Решение на матричен ред. Математика за чайници Матрици и основните над тях. Операция за транспониране на матрица

Датската методическа помощ ще ви помогне да научите как да печелите dії с матрици: добавяне (премахване) на матрици, транспониране на матрици, умножение на матрици, значение на опорната матрица. Всички материали на депозитите са в прости и достъпни форми, те са направени по същия начин, в такъв ранг неподготвен човек може да се научи как да работи с матрици. За самоконтрол и самопроверка можете да използвате матричния калкулатор >>> безплатно.

Опитвам се да минимизирам теоретичните подклаузи, ако можете да обясните „на пръсти“ тези ненаучни термини. Любителите на основата на теорията, бъдете добри, не се занимавайте с критика, нашата задача е научете как да научите как да използвате матрици.

За повърхностна подготовка по темата (кой "гори") - интензивен pdf-курс Matrix, vyznachnik тази зала!

Матрицата е правоъгълна маса, независимо дали е елементи. В якоста елементиможем да разгледаме числата, тоест числовите матрици. ЕЛЕМЕНТ- Tse termin. Терминът трябва да се помни, вината често са драскани, аз не използвам тази визия с удебелен шрифт.

Обозначаване:матриците звучат с големи латински букви

дупе:Нека да разгледаме матрицата две по три:

Тази матрица се състои от шест елементи:

Всички числа (елементи) в средата на матрицата можете да намерите сами, така че не можете да намерите нищо за нея:

Това е просто таблица (набор) от числа!

Значи сме си у дома не пренареждайтеномер, който не е посочен в обясненията. Номерът на кожата има свое място за гниене и е невъзможно да ги разбъркате!

Матрицата се гледа, има два реда:

и три стълба:

СТАНДАРТ: ако говорим за разширяване на матрицата, тогава на кочанапосочете броя на редовете, а след това - броя на колоните. Малко по малко те сортираха матрицата "две по три" с четки.

Ако броят на редовете и колоните на матрицата е​​zbіgaєtsya, тогава матрицата се нарича квадрат, например: - матрица три на три.

Като в матрица един ред или един ред, такива матрици също се наричат вектори.

Ние наистина знаем матриците от училищата, нека да разгледаме например точка с координати "iks" и "iplayer": . Всъщност координатите на точката са записани в матрица едно по две. Преди речта, оста за вас е пример, защо редът на числата може да бъде значим: i - това са две различни точки на равнината.

Сега да продължим без проблеми към сватбата направи си сам от матрици:

1) Дия първа. Вината на минуса от матрицата (въвеждане на минуса в матрицата).

Нека се обърнем към нашата матрица . Както пеещо си спомняте, моята матрица има твърде много отрицателни числа. Още по-неудобно е с вида на драскача на малките с матрицата, безръчното писане на минусови бележки, че просто стои грозно в дизайна.

Обвиняваме минуса за интер-матриците, променяйки знака на елемента SKIN на матрицата:

При нула, както знаете, знакът не се променя, нула - вино и нула в Африка.

Зворотен задник: . Гледам снизходително.

Въвеждаме минус в матрицата, променяйки знака на елемента SKIN на матрицата:

Е, ос, богато симпатично вейшло. Аз, naygolovnіshe, ще бъде ПО-ЛЕСНО да победим матрицата. Защото е толкова математически народна прикмета: колкото повече минуси - толкова повече далавери и прошка.

2) Диа приятел. Умножение на матрица по число.

дупе:

Това е просто, за да умножите матрицата по число, което ви трябва Кожаумножете матричния елемент по цяло число. При към този конкретен тип- тройка.

Още един кафяв задник:

– умножение на матрица по drib

На гърба на главата гледаме тези, които са robiti НЕ Е ЗАДЪЛЖИТЕЛНО:

Въвеждането на drіb в матрицата НЕ СЕ ИЗИСКВА, на първо място, по-лесно е да го сгънете по-далеч от матрицата, по различен начин, опростява повторната проверка на решението от vikladach (особено, yakscho - Остатъчно заявяване).

Тим повече, НЕ Е ЗАДЪЛЖИТЕЛНОдилитация на кожния елемент на матрицата с минус sim:

Три статистики Математика за манекени или защо иначе, помним това десетични дробис когото всички други математици се опитват да бъдат уникални.

Едно нещо баган robiti във вашето приложение - tse добавете минус към матрицата:

И от yakby ВСИЧКОматричните елементи бяха разделени на 7 без излишък, Тогава можете (и трябва!) Boulo b podіlit.

дупе:

В коя посока мога да НЕОБХОДИМОумножете всички елементи на матрицата по , така че всички числа на матрицата да се делят на 2 без излишък.

Забележка: теоретично напреднала математиканяма разбиране за ученик „подил“. Вместо израза „не добавяйте към това“ винаги можете да кажете „умножете по повече“. Tobto podíl - tse okremia vpadok множествено число.

3) Дия трета. Транспониране на матрица.

За транспониране на матрицата е необходимо да се запишат редове в колоните на транспонираната матрица.

дупе:

Транспониране на матрица

Тук има само един ред и според правилото е необходимо да го запишете в колоната:

е транспонираната матрица.

Транспонираната матрица се обозначава с горен индекс или черта на дясна змиорка.

Покрити задник:

Транспониране на матрица

На гърба пренаписваме първия ред на първата стъпка:

Нека пренапишем още един ред в друг ред:

І, нарешти, препишете третия ред на третия стълб:

Готов. Привидно, транспонирането означава завъртане на матрицата настрани.

4) Дия четвърта. Сумарна (на дребно) матрица.

Сумата от матрици diya е неудобна.
НЕ ВСИЧКИ МАТРИЦИ МОГАТ ДА БЪДАТ СГЪНАТИ. За vykonannya сгъваеми (vіdnіmannya) матрици, е необходимо миризмата на бутилите да бъде еднаква ЗА ROZMIROM.

Например, ако е дадена матрица "две по две", тогава можете да я добавите само към матрицата "две по две" и по всякакъв друг начин!

дупе:

Сгънете матриците і

За да сгънете матриците е необходимо да сгънете необходимите им елементи:

За различните матрици правилото е подобно, необходимо е да се знае разликата между различните елементи.

дупе:

Познайте разликата между матриците ,

И как можете да направите това дупе по-просто, за да не се изгубите? Не се колебайте да добавите минусите, за които ще добавим минус към матрицата:

Забележка: теоретично няма такова нещо като разбиране на математиката в гимназията. Вместо фразата „каквото и да видите“ винаги можете да кажете „да добавите отрицателно число“. Tobto vídnimannya - tse okremy vipadok сгънат.

5) Дия п'ята. Възпроизвеждане на матрици.

Какви матрици могат да бъдат умножени?

Така че матрицата да може да бъде умножена по матрицата според нуждите, така че броят на колоните в матрицата да е равен на броя на редовете в матрицата.

дупе:
Можете ли да умножите матрица по матрица?

Отново, можете да умножите тези матрици.

И от същата матрица пренаредете мисиите, тогава по този начин умножението вече е невъзможно!

Otzhe, vikonati множествено число е невъзможно:

Не е толкова често задачите да бъдат измамени с измама, ако ученикът бъде насърчаван да умножава матрици, чието умножение е очевидно невъзможно.

Слайдът показва, че редица променливи могат да умножават матрици и so, і so.
Например за матрици i може да се умножи, така че i умножих

Правоъгълна матрица на разширение mxn е сумата от mxn числа, подредени в правоъгълна таблица, за да отмъстят за редове от m и n колони. Ще я запишем при виждане

в противен случай, когато разглеждаме A = (a i j) (i = ; j = ), числата a i j се наричат ​​нейни елементи; първият индекс сочи към номера на реда, а другият - към номера на реда. A = (a i j) и B = (b i j) с еднакъв размер се наричат ​​равни, тъй като елементите са равни по двойки, така че те стоят на едни и същи места, след това A = B, така че a i j = b i j.

Матрица, която е сгъната от един ред или една колона, се нарича вектор на ред или колона. Стоу векторите и редовите вектори се наричат ​​просто вектори.

Матрица, която има едно число, се съпоставя с това число. A rozmіru mxn, всички елементи, които са равни на нула, се наричат ​​нула и се присвояват чрез 0. Елементите със същите индекси се наричат ​​елементи на диагонала на главата. Ако броят на редовете е равен на броя на траверсите, тогава m = n, тогава матрицата се нарича квадратен ред n. Квадратните матрици, които имат нула или повече елементи от диагонала на главата, се наричат ​​диагонални и се записват по следния начин:

.

Ако всички елементи a i i диагонално сумират до 1, тогава той се нарича единичен и се обозначава с буквата E:

.

Квадратната матрица се нарича трико, тъй като всички елементи, които стоят по-високо (или по-ниско) от диагонала на главата, са равни на нула. Транспониране се нарича такава трансформация, когато редовете и колоните се променят с места в спестяванията на техните номера. Обозначава се с иконата за транспониране T в горната част.

Тъй като в (4.1) можем да пренаредим редовете с колони, тогава вземаме

,

като транспониран от A. Zokrem, при транспониране на вектора-stovptsya ще се появи вектор-ред и navpacki.

Подкомпонент А числото b се нарича матрица, чиито елементи идват от вторите елементи на A за умножаване на числото b: b A = (b a i j).

Сумата A = (a i j) и B = (b i j) на едно измерение се нарича C = (c i j) на същото измерение, чиито елементи са присвоени на формулата c i j = a i j + b i j.

Dobutok AB е свързан с допускането, така че броят на колоните A е равен на броя на редовете U.

Dobutkom AB, de А = (a i j) і B = (b j k), de i = , j = , k = , присвоени на присвоения ред AB, наречен C = (c i k), елементите са присвоени на такова правило:

c i k = a i 1 b 1 k + a i 2 b 2 k +... + a i m b m k = a i s b s k . (4.2)

В противен случай би изглеждало, че елементът на творението AB е присвоен в следния ред: елементът на i-тия ред и k-тата колона е най-красивата сума от творческите елементи на i-тия ред A на зависимите елементи на k-тата колона B.

дупе 2.1. Познайте doboot AB i .

Решение. Май: A rozmіru 2x3, rozmіru 3x3, след това dobutok AB \u003d C іsnuє и елементи С равни

Z 11 = 1x1 +2x2 + 1x3 = 8, Z 21 = 3x1 + 1x2 + 0x3 = 5, Z 12 = 1x2 + 2x0 + 1x5 = 7,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

и tvir BA не е вярно.

дупе 2.2. В таблицата е посочен броят на единичните продукти, които се приемат ежедневно в мандри 1 и 2 до магазини М 1, М 2 и М 3, освен това доставката на един продукт от мандрата за кожа до магазин М 1 струва 50 ден. един, към магазин М 2 - 70, и М 3 - 130 ден. един. Pídrakhuvat schodennі транспорт vitrati кожарски завод.

млечни продукти

Решение. Значително чрез Една матрица, дадена ни за разбиране, и чрез
B - матрица, която характеризира променливостта на доставката на един продукт на магазина, tobto,

,

Todo matrix vitrate на транспортираната matima изглеждаше:

Освен това първият завод за стъклописи в момента е на цена от 4750 гроша. едната, другата - 3680 ден.

дупе 2.3. Шивашкият бизнес изготвя зимни палта, демисезонни палта и дъждобрани. Планираното освобождаване за десетилетие се характеризира с вектора X = (10, 15, 23). Vykorivuyutsya тъкани chotirioh типове T1, T2, T3, T4. В таблицата, нормите на витрати на тъканите (метри) за вибрации на кожата. Векторът С = (40, 35, 24, 16) показва променливостта на метъра на тъканта от типа кожа, а векторът P = (5, 3, 2, 2) - дисперсията на транспортирания метър на тъкан от дермален тип.

	Платове Vitrata
зимно палто
Демисезонно палто

Линейна алгебра

Матрици

матрица rozmíru m x n - tse праволинейна таблица с числа, за да отмъсти m редове и n stoptsіv. Числата, които съставляват една матрица, се наричат ​​матрични елементи.

Матриците се обозначават с големи латински букви, а елементите - със същите, малки букви с маркировка.

Например, нека да разгледаме матрицата A с размери 2 x 3:

Тази матрица има два реда (m = 2) и три реда (n = 3), т.е. won се състои от шест елемента a ij de i - номер на ред, j - номер на ред. При това стойността е 1 към 2, а стойността на едно е до три (записано). Зокрема, а 11 = 3; a12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; а 22 = 1,5; а 23 = 5.

Извикват се матрици A и B с еднакъв размер (m x n). равен, така че вонята е елемент по елемент zbígayutsya, tobto. a ij = b ij за , тогава. за всякакви i и j (можете да напишете "i, j").

редова матрица- същата матрица, която е сгъната от един ред, и матрица-печат- Tse матрица, която е сгъната от един stovptsya.

Например, е редова матрица и .

квадратна матрицадо n-ти ред - матрицата, до ред до броя на колоните и до n.

Например квадратна матрица от различен ред.

Диагоналматрични елементи – целеви елементи, за които номерът на реда е равен на номера на колоната (a ij, i = j). Елементите Qi задоволяват главен диагоналматрици. В предната част главният диагонал е изграден от елементи a 11 = 3 и a 22 = 5.

Диагонална матрица- Това е квадратна матрица, в която всички недиагонални елементи са равни на нула. Например, - Диагонална матрица от трети ред. Ако е така, всички диагонални елементи са равни на единица, тогава се извиква матрицата самотен(Звуците са обозначени с буквата Е). Например, - Самостоятелна матрица от трети ред.

Матрицата се нарича нулатака че всички нейни елементи да са равни на нула.

Квадратната матрица се нарича плетенитака че всички елементи под (или над) диагонала на главата са равни на нула. Например, - Tricut матрица от трети ред.

Операции с матрици

Върху матрици могат да се извършват следните операции:

1. Умножение на матрица по число. Допълнителната матрица за числото l е матрицата B = lА, чиито елементи са b ij = la ij за всяко i i j.

Например, yakscho, тогава .

2. Събиране на матрици. Сумата от две матрици A і с еднакъв размер m x n се нарича матрица C \u003d A + B, чиито елементи са ij \u003d a ij + b ij за "i, j.

Например като тогава

.

Показателно е, че чрез фронталната операция е възможно да се визуална матрицасъщия размер: разлика A-B\u003d A + (-1) * чл.

3. Възпроизвеждане на матрици. Допълнителната матрица A, разширена m x n до разширената матрица n x p, се нарича такава матрица C, чийто скин елемент s ij допълва сумата от елементите на i-тия ред на матрицата A върху видимите елементи на j-тия колона на матрицата, tobto. .

Например като

, тогава разширението на създаването на матрицата ще бъде 2 x 3 и внимавайте за майката:

По този начин матрицата A се нарича стеснена матрица.

Въз основа на операцията умножение за квадратни матрици, операцията връзки в краката. Положителното стъпало A m (m > 1) на квадратната матрица A се нарича допълнителни m матрици, равни на A, tobto.

Да кажем, че добавянето (замяната) и умножението на матрици не са предназначени за две матрици, а само за изпяване на най-много, което харесва, в собствената си степен. За znakhodzhennya sumi chi ríznití матрици техните rozmír obov'yazkovo могат да бъдат еднакви. За създаването на матрици броят на колоните в първата може да се увеличи с броя на редовете в другата (такива матрици се наричат моляженими).

Нека разгледаме мощностите на разглежданите операции, аналогични на мощностите на операциите върху числа.

1) Комутативен (изместващ) закон на сгъване:

A + B = B + A

2) Закон за асоциативно (щастливо) сгъване:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Разпределителен (разпространен) закон за умножение как да сгънете:

l(A + B) = lA + lB

A(B+C) = AB+AC

(A + B) C = AC + BC

5) Асоциативен (щастлив) закон за умножение:

l (AB) \u003d (lA) B \u003d A (lB)

A(BC) = (AB)C

Поддържа се, че законът за изместване на умножение за матрици не се променя в обратна посока, т.е. AB ¹ BA. Освен това, от основата AB, основата BA не е непременно произнесена (матриците може да не са приемливи и дори да не се присвояват същите двойки, както в случая на индуцирания зад, множеството матрици). Ale navіt yakscho правя престъпление, направете го, воня рев разни.

По добър начин, комутативният закон може да добави квадратна матрица A към единична матрица от същия ред, освен това, това добавя A (умножаването по една матрица тук е подобно на умножаването по едно при умножаване на числа):

AE = EA = A

Вярно,

Добавяме още една кратност на матрици към умножения на числа. Към нулата могат да се добавят повече числа или по-малко от това, ако искате едно от тях да е равно на нула. Невъзможно е да се каже за матрици, tobto. допълнителни ненулеви матрици могат да бъдат добавени към нулеви матрици. Например,

Нека да разгледаме операциите върху матрици.

4. Транспониране на матрицае операция за преход от матрица A към разширение m x n към матрица A T към разширение n x m, в същите редове и колони бяха отбелязани с интервали:

%.

Силата на операцията за транспониране:

1) Избрахме следното, за да може матрицата да се транспонира на две, ще се обърнем към изходната матрица: (AT) T = A.

2) Постоянният множител може да бъде обвинен за транспозиционния знак: (lА) T = lА T .

3) Транспониране на дистрибутивно умножени допълнителни матрици: (AB) T = B T A T i (A + B) T = B T + A T .

Матрици

За квадратната матрица A въведете числото |A| vyznachnik. Innodi йога се обозначава с буквата D.

Това е важно на върха на ниските практически задачи. Значително йога чрез метода на изчисление.

За матрица от първи ред нейният единичен елемент |А| = D1 = a11.

За матрица от различен ред нейното число се нарича сигнификатор, тъй като се изчислява след формулата |A| \u003d D 2 \u003d a 11 * a 22 - a 21 * a 12

За матрица А от трети ред нейното число се нарича сигнификатор, тъй като се изчислява по формулата

Представлява сумата от алгебрата, която се състои от 6 добавки, в кожата на които влиза точно един елемент от реда на кожата и матрицата на матрицата на кожата. За запаметяване на формулата на определителя е обичайно да се ускорява така нареченото правило на триковете или правилото на Sarrus (фиг. 6.1).

На малката 6.1 е показана схемата на злото, как да изберете елементи за допълнения със знак плюс, - вонята се пребува по диагонала на главата и по върховете на равните бедрени трикутници и ги поставя успоредно. Схемата на zlіva vikoristovuєtsya за dodankіv zі знак "минус"; на него заместникът на диагонала на главата е взет така наречената страна.

Лидерите от по-високи поръчки се изчисляват по рекурсивен начин, tobto. наследник от четвърти ред чрез наследник от трети ред, наследник от пети ред чрез наследник от четвърти ред и др. За да се опише методът, е необходимо да се въведе понятието минор на този алгебричен допълнителен елемент на матрицата (най-важното е, че самият метод, който ще бъде разгледан по-нататък, е подходящ за трети и друг ред).

Незначителен M ij елемент a ij матрица от n-ти ред се нарича инициал на матрицата от (n-1)-ти ред, взет от матрицата A и съвпадението на i ред i на j-тата колона.

Матрицата на кожата от n-ти ред е n2 второстепенна в (n-1)-ти ред.

Алгебрични допълнения A ij елемент ij матрица от n-ти ред се нарича його минор, като приема знак zі (-1) (i + j):

A ij \u003d (-1) (i + j) * M ij

Z vznachennya viplivaê, scho A ij \u003d M ij, което е сумата от числата в реда и колоната на двойката, і A ij \u003d -M ij, което не е сдвоено.

Например като , тогава ; и т.н.

Метод за изчисляване на главницата polygaê в офанзивата: означаващото на квадратната матрица е по-напреднало от сумата на творенията на елементите във всякакъв ред (stovptsya) върху техните допълнения към алгебрата:

(оформление според i-ти елементиредове; );

(Оформлението за елементите на j-тата колона;).

Например,

Показателно е, че в началото първичният модел на матрицата на трико е по-напреднал от елементите на диагонала на главата.

Да формулираме основните правомощия на магистратите.

1. Ако има ред или ако матрицата е съставена само от нули, тогава арбитърът е равен на 0 (следва метода на rozrahunka).

2. Ако умножите всички елементи на някакъв вид ред (stowptsya) на матрицата с едно и също число, тогава същото число се умножава по числото цяло число).

Забележка: за знака на сигнификатора можете да обвинявате горещия множител на самия ред (за знака на матрицата, за чийто знак можете да обвинявате горещия множител на елементите). Например, , .

3. Когато матрицата й се транспонира, означаващото не се променя: | A T | = | A | (Доказателството няма да бъде извършено).

4. При пренареждане на интервалите на два реда (stowptsiv) на матрицата, арбитърът променя знака на пролегията.

За да се потвърди стойността на кочана, е приемливо два последователни реда на матрицата да бъдат пренаредени: i-ти и (i + 1)-ти. За rozrahunka vyznachnika vyhіdnoj матрица хвърлям, а за новата матрица (с пренаредени редове) - по (i + 1) - th (като в niy е същото, така че мести елемент по елемент). След това, когато другият знак е разширен, кожата допълва алгебричната матима със знака за пролег, така че (-1) ще бъде намален не до стъпките (i + j), а до стъпките (i + 1 + j), и в друга формула, формулите няма да бъдат добавени. По този начин знакът на примата се променя на протила.

Сега е приемливо да се пренаредят не съдилищата, а още два реда, например i-ти и (i + t)-ти. Такава пермутация е възможна като последващо изместване на i-тия ред с t реда надолу, а (i + t)-тия ред - с (t-1) реда нагоре. За когото знакът на примата се променя (t + t - 1) = 2t - 1 броя пъти, т.е. несдвоен брой пъти. Otzhe, нека лозите променят останалото.

Подобно отразяване може да се промени за stovptsiv.

5. Ако матрицата трябва да замени два еднакви реда (stowptsya), следващият е равен на 0.

Вярно е, че ако едни и същи редове (stovptsі) се пренаредят по мисии, тогава самата матрица ще бъде отнета от същите назначени. От другата страна, зад предните yakistyu вени, можете да промените символа, tobto. D = -D D = 0.

6. Тъй като елементите на два реда (stowptsіv) на матрицата са пропорционални, тогава числото едно е равно на 0.

Тази мощност се основава на силата напред на това вино за оковите на умножителя на главата (ако виното за оковите на коефициента на пропорция в матрицата ще бъде същите редове от abo stovpts и в резултат на това коефициентът ще се умножава по нула).

7. Сумата от творческите елементи на всеки ред (stowptsya) на матрицата при алгебричното добавяне на елементите на следващия ред (stowptsya) на същата матрица винаги ще бъде 0: за i ¹ j.

За да се внесе мощност, е достатъчно да се замени j-тият ред в матрицата A с i-тия ред. В съкратената матрица ще има два равни реда, на които следващият арбитър е равен на 0. От другата страна може да се изчисли от елементите на j-тия ред: .

8. Индексът на матрицата не се променя, просто към елементите на реда или към матрицата добавете елементите на следващия ред (стоу), умножени по същото число.

Добре, нека добавя към елементите на i-тия ред j-ти елементредове, умножени по l. Всички елементи от новия i-ти ред ще се видят
(a ik + la jk, "k). Нека изчислим знака на новото оформление на матрицата след елементите на i-тия ред (важно е, че алгебричните добавки на нейните елементи не се променят, когато се променят):

Отнехме, че този примат не прилича на примата от външната матрица.

9. Значителни dobutku матрици по-скъпи dobutku техните vyznachnіv: | AB | = | A | * |U| (Доказателството няма да бъде извършено).

Те погледнаха повече авторитети на изчислителите и победителите в името на прошката на тяхното изчисление. Zvichay namagayutsya да преработи матрицата до такава форма, така че независимо дали е stovpets или ред отмъщение, е повече от нула. Лесно е да познаете следващия арбитър за подреждането на първия или другия ред.

реверсивна матрица

Извиква се матрица A-1 обратимиспоред съотношението към квадратната матрица A, дори ако матрицата се умножи по матрицата A, тя е дясна, така че единичната матрица излиза: A -1 * A = A * A -1 = E.

От това следва, че обратната матрица е квадратна матрица от същия ред като матрицата A.

Може да се види, че разбирането на опорната матрица е подобно на разбирането на опорното число (цялото число, както когато се умножи по дадено число, дава едно: a*a -1 = a*(1/a) = 1).

Номера с мустаци, крим нула, може да увива числа.

За да разберете силата, каква е квадратната матрица на възвръщаемостта, е необходимо да знаете арбитъра. Ако матрицата е равна на нула, тогава се нарича такава матрица вирогенен, или особено.

Необходимо достатъчно умОсновата на серумната матрица: серумната матрица е същата и само ако не се използва невирогената матрица.

Ние ще донесем нуждата. Тогава нека матрицата е обратната матрица A -1. A -1 * A \u003d E. Тоди | A -1 * A | = | A -1 | * |A| = | E | = 1. По-късно,
|A| №0.

Ние носим достатъчно. За да се изведе, е необходимо просто да се опише методът за изчисляване на серумната матрица, което винаги може да се направи за необработената матрица.

Otzhe, хайде | A | ¹ 0. Транспонирайте матрицата A. За скин елемента А Т идвам(Взаимно, съюзнически):.

Ние знаем реалността на получената матрица и изхода. За вкъщи . В този ред матрицата е диагонална. На нейния диагонал на главата има знаци на изходната матрица, а линиите на елементите са нули:

По същия начин можете да покажете това.

Ако разделите всички елементи на матрицата на |A|, тогава ще отнемете единичната матрица E.

Такъв ранг , тогава. .

Внасяме единството на осната матрица. Да кажем, основната обратна матрица за A, по подразбиране е A -1. Значително я X. Тоди А * Х = Е.

A -1 * A * X \u003d A -1 * E

Донесе единство.

Също така, алгоритъмът за изчисляване на опорната матрица се състои от следните стъпки:

1. Познайте арбитъра на матрицата | A | . Якщо |А| = 0, тогава матрицата A е вироген и обратната матрица не може да бъде известна. Якщо |А| № 0, след това преминете към стъпалото на плетене на една кука.

2. Насърчавайте транспонирането на AT матрицата.

3. Познаване на алгебричните допълнителни елементи на транспонираната матрица и индуциране на дадената матрица.

4. Изчислете обвитата матрица, като разделите получената матрица на |A|.

5. Можете да обърнете коректността на изчислението на опорната матрица по правилен начин до точката: A -1 * A = A * A -1 = E.

1. Нека разберем номер едно от матрицата зад правилото на триковете:

Да пропуснем пренаписването.

Можете да задействате следните матрици:

1) | A-1 | = 1 / | A |

2) (A -1) -1 = A

3) (A m) -1 = (A -1) m

4) (AB) -1 = B -1 * A -1

5) (A -1) T \u003d (AT) -1

Ранг на матрицата

Малък k-ти редкъм матрицата m x n, за да посочи знака на квадратната матрица от k-ти ред, тъй като е взет от матрицата A, за да се установи дали има редове и колони.

Важно е да се отбележи, че редът на второстепенния не надвишава по-малкия, tobto. k £ min (m; n). Например, от матрици A 5x3 е възможно да се премахнат квадратни подматрици от първи, друг и трети ред (възможно е да се разширят второстепенните редове).

рангиме на матрици намиране на редпод формата на нули в минори на матрицата (посочете ранг A или r(A)).

Еха

1) рангът на матрицата се избира от най-малкия s я razmiriv, tobto.
r(A) £ min (m; n);

2) r(A) = 0 и тогава, ако матрицата е нула (всички елементи на матрицата са равни на нула), тогава. r(A) = 0 A = 0;

3) за квадратна матрица от n-ти ред, r(A) = n и тогава, ако матрицата A е невирогена, тогава. r(A) = n | | №0.

Всъщност, за когото е достатъчно да изчисли повече от един такъв минор (този, който е отнет от възкресението на третата колона (защото в решта ще има нулева трета колона и към това ще се добави смрадта) до нула).

Зад правилото за трико = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Шардовете на всички минори от трети ред са нула, r(А) £ 2. Шардовете имат ненулев минор от различен ред, напр.

Очевидно е, че използваните от нас приемат (поглед към различните непълнолетни) не са подходящи за по-висок ранг в по-сложните тенденции чрез голям труд. Звучи знакът на ранга на матрицата победоносни дела на трансформация, както те наричат елементарен:

един). V_dkidannya нулеви редове (stovpts_v).

2). Възпроизвеждане на всички елементи на ред или матрица с число, без нулата.

3). Промяна на реда на редовете (stovptsiv) на матрицата.

четири). Добавка към елемента на кожата на един ред (stovptsya) от същите елементи на следващия ред (stovptsya), умножен по число.

5). Транспониране.

Тъй като матрицата A се взема от матриците B чрез елементарни трансформации, тези матрици се наричат еквивалентенобозначавам A~B.

Теорема. Елементарните трансформации на матрицата не променят ранга.

Доказателството на теоремата е очевидно от доминирането на матрицата. Всъщност по време на тези трансформации квадратните матрици или се запазват, или се умножават по число, което не е равно на нула. Чрез войната най-големият ред на водещите нули на второстепенните на външната матрица е оставен сам по себе си, т.е. нейният ранг не е променен.

За помощта на елементарни трансформации матрицата се довежда до така наречения стъпков вид (преработен на стъпкова матрица), тогава. Приема се, че еквивалентната матрица под диагонала на главата има само нулеви елементи, а диагоналът на главата има ненулеви елементи:

Рангът на стъпково-честотната матрица е равен на r, фрагментите на кръстосаното съвпадение от него stoptsiv, като се започне от (r + 1)-та и далеч, можете да вземете r-та матрица на три валути, скалар ще бъде същият като нула, тият ред, не е равен на нула):

дупето. Намерете ранга на матрица

един). Ако 11 \u003d 0 (както в нашия случай), тогава чрез пренареждане на редовете и стълбовете се постига 11 ¹ 0. Тук си спомняме 1-ви и 2-ри редове на матрицата:

2). Сега 11 ли е? 0. Елементарни трансформации Dob'єmosja, shchob shta elementіv при първите stovptsi doіvnyuvali нула. Другият ред има 21 = 0. Третият ред има 31 = -4. Соб (-4) стои 0, добавяйки към третия ред първия ред, умножения с 2 (tobto от (-a 31 / a 11) \u003d - (-4) / 2 \u003d
= 2). По същия начин към четвъртия ред добавете първия ред (умножения по едно, след това по (-a 41 / a 11) = - (-2) / 2 = 1).

3). В субтрактивната матрица a 22 ? 0 (yakbi bulo a 22 = 0, тогава можете да пренаредите редовете отново). Нека се уверим, че диагоналите под другата страна са нула. За th до 3-ти и 4-ти ред добавете още един ред, умножения с -3 ((-a 32 / a 22) \u003d (-a 42 / a 22) \u003d - (-3) / (-1) \u003d - 3):

четири). В съкратената матрица два оставащи реда са нула и техните могат да бъдат премахнати:

Премахната е матрицата на стъпките, която е сгъната на два реда. Освен това r(A) = 2.

Tse разбиране, scho zagalnyu е всички възможни операции, yakí viroblyayutsya с матрици. Математическа матрица - таблица на елементите. За такава маса де м rowkіv та н stoptsіv, изглежда, че матрицата може да бъде rozmirnіst мна н.

Яркият вид на матрицата:

За матрица на решениетонеобходимо е да се разбере каква е матрицата и да се знаят основните параметри. Основните елементи на матрицата:

• Диагонал на главата, който е съставен от елементи а 11, а 22 ..... а мн.
• Страничен диагонал, който е съставен от елементи a 1n, a 2n-1 …..a m1.

Основни видове матрици:

• Квадрат - такава матрица, de брой редове = брой колони ( m=n).
• Нула - всички елементи на матрицата = 0.
• Транспонирана матрица - матрица При, yak bula otrimana от външната матрица Ас пътека, заменете редовете на стълбовете.
• Сам - всички елементи на диагонала на главата = 1, линия = 0.
• Обратната матрица е матрица, когато се умножи по обратна матрица, в резултат се получава една единствена матрица.

Матрицата може да бъде симетрична както на главата, така и на страничните диагонали. Tobto, yakscho a 12 = a 21, a 13 = a 31, .... a 23 = a 32 .... a m-1n = a mn-1тогава матрицата е симетрична по главния диагонал. Повече от квадратни матрици могат да бъдат симетрични.

Методи за rozvyazannya матрици.

Mayzhe всички метод на матрична трансформациялежи в известния й забележителник нта поръчка и повече от тях да правят тромаво. За да познаете примата от 2-ри и 3-ти ред, има други, по-рационални начини.

Znakhodzhennya vyznachnikі във 2-ри ред.

За изчисляване на матрицата НО 2-ри ред, за създаването на елементи в диагонала на главата е необходимо да добавите допълнителни елементи в страничния диагонал:

Методи на познание от 3-ти ред.

По-долу са правилата за познаване на 3-ти ред.

Правилото на trikutnik е опростено, като едно черешови матрични методи, може да се представи по следния начин:

С други думи, получаването на елементи от първия арбитър, като че ли са прави, се приема със знака "+"; точно така, за 2-ри чиновник - най-важните творения се вземат със знака "-", така че за такава схема:

При решаване на матрици по правилото на Сарус, дясно, по посока на подписващия, добавете първите 2 колони и създайте най-важните елементи на диагонала на главата и на диагоналите, като i-тия паралел, вземете 3 със знак "+"; но създайте два елемента от странични диагонали и диагонали, като паралели, със знака "-":

Razkladannya vyznachnik по реда на броя на stovptsyu pіd час vіrіshennya матрици.

Изчислителят е по-добрата сума от образуванията на елементите на реда на изчислителя върху техните алгебрични добавки. Обадете се, за да изберете този ред / stovpets, по начин, който е нула. Ред или ред, според който се извършва оформлението, ще бъде обозначен със стрелка.

Привеждане на примата в триколен поглед в часа на черешовите матрици.

При матрица на решениетоС помощта на привеждане на чиновника в вид на трикотаж, работете по следния начин: с помощта на най-простите трансформации над редиците от песнопения, приматът става вид на трикотаж и същото значение, очевидно за силата на чиновника, елементи на dobutku , като стоене по диагонал на главата.

Теорема на Лаплас за съвършенството на матриците.

Виждайки матриците зад теоремата на Лаплас, е необходимо да познаваме самата теорема без средно положение. Теорема на Лаплас: Хайде Δ - това е забележителник нта поръчка. Vibiraemo в новия be-yakі к rowkiv (abo stovptsiv), за ума к≤ n - 1. Такова време има сбор от работи кред, какво да отмъсти на избрания кредове (stowptsyah), на техните алгебрични допълнения към vyznachnik.

Virishennya матрица.

Последователност за разтвор на серумната матрица:

1. Разберете, че е дадена квадратна матрица. Във времена на отрицателно мнение става ясно, че слюнчената матрица не може да бъде.
2. Изчисляване на добавки към алгебрата.
3. Създаваме съюзна (реципрочно, дойде) матрица ° С.
4. Добавяне на обратна матрица с добавки към алгебрата: всички елементи на дадената матрица ° Сдилимо върху матрицата на кочана. Матрицата на подсумата ще бъде произволно дефинирана опорна матрица.
5. Проверяваме робота vikonan: умножаваме матрицата на pochatkov и пропускаме матрицата, резултатът може да бъде единична матрица.

Virishennya системи матрици.

За решения за матрични системиНай-разпространеният метод е методът на Гаус.

Методът на Гаус е стандартният начин за извличане на системи от линейни подравнявания на алгебрата (SLAE) и vin polygaê в това, че последователно се включват промени, така че за допълнителни елементарни промени системата от подравнявания се довежда до еквивалента (зад номерът) знаят елемента на кожата на системата.

Метод на Гаусе най-универсалният и най-добър инструмент за решаване на матрици. Точно както системата има безлично решение или системата не е обобщена, тогава е невъзможно да се наруши правилото на Крамър и матричния метод.

Методът на Гаус за прехвърляне също е директен (намаляване на разширената матрица до стъпаловиден вид, така че нулите се премахват под диагонала на главата) и обратен (нулите се премахват над диагонала на главата на разширената матрица) разходка. Директната посока е методът на Гаус, обратната - методът на Гаус-Джордан. Методът на Гаус-Джордан е подобен на метода на Гаус, с изключение на последователността на промените.

Назначаване 1. Матрица А към светам низвиква се правоъгълна таблица с m реда и n колони, която се събира с числа или други математически променливи (рангове на матрични елементи), i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3 , ..., н.

, или

Назначаване 2. Две матрици
і
се наричат ​​еднакви по размер равен, които са сортирани елемент по елемент, т.е. =, i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n.

За допълнителни матрици е лесно да се запишат актовете на икономическите депозити, например таблици за разпределение на ресурсите според секторите на икономиката.

Назначаване 3. По този начин броят на редовете в матрицата е​​zbіgaєtsya от нейните stovptsіv, така че. m = n, тогава се извиква матрицата квадратен редн, и то в различна светлина праволинейна.

Назначаване 4. Преход от матрица A към матрица A t, в която редовете и колоните са отбелязани с места от реда за записване, те се наричат транспониранематрици.

Вижте матрицата: квадрат (размер 33) -
,

праволинеен (размер 25) -
,

диагонал -
, единичен -
, нула -
,

матрица-ред -
, matrix-stowpets -.

Назначаване 5. Елементите на квадратна матрица от ред n с еднакви индекси се наричат ​​елементи на диагонала на главата, т.е. ce елементи:
.

Назначаване 6. Елементите на квадратна матрица от порядък n се наричат ​​елементи на страничен диагонал, тъй като техните индекси са n + 1, т.е. Елементи: .

1.2. Операции с матрици.

1 0 . сумою две матрици
і
същият размер се нарича матрица С = (з ij), чиито елементи са равни на ij = a ij + b ij (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,… ,н).

Силата на операцията на сгъваемите матрици.

За бе-яках матрици A,B,Cедин rozіru vykonuyutsya rivnostі:

1) A + B = B + A (комутативност),

2) (A + B) + C \u003d A + (B + C) \u003d A + B + C (асоциативност).

2 0 . Твором матрици
на брой  наречена матрица
със същата размерност като i е матрица A, освен това b ij =  (i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n).

Силата на операцията за умножение на матрица по число.

(А) = ()А (асоциативност на множителя);

(А+В) = А+В (разпределимост на кратността на произволно сгъваеми матрици);

(+)А = А+А (дистрибутивност на умножаване на произволно сгъваеми числа).

Назначаване 7. Линейна комбинация от матрици
і
същият размер се нарича във формата A + B, de  и  - достатъчни числа.

3 0 . Добутком А  Матрици A и vіdpovіdno razmіrіv mn і nk се нарича матрица 3 і mk, така че елементът z ij е сумата от творческите елементи в i-тия ред на матрицата A і j-та колона на матрицата B, tobto. h ij = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ... + a ik b kj .

Dobutok AB се използва само в този случай, тъй като броят на колоните на матрицата A варира в зависимост от броя на редовете на матрицата.

Силата на операцията за умножение на матрици:

(АВ)С = А(ВС) (асоциативност);

(А+В)С = АС+ВС (разпределимост на произволно сгъваеми матрици);

А(В+С) = АВ+АС (разпределимост на произволно сгъваеми матрици);

АВВА (не е комутативен).

Назначаване 8. Матриците A и B, за които AB = BA, се наричат ​​commuting или commuting.

Възпроизвеждането на квадратна матрица, без значение в какъв ред върху различна единична матрица, не променя матрицата.

Назначаване 9. Елементарни трансформацииматрици се наричат ​​такива операции:

Замяна на два реда (stovptsiv) с мисиите.

Възпроизвеждане на кожен елемент на ред (stovptsya) с число, което не е равно на нула.

Добавяне към елементите на един ред (stowptsya) на втория ред елементи на следващия ред (stowptsya).

Назначаване 10. Матрица, получена от матрици И за помощта на елементарни преобразувания се нарича еквивалентен(подписано BA).

дупе 1.1.Познайте линейната комбинация от матрици 2A-3B, като

,
.

,
,

.

дупето 1.2. Познайте doboot матрицата
, като

.

Решение: броят на колоните в първата матрица се променя от броя на редовете в друга матрица, след което се използва допълнителната матрица. В резултат на това вземаме нова матрица
, де

В резултат на това ние вземаме
.

Лекция 2. Назначени. Изчисляване на vyznachniki в друг, трети ред. Властта на назначените лицанта поръчка.