Измийте перпендикулярността на две прави линии в пространството. Успоредни прави, знаци и умове на успоредни прави. Вървете от точката до правата линия

КУТ между ж.к

Нека да разгледаме две равнини α 1 и α 2 задачи по същия начин:

Пид cutomмежду два апартамента, един от двустранните кутиви, съставен от тези апартаменти, е разбираем. Очевидно това, което пресича между нормалните вектори и равнините 1 и 2, е повече . Том . защото і , тогава

дупето.Определете разрез между плоскостите х+2г-3z+4=0 и 2 х+3г+z+8=0.

Измийте успоредността на две равнини.

Две равнини α 1 и α 2 са успоредни една на друга и само на една и съща, ако са нормални вектори и успоредни, а също .

Освен това две равнини са успоредни на една на една и съща и по-малко на една и съща, ако коефициентите за съответните координати са пропорционални:

или

Измийте перпендикулярността на равнините.

Беше ясно, че две равнини са перпендикулярни и еднакви, ако са нормални вектори и перпендикулярни.

По такъв начин,

Приложи.

ДИРЕКТНО В КОСМОСА.

ВЕКТОРНЕ РИВНЯНЯ ДИРЕКТНО.

ПАРАМЕТРИЧНО НИВЕЛИРАНЕ ДИРЕКТНО

Позицията на правата линия в пространството зависи изцяло от дадените данни, тъй като има нейни фиксирани точки М 1 i вектор , успореден на правата линия.

Вектор, успоредна права, се нарича директенвекторът е прав.

Otzhe, здравей направо лпреминават през точка М 1 (х 1 , г 1 , z 1), който лежи на права линия, успоредна на вектора.

Нека да разгледаме определена точка M(x, y, z)на права линия. От малкия се вижда това .

Вектори и колинеарни, така че има такъв номер T, шо , де множител Tможете да изберете дали това е числова стойност в угар в позицията на точката Мна права линия. Множител Tнаречен параметър. Задаване на радиус-векторна точка М 1 та Мочевидно чрез i, otrimuemo. Tse равен се нарича векторправи линии. Показва стойността на параметъра за кожата Tпромяна на радиус-вектора на точката на deac М, които лежат на права линия.

Нека запишем реда на координатната форма. С уважение, шо, и звезди

Отримани равни се наричат параметриченправ.

При промяна на параметъра Tпромяна на координатите х, гі zизпъстрих се Мдвижете се по права линия.

CANONIC RIVNYANNYA DIRECT

Хайде М 1 (х 1 , г 1 , z 1) - точка, която лежи на права линия л, і - Вашият директен вектор. Ще го взема направо до цялата точка M(x, y, z)гледам вектора.

Беше ясно, че векторите и колинеарни, на това съответните им координати могат да бъдат пропорционални,

– канониченправи линии.

уважение 1.С уважение, каноничното подравняване на правата линия може да бъде отнето от параметричните чрез включване на параметъра T. Вярно е, че от параметрични равни е необходимо или .

дупето.Пишете прави линии параметричен вид.

Значително , звезди х = 2 + 3T, г = –1 + 2T, z = 1 –T.

Бележка 2.Нека правата линия е перпендикулярна на една от координатните оси, например оста вол. След това директен вектор от линии на перпендикуляри вол, отже, м=0. Otzhe, параметрично изравняване на директния поглед напред

Включително параметър за изравняване T, Вземете направо от погледа

Защитете и в същото време нека формално запишем каноничните равенства на прекия як . В този ред, ако има нула в банера на една от фракциите, това означава, че правата линия е перпендикулярна на двойната координатна ос.

По същия начин каноничните равни права линия е перпендикулярна на осите волі Охили успоредна на оста Оз.

Приложи.

ЗАХАЛНИ РИВНЯННЯ ДИРЕКТНО, ЯК ЛИНИЯ РЕВЕРЦИЯ НА ДВА САМОЛЕТА

През кожата направо в откритото пространство, за да премине безлична област. Било две от тях, преплитайки се, те означават в пространството. Отже, ако имаше две равни плоскости, които се гледат заедно, те са равни на правите.

Vzagali be-like two успоредни равнини, зададен от пламенни равни

обозначават права линия. Qi равни се наричат дива ревностправ.

Приложи.

Право подканяне, зададено от връстници

За да насърчите директното, е достатъчно да знаете дали има нейните точки. Най-лесният начин е да изберете пресечните точки на правата с координатните равнини. Например пресечна точка с равнина xOyние го приемаме направо, vvazhuchi z= 0:

Virishivshi tsyu система, ние знаем точката М 1 (1;2;0).

По същия начин, с уважение г= 0 xOz:

От горните нива на правата линия можете да отидете до нейните канонични или параметрични нива. За когото е необходимо да се знае някакъв момент М 1 на права линия и директен вектор е права линия.

Координати на точки М 1 се взема от центъра на системата за изравняване, като се натисне една от координатите до достатъчна стойност. За въпроса за директен вектор, съответно, векторът трябва да е перпендикулярен и на двата нормални вектора. і . Към това за директния вектор лможеш ли да вземеш векторно облеклонормални вектори:

дупето.Води право напред към каноничния вид.

Нека намерим точка, която лежи на права линия. За което избираме само една от координатите, напр. г= 0 и разделете системата за изравняване:

Нормалните вектори на равнините, които определят права линия, определят координатите. Следователно директният вектор ще бъде директен

. Отже, л: .

КУТ МИЖ ПРАВ

Кутоммежду прави линии в пространството ще наречем дали е дадена една от сумарните кутиви, съставена от две прави линии, прекарани успоредно през определена точка.

Нека пространството определя две прави линии:

Очевидно е, че kut между техните прави линии може да се приеме като kut между техните преки вектори i . И така, тогава за формулата за косинус кута между векторите вземаме

Раздел V *. Уравнение на прави линии и плоски в близост до открито пространство.

§ 70. Помислете за успоредността и перпендикулярността на две прави.

Прави с преки вектори а і b :

а) успоредни еднакви и по-малко еднакви, ако векторите а і b колинеарен;

б) перпендикулярни на същия и по-малко на същия, ако векторите а і b перпендикулярно, тогава ако а b = 0.

Необходимо е да се вземе предвид необходимото и достатъчно разбиране за успоредността и перпендикулярността на две прави линии, дадени от канонични равенства.

За това, направо

топките са успоредни, необходими и достатъчни, така че умът да спечели

Имате vipadku, като някои от числата b 1 , b 2 , b 3 връщане към нула, тогава е виновен да върне към нула другото число а 1 , а 2 , а 3 .

За перпендикулярността на правите линии е необходимо и достатъчно, така че умът

а 1 b 1 + а 2 b 2 + а 3 b 3 = 0. (2)

Задача 1.Между напредващите двойки прави линии, залозите са успоредни или перпендикулярни на правите линии:

а) Директни вектори а = (2; 4; -13) и b = (3; 5; 2) очевидно не е колинеарен. Otzhe, а не директно успоредно. Нека преразгледаме перпендикулярността на ума

а 1 b 1 + а 2 b 2 + а 3 b 3 = 2 3 + 4 5 - 13 2 = 0.

Прав перпендикуляр.

б) Правият вектор на другата права може да бъде координиран b = (3; 2; 4). За директен вектор мога първо да взема векторно допълнение на нормалните вектори
н 1 = (2; -3; 0) и н 2 \u003d (4; -2; -2) равнини, как да настроите qiu направо:

Умов (1) печели, парчета 6/3 = 4/2 = 8/4. Директно успоредно.

в) Директен вектор на първата права линия има координати а = (2; 3; 1). Лесно е да приведете друга права линия до каноничен вид.

Отже, b =(- 1 / 2 ; 1; 3 / 2) .

Вектори а і b не успоредно. Вонята не е перпендикулярна, парчетата

а 1 b 1 + а 2 b 2 + а 3 b 3 = 2 (- 1 / 2) + 3 + 3 / 2 =/= 0.

Данните са прави, не са успоредни и не са перпендикулярни.

Задача 2.Познайте подравняването на правата линия, която преминава през точката M 0 (2; -3; 4), перпендикулярна на правата линия

Tsya статия за успоредни прави и за успоредни прави. На гърба е дадено обозначението на успоредни линии в равнината и в близост до откритото пространство, въведено е обозначението и са приложени графични илюстрации на успоредни линии. Даваха знаци и разбираха успоредността на правите линии. Visnovka показва решения на характерни задачи за доказване на успоредността на прави, както и задания на такива равенства на права линия на правоъгълна координатна система на равнина и в тривиално пространство.

Навигация отстрани.

Успоредни преки главни мостове.

Назначаване.

Две прави в равнината се наричат паралелензащо не смърдиш горещи точки.

Назначаване.

Наричат се две прави линии в трисветовното пространство паралеленкато вонята да лежиш в един апартамент и да не спиш на точки за спане.

Уважавайте, че предупреждението „че вонята е в една и съща равнина“ на обозначените успоредни линии в откритото пространство е още по-важно. Нека обясним този момент: двама са прави в едно трисветско пространство, така че нямат точки на сън и не лежат в една и съща равнина, не успоредни, а кръстосани.

Нека да дадем няколко примера за успоредни прави. Протилежните ръбове на листа zoshita лежат на успоредни прави линии. Права, зад която плоскостта на стената на кабината пресича плоскостта на стелата и подложки, които са успоредни. Можете също така да видите как успоредните прави линии са на равна основа.

За дефинирането на успоредни прави се използва символът "". Тъй като правите a и b са успоредни, можете да напишете кратко a b.

Покажете уважение: тъй като правите a и b са успоредни, можете да кажете, че права a е успоредна на права b, и можете да кажете, че права b е успоредна на права a.

Звуково твърдо, сякаш играе важната роля на някои успоредни прави в равнината: през точка, която не лежи на дадената права, прекарайте една права, успоредна на дадената права. Това твърдение се приема за факт (не може да се докаже на базата на аксиомите на планометрията) и се нарича аксиома за успоредните прави.

За пространство в пространство е валидна следната теорема: през точка до пространство, което не лежи на дадена права, да се прекара една права, успоредна на дадената. Tsya теорема може лесно да бъде доведена в помощ на въвеждането на аксиомите на успоредните прави (її можете да знаете доказателството за вас от наръчника по геометрия 10-11 клас, който е посочен в статията в списъка с препратки).

Успоредност на правите линии - признаци на този ум успоредност.

Знак за успоредни правиИма достатъчно интелект за успоредността на правите линии, така че такова мислене, което гарантира успоредността на правите линии. С други думи, vykonannya tsієї мислят достатъчно, за да установят факта на успоредни линии.

Също така е необходимо да се установят необходимите и достатъчни умове на успоредността на правите линии в равнината и в тривиалното пространство.

Разбираемо е да се промени фразата „че е необходим достатъчен умствен паралелизъм на правите линии“.

С достатъчен мисловен паралелизъм на прави линии вече сме подредили. И какво е? необходим умуспоредност на прави линии? Зад името "необходимо" се разбира, че умът на vikonnannya tsієї е необходим за паралелизма на линиите. С други думи, ако успоредността на правите не е необходима, тогава правите не са успоредни. по такъв начин, необходимо, че достатъчно умствен паралелизъм на прави линии- Tse mind, vykonannya, както е необходимо, така че е достатъчно за успоредността на правите линии. Тоест, от едната страна има знак за успоредност на прави линии, от другата страна - цялост, сякаш се виждат успоредни линии.

Първата стъпка е да се формулира необходимия паралелизъм на правите линии, достатъчен за ума, за да познае малко допълнителни знаци.

Права- Це е право, сякаш пресичаме кожата в две прави линии.

При пенсиониране, две прави sichny utvoryuyuyutsya vіsіm unburn. За формулировката необходимият и достатъчен ум паралелизъм на правите линии приемат съдбата на т.нар с главата надолу легнал, легналі едностранно кути. Покажете ги на фотьойла.

Теорема.

Тъй като две прави линии в равнината на пресичане на sichny, тогава за техния паралелизъм е необходимо и достатъчно, така че разрезите да се пресичат, да лежат, да са равни, или в противен случай разрезите да са равни, или сумата от едно- страничните разрези бяха 180 градуса.

Нека да покажем графична илюстрация на необходимия и достатъчен ум паралелизъм на прави в равнина.

Доказателство за успоредността на правите линии можете да намерите в помагалата по геометрия за 7-9 клас.

С уважение, можете да спечелите в тривиалното пространство - смута, така че двете прави линии да лежат в една и съща равнина.

Нека въведем още няколко теореми, които често се оспорват за доказване на успоредността на правите.

Теорема.

Ако две линии на равнината са успоредни на третата линия, тогава вонята е успоредна. Доказателството, че знаците са очевидни от аксиомите за успоредни прави.

То е аналогично на паралелизма на ума на прави линии в тривиалното пространство.

Теорема.

Като две прави линии в пространството, успоредни на третата права линия, всички миризми са успоредни. Доказателство, че знаците се виждат в уроците по геометрия в 10 клас.

Нека илюстрираме звученето на теоремата.

Въвеждаме още една теорема, която ни позволява да доведем успоредността на правите в равнината.

Теорема.

Подобно на две прави в равнина, перпендикулярна на третата права, те са успоредни.

Има подобна теорема за прави в пространството.

Теорема.

Като две прави линии в тривиална шир, перпендикулярни на една равнина, вонята е успоредна.

Въобразимо малки, yakí vіdpovіdat zim теореми.

Всички формулировки на теоремата, знаците и необходимите достатъчни умове са чудотворно подходящи за доказване на успоредността на прави линии чрез методите на геометрията. Така че, за да се донесе успоредността на две задачи на прави линии, е необходимо да се покаже, че те са успоредни на третата права линия, или да се покаже подравняването на разрезите, да лежат и т.н. Анонимни подобни задачи се нарушават през първия час от уроците по геометрия в непознато средно училище. Все пак трябва да се отбележи, че в богатите випади е лесно да се използва методът на координатите, за да се докаже паралелността на линиите в равнината или спрямо тривиалното пространство. Формулираме необходимото достатъчно разбиране за успоредността на правите, като задача за правоъгълна координатна система.

Успоредност на прави в правоъгълна координатна система.

В този параграф се формулират статистиките необходими и достатъчни за разбиране на успоредността на правите линиив праволинейна координатна система, тя е угар под формата на rívnyan, които означават tsі прави линии, а също така ще предизвикаме доклади за rozvyazki на характерни задачи.

Нека си припомним успоредността на две прави в равнината на правоъгълната координатна система Oxy . В основата на йога доказват лъжата обозначение на директния вектор на праватаі нормалният вектор на правата линияна плоското.

Теорема.

За успоредността на две непадащи се прави в равнината е необходимо и достатъчно преките вектори на тези прави да са колинеарни, или нормалните вектори на тези прави да са колинеарни, или прекият вектор на една линия от перпендикуляри към нормалата вектор на другата линия.

Очевидно умственият паралелизъм на две прави в равнината може да се сведе до (директни вектори на прави или нормални вектори на прави) или до (директен вектор на една права на нормален вектор на друга права). В този ред, като i - директни вектори на линии a і b и і - нормалните вектори на правите a и b са правилни, тогава е необходимо да има достатъчен умствен паралелизъм на правите a и b трябва да се запише като , или , или de t е реално число. Координатите на правите линии и (или) нормалните вектори на правите линии a и b имат своя собствена линия на видимост зад дадените линии на правите линии.

Zokrema, като права линия a в правоъгълната координатна система Oxy на равнината праваум , и права линия b - тогава нормалните вектори на тези прави линии могат да бъдат координати и vіdpovіdno, а паралелизмът на Um на линиите a и b ще бъде написан като .

Yakshcho насочва a vіdpovіdaє подравняване на прави линии с коефициент на срязванеум, и линията b-, тогава нормалните вектори на тези линии може да имат координати i, а умственият паралелизъм на тези линии в бъдеще ще видя . Освен това, въпреки че линиите в равнината на правоъгълна координатна система са успоредни и могат да бъдат зададени равни на линиите с върховите коефициенти, тогава върховите коефициенти на линиите ще бъдат равни. Първо: въпреки че прави линии, които не се огъват, върху равнина в правоъгълна координатна система могат да бъдат зададени от прави линии с равни коефициенти на ръба, тогава такива прави линии са успоредни.

Като права a и права b в праволинейна координатна система канонично подравняване на прави линии върху плоскосттаум і , или параметрично подравняване на права линия в равнинаум і очевидно преките вектори на тези линии могат да бъдат координати i , а мисленият паралелизъм на линиите a и b се записва като .

Нека да разгледаме няколко приложения.

дупето.

Чи успоредни прави і?

Решение.

Да пренапишем подравняване на прави линии при намоткитепри вида на дива права линия: . Сега можете да видите, че scho е нормален вектор от прави линии , а нормалният вектор е права линия. Qi векторите не са колинеарни, защото няма такива номер на дата t , за което равенството е правилно ( ). Следователно не е необходимо да се преодолява необходимостта от достатъчен умствен паралелизъм на правите линии в равнината, задачите на правите линии не са успоредни на това.

Внушение:

Не, не е директно успореден.

дупето.

Прави и успоредни ли са?

Решение.

Плавателна канонично равнинаправо на равен направо от коефициент на изрязване: . Очевидно е, че изравняването на правите линии и едни и същи (в различни задачи, прави линии ще бъдат избегнати) и кутови коефициенти на преките равни, също, vihіdní прави линии са успоредни.