Das Unterintegral hat die Potenz, analog zur Potenz des Singintegrals. Deutlich weniger als die wichtigsten:

1. Was sind die Funktionen
Integration in die Region
, dann ist die Integration in sie im Übrigen die Menge und die Differenz

2. Der konstante Multiplikator kann für das Vorzeichen verantwortlich gemacht werden Bügel integriert:

3. Yakscho
in die Region integriert
, und dieser Bereich ist in zwei Bereiche unterteilt, die sich nicht überschneiden і
, dann

.

4. Yakscho
і
Integration in die Region
, in yakіy

, dann

.

5. Was ist in der Gegend
Funktion
zufrieden mit den Ungereimtheiten


de
і
handelt Zahlen, dann

,

de – Bereich der Region
.

Die Beweise dieser Potenzen sind analog zum Beweis der zweiten Theoreme für das einfache Integral.

Berechnung des vertikalen Integrals in rechtwinkligen kartesischen Koordinaten

Lassen Sie es notwendig sein, das zugrunde liegende Integral zu berechnen
, Bereich - Rechteckig, das durch Unregelmäßigkeiten gekennzeichnet ist ,.

Nehmen wir das an
liegt ununterbrochen im gleichen Rechteck und schwillt im neuen unbekannten Wert an, obwohl das Integral des Volumens des Körpers mit der Basis , gesäumt mit dem Tier an der Spitze
, von den Seiten - Wohnungen
,
,
,
:

.

Umgekehrt lässt sich eine solche Figur mit Hilfe des Singintegrals berechnen:

,

de
- der Bereich, in dem dieser Körper mit einem Flugzeug gekreuzt wird, das durch einen Punkt verläuft und senkrecht zur Achse
. Analysesplitter, gekreuzt mit einem krummlinigen Trapez
, umgeben von dem Tier mit einem Funktionsgraphen
, de fest, und , dann

.

Z tsikh triokh Gleichheiten vyplivaє, scho

.

Von nun an war die Berechnung des Basisintegrals die Berechnung der beiden Einzelintegrale; bei der Berechnung des "internen Integrals" (in Bögen geschrieben) unveränderlich sein.

Respekt. Können Sie erklären, dass der Rest der Formel wann richtig ist?
, sowie auf einen Blick, ob die Funktion
ändern Sie das Vorzeichen des angezeigten Rechtecks.

Die Rechte des Teils der Formel werden iteriertes Integral genannt und wie folgt bezeichnet:

.

Ebenso lässt sich das zeigen

.

Über dem Gesagten jammern Sie

.

Bleibende Gleichheit bedeutet, dass das Ergebnis der Integration in die Reihenfolge der Integration fallen sollte.

Um einen Blick auf den tiefsten Hang zu werfen, führen wir das Verständnis des Standardbereichs ein. Die direkt der Achse zugeordnete Standard- (oder korrekte) Fläche wird eine solche Fläche genannt, für die sie gerade sein sollte, parallel zum Mittelpunkt der Achse, nicht mehr zwischen den Flächen eingestreut, an zwei Punkten niedriger. Ansonsten scheint es, als würde die Region selbst umgeworfen, dass її Cordon nur eine Brise geradeaus ist.

Es ist akzeptabel, dass die Region umzingelt ist

das von dem Tier mit einem Funktionsgraphen umgeben ist
, unten - Graph der Funktion
. Komm R ( ,) - minimales Rechteck, in das die Region gelegt wird
.

Geh in die Gegend
dass eine ununterbrochene Funktion zugewiesen ist
. Lassen Sie uns eine neue Funktion einführen:

,

ähnlich den Kräften des Bügelintegrals

.

Ich später

.

Oskіlki vіdrіzok
um das Gebiet abzudecken
dann später,
bei


, aber liegen Sie dann in einer vіdrіzkom-Position
.

Mit fest wir können schreiben:

.

Das erste und dritte Integral auf der rechten Seite der Integration addieren sich dann zu Null

.

Otzhe,

.

Warum muss die Formel zur Berechnung des laufenden Integrals über die Fläche der Standardachse verwendet werden?
über den Link zum wiederholten Integral:

.

Yakscho-Region
є Standard y gerade Achse
Sie zeigt sich als Inkonsistenzen ,

, ebenso kann man das beweisen

.

Respekt. Für die Region
, Standard y gerade Achsen
і
, es wird Vicons geben

Bei dieser Formel ändert sich die Integrationsreihenfolge und die Stunde der Berechnung des sublinearen Integrals.

Respekt. Sobald der Integrationsbereich an beiden Koordinatenachsen nicht mehr standardmäßig (korrekt) ist, teilen Sie sich an der Summe der Standardbereiche auf und stellen das Integral als Summe der Integrationen in diesen Bereichen dar.

Hintern. Berechnen Sie das laufende Integral
nach Region
, umgeben von Linien:
,
,
.

Lösung.

Tsya-Bereich є Standard-Yak-Schodo-Achse
, also ich
.

Wir berechnen das Integral unter Berücksichtigung der Fläche der Standardachse
.

.

Respekt. So berechnen Sie das Integral unter Berücksichtigung der Fläche der Standardachse
, nehmen wir das gleiche Ergebnis:

.

Hintern. Berechnen Sie das laufende Integral
nach Region
, umgeben von Linien:
,
,
.

Lösung. Stellvertretend wird dem Kleinen die Region der Integration gegeben.

Tsya-Bereich є Standard-Schodo-Achse
.

.

Hintern. Ändern Sie die Integrationsreihenfolge für die wiederholte Integration:

Lösung. Stellen wir uns die Region der Integration vor.

Von den Interintegrationslinien kennen wir die Linien, die den Integrationsbereich umschließen: ,
,
,
. Um die Reihenfolge der Integration zu ändern, können wir als Funktionen in und wir kennen den Kreuzungspunkt:

,
,
.

Also in einem der Intervalle die Funktion wird durch zwei analytische Viren ausgedrückt, dann muss der Integrationsbereich in zwei Bereiche unterteilt werden, und das wiederholte Integral der Steuer ist die Summe zweier Integrationen.

.

1.1 Bestimmung des vertikalen Integrals

1.2 Dominanz des Subintegrals

Die Kraft des Subintegrals (dass yogo visnovok) ist analog zur Kraft des Einmal-Sing-Integrals.

1°. Additivität. Wenn die Funktion f(x, y) in den Bereich D integriert ist und wenn der Bereich D jenseits der zusätzlichen Kurve Г der Bereich Null in zwei Glieder geteilt ist und keine gemeinsamen inneren Punkte des Bereichs D 1 und D 2 haben kann, dann ist die außerdem ist die Funktion f(x, y) in die Haut aus den Bereichen D 1 und D 2 integriert

2°. Lineare Leistung. Wie sind die Funktionen f(x, y) und g(x, y) im Raum D integrierbar, huh? ich? - seien es Sprachziffern, dann ist die Funktion [? f (x, y) + ? g (x, y)] ist außerdem auch in die Domäne D integriert

3°. Da die Funktionen f(x, y) und g(x, y) im Definitionsbereich D integrierbar sind, sind die Zusatzfunktionen dieser Funktionen in D integrierbar.

4°. Wie lassen sich die Funktionen f(x, y) und g(x, y) in den Definitionsbereich D integrieren und f(x, y) kreuzen? g(x, y), dann

5°. Da die Funktion f(x, y) durch den Definitionsbereich D integriert wird, ist die te Funktion |f(x, y)| außerdem in Region D integriert

(Offensichtlich zeigt die Integration von | f (x, y) | D nicht die Integration von f (x, y) in D.)

6°. Der Mittelwertsatz. Obwohl die Offensivfunktionen f(x, y) und g(x, y) im Bereich D integriert sind, ist die Funktion g(x, y) überall in diesem Bereich unsichtbar (nicht positiv), M und m sind die exakten Ober- und Untergrenzen der Funktion f(x, y) im Bereich D, dann gibt es eine Zahl?, die die Ungleichheit von m? ? ? M i damit die Formel gilt

Sokrema, da die Funktion f(x, y) stetig D ist und die Domäne D verbunden ist, gibt es in dieser Domäne einen solchen Punkt (?, ?), Was? = f(?, ?), und die Formel sieht so aus

7°. Wichtige geometrische Kraft. Wohnbereich Bereich D

Lassen Sie den Körper T (Abb. 2.1) dem Raum unterhalb des Bereichs D dem Tier geben - einem Graphen einer ununterbrochenen und unsichtbaren Funktion) z \u003d f (x, y,), wie er dem Raum zugeordnet ist D, von den Seiten - eine zylindrische Oberfläche, eine direkte є zwischen der Fläche D und parallel zur Oz-Achse. Ein solcher Körper wird als zylindrischer Körper bezeichnet.

1.3 Geometrische Interpretation des vertikalen Integrals

1.4 Das vertikale Integral eines Rechtecks ​​verstehen

Dem Rechteck R = ? sei überall eine hinreichende Funktion f(x, y) zugeordnet. (div. Abb. 1).

Rosmarinsegment a? x? b um n Teilstrecken jenseits des Hilfspunktes a = x 0< x 1 < x 2 < ... < x n = b, а сегмент c ? y ? d на p частичных сегментов при помощи точек c = y 0 < y 1 < y 2 < ... < y p = d.

Warum zerlegt eine Teilung mit Hilfe von Geraden parallel zu den Achsen Ox und Oy das Rechteck R in n · p Teilrechtecke R kl = ? (k = 1, 2, ..., n; l = 1, 2, ..., p). Angegeben durch die Teilung des Rechtecks ​​R, ist es durch das Symbol T signifikant. Wir haben ihm eine Teilung unter dem Begriff "Rechteck" gegeben, um das Rechteck mit Seiten parallel zu den Koordinatenachsen zu verstehen.

Auf dem Haut-Chastkovy-Rechteck Rkl wählen wir einen vollen Punkt (?k,?l). Nachdem ?x k = x k - x k-1, ?y l = y l - y l-1 gesetzt wurde, ist es signifikant durch ?R kl der Fläche des Rechtecks ​​R kl . Offensichtlich ist ?R kl = ?x k ?y l .

wird die Integralsumme der Funktion f(x, y) genannt, die eine gegebene Verteilung T eines Rechtecks ​​R und eine gegebene Auswahl von Zwischenpunkten (? k, l) auf Teilrechtecken einer Verteilung T ergibt.

Die Diagonale heißt Durchmesser des Rechtecks ​​R kl . Ein Symbol? Deutlich größter Durchmesser aller gängigen Rectocuts R kl .

Die Zahl I heißt die Grenze der Integralsummen (1) bei? > 0, wie kann es eine positive Zahl sein? kannst du das sagen Datum?, Was an?< ? независимо от выбора точек (? k , ? l) на частичных прямоугольниках R выполняется равенство

| ? - Ich |< ?.

Die Funktion f(x, y) heißt integriert (nach Riemann) auf dem Rechteck R, weil es eine letzte Grenze zwischen den I Integralsummen der Funktion at? >0.

Die bezeichnete Grenze I heißt das Teilintegral der Funktion f(x, y) durch das Rechteck R und wird mit einem der folgenden Symbole bezeichnet:

Respekt. Damit ist ebenso wie bei einem einmaligen Singintegral festgestellt, dass die Funktion f(x, y) auf dem Rechteck R integriert und auf diesem Rechteck umschrieben wird.

Dies gibt die Möglichkeit, weiter weg von der Grenze der Funktionen f(x, y) zu schauen.

Potenz der untergeordneten Integrale.

Ein Teil der Potenzen der Unterintegrale ohne Vermittler schreit aus dem Sinn dessen Verständnis jene Potenz der Integralsummen, aber sich selbst heraus:

1. Was ist die Funktion f(x,y) integriert in D, dann kf(x, y) tezh es ist in dieses galusi integriert, außerdem (24.4)

2. Was ist in der Gegend D Integrationsfunktionen f(x,y)і g(x,y), dann werden diese Funktionen in diese Galerie integriert f(x, y) ± g(x, y), ich bei

3. Wie man sich in die Region integriert D Funktionen f(x,y)і g(x,y) nervös f(x,y)≤g(x,y), dann

(24.6)

Fügen wir dem Unterintegral mehr Kraft hinzu:

4. Yakscho-Gebiet D in zwei Regionen aufgeteilt D 1 Ta D 2 ohne leuchtende interne Punkte und Funktion f(x,y) ununterbrochen in der Region D, dann

(24.7) Bringen . Integralsumme nach Region D Sie sehen auf einen Blick:

de Teilung der Region D so durchgeführt, dass zwischen D 1 Ta D 2 wird zwischen Teilen der Schlacht aufgebaut. Schweiß an die Grenze leiten, während Gleichheit weggenommen wird (24.7).

5. Zum Zeitpunkt der Integration an D Funktionen f(x,y) diese funktion ist in meinem galus integriert | f(x, y) |, und maє mistse nerіvnіst

(24.8)

Bringen.

Sterne für Hilfe am Grenzübergang bei besessener Nervosität (24.8)

6.de S D– Bereich der Region D. Der Beweis dieser Behauptung wird weggenommen, indem die Integralsumme eingesetzt wird f(x,y)≡ 0.

7. Immer noch in der Region integriert D Funktion f(x,y) befriedigt die Nervosität

m ≤ f(x, y) ≤ M,

dann (24.9)

Bringen.

Der Nachweis erfolgt durch einen Grenzübergang aus offensichtlichen Unebenheiten

Folge.

So bändigt man alle Teile der Nervosität (24.9) weiter D, können Sie den sogenannten Mittelwertsatz nehmen:

Zokrema, für den Geist der ununterbrochenen Funktion f in D es gibt einen solchen Punkt in der Region ( x 0, y 0), in yakіy f(x 0, y 0) = μ , dann

-

Eine andere Formulierung des Mittelwertsatzes.

Geometrischer Nebel unteres Integral.

Sehen wir uns den Körper an v, umgeben von einer Teilfläche, was auf Augenhöhe gefragt ist z = f(x, y), Projektion D tsієї Oberfläche pro Ebene hu eine von den senkrechten abgeschnittene tafelförmige Zylinderfläche, die die Punkte zwischen den Flächen mit ihren Vorsprüngen verbindet.

z = f(x,y)

v

j P ich D Abb.2.

Shukatimemo das Volumen des Körpers zwischen der Summe der Volumen der Zylinder, deren Basen die Teile Δ sind Si Regionen D, und durch Höhen - vіdrіzki zavdovka f(Pi), de Punkte Pi liegen Δ Si. Grenzübergang mit, otrimaemo, scho

(24.11)

dh unter dem Einfluss des Integrals des sogenannten Zylinders, umgeben von der Bestie auf der Oberfläche z = f(x,y), und darunter - der Bereich D.

Berechnung des Unterstreichungsintegrals durch den Weg der Yoga-Verbindung zum zweiten.

Perspektivenbereich D, von Linien begrenzt x=a, x=b(a< b ), de φ 1 ( X) und φ 2 ( X) ohne Pause auf [ ein, b]. Dann sei gerade, parallel zur Koordinatenachse bei und durch den inneren Punkt des Bereichs gehen D, die den Kordon der Region an zwei Punkten überquert: N 1 Ta N 2 (Abb. 1). Nennen wir diesen Bereich Korrekt im ein-

bei richtige Achse O bei. Ebenso ist es

y=φ 2 (x) gibt es einen Bereich, der direkt in einer geraden Linie liegt

N 2 Achsen o X. Region, richtig in direkt-

Nicht beide Koordinatenachsen, wir werden

D nenne es einfach richtig. Zum Beispiel,

Der richtige Bereich ist in Abb. 1 dargestellt.

y=φ 1 (x) N 1

O a b x

Komm schon Funktion f(x,y) ununterbrochen in der Region D. Schau dir Viraz an

, (24.12)

Rang dvorazovym Integral Art der Funktion f(x,y) nach Region D. Lassen Sie uns das interne Integral (an den Armen stehend) durch Ändern berechnen bei, Trotz X postiynim. Als Ergebnis sehen wir ununterbrochene Funktion Aussicht X:

Otrimanu-Funktion ist integrierbar für X zwischen a Vor b. Als Ergebnis nehmen wir die Nummer

Wir bringen die wichtige Kraft des yardweisen Integrals.

Satz 1. Yakscho-Region D, geradeaus korrigieren bei, aufgeteilt in zwei Bereiche D 1 Ta D 2 gerade, parallele Achse Profi beiüber Achse O X, dann das Dvorazovy-Integral über der Region D mehr Summen derselben Integrale nach Regionen D 1 Ta D 2:

Bringen.

a) Gehen Sie geradeaus x = c geht kaputt D auf der D 1 Ta D 2, geradeaus bei. Todi

+

+

b) Gehen Sie geradeaus y=h geht kaputt D rechts geradeaus bei Regionen D 1 Ta D 2 (Abb. 2). Deutlich durch M 1 (a 1 , h) das M 2 (b 1 , h) Punkte der Kreuzlinie der Geraden y=h aus dem Kordon L Regionen D.

j Region D 1 umgeben von ununterbrochenen Linien

y=φ 2 (x) 1) y=φ 1 (x);

D 2 2) Kurve ABER 1 M 1 M 2 Bei, gleich dem, was wir aufschreiben

h M 1 M 2 y=φ 1 *(x), de φ 1 *(X) = φ 2 (X) bei a ≤ x ≤ a 1 Ta

EIN 1 D 1 Bb 1 ≤ x ≤ b, φ 1 *(X) = h bei a 1 ≤ x ≤ b 1 ;

3) gerade x = a, x = b.

Region D 2 von Linien umgeben y=φ 1 *(x),

A ja= φ 2 (X),a 1 ≤ x ≤ b 1 .

y=φ 1 (x) Wir können den Satz über das innere Integral beweisen

Integration durchbrechen:

O a a 1 b 1 b

+

Lassen Sie uns ein weiteres s otrimanih integraіv v vyglyadі sumi geben:

+ + .

Oskilki φ 1 *(X) = φ 2 (X) bei a ≤ x ≤ a 1 Ta b 1 ≤ x ≤ b, Die erste und die dritte nehmen die Integrale weg und gleichen sich zu Null aus. Otzhe,

Ich D = , dann .

Die Hauptmacht des Subintegrals

Die Kraft des Subintegrals (dass yogo visnovok) ist analog zur Kraft des Einmal-Sing-Integrals.

1°. Additivität. Was ist die Funktion f(x, j) in die Region integriert D und als Fläche D für Hilfskurve G Der Nullbereich ist in zwei Glieder unterteilt und dämpft nicht die hohen inneren Punkte der Region D 1 Ta D 2 , dann die Funktion f(x, j) in Hautareale integriert D 1 Ta D 2 übrigens

2°. Lineare Leistung. Welche Funktionen f(x, j) das g(x, j) Integration in das Gebiet D, a α і β - seien es Sprachnummern, dann ist die Funktion [ α · f(x, j) + β · g(x, j)] ist ebenfalls in die Region integriert D, Außerdem

3°. Welche Funktionen f(x, j) das g(x, j) Integration in das Gebiet D, dann werden zusätzliche Funktionen dieser Funktionen integriert D.

4°. Welche Funktionen f(x, j) das g(x, j) Offensive Integration in der Region D und überall in meiner Galerie f(x, j) ≤ g(x, j), dann

5°. Was ist die Funktion f(x, j) in die Region integriert D, die funktionieren | f(x, j)| in die Region integriert D, Außerdem

(Natürlich mit Integration | f(x, j)| in D zeigt keine Integration f(x, j) in D.)

6°. Der Mittelwertsatz. Was für eine beleidigende Funktion f(x, j) das g(x, j) Integration in das Gebiet D, Funktion g(x, j) ist überall in dieser Galerie unsichtbar (kraftschlüssig), Mі m- genaue Ober- und Untergrenzen der Funktion f(x, j) in der Region D, dann gibt es eine Zahl μ das befriedigt die Nervosität m ≤ μ ≤ M und damit die Formel gültig ist

BEWEGEN VON INTEGRALEN

vortrag 1

Getragene Integrale.Der Zweck des Unterstromintegrals ist der der Leistung. Wiederholte Integrationen. Verknüpfungen niedrigerer Integrale mit wiederholten. Platzierung zwischen Integration. Berechnung der zugrunde liegenden Integrale des kartesischen Koordinatensystems.

Das Subintegral ist eine Vertiefung des Verständnisses des einzelnen Integrals in verschiedenen Funktionen zweier Variablen. Auf diese Weise wird die umgekehrte Integration als flache Figur vorliegen.

Komm schon D- Dejaka ist ein geschlossenes, begrenztes Gebiet und f(x, y) - eine ausreichende Funktion, wurde durch diese Galerie markiert. Nehmen wir an, dass zwischen den Regionen D werden aus der endgültigen Anzahl von Kurven summiert, die von den Gleichen des Geistes gegeben werden j=f(x) oder x=g( j), de f(x) das g(j) sind ununterbrochene Funktionen.

Rozib'ёmo-Region D anständigen Rang auf n Teil. Bereich ich-ї delyanki ist durch das Symbol D bedeutungsvoll ich. Auf der Haut dilyantsi ist eine ziemliche Stimmung ein Punkt Pi, und lassen Sie es in be-yak_y aus, indem Sie die Koordinaten des kartesischen Systems maє ( x ich, y ich). Sklademo integrale Summe für die Funktion f(x, y) nach Region D, für die der Wert der Funktion an allen Stellen bekannt ist Pi, Multiplizieren von їх mit der Fläche der Doppelparzellen Ds ich Und wir gehen davon aus, dass alle Ergebnisse weggenommen werden:

Nazvemo Durchm(G) Bereiche G der größte Abstand zwischen den Grenzpunkten der Region.

Integral Funktionen f(x, y) im Bereich D heißt die Grenze, inwieweit die Folge von Integralsummen (1.1) mit unbegrenzter Erhöhung der Anzahl der Pausen n (bei wem). Schreibe so auf

Sehr geehrte, scho, vzagali scheinbar, die ganze Summe für Funktionen einstellen und dem gegebenen Bereich der Integration D Punkt auswählen Pi. Prote yakshcho podviyny іsnuє іsnuє, tse bedeutet, dass es zwischen den vіdpovіdіkh integralen Summen nicht möglich ist, zwischen den ernannten Chinnikіv zu liegen. In Ordnung(oder, wie es scheint, allgemeine Funktion f(x, y) in die Domäne D integriert ist), reicht es aus, dass die Integralfunktion der bool ununterbrochen bei der Aufgabengalerie-Integration.

Komm schon Funktion f(x, y) in die Region integriert D. Scherben zwischen den kumulativen Summen für solche Funktionen können nicht durch die Methode der Aufteilung des Integrationsbereichs akkumuliert werden, die Aufteilung kann mit Hilfe vertikaler und horizontaler Linien durchgeführt werden. Todі mehr Geschäftsleute der Region D Matim gerade geschnitten aussehend, der Bereich eines solchen Dorivnyu D ich=D x ich D y ich. Daher kann das Flächendifferential geschrieben werden als ds=dxdy. Otzhe, im kartesischen Koordinatensystem unter den Integralen Sie können beim Anblick aufschreiben

Respekt. Wie die Integrand-Funktion f(x, y)º1, dann ist das Unterintegral des Bereichs der Integrationsregion:

Bedeutsam ist, dass unterstrichene Integrationen sowohl die gleiche Leistung als auch einzeln integriert sein können. Ihre Taten sind bedeutsam.

Potenz der untergeordneten Integrale.

1 0 .Lineare Kraft. Integral der Summe der Funktionen der anderen Summe der Integrale:

und konstanter Multiplikator kann für das Vorzeichen des Integrals verantwortlich gemacht werden:

2 0 .Additive Kraft. Da der Integrationsbereich D in zwei Teile geteilt wird, ist das Subintegral vollständiger als die Summe der Integrationen über den Hautteil:

3 0 .Der mittlere Satz. Was ist die Funktion f( x, y)im Bereich D stetig ist, dann gibt es einen solchen Punkt in der Galerie(x, h) , was:

Weitere Post Ernährung: Wie werden die Subintegrale berechnet? Yogo kann ungefähr virahuvati sein, mit dieser Methode wird es gebrochen wirksame Methoden gefaltete Summen von kumulativen Summen, die dann numerisch mit zusätzlichem EOM berechnet werden. Bei einer analytischen Berechnung der Teilintegrale werden diese auf zwei Sing-Integrale reduziert.