Seht die Matrix dieses Yogas der Macht. Matrizen. Bewegen Sie sich über Matrizen. Dominanz von Operationen auf Matrizen. Siehe Matrix. Operationen zum Falten und Visualisieren von Matrizen

Matrizen. Bewegen Sie sich über Matrizen. Dominanz von Operationen auf Matrizen. Siehe Matrix.

Matrizen kann ein wichtiger Wert in der angewandten Mathematik sein, der in einfacher Form zu einem wesentlichen Teil geschrieben werden darf Mathematische Modelle Objekte und Prozesse. Der Begriff „Matrix“ tauchte 1850 auf. Früher wurden Matrizen im alten China erraten, später bei arabischen Mathematikern.

Matrix A=Amn Reihenfolge m * n aufgerufen wird geradlinige Zahlentafel.

Matrixelemente ai, für die i=j heißen Diagonale i Hauptdiagonale.

Bei einer quadratischen Matrix (m=n) besteht die Kopfdiagonale aus den Elementen a 11 , a 22 , ..., a nn .

Rivnistische Matrizen.

A=B nur die Reihenfolge der Matrizen EINі B jedoch das a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Bewegen Sie sich über Matrizen.

1. Addition von Matrizen - Element-für-Element-Operation

2. Anzeigen von Matrizen - Element-für-Element-Operation

3. Das Hinzufügen einer Matrix zu einer Zahl ist eine Element-für-Element-Operation

4. Mehrere A*B Matrix nach Regel Reihe oben(Die Anzahl der Spalten in Matrix A kann gleich der Anzahl der Zeilen in Matrix B sein)

Amk * Bkn = Cmn warum das Hautelement h ij Matrizen Komm addiere die Summe der Elemente der i-ten Zeile der Matrix A und der anderen Elemente der j-ten Spalte der Matrix B, tobto.

Lassen Sie uns die Operation der Multiplikation von Matrizen am Beispiel zeigen

5. Links an den Füßen

m>1 Zelle Datum. A ist eine quadratische Matrix (m=n) tobto. relevant für quadratische Matrizen

6. Matrixtransposition A. Eine transponierte Matrix wird mit A T oder A bezeichnet

Zeilen und Spalten wurden von Missionen gedacht

Hintern

Potenz von Operationen auf Matrizen

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Vidi-Matrizen

1. Rechteckig: mі n- Ziemlich positive Zahlen

2. Quadrat: m=n

3. Matrixzeile: m=1. Zum Beispiel (1 3 5 7) - für viele praktische Aufgaben wird eine solche Matrix als Vektor bezeichnet

4. Matrixkocher: n=1. Zum Beispiel

5. Diagonalmatrix: m=nі a ij = 0, wie i≠j. Zum Beispiel

6. Alleinmatrix: m=nі

7. Nullmatrix: aij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Trikot-Matrix: Alle Elemente unterhalb der Diagonale der Überschrift addieren sich zu 0.

9. Symmetrische Matrix: m=nі ein ij = ein ji(gleiche Elemente auf symmetrischen Kopfdiagonalen stehen) und auch A"=A

Zum Beispiel,

10. Schiefe Matrix: m=nі a ij =-a ji(Deshalb gibt es auf den symmetrischen Hauptdiagonalen Protilenelemente). Auch auf der Kopfdiagonalen stehen Nullen (weil mit ich=j kann sein ein ii =-ein ii)

Ich habe verstanden A"=-A

11. Hermitische Matrix: m=nі ein ii =-ã ii (ã ji- komplex - erhalten bis zu ein Ji, dann. Jakscho A=3+2i, dann komplex - erhalten Ã=3-2i)

Leiter Lineare Algebra. Matrix-Konzept. Siehe Matrix. Operationen mit Matrizen. Razv'yazannya Aufgaben für die Transformation von Matrizen.

Bei verschiedenen mathematischen Aufgaben wird die Mutter oft mit Zahlentafeln, Matrizen genannt, zu Recht gebracht. Überarbeiten Sie für zusätzliche Matrizen manuell das System der linearen Ausrichtungen, überarbeiten Sie die reichhaltigen Operationen mit Vektoren, überarbeiten Sie die verschiedenen Aufgaben der Computergrafik und andere technische Aufgaben.

Matrix heißt geradlinige Zahlentabelle, woran sich die Sprotte rächen soll m ryadkіv ta deyaka kіlkіst P stoptsiv. Zahlen tі P werden Matrixordnungen genannt. Zur selben Zeit t = P, die Matrix heißt quadratisch und die Zahl m = n-її in Ordnung.

Nadal für Aufnahmematrizen wird entweder durch Doppelstege oder durch Rundbögen blockiert:

Abo

Für einen kurzen Matrixwert verwenden Sie häufig einen großen lateinischen Buchstaben (z. B. A) oder das Symbol || ein ij ||, und manchmal mit Erklärungen von Rosen: ABER = || ein ij || = (aij), de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n).

Zahlen ai, die in das Lager einer bestimmten Matrix gelangen, werden als її-Elemente bezeichnet. Bei der Post aij erster Index і bedeutet die Zeilennummer und der andere Index j- Stationsnummer. In einer quadratischen Matrix

(1.1)

Führen Sie die Konzepte der Kopf- und Seitendiagonalen ein. Die Kopfdiagonale der Matrix (1.1) heißt Diagonale eine 11 eine 12 … ann was von der oberen linken Ecke der Matrix zur unteren rechten Ecke der Matrix geht. Die Seitendiagonale derselben Matrix wird als Diagonale bezeichnet ein n 1 ein (n -1) 2… ein 1 n , Sho geht vom linken unteren Kut zum rechten oberen Kut.

Die Hauptoperationen auf Matrizen sind Potenzoperationen.

Kommen wir zur Definition der Hauptoperationen auf Matrizen.

Addition von Matrizen. Sumy zwei Matrizen A = | ein ij || , de і B = | | bij || , de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n) ein und dieselbe Bestellung tі P heißt die Matrix C = || hij || (i = 1,2, ..., t; j = 1, 2, ...., n) ruhige Ordnung tі P, Elemente h ij die der Formel zugeordnet sind

, de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.2)

Um die Summe zweier Matrizen zu verstehen, wird eine Aufzeichnung gemacht Z \u003d A + U. Die Operation des Faltens einer Summe von Matrizen wird als ihr Falten bezeichnet. Otzhe, für die Ernannten:

+ =

Aus der Bezeichnung der Summe der Matrizen bzw. aus den Formeln (1.2) geht hervor, dass die Operation der Faltungsmatrizen Macht haben kann, dass die Operation der Faltung reeller Zahlen und selbst:

1) wechselnde Autorität: A + B = B + A,

2) mit guter Leistung: ( A + B) + C = A + (B + C).

Tsі-Behörden erlauben keine dbati über die Reihenfolge des Durchgangs zusätzlicher Matrizen beim Falten von zwei oder größere Zahl Matrizen.

Multiplizieren einer Matrix mit einer Zahl. Zusätzliche Matrix A = || ein ij || , De (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) in der Sprache heißt die Zahl l Matrix Z = | | hij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n) Elemente, die der Formel zugeordnet sind:

, de (i = 1, 2, ..., t, j = 1, 2, ..., n)(1.3)

Zur Erkennung der Erstellung der Matrix für die Nummer wird ein Protokoll erstellt Z \u003d l A oder Z \u003d A l. Die Operation des Hinzufügens der Erstellung einer Matrix zu einer Zahl wird als Multiplikation der Matrixzahl bezeichnet.

Aus Formel (1.3) geht hervor, dass die Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl die gleiche Potenz haben kann:

1) mit guter Leistung wie ein numerischer Multiplikator: (l m) A = l (m A);

2) rozpodіlnoyu Power Shkodo Summenmatrizen: l (A + B) = l A + l B;

3) rozpodіlnoyu macht shkodo sumi zahlen: (l + m) EIN = l EIN + m EIN

Respekt. Einzelhandel zwei Matrizen ABERі Bei die gleiche Reihenfolge tі P nennt man eine solche Matrix natürlich W ruhige Ordnung tі P, yak u sumі z Matrix B ergibt Matrix A. Um die Differenz zwischen zwei Matrizen zu bestimmen, wird ein natürlicher Datensatz verwendet: B = A - Art.-Nr.

Es ist leicht, verwirrt zu werden, was anders ist W zwei Matrizen ABERі Bei vielleicht buti otrimana für die regel C \u003d A + (-1) B.

TV-Matrix oder Matrix-Multiplikation.

Dobootcom-Matrix A = | ein ij || de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) maє Bestellungen, vіdpovіdno gleich tі n, auf der Matrix B = | | bij || , de (i = 1, 2, ..., n, j = 1, 2, ..., p), maє Bestellungen, vіdpovіdno gleich nі R, Matrix genannt Z = | | hij || (i = 1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., p), scho maє Bestellungen, vіdpovіdno gleich tі R Elemente, die der Formel zugeordnet sind:

de (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p)(1.4)

Für das Wissen um die Erstellung der Matrix ABER auf der Matrix Bei Sieger Rekord C = A × B. Matrizenfaltvorgang ABER auf der Matrix Bei heißt Multiplikation von Matrizen.

Aus dem formulierten vishche vznachennya viplivaє das Matrix A kann nicht mit einer Matrix multipliziert werden, es ist notwendig, schob anzahl der matrixspalten ABER mehr als die Anzahl der Zeilen in der Matrix Kunst.

Formel (1.4) ist die Regel der Faltung der Elemente der Matrix C, die die Erstellung der Matrix ist ABER auf der Matrix Kunst. Diese Regel kann verbal formuliert werden: Element c i j, das auf dem Schnittpunkt der i-ten Zeile und der j-ten Spalte der Matrix C = AB steht, addiert die Summe der paarweisen Bildungen derselben Elemente in der i-ten Zeile der Matrix A und der j-ten Spalte der Matrix B.

Als Beispiel für das Festlegen der zugewiesenen Regel führen wir die Formel zum Multiplizieren von quadratischen Matrizen einer anderen Ordnung ein.

× =

Die Formeln (1.4) strahlen eine solche Kraft zur Erstellung der Matrix aus ABER auf der Matrix BEI:

1) gute Leistung: (AB) C = A (BC);

2) rozpodіlna schodo sumi Matrizen der Macht:

(A + B) C = AC + BC oder A (B + C) = AC + AC.

Ernährung über Permutation (Verlagerung) von Macht zur Schaffung der Matrix EIN auf der Matrix Bei Set mehr Sinn für quadratische Matrizen A und B die selbe Reihenfolge.

Lassen Sie uns wichtige okremі vpadki-Matrizen mitbringen, für die es eine faire und permutationäre Macht gibt. Zwei Matrizen für die Schaffung von denen, die zu Recht Permutation der Macht, ist es üblich, Pendeln zu nennen.

Die Mitte der quadratischen Matrizen kann als eine Klasse von Diagonalmatrizen angesehen werden, in der Haut dieser Elemente ist die Naht der Position der Kopfdiagonale gleich Null. Hautdiagonale Matrix in der Reihenfolge P kann aussehen

D= (1.5)

de d1, d2,… , DN-yakі zavgodno Zahlen. Es ist einfach zu bachiti, dass die Zahlen untereinander gleich sind, das heißt. d1=d2=… = n dann für jede quadratische Matrix ABER bestellen P Gerechtigkeit ist gerecht EIN D = D EIN.

Die mittleren der Diagonalmatrizen (1.5) sind aus Elementen zusammengesetzt d1=d2=… = d n = = d Zwei Matrizen spielen eine besonders wichtige Rolle. Die erste dieser Matrizen kommt bei heraus d=1 wird Identitätsmatrix genannt n e. Eine weitere Matrix zum Einstieg d=0 wird als Nullmatrix bezeichnet n Ordnung, es wird mit dem Symbol bezeichnet Oh derart,

E= O=

Aufgrund des oben Gesagten EIN E = E EINі AO = PRO A. Außerdem ist es einfach, das zu zeigen

A E \u003d E A \u003d A, A O \u003d O A \u003d 0. (1.6)

Die erste der Formeln (1.6) charakterisiert die besondere Rolle der Einfachmatrix E,ähnlich Ihrer Rolle, als würden Sie die Zahl 1 spielen, wenn Sie die reellen Zahlen multiplizieren. Welche besondere Rolle spielt die Nullmatrix? Ö, dann zeigt es nicht nur einen Freund der Formeln (1.7), sondern auch die Gleichheit, die sich elementar umkehrt

A+0=0+A=A.

Abschließend ist es respektvoll, dass das Verständnis der Nullmatrix für nichtquadratische Matrizen eingeführt werden kann (Null heißt be-yaku Matrix, deren Elemente alle gleich Null sind).

Blockmatrizen

Nehmen wir an, die Deak-Matrix A = | ein ij || Mit Hilfe horizontaler und vertikaler gerader Linien wird es in gerade geschnittene Zellen zerlegt, die Haut mit einer Matrix kleinerer Größe und wird als Block der äußeren Matrix bezeichnet. In einer solchen Zeit liegt der Grund in der Fähigkeit, auf die externe Matrix zu schauen. ABER wie eine neue (sog. Block-)Matrix ABER = || A ein b ||, deren Elemente Blöcke zugeordnet sind. Die Bezeichnungen der Elemente werden durch den großen lateinischen Buchstaben, den tiefgestellten Schluchz, was stinkt, vzagali scheint, Matrizen und nicht Zahlen і (als primäres numerisches Element) wird durch zwei Indizes angegeben, von denen der erste die Nummer des angibt Blockreihe und die andere - die Nummer der Blockreihe.

Zum Beispiel Matrix

Sie können wie eine Blockmatrix aussehen

Elemente wie diese Blöcke:

Seltsam ist die Tatsache, dass die Hauptoperationen mit Blockmatrizen denselben Regeln folgen, hinter denen Gestank die wichtigsten numerischen Matrizen folgt, Blöcke spielen die Rolle von Elementen.

Visionäres Konzept.

Schauen wir uns eine ziemlich quadratische Matrix an, egal in welcher Reihenfolge P:

A= (1.7)

Mit einer solchen Skin-Matrix verknüpfen wir ein einzelnes numerisches Merkmal, ich nenne es einen Signifikanten, eine prominente Zahl der Matrix.

Wie bestellen n Matrizen (1.7) gleich 1 sind, dann besteht diese Matrix aus einem Element ein ich j ist der Signifikator erster Ordnung, der zu einer solchen Matrix passt, wir nennen den Wert des Elements.

dann heißt das Zeichen einer anderen Ordnung, das eine solche Matrix zeigt, eine Zahl, die mehr ist eine 11 eine 22 - eine 12 eine 21 und wird durch eines der Symbole angezeigt:

Vater, für die Ernannten

(1.9)

Formel (1.9) ist die Regel, die Variable nach den Elementen einer ähnlichen Matrix in eine andere Reihenfolge zu falten. Die verbale Formulierung dieser Regel lautet wie folgt: der Signifikant einer anderen Ordnung, die zweite Matrix (1.8), die teurere Ergänzung von Elementen, die auf der Kopfdiagonale der Matrix stehen sollten, und die Hinzufügung von Elementen, die sollte auf der Nebendiagonalen stehen. Die Führer der anderen und höheren Ordnung kennen ein breites Zastosuvannya zur Stunde der Perfektion der Systeme linearer Linien.

Schauen wir uns an, wie man zwinkert Operationen mit Matrizen im MathCad-System . Die einfachsten Operationen der Matrizenalgebra werden von MathCad als Operatoren implementiert. Das Schreiben der Operatoren hinter den Kulissen ist so nah wie möglich an der ursprünglichen mathematischen Funktion. Der Skin-Operator wird in demselben Zeichen ausgedrückt. Werfen wir einen Blick auf die Matrix- und Vektoroperationen von MathCad 2001. n x 1, Daher gelten für sie alle Operationen wie für Matrizen, die nicht besonders gesättigt sind (z. B. sind solche Operationen nur auf quadratische Matrizen beschränkt). n x n). Yaks sind nur für Vektoren (z. B. skalare Drehungen) zulässig, und Yaks, unabhängig von der gleichen Schreibweise, auf unterschiedliche Weise für Vektoren und Matrizen.

Geben Sie für den Dialog die Anzahl der Zeilen und Spalten der Matrix an.

q Wenn die Schaltfläche OK gedrückt wird, wird ein Feld zur Eingabe von Matrixelementen angezeigt. Um ein Matrixelement einzugeben, stellen Sie den Cursor auf die Positionsbezeichnung und geben Sie die Anzahl bzw. Anzahl über die Tastatur ein.

Um als Operation für eine zusätzliche Symbolleiste zu vikonieren, benötigen Sie:

q sehen Sie sich die Matrix an und klicken Sie im Panel auf die Betriebsschaltfläche,

q oder klicken Sie auf die Schaltfläche im Bedienfeld und geben Sie den Namen der Matrix an der Position Wert ein.

Das Menü "Symbole" hat drei Operationen - Transposition, Umkehrung, Oszillator.

Tse bedeutet zum Beispiel, dass Sie den Index der Matrix berechnen können, indem Sie den Befehl eingeben Symbole/Matrizen/Signatur.

Die Nummer der ersten Zeile (i der ersten Spalte) der MathCAD-Matrix wird aus der Änderung ORIGIN übernommen. Bei Werbeaktionen wird ab null abgerechnet. In der mathematischen Schreibweise ist es oft üblich, den Wert der Eingabe 1 beizubehalten. In MathCAD ist die Eingabe der Zeilen- und Spaltennummer der Eingabe 1 erforderlich, um den Wert der Änderung ORIGIN:=1 zu setzen.

Funktionen, die Robotern aus den Routinen der linearen Algebra zugewiesen sind, werden im Abschnitt „Vektoren und Matrizen“ des Dialogfelds „Funktion einfügen“ ausgewählt (vermutlich wird sie mit der Schaltfläche im Bereich „Standards“ angeklickt). Die Hauptfunktionen davon werden nachstehend beschrieben.

Umsetzung

Abb.2 Matrixtransposition

MathCAD kann Matrizen hinzufügen, sodass Sie sie einzeln sehen können. Für diese Operatoren werden Symbole gezeichnet <+> oder <-> offensichtlich. Matrizen aufgrund der Mutter des gleichen Friedens, sonst sehen Sie eine Erinnerung an die Begnadigung. Das Hautelement ist die Summe zweier Matrizen und die Summe der anderen Elemente der Matrizen-Additionen (hinten in Fig. 3).
Matrixfaltung, MathCAD unterstützt die Operation zum Hinzufügen einer Matrix mit einem Skalarwert, tobto. Nummer (Hintern Abb. 4). Das Hautelement der resultierenden Matrix ist gleich der Summe des Ausgangsmatrixelements und des Skalarwerts.
Um das Multiplikationssymbol einzugeben, muss die Taste mit der Zirochka gedrückt werden<*>oder beschleunigen Sie die Symbolleiste Matrix (Matrix), Drücken der Taste Skalarprodukt (Multiplikation)(Abb.1). Die Matrixmultiplikation wird durch das Kürzel Punkt bezeichnet, wie im Anhang in Abbildung 6 gezeigt. Das Matrixmultiplikationssymbol kann auf die gleiche Weise wie i in skalaren Ausdrücken gewählt werden.
Ein weiteres Beispiel, das mit einem Vektor mit einer Matrix-Zeile i multipliziert werden kann, jetzt Zeilen mit einem Vektor, ist in Abb. 1 gezeigt. 7. Welches Beispiel zeigt in einer anderen Zeile, wie die Formel aussieht, wenn Sie den Multiplikationsoperator auswählen Kein Platz (zusammen). Derselbe Multiplikationsoperator teilt jedoch in zwei Vektoren und auf andere Weise .

Ähnliche Informationen.

Matrizen. Siehe Matrix. Operationen auf Matrizen und das Yoga der Macht.

Signifikante Matrix n-ter Ordnung. N, Z, Q, R, C,

Eine Matrix der Ordnung m * n wird als rechteckige Tabelle mit s Zahlen bezeichnet, die durch eine m-Zeile und n - Spalten ersetzt werden kann.

Rivnistische Matrizen:

Zwei Matrizen werden als gleich bezeichnet, weil die Anzahl der Zeilen und Spalten der einen der Anzahl der Zeilen und Spalten der anderen und der anderen ähnlicher ist. el-ti tsikh Matrizen gleich.

Hinweis: El-ty, yakі kann dieselben Indizes haben, є vіdpovіdnimi.

Siehe Matrix:

Quadratische Matrix: Die Matrix heißt quadratisch, weil die Anzahl der Zeilen gleich der Anzahl der Spalten ist.

Rechteckig: Die Matrix wird rechteckig genannt, weil die Anzahl der Zeilen nicht gleich der Anzahl der Spalten ist.

Zeilenmatrix: Eine 1 * n (m = 1) Matrix kann wie a11, a12, a13 aussehen und wird als Zeilenmatrix bezeichnet.

Matrixkocher: ………….

Diagonale: Die Diagonale der quadratischen Matrix, die vom oberen linken kut zum unteren rechten kuta geht, die durch die Elemente a11, a22 ... gebildet wird, wird als Kopfdiagonale bezeichnet. (Definition: eine quadratische Matrix mit allen Elementen, die sich zu Null addieren, die Sahne ist ruhig, die auf der Hauptdiagonalen ausgebreitet ist, heißt Diagonalmatrix.

Alleine: Die Diagonalmatrix heißt einfach, weil alle Elemente auf der Kopfdiagonalen platziert sind und 1 addieren.

Oberer Dreischnitt: A = | | aij | | heißt obere Trikotmatrix, also aij=0. Denke i>j.

Unterer Tricut: aij=0. ich

Null: ce-Matrix El-ty als gut 0.

Operationen auf Matrizen.

1. Umsetzung.

2. Multiplikation einer Matrix mit einer Zahl.

3. Faltmatrizen.

4. Multiplikation von Matrizen.

Die wichtigsten sv-va podії über Matrizen.

1.A+B=B+A (Kommutativität)

2.A+(B+C)=(A+B)+C (Assoziativität)

3.a(A+B)=aA+aB (Distributivität)

4.(a+b)A=aA+bA (Verteiler)

5.(ab)A=a(bA)=b(aA) (asoots.)

6.AB≠BA (Tag an wen.)

7.A(BC)=(AB)C (assoziiert) Virobiv-Matrizen sind siegreich.

8.A(B+C)=AB+AC (Verteiler)

(B+C)A=BA+CA (Verteiler)

9.a(AB)=(aA)B=(aB)A

Der Signifikant der quadratischen Matrix ist die Bedeutung dieses Yoga der Macht. Das Layout des Vyznachnik in Reihen und Reihen. Möglichkeiten zur Berechnung der Nominierten.

Wenn eine Matrix die Ordnung m>1 hat, dann ist der Signifikant dieser Matrix eine Zahl.

Algebraische Additionen Aij el-ta aij Matrix A heißt Minor Mij, Multiplikationen mit der Zahl

THEOREM 1: Signifikante Matrix A ist eine gute Summe von Schöpfungen aller Elemente einer hinreichenden Zeile (stovptsya) mit ihren algebraischen Additionen.

Die Hauptbefugnisse der Ernannten.

1. Der Matrixbezeichner ändert sich zum Zeitpunkt der Umsetzung nicht.

2. Beim Neuanordnen von zwei Zeilen (stovptsiv) ändert der Signifikant das Vorzeichen, aber der absolute Wert des Yogo ändert sich nicht.

3. Signifikante Matrix, die zwei identische Zeilen (stowpts) gleich 0 haben kann.

4. Beim Multiplizieren einer Zeile (stovptsya) einer Matrix mit einer Zahl її wird der Signifikant mit der ganzen Zahl multipliziert.

5. Wenn eine der Zeilen (Stowpts) der Matrix zu 0 hinzugefügt wird, ist der Index der Zeile der Matrix gleich 0.

6. Auch wenn alle Elemente der i-ten Zeile (stowptsya) der Matrix durch Betrachten der Summe zweier zusätzlicher Matrizen dargestellt werden, kann das gleiche Zeichen beim Betrachten der Summe der Summe zweier Matrizen abgelegt werden.

7. Der Beauftragte ändert sich nicht, so dass zu den Elementen der einen Spalte (Zeile) vor einer Mehrzahl ein weiteres Element der anderen Spalte (Zeile) hinzukommt. für die gleiche Nummer.

8. Die Summe der wichtigsten Elemente der nächsten Spalte (Zeile) des Anführers oben in der Algebra der Elemente der nächsten Spalte (Zeile) ist gleich 0.

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Methoden zur Berechnung des Hauptbetrags:

1. Zur Definition von Chi nach Theorem 1.

2. In Trikot-Optik gebracht.

Bedeutung dieser Kraft der Drehmatrix. Berechnung der Umsatzmatrix. Matrixausrichtung.

Bezeichnung: Eine quadratische Matrix der Ordnung n heißt Pivot einer Matrix Und der gleichen Ordnung wird i zugeordnet

Damit die Matrix A auf der umgekehrten Matrix basiert, ist es notwendig und ausreichend, dass der Ursprung der Matrix A 0 ist.

Die Dominanz der zentralen Matrix:

1. Einheit: für die Matrix A її reversibel - Einheit.

2. Matrixbezeichner

3. Die Operation des Nehmens der Transposition und des Nehmens der Matrix der Rotation.

Matrixausrichtung:

Seien A und B zwei quadratische Matrizen derselben Ordnung.

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Verstehen der Linearität und Unabhängigkeit der Matrixspalten. Die Dominanz des linearen Irrtums und die lineare Unabhängigkeit des Partnersystems.

Stovptsі A1, A2 ... An werden als linear brach bezeichnet, da es sich nicht um eine triviale Linearkombination handelt, die näher an der 0. Spalte liegt.

Die Spalten A1, A2 ... An heißen linear unabhängig, da sie keine triviale Linearkombination sind, die gleich der 0. Spalte ist.

Eine Linearkombination heißt trivial, weil alle Koeffizienten С(l) gleich 0 sind und auf andere Weise nicht trivial sind.

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2. Damit die Spalten linear brachliegen, ist es notwendig und ausreichend, dass sie eine Linearkombination anderer Spalten sein müssen.

Bringe 1 der Spalten mit einer Linearkombination anderer Spalten.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image016_38.gif" width="79" linear brach, dann sind alle Spalten linear brach.

4. So wie das Schwellensystem linear unabhängig ist, ob das Teilsystem selbst linear unabhängig ist.

(Alles, was über den stovptsiv gesagt wurde, gilt auch für die Zeilen).

Minori-Matrizen. Grundlegendes Nebenfach. Matrix-Rang. Das Verfahren wird von den Minderjährigen in die Berechnung des Rangs der Matrix eingerahmt.

Der Minor der Ordnung zu Matrix A ist der Signifikant des Elements einer Sortierung auf der Spur zu den Zeilen und zu den Spalten von Matrix A.

Wenn alle Mollwerte bis zur Ordnung der Matrix A = 0 sind, dann ob es einen Mollwert bis zur Ordnung bis +1 oder sogar 0 gibt.

Grundlegendes Nebenfach.

Der Rang der Matrix A ist die Ordnung der Basis-Minor.

Methode zum Framen von Minderjährigen: - Wir wählen ein Nicht-Null-Element der Matrix A (Wenn es kein solches Element gibt, dann ist der Rang von A = 0)

Es wird umrahmt vom Moll der vorderen 1. Ordnung vom Moll der 2. Ordnung. (Ist dieses Moll ungleich 0, dann ist der Rang >=2) Ist der Rang des ersten Molls 0, dann werden die Schwingungen des Molls 1. Ordnung von anderen Molls 2. Ordnung umrahmt. (Wenn alle Minoren 2. Ordnung = 0 sind, dann ist der Rang der Matrix = 1).

Matrix-Rang. Methoden zur Bestimmung des Rangs einer Matrix.

Der Rang der Matrix A ist die Ordnung des ten Basisminors.

Berechnungsmethoden:

1) Die Methode zum Eingrenzen von Minderjährigen: - Wählen Sie ein Nicht-Null-Element der Matrix A (wenn es kein solches Element gibt, dann Rang = 0) - Rahmen Sie den Minderjährigen der 1. Ordnung nach vorne mit dem Minderjährigen der 2. Ordnung. gif" width="40" >r+1 Herr +1=0.

2) Die Matrix schrittweise betrachten: Dieses Verfahren basiert auf elementaren Transformationen. Bei elementaren Transformationen ändert sich der Rang der Matrix.

Die folgenden Transformationen werden als elementare Transformationen bezeichnet:

Permutation von zwei Zeilen (stovptsiv).

Die Multiplikation aller Elemente der Zahl deyago stovptsya (Zeilen) ist nicht =0.

Ergänzen Sie alle Elemente der nächsten Zeile (Zeile) der Elemente der nächsten Zeile (Zeile), vorwärts mit der gleichen Zahl multipliziert.

Der Satz über das grundlegende Moll. Diese ausreichende Intelligenz ist für die Gleichheit der Null des Signifikanten notwendig.

Der Basis-Moll der Matrix A ist der Moll der größten vor-ten Ordnung der dominanten Ansicht 0.

Basis kleiner Satz:

Basiszeilen (stovpts) sind linear unabhängig. Ob eine Zeile (stovpets) der Matrix A eine Linearkombination von Grundzeilen (stovptsiv) ist.

Zeilen und Spalten auf der Netzhaut, deren Basis-Moll steht, werden im Grunde Basis-Zeilen und -Spalten genannt.

a11 a12… a1r a1j

a21 a22….a2r a2j

a31 a32….a3r a3j

ar1 ar2 ….arr arj

ak1 ak2…..akr akj

Notwendiger und ausreichender Geist, um gleich Null des Signifikanten zu sein:

Dazu ist der Leader der n-ten Ordnung = 0 notwendig und ausreichend, damit die Zeilen (stowpts) linear brach liegen.

Systeme linearer Linien, ihre Klassifizierung und Form der Aufzeichnung. Cramersche Regel.

Werfen wir einen Blick auf das System der 3-linearen Linien aus dem Trio der Nevidomimi:

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wird der Schiedsrichter des Systems genannt.

Wir fügen in der kommenden Reihe drei weitere Führer hinzu: Wir ersetzen nacheinander D in Folge 1, 2 und 3 der Säulen der Säule der freien Mitglieder

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Bringen. Schauen wir uns später das System von 3 Gleichen aus einem Trio von nevіdomimi an. Wir multiplizieren die 1. Ausrichtung des Systems mit der Addition der Algebra A11 des Elements a11, die 2. Ausrichtung mit A21 und die 3. mit A31:

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Schauen wir uns die Haut des Schäkels und den rechten Teil des Tsy gleich an. Nach dem Satz über die Anordnung des Schiedsrichters für die Elemente der 1. Spalte

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Ebenso kann gezeigt werden, dass i .

Nareshti möchte sich nicht daran erinnern

Otzhe, otrimuemo Eifersucht:.

Vater, .

Ebenso werden die Äquivalenz und die Sterne und die Verfestigung des Theorems gezeigt.

Systeme linearer Linien. Umovs Summierung von linearem Rivnyan. Der Satz von Kronecker-Capelli.

Die Lösung des Systems der algebraischen Gleichungen heißt eine solche Vielzahl von n Zahlen C1,C2,C3……Cn, da bei Substantiierung von y das System auf dem Raum x1,x2,x3…..xn gefunden wird

Das System der linearen Ausrichtungen der Algebra wird ein gemeinsames System genannt, als ob es keine einzige Lösung haben könnte.

Ein gespaltenes System wird Singen genannt, weil es nur eine Lösung gibt, und es ist unsichtbar, weil es eine unpersönliche Lösung gibt.

Waschen Sie die Summation von Systemen linearer algebraischer Linien.

a11 a12 ……a1n x1 b1

a21 a22 ……a2n x2 b2

……………….. .. = ..

am1 am2…..amn xn Mrd

THEOREM: Damit das System von m linearen Ausrichtungen mit n ausnahmslos kohärent ist, ist es notwendig und ausreichend, dass der Rang der erweiterten Matrix auf den Rang der Matrix A erhöht wird.

Hinweis: Dieser Satz liefert mehr als ein Kriterium für die Grundlage einer Lösung, gibt aber nicht die Methode der Lösungssuche an.

10 Mahlzeiten.

Systeme linearer Linien. Die Methode des Basic Minors ist eine wilde Art, alle Lösungen linearer Ausrichtungssysteme zu untersuchen.

A=a21 a22…..a2n

Grundlegende Moll-Methode:

Das System sei so, dass RgA=RgA'=r. Geben Sie das grundlegende Moll der Inschriften in der oberen linken Ecke der Matrix A an.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image035_20.gif" width="22" height="23 src=">…...gif" width="23" height="23 src= ">......gif" width="22" height="23 src=">......gif" width="46" height="23 src=">-…..-a

d2 b2-a(2r+1)x(r+1)-..-a(2n)x(n)

… = …………..

Dr br-a(rr+1)x(r+1)-..-a(rn)x(n)

https://pandia.ru/text/78/365/images/image050_12.gif" width="33" height="22 src=">

Wenn der Rang der Hauptmatrix und der analysierten r=n ist, dann hat in diesem Fall dj=bj і das System nur eine Lösung.

Einheitliche Systeme linearer Linien.

Das System der linearen Gleichungen der Algebra heißt homogen, weil alle seine freien Terme gleich Null sind.

AX=0 – homogenes System.

AX \u003d B ist ein heterogenes System.

Homogene Systeme für jedes Schlafzimmer.

X1 = x2 = .. = xn = 0

Satz 1.

Homogene Systeme können heterogene Lösungen haben, wenn der Rang der Matrix des Systems kleiner ist als die Anzahl der inhomogenen.

Satz 2.

Homogenes System von n-linearen Gleichungen mit n-unvollständigen maє Nulllösungen, wenn das Vorzeichen der Matrix A gleich Null ist. (detA=0)

Die Kraft von rozvyazkіv odnorodnyh-Systemen.

Sei es eine Linearkombination aus einer Lösung eines homogenen Systems und Lösungen eines Systems.

α1C1 + α2C2; α1 und α2 sind reelle Zahlen.

A(α1C1 + α2C2) = A(α1C1) + A(α2C2) = α1(AC1) + α2(AC2) = 0, d.h. k.(AC1) = 0; (AC2) = 0

In einem heterogenen System ist kein Platz für Macht.

Grundlegendes Lösungssystem.

Satz 3.

Da der Rang des Matrixsystems gleich n-unabhängig dorivnyu r ist, kann dieses System n-r linear unabhängige Lösungen haben.

Lassen Sie das grundlegende Moll in der oberen linken Ecke. Yakscho r< n, то неизвестные х r+1;хr+2;..хn называются свободными переменными, а систему уравнений АХ=В запишем, как Аr Хr =Вr

C1 = (C11 C21 .. Cr1 , 1.0..0)

C2 = (C21 C22 .. C2r,0, 1..0)<= Линейно-независимы.

……………………..

Cn-r = (Cn-r1 Cn-r2 .. Cn-rr ,0, 0..1)

Ein System von n-r linear unabhängigen Lösungen eines homogenen Systems linearer Gleichungen mit n unabhängigen Rängen r heißt Fundamentalsystem von Lösungen.

Satz 4.

Ob eine Lösung für ein System linearer Ausrichtungen eine lineare Kombination einer Lösung für ein fundamentales System ist.

С = α1C1 + α2C2 + .. + αn-r Cn-r

Yakscho r

12 Mahlzeiten.

Zagalne rozvyazannya heterogenes System.

Schlaf (zag. ungleichmäßig.) \u003d Coo + Mid (privat)

AX = B (heterogenes System); AX = 0

(ASoo) + ASch = ASch = B, also (ACoo) = 0

Schlaf = α1C1 + α2C2 +.. + αn-r Cn-r + Sch

Gaus-Methode.

Die Methode der letzten Vinifikationen des Unbekannten (Wechseln) - bei denen, mit Hilfe der elementaren Transformationen, das gleiche System zum gleichen System des gestuften Aussehens gebracht wird, von dem ausgehend von den restlichen Änderungen, kenne die Änderungen.

Sei a ≠ 0 (wenn nicht, dann erraten sie durch Permutation von Gleichheit welche).

1) einschließlich des Änderns von x1 vom anderen, dritten ... n-ten Rang, Multiplizieren des ersten Ranges mit der zweiten Zahl und Addieren der Ergebnisse zum 2., 3. ... n-ten Rang, dann nehmen wir:

Wir nehmen das System gleich stark.

2) Änderung x2 ausschalten

3) x3-Änderung ausschalten usw.

Fortsetzen des Prozesses des anschließenden Abschaltens der Ersetzungen x4; x5 ... xr-1 wird für (r-1) Crop verwendet.

Die Anzahl der Nullen, die n-r im Gleichheitszeichen verbleiben, bedeutet, wie der linke Teil davon aussieht: 0x1 +0x2+..+0xn

Wenn eine der Zahlen vr+1, vr+2… nicht gleich Null sein will, dann ist die Gleichheit supergleich und das System (1) nicht kohärent. In dieser Reihenfolge ist für ein beähnliches kohärentes System vr+1 … vm gleich Null.

Verbleibende n-r-Gleiche im System (1; r-1) є mit der Gleichheit und können nicht berücksichtigt werden.

Es gibt zwei Möglichkeiten:

a) Die Anzahl der Gleichen des Systems (1; r-1) ist gleich der Anzahl der Unbekannten, also ist r = n (das System sieht in diesem Fall schwierig aus).

b) r

Der Übergang vom System (1) zum Gleichheitssystem (1; r-1) wird als direkter Übergang zum Gauß-Verfahren bezeichnet.

Über die Änderung der Änderung vom System (1; r-1) - ein Wendepunkt zur Gauß-Methode.

Die Transformation von Gaus wird manuell durchgeführt, wobei sie nicht mit Gleichwerten, sondern mit einer erweiterten Matrix ihrer Koeffizienten erstellt werden.

13 Mahlzeiten.

Ähnliche Matrizen.

Betrachten wir nur quadratische Matrizen der Ordnung n/

Matrix A wird als ähnliche Matrix (A~B) bezeichnet, da es eine solche nichtsinguläre Matrix S gibt, dass A=S-1BS.

Macht solcher Matrizen.

1) Matrix A ist sich selbst ähnlich. (A~A)

Wie S=E auch EAE=E-1AE=A

2) Wenn A ~ B, dann B ~ A

Yakscho A = S-1BS => SAS-1 = (SS-1) B (SS-1) = B

3) Wenn A~B und eine Stunde B~C, dann A~C

Angenommen A=S1-1BS1 und B=S2-1CS2 => A= (S1-1 S2-1) C(S2 S1) = (S2 S1)-1C(S2 S1) = S3-1CS3, de S3 = S2S1

4) Bezeichner ähnlicher Matrizen sind gleich.

Da A ~ B gegeben ist, muss detA=detB gebracht werden.

A=S-1 BS, detA=det(S-1 BS)= detS-1* detB* detS = 1/detS *detB*detS (bald) = detB.

5) Die Ränge ähnlicher Matrizen werden geändert.

Vlasnі vektori i vlasnі Werte von Matrizen.

Die Zahl λ wird der gegebene Wert der Matrix A genannt, da es sich um einen Nicht-Null-Vektor X (Matrixspalte) handelt, so dass AX = λ X, der Vektor X der gegebene Vektor der Matrix A genannt wird, und die Kombination von alle Werte nennt man das Spektrum der Matrix A.

Die Macht mächtiger Vektoren.

1) Beim Multiplizieren des Potenzvektors wird die Zahl vom Potenzvektor aus denselben Potenzwerten subtrahiert.

AX = λX; Х≠0

α X => A (α X) \u003d α (AX) \u003d α (λ X) \u003d \u003d λ (α X)

2) Nassvektoren mit paarweise unterschiedlichen Nasswerten sind linear unabhängig λ1, λ2,.. λk.

Lassen Sie das System aus einem Vektor bestehen, machen wir es induktiv:

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn = 0 (1) - mit A multiplizieren.

C1 AX1 + C2 AX2 + .. + Cn AXn = 0

С1 λ1 Х1 + С2 λ2 Х2 + .. + Сn λn Хn = 0

Multipliziere mit λn+1 und siehe

C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn Xn + Cn +1 Xn +1 = 0

С1 λ1 Х1 +С2 λ2 Х2 + .. +Сn λn Хn+ Сn+1 λn+1 Хn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn + Cn+1 (λn+1 –λn+1)Xn+1 = 0

C1 (λ1 –λn+1)X1 + C2 (λ2 –λn+1)X2 +.. + Cn (λn –λn+1)Xn = 0

Erforderlicher Schob С1 = С2 = ... = Сn = 0

Cn+1 Xn+1 λn+1 =0

Charakteristisch gleich.

A-λE heißt charakteristische Matrix für Matrix A.

Damit ein Nicht-Null-Vektor X ein freier Vektor der Matrix A ist, muss der freie Wert angepasst werden, sodass ein Nicht-Null-Vektor X eine Lösung eines homogenen Systems linear-algebraischer Gleichungen (A - λE)X = 0

Eine nicht-triviale Lösung des Systems kann sein, wenn det (A – XE) = 0 – es ist charakteristisch gleich.

Festigkeit!

Die Eigenschaften solcher Matrizen variieren.

det(S-1AS - λµ) = det(S-1AS - λ S-1µS) = det(S-1 (A - λµ)S) = det S-1 det(A - λµ) detS= det(A - λÅ)

Charakteristisches reiches Mitglied.

det(A – λЕ) - Funktion des Parameters λ

det(A – λµ) = (-1)n Xn +(-1)n-1(a11+a22+..+ann)λn-1+..+detA

Dieses Polynom wird das charakteristische Polynom der Matrix A genannt.

Letzte:

1) Als Matrizen A~B wird die Summe ihrer diagonalen Elemente erhöht.

a11+a22+..+ann = â11+â22+..+ânn

2) Es gibt viele starke Werte ähnlicher Matrizen.

Jakscho charakteristischer Ausgleich Matrizen zbіgayutsya, dann der Gestank neobov'yazkovo podіbnі.

Für Matrix A

Für Matrix B

https://pandia.ru/text/78/365/images/image062_10.gif" width="92" height="38">

Det(Ag-λE) = (λ11 – λ)(λ22 – λ)…(λnn – λ)= 0

Damit die Matrix A auf die Ordnung n diagonalisiert werden kann, ist es notwendig, dass die linear unabhängigen Wellenvektoren der Matrix A verwendet wurden.

Folge.

Obwohl alle Werte der Matrix A unterschiedlich sind, ist sie diagonalisiert.

Algorithmus zur Kenntnis der Leistungsvektoren und der Leistungswerte.

1) faltbar charakteristisch gleich

2) wir kennen die Wurzel rіvnyan

3) Wir fügen ein System zum Ausgleich der Zuordnung Ihres Vektors hinzu.

λi (A-λi E)X = 0

4) wir kennen das fundamentale Lösungssystem

x1,x2..xn-r, de r - Rang der Merkmalsmatrix.

r = Rg(A - λiE)

5) der Leistungsvektor, die Leistungswerte λi werden in der Ansicht aufgezeichnet:

X \u003d C1 X1 + C2 X2 + .. + Cn-r Xn-r, de C12 + C22 + ... C2n ≠ 0

6) Prüfen Sie, ob die Matrix auf eine Diagonalansicht reduziert werden kann.

7) Wir kennen Ag

Ag=S-1AS S=

15 Mahlzeiten.

Die Basis einer geraden Linie, eines Quadrats, eines Raums.

http://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" Der Modul des Vektors ist gleich Null, auch wenn der Vektor Null ist.

4.Orth-Vektor.

Der Ort dieses Vektors wird als Vektor bezeichnet, der jedoch mit diesem Vektor gerichtet ist und einen Modul haben kann, der die häufigste Einheit ist.

Rivnі vectori mayut rіvnі orti.

5. Schnitt zwischen zwei Vektoren.

Der kleinere Teil des Gebiets ist von zwei Kreuzungen umgeben, die vom selben Punkt kommen und durch dieselben Vektoren begradigt werden.

Vektorspeicherung. Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl.

1) Addieren von zwei Vektoren

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11">+ │≤│ │+│ │

2) Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar.

Der neue Vektor, der als Untervektor dieses Skalars bezeichnet werden kann, ist:

a) = Addition des Moduls der Vektormultiplikation mit dem Betrag des Skalars.

b) direkt gleichzeitig mit einem multiplizierten Vektor, als ob der Skalar positiv wäre, i als Gegenteil, als ob der Skalar negativ wäre.

λ a(Vektor)=>│ λ │= │ λ │=│ λ ││ │

Potenz linearer Operationen auf Vektoren.

1. Gesetz der Kommunikativität.

2. Das Gesetz der Assoziativität.

3. Addieren von Null.

a(Vektor)+ō= a(Vektor)

4. Aufbewahrung mit Bettzeug.

5. (αβ) = α(β) = β(α)

6; 7. Verteilungsgesetz.

Viraz-Vektor über das Yogo-Modul i ort.

Die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren heißt Basis.

Die Basis auf der Linie ist ein beliebiger Vektor.

Die Basis auf der Ebene sind zwei Nicht-Kalender-Vektoren.

Die Basis des Raums ist ein System aus drei nicht koplanaren Vektoren.

Der Koeffizient des Vektorlayouts durch die tatsächliche Basis wird die Komponenten oder die Koordinaten des Vektors in der gegebenen Basis genannt.

Vikonati aufgrund von Faltung und Multiplikation mit einem Skalar, dann werden als Ergebnis eine Reihe solcher DIYs genommen:

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> werden als lineare Brache bezeichnet, weil es eine nicht-triviale Linearkombination gibt, die gut ist?.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> werden zeilenunabhängig genannt, da es keine nicht-triviale Zeilenkombination gibt.

Dominanz von linearen Brachen und unabhängigen Vektoren:

1) Das Vektorsystem zum Ersetzen des Nullvektors ist linear brach.

λ1 https://pandia.ru/text/78/365/images/image079_10.gif" height="11 src=">+...gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> linear brach liegt, ist es notwendig, dass der Vektor eine Linearkombination anderer Vektoren ist.

3) als Teil des Vektors im System a1(Vektor), a2(Vektor) ... ak(Vektor) ist lineare Ablagerung, dann sind alle Vektoren lineare Ablagerung.

4) wie alle Vektoren.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image082_10.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src=">)

Lineare Operationen in Koordinaten.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image069_9.gif" height="12 src=">.gif" height="11 src=">.gif" height="11 src="> .gif" height="11 src=">.gif" width="65" height="13 src=">

Macht der Skalarbildung:

1. Kommutativität

3. (a;b)=0, gerade und nur einmal, wenn die Vektoren orthogonal sind, oder wenn sie von Vektoren stammen, sind sie mehr oder weniger 0.

4. Distributivität (αa+βb;c)=α(a;c)+β(b;c)

5. Viraz die Skalarbildung a und b durch їх-Koordinaten

https://pandia.ru/text/78/365/images/image093_8.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image095_8.gif" width="254" height="13 src=">

Beim Waschen von Vykonannі (), h, l = 1,2,3

https://pandia.ru/text/78/365/images/image098_7.gif" width="176" height="21 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image065_9.gif" height="11"> und der dritte Vektor wird aufgerufen, der sich über den kommenden Gleichstand freut:

3. - Rechte

Die Kraft der Vektorkreativität:

4. Vektor-vitvir koordinieren

Orthonormale Basis.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image109_7.gif" width="41" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image111_8.gif" width="41" height="11 src=">

Oft werden 3 Symbole verwendet, um die orthonormale Basis zu bestimmen

https://pandia.ru/text/78/365/images/image063_10.gif" width="77" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image114_5.gif" width="549" height="32 src=">

Yakscho ist also eine orthonormale Basis

https://pandia.ru/text/78/365/images/image117_5.gif" width="116" height="15">- gerade Linienausrichtung parallele Achse OH

2) - Ausrichtung der Geraden parallel zur OS-Achse

2. Gegenseitige Erweiterung von 2 Geraden.

Satz 1

A) Todi ist notwendig, dass genug Verstand, wenn der Gestank auf einen Blick getönt ist:

B) Das ist notwendig und ausreichend für den Geist dessen, was direkt parallel zum Geist ist:

B) Was auch immer notwendig ist genug mental derjenige, der in einem Geist direkt wütend ist:

3. Bewegen Sie sich vom Punkt zur geraden Linie.

Satz. Verschieben von einem Punkt zu einer geraden Linie mit einem kartesischen Koordinatensystem:

https://pandia.ru/text/78/365/images/image127_7.gif" width="34" height="11 src=">

4. Schneiden Sie zwischen zwei geraden Linien. Rechtwinkligkeit waschen.

2 direkte Zuordnungen zu einem kartesischen Koordinatensystem mit großen Ebenen.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image133_4.gif" width="103" height="11 src=">

Yakscho, dann sind gerade Linien senkrecht.

24 Mahlzeiten.

Der Bereich in der Nähe des Raums. Umovs Vektor- und Ebenenkomplonarität. Vіdstan zeigte auf das Flugzeug. Umov Parallelität und Rechtwinkligkeit zweier Ebenen.

1. Umovs Komplonarität eines Vektors und einer Ebene.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image140.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Ohne'яний4.jpg" width="111" height="39">!}!}

https://pandia.ru/text/78/365/images/image142_6.gif" width="86" height="11 src=">

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3. Kut Mizh 2 Wohnungen. Rechtwinkligkeit waschen.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image150_6.gif" width="132" height="11 src=">

Yakshcho, dann sind die Ebenen senkrecht.

25 Mahlzeiten.

Gerade im Raum. Anders sieht die Ausrichtung von geraden Linien im offenen Raum aus.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image156_6.gif" width="111" height="19">

2. Vektor der direkten Ausrichtung im Raum.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image138_6.gif" width="40" height="11 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image162_5.gif" width="44" height="29 src=">

4. Kanonische Gleichheit gerade.

https://pandia.ru/text/78/365/images/image164_4.gif" width="34" height="18 src=">

https://pandia.ru/text/78/365/images/image166_0.jpg" alt="(!LANG:(!LANG:Ohne'яний3.jpg" width="56" height="51">!}!}

Bei allem Respekt, die Elemente einer Matrix können nicht mehr als eine Zahl sein. Lassen Sie mich wissen, dass Sie die Bücher beschreiben, wie Sie auf Ihrer Bücherpolizei stehen. Lass die Polizei Ordnung halten und alle Bücher auf den Singplätzen stehen. Die Tabelle als eigentliche Beschreibung Ihrer Bibliothek (von Polizei und folgenden Büchern über die Polizei) wird auch eine Matrix sein. Ale, eine solche Matrix wird nicht numerisch sein. Zweites Beispiel. Anstelle von Zahlen stehen verschiedene Funktionen, die untereinander von einer Art Brache gefressen werden. Otrimans Tabelle wird auch als Matrix bezeichnet. Mit anderen Worten, die Matrix ist sozusagen ein rechteckiger Tisch, gefaltet ähnlich Elemente. Hier und im Folgenden sprechen wir von aus Zahlen gefalteten Matrizen.

Ersetzen Sie runde Arme für Aufzeichnungsmatrizen durch Platzieren von quadratischen Armen oder geraden vertikalen Linien.

(2.1*)

Termin 2. Wie ein Virazi(1) m = n, dann rede darüber quadratische Matrix, aber yakscho , dann ungefähr rechteckig.

Der Brachwert von m und n wird in spezielle Arten von Matrizen unterteilt:

Das wichtigste Merkmal Quadrat Matrizen є її vyznachnik oder bestimmend, was aus den Elementen der Matrix gebildet und angezeigt wird

Es ist offensichtlich, dass D E = 1; .

Termin 3. Jakscho , dann die Matrix EIN genannt nicht jungfräulich oder nicht speziell.

Termin 4. Jakscho detA = 0, dann die Matrix EIN genannt virogen oder besonders.

Termin 5. Zwei Matrizen EIN і B genannt gleich Sie schreibt A=B als ob der Gestank derselbe wäre, die Unterschiede und die lebensfähigen Elemente gleich sind,.

Zum Beispiel Matrizen und Gleichheit, weil Der Gestank ist näher an der Welt und das Hautelement einer Matrix ist näher am ähnlichen Element einer anderen Matrix. Und die Achse der Matrix i kann nicht als gleich bezeichnet werden, obwohl die Determinanten beider Matrizen gleich sind und die Matrizen gleich sind, aber nicht alle Elemente, die auf denselben Punkten stehen, gleich sind. Matrizen sind anders, so dass eine andere Welt möglich ist. Die erste Matrix ist 2x3 und die andere 3x2. Obwohl die Anzahl der Elemente gleich ist - 6 und die Elemente selbst gleich sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, stinkt Ale, wenn es an verschiedenen Stellen in der Nähe der Hautmatrix steht. Und die Achse der Matrix ist der Fortschritt, zgіdno z vznachennyam 5.

Termin 6. Wie man die Sprotte der Matrix repariert EIN und dies ist die Anzahl seiner Zeilen, dieselben Elemente, die auf der Netzhaut der Bezeichnungen der Spalten und Zeilen stehen, um eine quadratische Matrix zu bilden n- Ordnung, Vorläufer davon genannt unerheblich k- Matrixordnung A.

Hintern. Schreiben Sie drei Minoren in einer anderen Reihenfolge der Matrix

Geplanter Termin. Matrix rozmіru m'n, de m-Anzahl der Zeilen, n-Anzahl der Spalten, die Zahlentabelle heißt in der gleichen Reihenfolge angeordnet. Qi-Zahlen werden Matrixelemente genannt. Der Bereich des Hautelements wird eindeutig durch die Nummer der Reihe und des Spatels identifiziert, auf dessen Netzhaut sich Venen befinden. Matrixelementen wird a ij zugewiesen, wobei i die Zeilennummer und j die Zeilennummer ist.

Grundlegende Unterteilungen über Matrizen.

Die Matrix kann in einer Reihe und in einer Spalte gefaltet werden. Denken Sie daran, dass die Matrix aus einem Element gefaltet werden kann.

Geplanter Termin. Wenn die Anzahl der Spalten der Matrix gleich der Anzahl der Zeilen ist (m=n), dann wird die Matrix aufgerufen Quadrat.

Geplanter Termin. Jakscho = , dann wird die Matrix aufgerufen symmetrisch.

Hintern.- symmetrische Matrix

Geplanter Termin. Die quadratische Matrix heißt Diagonale Matrix.

Geplanter Termin. Diagonalmatrix, die weniger als eins auf der Kopfdiagonale hat:

= E, genannt einzelne Matrix.

Geplanter Termin. Die Matrix, die weniger als null Elemente unter der Kopfdiagonale hat, wird aufgerufen Obere Trikotmatrix. Wenn die Matrix über der Kopfdiagonale weniger als null Elemente hat, wird sie aufgerufen untere Trikotmatrix.

Geplanter Termin. Die beiden Matrizen werden aufgerufen gleich wie der Gestank eines Umherziehens und vykonuєtsya Gleichmuts:

· Zusätzliche Information Matrizen werden bis zu den nächsten Operationen auf ihren Elementen aufgebaut. Die oberste Autorität dieser Operationen sind diejenigen, die stinken nur für Matrizen gleicher Größe reserviert. In dieser Reihenfolge ist es möglich, den Vorgang des Faltens dieser visuellen Matrix zu bezeichnen:

Geplanter Termin. Tasche (Einzelhandel) Matrix є Matrix, deren Elemente die Summe (Retail) der Elemente der Ausgabematrizen sind.

Z \u003d A + B \u003d B + A.

Betrieb Plural (podіlu) die Matrix, sei sie um eine bestimmte Zahl erweitert, wird auf das Vielfache (geteilt) des Skin-Elements der Matrix durch die ganze Zahl reduziert.

a (A + B) \u003d aA ± aB

À(a±b) = aÀ ± bÀ

Hintern. Gegebene Matrix A = ; B = 2A + B kennen.

2A = , 2A + B = .

· Geplanter Termin: Tvorom Eine Matrix wird als Matrix bezeichnet, deren Elemente mit den folgenden Formeln berechnet werden können:

Aus der induzierten Bezeichnung ist ersichtlich, dass die Operation der Multiplikation von Matrizen nur Matrizen zugeordnet ist, Die Anzahl der Spalten des ersten ist gleich der Anzahl der Zeilen des anderen.

Hintern.

· Geplanter Termin. Matrix B wird aufgerufen transponiert Matrix A und Übergang von A nach B Umsetzung Beispielsweise werden die Elemente der Hautzeile von Matrix A in der gleichen Reihenfolge in die Spalten von Matrix B geschrieben.

A =; B = EIN T =;

Mit anderen Worten = .

Umkehrmatrix.

Geplanter Termin. Dies sind quadratische Matrizen X und A derselben Ordnung, die den Geist erfreuen:

de E eine einzelne Matrix der gleichen Ordnung wie die Matrix A ist, dann heißt die Matrix X reversibel der Matrix A i wird A-1 zugewiesen.

Eine Skin-Quadrat-Matrix mit einem Pivot, der nicht gleich Null ist, kann eine umgekehrte Matrix und mehr als eins haben.

Umkehrmatrix

Möglicherweise werden Sie nach einem solchen Schema gefragt:

Nun, dann heißt die Matrix nicht jungfräulich, und auf andere Weise - virogen.

Die umgekehrte Matrix kann nur für nicht-jungfräuliche Matrizen induziert werden.

Leistungsstarke Matrizen.

1) (A-1)-1 = A;

2) (AB) -1 = B -1 EIN -1

3) (AT) -1 = (AT -1) T .

Matrix-Rang genannt Ordnung finden in Form von Nullen in den Minoren der Matrix.

Für eine Matrix der Ordnung m´n, Minor, heißt die Ordnung r Basis Yakscho Vin ist nicht gleich Null, aber alle Minoren sind in Ordnung r+1 und gleich null, sonst muss man das beweisen. r zbіgaєtsya mit der kleineren der Zahlen m oder n.

Die Spalten und Zeilen der Matrix, auf denen die Basis Minor steht, werden auch genannt Basic.

Die Matrix kann eine kleine Anzahl verschiedener grundlegender Minoren haben, die dieselbe Reihenfolge haben können.

Die wichtigeren Autoritäten der elementaren Transformationen der Matrix sind diejenigen, die den Rang der Matrix nicht ändern.

Geplanter Termin. Matrizen, otrimani nach elementarer Transformation, werden genannt gleichwertig.

Geben Sie als nächstes an, was gleich Matrizen u gleichwertig Matrizen - absolut anders verstehen.

Satz. Größte Zahl linear unabhängige Zeilen in der Matrix sind gleich der Anzahl linear unabhängiger Zeilen.

Da elementare Verwandlung Wenn Sie den Rang der Matrix nicht ändern, können Sie einfach den Vorgang des Zuweisens des Rangs der Matrix vereinfachen.

Hintern. Finde den Rang der Matrix.