Дії над матрици и техните vyzniki. Основните операции върху матриците (сгъване, умножение, транспониране) са с еднаква мощност. Операция умножение на матрица

Матрици. Преместване на матрици. Доминиране на операциите върху матрици. Вижте матрицата.

Матрициможе да бъде важна стойност в приложната математика, която е разрешена да бъде написана в проста форма на значителна част математически моделиобекти и процеси. Терминът "матрица" се появява през 1850 г. Преди това матриците са били познати в древен Китай, по-късно в арабските математици.

Матрица A=Amnред m * n се извиква праволинейна таблица с числа.

Матрични елементи aij,за които i=j се наричат ​​диагонал i главен диагонал.

За квадратна матрица (m=n), диагоналът на главата се състои от елементи a 11 , a 22 ,..., a nn .

Ривнист матрици.

А=Бпросто редът на матриците Аі бобаче това a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Преместване на матрици.

1. Събиране на матрици - поелементна операция

2. Преглед на матрици - поелементна работа

3. Добавянето на матрица към число е операция елемент по елемент

4. Множество A*Bматрица по правило ред отгоре(броят на колоните в матрица A може да бъде равен на броя на редовете в матрица B)

Amk * Bkn = Cmnзащо елементът кожа h ijматрици Cmnдобавете сумата от елементите на i-тия ред на матрицата A и другите елементи на j-тата колона на матрицата B, tobto.

Нека да покажем операцията за умножение на матрици на примера

5. Връзки в краката

m>1 клетка дата. A е квадратна матрица (m=n) tobto. приложими за квадратни матрици

6. Транспониране на матрица A. Транспонираната матрица се обозначава с A T или A

Редове и колони бяха отбелязани от мисии

дупето

Сила на операциите върху матрици

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Види матрици

1. Правоъгълен: мі н- доста положителни числа

2. Квадрат: m=n

3. Матричен ред: m=1. Например (1 3 5 7) - за много практически задачи такава матрица се нарича вектор

4. Матрица Стовпец: n=1. Например

5. Диагонална матрица: m=nі a ij = 0, като i≠j. Например

6. Самостоятелна матрица: m=nі

7. Нулева матрица: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Трикотажна матрица: всички елементи под диагонала на главата са равни на 0.

9. Симетрична матрица: m=nі a ij = a ji(да стоят равни елементи на симетрични диагонали на главата), а също А"=А

Например,

10. Изкривена матрица: m=nі a ij =-a ji(Затова на симетричните главни диагонали има протиленови елементи). Също така, на диагонала на главата стоят нули (защото с i=jможе би a ii =-a ii)

разбрах А"=-А

11. Ермитова матрица: m=nі a ii =-ã ii (ã джи- сложни - получени до а джи, тогава. yakscho A=3+2i, след това сложно - получено Ã=3-2i)

Сервизно задание. Матричен калкулаторзадания за появата на матрични вируси, например като 3A-CB 2 или A -1 +B T .

Инструкция. За онлайн решениянеобходимо е да зададете променливата на матрицата. На друг етап ще е необходимо да се изясни размерът на матриците. Позволени операции: умножение (*), събиране (+), събиране (-), обратна матрица A^(-1), стъпка надолу (A^2, B^3), транспониране на матрица (A^T).

Позволени операции: умножение (*), събиране (+), събиране (-), обратна матрица A^(-1), стъпка надолу (A^2, B^3), транспониране на матрица (A^T).
За да видите списъка с операции, използвайте петънцето със запетая (;). Например, за изпълнение на три операции:
а) 3A + 4B
б) AB-BA
в) (A-B) -1
трябва да го напишете така: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Матрицата е правоъгълна числена таблица, която има m реда и n колони, така че матрицата може да бъде схематично изобразена, като се погледне правоъгълник.
Нулева матрица (нулева матрица)именувайте матрицата, всички елементи, които са равни на нула и зададени на 0.
Самостоятелна матрицасе нарича квадратна матрица

Две матрици A и B са равни yakscho воня със същия размер и техните vіdpovіdnі елементи іvnі.
Вирогена матрицасе нарича матрицата, която е равна на нула (Δ = 0).

Значително основни операции с матрици.

Събиране на матрици

Назначаване. Сумата от две матрици A = | | a i k | | i B=||b i k || същият размер се нарича матрица C=||c i k || тихи себе си razmіrіv, елементи като perebuvayut за формулата c i k =a i k + b i k . Показва се като C=A+B.

Пример 6 . .
Операцията на сгъваемите матрици се разширява с броя на добавянията. Очевидно A+0=A.
Още веднъж ви насърчаваме да сгъвате повече от една матрица със същия размер; за матрици с различни разширения операцията за добавяне не се присвоява.

Визуална матрица

Назначаване. Търговия на дребно B-Aматрица B и A с еднакъв размер се нарича матрица C, така че A+C=B.

Възпроизвеждане на матрици

Назначаване. Допълнителна матрица A=||a i k || числото α се нарича матрица C = | |

Назначаване. Дайте две матрици A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) i B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), освен това броят на колоните в A е равен на броя на редовете в B . Doboot A до B е матрицата C=||c i k ||, чиито елементи са зад формулата .
Показва се като C=A·B.
Схематично операцията по умножаване на матрици може да бъде представена по следния начин:

и правилото за изчисляване на елемента на създаване:

Pidkremlimo котлет веднъж, scho priblut a · b MAє Sens Todi Tilki Todi, ако броят на стъпките на първата dorivnika Kilkosti е другият, под работата на творчеството, броят на валцуваните валцувани ролки Можете да проверите резултата от умножението чрез специален онлайн калкулатор.

Пример 7. Дадена е матрица і . Познайте матриците C = A B и D = B A.
Решение. Уважаваме, че се използва A B, но броят на колоните A е равен на броя на редовете B.

С уважение, тогава vipadku има A·B≠B·A . добуток матрици антикомутативно.
Знаем B A (възможни са множество).

Пример 8 . Дадена е матрица . Познайте 3A 2 - 2A.
Решение.

.
; .
.
Това е значим факт.
Както се оказва, събирането на две числа с двойна нула не е равно на нула. За матриците ситуацията може или не може да бъде подобна, така че производството на ненулеви матрици може да изглежда равно на нулеви матрици.

С уважение, елементите на една матрица не могат да бъдат повече от число. Уведомете ни, че описвате книгите, как да стоите на книжната си полиция. Нека полицията следи за реда и всички книги да стоят на пеещите места. Таблицата, като подходящо описание на вашата библиотека (от полицията и следващите книги за полицията), също ще бъде матрица. Но такава матрица няма да бъде числова. Втори пример. Вместо номера стоят различни функции, изядени помежду си от един вид угар. Таблицата на Отриман се нарича още матрица. С други думи, Матрицата, така да се каже, е правоъгълна маса, сгъната подобенелементи. Тук и по-нататък става дума за матрици, сгънати от числа.

Заменете кръглите рамена за записващи матрици, като поставите квадратни рамена или прави вертикални линии.

(2.1*)

Назначаване 2. Като Вирази(1) m = n, тогава говорете за квадратна матрица, но yakscho , след това около правоъгълен.

Остатъчната стойност на m и n е разделена на специални типове матрици:

Най-важната характеристика квадратматрици е я vyznachnikили детерминант, Какво се формира от елементите на матрицата и е посочено

Очевидно е, че D E = 1; .

Назначаване 3. Якщо , след това матрицатаА Наречен недевствена или не особено.

Назначаване 4. Якщо detA = 0, след това матрицатаА Наречен вирогенен или особено.

Назначаване 5. Две матрициА іб Наречен равен тя пишеА=Б сякаш вонята може да е една и съща, разликите и жизнеспособните им елементи са равни,.

Например матрици и равни, защото вонята е по-близо до света и елементът на кожата на една матрица е по-близо до подобен елемент на друга матрица. И оста на матрицата i не може да се нарече равна, въпреки че детерминантите на двете матрици са равни и матриците са еднакви, но не всички елементи, които стоят в едни и същи равни точки. Матриците са различни, така че е възможен различен свят. Първата матрица е 2x3, а другата 3x2. Въпреки че броят на елементите е един и същ - 6 и самите елементи са еднакви 1, 2, 3, 4, 5, 6, ейлът мирише да стои на различни места в близост до матрицата на кожата. И оста на матрицата е предварително, zgídno z vznachennyam 5.

Назначаване 6. Как да оправя цацата на матрицатаА и такъв е броят на неговите редове, същите елементи, които стоят на перетината на обозначенията на колоните и редовете, за да установят квадратна матрицан- ти орден, предшественик на това Наречен незначителенк- матричен редА.

дупето. Напишете три второстепенни в различен ред на матрицата

В тази тема ще бъдат разгледани такива операции, като добавяне на тази входна матрица, умножение на матрица по число, умножение на матрица по матрица, транспониране на матрица. Usі znachennya, scho vikoristovuyutsya на ts_y страна, взети от предните теми.

Сгъване на тази визуална матрица.

Сумата от $A+B$ матрици $A_(m\times n)=(a_(ij))$ и $B_(m\times n)=(b_(ij))$ е матрицата $C_(m\ по n) =(c_(ij))$, където $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ за всички $i=\overline(1,m)$ и $j=\overline(1 ,n) $.

Въведете подобно обозначение за различни матрици:

Разликата между $A-B$ матрици $A_(m\times n)=(a_(ij))$ и $B_(m\times n)=(b_(ij))$ е матрицата $C_(m\times n )=( c_(ij))$, de $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ за всички $i=\overline(1,m)$ и $j=\overline(1,n )$.

Обяснение преди публикацията $i=\overline(1,m)$: show\hook

Записът "$i=\overline(1,m)$" означава, че параметърът $i$ се променя от 1 на m. Например нотацията $i=\overline(1,5)$ се отнася за тези, при които параметърът $i$ приема стойност 1, 2, 3, 4, 5.

Моля, обърнете внимание на факта, че операциите за добавяне и упражняване са предназначени само за матрици с еднакъв размер. Vzagali, добавяне и vídnіmannya матрици - операции, ясни интуитивно, по-средна воня, всъщност това е по-малко сумиране или по-очевидни елементи.

Дупе #1

Дадени са три матрици:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \end(array) \right). $$

Чи знаеш ли матрицата $A+F$? Познайте матриците $C$ и $D$, т.е. $C=A+B$ и $D=A-B$.

Матрица $A$ за почистване на 2 реда и 3 колони (с други думи, разширяването на матрицата $A$ е $2\умножено на 3$), а матрица $F$ за почистване на 2 реда и 2 реда. Разширенията на матриците $A$ и $F$ не избягват, така че можем да ги съберем заедно. операцията $A+F$ за тези матрици не е присвоена.

Нека матриците $A$ и $B$ са разширени, така че. данните на матрицата трябва да са равни на броя на редовете и stovptsiv, ще се изисква операцията за добавяне към тях.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array) ) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+ ( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Знаем матрицата $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Vidpovid: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Умножение на матрица по число.

Допълнителната матрица $A_(m\times n)=(a_(ij))$ за числото $\alpha$ е матрицата $B_(m\times n)=(b_(ij))$, където $b_( ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ за всички $i=\overline(1,m)$ и $j=\overline(1,n)$.

Привидно по-просто, умножете матрицата по числото - означава умножете скин елемента на дадената матрица по цялото число.

Дупе #2

Дадена е матрица: $ A = \ left (\ begin (масив) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Познаване на матрици $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ i $ - A $.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( масив) (ccc) 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (масив) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \end(array)\right). $$

Нотацията $-A$ е кратка нотация за $-1\cdot A$. И така, за да знаете $-A$, трябва да умножите всички елементи на матрицата $A$ по (-1). По същество това означава, че знакът на всички елементи в матрицата $A$ се променя на удължаване:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ ляво(\начало(масив) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \край(масив) \дясно) $$

Vidpovid: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Dobutok две матрици.

Целта на тези операции е тромава и на пръв поглед неразумна. Ще ви кажа на тила по-сериозна среща и тогава ще докладваме какво означава и как да се справим с нея.

Подмножеството на матрицата $A_(m\times n)=(a_(ij))$ върху матрицата $B_(n\times k)=(b_(ij))$ е матрицата $C_(m\times k )=(c_( ij))$, за елемент на кожата $c_(ij)$ елементи i-тиредове на матрица $A$ върху елементи от j-та колона на матрица $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \; \; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Умножението на матрици на Покроков е взето от дупето. Все пак, имайте предвид, че не всички матрици могат да бъдат умножени. Ако искаме да умножим матрицата $A$ по матрицата $B$, тогава е необходимо да се отдръпнем, така че броят на колоните в матрицата $A$ да е равен на броя на редовете в матрицата $B$ ( такива матрици често се наричат моляженими). Например, матрицата $A_(5\times 4)$ (матрицата има 5 реда и 4 реда), не може да бъде умножена по матрицата $F_(9\times 8)$ (9 реда и 8 реда), числото от редове на матрицата $A $ не е равно на броя на редовете в матрицата $ F $, това е. $4\neq 9$. И умножението на матрицата $A_(5\times 4)$ по матрицата $B_(4\times 9)$ е възможно, но броят на колоните в матрицата $A$ е по-голям от броя от редове в матрицата $B$. В този случай резултатът от умножаването на матриците $A_(5\times 4)$ и $B_(4\times 9)$ ще бъде матрицата $C_(5\times 9)$, която ще покрие 5 реда и 9 колони:

Дупе #3

Дадена е матрица: $ A = \ ляво ( \ начало (масив) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ end (масив) \right)$ i $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right ) $. Познайте матрицата $C = A\cdot B$.

Редът на величината е важен за разширяването на матрицата $C$. Ако матрицата $A$ е $3\times 4$, а $B$ е $4\times 2$, тогава матрицата $C$ е $3\times 2$:

След това, в резултат на добавяне на матриците $A$ и $B$, последователно вземаме матрицата $C$, която се състои от три реда и две колони: $C = \ left ( \ begin (array) (cc) c_ (11) & c_ ( 12) \c_(21) & c_(22) \c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Що се отнася до значението на елементите, можете да разгледате предната тема: "Матрици. Вижте матрицата. Основни термини", на кочана е обяснено значението на елементите на матрицата. Нашата мета е да знаем стойностите на всички елементи в матрицата $C$.

Нека да разгледаме елемента $c_(11)$. За да вземем елемента $c_(11)$, е необходимо да знаем сумата от творенията на елементите на първия ред на матрицата $A$ и първата колона на матрицата $B$:

За да се знае елементът $c_(11)$, е необходимо да се умножат елементите от първия ред на матрицата $A$ по вторите елементи от първата колона на матрицата $B$, след което. първият елемент е първият, другият е другият, третият е третият, четвъртият е четвъртият. Оттегляне на резултатите се очаква:

$$ c_(11)=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$

Продължаваме решението и знаем $c_(12)$. За което се случва да умножите елементите на първия ред на матрицата $A$ и другия ред на матрицата $B$:

Подобно на предната част, може би:

$$ c_(12)=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$

Намерени са всички елементи от първия ред на матрицата $C$. Нека да преминем към друг ред, който започва елемента $c_(21)$. За да разберете това, умножете елементите на друг ред на матрицата $A$ и първата колона на матрицата $B$:

$$ c_(21)=5cdot (-9)+4cdot 6+(-2)cdot 7 + 1cdot 12=-23. $$

Напредващият елемент $c_(22)$ се познава чрез умножаване на елементите от друг ред от матрицата $A$ по елементите от втория ред от друг ред от матрицата $B$:

$$ c_(22)=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$

За да знаете $c_(31)$, умножете елементите на третия ред на матрицата $A$ по елементите на първата колона на матрицата $B$:

$$ c_(31)=-8cdot (-9)+11cdot 6+(-10)cdot 7 + (-5)cdot 12=8. $$

Първо, стойността на елемента $c_(32)$ трябва да бъде умножена по елементите на третия ред на матрицата $A$ по другите елементи на друга колона на матрицата $B$:

$$ c_(32)=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$

Всички елементи на матрицата $C$ са намерени, не е достатъчно да се запише, че $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( масив) \right)$ . Або, пак ще пиша още:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Vidpovid: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Преди речта често няма смисъл да се докладва значението на кожния елемент към матрицата-резултат. За матрици, чийто брой е малък, можете да го намерите по следния начин:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \- -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 & 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6cdot(4)+3cdot(-6) & 6cdot(9)+3cdot(90) ) \\ -17\cdot (4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) ( cc) 6 & 324 \- -56 & -333 \end(array) \right) $$

Моля, обърнете внимание, че умножението на матрици е некомутативно. Це означава, че в дивата природа вападка $A\cdot B\neq B\cdot A$. Само за определени типове матрици, как да се наименува пермутационен(в противен случай пътуване до работното място), равно на $A cdot B = B cdot A $. Самата некомутативност на умножението, необходимо е да покажем как умножаваме чрез умножаване на тази чи и друга матрица: отдясно чи е зло. Например, фразата „умножете неправилната част на паритета $3E-F=Y$ по матрицата $A$ е дясна“ означава, че е необходимо да вземете следния паритет: $(3E-F)\dot A= Y\cdot A$.

Матрицата $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, за елементи, т.е. $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Привидно по-просто, за да се вземе транспонираната матрица $A^T$, е необходимо външната матрица $A$ да замени колоните с двойни редове по следния принцип: първи ред - става първи ред; buv another row - застанете на друг ред; be the third row - стане третата стъпка и т.н. Например, знаем транспонираната матрица към матрицата $A_(3\times 5)$:

Ясно е, че тъй като изходната матрица е малка $3\пъти 5$, транспонираната матрица е $5\пъти 3$.

Актуални характеристики на операциите върху матрици.

Тук се предава, че $ alpha $, $ beta $ са десетични числа, а $ A $, $ B $, $ C $ са матрици. За първите четиририо авторитети, след като е посочил името, рещата може да бъде назована по аналогия с първата четирима.

В тази статия можем да изберем как да извършим операцията за събиране на матрици от същия ред, операцията за умножаване на матрица по число и операцията за умножение на матрици в същия ред, аксиоматично можем да поставим силата на операции, както и обсъждане на приоритета на операциите върху матрици. Успоредно с теорията, ние ръководим отчетните решения на приложения, в които се извършват операции върху матрици.

Много уважавано е, че всичко, което е казано по-долу, се свежда до матрици, чрез елементи като е dіysnі (или комплексни) числа.

Навигация отстрани.

Операцията на сгъване на две матрици.

Определена операция на сгъване на две матрици.

Операцията за добавяне беше зададена САМО ЗА МАТРИЦИ ОТ ЕДИН РЕД. С други думи, невъзможно е да се знае сумата на матриците с различна размерност и е невъзможно да се говори за сгъване на матрицата с вариантна размерност. Така че не можете да говорите за сумата на матрицата и числото или за сумата на матрицата и всеки друг елемент.

Назначаване.

Сума от две матрици i - матрицата, чиито елементи са равни на сумата от съответните елементи на матриците A и B, tobto.

Така резултатът от операцията на сгъване на две матрици е матрица от същия ред.

Силата на операцията на сгъваемите матрици.

Каква мощност може да има работата на сгъваемите матрици? Във веригата е лесно да се получат отговори в зависимост от сумата на две матрици от даден ред и отгатване на силата на операцията на сгъване на реални (или комплексни) числа.

1. За матрици A, B и C от един и същи ред силата на асоциативност е характерна за добавяне на A + (B + C) = (A + B) + C.
2. За матрици от първи ред има неутрален елемент след събиране, който е нулева матрица. Така че силата на A+O=A е справедлива.
3. За ненулева матрица A от даден ред, матрицата (-A) с нейната сума е нулева матрица: A + (-A) = O .
4. За матрици A i от този ред силата на комутативност на сгъване A + B = B + A е вярна.

По-късно безличните матрици от даден ред пораждат адитивна група на Абел (абелева група като операцията на сгъваемата алгебра).

Събиране на матрици - решение на приложения.

Нека да разгледаме примера на сгъната матрица.

дупето.

Намерете сумата от матрици i .

Решение.

Редовете на матриците A и B се увеличават и увеличават с 4 по 2, така че можем да извършим операцията за добавяне на матрица i като резултат, да вземем матрицата от ред 4 по 2. Необходимо е да се проектира операцията по сгъване на две матрици, добавяйки още елемент по елемент:

дупето.

Намерете сбора на две матрици і елементите са комплексни числа.

Решение.

Ако поръчките на матриците са равни, можем да vikonat dodavannya.

дупето.

Vikoite dodavannya три матрици .

Решение.

Подреждаме матрицата A z B, след което ще премахнем матрицата, dodamo Z:

Махнете нулевата матрица.

Операция за умножение на матрица по число.

Определена операция за умножение на матрица по число.

Операцията за умножаване на матрица по число се присвоява ЗА МАТРИЦА ОТ КАКЪВТО И ДА Е РЕД.

Назначаване.

Събиране на матрица и десетично (или комплексно) число- цялата матрица, чиито елементи изглеждат умножени по съответните елементи на изходната матрица с числото , т.е.

В този ред резултатът от умножаването на матрица по число ê е матрица от същия ред.

Силата на операцията за умножение на матрица по число.

От силата на операцията за умножаване на матрица по число е възможно умножаването на нулева матрица по число нула да дава нулева матрица, а добавянето на допълнително число и нулева матрица е нулева матрица.

Умножение на матрица по число - приложете този стих.

Нека да разгледаме операцията за умножаване на матрица по число върху задници.

дупето.

Намерете допълнително число 2 и матрица .

Решение.

За да умножите матрицата по число, трябва да умножите елемента по цялото число:

дупето.

Намерете умножението на матрицата по числото.

Решение.

Умножаваме скин елемента на дадената матрица по цялото число:

Операция за умножение на две матрици.

Специализирана операция за умножение на две матрици.

Операцията за умножение на две матрици A и B е приложима само за падане, ако броят на колоните в матрица A е равен на броя на редовете в матрица B.

Назначаване.

Рестартирайте матрица А в реда на матрицата В ред- такава матрица от 3-ти ред, елементът на кожата е най-ценната сума от елементите на i-тия ред на матрицата върху подобните елементи на j-тата колона на матрицата B, тогава,

По този начин резултатът от операцията за умножаване на матрица по ред с матрица е матрица по ред.

Възпроизвеждане на матрица по матрица - решение на приложения.

Нека да разгледаме умножението на матрици по задниците, след което ще преминем към обръщане на степените на операцията за умножение на матрици.

дупето.

Намерете всички елементи на матрица C, как да умножите матриците і .

Решение.

Редът на матрицата A се увеличава с p = 3 с n = 2, редът на матрицата се увеличава с n = 2 с q = 4 и редът на матрицата ще бъде p = 3 с q = 4 . Ускоряване с формулата

Последователно вземаме стойността на i в 1 до 3 (скали p=3) за кожата j в 1 до 4 (скали q=4) и n=2 в нашия случай, след което

По този начин всички елементи на матрицата Z и матрицата се изчисляват, когато умножаването на две дадени матрици може да изглежда .

дупето.

Дигитализирайте умножителната матрица .

Решение.

Редът на външните матрици ни позволява да извършим операцията умножение. В резултат на това можем да вземем матрица от порядък 2 на 3.

дупето.

Дадена е матрица . Намерете допълнителни матрици A и B, както и матрици B и A.

Решение.

Ако редът на матрицата е 3 на 1, а матрицата е 1 на 3, тогава A⋅B е порядъкът 3 на 3, а допълнителната матрица B и A е порядъкът 1 на 1.

Як бачите, . Това е една от мощностите на операцията за умножение на матрици.

Силата на операцията за умножение на матрици.

Ако матриците A, B и C са от един и същи ред, тогава е вярно следното мощност на операцията за умножение на матрици.

Следва стойността, която за различни поръчки добавянето на нулева матрица към матрица А дава нулева матрица. Dobutok A също дава нулева матрица, така че порядъците на величината позволяват операцията на умножаване на матрици.

Средноквадратните матрици се наричат ​​така пермутационни матрици, Операцията за умножение е комутативна, така че . Задната страна на матриците за пермутация е двойка единични матрици, независимо дали е друга матрица от същия ред, така че е справедливо.

Приоритет на операциите върху матрици.

Операциите за умножение на матрица по число и умножение на матрица по матрица са с еднакъв приоритет. Точно в този час на операцията приоритетът е по-висок, по-ниската операция е сгъването на две матрици. В този ред умножението на матрицата се брои по броя на това умножение на матриците и след това се извършва добавянето на матриците. Въпреки това, редът на операциите над матрици може да бъде изрично зададен за допълнителна дъга.

Освен това приоритетът на операциите върху матрици е подобен на приоритета, присвоен на операциите за събиране и умножение на реални числа.

дупето.

Дадена е матрица . Разберете от дадените матрици, присвоени на dії .

Решение.

Започваме с умножаване на матрица A по матрица B:

Сега умножаваме една матрица от друг ред E по две:

Добавяме две извадени матрици:

Операцията за умножаване на премахнатата матрица по матрицата A е загубена:

Моля, обърнете внимание, че операциите, които разглеждат матрици от един и същ ред A и B, не са необходими. Разликата между две матрици по същество е сумата от матрица А и матрици, умножена отпред по минус едно: .

Операцията по изграждане на квадратна матрица в естествения свят не е самодостатъчна сама по себе си, а фрагменти от последователни умножения на матрици.

Да вземем чанта.

Три операции се присвояват на безлични матрици: събиране на матрици от същия ред, умножаване на матрица по число и умножение на матрици от същия ред. Операцията на добавяне върху безлични матрици от даден ред генерира група на Абел.