Bir noktanın dik izdüşümünün koordinatlarını doğrudan bilir. Bir noktanın düz bir çizgi üzerinde izdüşümü Bir noktanın düz bir çizgi üzerinde izdüşümünün koordinatları. Bir noktanın düz bir çizgi üzerinde izdüşümü - teori, bu çözümü uygulayın

Bir noktanın düz bir çizgi üzerindeki izdüşümünü anlamaya yönelik Tsya makalesi (tümü). Mi damo yoma, açıkladığım vikoristannya küçüğü için atandı; Bir noktanın izdüşümünün koordinatlarını düz bir çizgide (düz veya önemsiz bir uzayda) atamanın Vivchimo yolu; Deneyelim.

"Bir noktanın düzlemde izdüşümü, koordinatlar" makalesinde, bir şeklin tasarımının dik veya dik tasarım kavramlarıyla anlaşılması gerekip gerekmediğini merak ettik.

Tüm geometrik şekiller noktalara katlanır; Bu nedenle, bir rakamı düz bir çizgi üzerine yansıtabilmek için, bir noktayı düz bir çizgi üzerine yansıtabilme yeteneğini hesaba katmak gerekir.

Randevu 1

Bir noktanın düz bir çizgi üzerinde izdüşümü- tse veya noktanın kendisi, verilen düz çizgi üzerinde uzanması gerektiği gibi veya verilen düz çizgi üzerindeki noktadan düşürülen dikeyin temeli.

Aşağıdaki küçüklere bakalım: H 1 noktası, a düz çizgisi üzerindeki M 1 noktasının izdüşümü görevi görür ve düz çizgi üzerinde yer alan M 2 noktası, kendisine izdüşümdür.

Tanımlama, yüzeydeki ve trivimer boşluğundaki vipadka için daha doğrudur.

M 1 noktasının izdüşümünü düzlemdeki a düz çizgisine almak için, belirli bir M 1 i noktasından geçecek şekilde düz bir b çizgisi çizin, a düz çizgisine diktir. Bu sırada, a ve b çizgilerinin kesişme noktası, M1 noktasının a çizgisi üzerindeki izdüşümü olacaktır.

Önemsiz bir uzayda, düz bir çizgi üzerindeki bir noktanın izdüşümü, a düz çizgisinin ve a düzleminin çapraz çizgisine bir nokta olarak hizmet edecek ve bu, düz çizgi a'ya dik olan M1 noktasından geçecek.

Düz bir çizgi üzerindeki bir noktanın izdüşümünün koordinatlarının değeri

Dairede ve önemsiz genişlikte tasarımın peyzajlarındaki zincirlere bakalım.

Bize O x y, M1 noktası (x1, y1) i düz çizgi a dikdörtgen koordinat sisteminin görevini verin. M1 noktasının a düz çizgisi üzerindeki izdüşümünün koordinatlarını bilmek gerekir.

Verilen M 1 (x 1, y 1) noktasından, a düz çizgisine dik olan b düz çizgisini geçelim. Kırılma noktası H1 olarak işaretlenmiştir. H 1 noktası, a düz çizgisi üzerindeki M 1 noktasının izdüşüm noktası olacaktır.

Açıklamadan, M 1 (x 1 y 1) noktasının a düz çizgisi üzerindeki izdüşümünün koordinatlarını bilmenizi sağlayan bir algoritma formüle etmek mümkündür:

Düz çizgileri katlama (belirtilmediğinden). zdіysnennya için ts_єї nebhіdna navička skladannya dairede ana rivnyan;

Düz çizginin b hizasını kaydedin (M1 noktasından geçmek ve düz çizgi a'ya dik olacak şekilde). Burada, verilen bir noktadan verilen düz bir çizgiye dik olarak geçmek için düz bir çizginin hizalanması ile ilgili makaleye ek yapılacaktır;

İzdüşümün koordinatlarının a ve b düz çizgilerinin kesişme noktasının koordinatları olarak alındığı açıktır. Ve bunun için, eşitlikler sistemi kanıtlanmıştır, depolar gibi - düz a ve b çizgilerinin eşitlenmesi.

popo 1

O x y düzleminde, verilen M 1 (1, 0) noktası a düz çizgisidir (daha yüksek hizalama - 3 x + y + 7 = 0). Düz çizgi a üzerindeki M1 noktasının izdüşümünün koordinatlarını belirtmek gerekir.

Çözüm

Algoritmaya göre, düz çizginin hizalamasının en kısa kaydına geçen doğrudan çizgi tarafından verilen hizalama b. b çizgisi a çizgisine diktir ve bu nedenle a çizgisinin normal vektörü b çizgisinin doğrudan vektörüdür. O zaman b doğrularının doğrudan vektörü şu şekilde yazılabilir: b → = (3, 1). B düz çizgisinin kanonik hizalamasını yazalım, ancak b düz çizgisini geçmek için yol boyunca M1 noktasının koordinatlarını da ayarlamamız gerekiyor:

Son kesim, a ve b düz çizgilerinin kesişme noktasının koordinatlarını gösterir. Hadi devam edelim kanonik rivnyan doğrudan b'den zagalny'ye її eşittir:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

a ve b doğrularının üst eşitlemelerinden bir eşitleme sistemi yapalım

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 (- 3 x - 7) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

3 x + y + 7 = 0: (- 2 , - 1) düz çizgisi üzerinde M 1 (1, 0) noktasının izdüşümünün koordinatlarını aldık.

Öneri: (- 2 , - 1) .

Projeksiyon koordinatlarının belirtilmesi gerekirse rapor gözden geçirilecektir. ayar noktası koordinat çizgileri ve onlara paralel çizgiler üzerinde.

Verilen koordinat çizgileri O x і O y ve M 1 (x 1, y 1) noktası olsun. Belirli bir noktanın y = 0 biçimindeki O x düz çizgi koordinatına izdüşümünün (x 1, 0) koordinatlarına sahip bir nokta olacağını fark ettim. Yani verilen noktanın O y koordinatı üzerindeki izdüşümü 0, y 1 koordinatları olacaktır.

Be-yaku oldukça düz, eksene paralel apsis, yanlış koyabilirsin vahşi kıskanç B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - C B ve düz, y eksenine paralel - A x + C \u003d 0 ⇔ x \u003d - C A.

Ardından, y \u003d - C B i x \u003d - CA düz çizgisi üzerindeki M 1 (x 1, y 1) noktasının projeksiyonları, x 1, - C B i - CA A, y 1 koordinatlarına sahip noktalar haline gelir.

popo 2

M 1 (7, - 5) noktasının izdüşümünün koordinatlarını O y koordinat çizgisi üzerinde ve ayrıca O y 2 y - 3 = 0 çizgisine paralel çizgi üzerinde alın.

Çözüm

Verilen noktanın izdüşümünün koordinatlarını O y düz çizgisine yazalım: (0 - 5) .

2 y - 3 = 0 yak y = 3 2 düz çizgisinin hizalamasını yazalım. Verilen noktanın y = 3 2 düz çizgisi üzerindeki izdüşümünün 7 3 2 koordinat matrisi ile açık hale gelir.

Öneri:(0 , - 5) ve 7 , 3 2 .

Önemsiz uzayın dikdörtgen bir koordinat sistemi O x y z , M 1 noktası (x 1 , y 1 , z 1) ve a düz doğrusu olsun. M1 noktasının a düz çizgisi üzerindeki izdüşümünün koordinatlarını biliyoruz.

α düzleminin a düz çizgisine dik M1 i noktasından geçmesine izin vereceğiz. Belirli bir noktanın düz bir a çizgisi üzerindeki izdüşümü, a düz çizgisi ve bir α düzlemi üzerinde bir nokta haline gelir. Buna dayanarak, düz çizgi a üzerinde M 1 (x 1, y 1, z 1) noktasının izdüşümünün koordinatlarının değeri için bir algoritma sunuyoruz:

Düz çizgi a'nın hizalamasını yazıyoruz (belirtilmediğinden). Bu görevi anlamak için, uzayda düz çizgilerin hizalanmasıyla ilgili bu makaleye aşina olmanız gerekir;

Düzlüğü saklayabilir miyiz?

Düz çizgi a üzerindeki M 1 (x 1, y 1, z 1) noktasının izdüşümünün koordinatlarını biliyoruz - düz çizgi α'nın çapraz çizgisinin noktasının ve α düzleminin koordinatları olacak (yardım için - “Uçağın düz çizgisinin çapraz çizgisinin noktasının koordinatları” makalesi).

popo 3

Bir dik açılı koordinat sistemi verildiğinde O x y z , ben nіy noktasında М 1 (0, 1, - 1) i düz çizgi a . Düz a çizgisi, kanonik hizalamaya karşılık gelir: x + 23 = y - 6 - 4 = z + 11. M1 noktasının a düz çizgisi üzerindeki izdüşümünün koordinatlarını belirleyin.

Çözüm

Vykoristovuёmo vkazyvshee algoritması. Rivnyannya düz çizgi, ilk adım algoritma tarafından atlanır. α alanının hizalamasını yazalım. Bunun için alanın normal vektörünün koordinatları önemlidir. Düz çizgi a'nın verilen kanonik hizalamalarından, düz çizginin doğrudan vektörünün koordinatlarını görebiliriz: (3, - 4, 1), bu, düz çizgiye dik olan α alanının normal vektörü olacaktır. a. Todi n → = (3, - 4, 1) α alanının normal vektörüdür. Bu sırayla, α matime'nin düzlemi eşit görünüyordu:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Şimdi düz çizginin kesişme noktasının koordinatlarını ve bunun için iki yol bulunan α düzleminin koordinatlarını biliyoruz:

1. Kanonik hizalamanın görevleri, a düz çizgisini temsil eden örtüşen iki düzlemin hizalanmasını almanızı sağlar:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

4 x + 3 y - 10 \u003d 0 x - 3 z - 1 \u003d 0 ve 3 x - 4 y + z + 5 \u003d 0 düz çizgisinin çapraz çizgisinin noktalarını bilmek

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = - 5

saat bu özel tipe vikoristovuєmo Cramer'in yöntemi, ancak kaba olup olmadığını zasosuvat yapabilirsiniz:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ z ∆ = 0 - 78 = 0

Bu şekilde, verilen bir noktanın a düz çizgisi üzerindeki izdüşümü, (1, 2, 0) koordinatlarına sahip bir noktadır.

1. Kanonik hizalamaların görevleri temelinde, düz çizginin uzayda parametrik hizalamasını yazmak kolaydır:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Parametre aracılığıyla x , y і z їх ifadesi yerine 3 x - 4 y + z + 5 = 0 olarak görülebilen düzlem düzeyinde hayal edelim:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

λ = 1'de a düz çizgisinin parametrik hizalamalarının arkasındaki a düz çizgisinin ve a düzleminin kesişme noktasının koordinatlarını hesaplayalım:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Böylece, verilen bir noktanın a düz çizgisi üzerindeki izdüşümü (1, 2, 0) koordinatlarına sahiptir.

Öneri: (1 , 2 , 0)

M 1 (x 1 , y 1 , z 1) noktasının O x , O y і O z koordinat çizgileri üzerindeki izdüşümlerinin (x 1 , 0 , 0) , (0 , y 1 , 0 ) ve (0 , 0 , z 1) geçerlidir.

Metindeki affı nasıl hatırladın, kibar ol, gör ve Ctrl + Enter tuşlarına bas

başka birine yardım et cevrimici hesap makinesi düz bir çizgi üzerindeki bir noktanın izdüşümünü bilebilirsiniz. Açıklamalarla bir çözüm bildirmeyi umuyoruz. Bir noktanın düz bir çizgi üzerindeki izdüşümünü hesaplamak için mesafeyi ayarlayın (2- düzlemde düz bir çizgiye benziyor, 3- uzayda düz bir çizgiye benziyor), o noktanın koordinatlarını girin kutudaki hizalama öğesini seçin ve "Verishity" düğmesine basın.

×

İlerlemek

Tüm odalar temizlensin mi?

Kapat Temizle

Veri girme talimatları. Sayılar tam sayı (uygulayın: 487, 5, -7623 ince.), onlarca sayı (örn. 67., 102.54 ince.) veya kesirler olarak girilir. Kesirin a / b, de a і b (b> 0) tsіlі veya onlarca sayı. 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 ince uygulayın.

Bir noktanın düz bir çizgi üzerinde izdüşümü - teori, bu çözümü uygulayın

Şimdi iki dünya ve üç dünya genişliklerindeki göreve bakalım.

1. İki dünya uzayına bir puan verilsin M 0 (x 0 , y 0) ben düz L:

Düz bir çizgi üzerindeki bir noktanın izdüşümü için algoritma L böyle intikam almak için:

• doğrudan sor L 1 noktadan geçmek M 0 i düz çizgiye dik L,
• düz çizgilerin aralığını bilmek Lі L 1 puan M 1)

Noktadan geçmek için düz çizgi M 0 (x 0 , y 0) şöyle görünebilir:

Vіdkrієmo yay

(5)

değerini varsayalım xі y 4'te:

de x 1 =mt"+x", y 1 =puan"+sen".

Örnek 1. Bir noktanın izdüşümünü bilin M 0 (1, 3) düz

Tobto. m=4, p=5. Düz çizginin (6) hizasından, noktadan geçeceği açıktır. M" (x", sen")=(2, −3)(bunun değiştirilmesi kolaydır - (6) değerini değiştirmek 0=0 özdeşliğini alır), o zaman. x"=2, sen"=-3. değerini varsayalım m, p, x 0 , y 0 ,x", y" 5"):

2. Önemsiz dünyevi uzaya bir nokta verilsin M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ben düz L:

Bir noktanın düz bir çizgi üzerindeki izdüşümünün anlamı L böyle intikam almak için:

• daireyi teşvik etmek α , noktadan geçmek M 0 i düz çizgiye dik L,
• retin bölgesini bilmek α ben düz L(Zerre M 1)

Noktadan geçecek düzlemin düzlüğü M 0 (x 0 , y 0 , z 0) şöyle görünebilir:

Vіdkrієmo yay

değerini varsayalım xі y yaklaşık 9):

Bir noktanın düz bir çizgi üzerinde izdüşümü yapmak kolaydır ve son birkaç işlem için sıfır yakınlık, noktalı düz bir çizgi üzerindeki bir noktanın izdüşümü olarak hesaplanır. Ortak görevin bu sayıda yönüne bir göz atalım.

Düz gitmesine izin ver

ben leke. Daha da önemlisi, w düz çizgilerinin vektörü oldukça uzun olabilir. Düz çizgi, t parametresinin sıfıra eşit olduğu ve w vektörünün düz olabileceği noktasından geçer. Bir noktanın düz bir çizgi üzerindeki izdüşümünü bilmek gerekir. Tek bir çözüm var. Düz bir doğrunun bir noktasından bir noktaya bir vektörü ve hesaplanabilir bir skaler katı vektörü ve bir w doğrusunun bir vektörünü indükleyeceğiz. Şek. 4.5.1 w doğrularının doğrudan vektörünü gösteren, verilen nokta. Bu skaler uzantıyı w vektörünün uzunluğuna bölersek, vektörün düz bir çizgi üzerindeki izdüşümünün uzunluğunu alırız.

Pirinç. 4.5.1. Bir noktanın düz bir çizgi üzerinde izdüşümü

Skaler uzantıyı w vektörünün karesine bölersek, vektörün düz çizgi üzerindeki izdüşümünü w vektörünün uzantısının birimleri olarak alırız, böylece noktanın izdüşümü için t parametresini alırız. düz çizgi.

Böylece, bir doğru üzerindeki bir noktanın izdüşüm parametresi ve izdüşümün yarıçap vektörü; formüllerle hesapla

(4.5.3)

w vektörünün uzunluğu 1 ise (4.5.2) dik bir eğimde eğri üzerindeki izdüşüm noktasından çıkarılmasına gerek yoktur, vektörün uzunluğu olarak hesaplanır. Noktadan її izdüşümüne olan mesafeyi düz bir çizgi üzerinde, noktanın izdüşümünü hesaplayarak değil, formülü hızlandırarak hesaplayabilirsiniz.

Okremі düşer.

Bir noktanın analitik eğriler üzerindeki izdüşümü, sayısal yöntemler bilgisi olmadan da bilinebilir. Örneğin, son kesimdeki noktanın izdüşümünü bilmek için, izdüşüm yapılan noktayı son kesimin koordinat sistemine çevirmek, noktayı son kesimin düzlemine yansıtmak ve son kesimin düzlemini bilmek gerekir. verilen noktanın iki boyutlu izdüşümü parametresi.

Zagalny vpadok.

Eğri bir doğru üzerindeki bir noktanın tüm izdüşümlerini bilmek gerekli olsun.

(4.5.5)

Amaç, bilinmeyen bir değerden intikam almaktır - t parametresi. Daha önce de söylendiği gibi, hangi görevin tamamlanması iki aşamaya bölündü. İlk aşamada, eğri üzerindeki noktanın izdüşümlerinde parametrelerin sıfıra yakınlaşmasını ifade ediyoruz ve diğer aşamada, verilen noktanın izdüşümlerini atayan eğrideki parametrelerin kesin değerlerini biliyoruz. z çizgisine doğru eğri üzerinde