Algebraische und transzendente Zahlen. transzendente zahlen transzendente zahlen

dh für a = 1 diente uns der Zweck der Summe der geometrischen Progression. Unter der Annahme, dass der Satz von Gauß bewiesen wurde, wird angenommen, dass a = a 1 gleich Wurzel ist (17),

Betrachten wir die Virase s f(x) und Umgruppierungsterme, berücksichtigen wir die Gleichheit

f(x) = f(x) − f(a1) = (xn − ein n 1 ) + an−1 (xn−1 − ein n 1 −1 ) + . . . + a1 (x - a1).

(21) Wenn wir nun die Formel (20) durchforsten, können wir den Multiplikator x − a 1 vom Skin-Mitglied sehen und dann Yogo für den Bogen verantwortlich machen, außerdem werden die Füße des reichen Mitglieds, das in den Bögen verbleibt, eins weniger. Indem wir neue Mitglieder umgruppieren, nehmen wir ihnen die Gleichheit

f(x) = (x − a1 )g(x),

wobei g(x) ein reicher Term von Schritt n − 1 ist:

g(x) = xn−1 + bn−2 xn−2 + . . . + b1x + b0.

(Die Berechnung der Koeffizienten, die durch b bekannt sind, sollen wir hier nennen.) Es ist notwendig, die gleiche Berechnung von dem Polynom g (x) zu distanzieren. Nach dem Satz von Gauß ist die Quadratwurzel a2 gleich g(x) = 0, so dass

g(x) = (x − a2 )h(x),

wobei h(x) ein neues Polynom des Schrittes n − 2 ist. n − 1 mal wiederholen

Von der Gleichheit (22) sind nicht nur die komplexen Zahlen a1, a2,

An ist die Essenz der Wurzel von gleich (17) und denen, die keine anderen Wurzeln von gleich haben (17). Richtig, die Yakbi-Zahl y war die Wurzel von gleich (17), dann s (22) rutschte bi

f(y) = (y - a1) (y - a2). . . (y - an) = 0.

Alemi Bachili (S. 115), dass die Addition komplexer Zahlen zu Null auf diese und mehr als diese Weise als einer der Multiplikatoren zu Null gilt. Außerdem ist einer der Multiplikatoren y−ar gleich 0, also y = ar, was gesetzt werden muss.

§ 6.

1. Der Zweck ist dieser Ernährungsgrund. Jede Zahl x heißt algebraische Zahl;

130 MATHEMATISCHES ZAHLENSYSTEM Kap. II

de Zahlen ai Zahlen. So ist zum Beispiel die Zahl 2 algebraisch, was sich über Gleichheit freut

x2 − 2 = 0.

Im gleichen Rang der algebraischen Zahl, ob es eine Wurzel gibt, ob sie gleich ist, mit den ganzen Koeffizienten der dritten, vierten, fünften, ob es die Welt ist, und unabhängig davon kann sie zusätzlich ausgedrückt werden oder nicht von den Radikalen. Das Konzept einer algebraischen Zahl ist ein natürliches Verständnis des Konzepts einer rationalen Zahl, in einer Weise, die den Okremy-Fall n = 1 bestätigt.

Nicht jede reelle Zahl ist algebraisch. Tse vipliva z offensive, mit Kantor, Theoreme: die Unpersönlichkeit aller Zahlen der Algebra von rachunkiv. Bo bezlich usikh Tageszahlen nicht unterscheidbar ist, muss obov'yazkovo die tatsächlichen Zahlen verwenden, da sie nicht algebraisch sind.

Lassen Sie uns auf eine der Methoden zur Auflösung unpersönlicher algebraischer Zahlen hinweisen. Haut gleich dem Aussehen (1) gleich der Zielnummer

h = | ein | + | an-1 | +. . . + | a1 | + | a0 | +n,

aus Gründen des Stils nennen wir es „hoch“ gleich. Bis auf den Hautfestwert n ist nur die letzte Zahl gleich der Form (1) mit der Höhe h. Haut von solchen Gleichen kann mehr als n Wurzeln sein. Dafür ist es möglich, nur die letzte Anzahl von Zahlen der Algebra zu verwenden, die durch Gleiche mit der Höhe h erzeugt werden; Vater, alles algebraische zahlen Sie können beim Anblick der Sequenz roztashuvati, über den Kopf von ihnen hinausschießen, da sie dann von der Höhe 1 gleich geboren werden - Höhe 2 und so weiter.

Dieser Beweis der Identität unpersönlicher algebraischer Zahlen bildet die Grundlage für reelle Zahlen, da sie nicht algebraisch sind. Solche Zahlen werden transzendental genannt (vom lateinischen transcendere - hinübergehen, umdrehen); Euler gab ihm einen solchen Namen, der stinkt, „die Straffheit der Methoden der Algebra aufzuheben“.

Cantors Beweis der Begründung transzendenter Zahlen liegt nicht vor konstruktiven. Theoretisch wäre es möglich, eine transzendente Zahl für ein zusätzliches Diagonalverfahren zu induzieren, das über eine explizite Liste von Zehnerentwicklungen aller Zahlen der Algebra durchgeführt wird; Aber ein solches Verfahren blieb jeder praktischen Bedeutung erspart und würde nicht zu einer Zahl führen, die in den zehnten (oder irgendeinen anderen) Drib geschrieben werden könnte. Die meisten Probleme im Zusammenhang mit transzendentalen Zahlen hängen mit dem Beweis zusammen, dass bestimmte Zahlen (hier sind die Zahlen p und e, etwa div. 319-322) transzendent sind.

**2. Der Satz von Liouville und die Konstruktion transzendenter Zahlen. Der Beweis für die Begründung transzendenter Zahlen wurde vor Cantor von J. Liouville (1809–1862) erbracht. Es erlaubt uns, tatsächlich Beispiele für solche Zahlen zu konstruieren. Der Beweis von Léouvil ist wichtiger, niedriger als der Beweis von Cantor, und es ist nicht verwunderlich, Scherben zu bauen, um einen Hintern zu konstruieren, der entzündet scheint, gefaltet, niedriger, um das Fundament zu bringen. Nach unten führt der Beweis von Liouville, vielleicht sieht es weniger nach einem geübten Leser aus, der den Beweis mit ausreichenden Kenntnissen der elementaren Mathematik verstehen möchte.

Wie Léouville gezeigt hat, haben irrationale algebraische Zahlen diese Kraft, dass sie nicht mit einem bereits hohen Maß an Genauigkeit durch rationale Zahlen angenähert werden können. Nehmen Sie einfach nicht die Banner von Brüchen, die sie annähern, sie sind großartig.

Nehmen Sie an, dass die Zahl z die Gleichung der Algebra mit ganzzahligen Koeffizienten erfüllt

aber Sie sind mit einer solchen Nivellierung der unteren Ebene nicht zufrieden. Todi

es scheint, dass x selbst die Zahl der Algebra vom Grad n ist. Also zum Beispiel

die Zahl z = 2 ist die Nummer der Algebra-Ebene 2, sodass die Ebene x2 − 2 = 0√ mit Ebene 2 erfüllt ist, aber nicht die Ebene der ersten Ebene nicht erfüllt ist; die Zahl z = 3 2 - Stufe 3, die mit x3 - 2 = 0 zufrieden ist, aber nicht (wie wir in Abschnitt III zeigen) mit der unteren Stufe. Algebraische Schrittzahl n > 1

kann nicht rational sein, weil die rationale Zahl z = p q ist

erfüllt das Niveau qx − p = 0 Schritt 1. Skin irrationale Zahl z kann mit einiger Genauigkeit durch eine zusätzliche rationale Zahl angenähert werden; bedeutet nicht, dass man immer die Folge rationaler Zahlen angeben kann

p1, p2,. . .

q 1 q 2

ist nicht von wachsenden Bannern umgeben, dass Volodya Tim-

was was

pr → z. qr

Das Theorem von Liouville ist umwerfend: Wenn es keine Anzahl von Algebra z des Schrittes n > 1 gäbe, könnte es nicht näher an einer zusätzlichen rationalen sein

um die großen Bannermen obov'yazkovo vykonuetsya nerіvnіst zu beenden

Wir entscheiden uns dafür, den Satz zu beweisen, und früher wird gezeigt, wie transzendente Zahlen als zusätzliche Hilfe erhalten werden können. Schauen wir uns die Nummer an

z = a1 10-1! + a2 10-2! + a3 10-3! +. . . + am · 10−m! +. . . = = 0,a1 a2 000a3 00000000000000000a4 000. . . ,

de ai bedeuten bestimmte Zahlen von 1 bis 9 (es wäre einfacher, alle ai gleich 1 zu setzen), und das Symbol n! . . n. Die charakteristische Kraft der zehnten Erweiterung einer solchen Zahl sind diejenigen, die Gruppen sind, die schnell hinter ihrer Dozhina aufwachsen, Nullen werden mit Okremi-Ziffern in die neue gezogen, die wie Null aussehen. Maßgeblich durch zm, das Ende des zehnten Trübens, das erledigt ist, wenn alle Mitglieder in der Anlage bis am · 10−m aufgenommen sind! inklusive. Todi nimmt die Nervosität

Nehmen Sie an, dass z die Zahl der Algebra von Schritt n ist. Todi, respektiert die Nervosität von Lіouville (3) pq = zm = 22 Uhr! , wir sind schuldige Mütter

|z - zm | > 10(n+1)m!

bei hohen Werten von m. Vergleich der verbleibenden Unebenheit mit der Nervosität (4) ja

Sterne folgen (n + 1) m! > (m + 1)! − 1 für großes m. Alece ist falsch für Werte von m größer als n (lass den Leser versuchen, einen detaillierten Beweis dieser Behauptung zu geben). Wir didshli Superschärfe. Auch die Zahl z ist transzendent.

Es bleibt noch, den Satz von Liouville zu beenden. Angenommen, z sei die Zahl der Algebra vom Grad n > 1, die die Gleichung (1) erfüllt, so dass

f(zm ) = f(zm ) − f(z) = a1 (zm − z) + a2 (zm 2 − z2 ) + . . . + ein (zm n − zn).

Umgang mit beleidigenden Teilen auf zm − z und Entkernen mit einer algebraischen Formel

u n − v n = un−1 + un−2 v + un−3 v2 + . . . + uvn−2 + vn−1 , u − v

wir akzeptieren:

Da zm das richtige z ist, dann ist es rational, wenn man das große m erreicht, die zu berücksichtigende Zahl zm um eins weniger z zu verringern. Daher können Sie für die Dosierung von großem m eine solche grobe Schätzung erhalten:

N|an|(|z|+1)n−1 = M, (7)

außerdem ist, um rechtshändig zu sein, die Zahl M konstant, die Scherben z ändern sich während des Beweisprozesses nicht. Vibero ist jetzt ein großartiger Bodenbelag, shob

Bruchteil z m = p m Standard q m höher, niedriger M; Auch qm

so dass auch der Multiplikator (x − zm ) aus dem Polynom f(x) ersichtlich war, i, auch z war mit dem Niveau des unteren unteren n zufrieden. Otzhe, f(zm) 6= 0. Ale-Zahl am rechten Teil der Gleichheit (9) Auf diese Weise zіzstavlennya sіvvіdnіshen (8) und (9) vyplyaє nerіvnіst

noch Lagerhaus zaznachenї Theorem.

Innerhalb weniger Jahrzehnte rückte die Möglichkeit, algebraische Zahlen durch rationale zu approximieren, in weite Ferne. Beispielsweise fand der norwegische Mathematiker A. Tue (1863–1922), dass bei der Liouville-Ungleichheit (3) ein Exponent n + 1 durch einen kleineren Exponenten n 2 + 1 ersetzt werden könnte.

Siegel zeigt, dass man auch kleinere nehmen kann (smaller

mit größerem n) Indikator 2 n.

Transzendente Zahlen waren schon immer ein Thema, da sie den Respekt der Mathematiker an sich gefesselt haben. Ale, bis zur letzten Stunde der Mitte des Tages, wie tsіkavі durch mächtige Kräfte, gab es nicht viele solcher, die transzendentale Natur eines solchen Bulos wurde installiert. (Wegen der Transzendenz der Zahl p, wie es in Abschnitt III der Fall ist, besteht die Unmöglichkeit, den Einsatz mit Hilfe von Lineal und Zirkel zu quadrieren.) Bei seiner Rede auf dem Pariser Internationalen Mathematikerkongress 1900 r. David Hilbert singt dreißig mathematisch

Probleme, die einfache Formeln ermöglichen, deyakі - navit zovsim elementar und beliebter, z irgendjemand als fast vyrishena, immerhin und nicht zdatnoy, aber von den Mathematikern dieser Epoche erlaubt. Qi „Hilberts Probleme“ war ein starker Weckruf für die Entwicklung der Mathematik in der kommenden Zeit. Mayzhe wurden Schritt für Schritt alle Gestanke zugelassen, und in Rich Vipadkah war ihre Virishennia auf deutlich manifestierte Erfolge im Sinne von offensichtlicheren und glatteren Methoden zurückzuführen. Eines der Probleme, mit denen sich der Hoffnungslose auseinanderzusetzen wagte

Beweis, dass die Nummer

є transzendental (chi wanta b irrational). Drei Jahrzehnte lang war es nicht möglich, Druck auf einen solchen Pidhіd auszuüben, um sich von der Seite eines anderen zu ernähren, was die Hoffnung auf Erfolg weckte. Zreshtoyu, Zigel und unabhängig voneinander der junge russische Mathematiker A. Gelfond entdeckten neue Methoden, um die Transzendenz des Reichtums zu beweisen

Zahlen, die die Bedeutung der Mathematik bedeuten können. Zokrema, Bulo eingefügt

Transzendenz wie eine Hilbert-Zahl 2 2 und eine ganze Zahl zu einer großen Klasse von Zahlen der Form ab , wobei a eine algebraische Zahl ist, a eine algebraische Zahl ist, a b eine irrationale algebraische Zahl ist.

ERGÄNZUNG ZU RAZDILU II

Algebra der Vielfachen

1. Heiße Theorie. Das Konzept der Klasse, sukupnostі, chi unpersönliche Objekte - eines der grundlegendsten in der Mathematik. Das Unpersönliche bedeutet eine deakische Macht („Eigenschaft“) A, die entweder die Schuld der Mutter oder nicht der Mutter der Hautanalysen des Objekts ist; diese Objekte, wie die Macht von A, machen die Unpersönlichkeit von A aus. Wenn wir also den Zweck der Zahl dieser Macht von A darin sehen, dass wir vergeben, dann wird die Unpersönlichkeit von A von der üblichen Primzahl aus addiert Zahlen 2, 3, 5, 7 , . . .

Mathematische Theorie Multiplikatoren ergeben sich aus der Tatsache, dass es möglich ist, neue Multiplikatoren für zusätzliche Operationen festzulegen (ähnlich der Tatsache, dass neue Zahlen aus Zahlen für eine zusätzliche Operation des Faltens dieses Multiplikators erscheinen). Vyvchennya-Operationen mit Multiplikationen werden zum Gegenstand der "multiplen Algebra", da sie mit einer großen numerischen Algebra sehr kohärent sein können und sehen wollen, warum und darin. Die Tatsache, dass die Methoden der Algebra so weit gestaffelt werden können, dass sie nicht-numerische Objekte wie unpersönliche,

ein Strom großer Konvergenz von Ideen der modernen Mathematik. In der restlichen Stunde war klar, dass die Algebra der Multiplikationen ein neues Licht auf die reiche Magie der Mathematik warf, zum Beispiel die Welttheorie und die Theorie der imaginären Dinge; vona korisna ist auch eine Stunde der Systematisierung Mathe verstehen dass z'yasuvannі їх logisch zv'yazkіv.

Nadal Ich meine den Deak der unpersönlichen Postiynu-Objekte, die Natur solcher Baiduzh und, wie wir es nennen können, die universelle Unpersönlichkeit (oder das Universum von Mirkuvannya) und

A, B, C, . . . Wenn I die Mehrzahl aller natürlichen Zahlen ist, dann kann, sagen wir, A das Fehlen aller gepaarten Zahlen bedeuten, B - das Fehlen aller ungepaarten Zahlen, C - das Fehlen aller Primzahlen und so weiter , dann kann A ein sinnloser Punkt in der Mitte dieses Pfahls sein, B - ein sinnloser Punkt in der Mitte eines anderen Pfahls usw. Vor den "Teilmengen" können wir I selbst manuell einschalten, und auch das "leere" sinnlose, um keine Elemente zu rächen. Meta schwört, als ob sie einer solchen Expansion folgen würde, auf die Erhaltung dieser Position, dass die Hautkraft von A viele Elemente von I zeigt, die die Macht der Macht führen werden. In Zeiten, in denen A є universell vykonuvanische Autorität ist, deren Hinterteil Sie bedienen können (wie Sie über Zahlen finden können), erfüllt die Autorität die triviale Äquivalenz x = x, dann werde ich im Fall eines Multiplikators selbst ich sein, das Hautelement kann eine solche Befugnis haben; von der anderen Seite, wie A є als innere übermächtige Kraft (auf kshtalt x 6 \u003d x), dann ist es nicht notwendig, sich an den Elementen zu rächen, es ist „leer“ und wird durch ein Symbol gekennzeichnet.

Es scheint, dass der Multiplikator A der Untermultiplikator des Multiplikators B ist, kurz gesagt „A steigt bei B ein“ oder „B rächt A“, weil der Multiplikator A kein solches Element hat, das nicht dasselbe ist wie der Multiplikator B.

A B oder B A.

Zum Beispiel ist das unpersönliche A aller ganzen Zahlen, das durch 10 teilbar ist, der Submultiple des unpersönlichen B aller ganzen Zahlen, das durch 5 teilbar ist, also ist die Hautzahl, die durch 10 teilbar ist, auch durch teilbar 5. A B enthält nicht das B A. dann mіsce i te y inshe

Tse bedeutet, dass das Hautelement A є gleichzeitig das Element B, і zurück ist, also multiplizieren Sie A und B, um dieselben Elemente zu ersetzen.

Spivvіdnoshennia A B mizhiny reich an was für Spіvіdnoshennia a 6 b mizh zahlen. Zokrema, offensichtlich verfolgt

weht die Kraft dieser spіvvіdnoshennia:

1) EIN A.

2) Wenn AB und BA, dann A = B.

3) Wie A B und B C, dann A C.

Aus Gründen der Spіvvіdnoshennia AB wird manchmal "auf Bestellung" genannt. Golovna Vidmіnniy Analized SPIVVISHENYNYA VID SPIVVISHENYNYA A 6 b Minen in den Zahlen von Polega in der einen, der Cousin der Kuh der Anzahl der Zahlen a і b ist keine Reserve analoge Behauptung ist falsch. Zum Beispiel, dass A unpersönlich ist, das sich aus den Zahlen 1, 2, 3 zusammensetzt,

und B ist ein Multiplikator, der aus den Zahlen 2, 3, 4 addiert wird,

dann ist keine Zeit für A B oder B A. Es gibt keinen Grund zu sagen, dass A, B, C, . . . Multiplikatoren I є „teilweise geordnet“, die gleichen wie die effektiven Zahlen a, b, c, . . .

Erstellen Sie eine „vollständig bestellte“ Bestellung.

Respektvoll unter anderem, dass es keinen Unterschied zwischen A und B gab, dass, wenn es keinen Multiplikator von A gäbe, ein Multiplikator von I,

Potenz 4) mag etwas paradox sein, aber wenn Sie darüber nachdenken, ist sie logischerweise der genauen Änderung des festgelegten Zeichens unterworfen. Richtig, spіvvіdnoshnya A war nur kaputt

in zu diesem vipadka, als ob leer, viele Elemente das Element verlegten, das b A nicht rächte; aber so, wie ein leerer Unpersönlicher, räche dich nicht an den Elementen, dann kannst du nicht sein, wenn A nicht wäre.

Wir bezeichnen jetzt zwei Operationen mit Multiplikationen, die es Ihnen formell ermöglichen, reich an algebraischen Kräften zu sein, um diese Vielzahl von Zahlen zu addieren, und möchten für Ihr internes zmіsto zovsіm vіdminnі vіd tsikh arithmetic diy. Seien A und B zwei Multiplikatoren. Unter den Begriffen „logische Summe“ oder „logische Summe“ verstehen A und B das Unpersönliche, das sich aus ruhigen Elementen zusammensetzt, die in A bzw. angesiedelt sind

in B (einschließlich und jener Elemente, die in A und B zu finden sind). Dieser Multiplikator wird mit A + B bezeichnet. 1 Unter der „peretina“, oder „logischen Schöpfung“, werden A und B unpersönlich verstanden, die sich aus stillen Elementen zusammensetzen, die in A und in B zu finden sind. Dieser Multiplikator ist mit AB.2 bezeichnet

Unter den wichtigen Kräften der Algebra der Operationen A + B und AB ist die Offensive überfordert. Der Leser kann die Fairness je nach Zweck der Operationen selbst umkehren:

Die erneute Überprüfung all dieser Gesetze ist die einfachste Logik auf der rechten Seite. Zum Beispiel besagt Regel 10), dass die Elemente unpersönlich sind, dass entweder A oder A oder das unpersönliche A; Regel 12), die besagt, dass die unpersönlichen Elemente, wenn sie in A sind und gleichzeitig entweder B oder C sind, unpersönliche Elemente sind, wenn sie entweder in A und B oder in A und C vykoristovuyutsya sind, um eine ähnliche Art von zu beweisen Regeln, von Hand illustriert, als könnten wir uns die unpersönlichen A, B, C, . . . Beim Anblick solcher Figuren auf dem Platz werden wir in dieser Hinsicht respektvoller sein, um die logischen Möglichkeiten nicht zu verpassen, wenn es um das Vorhandensein der Hauptelemente zweier Sätze geht oder im Gegenteil um das Vorhandensein einer Gruppe von Elementen, wenn sie in der anderen nicht zu finden sind.

Der Leser hat zweifellos den Respekt vor denen verloren, die die Gesetze 6), 7), 8), 9) und 12) mit den bekannten kommutativen, assoziativen und distributiven Gesetzen der Schallalgebra gleich nennen. Zvіdsi viplivaє, scho tse Regeln zvichaynoї Algebra, yakі z tsikh Gesetze, wirksam in der Algebra von Mengen. Navpaki, Gesetze 10), 11) und 13) Es gibt keine Analoga der ursprünglichen Algebra, und sie geben der Algebra viele einfache Strukturen. Beispielsweise lässt sich die Binomialformel in der Algebra der Multiplikationen auf die einfachste Gleichheit zurückführen

(A + B) n = (A + B) · (A + B). . . (A + B) = A + B,

aus rechtlichen Gründen 11). Die Gesetze 14), 15) und 17) sprechen darüber, dass die Potenz der Pluralformen I in Bezug auf die Zahl vor der Addition dieser Zahl der Potenz der Zahlen 0 und 1 in Bezug auf die Potenz der Zahl ähnlich ist Zahlen 0 und 1 in Bezug auf die Zahl vor der Operation. Ale-Gesetz 16) hat kein Analogon in der numerischen Algebra.

Eine weitere Operation in der Mengenalgebra bleibt noch zu geben. Sei A der Untermultiplikator des universellen Multiplikators I. Unter dem Zusatz A in I kann also das Unpersönliche aller Elemente von I verstanden werden, wenn nicht in A. Für den Multiplikator führen wir den Wert A0 ein. Wenn also I von allen natürlichen Zahlen unpersönlich ist und A von allen Primzahlen unpersönlich ist, dann ist A0 unpersönlich, das sich aus allen Lagerzahlen und der Zahl 1 addiert. Autorität:

23) A00 = A.

24) Spivvіdnenja A B 0A0.

25) (A + B) 0 = A0 B0. 26) (AB)0 = A0 + B0.

Überprüfung dieser Befugnisse I re-nadaemo chitachev.

Die Gesetze 1)-26) liegen der Mengenalgebra zugrunde. Der Gestank der Wunderkraft der "Dualität" in der Offensive Sensation:

Wie in einem der Gesetze 1)–26) eins durch eins ersetzen

(für den dermalen Eintrag), dann tritt als Ergebnis wieder eines dieser Gesetze auf. Zum Beispiel wird Gesetz 6) in Gesetz 7), 12) - in 13), 17) - in 16) umgewandelt. Knospe. , "Dvіyna" їth Theorem, das aus dem ersten für zusätzliche Bedeutungen von Permutationen von Symbolen hervorgeht. Stimmt, Beweisscherben

Tor. II ALGEBRA MNOZHIN 139

Das erste Theorem besteht aus der sukzessiven Stagnation (in verschiedenen Stadien der durchzuführenden Versöhnung) der Gesetze 1–26), dann ist die Stagnation in den Endstadien der „zwei“ Gesetze im Lager der Beweis für die „ doppelter Satz. (Wegen des Triebs einer solchen „Doppelung“ in der Geometrie des div. Abschnitts IV.)

2. Zastosuvannya mathematische Logik. Die erneute Verifizierung der Gesetze der Algebra der Multiplikationen basierte auf der Analyse des logischen Sinns der Verknüpfung von A B und der Operationen A + B, AB und A0. Wir können diesen Vorgang nun umkehren und die Gesetze 1)–26) als Grundlage für die „Algebra der Logik“ betrachten. Genauer gesagt: Dieser Teil der Logik, da es viele oder sogar dieselben Potenzen der betrachteten Objekte gibt, kann auf ein formales algebraisches System reduziert werden, das auf den Gesetzen 1) basiert. –26). Die logische „intelligente Allwissenheit“ bezeichnet das unpersönliche Ich; dermale Macht A bedeutet unpersönliches A, das aus stillen Objekten I zusammengesetzt ist, wie es Macht sein kann. Regeln für die Übersetzung der logischsten Terminologie in Sprache

In Bezug auf die Algebra gibt es einen Syllogismus "Barbara", was "für jedes A є B und für jedes B є C, dann für jedes A є C" bedeutet, es sieht einfach aus:

3) Wenn AB und BC, dann AC.

In ähnlicher Weise wird das „Gesetz des Widerstands“, das besagt, dass „ein Objekt nicht gleichzeitig eine solche Macht führen und nicht führen kann“, vom Betrachter aufgezeichnet:

20) AA 0 = ,

a „Das Gesetz des eingeschlossenen Dritten“, das heißt, „das Objekt ist für die Mutter schuld, aber nicht die Mutter für den Diakon der Macht“, steht geschrieben:

19) A+A0=I.

Auf diese Weise kann dieser Teil der Logik, wie er in Form von Symbolen gesehen wird, +, · і 0, als ein formales System der Algebra gemäß den Gesetzen 1)–26) interpretiert werden. Auf der Grundlage einer logischen Analyse der Mathematik und mathematische Analyse der Logik wurde eine neue Disziplin geschaffen - die mathematische Logik, wie keine von ihnen tadelt den Prozess der turbulenten Entwicklung.

Aus axiomatischer Sicht ergibt sich aufgrund der Beachtung dieser wunderbaren Tatsache, die durch 1)-26) zusammen mit anderen Sätzen der Mengenalgebra bestätigt wird, logischerweise aus den folgenden drei Gleichungen:

27) A + B = B + A,

(A + B) + C = A + (B + C),

(A0 + B0) 0 + (A0 + B) 0 = A.

Es ist offensichtlich, dass die Algebra der Multiplikationen als deduktive Theorie auf der Grundlage der euklidischen Geometrie auf der Grundlage dieser drei Positionen, die als Axiome akzeptiert werden, motiviert werden kann. Als axiomatisch akzeptiert sind dann die Operation AB und die Proposition A B durch A + B und A0 definiert:

Als weiteres Beispiel eines mathematischen Systems, in dem alle formalen Gesetze der Algebra der Multiplikatoren verschlüsselt sind, nennen wir ein System aus acht Zahlen 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30: hier ein + b bedeutet,

das höchste, niedrigste Vielfache von a і b, ab - der höchste dіlnik a і b, a b - Härte "b wird durch a unterteilt" und a0 - die Zahl 30 a. Su-

Die Grundlage solcher Anwendungen hat die Entwicklung unerhörter algebraischer Systeme verursacht, die den Gesetzen genügen 27). Solche Systeme nennt man „Boolesche Algebren“ – zu Ehren von George Boole (1815-1864), einem englischen Mathematiker und Logiker, dessen Buch „An Investigation of the Laws of Thought“ 1854 erschien.

3. Eine der Stationen vor der Theorie der Unbeweglichkeit. Algebra kann der Theorie der Unbeweglichkeit viel näher sein und ermöglicht es Ihnen, sie in einer neuen Welt zu betrachten. Schauen wir uns das einfachste Beispiel an: Machen wir unser eigenes Experiment aus der letzten Anzahl möglicher Nasledkiv, Yakі denken alle wie "gleich fähig". Ein Experiment kann zum Beispiel darin liegen, dass wir aus einem neuen Deck, das gut gemischt ist, eine Karte ziehen können. Wenn der Multiplikator aller Ergebnisse des Experiments durch I signifikant ist und A bedeutet, dass es ein Teilmultiplikator von I ist, dann wird die Möglichkeit, dass das Ergebnis des Experiments mit dem Teilmultiplikator von A übereinstimmen wird, als Erweiterung bezeichnet

p(A) = Anzahl der Elemente in A. Anzahl der Elemente in I

Wenn wir uns die Anzahl der Elemente in einem beliebigen Multiplikator A als n(A) vorstellen, dann kann der Rest der Gleichheit durch Betrachten von gegeben werden

Ideen der Pluralalgebra tauchen auf, wenn die Möglichkeiten gezählt werden, wenn es möglich ist, die Imovirität einiger Pluralformen zu kennen, um die Imovirität anderer zu zählen. Wenn wir beispielsweise die Dynamik von p(A), p(B) und p(AB) kennen, können wir die Dynamik von p(A + B) berechnen:

Es spielt keine Rolle, es mitzubringen. Mi maєmo

n(A + B) = n(A) + n(B) − n(AB),

Scherben von Elementen, die gleichzeitig in A und B besetzt werden können, dann werden Elemente von AB bei der Zählung der Summen n(A) + n(B) berücksichtigt, und daher ist es notwendig, n(AB) zu sehen aus der Summe der Summen, also n(A + B) ist der Teilungsbuchstabe richtig. Halten wir die Täter durch einen Teil der Äquivalenz auf n(I) beleidigt, nehmen wir die Spontaneität (2).

Cіkavіsha-Formel zum Ausgehen, also gibt es ungefähr drei Multiplikatoren A, B, C z I.

p(A + B + C) = p[(A + B) + C] = p(A + B) + p(C) − p[(A + B)C].

Gesetz (12) aus dem vorherigen Absatz gibt uns (A + B) C = AC + BC. Geräusche schreien:

p[(A + B)C)] = p(AC + BC) = p(AC) + p(BC) − p(ABC).

Indem wir in der vorherigen Reihenfolge den Wert von p[(A + B)C] und den Wert von p(A + B) aus (2) ersetzen, erhalten wir die notwendige Formel:

p(A + B + C) = p(A) + p(B) + p(C) − p(AB) − p(AC) − p(BC) + p(ABC). (3)

Wie ein Hintern können wir ein offensives Experiment betrachten. Drei Zahlen 1, 2, 3 werden in beliebiger Reihenfolge geschrieben. Was bedeutet die Tatsache, dass akzeptiert wird, dass eine der Ziffern auf dem Overhead-Raum (in der Sens-Nummerierung) basiert? Sei A eine unpersönliche Permutation, für die die Zahl 1 den ersten Platz kosten soll, B - eine unpersönliche Permutation, für die die Zahl 2 einen weiteren Platz kosten soll, C - eine unpersönliche Permutation, für die die Zahl 3 den dritten Platz kosten soll . Wir müssen p(A+B+C) berechnen. Das habe ich bemerkt

p(A) = p(B) = p(C) = 2 6 = 1 3;

effektiv, als stünde die Figur an der richtigen Stelle, dann gibt es zwei Möglichkeiten, die Lösung von zwei Ziffern aus der Hauptzahl 3 2 1 = 6 mögliche Permutationen von drei Ziffern umzuordnen. Dali,

Recht. Geben Sie eine gültige Formel für p(A + B + C + D) ein und warten Sie bis zum Experiment, bei dem es um 4 Ziffern geht. Vidpovidna umovirnіst dorіvnyuє 58 = 0,6250.

Eine gemeinsame Formel zum Kombinieren von n Multiplikationen kann aussehen

Kombinationen zur Rache eins, zwei, drei, . . . , (n − 1) Buchstabe der Zahl A1 , A2 , . . .

ein. Diese Formel kann nach zusätzlicher mathematischer Induktion eingesetzt werden - so wie Formel (3) aus Formel (2) eingeführt wurde.

Aus der Formel (4) ist es möglich, Strähnen hinzuzufügen, so dass es n Ziffern 1, 2, 3, . . . n in beliebiger Reihenfolge geschrieben, dann ist die Fähigkeit, eine der Ziffern zu akzeptieren, um sich an einen geeigneten Ort zu lehnen, mehr

Darüber hinaus steht vor dem verbleibenden Mitglied ein Zeichen + oder −, das diejenigen aufruft, die gepaart und ungepaart sind. Zocrema, für n = 5

p5 = 1 − 2! + 3! − 4! +5! = 30 = 0,6333. . .

In der VIII-Abteilung würden wir gerne wissen, dass, wenn es keine Inkompatibilität gibt, viraz

1 1 1 1 Sn = 2! − 3! +4! − . . . ±n!

pragne zwischen 1 e, dessen Bedeutung mit fünf Zeichen nach Komi,

eins 0,36788. Aus der Formel (5) ist klar, dass pn = 1 − Sn, dann ist der Stern klar, dass für n → ∞

pn → 1 − e ≈ 0,63212.

Das Wort „transzendental“ wird mit transzendentaler Meditation und verschiedener Esoterik in Verbindung gebracht. Aber um Yoga richtig zu leben, ist es notwendig, Yoga mindestens in Bezug auf den Begriff "transzendental" zu revidieren und höchstens - die Rolle von Yoga in Kants Robotern und anderen Philosophen zu erraten.

Es ähnelt verständlicherweise dem lateinischen transcendens – „überqueren“, „überqueren“, „überschreiten“. Im Allgemeinen sind Weine solche, die empirischem Wissen nicht zugänglich sind oder auf Beweisen beruhen. Überdenken Sie den Begriff viniklische Philosophie des Neuplatonismus - der Gründer direkt Plotin hat eine Vchennya über den Einen gemacht - die allgute Pershopochka, da es unmöglich ist, die Gedanken mit Hilfe des Verstandes ohne die Hilfe eines sensiblen Verstandes zu erkennen. „Einen gibt es nicht, aber Vater Yogo“ – erklärt der Philosoph.

Der jüngste Begriff „transzendental“ wurde in der Philosophie von Immanuel Kant entwickelt, de vin vikoristovuvsya, um zu charakterisieren, dass das Wissen und Empfinden unseres Körpers eindeutig unverzichtbar ist und im Prinzip nicht erkennbar ist, wie in der Praxis und in der Theorie. Verbreitung von Transzendenz - : es bedeutet entweder Unsichtbarkeit, interne Verbindung, sei es, wie das Objekt mit dem Objekt selbst ist, oder das Erkennen des Objekts an besondere Bescheinigung. Nehmen wir zum Beispiel an, dass sich die Allwelt der Schöpfungen hinter einer großen Idee für uns transzendent hielt – über das Neue können wir nur Hypothesen aufstellen. Und doch, wie ich es mir vorgestellt habe, ist es wahr, und die Folgen für uns sind immanent und beeinflussen die physikalischen Gesetze und Bedingungen, die wir konsumieren können. Daher ist Gott in einigen theologischen Konzepten transzendent und perebuvaet Haltung von ihm Hintern geschaffen.

Tatsächliche Reden sind apriorischen Erkenntnissen noch zugänglich: zB Raum und Zeit, Vorstellungen von Gott, Güte und Schönheit, logische Kategorien. Tobto transzendentale Objekte - tse, bildlich erscheinend, "hinter der Linie" in unserem Geist

Die Aussage über die transzendente Natur in der Mathematik: Eine transzendente Zahl ist eine Zahl, die nicht mit zusätzlicher Algebra oder algebraisch berechnet werden kann (dh sie kann nicht die Wurzel eines reichen Terms mit mehreren Koeffizienten sein, der nicht gleich Null ist). Vor ihnen geben Sie beispielsweise die Zahlen π ie ein.

Verstehen, nah an "transzendental" und sogar jenseits der Bedeutungen - "transzendental". Auf der Rückseite bedeutete es einfach den Bereich der abstrakten Rozum-Kategorien, und am Ende des Jahres, nachdem Kant aufgezogen worden war und Nudeln aus dem Vlasnu getrunken hatte: Es war unmöglich, das philosophische System nur auf empirischen Daten zu induzieren, aber es war so unmöglich, die alten anderer Leute zu erkennen, das Verbrechen der Empirie, ohne Wein zu kennen. Um umzukehren, hatten die Philosophen Gelegenheit zuzugeben, dass einige Reden immer noch apriorischem Wissen zugänglich sind: zum Beispiel Raum und Zeit, Vorstellungen von Gott, Güte und Schönheit, logische Kategorien. Dass transzendentale Objekte - tse, bildlich erscheinend, "vorher hinter den Verstand gebracht" in unseren Köpfen - mit denen Informationen über sie selbstverständlich sind und nicht aus unserem Wissen vyplyvaet.

Es gibt noch ein umstrittenes Verständnis - Transzendenz. Im weitesten Sinne bedeutet das Wort „vono“ den Übergang zum Kordon zwischen zwei verschiedenen Regionen, insbesondere den Übergang von der Sphäre dieser Welt in die Sphäre der Zukunft, des Transzendenten. Nehmen wir der Einfachheit halber ein Beispiel aus der Science-Fiction: eine Parallelwelt für tolle Leute- transzendentale Manifestation. Aber wenn der Held von seinem parallelen Licht trank, scheint es, dass der Rang durch das Aufbauen von Yoga spriymati, tse Transzendenz, manifestiert wird. Ein faltbareres Beispiel für Existenzphilosophie: Jean-Paul Sartre, nachdem er erkannt hat, dass eine Person transzendent ist, werden die Scherben nicht über die Grenzen einer möglichen nassen Wahrheit hinausgehen: Wir können navkolishniy svit von verschiedenen Seiten, aber auf jeden Fall kommen wir der vollen Anerkennung unserer selbst nicht nahe. Ale, ein Mensch kann sich sofort zur Transzendenz aufbauen: Er transzendiert, ob es ein Fluss ist, und gibt ihm eine Bedeutung. Transzendenz ist ein wichtiges Element in der Religion: Sie hilft Menschen, in ihrer materiellen Natur zu wachsen und etwas Fremdes zu erreichen.

Aus der Philosophie ist der Begriff der Transzendenz in die Psychologie gewandert: Der Schweizer Psychologe Carl Jung hat den Begriff der „transzendentalen Funktion“ entwickelt – dieselbe Funktion, die mit dieser Unverständlichkeit einhergeht. Zocrema, die transzendentale Funktion kann durch einen Psychoanalytiker überwunden werden - dem Patienten helfen, die Bilder des Unsichtbaren (zB Träumen) zu analysieren und sie sofort aus seinen eigenen psychischen Prozessen zu zeigen.

Yak-Gespräch

Falsch "Ich habe mich für einen Kurs in transzendentaler Meditation angemeldet." Das ist richtig - "transzendental".

Das ist richtig, "Wenn ich in den Tempel gehe, beobachte ich etwas Transzendentes."

Richtig: „Die Kunst der Transzendenz kennt uns Objekte aus der materiellen Welt, erinnert an sie mit dem größten Licht.“

Ilja Schtschurow

Mathematiker Illya Shchurov über Zehnerbrüche, Transzendenz und Irrationalität der Zahl Pi.

Wie hat „Einsamkeit“ dazu beigetragen, den ersten Ort und dieses große Reich zu inspirieren? Wie hast du die Leute umgehauen? Welche Rolle spielte sie beim Erscheinen von Pennies? Yak "Eins" vereint mit Null, um zu herrschen moderne Welt? Die Geschichte des Singledaseins ist untrennbar mit der Geschichte der europäischen Zivilisation verbunden. Terry Jones ist virushaya auf humorvolle Weise teurer mit der Methode, die wunderbare Geschichte unserer einfachsten Nummer zusammenzufassen. Mit Hilfe der Computergrafik in diesem Programm wird man in verschiedenen Formen lebendig. Aus der Geschichte der Einsamkeit wurde deutlich, dass die Sterne heute erschienen, und wie die Fehler von Null, Vryatuvav angesichts der Notwendigkeit, die römischen Ziffern zu besiegen.

Jaques Cesiano

Wir wissen wenig über Diophantus. Nun, Vin lebt bei Oleksandriya. Keiner der griechischen Mathematiker hat es bis zum 4. Jahrhundert herausgefunden, denn das, ymovirno, lebt in der Mitte des 3. Jahrhunderts. Der Kopf des Roboters von Diophantus, "Arithmetik" (Ἀριθμητικά), wurde auf den Kolben von 13 "Büchern" (βιβλία) genommen, um geteilt zu werden. Heute haben wir vielleicht 10 davon, und zwar an sich: 6 für den griechischen Text und 4 weitere für die mittelarabische Übersetzung und ein paar für die Mitte der griechischen Bücher: Bücher I-III auf Griechisch, IV-VII auf Arabisch, VIII-X auf Griechisch . "Arithmetik" von Diophantus ist dem Zeitplan voraus, nur knapp 260. Theorien, scheinbar wahr, nichts; Es gibt keine allgemeinen Anweisungen mehr am Anfang des Buches und mehr privaten Respekt für andere Regisseure, wenn es nötig ist. „Arithmetik“ sieht schon aus wie eine algebraische Abhandlung. Diophantus auf dem Maiskolben verschiedene Vorzeichen, schob vyslovlyuvati nevidome that yogo step, auch deakі calculus; Wie alle algebraischen Symbole der Mitte ähnelt seine Symbolik mathematischen Wörtern. Dann erklärt Diophantus, wie man das Problem mit der Algebra-Methode löst. Aber die Aufgabe von Diophantus ist nicht algebraisch für die primäre Bedeutung, so dass alles auf die Höhe der undefinierten Gleichheit oder Systeme solcher Gleichheiten reduziert werden kann.

George Shabat

Kursprogramm: Geschichte. Erste Bewertungen. Das Problem der Konsistenz eines Pfahls mit einem Durchmesser von її. Neskіchennі Zeilen, erstellen Sie das in vrazi für π. Zbіzhnist und її yakіst. Virazi, was zu Rache π. Folgen, die bis π schnell konvergieren. Moderne Methoden Berechnung von π, Anzahl der Computer. Über die Irrationalität und Transzendenz von π und anderen Zahlen. Vorkenntnisse sind für den Kurs nicht erforderlich.

Beamte der Universität Oxford sagten, dass die frühen Einführungen der Zahl 0 zur Angabe der Anzahl der Tage in Folge (wie in der Zahl 101) den Text des indischen Manuskripts von Bakhshali enthalten sollten.

Wassil Pispanen

Wer wird nicht von Kindern in die Gruppe "nenne die größte Zahl" eingraviert? Millioni, Billioni und andere „-sie“ sind in den Gedanken schon glatt zu sehen, aber wir werden versuchen, das „Mastodon“ in der Mathematik herauszufinden – Grahams Zahl.

Viktor Kleptsin

Die richtige Zahl kann durch rationale genau angenähert werden. Und wenn wir es freundlicherweise tun, können wir einander nahe kommen – ist es mit der Yoga-Faltung ausgerichtet? Zum Beispiel brechen zehnter Eintrag Zahlen x an k-te Ziffer danach entfernen wir die Nähe x≈a/10^k mit einem Pardon in der Größenordnung von 1/10^k. I vzagali, nachdem wir das Banner q in der sich nähernden Fraktion fixiert haben, können wir definitiv die Annäherung mit einer Begnadigung der Größenordnung 1 / q nehmen. Und was kannst du besser machen? Jeder weiß, dass die Nähe π≈22/7 eine Entschuldigung in der Größenordnung von 1/1000 ergibt - das ist eindeutig besser, niedriger könnte korrigiert werden. Wieso den? Wir wurden verschont, warum ist π so nah an є? Es scheint, dass für jede irrationale Zahl є unpersönliche Brüche p / q, die näher daran liegen, niedriger 1 / q ^ 2 sind. Tseverzhuє Dirichlets Theorem - und mi pochnemo natürlich іz її troha nicht standardmäßiger Beweis.

1980 wiederholte das Guinness-Buch der Rekorde Gardners Behauptungen und steigerte das öffentliche Interesse bis zu dieser Zahl weiter. Grahams Nummer im Namen der Nummer mal mehr, niedriger sonst gut im Haus tolle Zahlen, also, wie googol, googolplex und navit more, niedrigere Skewes-Zahl und Moser-Zahl. In Wahrheit ist die ganze Welt zu klein, als dass jemand seine eigene zehnte Aufzeichnung von Grahams Nummer aufnehmen könnte.

Dmitro Anosov

Vorlesungen lesen Anosov Dmitro Viktorovich, Doktor der physikalischen und mathematischen Wissenschaften, Professor, Akademiemitglied der Russischen Akademie der Wissenschaften. Sommerschule "Moderne Mathematik", Dubna. 16.-18. April 2002

Es ist nicht möglich, auf die Nahrungskette Scherben richtig zu reagieren Zahlenreihe obere Grenze nicht überschreiten. Bis zu einer bestimmten Zahl reicht es also, eine weitere hinzuzufügen, um die Zahl noch weiter zu erhöhen. Obwohl die Zahlen selbst nicht begrenzt sind, sind ihre Namen nicht so reich und reich, sodass sich die meisten mit Namen begnügen, die sich aus kleineren Zahlen zusammensetzen. Mir wurde klar, dass sie in der letzten Reihe von Zahlen, die die Leute für ihre mächtigen Namen aufgehäuft haben, die meisten sein können. Aber wie heißt es und warum ist es gleich? Komm schon, lass uns versuchen, es irgendwie herauszufinden und die Infektion zu erkennen, Mathematiker haben einige großartige Zahlen entwickelt.

Die Nummer wird angerufen algebraisch Yakscho ist die Wurzel eines deaky reichen Begriffs mit vielen Koeffizienten

ein n x n + ein n-1 x n-1 + ... + ein 1 x + ein 0(d. h. die Wurzel aus gleich ein n x n + ein n-1 x n-1 +... + ein 1 x + ein 0 =0, de ein, ein n-1, ..., eine 1, eine 0--- Zahlen, n 1, eine 0).

Eine unpersönliche algebraische Zahl ist sinnvollerweise ein Buchstabe .

Es ist leicht zu sehen, ob eine rationale Zahl algebraisch ist. Stimmt, - die Wurzel des Flusses qx-p=0 mit vielen Koeffizienten a 1 = qі a 0 =-p. Otzhe, .

Allerdings sind nicht alle algebraischen Zahlen rational: Beispielsweise ist die Zahl die Wurzel der Gleichheit x 2 -2 = 0, otsch, --- algebraisch Nummer.

Die alte Stunde wurde unangetastet gelassen, wichtig für die Mathematikernährung: ? Weniger als 1844 war das Schicksal von Léouville erstmals ein Beispiel für eine transzendente (tobto. nicht algebraische) Zahl.

Am ersten Tag des Monats ist der Beweis seiner Transzendenz noch faltbarer. Es ist möglich, den Satz auf der Grundlage transzendenter Zahlen wesentlich einfacher zu bringen, indem man auf die Äquivalenz und Nichtäquivalenz numerischer Multiplikationen hinweist.

Und selbst können wir bringen, dass unpersönliche algebraische Zahlen Rakhunkov sind. Die Scherben aller reellen Zahlen sind jedoch nicht gleich, wir können die Basis nicht-algebraischer Zahlen festlegen.

Lassen Sie uns gegenseitig eindeutig unterscheiden zwischen und mit einem Dutzend . Tse ist bedeutungsvoll, sho - Es ist gut, Chi Rakhunkovo. Ale Oskilki , dann neskіchenno, otzhe, rakhunkovo.

Komm schon - deyake Zahl der Algebra. Betrachten wir alle reichen Terme mit der Anzahl der Koeffizienten, deren Wurzel є ist, und wählen Sie die Mitte der reichen Terme P der minimale Schritt (damit es nicht die Wurzel desselben reichen Terms mit den gesamten Koeffizienten des kleineren Schritts ist).

Beispielsweise kann ein solches Polynom für eine rationale Zahl Schritt 1 und Zahlen - Schritt 2 haben.

Lassen Sie uns alle Koeffizienten eines reichen Mitglieds teilen P zu ihrem größten Schläfer. Wir nehmen das Polynom weg, dessen Koeffizienten auf einmal wechselseitig einfach sind (ihr größter Schläfer ist 1). Zreshtoyu als Senior-Koeffizient ein vіd'єmniy multiplizieren wir alle Koeffizienten des Polynoms mit -1 .

Die Subtraktion des reichen Terms (d. h. des reichen Terms mit großen Koeffizienten, dessen Wurzel die Zahl ist, die der kleinstmögliche Schritt sein kann, der gegenseitig einfache Koeffizient und der positive Senior-Koeffizient) wird als minimaler fetter Term bezeichnet Nummer.

Es lässt sich beweisen, dass ein solches Polynom eindeutig zugeordnet ist: Die Hautzahl einer Algebra kann genau ein Minimalpolynom sein.

Die Anzahl der reellen Wurzeln eines Polynoms ist nicht größer als die untere Stufe. Außerdem können Sie (z. B. für Wachstum) die Wurzeln eines so reichen Begriffs aufzählen.

Nun, sei es die Zahl der Algebra, sie wird an ihrem minimal reichen Term (d. h. an der Menge ihrer Koeffizienten) und an der Zahl erkannt, die sich von den anderen Wurzeln des Polynoms unterscheidet: (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k).

Später legen wir für die dermale algebraische Zahl die Unterscheidung des letzten Satzes ganzer Zahlen fest, außerdem folgt dieser Satz eindeutig (also werden verschiedenen Zahlen unterschiedliche Sätze gegeben).

Alle Primzahlen sind in der Reihenfolge ihres Wachstums nummeriert (es spielt keine Rolle, um zu zeigen, dass sie zu reich sind). Wir nehmen die unentschuldbare Sequenz weg (pk): p1=2,p2=3, p3=5, p4=7, ... Jetzt eine Menge von ganzen Zahlen (a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) Sie können Sie in den Fernseher stellen

(Diese Zahl ist positiver und rationaler, aber nicht natürlich, auch nicht in der Mitte von Zahlen eine 0, eine 1, ..., ein n-1, kann negativ sein). Respekt, dass die Nummer nicht von kurzer Dauer ist, die Scherben sind einfache Multiplikatoren, die man vor dem Auslegen des Nummernbuchs und des Banners eingibt, anders. Es ist auch erwähnenswert, dass zwei nicht kurze Brüche mit positiven Ziffern und Strophen gleich sind, selbst wenn es sich um gleiche Ziffern handelt, sind diese їх gleiche Strophen.

Betrachten wir es jetzt mit einem Körnchen Salz:

(a 0 ,a 1 ,...,a n-1 ,a n ,k) =

Oskіlki verschiedene Zahlen der Algebra haben verschiedene Sätze von ganzen Zahlen und verschiedene Sätze festgelegt --- anders rationale Zahlen, dann haben wir in dieser Reihenfolge gegenseitig eindeutige Gültigkeit zwischen einer Vielzahl festgestellt und mit einem Dutzend . Daher sind die unpersönlichen algebraischen Zahlen signifikant.

Scherben von unpersönlichen reellen Zahlen sind nicht zu unterscheiden, wir haben die Basis von nicht-algebraischen Zahlen gebracht.

Das Argumentationstheorem zeigt jedoch nicht, wie man was bestimmt ganze Zahl algebraisch. Und Ernährung ist manchmal wichtig für die Mathematik.

transzendente Zahl

eine Zahl (dіysne abo yavne), die mit keinem Ausgleich der Algebra (Div. Algebraischer Ausgleich) mit vielen Koeffizienten zufrieden ist. In diesem Rang werden T. h. algebraischen Zahlen zugeordnet. Іsnuvannya T. H., der zuerst J. Liouville (1844) gegründet hatte. Der richtige Punkt für Liouville war der Satz, der besagt, dass jede Annäherungsordnung eines rationalen Bruchs mit einem gegebenen Standard an die dritte irrationale algebraische Zahl nicht ausreichend hoch sein kann. Die algebraischste Zahl a erfüllt das nicht reduzierte Gleiche der Algebra n mit vielen Koeffizienten, dann für jede rationale Zahl nur zu hinterlegen α ). Daher ist es für eine gegebene irrationale Zahl α möglich, unpersönliche rationale Näherungen zu zeigen, die die Induktion der Ungleichmäßigkeit für keine erfüllen hі n(einige und leise für alle nah), dann α є T. h. Der Hintern einer solchen Nummer ist ja:

Nachdem R. Kantor (1874) erwähnt hat, dass die Unpersönlichkeit aller algebraischen Zahlen unterscheidbar ist (so dass alle algebraischen Zahlen umnummeriert werden können; div. Vielfachheitstheorie), dann ist die Unpersönlichkeit aller reellen Zahlen unveränderlich. Es klang wie der unpersönliche T. h.

Die wichtigste Aufgabe der Theorie von T. h. - tse z'yasuvannya ist, dass chi є T. h. der Wert analytischer Funktionen ist, die möglicherweise andere arithmetische arithmetische Potenzen mit algebraischen Werten des Arguments haben. Die Aufgabe welcher Familie liegt vor der wichtigsten Aufgabe der modernen Mathematik. U 1873 Sh.

1882 kam der deutsche Mathematiker F. Lindemann zu einem bedeutsameren Ergebnis: Da α also die Zahl der Algebra ist eα - T. h. Lipdemans Ergebnis wurde durch den deutschen Mathematiker K. Siegel (1930) erheblich verschärft, der beispielsweise die Transzendenz des Werts einer breiten Klasse von Zylinderfunktionen mit den Werten des Algebra-Arguments bewies. 1900 wies D. Hilbert auf dem Mathematischen Kongress in Paris unter 23 unantastbaren Problemen der Mathematik auf die Offensive hin: Chi ist eine transzendente Zahl α β , de α і β - außerdem algebraische Zahlen β - irrationale Zahl, i, zokrema, chi є transzendente Zahl e π α β bula zuerst in privater Form wurde von L. Euler, 1744). Die äußere Version des Problems (im eigentlichen Sinne) wurde 1934 von A. O. Gelfond mehr oder weniger berücksichtigt. Aus der Aussage von Gelfond, zokrema, geht hervor, dass alle zehn Logarithmen natürlicher Zahlen (d. h. „tabellarische Logarithmen“) T. h. Methoden der Theorie T. h.

Zündete.: Gelfond A. O., Transzendentale und algebraische Zahlen, M., 1952.

Große Radianska-Enzyklopädie. - M: Radianska-Enzyklopädie. 1969-1978 .

Staunen Sie über eine solche "transzendente Zahl" in anderen Wörterbüchern:

Eine Zahl, die mit keiner beliebigen Anzahl von Koeffizienten zufrieden ist. Transzendente Zahlen є: Zahl? 3.14159...; der zehnte Logarithmus einer beliebigen ganzen Zahl, die nicht durch Eins mit Nullen dargestellt wird; Zahl e = 2,71828 ... ta in ... Groß Enzyklopädisches Wörterbuch

- (lat. transcendere rübergehen, umdrehen) tse recheve abo komplexe Zahl, die nicht algebraisch ist, mit anderen Worten, eine Zahl, die keine Wurzel eines reichen Begriffs mit vielen Koeffizienten sein kann. Zmist 1 Macht 2 ... ... Wikipedia

Eine Zahl, die mit keiner beliebigen Anzahl von Koeffizienten zufrieden ist. Transzendente Zahlen є Zahl π = 3,14159...; der zehnte Logarithmus einer beliebigen ganzen Zahl, die nicht durch Eins mit Nullen dargestellt wird; Zahl e = 2,71828 ... ta in. Enzyklopädisches Wörterbuch

Eine Zahl, die nicht dieselbe Algebra erfüllt. ur nіu mit qіlimi-Koeffizienten. T. Jahr. є: Zahl ПІ = 3,14159...; der zehnte Logarithmus einer beliebigen ganzen Zahl, die nicht durch Eins mit Nullen dargestellt wird; Zahl e = 2,71828 ... ta in. Naturwissenschaft. Enzyklopädisches Wörterbuch

Die Zahl, die nicht die Wurzel des gleichen reichen Terms mit den gleichen Koeffizienten ist. Der Umfang solcher Zahlen ist die Null von reellen, komplexen und radialen Zahlen. Іnuvannya, die offensichtlich die Aktion von T. h. obguruntuvav J. Liouville veranlasste ... Mathematische Enzyklopädie

Gleich, wie nicht є algebraisch. Nennen Sie die Preisausrichtung, die dargestellt werden kann, logarithmische, trigonometrische, reversible trigonometrische Funktionen, zum Beispiel: Suvorishe der Bezeichnung wie: Transzendentale Ausrichtung des Ziels ... Wikipedia

Die Zahl, ungefähr 2,718, wird häufig in Mathematik und Naturwissenschaften verwendet. Wenn beispielsweise radioaktive Sprache zusammenbricht, geht nach Ablauf der Stunde t am Ende der Sprechzeit ein Teil verloren, der teurer ist e kt, de k Zahl, ... Collier Enzyklopädie

E ist eine mathematische Konstante, die Basis des natürlichen Logarithmus, eine irrationale und transzendente Zahl. Mit anderen Worten, die Zahl e heißt Euler-Zahl (nicht zu verwechseln mit den sogenannten Euler-Zahlen erster Art) oder Napier-Zahl. Es wird durch den kleinen lateinischen Buchstaben „e“ gekennzeichnet.

E ist eine mathematische Konstante, die Basis des natürlichen Logarithmus, eine irrationale und transzendente Zahl. Mit anderen Worten, die Zahl e heißt Euler-Zahl (nicht zu verwechseln mit den sogenannten Euler-Zahlen erster Art) oder Napier-Zahl. Es wird durch den kleinen lateinischen Buchstaben „e“ gekennzeichnet.