Algebraische Erweiterung des Körpers. Verzeihen Sie die Ausdehnung der Bewässerung. Warehouse-Erweiterung von Algebra-Feldern

algebraische Körpererweiterung- — Thema Informationsschutz EN Erweiterungsfeld … Technische Übersetzung von Dovіdnik

Feld E, dem Feld K als Unterfeld gegeben wird. Typerweiterung Erweiterung der Algebraerweiterung Erweiterung, alle Elemente eines solchen є algebraisch über K, dh ein solches Element eines solchen є ist die Wurzel eines reichen Begriffs f (x) c ... Wikipedia

Algebraische Erweiterung des Körpers EÉ K, der normal und separabel ist. Für Tsikh-Geiste wird E die größte Anzahl von Automorphismen über K hervorbringen (da E einzigartig ist, ist die Anzahl von Automorphismen auch ein signifikanter und fortgeschrittenerer Expansionsgrad).

Nap_vugroup A nap_vgroup S, scho Rache Av yak p_demigroup. Sound darüber, die Namen der Gruppe A zu erweitern und Atem mit anderen Köpfen zu verbinden. Die fortschrittlichste Theorie des idealen R. nap_vgroup (nap_vgroup, was Av yak rächen soll ......) Mathematische Enzyklopädie

Gleich dem Geist des de reichen Begriffs der n-ten Stufe in Form einer oder mehrerer Veränderungen. A. ein. mit einem unbekannten Geräusch. gleich dem Verstand: Es gibt keine Zahl, Ton. die Koeffizienten sind gleich und є danimi, hnaz. nevidomim und є… Mathematische Enzyklopädie

Felder k algebraisch. Erweiterung des Körpers k, der ein abgeschlossener algebraischer Körper ist. Eine solche Erweiterung ist jedem Körper bis auf Isomorphie eindeutig zugeordnet. A. h. Felder Tageszahlenє Feld komplexe Zahlen(Div. … … Mathematische Enzyklopädie

Die normalerweise erweiterte algebraische Erweiterung des Körpers EÉ K für jeden irreduziblen reichen Term f(x) über K, der eine Wurzel E haben kann, kann in E zu linearen Multiplikatoren entwickelt werden. Äquivalent benannt: Yakscho KÌ EÌ K *, de K * ... ... Wikipedia

Eine trennbare Erweiterung einer algebraischen Erweiterung eines Körpers, der aus trennbaren Elementen zusammengesetzt ist, so dass solche Elemente α sind, ist der minimale Annullator f(x) über K, für den es keine Mehrfachwurzeln gibt. Pokhіdna f (x) kann für vishchevkazanim buti ... ... Wikipedia

Das Erweitern des Feldes, so dass E großartig ist, über K yak Vektorraum. Die Erweiterung des Vektorraums E über K wird als Erweiterungsgrad bezeichnet und bezeichnet. Die Kraft der letzten Erweiterungen In ... ... Wikipedia

Die Felder sind eine algebraische Erweiterung des L-Feldes K, was einen der fortschreitenden äquivalenten Köpfe befriedigt: 1) ob das Feld L in das algebraische Feld eingebettet ist. Schließung des Feldes є durch einen Automorphismus des Feldes L; 2) L Anordnungsfeld einer gegebenen Familie von Polynomen s ... ... Mathematische Enzyklopädie

Algebraische Erweiterung von Körpern

Einleitung.

Pädagogische Hochschulen haben ein Programm für einen einheitlichen Studiengang in Algebra und Zahlentheorie aufgelegt. An der Spitze des Meta-Kurses steht die Entwicklung der Grundsysteme der Algebra und die Entwicklung der algebraischen Kultur, die für den zukünftigen Lehrer für ein tiefes Verständnis der Ziele und Aufgaben des Hauptschulstudiums Mathematik notwendig ist, sowie schulische Wahlfächer.

Die wichtigste Einführung in den Schullehrplan sind unserer Meinung nach die Elemente der zeitgenössischen abstrakten Algebra.

Der im 20. Jahrhundert entstandene Prozess der Algebraisierung der Mathematik wird nicht akzeptiert, sondern eher dazu gezwungen, sich in der mathematischen Schulbildung mit den Grundlagen der Algebra auseinanderzusetzen.

Mathematische Tiefe und herrlich weite Felddichte werden mit der Einfachheit der Grundvoraussetzungen kombiniert - um Felder zu verstehen, können eine ganze Reihe wichtiger Theoreme formuliert und ans Licht gebracht werden, die oft im Universum der Vielfachheitstheorie auftauchen. Daher ist die Feldtheorie eher geeignet, Schülern einen Einblick in die moderne Mathematik zu vermitteln.

Darüber hinaus ist die Entwicklung von Elementen in der Theorie des Feldes Schulkindern vertraut, die zu ihrem intellektuellen Wachstum anregen, das sich in der Entwicklung dieser bereicherten verschiedenen Seiten ihres Geistes, ihrer Eigenschaften und Eigenschaften sowie in der Entwicklung von Wissenschaftlern manifestiert , Naturwissenschaften und Mathematik.

1. Eine einfache Erweiterung der Feldalgebra.

1.1.Erweitern Sie einfach das Feld.

Sei P[x] ein Ring von Polynomen wie x über dem Körper P, wobei P Teilkörper des Körpers F sind. Nehmen wir an, dass das Element a des Körpers F algebraisch über dem Körper P genannt wird, weil a die Wurzel von ist ein solches Polynom mit positivem Schritt P[x].

Geplanter Termin. Lassen Sie P< F и a0F. Простым расширением поля P с помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение P с помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Sei a0F, P [x] - Ring von Polynomen in x i

P[x]=(f(a)*f0P[x]),

also ist P [a] unpersönlich von allen in der Form a 0 + a 1 a + ... + a n a n de a 0 , a 1, ... a n 0P i n - sei eine natürliche Zahl.

Es ist leicht zu sehen, dass die Algebra +P[a], +, -, ., 1, der Unterkörper des Körpers P(a) - der Unterkörper ist; der gesamte Ring wird mit dem Symbol P[a] bezeichnet.

Satz 1.1. Sei P [x] - ein Ring von Polynomen in x über P und P (a) - eine einfache Erweiterung des Feldes P. Sei y - erweitere P [x] auf P [a], so dass y (f) = f ( a) für be -th f іz P[x]. Todi:

(a) für jedes a z P y (a) = a;

(c) y ist ein Homomorphismus des Rings P[x] auf dem Ring P[a];

(d) Kery = (f0P[x] * f(a) = 0);

(e) Faktorkreis P[x]/Ker y isomorph zum Ring P[a].

Bringen. Die Behauptung (a) und (b) quieken ohne Vermittlung von der Ernennung von y. Die Einführung von y spart die Hauptoperationen des Rings P[x], also für jedes f Æ g × P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Die Festigkeit (d) strahlt spurlos aus dem y hervor.

Wenn der Ring y ein Homomorphismus des Rings P[x] auf P[a] ist, dann ist der Faktor Ring P[x]/Ker y isomorph zum Ring P[a].

Zuletzt 1.2. Sei a ein transzendentes Element über dem Körper P. Wenn der Polynomring P[x] isomorph zum Ring P[a] ist.

Bringen. Rückblickend auf die Transzendenz von a über P Kery=(0). Dazu P[x]/(0) - P[a]. Außerdem ist der Ringfaktor P[x] hinter dem Nullideal isomorph zu P[x]. Auch P[x] - P[a].

1.2.Minimales Polynom eines algebraischen Elements.

Sei P [x] ein Ring von Polynomen über dem Körper P.

Geplanter Termin. Sei a ein algebraisches Element über dem Körper P. Das Minimalpolynom eines Elements a über P ist das Bewertungspolynom von P [x] kleinsten Grades, dessen Wurzel є a ist. Die Stufe des Minimalpolynoms heißt Stufe des Elements a über P.

Man kann sich leicht ausrechnen, dass es für jedes Element a, das algebraisch über P ist, ein Minimalpolynom gibt.

Vorschlag 1.3. Wenn a ein Element einer Algebra über einem Körper P ist und g und j das te Minimalpolynom über P sind, dann ist g = j.

Bringen. Die Schritte der Minimalpolynome g und j entfallen. Wenn g ¹ j, dann ist das Element a (Schritt n über P) die Wurzel des Polynoms g - j, dessen Schritt kleiner ist als der Schritt des Polynoms j (kleiner als n), was unmöglich ist. Später ist g = j.

Satz 1.4. Sei a ein Algebraelement vom Grad n über dem Körper P (aóP) und g das te Minimalpolynom über P. Dann gilt:

(a) das Polynom g wird nicht in den Kreis P [x] induziert;

(b) also f (a) = 0, wobei f 0 P[x], g dividiert f;

(c) der Faktorkreis P[x]/(g) isomorph zum Kreis P[a];

(d) P[x]/(g) ist ein Körper;

(e) der Ring P [a] wird dem Feld P (a) zugeordnet.

Bringen. Nehmen wir an, dass das Polynom g im Kreis P [x] induziert wird, dann können in P [x] solche Polynome j und h aufgestellt werden

g = jh, 1£Grad j, Grad h

Dann ist g(a) = j(a)h(a) = 0. Da P(a) ein Feld ist, dann ist j(a) = Pro oder h(a) = 0, was unmöglich ist, Scherben, hinter dem Verstand , Schritte Element a über P ist mehr p.

Angenommen, f 0 P[x] und f(a) = 0. Für den Verstand gilt g(a) = 0. Dann können f und g nicht gegenseitig vergeben werden. Wenn das Polynom g irreduzibel ist, dann teilt g f.

Sei j ein Homomorphismus des Rings P[x] auf dem Ring P[a] (y(f)=f(a) für jedes f ⊂ P[x]), im Hinblick auf Satz 2.1. 3(b) ist der Kern des Homomorphismus y aus Vielfachen des Polynoms g zusammengesetzt, also. Kery = (g). Auch der Ringfaktor P = P[x]/(g) ist isomorph zum Ring P[a].

Oskilki P[a]ÌP(a), dann ist P[a] der Integritätsbereich. Wegen P @ P [a] ist der Quotient P auch der Integritätsbereich. Wir müssen zeigen, dass jedes Nicht-Null-Element f aus P auf P reduziert werden kann. Sei f ein Element der Summenklasse f. Oskölki f ¹ 0, dann f(a)¹0; Daher kann das Polynom g nicht durch das Polynom f geteilt werden. Das Oskіlki-Polynom g ist irreduzibel, die Sterne sind klar, aber die Polynome f und g sind gegenseitig einfach. Außerdem begründen Р[x] solche Polynome u und v, dass uf + vg=1. Der Wert uf = 1 zeigt, dass das Element f im P-Ring tierisch ist.

‡ (ñ) Ì (d) P [a] Ô Feld und Volumen P(a)ÌP[a]. Auf der anderen Seite natürlich P[a]ÌP(a). Außerdem gilt P[a] = P(a). Außerdem wird der Ring P[a] mit dem Feld P(a) abgeglichen.

1.3. Budovs einfache Erweiterung der Feldalgebra.

Satz 1.5. Sei a ein algebraisches Element der positiven Klasse n über dem Körper P. Jedes Element des Feldes P(a) kann eindeutig durch eine Linearkombination von n Elementen 1, a, ..., a n-1 mit Koeffizienten Р dargestellt werden.

Bringen. Sei das b-yakie-Element des Feldes P (a). Nach Satz 1.4 ist P(a) = P[a]; außerdem ist in P[x] das Polynom f so, dass

Sei g das Minimalpolynom für a über P; Aufgrund des Satzes ist der erste Schritt fortgeschrittener.

(2) f = gh + r, de r = 0 oder der r< der g = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 + c 1 a + ... c n -1 ein n-1

Es wird gezeigt, dass das Element in einer Linearkombination der Elemente 1, a, ..., a n-1 eindeutig darstellbar ist. Komm schon

(4) b = d 0 + d 1 a + ... d n -1 ein n-1 (d i 0 P)

Be-yaké eine solche Manifestation. Schauen wir uns das Polynom j an

j \u003d (s 0 - d 0) + (c 1 - d ich .)x + . . . + (‡n-1 -dn-1)xn-1

Vipadok, wenn Stufe j kleiner als n ist, kommt es unmöglich zu Verbrühungen aufgrund von (3) і (4) j(a) = 0 і Stufe j ist die kleinste Art von Stufe g. Es ist weniger möglich zu ändern, wenn j \u003d 0, dann s 0 \u003d d 0. . . , Zn-1 = dp-1. Element b kann auch eindeutig als Linearkombination der Elemente 1, a,…,a n-1 dargestellt werden.

1.4 Variation in Form von algebraischer Irrationalität im Banner eines Bruchs.

Eine Aufgabe über zvіlnennya in Form der Irrationalität der Algebra im Banner eines Bruchs im Schritt. Sei a ein Algebraelement vom Grad n>1 über dem Körper P; f і h - Polynome aus dem Kreis der Polynome P[x] und h(a) ¹0. Bei einer Linearkombination von Stufen des Elements a muss das Element f(a)/h(a)0P(a) geliefert werden, dann bei j(a),

Tse vdannya virishuєtsya so. Sei g das Minimalpolynom für a über P. Oskilki, nach Theorem 1.4 wird das Polynom nicht über P і h(a) ¹ 0 induziert, dann teilt g h і nicht, außerdem sind die Polynome h і g gegenseitig einfach. Daher hat P[x] solche Polynome u und v dass

Oskilki g(a) = 0, dh (1)

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Auch f(a)/h(a) = f(a)u(a), außerdem f,u 0P[x] und f(a)u(a)0P[a]. Otzhe, wir zvіlnilis vіd irrationalnosti f(a)/h(a) .

Klingt nach Irrationalität beim Bannerman

Reiche Terme p(x) und g(x)=-x 2 +x+1 sind gegenseitig einfach. Daher gibt es so reichhaltige Terme j und y, dass

Für vіdshukannya j і y zastosuemo Euklidischer Algorithmus zu Polynomen p і g:

X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1

x3-x2-x-x-1-x2+1/2x-1/2x+1/4

x2-x-1 1/2x-1/4

derart,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Zvіdki wissen

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x 2 +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x2+1/5x+3/5)=1.

derart,

y(x)= (2/5x 2 +1/5x+3/5).

Otzhe

.

2. Faltbare Erweiterung der Feldalgebra.

2.1. Kіntseve Erweiterung des Feldes.

Seien P die Unterkörper des Körpers F. Dann können wir F als Vektorraum über P betrachten, also können wir den Vektorraum +F, +, (w l ½l 0P) betrachten,

de w l - die Operation zum Multiplizieren der Elemente von F mit dem Skalar l0P.

Geplanter Termin. Die Entwicklung des Körpers F heißt Terminal, wie F, als Vektorraum über P ist es möglich, die Entwicklung zu beenden. Tsya rozmirnіst bedeutete durch.

Vorschlag 2.1. Wenn a ein algebraisches Element vom Grad n über P ist, dann = n.

Diese Aussage brennt unverhohlen durch Satz 1.5.

Geplanter Termin. Eine Erweiterung F eines Körpers P heißt algebraisch, da ein Hautelement von F algebraisch über P ist.

Satz 2.2. Ob eine endliche Erweiterung des Körpers F algebraisch über P ist.

Bringen. Sei F n-glatt über P. Der Satz ist offensichtlich wahr, da n = 0. Angenommen, n > 0. Wenn n+1 Elemente von F linear brach liegen über P. Sokrema, einem linear brachliegenden System von Elementen 1, a, ..., a n , dann sind P solche Elemente von 0 , 1, ..., c n nicht alle gleich Null , s 0 ×1+ 1 a +…+c n ein n = 0.

Auch das Element a ist algebraisch über P.

Es ist bezeichnend, dass es Erweiterungen der Feldalgebra gibt, die keine Terminalerweiterungen sind.

2.2. Lagererweiterung des Fachgebiets Algebra.

Die Erweiterung F des Feldes P heißt kollabierbar, so wie sie ist

wachsendes Lanzettenunterfeld L i des Feldes F, so dass

P = L 0 - L 1 - ... L k = F і k>1.

Satz 2.3. Lassen Sie F - Enderweiterung des Feldes L і L - Enderweiterung des Feldes P. Dann F - Enderweiterung des Feldes P i

=@[L:P].

Bringen. Komm schon

(1) a 1 ,…,am - Basis des Feldes L über P (wie ein Vektorraum) und

(2) b 1 ..., b n - Basis des Feldes F über L . Jedes Element d aus F kann durch die Basis linear ausgedrückt werden:

(3) d = l 1 b 1 +...+l n b n (l k 0L).

Der Koeffizient 1 k kann durch die Basis (1) linear ausgedrückt werden:

(4) l k = p 1k a + ... + p mk ein m ​​(p ik 0P).

Das Ersetzen der Punktzahl für die Koeffizienten l k (3) ist akzeptabel

d = p ein ein b k .

Auf diese Weise kann das Skin-Element des Feldes F als Linearkombination von Elementen des Multiplikators B, de dargestellt werden

B = (a i b k ½ (1, ..., m), k 0 (l, ..., n)).

Wesentlich ist, dass der Multiplikator B zu nm Elementen aufsummiert.

Wir zeigen, dass F eine Basis über P ist. Wir müssen zeigen, dass das Elementsystem des Multiplikators B linear unabhängig ist. Komm schon

(5) åc ik a i b k = 0,

de c ik 0 P. Da das System (2) linear unabhängig über L ist, folgt (5) der Gleichheit

(6) s 1 k ein 1 +...+s mk ein m ​​= 0 (k = 1,..., n).

Da die Elemente a 1 , ..., am über P linear unabhängig sind, folgt (6) auf Gleichheit

c 1 k = 0, ..., c mk = 0 (k = 1, ..., n),

um zu zeigen, dass die Koeffizienten in (5) gleich Null sind. Das Elementsystem B ist also linear unabhängig und bildet die Basis von F über P.

Otzhe, eingefügt, scho = nm = ×. Auch F є letzte Erweiterungen des Feldes P і maє Misce-Formel (I).

Geplanter Termin. Die Erweiterung F des Körpers P heißt faltbare algebraische, da sie die wachsende Lanze der Teilkörper des Körpers P ist

P \u003d L 0 - L 1 - ... L k \u003d F і k> 1 (1)

so dass für i = 1,..., k Felder L i є erweitern wir einfach die Algebra des Feldes L i-1 . Die Zahl k heißt Dozhina-Lanze (1).

Zuletzt 2.4. Warehouse-Erweiterungen der Algebra F des Körpers P sind terminale Erweiterungen des Körpers P.

Der Beweis lässt sich leicht durch Induktion hinter der Lanze (1) zur Begründung von Satz 2.3 führen.

Satz 2.5. Seien a 1 ,..., ak algebraisch über dem Körper P von Elementen des Körpers F . Derselbe Körper P(a 1 ,..., ak) ist die letzte Erweiterung des Körpers P.

L 0 = P, L 1 = P, L 2 = P, ..., L k = P.

Dann ist L 1 = P eine einfache Erweiterung der Algebra des Körpers L 0 ; L 2 ist eine einfache Erweiterung der Algebra des Körpers L 1, da

L 2 = P = (P) = L 1 = L 1 (a 2) usw.

derart,

P = L 0 - L 1 - ... - L k = F

de L i = L i -1 (a i) für i = 1, ..., k, dann ist der Hautterm des Lanziuk (2) eine einfache Erweiterung der Algebra des Vorwärtsterms des Lanziuk. Später ist der Körper F eine faltbare Erweiterung der Algebra des Körpers P. Wiederum ist nach Korollar 2.4 der Körper F eine terminale Erweiterung des Körpers P .

Zuletzt 2.6. Warehouse Erweiterung der Feldalgebra є Erweiterung des algebraischen Feldes.

2.3. Einfachheit der Warehouse-Erweiterung der Feldalgebra.

Satz 2.7. Der Zahlenkörper F sei eine faltbare Erweiterung der Feldalgebra P . Dann F є werden wir die Erweiterungen der Algebra des Feldes P vereinfachen.

Bringen. Sei P - L - F, außerdem L = P (a), F = L (b) i, auch F = P (a, b).

Seien f und g Minimalpolynome über P, was für die Zahlen a und b gilt und deg f = m, deg g = n. Die Polynome f і g können P і nicht überlagert werden, daher kann es nicht im Feld E von komplexen Zahlen mit mehreren Wurzeln liegen. Komm schon

a = a 1 ,..., a m - Wurzeln des Polynoms f C i

b = b 1 ,..., b n - Wurzel des Polynoms g C.

Schauen wir uns den kіtsev bezlіch M an:

M = ((a i-a)/(b-b k)½i0(1,…,m), k0(2,…,n)).

Oskіlki P ist ein numerischer Multiplikator (i, daher nicht beschränkt), dann ist P die Zahl c, vidminne in den Elementen des Multiplikators M, c0P (M, cóM. Nehai

Todi vykonuyutsya spіvvіdnoshennia

(2) g 1 a i + cb k = (i0 (1, ..., m), k0 (2, ..., n)).

Richtig, in Zeiten der Gleichheit a + cb = a i + cb k bulo b

h \u003d (a i -a) / (b-b k) 0 M

scho superchilo nutzte die Wahl der Zahl c.

Sei F 1 = P(g) und F 1 - ein Ring von Polynomen in x. Sei h = f(g - cx) ein Polynom aus F 1 [x] (g, c0P(g) = F 1). Es kann gezeigt werden, dass x-b der größte Konsonant der Polynome h und g im Ring F 1 [x] ist. Skaliert g(b) = 0, dann teilt x-b g E[x]. Daly, wegen (1)

h(b) = f(g-cb) = f(a) = 0.

Zu diesem x-b dividiere das Polynom h E[x]. In dieser Reihenfolge ist x-b ein Schläfer h und g im Ring E[x].

Es wird berichtet, dass es keine Wurzeln gibt, vіdmіnkh vіd b. Sagen wir einfach, dass b k , k0(2 ,..., n) seine wilde Wurzel ist. Dann ist h(b k) = f(g - сb k) = 0. Dann gibt es einen solchen Index i0(1 ,..., m) ). Daher ist es möglich, dass x-b der größte Schläfer von g und h in E[x] ist. Oskіlki x - b - Normalisierungspolynom, dann ist der Stern klar, scho x - b є der größte heiße Dilnik g und h y kіltsi F 1 [x]. Tom

(x-b) 0 F 1 [x] und b 0 F 1 = P(g).

Außerdem gilt a = g - cb 0 F 1 . derart,

F = P(a, b) Ì F 1 , F 1 ÌF.

2.4. Aufstellen algebraische zahlen.

Die Klasse der Unterfelder des Feldes der komplexen Zahlen ist eines der wichtigsten - das Feld der algebraischen Zahlen.

Geplanter Termin. Eine algebraische Zahl wird als komplexe Zahl bezeichnet, die die Wurzel eines Polynoms positiven Grades mit rationalen Koeffizienten ist.

Es ist bezeichnend, dass die Zahl einer Algebra, ob komplexe Zahl, über dem Körper Q algebraisch ist. Sokrema, ob rationale Zahl, ist algebraisch.

Satz 2.8. Das unpersönliche A aller algebraischen Zahlen ist im Ring E = +C, +, -, 1 der komplexen Zahlen geschlossen. Die Algebra A = +À, +, -, , 1 ist ein Körper, ein Unterkörper des Körpers E.

Bringen. Seien a und b Elemente von A. Für letztes 2.6 ist der Körper Q(a, b) algebraisch über Q. Daher sind die Zahlen a + b, -a, ab, 1 algebraisch, sodass die Vielfachen von A liegen ., ist das unpersönliche A gemäß den Kopfoperationen des Zyklus E abgeschlossen. Daher ist die Algebra A ein Unterzyklus des Zyklus E - ist ein Zyklus.

Da a ein von Null verschiedenes Element in A ist, liegen a -1 0 Q (a, b) und a -1 in A. Auch hier ist die Algebra A ein Körper, Unterkörper des Körpers E.

Geplanter Termin. Der Körper A = +A, +, -, , 1 heißt Körper der algebraischen Zahlen.

Zeigen Sie, dass die Zahl a = algebraisch ist.

Lösung. Z a \u003d schreit a-.

Zvedomly beleidigende Teile der verbleibenden Äquivalenz im dritten Schritt:

a 3 -3a 2 9a-3=2

a 3 +9a-2 = 3 (a 2 +1).

Jetzt werden die beleidigenden Teile der Eifersucht auf eine andere Ebene gebracht:

a 6 +18a 4 +81a 2 -4a 3 -36a+4=27a 4 +54a 2 +27

a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23 = 0.

In diesem Rang a є die Wurzel eines reichen Begriffs

f(x)= a 6 -9a 4 -4a 3 +27a 2 -36a-23=0

aus rationalen Koeffizienten. Ce bedeutet, dass a eine algebraische Zahl ist.

2.5. Algebraischer Abschluss des Zahlenkörpers der Algebra.

Satz 2.9. Der Zahlenkörper einer Algebra ist algebraisch abgeschlossen.

Bringen. Sei A [x] ein Ring von Polynomen in x über dem Körper A von algebraischen Zahlen. Komm schon

f = ein 0 + ein 1 x+... + ein n x n (ein 0 ..., ein n 0 A)

Sei ein Polynom mit positivem Schritt A[x]. Wir müssen beweisen, dass f in A wurzeln kann. Wenn f0C[x] und der Körper E algebraisch abgeschlossen ist, dann kann f in E wurzeln, sodass es eine so komplexe Zahl s hat, dass f (c) = 0 ist. Sei L = Q (a 0 , ... und n) und L(c) ist eine einfache Erweiterung der Algebra des Körpers L über die Hilfe von c hinaus. Dann ist Q - L - L (c) eine terminale Erweiterung der Algebra des Körpers L. Nach Satz 2.2 ist L eine terminale Erweiterung des Körpers Q. Aufgrund von Satz 2.3 ist L (c) eine terminale Erweiterung von der Körper Q. der Körper L (c) ist eine Erweiterung der Algebra des Körpers Q i, also c0A. Wenn also irgendein Polynom in A[x] mit positivem Schritt A eine Wurzel haben kann, dann ist der Körper A algebraisch abgeschlossen.

3. Trennbare und untrennbare Erweiterungen.

Komm schon D - Feld.

Wie kann ein nicht zerlegbares D[x]-Polynom eine Mutter mehrerer Nullstellen sein?

Damit f(x) mehrfache Wurzeln sind, sind die reichen Terme f(x) und fN(x) auf den gemeinsamen doppelt konstanten Multiplikator der Mutter zurückzuführen, der bereits in D[x] berechnet werden kann. Auch wenn das Polynom f(x) unzerlegbar ist, so kann es doch mit keinem reichen Term niedrigeren Grades f(x) die Mutter unverständlicher globaler Multiplikatoren sein, auch kann es zu Gleichheit f "(x) = 0 kommen.

f(x) =3a n x n fN(x) =3na n x n -1

Also fN(x) = O, der Hautkoeffizient ist null schuldig:

n = 0 (n = l, 2, ..., n).

Wichtig ist die charakteristische Null des Sterns, dass a n \u003d 0 alle n ¹ 0. Außerdem kann ein inkonsistentes Polynom die Mutter mehrerer Wurzeln sein. Zum Zeitpunkt der Eigenschaften p_evenness na n \u003d 0 kann n ¹ 0 sein, es kann aber auch gleich sein

f(x) = a 0 + a p x p + a 2p x 2p +…

Zurück: Wenn f(x) so aussehen kann, dann ist fN(x)=0.

Mit diesem Vipadka können wir schreiben:

Tim selbst brachte die Behauptung mit: Bei der Eigenschaft Null ist der reiche Term f (x) nicht teilbar in D [x], es kann nur eine einfache Wurzel sein, bei der Eigenschaft p das Polynom f ( x) (was auch mit der Konstante identisch ist) kann ein Vielfaches der Wurzel sein, wenn es möglich ist, es als Polynom j vіd x p darzustellen.

Manchmal ist es möglich, dass j(x) auf seine Art ein Polynom x p ist. Dann ist f(x) ein Polynom wie x p 2 . Sei f(x) - reicher Begriff wie xpe

ale є Polynom vіd x pe +1 . Verständlicherweise ist das Polynom y(y) unzerlegbar. Dali, y¢(y) ¹ 0, weil sonst y(y) wie c(y p) i aussehen würde, dann würde f(x) wie c(x pe + 1) aussehen, was die Weglassung ersetzen würde. Otzhe, y (y) kann nur eine einfache Wurzel sein.

Lassen Sie uns das Polynom y erweitern, um das Hauptfeld auf lineare Faktoren zu erweitern: m

y(y) = J(y-bi).

f(x) = J(x pe -bi)

Sei a i die Wurzel des Polynoms x pe - bi. Dann x ich pe \u003d b ich,

x pe - bi = x pe - a i pe = (x-a i) pe .

Auch a i є r e -mehrfache Wurzel des Polynoms x pe - b i

f(x) = J(x - a i) p e.

Der Schnurrbart der Wurzel des Polynoms f(x) kann auf diese Weise die gleiche Multiplizität von p e haben.

Der Schritt m des Polynoms y heißt Reduktionsschritt des Polynoms f(x) (oder die Wurzel a i); die Zahl e heißt Exponent des Polynoms f (x) (oder der Wurzel a i) über dem Körper D.

de m teurere Anzahl verschiedener Nullstellen des Polynoms f(x).

Ist q die Wurzel eines nicht zerlegbaren Polynoms im Kreis D[x], was einfacher als Wurzeln sein kann, so heißt q separierbares Element über D oder Element erster Art über D 1). Damit wird ein untrennbarer, reicher Begriff, dessen Wurzeln alle trennbar sind, als trennbar bezeichnet. Andernfalls heißen das algebraische Element q und der unzerlegbare reiche Term f(x) untrennbar oder ein Element (wie ein reicher Term) anderer Art. Nun heißt eine Erweiterung der Algebra S, deren Elemente alle über D trennbar sind, separabel über D, und jede andere Erweiterung der Algebra heißt untrennbar.

In Zeiten der Merkmalsnull sagt man, dass die Haut kein unzerlegbarer Reichsbegriff (und damit die Hauterweiterung der Algebra) trennbar ist. Wir möchten wissen, dass die meisten der wichtigsten und wichtigsten Erweiterungen von Feldern trennbar sind und dass wir die Qualität der Klasse von Feldern kennen, sodass untrennbare Erweiterungen (das sogenannte „fertige Feld“) nicht möglich sind. Z tsієї causa all pov'yazane speziell mit untrennbaren Erweiterungen, die in einer anderen Schriftart eingegeben wurden.

Betrachten wir nun die Erweiterung der Algebra S = D (q). Wenn die Schritte n gleich f(x) = 0 sind, was einen größeren, fortgeschritteneren Schritt (S: D) bedeutet, ist die Reduktion der Schritte m gleich der Anzahl der Isomorphismen des Körpers S im fortschreitenden Sinn: we kann nur diese Isomorphismen betrachten [E-Mail geschützt]", denn alle Elemente des Teilkörpers D werden mit gewaltfreiem i gefüllt, dann wird S auf den äquivalenten Körper S" übertragen (Isomorphie des Körpers S über dem Körper D) und für alle Feldbilder S "zusammenliegen mit dem Feld S in der Mitte des Feldes W. tsikh umovah maє Mistse Theorem:

Bei geeigneter Wahl des Körpers W kann die Erweiterung S=D(q) genau m Isomorphismen über D haben, und bei beliebiger Wahl des Körpers W kann der Körper S nicht mehr als m solcher Isomorphismen haben.

Bringen. Der Skin-Isomorphismus über D ist dafür verantwortlich, das Element q in seine Assoziationen mit dem Element q" von W zu übersetzen. Wählen Sie W so, dass f(x) über W in lineare Multiplikatoren erweitert wird; dann scheint es, dass das Element q genau m Vorkommen haben kann Elemente q,q Wenn dem so ist, dass als bi der Körper W nicht gewählt wurde, ist das Element q nicht mehr als m Fälle matima. Es ist nun respektabel, dass der Skin-Isomorphismus D(q)@D(q") über D vollständig von der gegebenen Identität von q® q" abhängt. Wenn q zu q übergeht und alle Elemente von D an Ort und Stelle bleiben, dann ist das Element

3a k q k (Yak 0D)

schuldig gehen

und cym steht für Isomorphismus.

Sokrema, da q ein trennbares Element ist, ist m = n і, daher wird die Anzahl der Isomorphismen über das Hauptfeld gleichmäßiger ausgedehnt.

Wenn ja, wenn das Feld fest ist, das alle betrachteten Felder abdecken kann, in denen alle Wurzeln der Hautentzerrung f (x) = 0 liegen können (wie z. B. im Feld der komplexen Zahlen) , dann kannst du in der Eigenschaft von W ein für allemal den Körper i nehmen Dazu füge bei allen Aussagen über Isomorphie den Zusatz „in der Mitte des düsteren W“ hinzu. Beginnen Sie also damit, theoretisch numerische Felder zu reparieren. Wir möchten Sie daran erinnern, dass Sie für abstrakte Felder auch das W-Feld verwenden können.

Der zitierte Satz ist die folgende Aussage:

So erweitern Sie S zum Verlassen von D zu nachfolgenden Ankünften m

algebraische Elemente a 1 , ..., am , außerdem Haut hinter a i , є Wurzel

nicht erweiterbar über D(a 1 , ..., a i-1) ist dann gleich der reduzierten Stufe n" i

Die Erweiterung von S kann auf die gleiche Weise genau ?n i ¢ Isomorphismen über D i sein

keine Erweiterungen größere Zahl solche Isomorphismen des Körpers S.

Bringen. Für m = 1 wurde der Satz weiterentwickelt. Angenommen її gilt für die Erweiterung S 1 = D(a 1 , ..., a m-1):

W 1 є genau n i ¢ Isomorphismen des Feldes S über D.

Sei S 1 ®S 1 einer der Õ n i ¢ Isomorphismen. Es wird argumentiert, dass in umgekehrter Reihenfolge des umgekehrten Feldes W Wein zum Isomorphismus S = S 1 (am) @ S = S (am) nicht mehr als n_zh n m Wege fortgesetzt werden kann.

Das Element am erfüllt die Gleichung f 1 (x) = 0 über S 1 mit n¢ m verschiedenen Wurzeln. Nach dem zusätzlichen Isomorphismus S 1 ® S 1 kann der fette Term f 1 (x) in einen anderen fetten Term f 1 (x) übersetzt werden. Ale todі f 1 (x) in einer breit erweiterten Weise, aber n m verschiedene Wurzeln und nicht mehr. Lassen Sie ein m - eine dieser Wurzeln. Betrachtet man die Wahl des Elements a m, so ist der Isomorphismus S 1 @S 1 drei zum Isomorphismus S (a m) @ S (am) für a m ® a m auf eine und nur eine Weise: die Fortsetzung ist faktisch durch die Formel gegeben

åc k a m ​​​​k ® å c k a m ​​​​k

Proben der Wahl des Elements a m können auf n "m Arten definiert werden, wobei n" m Fortsetzungen einer solchen Art für den umgekehrten Isomorphismus å 1 ®å 1 verwendet werden

Oskіlki hat eine eigene Linie, und dieser Isomorphismus kann konvertiert werden

Х n" ich Wege,

dann ist alles wahr (jener Körper W, in dem alle Wurzeln aller Gleichen liegen, die betrachtet werden)

Õ n" ich × n" m = Õ n" ich

Isomorphismen der Erweiterung von S über das Feld D, was notwendig war, um zu bringen.

Wenn n i eine reelle (ungekürzte) Stufe des Elements a i über D (a 1 ,...,a i-1) ist, dann sind n i weitere Stufen der Erweiterung D (a 1 , ... , a i) des Körpers D(a 1 , ..., a i-1);

otzhe, Schritte (S: D) mehr

Wie man die Zahl mit der Anzahl der Isomorphismen abgleicht

Die Anzahl der Isomorphismen der Erweiterung S = D(a 1 , ... , a m) über D (für jede gegebene Erweiterung W) ist ein zusätzlicher Schritt (S: D), selbst wenn nur dann, wenn das Hautelement a i über die trennbar ist Feld D(a 1 , . .. , a i-1). Wenn Sie möchten, dass ein Element a i über einem separaten Körper untrennbar ist, dann ist die Anzahl der Isomorphismen kleiner als der Grad der Erweiterung.

Aus der Sicht des Theorems ergeben sich sofort einige wichtige Bemerkungen. Für uns besagt der Satz, dass die Potenz des Skin-Elements a i über das Frontfeld trennbar ist und die Potenz der Erweiterung S selbst unabhängig von der Wahl der Elemente ist, die a i erzeugen. Da ein zusätzliches Element des Feldes als erste Generation angenommen werden kann, scheint Element b trennbar zu sein, wie alle a i es sind. Vater:

Die Elemente a i , ... , a n i werden sequentiell zum Feld D hinzugefügt, das Hautelement a i erscheint trennbar über dem Feld, wir entfernen die angrenzenden Frontelemente a 1, a 2 , ..., a i-1 Erweiterung

S = D(a 1 , ... , ein n)

trennbar über D.

Zokrema, Suma, Retail, Tvir, dass privat getrennte Elemente trennbar sind.

Da ferner b über S trennbar ist und der Körper S über D trennbar ist, ist das Element b über D trennbar. Dies wird durch die Tatsache erklärt, dass b die endgültige Anzahl von Koeffizienten a 1 , ... , am ç erfüllt S i wiederum ist separabel über D (a 1, ..., am). Tim selbst trennbare Erweiterung

D (a 1, ..., am, b).

Nareshti, kann die gleiche Stelle angegeben werden: die Anzahl der Isomorphismen einer endständigen trennbaren Erweiterung S über einem Körper D zu einem höheren Erweiterungsgrad (S: D).

4. Unbegrenzte Erweiterung der Bewässerung.

Das Hautfeld taucht aus seinem einfachen Unterfeld auf, um dem endgültigen Chi der unerschöpflichen Ausdehnung zu helfen. In dieser Unterteilung sind unzählige Erweiterungen von Feldern zu sehen, zunächst algebraische und dann transzendentale.

4.1. Algebraisch abgeschlossene Felder

Bei der Erweiterung der Algebra eines bestimmten Gebiets spielt insbesondere die maximale Erweiterung der Algebra eine wichtige Rolle, um eine weitere Erweiterung der Algebra nicht zuzulassen. Der Grund für solche Erweiterungen wird in diesem Absatz dargelegt.

Damit der Körper W die maximale Erweiterung der Algebra ist, muss der Verstand vorangetrieben werden: Das Hautpolynom des Kreises W[x] kann in lineare Multiplikatoren zerlegt werden. Tsya Verstand ist ausreichend. Da ein Skin-Polynom in W[x] in lineare Multiplikatoren zerlegt wird, sind tatsächlich alle einfachen Polynome in W[x] linear und Skin-Elemente jeder Erweiterung der Algebra W" des Körpers W scheinen die Wurzel von jedem zu sein linear reichen Term x - a in W[x] , d.h. es funktioniert mit dem eigentlichen Element a des Körpers W.

Zu diesem Damo ist das gleiche Schicksal:

Der Körper W wird als Abschluss der Algebra bezeichnet, da jedes Polynom in W [x] in lineare Faktoren zerlegt werden kann.

Ebenso wichtig ist Folgendes: Der Körper W ist algebraisch abgeschlossen, sodass das Polynom in W[x] ein distinktes Polynom in W[x] mit einer einzigen Wurzel sein kann, d. h. mit einem einzigen linearen Multiplikator in W[x] .

In der Tat, als so ein cleverer Vikonan und ziemlich viele Einnahmen, wird das Polynom f (x) in Faktoren zerlegt, die nicht zerlegt werden, dann ist der ganze Gestank schuld, aber linear.

Der „Grundlegende Satz der Algebra“ besagt, dass der Körper der komplexen Zahlen algebraisch geschlossen ist. Ein sich nähernder Stumpf eines algebraisch abgeschlossenen Körpers kann der Körper aller komplexen algebraischen Zahlen sein, also unpersönliche komplexe Zahlen, die sich wie bei jeder Art von Gleichheit mit rationalen Koeffizienten begnügen. Die komplexe Wurzel ist gleich den Koeffizienten der Algebra є und nicht nur über dem Feld der algebraischen Zahlen, sondern auch über dem Feld wirklich algebraisch Rationale Zahlen, d.h. selbst sind algebraische Zahlen.

Hier zeigen wir, wie man eine geschlossene algebraische Erweiterung eines hinreichend gegebenen Körpers P auf rein algebraische Weise induziert. Steinitz, sich so hinzulegen

Hauptsatz. Für den Hautkörper P eine abgeschlossene algebraische Erweiterung der Algebra W. Genau bis auf Äquivalenz ist die Erweiterung eindeutig definiert: ob es zwei algebraisch abgeschlossene algebraische Erweiterungen W, W" des Körpers P gibt, die äquivalent sind.

Der Beweis dieser Sätze erfolgt aufgrund des Lemüberschusses:

Lemma 1. Sei W, eine Erweiterung der Feldalgebra P. Genügend Verstand damit W ein Abschluss der Algebra ist, є Entwicklung in lineare Faktoren eines beliebigen Polynoms in P[x] im Ring W[x].

Bringen. Sei f(x) ein zusätzliches Polynom aus W[x]. Wenn vin nicht in lineare Multiplikatoren zerlegt wird, dann kann man eine te Wurzel a i nehmen, um zum oberen Superfeld W zu kommen. Das Element a ist algebraisch über W, und W ist eine Erweiterung der Algebra des Körpers P, die Wurzel von nächstes Polynom g(x) in P[x]

Lemma 2. Wenn der Körper P holistisch geordnet ist, dann kann der Ring der Polynome P[x] holistisch geordnet werden und zwar bis zu dem Ausmaß, dass dieser geordnete Körper P dreifach ist.

Bringen. Ändere die Reihenfolge zwischen den Polynomen f(x) in P[x] signifikant wie folgt: sei f(x)

1) Schritt f(x) ist ein kleinerer Typ von Schritt g(x);

2) Schritt f(x) mehr Schritt g(x) und mehr n, dann.

f(x) = ein 0 x n + ...+ ein n , g (x) = b 0 x n + ... + b n

i für den nächsten Index k:

und i = b i für i

ein k

Wenn dem so ist, wird dem Polynom 0 die Schuld gegeben: ihm wird eine Stufe 0 zugeordnet. Es liegt auf der Hand, dass so eine Ordnung herauskommt, für die der Sinn gilt, dass P [x] vollständig geordnet ist. Es wird wie folgt gezeigt: in dem nicht-leeren Skin-Plural von reichen Segmenten gibt es ein nicht-leeres Untervielfaches von reichen Segmenten des kleinsten Grades; lass es so gut sein. beim ernannten Untermultiplikator є haben Sie einen eigenen Linienuntermultiplikator von reichen Begriffen mit dem ersten eine 1 usw. minimnosti, die nacheinander siegreich sind, nach Wahl); dieses Polynom ist das erste Element des gegebenen Multiplikators.

Lemma 3. Wenn der Körper P als Ganzes geordnet ist, ist der reiche Term f(x) der Stufe n і n Symbole a 1 ..., a n dann der Körper P (a 1 ,..., a n), in welches f(x) auf lineare Multiplikatoren erweitert wird

Õ(x-a i), wird ein einzelner Rang und ein Ganzes sein

bestellen. Feld P in sensi tsiy є vіdrіzkom.

Bringen. Wir addieren nacheinander die Wurzel a 1 ..., a n , danach gewinnt P = P 0 nacheinander die Felder Ð 1 , ..., Ð n . Nehmen wir an, dass R i-1 = P(a 1 ..., a i-1) – das Feld wurde bereits induziert und dass P ein Vertrag mit R i-1 ist; dann wird R i so sein.

Vor Aufgabe 2 ist der Ring der Polynome Р i-1 [x] als Ganzes geordnet. Das Polynom f wird bei jedem kіltsi in untrennbare Faktoren zerlegt, deren Mitte die erste Stelle ist x - a 1 ,..., x - a i-1 ; unter den anderen Pluralformen sei f i (x) der erste im Sinne der klaren Ordnung. Zusammen mit dem Symbol a i, das die Wurzel des reichen Terms f i (x) bezeichnet, bezeichnen wir den Körper P i = P i -1 als Gesamtheit der Summen

de h ist die Stufe des reichen Terms f i (x). Wenn f i (x) linear ist, dann respektieren wir natürlich P i = P i – 1; das Zeichen a i wird nicht benötigt. Ermutigen Sie das Feld als Ganzes, für zusätzliche offensive Intelligenz bestellt zu werden: das Skin-Element des Feldes

vielleicht ein reiches Mitglied

Und die Elemente des Feldes sind auf die gleiche Weise geordnet wie die Reihenfolge ihrer reichhaltigen Terme.

Offensichtlich ist dasselbe Р i-1 in Bezug auf Р i und damit і P - in Bezug auf Р i.

Tim die Felder P 1 , ..., P n selbst sind durch eine ganze Ordnung motiviert. Das Feld Ð n ist eindeutig durch das erste Feld P(a 1 ,..., a n) durchsuchbar.

Lemma4

Bringen. Kombinieren Sie für zwei beliebige Elemente a, b zwei Felder S a , S b , um a, b und von einem beliebigen vor dem anderen zu ersetzen. Im heiseren Feld sind die Elemente a + b und a × b den Elementen im Skin-Feld zugeordnet, so dass a und b gerächt werden können, da zwei solche Felder eins vor dem anderen und ein Yogo-Unterfeld sind. Zum Beispiel, um das Gesetz der Assoziativität zu bringen

ab g = ein bg,

wir kennen die mittleren Felder S a , Sb, S g diejenigen, die zwei andere Felder (das größte) überdecken; in welchem ​​Bereich gibt es a, b und g i im neuen Gesetz der Assoziativität vikonano. Ebenso werden die Reshta-Regeln zur Berechnung der Verbandselemente überarbeitet.

Der Beweis des Hauptsatzes gliedert sich in Teile: den Unterkörper W und den Einheitsbeweis.

Pobudov-Felder W. Lemma 1 beweist, dass es für eine scheinbar algebraisch abgeschlossene Erweiterung W des Körpers P genügt, eine solche Erweiterung der Algebra des Körpers P zu induzieren, sodass das Polynom in P[x] über diese Erweiterungen entwickelt werden kann in lineare Multiplikatoren.

1. Das Feld P f є ob'ednannyam Feld P і alle Felder S g für g

2. Der Körper P f wird so geordnet, dass P und alle Körper S g mit g

3. Der Körper S f kommt von R f zu den gegebenen Wurzeln des reichen Terms f nach den zusätzlichen Symbolen a 1 ,..., a n gilt bis lemi 3.

Es ist notwendig festzuhalten, dass auf diese Weise die gesamte Ordnung der Felder Ð f , S f durch das gesamte Ordnungsfeld explizit zugewiesen werden kann, sowie alle vorderen Ð g , S g bereits häufiger zugewiesen werden.

Yakshcho vikonano 3, dann nasamped P f - vіdrіzok S f . Z ogo i vimogi 2 sehen wir, dass das Feld P i Hautfeld S g (g

Р - vіdrіzok S h bei h

S g - Doppel-S h bei g

Klingt wie Pi-Felder S h (h b, Yak kann in Pf gespeichert werden. Dieselbe Reihenfolge ist in allen Feldern ein und dieselbe. Otzhe, Einrichtung zur Ordnung wird ernannt. Diejenigen, die völlig unpersönlich bestellt sind, müssen offensichtlich, da die Haut nicht leer ist, unpersönlich x in P f, mindestens ein Element der Arbeit des Deyakogo-Feldes S g rächen, und das ist das erste Element von x x Ç Arbeit x Ç S g. Dieses Element ist eine Stunde є i das erste Element x.

Betrachtet man sich 3, so wird das Polynom f(x) im Feld S f wieder in lineare Faktoren zerlegt. Weiterhin wird mit Hilfe der transfiniten Induktion gezeigt, dass S f algebraisch über P ist. Tatsächlich wird angenommen, dass alle Körper S g (g

Nun speichern wir den Pool W aller Felder Sf; zgіdno z lemoy 4 gewann є Feld. Der gesamte Körper liegt algebraisch über P und alle reichen Terme f werden darüber entwickelt (kleine Hautpolynome f sind bereits über S f entwickelt). Auch der Körper W ist algebraisch abgeschlossen (Lema 1).

Die Einheit des Körpers W. Seien W und W" zwei Körper, die algebraische und abgeschlossene algebraische Erweiterungen des Körpers P sind. Bringen wir die Äquivalenz dieser Körper hervor. wird auch durch eines dieser Argumente berücksichtigt) Teiler ¢ in W " und etwas Isomorphismus

P(Â) @ P(¢).

Der restliche Mai wird sich mit der bevorstehenden wiederkehrenden Aussaat begnügen.

1. Der Isomorphismus P(Â) @ P(¢) ist auf die Erschöpfung des Skin-Elements des Feldes P auf dem Feld zurückzuführen.

2. Der Isomorphismus P(Â) @ P(¢) mit ÁÌ Â kann eine Erweiterung des Isomorphismus P(Â) @ P(Á") sein.

3. Wenn  das verbleibende Element a ist, so dass  = ÁÈ(a), und wenn a die Wurzel des reichen Terms f(x) ist, der nicht in P (Á) zerlegt werden kann, dann ist das Element a" to Schuld an der ersten Wurzel des Geschlechts P(Á) @ P(I"), einem Polynom f¢(x) in einem wohlgeordneten Körper W".

Es muss gezeigt werden, dass der Isomorphismus P(Â) @ P(¢) effektiv auf die gleiche Weise zugewiesen wird, obwohl die Weine bereits Zuweisungen für alle Vorwärtskanten von ÁÌ Â sind. Hier gilt es, zwei Punkte zu unterscheiden.

Erster Tropfen. Unpersönlich  kann den Rest des Elements nicht haben. Das gleiche Lederelement sollte auf dem singenden vorderen Verschluss Á liegen; dazu  є zu den kombinierten Bewässerungen von Á, dazu P(Â) - zu den kumulativen Feldern P(Á) für ÁÌ Â. Wenn die Hautelemente aus den Isomorphismen P(Á) @P(Á") von den vorherigen ausgehen, dann erhält das Hautelement a mit all diesen Isomorphismen nur ein Element a". Daher gibt es eine und mehr als eine Beugung P(Â) → P(¢), die alle Vorwärtsisomorphismen P(Á) → P(Á") fortsetzt, und die Beugung selbst a®a". Es ist offensichtlich, dass es sich um einen Isomorphismus und eine Kombination aus 1 und 2 handelt.

Ein weiterer Tropfen. Anonym maє verbleibendes Element a; auch, Â = ÁÈ(a). Schließlich ist das dem Element a zugeordnete Element a" eindeutig zugeordnet. Da a" über dem Körper P(I") (im Sinne des analysierten Isomorphismus) "dasselbe" widersprüchlich gleich erfüllt wie i a über P(I), dann geht der Isomorphismus P(I) → P(I") (in dem Fall, wenn I leer ist, dann der gleiche Isomorphismus P®P) auf den Isomorphismus P(I, a) ®P(I", a¢ ), wenn a an a vorbeigeht". Der dermale Isomorphismus wurde durch die Suggestion der Haut eindeutig identifiziert, also geht die rationale Hautfunktion j(a) mit den Koeffizienten der allgemeinen Sprache in die Funktion j "(a") mit den äquivalenten Koeffizienten der Á". ) ® über P(¢) passt offensichtlich zu 1 und 2.

Damit ist die Substitution des Isomorphismus P(Â)→P(¢) abgeschlossen. Signifikant durch W" die Verallgemeinerung aller Felder P(В¢); dann gibt es einen Isomorphismus P(W)®W" oder W®W", der dem Raum der Haut ein Element des Feldes P hinzufügt. Da die Feld W ist algebraisch abgeschlossen, also kann Buti і W ", und dazu wird W" mit dem erforderlichen Feld W¢ abgeglichen.

Die Bedeutung einer algebraisch geschlossenen Erweiterung eines gegebenen Körpers ist insofern dieselbe, als es möglich ist, die möglichen Erweiterungen des algebraischen Körpers bis zum Punkt der Äquivalenz zu überwinden. Etwas präziser:

Wenn W eine algebraisch abgeschlossene Erweiterung der Algebra des Körpers P und S eine ziemlich algebraische Erweiterung des Körpers P ist, dann gibt es in der Mitte von W eine allgemeine Erweiterung von S 0 , die einer Erweiterung von S entspricht.

Bringen. Wir können S zu einer bestimmten abgeschlossenen algebraischen Erweiterung W" erweitern. Sie wird algebraisch und über P sein und daher einer Erweiterung W entsprechen. Unter jedem Isomorphismus, um W" in W zu übersetzen, wobei das unverletzliche Skin-Element von P genommen wird, das Feld S geht in ein Deak über, das dem Yoma-Unterfeld S 0W entspricht.

4.2. Vergib die transzendente Ausdehnung.

Die Haut ist einfach eine transzendentale Erweiterung des Feldes D, anscheinend äquivalent zum Feld des Privaten D(x) des Rings der Polynome D[x]. Zu diesem mi vivchimo tse privaten Bereich

Die Elemente des Körpers W sind rationale Funktionen

Satz. Das transzendente Element h von Schritt n ist transzendent über D і der Körper D(x) ist eine Erweiterung der Algebra des Körpers D(h) von Schritt n.

Bringen. Die Vorlage h = f(x)/g(x) ist nicht von kurzer Dauer. Gleiches Element x erfüllt

g(x)×h - f(x)=0

mit Koeffizienten D(h). Die Anzahl der Koeffizienten kann nicht gleich Null sein. In der Tat, wenn alle Stinke gleich Null und ein k Buchstabe bi in derselben Welt x ein Nicht-Null-Koeffizient des Polynoms g (x) und b k - ein Nicht-Null-Koeffizient des Polynoms f (x) wäre, dann ist es würde der Mutter nicht genügen, um gleichberechtigt zu sein

Sterne h = b k / ak = const, was ein Aberglaube ist. Auch hier ist das Element x algebraisch über D(h).

Ist das Element h zwar algebraisch über D, so ist x zwar bialgebraisch über D, was aber nicht der Fall ist. Auch hier ist das Element h transzendent über D.

Das Element x ist die Wurzel des reichen Terms von Schritt n

im Ring D(h)(z). Dieses Polynom ist in D(h)[z] unzerlegbar, die Scherben sind auch vin bouv bi können in kіlci D zerlegt werden, і, die Scherben von vin sind linear in h, eines der Vielfachen von maw bi ist nicht möglich um h oder weniger z zu hinterlegen. Aber ein solcher Multiplikator kann es nicht sein, weil g(z) und f(z) wechselseitig einfach sind.

Außerdem ist das Element x ein Schritt der Algebra n über dem Körper D(h). Die Sterne sind massiv, also (D(x) : D(h)) = n

Für einen Mittellosen ist es bezeichnend, dass er ein reiches Mitglied ist

es gibt keine Vielfachen, die nur in der Nähe von z liegen können (um in der Nähe von D[z] zu liegen). Diese Verfestigung wird außer Kraft gesetzt, wenn h durch seine Werte f (x) / g (x) ersetzt und mit dem Banner g (x) multipliziert wird, sind wir selbst ein Polynom.

g(z)f(x) - f(z)g(x)

kіltsya D es gibt keine Multiplikatoren, fallen nur in vіd z.

Von den oben angeführten Theoremen gibt es drei Bemerkungen.

1. Der Funktionsschritt h - f(х)/g(х) sollte nur in den Feldern D(h) und D(x) hinterlegt werden und nicht in der Wahl eines anderen Elements, das x erzeugt.

2. Rivnist D(h) = D(x) ist kleiner als gleich, wenn h kleiner als 1 ist, dann ist es eine schusslineare Funktion. Tse bedeutet: Das Elternelement des Feldes, der Crim des Elements x, kann eine gebrochen-lineare Funktion wie x und nur eine solche Funktion sein.

3. Jeder Automorphismus des Feldes D(x), der ein Element des Feldes D auf der Zeichenfläche hinterlässt, macht sich schuldig, das Element x in ein beliebiges Element des Feldes zu übersetzen. Zurück, wenn x in ein übergeordnetes Element x = (ax + b) / (cx + d) und Hautfunktion j (x) - y Funktion j (x) übersetzt wird, dann kommt ein Automorphismus heraus, wenn alle Elemente D übrig bleiben am Ziel. Otzhe,

Alle Automorphismen des Feldes D(x) über dem Feld D sind schusslineare Substitutionen

x = (ax+b)/(cx+d), ad – bc ¹ 0.

Wichtig für einige geometrische Leistungen

Satz von Lurot. Das Skin-Zwischenfeld S, für das DÌSID(x) einfache transzendente Erweiterungen sind: S = D(q).

Bringen. Das Element x ist schuldig, algebraisch über S zu sein, denn wenn h - wenn irgendein Element von S nicht zum Körper D gehört, dann ist, wie gezeigt wurde, das Element x algebraisch über D (h) und noch algebraischer über S .S [z] reicher Term mit Senior-Koeffizient 1 und Wurzel x aussehen kann

f 0 (z) \u003d z n + a 1 z n -1 + ... + ein n. (eines)

Reiches Mitglied von Z'yasuєmo Budov.

Elemente a i є rationale Funktionen x. Um mit einem schlafenden Banner von їх zu multiplizieren, können Sie es mit vielen rationalen Funktionen verwenden und außerdem einen reichen Begriff wie x іz anstelle von 1 verwenden:

f(x, z) = b 0 (x) z n + b 1 (x) z n-1 + ... + b n (x).

Die Schritte des Polynoms sind in Bezug auf m signifikant und in z – in Bezug auf n.

Die Koeffizienten a i \u003d b i / b 0 z (1) können in x nicht unabhängig sein, so dass x sonst als algebraisches Element über D erscheinen würde; Also einer von ihnen, sagen wir,

q = ein ich = b ich (x) / b 0 (x),

ist tatsächlich der Hinterlegung von x schuldig; Lassen Sie uns Yoga in einem kurzen Blick aufschreiben:

Die Schritte der Polynome g(x) und h(x) überschreiten nicht m. Polynom

g(z) - qh(z) = g(z) – (g(x)/h(x))h(z)

(was nicht dieselbe Null ist) wenn Wurzel z = x, dann ist vin durch f 0 (z) im Ring S[z] teilbar. Wenn Sie mit zmist 1 von ihrer Rationalität in Bezug auf x-reiche Terme zu tsilih in x-reichen Termen mit zmist 1 wechseln möchten, sollten Sie Ihre Teilbarkeit speichern, und wir werden sie übernehmen

h(x)g(z)-g(x)h(z) = q(x, z)f(x, z).

Der linke Teil dieses Gleichmuts hat Schritte entlang x, aber er bewegt sich nicht t. Ale auf der rechten Seite ist bereits ein reiches Mitglied von f stupіn t; otzhe, die Schritte des linken Teils sind genau genau alt und q(x, z) liegen nicht in x. Es ist jedoch unmöglich, weniger als einen z-Multiplikator zu hinterlegen, um den linken Teil (div. mehr) zu dividieren; dazu, dass q(x, z) eine Konstante ist:

h(x)g(z)-g(x)h(z) = qf(x, z).

Da das Vorhandensein der Konstanten q keine Rolle spielt, ist das Budov-Polynom f(x, z) vollständig beschrieben. Die Schritte des Polynoms f(x, z) in x sind fortgeschrittener (mit der Symmetrie der Symmetrie), und die Schritte in z sind fortgeschrittener, also m = n. m, später, i Funktion q ist auf die Mutter zurückzuführen von Schritten m x.

Tim selbst, Scherben von einer Seite werden gleich gesetzt

(D(x):D(q)) = m,

und für den Rest - Eifersucht

diese Scherben, um D(q) zu rächen,

Visnowok.

Die Roboter sahen so aus, siehe Erweiterung des Zahlenfeldes P:

Eine einfache Erweiterung der Feldalgebra.

Lagererweiterung des Fachgebiets Algebra.

Trennbare und untrennbare Erweiterungen.

Unbegrenzte Erweiterung der Bewässerung.

Wenn Sie die Arbeit analysieren, können Sie deaky visnovki erstellen.

Z sah sich die ersten beiden Teile der Erweiterung an, wie zum Beispiel:

einfache Erweiterung der Algebra;

Enderweiterung;

Warehouse-Erweiterung der Algebra.

Wenn Sie als nächstes sehen, dass die Erweiterungen zbіgayutsya і, zokrema, durch einfache algebraische Erweiterungen des Feldes P gezeichnet werden.

Referenzenliste

1. L. Ya. Kulikiv. Algebra und Zahlentheorie. - M.: Vishch. Schule, 1979.-528-538s.

2. B.L. Van der Waerden. Algebra.- M., 1976 - 138-151s., 158-167s., 244-253s.

3. E.F. Schmigirjow, S. V. Ignatowitsch. Theorie der reichen Begriffe. -Mosir 2002.

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