kommutativität der Multiplikation in es wurde der Ring Z. 2 vyplyvayut aus offensiven offensichtlichen Gleichmäßigkeiten gebracht, in denen durch 0 und 1 natürliche Zahlen null und eins bekannt sind: x+0=(a-b)+0=(a+(-b))+0= (a+0)+(-b) =(a(0)+ (-b) = a-b = x x (1 = (a-b) (1 = a (1-b (1 = a (1-b (1 = a-b = x)))

2.2. ІSNUVANNYA SYSTEM CYLIKH NUMMER.

Dem Zahlensystem wird 2.1 als Minimum für die Aufnahme des Rings zugeordnet, der die natürlichen Zahlen rächt. Vikaє pitanya - was ist das gleiche kіltse? Mit anderen Worten, das Axiomensystem s 2.1 ist super-vereinfachend. Um die Nicht-Überlegenheit des Axiomensystems hervorzubringen, ist es notwendig, eine Interpretation in einer eindeutig nicht-überwachbaren Theorie herbeizuführen. Einer solchen Theorie trägt die Arithmetik der natürlichen Zahlen Rechnung.
Auch hier ist die Interpretation des Axiomensystems 2.1 zu erläutern. Verlassen wir uns auf das Unpersönliche. Für wen das Unpersönliche bedeutend ist, sind zwei binäre Operationen und eine binäre Einstellung. Wenn die Addition dieser Multiplikation von Paaren auf die Addition dieser Multiplikation von natürlichen Zahlen reduziert wird, dann ist für natürliche Zahlen die Addition dieser Multiplikation von Paaren kommutativ, assoziativ, und die Multiplikation ist der Addition distributiv ähnlich. Betrachten wir zum Beispiel die Kommutativität der Addition von Paaren noch einmal: +===+.
Werfen wir einen Blick auf die Macht von vіdnoshennia ~. Oskіlki a + b = b + a, dann ~, dann ~ reflexiv setzen. Wenn ~, dann a+b1=b+a1, dann a1+b=b1+a, dann ~. Otzhe, Einstellung ~ symmetrisch. Mach weiter ~ ich ~. Es gelten auch die Gleichungen a+b1=b+a1 und a1+b2=b1+a2. Wenn wir die Anzahl der Gleichheiten addieren, nehmen wir a + b2 = b + a2 weg, dann ~. Otzhe, Einstellung ~ auch transitiv і, otzhe, є Äquivalent. Die Klasse der Äquivalenz, die ein Paar rächt, wird durch bestimmt. In diesem Rang kann die Äquivalenzklasse dem eigenen Paar und damit zugeordnet werden
(1)
Die Anonymität aller Äquivalenzklassen ist durch signifikant. Unsere Aufgabe ist es zu zeigen, dass der Multiplikator im Falle einer bestimmten Faltungs- und Multiplikationsoperation die Interpretation des Axiomensystems aus 2.1 sein wird. Operationen an den Gesichtslosen sind gleichbedeutend:
(2)
(3)
Wenn i ist, dann ist auf dem Multiplikator N die Gleichheit a+b(=b+a(, c+d(=a+c(,)) gültig, die Gleichheit (a+c)+(b(+d( )=(b ) +d)+(a(+c()), was aufgrund von (1) akzeptabel ist, was bedeutet, dass Äquivalenz (2) eine eindeutige Operation zum Hinzufügen eines Multiplikators bedeutet, so wie nicht in der Wahl von Paaren, also Zusätzen liegen) und Eindeutigkeit der Multiplikation von Klassen Auf diese Weise werden der Vielzahl der binären Operationen der Algebra die Gleichheiten (2) und (3) zugeordnet.
Oskіlki-Addier- und Multiplizierklassen können zum Falten und Multiplizieren von Paaren aufgebaut werden. Diese Operationen sind kommutativ, Assoziativ- und Multiplizierklassen sind distributiv einfach faltbar. Aus den Gleichheiten ergibt sich, dass die Klasse ein neutrales Element der Faltweise und die Hautklasse die proliferative Klasse ist. Der Multiplikator ist also ein Kreis, also werden die Axiome der Gruppe 1 aus 2.1 gezählt.
Werfen wir einen Blick auf die kіl'tsі podmnozhina. Wenn a(b), dann über (1) , und wenn a
Auf dem Unpersönlichen ist die Binärzahl signifikant (folgend (; selbst, folgend der Klasse, folgend der Klasse, de x (є natürliche Zahl, kommend nach x. Klasse, kommend nach natürlich bezeichnet durch). die Klasse folgt ihr, die Klasse i ist immer noch nur einer.
Schauen wir uns das Bild an. Es ist offensichtlich, dass der Zweck der Gärung biaktiv ist und der Geist f(0)= , f(x()==(=f(x)(.)). ;, () Mit anderen Worten, Algebra (;, () ist eine Interpretation von Peanos Axiomensystem. Abgeleitet von isomorphen Algebren, sodass Sie respektvoll berücksichtigen können, dass das unpersönliche N selbst submultipliziert wird. ) \u003d a + c, a (c \u003d ac, was bedeutet, dass die Addition davon Zu den Additionen und Multiplikationen natürlicher Zahlen wird die Multiplikation im kіltsi auf dem Submultiple N hinzugefügt, wodurch die Addition der Axiome der Gruppe 2 installiert wird.
Komm schon Z0 - sei wie ein kіltse pіdkіltse, scho, um das unpersönliche N i zu rächen. Hochachtungsvoll, scho th, otzhe,. Ale oskіlki Z0 - ein kіlce, dann kann der Unterschied zwischen diesen Klassen auch bei einem kіltsu Z0 liegen. З Gleichheiten -= (= fit, sho (Z0 і, auch bekannt als, Z0=. Nicht-Überlegenheit des Axiomensystems von Punkt 2.1 wird gebracht).

2.3. EINHEIT DES ZAHLENSYSTEMS.

Ich habe nur ein Zahlensystem für meinen intuitiven Verstand. Tse bedeutet, dass das Axiomensystem, das die Anzahl der Zahlen bezeichnet, kategorial sein kann, so dass die Interpretation des Axiomensystems isomorph sein kann. Kategorial und bedeutet, dass es bis auf Isomorphie nur ein Zahlensystem gibt. Perekonayemosya, scho tse wahr so.
Seien (Z1;+,(,N) und (Z2;(,(,N)) zwei Interpretationen des Axiomensystems von Punkt 2.1.) seien widerspenstig und cremefarben für beliebige Elemente x und y aus dem Ring Z1 gefüllt Gerechtigkeit
(1)
. (2)
Hochachtungsvoll, die Scherben N(Z1 und N(Z2, dann
, a(b=a(b. (3)
Sei x(Z1 і x=a-b, de a,b(N). Setze das Element x=a-b auf das Element u=a(b, de) , Sterne z (3) a(d=b(c і, otzhe, a(b=c(d)) tse bedeutet, dass unsere Fallfähigkeit als Repräsentant des Elements x als Differenz zweier natürlicher Zahlen und cim in f dargestellt wird: Z1® Z2, f(a-b)=a(b). Wenn man versteht, dass v(Z2 і v=c(d), dann v=f(c-d).) ist, ist der Ausdruck f sur'jektiv.
Wenn x = a-b, y = c-d, de a, b, c, d (N і f (x) = f (y), dann a (b = c (d). Alethodі a (d = b (d, c ) Kraft (3) a+d=b+c, also a-b=c-d Wir haben gebracht, dass die Gleichheit von x=y aus der Gleichheit von f(x)=f(y) ersichtlich ist, dann ist der Ausdruck von f ist inaktiv.
Wenn a(N, dann a=a-0 і f(a)=f(a-0)=a(0=a.) Natürliche Zahlen sind also gewaltlos, wenn f übertrieben wird. Weit, wie x=a-b , y=c-d , de a, b, c, d (N, dann x + y = (a + c) - i f (x + y) = (a + c) ((b + d) = (a (c ) (( b (d)=(a(b)((c(d)=f(x)+f(y)). Fairness der Gleichheit (1) wurde bewiesen. Reversible Gleichheit (2). Skalen f( xy)=(ac+ bd) )((ad+bc)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))), und auf der anderen Seite f(x)(f( y))=(a (b)((c (d)=(a(c(b(d))((a(d(b(c))). Also f(xy)=f(x) (f(y)) , was den Beweis der Kategorizität des Axiomensystems n. vervollständigt) 2.1.

2.4. WERT UND MACHT DES SYSTEMS DER RATIONALEN ZAHLEN.

Anonyme rationale Q-Zahlen im gegebenen intuitiven rozumіnnі-Feld, für einige unpersönliche Z-Ganzzahlen є pіdkіltsem. Wenn ja, ist offensichtlich, dass Q0 ein Teilkörper des Körpers Q ist, um die Zahlen zu rächen, dann ist Q0 = Q.
Termin 1. Ein System rationaler Zahlen ist ein solches System der Algebra (Q; +, (; Z), für das der Verstand verwendet wird:
1. Algebraisches System (Q; +, () є Feld;
2. ring Z ganze Zahlen є pіdkіltsem Feld Q;
3. (Minimum) wenn der Unterkörper Q0 des Körpers Q den Unterkörper Z rächt, dann ist Q0=Q.
Kurz gesagt, das System der rationalen Zahlen ist das Minimum für das eingeschlossene Feld, um die Anzahl der Zahlen zu rächen. Über die axiomatische Definition des Systems der rationalen Zahlen können Sie noch mehr berichten.
Satz. Eine rationale Hautzahl x kann also als private zwei ganze Zahlen dargestellt werden
, de a, b (Z, b (0. (1)
Das Erscheinungsbild ist außerdem mehrdeutig, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0)).
Bringen. Bezeichnenderweise gibt es in Bezug auf Q0 unpersönliche rationale Zahlen, wie in (1) zu sehen ist. Um die Abstimmung abzuschließen, also Q0 = Q. Komm schon, de a, b, c, d (Z, b (0, d (0). Dann ist es für die Kraft des Feldes möglich: , und für c (0) Der Mittelwert Q0 ist auf einer Zahl ungleich Null geschlossen, i, dann є Teilfeld des Feldes Q. Wenn also die Zahl a in Sichtweite darstellbar ist, dann Z (Q0. Aufgrund der Tatsache, dass sie minimal und offensichtlich ist , Q0 = Q. Der Beweis des anderen Teils des offensichtlichen Satzes.

2.5. GRUNDLAGE DES SYSTEMS DER RATIONALEN ZAHLEN.

Das System der rationalen Zahlen wird als Mindestfeld bezeichnet, um die Zahl der Zahlen zu rächen. Zvichayno vinikaє pitanya - chi іsnuє ein solches Feld, das chi є є nesuperechlivuyu System von Axiomen, scho vyznaє rationale Zahlen. Um die Nichtüberlegenheit zu bestätigen, ist es notwendig, eine Interpretation des Axiomensystems herbeizuführen. Bei wem ist es möglich, die Basis des Systems der ganzen Zahlen zu spiralisieren. Nehmen wir uns einen Moment Zeit, um Z(Z\(0) als unveränderliche Zahl zu interpretieren. Zwei binäre Operationen der Algebra sind für den Multiplikator von Bedeutung
, (1)
(2)
diese binäre
(3)
Dotsіlnіst sama eine solche Bezeichnung von Operationen und vіdnosinі ~ vyplyaє z, dass in ihren Vorzügen, wie ich sein werde, ein paar Worte privater sind.
Es ist leicht zu überdenken, dass die Operationen (1) und (2) kommutativ, assoziativ und multiplizierend distributiv sind. Alle Kräfte der Macht werden auf der Grundlage der höheren Kräfte der Addition dieser Multiplikation von Zahlen verehrt. Pereverimo zum Beispiel die Assoziativität mehrerer Paare: .
In ähnlicher Weise wird erneut überlegt, dass die Differenz ~ є äquivalent ist, und daher wird das unpersönliche Z(Z \ (0)) in Äquivalenzklassen unterteilt. In Paaren i aufgrund des Geistes (3) nehmen wir:
. (4)
Unsere Aufgabe ist es, die Operation des Faltens dieses Multiplikators in einen Multiplikator zu bezeichnen, so dass es ein Feld war. Die Anzahl der Operationen ist gleich signifikant:
, (5)
(6)
Also, dann ab1=ba1 und dann cd1=dc1, dann multiplizieren wir die Werte der Gleichheit, nehmen wir (ac)(b1d1)=(bd)(a1c1), und tse bedeutet, dass Tse uns von dem ändern wird, der ist gleich (6) ) bedeutet faktisch eine eindeutige Operation an einer unpersönlichen Klasse, wie sie etwa in der Wahl von Vertretern der Hautklasse liegt. Ebenso wird die Eindeutigkeit der Operation (5) überarbeitet.
Da das Addieren und Multiplizieren von Klassen auf das Falten und Multiplizieren von Paaren reduziert werden kann, sind die Operationen (5) und (6) kommutativ, assoziativ und distributiv und können addiert werden.
Von den Gleichheiten wird festgelegt, dass die Klasse ein neutrales Element ist, wenn sie ergänzt wird, und für die Hautklasse wird das Element Protella Yoma verwendet. Ebenso ist es offensichtlich, dass die Klasse ein neutrales Element der Pluralität ist und für die Hautklasse die Korrekturklasse ist. Außerdem є das Einsatzgebiet (5) und (6); erste Umov am festgelegten Punkt 2,4 Siege.
Betrachten wir die unpersönliche Distanz. Offensichtlich, . Die Unpersönlichkeit wird geschlossen, indem man diesen Plural und später die Pidkils des Feldes sieht. Richtig, . Werfen wir einen Blick auf die Vision, . Die Sur'jektivität dieser Manifestation ist offensichtlich. Wenn f (x) = f (y), dann x (1 = y (1 oder x = y). Bedeutung f und injektiv. Außerdem isomorph kіltsya, ist es möglich zu verstehen, dass Z kіlce das Subkіlcem des Feldes ist, so dass der Verstand ist geschlagen 2 an der ernannten Klausel 2.4. Felder ich, aufleuchten. Bo, äh, dann. Ale oskіlki - das Feld, dann liegen private Tsikh-Elemente tezh auf dem Feld. Tim selbst hat es angesprochen, was ist es denn, tobto. Die Basis des Systems der rationalen Zahlen ist fertiggestellt.

2.6. EINHEIT DES SYSTEMS DER RATIONALEN ZAHLEN.

Wenn es nur ein System rationaler Zahlen im modernen intuitiven Sinne gibt, dann kann die axiomatische Theorie rationaler Zahlen, wie sie hier erscheint, kategorisch sein. Kategorial und bedeutet, dass es bis auf Isomorphie nur ein System rationaler Zahlen gibt. Zeigen wir, dass es stimmt.
Seien (Q1;+, (; Z) und (Q2; (, (; Z)) - wie zwei Systeme rationaler Zahlen.
(1)
(2)
für beliebige Elemente x und y aus dem Feld Q1.
Die privaten Elemente a und b im Feld Q1 werden mit und im Feld Q2 mit a:b bezeichnet. Da Z є pіdkіltse kozhny s polіv Q1 і Q2 ist, dann ist für eine beliebige Anzahl von Zahlen eine і b-Äquivalenz
, . (3)
Komm schon und de, . Wir ordnen dem gegebenen Element x das Element y=a:b aus dem Körper Q2 zu. Wenn Gleichheit im Körper Q1 gilt, dann gewinnt der Satz von Punkt 2.4 im Ring Z die Gleichheit ab1=ba1, sonst wegen (3) Gleichheit und analog für denselben Satz die Gleichheit a: Im Feld Q2 gilt b=a1:b1. Tse bedeutet, dass wir es anzeigen, indem wir dem Element des Feldes Q1 das Element y=a:b aus dem Feld Q2 zuweisen, .
Jedes Element aus dem Feld Q2 kann dargestellt werden als a:b, de, otzhe, є der Rang des Elements aus dem Feld Q1. Otzhe, vodobrazhennya f є sur'єktivnym.
Ja, dann im Feld Q1 und das gleiche. Auf diese Weise werden die Fermentation f є bієktivnym und alle tsіlі Zahlen widerspenstig. Es ist notwendig, den Gleichheiten (1) und (2) gerecht zu werden. Sagen wir a,b,c,d(Z, b(0, d(0). Dann i, Vorzeichen aufgrund von (3) f(x+y)=f(x)(f(y). Ebenso und Sterne.
Isomorphismus der Interpretationen von (Q1; +, (; Z) und (Q2; (, (; Z)) fortschreitend.

VІDPOVIDI, VKAZIVKI, RISHENNYA.

1.1.1. Lösung. Nehai Umovs Axiomie 4 ist wahr (eine solche Potenz natürlicher Zahlen, dass ((0) i. Machen wir es. Also erfüllt M die Potenzen von Axiom 4, Scherben ((0) (0(M i. Otzhe), M=N, also sei natürlich) ).die Zahl ist mächtig (. Zurück. Es ist akzeptabel, dass, ob es Macht gibt oder nicht (von diesem ((0) i, weiter. Sei M ein Teilmultiplikator von N, dass 0(M i. ) Es wird gezeigt, dass M = N. Führen wir Macht ein (, respektvoll. Todi ((0), oskіlki, i.) Otzhe, M=N.
1.1.2. Urteil: Wahre Behauptung des 1. und 4. Axioms von Peano. Bestätigung der 2. Axiome von Hibne.
1.1.3. Urteil: wahrheitsgemäße Behauptung der 2,3,4 Axiome von Peano. Bestätigung der 1. Axiome von Hibne.
1.1.4. Wahre Behauptungen 1, 2, 3 Peanos Axiome. Aussage der 4. Axiome von Hibne. Vkazіvka: zu bringen, scho zufrieden mit den Möglichkeiten von Axiom 4, formuliert in Bezug auf die Operation, Ale.
1.1.5. Vkazіvka: Um die Wahrheit von Axiom 4 zu beweisen, werfen Sie einen Blick auf den Submultiplikator M z A, da er den Verstand befriedigt: a) 1 ((M, b) und unpersönlich.
1.1.6. Wahre Behauptung der Axiome 1,2,3 von Peano. Aussage des 4. Axioms von Peano Hibne.
1.6.1. a) Entscheidung: Bitte teilen Sie mir mit, ob es 1 Uhr morgens ist. Zurück. Komm schon
1.6.2. a) Entscheidung: Annehmbar. Durch M sind wir von allen Zahlen signifikant unpersönlich, um nicht mächtig zu sein (. Nach Voraussetzung ist M((. Aufgrund von Satz 1 hat M das kleinste Element n(0). Ob die Zahl x
1.8.1. f) Kreuze S. e) und S. c an): (a-c)+(c-b)=(a+c)-(c+b)=a-b, also (a-b)-(c-b)=a-c.
h) Macht gewinnen.
l) Kreuzen Sie S. b) an.
l) Kreuzen Sie S. b) und S. h) an.
1.8.2. c) Maєmo, otzhe,. Vater, .
d) Mämo. Vater, .
und).
1.8.3. a) Wie (i (andere Lösung gleich ax2+bx=c), dann a(2+b(=a(2+b(.)) . Genau ((. Aber (2=a(+b>a(, auch, (>a.))).
c) Nehai (i (- verschiedene Wurzeln gleich i (>(. Todі 2((-()=(a(2+b))-(a(2+b))=a((-())( ( (+( ) Später a((+()=2), aber (+(>2), später a((+()>2), was unmöglich ist).
1.8.4. a) x = 3; b) x = y = 2 c) x=y(y+2), y ist eine natürliche Zahl; d) x = y = 2; e) x = 2, y = 1; f) Genau bis auf Permutationen x=1, y=2, z=3. Lösung: Sagen wir zum Beispiel x(y(z. Then xyz=x+y+z(3z, also xy(3.) Also xy=1, then x=y=1 і z=2+z, also) Unmöglich: wenn xy = 2, dann x = 1, y = 2. In diesem Fall 2z = 3 + z, dann z = 3. Wenn xy = 3, dann x = 1, y = 3. Dann 3z = 4+z , also z=2, um das Aufmaß y(z.
1.8.5. b) Wenn x=a, y=b ein Split ist, dann ist ab+b=a, dann. a>ab, was unmöglich ist. d) Wenn x=a, y=b ein Split ist, dann ist b
1.8.6. a) x=ky, de k,y - genügend natürliche Zahlen und y(1. b) x - genügend natürliche Zahlen, y=1. c) x ist eine ziemlich natürliche Zahl y=1. d) Es gibt keine Lösung. e) x1 = 1; x2=2; x3=3. f) x>5.
1.8.7. a) Wenn a = b, dann ist 2ab = a2 + b2. Komm schon, zum Beispiel a

LITERATUR

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