Systeme linearer Linien. Elementare Transformation von Vektorsystemen. Schritt-für-Schritt-System von Vektorsystemen

Termin 5. Elementare Transformationen Systeme linearer Ausrichtungen werden її fortschreitende Transformationen genannt:

1) Permutation, ob zwei gleiche Stellen vorhanden sind oder nicht;

2) Multiplizieren beider Teile derselben gleichen Zahl;

3) Hinzufügen zu beiden Teilen von einem gleichen Teilen des zweiten gleichen, multipliziert mit der Zahl k;

(gleichzeitig werden die Flüsse dauerhaft).

Null gleich gleich dem offensiven Verstand genannt:

Satz 1. Seien Sie wie die letzte Folge elementarer Transformationen und die Transformation des Sonntags des Nullausgleichs, um ein System linearer Gleichheiten gleich stark und ein anderes System linearer Gleichheiten zu übersetzen.

Bringen. Mit einem Blick auf die Autorität des 4. Absatzes, um den Satz für die Transformation des Okremo auf die Haut zu bringen.

1. Im Falle einer Permutation der Ränge des Systems ändern sich die Ränge selbst nicht, daher ist das System für die Ernennungen gleich stark.

2. Aufgrund des ersten Teils des Beweises genügt es, die Festigkeit für den ersten gleich zu machen. Multiplizieren wir das System (1) mit der Zahl , erhalten wir das System

(2)

Komm schon  System (1) . Dieselben Zahlen erfüllen die Gleichungen des Systems (1). Da die oskіlki alle Gleichen des Systems (2) des ersten zbіgayutsya mit den Gleichen des Systems (1) sind, erfüllen die Zahlen alle Gleichen. Scherben der Zahl erfüllen die erste Gleichheit des Systems (1), kann das erste Mal die numerische Gleichheit sein:

Yogo mit einer Zahl multiplizieren K, Wir nehmen die richtige numerische Gleichheit:

Dass. installieren, was  System (2).

Zurück, Yakscho Lösung des Systems (2), dann genügen die Zahlen den Schnurrbärten des Systems (2). Die oskіlki alle Gleichen des Systems (1) des ersten zbіgayutsya mit den Gleichen des Systems (2), dann erfüllen die Zahlen alle Gleichen. Scherben der Zahl erfüllen die erste Gleichheit des Systems (2), dann gilt die numerische Gleichheit (4). Nachdem wir die Beleidigungen durch die Zahl geteilt haben, entfernen wir die numerische Gleichheit (3) und schließen daraus  Entkopplung des Systems (1).

Zvіdsi für Termine 4 System (1) ist gleich System (2).

3. Aufgrund des ersten Teils des Beweises genügt es, Festigkeit für das erste und das andere gleiche System zu bringen. Dodamo zu beiden Teilen der ersten Ausrichtung des Systems K, nehmen Sie das System

(5)

Komm schon Systemlösung (1) . Dieselben Zahlen erfüllen die Gleichungen des Systems (1). Da die Zahlen aller Gleichen des Systems (5) des ersten mit den Gleichen des Systems (1) kombiniert werden, erfüllen die Zahlen alle Gleichen. Scherben der Zahl erfüllen die erste Äquivalenz des Systems (1)

Term für Term zur ersten Gleichheit eines Freundes addieren, multipliziert mit der Zahl K wir nehmen die richtige numerische Gleichheit.

§7. Liniensysteme

Gleiche Systeme. Elementare Transformation des Systems linearer Linien.

Komm schon W- aufstellen komplexe Zahlen. Dem Verstand gleich

de
, werden als lineare Gleichheit bezeichnet n nevidomimi
. Bestellset
,
genannt Entscheidungen gleich (1), wie .

System m lineares rivnyan z n das System heißt dem Geist gleich:

- Koeffizienten des Systems linearer Ausrichtungen, - Kostenlose Mitglieder.

Rechteckiger Tisch

,

die Matrix der Welt genannt wird
. Lassen Sie uns die Notation einführen: - ich-Ta Zeile der Matrix,
- k-Ty stovpets-Matrix. Matrix ABER mehr bedeuten
oder
.

Die kommende Transformation der Zeilen in der Matrix ABER heißen elementar:
) Ausschalten der Nullreihe; ) Multiplikation aller Elemente einer beliebigen Zeile mit einer Zahl
; ) ein Nachtrag zu einer beliebigen Zeile einer anderen Zeile, multipliziert mit
. Ähnliche Transformationen der Matrixspalten ABER heißen elementare Transformationen der Matrix ABER.

Das erste Nicht-Null-Element (noch wichtiger rechts) einer beliebigen Zeile der Matrix ABER heißt das leitende Element dieser Reihe.

Geplanter Termin. Matrix
es wird ein Schritt genannt, als ob sie so geweiht wären:

1) Nullzeilen der Matrix (wie Gestank) sind niedriger als Nicht-Nullzeilen;

2) Jakscho
leiten Elemente einer Zeile einer Matrix, dann

Be-wie eine Nicht-Null-Matrix Und im Falle gewöhnlicher elementarer Transformationen kann sie auf eine Stufenmatrix reduziert werden.

Hintern. Induzierbare Matrix
zur Stufenmatrix:
~
~
.

Matrix gefaltet mit Systemkoeffizienten lineare Linien (2) werden als Hauptmatrix des Systems bezeichnet. Matrix
, Otriman, mit der Aufnahme der freien Mitglieder, wird die erweiterte Matrix des Systems genannt.

Die Ordnungen des Satzes werden die Lösungen des Systems der linearen Ausrichtungen (2) genannt, ebenso wie die Entscheidungen der linearen Ausrichtung des Systems der Haut.

Das System der linearen Ausrichtungen wird kohärent genannt, weil es nur eine Lösung geben kann, und es ist nicht verrückt, weil es nicht gelöst werden kann.

Das System der linearen Ausrichtungen wird Singen genannt, weil es nur eine Lösung gibt, die nicht markiert wird, weil es mehr als eine Lösung gibt.

Die kommende Transformation des Systems der linearen Ausrichtungen wird als elementar bezeichnet:

) Ausschluss aus dem System gleich dem Verstand;

) Vielfache beider Teile, ob es gleich ist
,
;

) Hinzufügen, ob es eine andere Gleichheit gibt, multipliziert mit ,.

Zwei Systeme linearer Linien n die Unbekannten werden gleich stark genannt, weil der Gestank nicht kohärent ist, aber viele ihrer Entscheidungen getroffen werden.

Satz. Zum Beispiel wurde ein System linearer Ausrichtungen von den anderen elementaren Transformationen des Typs ), ), ) entfernt, es ist ebenso stark wie ein visuelles.

Überarbeitung des Systems der linearen Ausrichtungen durch die Methode des Ignorierens des Unbekannten (nach der Gauß-Methode).

Lassen Sie das System gehen m lineares rivnyan z n unwidomimi:

Wie ein System (1), um den Verstand zu rächen

dann ist das System nicht kohärent.

Nehmen wir an, dass das System (1) nicht gleich der Form (2) ist. Lassen Sie das System (1) den Koeffizienten ändern x 1 zunächst gleich
(als ob es nicht so wäre, dann ist es durch Umstellen gleicher Stellen nicht möglich, was zu erreichen, also nicht alle Koeffizienten an x 1 ist gleich Null). Zastosuyemo zum System linearer Linien (1) vorrückende Lanzetten elementarer Transformationen:

, Dodamo auf eine andere Ebene;

Zuerst gleich, multipliziert mit
, Dodamo auf die dritte Ebene und so weiter;

Zuerst gleich, multipliziert mit
dodamo zum Rest des Systems.

Als Ergebnis entfernen wir das System der linearen Ausrichtungen (wir gaben die kürzeste SLN für das System der linearen Ausrichtungen) gleich der Stärke des Systems (1). Sie können feststellen, dass es in dem anderen System gleich der Zahl ist ich, ich 2, räche dich nicht am Unbekannten x 2. Komm schon k also am wenigsten natürliche Zahl, was ist unbekannt x k Ich will mich in einer gleichen Zahl rächen ich, ich 2. Todi otrimana system rivnyan maє vyglyad:

System (3) ist gleich System (1). Zastosuєmo jetzt zum Subsystem
Systeme der linearen Ausrichtung (3) Mikroskopie, die auf SLN (1) getestet wurden. Und soweit. Als Ergebnis dieses Prozesses kommt bis zu einem der beiden Ergebnisse.

1. Wir nehmen die SLU weg, die dem Verstand entspricht (2). Und hier ist SLE (1) inkonsistent.

2. Elementare Transformationen, Stasis zu SLN (1), führen nicht zu einem System, das den Schein rächt (2). Bei tsomu vipadku SLP (1) durch elementare Transformationen
Zeigen Sie auf das System, das dem Geist entspricht:

(4)

de, 1< k < l < . . .< s,

Das System linearer Ausrichtungen in der Form (4) heißt schrittweise. Hier können Sie zwei Stürze haben.

a) r= n dann kann das System (4) aussehen

(5)

System (5) hat nur eine Lösung. System (1) kann wiederum nur gelöst werden.

B) r< n. Wessen Geist kein Zuhause hat
im System (4) werden sie Kopf-Nicht-Dominanten genannt, ansonsten in diesem System nicht-Dominanten - frei (sechs Nummer eins n- r). Nadamo etliche Zahlenwerte sind nicht nötig, sogar SLU (4) matime sieht genauso aus wie das System (5). Daraus sind die Schlagzeilen eindeutig. In diesem Rang kann das System aufgelöst werden, es ist also ein kohärentes. Oskіlki vіlnim nevidomim gab einen ziemlich numerischen Wert an W, dann ist System (4) undefiniert. Auch hier ist System (1) undefiniert. Viraziv in SLN (4) smut nevidomі durch vіlnі nevidomі, Otrimaemo-System, das als die wildesten Lösungen des Systems bezeichnet wird (1).

Hintern. Lösen Sie das System der linearen Ausrichtungen durch die Methode G aussa

Wir schreiben die erweiterte Matrix des Systems linearer Ausrichtungen und bringen sie mit Hilfe elementarer Zeilentransformationen zu einer Stufenmatrix:

~

~
~
~

~ . Durch Weglassen der Matrix können wir ein System linearer Ausrichtungen finden:
Tsya-System ist gleich dem externen System. Wie ein Kopf des Unbekannten
vіlnі nevіdomі. Übrigens ist der Kopf des Unbekannten nur durch das wilde Unbekannte:

Wir haben die vollständige Lösung von SLN entfernt. Lass mich gehen

(5, 0, -5, 0, 1) ist eine private Lösung für SLP.

Aufgabe für unabhängiges Sehen

1. Um die globale Lösung und eine weitere Lösung des gleichen Systems durch die Methode des Ausschaltens des Unbekannten zu kennen:

1)
2)

4)
6)

2. Wissen für verschiedene Werte Parameter a globale Lösung des Flusssystems:

1)
2)

3)
4)

5)
6)

§acht. Vektorräume

Vektorraumkonzept. Die einfachste Kraft.

Komm schon v ≠ Ø, ( F, +,∙) – Feld. Die Elemente des Feldes werden Skalare genannt.

Fermentation φ : F× v –> v wird die Operation des Multiplizierens von Elementen des Multiplizierens genannt v auf Skalare aus dem Feld F. Bedeutend φ (λ,a) durch λа Twist-Element a zu einem Skalar λ .

Geplanter Termin. Bezlich v aus einer gegebenen algebraischen Operation durch Hinzufügen von Elementen zu einem Multiplikator v dass mehrere Elemente v auf Skalare aus dem Feld F heißt der Vektorraum über dem Körper F, was die folgenden Axiome bedeutet:

Hintern. Komm schon F aufstellen, F n = {(a 1 , a 2 , … , a n) | a ich F (ich=)). Lederelement mehrfach F n genannt n-einfacher arithmetischer Vektor. Lassen Sie uns die Operation des Addierens einführen n-Friedensvektoren und Multiplikation n-Weltvektor pro skalarem z-Feld F. Komm schon
. Lass es uns tun = ( a 1 + b 1 , … , a n + b n), = (λ a 1 , λ a 2 , … , λ a n). Bezlich F n wo die Einführung von Operationen Vektorraum ist, und es heißt n-einfacher arithmetischer Vektorraum über dem Feld F.

Komm schon v- Vektorraumüber das Feld F, ,
. Es gibt solche Eigenschaften:

1)
;

3)
;

4)
;

Zähigkeitsnachweis 3.

Z der Eifersucht für das Gesetz der schnellen Gruppe ( v,+) vielleicht
.

Lineare Brache, Unabhängigkeit von Vektorsystemen.

Komm schon v- Vektorraum über dem Feld F,

. Ein Vektor wird als Linearkombination eines Systems von Vektoren bezeichnet
. Anonymität aller Linearkombinationen des Vektorsystems genannt lineare Schale tsієyu system vektorіv i poznaєєєєєyu.

Geplanter Termin. Das Vektorsystem wird als lineare Brache bezeichnet, da solche Skalare verwendet werden
nicht alle sind gleich Null, also

Wie Äquivalenz (1) siegt entweder oder weniger als das, wenn λ 1 = λ 2 = … = =λ m=0 heißt das Vektorsystem linear unabhängig.

Hintern. Chi z'yasuvati chi є System von Vektoren = (1,-2,2), =(2,0, 1), = (-1, 3, 4) Leerzeichen R 3 linear brach oder unabhängig.

Lösung. Seien λ 1 , λ 2 , λ 3
і

 |=> (0,0,0) – Systemlösung. Otzhe, das Vektorsystem ist linear unabhängig.

Die Dominanz des linearen Irrtums und die Unabhängigkeit des Vektorsystems.

1. Das System der Vektoren, das einen Nullvektor rächen will, liegt linear brach.

2. Ein System von Vektoren, um ein linear brachliegendes Subsystem zu rächen, ein linear brachliegendes.

3. System von Vektoren, de
є linear brach sogar und nur einmal, wenn Sie einen Vektor des Systems wollen, einen einzelnen Vektor, є eine lineare Kombination von Vorwärtsvektoren.

4. Als System von Vektoren ist es linear unabhängig, aber ein System von Vektoren
linear brach, dann der Vektor Sie können eine Linearkombination von Vektoren und bis zum gleichen Rang betrachten.

Bringen. Wenn das Vektorsystem linear brach liegt, dann
nicht alle sind gleich Null, also

In Vektoräquivalenz (2) λ m+1 ≠ 0 λ m+1 \u003d 0, dann s (2) \u003d\u003e Wir sehen, dass das Vektorsystem linear brach liegt, Scherben λ 1 , λ 2 , … , λ m nicht alle gleich Null. Sie kamen, um ihren Verstand auszulöschen. Z (1) => de
.

Lassen Sie den Vektor so darstellen, wie Sie ihn sehen: Todo mit Vektorgleichheit
durch die lineare Unabhängigkeit des Vektorsystems können wir das sehen
1 = β 1 , …, m = β m .

5. Geben Sie Daten zu zwei Systemen von Vektoren und
, m>k. Wenn der Vektor des Vektorsystems als Linearkombination des Vektorsystems kombiniert werden kann, dann ist das Vektorsystem linear brach.

Basis, Rang des Vektorsystems.

Kіntseva-Vektorsystem im Weltraum vüber das Feld F sinnvoll durch S.

Geplanter Termin. Be-yaka linear unabhängiges Subsystem des Vektorsystems S heißt die Basis des Vektorsystems S Yakscho Be-Yaky-Vektorsystem S Sie können sich die Linearkombination des Vektorsystems ansehen.

Hintern. Finden Sie die Basis des Vektorsystems = (1, 0, 0), = (0, 1, 0),

= (-2, 3, 0)R3. Das System der Vektoren, linear unabhängig, oskіlki, vіdpovіdno to dominion 5 das System der Vektoren wurde aus dem System der Vektoren entfernt zusätzliche Hilfe Grundlagen Elektromechanotronik: Initialzusätzliche Hilfe Stiftung Elektrotechnik"; ...

Vor den elementaren Transformationen sieht man:

1) Eine Addition beider Teile des einen zu gleichen Teilen des anderen, multipliziert mit derselben Zahl, die nicht gleich Null ist.

2) Permutation der Gleichgestellten der Missionen.

3).

SATZ DES KRONECKERS - CAPELLI

(Umova-Systemintegrität)

(Leopold Kronecker (1823–1891) deutscher Mathematiker)

Satz: Das System wird entweder oder weniger geteilt (kann eine Lösung wünschen), wenn der Rang der Matrix des Systems gleich dem Rang der erweiterten Matrix ist.

Offensichtlich kann System (1) geschrieben werden als:

x 1 + x 2 + … + x n

Bringen.

1) Wenn die Entscheidung getroffen ist, dann ist die Spalte der freien Elemente eine Linearkombination der Spalten der Matrix A, die auch zur Matrix hinzugefügt wird, das heißt. Übergang А®А* ändert den Rang nicht.

2) Yakshcho RgA = RgA * , tse bedeutet, dass der Gestank im gleichen grundlegenden Moll sein kann. Stovpets vіlnyh termіnі - lineare Kombination von stovptsіv base minor, bis zur korrekten Notation, zeigte höher.

Hintern. Berechnen Sie die Konsistenz des Systems der linearen Ausrichtungen:

~ . Rg = 2.

A* = Rga * = 3.

Das System ist verrückt.

Hintern. Bestimmen Sie die Summe des Systems linearer Ausrichtungen.

A =; = 2 + 12 = 14 ¹ 0; RgA = 2;

A* =

RgA* = 2.

Schlafsystem. Lösung: x1 = 1; x2 = 1/2.

2.6 GAUSS-METHODE

(Karl Friedrich Gaus (1777-1855), deutscher Mathematiker)

Auf der Grundlage der Matrixmethode und der Cramer-Methode kann die Gauß-Methode aus einer großen Anzahl von Ausrichtungen und Unbekannten in Systeme linearer Ausrichtungen umgewandelt werden. Das Wesen der Methode beruht auf der nachträglichen Einbeziehung von auswärtigen Patienten.

Schauen wir uns das System der linearen Ausrichtungen an:

Teilen wir die beleidigenden Teile der 1. gleich auf eine 11 ¹ 0, dann:

1) multipliziere mit einer 21, die ich von einem anderen gleich sehe

2) mit 31 multiplizieren sehe ich aus dem dritten gleich

, de d 1 j = a 1 j /a 11 j = 2, 3, …, n+1.

d ij = a ij - a i1 d 1j ich = 2, 3, …, n; j = 2, 3, …, n+1.

Hintern. Zeigen Sie das System der linearen Linien mit der Gaußschen Methode auf.

, Sterne sind akzeptabel: x 3 \u003d 2; x 2 \u003d 5; x1=1.

Hintern.Überprüfen Sie das System nach der Gauß-Methode.

Erweitern wir die Systemmatrix.

In diesem Rang kann das externe System wie folgt dargestellt werden:

, Sterne sind akzeptabel: z = 3; y=2; x = 1.

Otriman v_dpovіd zbіgaєtsya vіdpovіddu, otrimana für dieses System nach der Cramer-Methode und der Matrix-Methode.

Für eine unabhängige Vision:

Vorschlag: (1, 2, 3, 4).

THEMA 3. ELEMENTE DER VEKTORALGEBRI

GRUNDBEZEICHNUNG

Geplanter Termin. Vektor Gerade Linien genannt (ein paar Punkte sind geordnet). Auch vor vector_v_vіdnosti Null Vektor, der Kolben dieser Art von zbіgayutsya.

Geplanter Termin. Dovzhina (Modul) Der Vektor wird zwischen dem Kolben und dem Ende des Vektors aufgerufen.

Geplanter Termin. Die Vektoren werden aufgerufen kollinear wie Gestank, der sich auf einer oder den parallelen Linien ausbreitet. Der Nullvektor ist kollinear zu jedem Vektor.

Geplanter Termin. Die Vektoren werden aufgerufen koplanar wie eine echte Wohnung, wie ein paralleler Gestank.

Kollineare Vektoren sind immer koplanar, aber nicht alle koplanaren Vektoren sind kolinear.

Geplanter Termin. Die Vektoren werden aufgerufen gleich als ob sie kollinear wären, sie sind jedoch begradigt und können die gleichen Module sein.

Be-yaki-Vektoren und können den herzhaften Maiskolben, Tobto, bringen. um Vektoren und vidpovidno gleiche Daten zu induzieren und einen heißen Maiskolben zu machen. Aus der Bezeichnung der Vektorgleichheit geht hervor, ob ein Vektor ein unpersönlicher Vektor sein kann, gleich dir.

Geplanter Termin. Linienbetriebüber Vektoren nennt man Addition und Multiplikation mit einer Zahl.

Sumoyu-Vektor_v є Vektor -

Tvir - , bei denen kolіnearen .

Richtungsvektor ist Vektor ( ), also a > 0.

Der Vektor von protivolezhnoy Direktiven mit dem Vektor (?), so dass a< 0.

KRAFT DES VEKTORIV

1) + = + - Kommutativität.

2) + ( + ) = ( + )+

5) (a×b) = a(b) – Assoziativität

6) (a + b) = a + b - Distributivität

7) a(+) = a + a

Geplanter Termin.

1) Basis Der Raum wird als 3 nicht koplanare Vektoren bezeichnet, die in derselben Reihenfolge genommen werden.

2) Basis auf der Ebene werden 2 nicht kollineare Vektoren genannt, die in derselben Reihenfolge genommen werden.

3)Basis auf einer geraden Linie heißt Vektor ungleich Null.

Zwei Liniensysteme in einem Satz x 1 ..., x n

Sie werden äquivalent genannt, weil ihre unpersönlichen Entscheidungen vermieden werden (daher werden Multiplikationen und K n vermieden). Tse bedeutet, sho: oder Gestank auf einmal є leere Submultiples (also beleidigende Systeme (I) und (II) verunsichert), oder Gestank auf einmal nicht leer, i (also Hautlösung von System I є Lösungen von System II і Hautlösung von System II є Lösungen von System I ).

Bestand 3.2.1.

Gaus-Methode

Der Plan für den von Gaus vorgeschlagenen Algorithmus ist ziemlich einfach:

1. zastosovuvat nacheinander zum System der linearen Ausrichtungen, um die unpersönliche Lösung nicht zu ändern (auf diese Weise nehmen wir die unpersönliche Lösung des visuellen Systems), und gehen Sie zum äquivalenten System, das "einfach aussehend" sein kann (dies ist der Name des Schrittformulars);
2. für den "einfachen Verstand" des Systems (mit einer schrittweisen Matrix) beschreiben Sie die unpersönliche Lösung, die für die unpersönliche Lösung des visuellen Systems verwendet wird.

Es ist bezeichnend, dass die enge Methode "fan-chen" bereits in der alten chinesischen Mathematik verwendet wurde.

Elementare Transformation von Systemen linearer Ausrichtungen (Reihe von Matrizen)

Bezeichnung 3.4.1 (Elementartransformation 1. Art). Bis zur i-ten Ebene des Systems wird die k-te Ebene addiert, multipliziert mit der Zahl (signed: (i) "=(i) + c(k); dann wird nur noch eine i-te Ebene (i ) wird durch eine neue Ebene (i) "=(i)+c(k)) ersetzt. Neu darf i-e gleich aussehen (a i1 + ca k1) x 1 + ... + (a in + ca kn) x n = b ich + cb k, oder kurz

Das heißt, im neuen i-ten Bezirk a ij " = a ij + ca kj , b ich " = bi + cb k.

Bezeichnung 3.4.2 (elementare Konvertierungsart 2). Für i -е Ė k -е werden die Gleichen um die Ränge verändert, die anderen Gleichen werden nicht verändert (Vorzeichen: (i)"=(k) , (k)"=(i) ; .,n

Respekt 3.4.3. Zur Verdeutlichung können Sie für bestimmte Berechnungen elementare Transformationen des 3. Typs hinzufügen: Die i-te Berechnung wird mit einer Zahl ungleich Null multipliziert , (i)" = c (i) .

Vorschlag 3.4.4. So wie der Systemtyp I mit Hilfe der letzten Zahl elementarer Transformationen des 1. und 2. Typs an System II überging, so kann man sich in Form von System II sowohl System I als auch elementaren Transformationen 1. und 2. Art zuwenden 2. Typ.

Bringen.

Respekt 3.4.5. Die Festigkeit ist wahr und gehört zu den elementaren Transformationen der elementaren Transformation des 3. Typs. Jakscho i (i)"=c(i) , dann ta (i)=c -1 (i)" .

Satz 3.4.6.Nach dem letzten Halt der letzten Anzahl elementarer Transformationen des 1. oder 2. Typs kommt das System der linearen Ausrichtungen, das dem Kolben entspricht, zum System der linearen Ausrichtungen.

Bringen. Es ist wichtig, einen Blick auf den Übergang von System I zu System II zu werfen, um eine elementare Transformation hinzuzufügen und die Lösung der Inklusion zu Reichtum zu bringen (Scherben durch den gebrachten Satz von System II können zu System I und zu diesem gedreht werden , Inklusion, Gleichmut gebracht werden).

Termin 1. Das System der linearen Ausrichtungen Geist (1) , de , Feld, wird genannt ein System von m linearen Linien von n Nevidomimi über das Feld, - Koeffizienten für non-domic, , , - freie Mitglieder des Systems (1).

Termin 2. Bestellt n-ka (), de, genannt an die Spitze des linearen Liniensystems(1), auch wenn die Änderung auf der Haut ersetzt wird, wird das System (1) auf die korrekte numerische Ausrichtung geändert.

Termin 3. schläfrig Yakscho eitel möchte vielleicht eine Entscheidung treffen. Andernfalls wird das System (1) aufgerufen verrückt.

Termin 4. Das System der linearen Ausrichtungen (1) wird aufgerufen Singen es kann nur eine Lösung geben. Andernfalls wird das System (1) aufgerufen unbestellt.

System linearer Linien

(є Entscheidung) (keine Entscheidung)

schläfrig verrückt

(eine Entscheidung) (keine Entscheidung)

pevna ist unbekannt

Termin 5. Das System linearer Linien über dem Feld R genannt homogen yakscho alle її vіlnі Begriffe gleich Null. Andernfalls wird das System aufgerufen heterogen.

Betrachten wir das System der linearen Linien (1). Das gleiche homogene System im Kopf wird als homogenes System bezeichnet, damit verbundenen von System (1). Homogene SLN zum ersten Mal, oskolki kann entschieden werden.

Für kutane SLN können zwei Matrizen auf einen Blick eingeführt werden - die Hauptmatrizen werden erweitert.

Termin 6. Die Hauptmatrix des Systems der linearen Ausrichtungen(1) Die Matrix heißt, sie setzt sich aus Koeffizienten ohne Offensivtyp zusammen: .

Termin 7. Erweiterte Matrix des Systems der linearen Ausrichtungen(1) Die Matrix heißt, abgeschnitten von der Matrix durch einen Pfad, an den sich eine Menge freier Mitglieder anschließt: .

Termin 8.Elementare Transformationen des Systems linearer Ausrichtungen heißen wie folgt: 1) Multiplizieren beider Teile desselben gleichen Systems mit einem Skalar; 2) Addieren zu beiden Teilen einer Ebene des Systems von zweiten Teilen der anderen Ebene, multipliziert mit einem Element; 3) den Verstand ergänzen oder sich als gleichwertig erweisen.

Termin 9. Zwei Liniensysteme über dem Feld R wie die Änderung heißt gleich stark, da ihre unpersönlichen Entscheidungen vermieden werden.

Satz 1 . So wie ein System linearer Gleichheiten einem anderen mit Hilfe elementarer Umformungen abgenommen wurde, so sind solche Systeme gleich stark.

Manuell elementare Transformationen werden nicht auf ein System linearer Ausrichtungen gebracht, sondern auf eine erweiterte Matrix.

Termin 10. Geben wir eine Matrix mit Elementen aus dem Körper R an. Elementare Transformationen Matrizen heißen so:

1) Multiplikation aller Elemente einer beliebigen Zeile der Matrix mit aО Р # ;

2) Multiplizieren aller Elemente einer beliebigen Zeile der Matrix mit aО Р # und Addieren der anderen Elemente der nächsten Zeile;

3) Permutation der Stellen durch zwei Reihen der Matrix;

4) Hinzufügen oder Freigeben der Nullreihe.

8. SLU-Lösung: m Methode des nachträglichen Ausschlusses von Unbekannten (Gauß-Methode).

Werfen wir einen Blick auf eine der Hauptmethoden zum Entkoppeln von Systemen linearer Ausrichtungen, die aufgerufen wird durch die Methode der nachträglichen Einbeziehung von Unbekannten, was sonst, Gauss-Methode. Sehen Sie sich das System an(1) m lineares rivnyan z n nevidomimi über das Feld R:(1) .

Das System (1) möchte, dass einer der Koeffizienten nicht gut ist 0 . Іnakshe (1) - das System der Gleichen von () nevіdomimi - tse superechit minds. Wir merken uns die Ausgleiche nach Monaten, so dass der Koeffizient beim ersten Ausgleich nicht gut ist 0 . In diesem Rang können Sie vvazhati, sho. Multiplizieren Sie die anstößigen Teile des ersten Gleichen und addieren Sie die zweiten Teile des anderen, dritten, ..., m gleich. Wir nehmen das System mind: , de s- die kleinste Zahl, also möchte ich einen der Koeffizienten, wenn er nicht gesund ist 0 . Wir merken uns die Gleichheiten nach Monaten, sodass die andere Zeile einen Koeffizienten hat, wenn die Kosten geändert werden 0 , dann. wir können erraten, was. Lassen Sie uns die beleidigenden Teile des anderen gleich multiplizieren und zu den gleichen Teilen des dritten hinzufügen, ..., m gleich. In Fortsetzung dieses Prozesses berücksichtigen wir das System:

Das System linearer Gleichheiten, yak, ist nach Theorem 1 gleich dem System (1) . Das System wird als abgestuftes System linearer Ausrichtungen bezeichnet. Es gibt zwei Möglichkeiten: 1) Es ist nicht gut, eines der Elemente zu wollen 0 . Komm zum Beispiel. Dasselbe gilt für das System der linearen Ausrichtungen, es ist dem Verstand ähnlich, dass es unmöglich ist. Tse bedeutet, dass das System keine Lösung hat und daher das System (1) keine Lösung haben kann (manchmal ist (1) ein inkonsistentes System).

2) Komm schon, ...,. Todi für die Hilfe der elementaren Transformation Z) nehmen wir das System weg - das System r lineares rivnyan z n Unbekannt. Bei jeder Änderung werden sie für die Koeffizienten aufgerufen Kopf wechseln(tse), insgesamt r. Інші ( nr) Namen ändern frei.

Es gibt zwei Möglichkeiten: 1) Yakshcho r=n, dann - das System der Trikotoptik. Für diesen, vom letzten Gleichen, kennen wir Veränderung, vom letzten – Veränderung, vom ersten Gleichen – Veränderung. Außerdem gibt es nur eine Lösung für das System der linearen Ausrichtungen und auch für das System der linearen Ausrichtungen (1) (zeitweise wird das System (1) zugewiesen).

2) Komm schon r . Und hier wenden sich die Hauptänderungen durch die Übel und gewinnen die entscheidende Lösung des Systems der linearen Linien (1). Nadayuyuschie vіlnym zmіnnym sovіlnі znachenya, nabuvayut verschiedene private Lösungen des Systems linearer Linien (1) (System (1) ist in diesem Fall nicht sichtbar).