Намерете координатите на центъра на масата на хомогенна линия. Как да се изчисли центърът на тежестта на плоска описана фигура с помощта на интеграл на основата? Редът на vikonanny на типична rozrahunka

Ще насочим дупето на целта към центъра на масата на тялото по метода на поділу йога на границата на тялото, центъра на масата на тези в къщата.

дупе 1. Посочете координатите на центъра на масата на хомогенна плоча (фиг. 9). Пресметни задачите в милиметри бебе 9.

Решение:Показваме координатните оси i . Начупваме чинията на парчета, направени с три прави разреза. За дермалния ректус са начертани диагонали, чиито точки на напречната греда показват позицията на центъра на дермалния ректус. В приетата координатна система не е лесно да се изчислят стойностите на координатите и точките. И на себе си:

(-1; 1), (1; 5), (5; 9). Зоните на кожата на тялото са умерено подобрени:

; ; .

Площта на всички плочи е добра:

За задаване на координати на центъра на масата на дадената плоча е необходимо вирази (21). Ние представяме стойността на всички известни количества този човек е равен, взета

Vídpovіdno до otrimanih стойността на координатите до центъра на масата на плочата, можете да посочите точка на малката. Както можете да видите, центърът на масата (геометричната точка) на плочата се намира зад границите.

Метод на добавяне. Tsej sposіb е chastkovy vpadkom начин podіlu. Вин може да се застосовува до тил, yakí mаyut virіzi (празно). Освен това, без vir_zanoї част от позицията на центъра на масата на тялото е видима. Нека да разгледаме, например, zastosuvannya такъв метод.

дупе 2.Обозначете позицията на центъра на масата на влагата на кръгла плоча с радиус R, de е viríz с радиус r (фиг. 10). Хайде.

Решение: Подобно на Бачимо, от фиг.10 центърът на масата на плочата лежи върху оста на симетрия на плочата, тоест на права линия, парчетата са прави, цялата симетрия. По този начин, за да се зададе позицията на центъра на масата на плочата, е необходимо да се зададе само една координата, но останалите координати ще бъдат начертани върху оста на симетрия и равни на нула. Нека покажем координатните оси. Прието е плочата да се сгъва на две тела – от нов кол (без вириз) това тяло, както ниби виконане с вириз. В приетата координатна система координатите за означаване на телата са: .Площите на телата са: ; . Общата площ на цялото тяло е по-равна на разликата между площите на първото и другото тяло и

Изчислете стойностите м,и е необходимо да се съпоставят формули (4), (5) и (7). В резултат на това ние вземаме формули за координати на центъра на масата на тънката плоча :

Дупе 4 (изчисляване на координатите до центъра на масата на униформена рокля)

Намерете координатите на центъра на масата на хомогенна фигура, оградена с линии и .

След като вдъхновихме фигурата, отбелязваме, че тя е геометрично изпъкнала и симетрична като права линия. десняк. След това, зад дадените физически мощности, ние поставяме центъра на масата, че вината са разположени на оста на симетрия, така че

За да изчислите, добавете статичния момент и спечелете формулите (4) и (5):

;

Предложение: C.

Добавки на трети интеграли

Програмите за допълнителни интеграции са подобни на добавките на подинтеграли, но само за тривимери.

Ако искате да спечелите една от степените на тройния интеграл (приблизително същата стойност на функцията, която също е същата стойност на единицата), тогава отидете формула за изчисляване на задължението да бъде просторно тяло :

Нека запишем формулата за obyagu чрез трети интеграли изчислим интеграл на загубите в цилиндрични координати:

Vidpovid: (сам задължава).

Формулата за изчисляване на масата на тривимерен обект, който заема обем V, може да изглежда:

(13)

Ето обема на schіlnіst rozpodіlu masi.

Дупе 6

Познайте масата на хладния радиус Ркак пространството е пропорционално на куба в центъра и на единичната стена к.

V: елементарен обем ta .

Струва си да се отбележи, че при изчисляването на трикратния интеграл нямаше повече интеграли, чиповете на вътрешните интеграли изглеждаха оставени в случай на промяна на външните интеграли.

Vidpovid: (единични маси).

Механични характеристики за подвързване V(Статични моменти, моменти на инерция, координати към центъра на масата) се изчисляват по формули, като

сгънати по аналогия с формули за двусветови тела.

Елементарни статични моменти и моменти на инерция по координатните оси:

елементарни инерционни моменти по координатните равнини и точки на кочана от координати:

Дали, за изчисляване на механичните характеристики на целия обягу V,Необходимо е да се сумират елементарните добавки на характеристиките за всички части на разбивката (характеристиките на най-голямата сила на адитивност се броят) и след това да се премине към границата в сумата, която беше извън ума, че всички елементарните части на разбивката ще се променят (контрактират в точки). Количествата са описани като интегриране на елементарно допълнение от механични характеристики, които се изчисляват, за задължително V.

В резултат на това елате формули за изчисляване на статичните моменти М и инерционните моменти I тривимер до :

Наистина, те формулираха формулите като победоносни, тъй като те са готови, и ги водят в задачи за виришуване.

Приложете 7 (изчисляване на механичните характеристики на триизмерни тела)

Намерете инерционния момент на равномерен цилиндър, чиято височина чи радиус на основата Р, как да ос, която zbіgaєtsya с диаметъра на основата.

Ние знаем дза частична точка на цилиндъра:

преместете се в точка с координати спрямо оста – дължината на перпендикуляра, прекаран от центъра на точката към оста . Нека направим равнината перпендикулярна на оста, така че точката да лежи на тази равнина. След това бъде права, която пресича всичко и лежи на тази равнина, тя ще бъде перпендикулярна . Зокрема, права линия, която свързва точка и точка, ще бъде перпендикулярна на оста и ако застанете между тези точки, ще бъдете шукана д. Изчислете йога за дадената формула между две точки.

3 Добавки на основни интеграли

3.1 Теоретично въведение

Нека да разгледаме програмите интегрална жицакъм върха на ниските геометрични задачи и задачи на механиката.

3.1.1 Изчисляване на площта на плоска плоча

Нека да разгледаме плоча от тънък материал д, разширен в ж.к Оху. ■ площ С tsієї плочи могат да бъдат намерени с помощта на интеграла на подводния ток за формулата:

3.1.2 Статични моменти. Масов център на плоска плоча

статичен момент М хшодо ос волматериални точки П(х;г), които се намират близо до апартамента Оксии має масу м, Нарича се dobutok massi точки на нейната ордината, tobto. М х = моят. По същия начин статичният момент М гшодо ос Ох: ­ ­ ­ М г = mx. Статични моментиплоски плочи с повърхностен прорез γ = γ (x, y) се изчисляват по формулите:

Както се вижда от механиката, координатите х ° С ,г ° Сцентровете на масата на плоска материална система се определят от равенства:

де м- система Masa и М хі М г- Статични моменти на системата. Тегло на плоска плоча мопределени по формула (1), статичните моменти на плоска плоча могат да бъдат изчислени с помощта на формули (3) и (4). Todi, zgídno z формули (5), се взема вираз за координати до центъра на масата на плоската плоча:

Типичният rozrahunok отмъсти за две задачи. Кожният лекар получава плоска чиния д, оградени с линии, показани за ума на задачата. Ж(x,y) - повърхностен просвет на плочата д. За да разберете броя на табелите: 1. С- Квадрат; 2. м- Масу; 3. М г , М х- Статични моменти за оси Ойі оочевидно; 4. , - Координати на центъра на масата.

3.3 Редът на vykonannya типичен rozrahunku

При изпълнение на скин задача е необходимо: 1. Премахнете стола от дадена зона. Изберете координатна система, за която ще се изчисляват подинтегралите. 2. Запишете областта на визуалната система на нередностите в избраната координатна система. 3. Изчислете площта Ста масу мплочи по формули (1) и (2). 4. Изчислете статичните моменти М г , М хформули (3) и (4). 5. Изчислете координатите на центъра на масата, като използвате формули (6). Нанесете центъра на масата върху фотьойла. Обвиняваме визуалния (якиш) контрол за отнемане на резултатите. Числовите числа могат да бъдат извадени от триото числа.

3.4 Нанесете типична роба

Задача 1.плоча дзаобиколен от линии: г = 4 – х 2 ; х = 0; г = 0 (х ≥ 0; г≥ 0) Дебелина на повърхността γ 0 = 3. Решение.Посочената в задачата област е оградена с парабола г = 4 – х 2 , координатните оси i лежат на първата четвърт (фиг. 1). Задачата е модифицирана в декартова координатна система. Тази област може да бъде описана чрез система от нередности:

Ориз. един

■ площ Сплочите са по-стабилни (1): Тъй като плочата е еднаква, м = γ 0 С= 3 = 16. Зад формули (3), (4) знаем статичните моменти на плочата: Координатите на центъра mas се дават по формула (6): Внушение: С ≈ 5,33; м = 16; М х = 25,6; М г = 12; = 0,75; = 1,6.

Задача 2.плоча дзаобиколен от линии: х 2 + при 2 = 4; х = 0, при = х (х ≥ 0, при≥ 0). Дебелина на повърхността γ (x,y) = при. Решение.Плочата е заобиколена от кол и прави линии, които минават през кочана от координати (фиг. 2). Следователно, за изпълнение на задачата е необходимо ръчно транскрибиране на полярната координатна система. полярен кут φ промяна от π/4 на π/2. Промин, минаващ от стълба през плочата, „влиза“ преди него при ρ = 0 и „влиза“ в залога, равен на: х 2 + при 2 = 4 <=>p = 2.

Ориз. 2

Отново дадена област може да бъде записана със система от нередности: Площта на плочата е известна от формулата (1): Масата на плочата е известна по формула (2), замествайки γ (x,y) = y = ρгрях φ :
За изчисляване на статичните моменти на плочата можем да използваме формули (3) и (4):
Координатите на центъра на масата се вземат от формулите (6): Внушение: С ≈ 1,57; м ≈ 1,886; М х = 2,57; М г = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 Проектиране на звука

Звездите може да имат представяне на всички виконан розрахунка, спретнато виконан фотьойли. Числовите числа могат да бъдат извадени от триото числа.

– изчислението за центъра на тежестта е плоско фигура с ресни . Богатият читател интуитивно разбира какво е центърът на тежестта, препоръчвам да повторите материала на един от уроците аналитична геометрияде реших zavdannya за центъра на тежестта на trikutnikи в достъпна форма дешифриране на физическия термин.

При независими и контролни задачи, за съвършенство, като правило, се разпространява най-простият випадок - апартаментът е заобиколен хомогененфигура, за да публикувате postiynoї физическа сила - стъкло, derev'yana, pewter'yana chavunnі іgry, твърда детинщина е тънка. Дали за umovchannyam mova píde tіlki за такива цифри =)

Първото правило е най-простото дупе: въпреки че фигурата е плоска център на симетрия, тогава vin є центърът на тежестта tsієї фигура. Например центърът на кръгла еднообразна чиния. Това е логично и жизнено съзнателно - масата на такава фигура е "справедливо разпределена на всички страни" като центъра. Повярвай - не искам.

В действителност обаче е малко вероятно да дадете женско биле елиптично шоколадово блокчеТом ще трябва да се справи със сериозен кухненски инструмент:

Координатите на центъра на тежестта на равномерна плоска описана фигура се покриват с напредващите формули:

, или:

, de - площ на региона (цифри); но нека накратко:

, де

Интегралът мислено се нарича интеграл “ixovim”, а интегралът е интеграл “igrom”.

Приемане-завършване : за плоски набраздени разнороднифигури, чиято ширина е дадена от функцията, формули за сгъване:
, де - Маса фигури;във времена на еднаква сила, вонята ще бъде простена на въвеждането на повече формули.

На формули, vlasne, всички новости и краища, reshta - всичките ви vminnya виришувати субвинциални интеграли, до точката на речта, веднага се надява на чудотворна способност да отработи и усъвършенства техниката си. И задълбочеността, както изглежда, няма разлика =)

Хвърляне на голяма част от параболи:

дупе 1

Намерете координатите на центъра на влагата на еднаква плоска фигура, оградена с линии.

Решение: линиите тук са елементарни: задайте цялата абциса, а равното - парабола, така че да ви е лесно да получите помощ геометрична трансформация на графики:

– парабола, Избута 2 единици наляво и 1 единица надолу.

Зашивам цялото кресло с готова точка към центъра на каприза на фигурата:

Управлявайте приятел: какво има фигурата цялата симетрия, тогава центърът на тежестта на тази фигура трябва да лежи върху нейната ос.

Нашата фигура е симетрична на шодо правтака че всъщност вече знаем координатата "ix" на точката "em".

Също така е важно да се спазва, че центърът на тежестта на преместванията е по-близо до абсцисната ос по вертикалата, осцилаторите там са масивна фигура.

Така че, може би, не всеки все още е разбрал какъв е центърът на вагата: бъдете любезни, вдигнете пръста си нагоре и поставете точка върху новото засенчено „стъпало“. Теоретично фигурата не е виновна за падането.

Координатите на центъра на тежестта на фигурата са известни от формулите де .

Редът за заобикаляне на областта (фигурите) е очевиден тук:

уважение!Определя се от най-жизнеспособния ред на байпас веднъж- Използвам йога за всичкиинтегриран!

1) На гърба изчислявам площта на фигурите. Чрез очевидната простота на интеграла, решението може да бъде подредено компактно, без да се губи в изчисленията:

Чудим се на креслото и се преструваме, че сме на площада. Viyshlo bіlya го направи.

2) X-координатата на центъра на тежестта вече е намерена чрез „графичния метод“, така че можете да се обърнете към симетрията и да преминете към следващата точка. Въпреки това, все още не е раджа да работите така - страхотно е да мислите, че е добра идея да отхвърлите формулата „спечелете формулата“.

Уважавайте, че тук е възможно да се справите с изчисления с цвят на вино - понякога не е задължително да привеждате дроби към двоен стандарт и да измъчвате калкулатор.

По този начин:
, Какво и трябва да вземете.

3) Знаем ординатата на центъра на тежестта. Нека изчислим гръцкия интеграл:

А оста тук без калкулатор би била трудна. За всяка промяна ще коментирам, че в резултат на множеството богато разделени членове има 9 членове, освен това дяконите са подобни на тях. Подобни добавки ваксинирах орално (как да звучи като robiti при такива случаи)и незабавно записване на сумата на торбата.

Като резултат:
което все повече прилича на истината.

На последния етап се маркира върху петънцето на фотьойла. За ума не беше необходимо да правя кресло, но в по-голям брой искам да изобразя фигура, дори и да не искам. Natomist е безумен плюс - визуална и ефективна повторна проверка на резултата.

Vidpovid:

Елате две дупета на независимо решение.

дупе 2

Намерете координатите на центъра на влагата на еднаква плоска фигура, оградена с линии

Преди речта, както виждате, като парабола е разрошена и точките са обърнати, в което всичко е обърнато, тогава тук наистина можете да минете без кресло.

І сгъване:

дупе 3

Намерете центъра на влагата на еднаква плоска фигура, оградена с линии

В моменти на затруднения от графика след бюджета, vivchit (повтаряне) параболичен уроки/или приклад № 11 статии Окачени интеграли за чайници.

Srazkoví zrazki решение като урок.

Освен това дузина подобни приложения могат да бъдат намерени в архивите отстрани Готови решения за вашата математика.

Е, няма как да не зарадвам влюбените напреднала математика, Колко често да ме карате да подреждам важни задачи:

дупе 4

Намерете центъра на влагата на еднаква плоска фигура, оградена с линии. Фигурата на този й център на тежестта е изобразена на фотьойла.

Решение: umova tsієї zadachi vzhe категорично vmagaє vykonannya фотьойл Aje vimoga не nastílki и формално! - Tsyu фигура zdatna за разкриване в ума на човек от средното ниво на обучение:

Направо roz_kaê kolo на 2 части и допълнителен предпазител (Разд. линейни неравности) Посочвам на тези, че мога да отида сам за малък засенчващ shmatochok.

Фигурата е симетрична и визуално права (изобразена с пунктирана линия), центърът на тежестта е виновен, че лежи на тази линия. І е очевидно, че його координатите са равни зад модула. Насока, която на практика включва помилването!

Сега това е мръсна новост =) На хоризонта се очертава интеграл с ниско приемане от корена, който според съобщенията сме взели от Приложение № 4 към урока Ефективни методи за решаване на интеграции. И кой знае какво още е нарисувано там. Ще бъде дадено чрез присъствието колаОчевидно не всичко е толкова просто. Rivnyannya права линия се трансформира с един поглед и интеграцията може да не е вярна (ако фанатиците искат тригонометрични интегралиоценявам). В zvyazku z tsim обикновено zupinitsya на декартови координати.

Редът за заобикаляне на фигурата:

1) Изчислете площта на фигурата:

Първи интеграл на рационалното вземане p_dvedennyam p_d знак на диференциала:

И в друг интеграл ще извършим стандартна замяна:

Нека преброим новата интеграция:

2) Ние знаем.

Тук при втория интеграл има нов обрат метод. Vіdpratsyuyte ta vіzmіt на ozbroєnnya qі оптимално (на ум)приемат разработването на типични интеграли.

След трудното и тривиалното пресметнете отново зверския поглед към креслото (не забравяйте, че точките Все още не знаем! ) и получаваме до известна степен морално удовлетворение с оглед констатираната стойност.

3) Vykhodyachi z извършен по-ранен анализ, загубено помирение, scho.

Забележка:

Представителна точка на стола. Относно формулярния ум, ние ще я запишем като остатък доказателство:

Подобна задача за независима визия:

дупе 5

Намерете центъра на влагата на еднаква плоска фигура, оградена с линии. Фотьойл Vikonati.

Интересува ни фактът, че в него фигурата е дадена да прави малки възпоменания и ако има известно време за помилване, тогава високото ниво на огъня няма да бъде „прекарано“ в региона. Какво, bezperechno, добро от гледна точка на контролния разтвор.

Srazkovy zrazok, проектиран като урок.

Inodi buvaê dotsіlnim преход към полярни координати при по-ниски интеграли. Вижте фигурата. Шукав-шукав в къщи далечен задникАко не знаете, ще ви покажа решението на 1-ва демонстрационна задача от зададения урок:


Познайте какво в този задник отидохме полярни координати, обясни процедурата за обход на района и вирахували нейната област

Нека знаем центъра на тежестта на фигурите. Схемата е същата: . Стойността се вижда директно от креслото, а координатата "ix" може да се измести малко по-близо до оста y, парчетата там са разпръснати от масивна част от бирата.

В интегралите можем да използваме стандартните формули за прехода:

Имовирно, по-добре за всичко, те нямаха милост.