Bir diğeri, ekstremumun temelinin yeterli işaretidir. Aralıklar, ekstremumlar üzerindeki fonksiyonların büyümesi ve değişimi. Yeter aşırı işaret

Bir fonksiyonun uç noktası, fonksiyonun değerinin minimum veya maksimum değere ayarlandığı fonksiyon atama alanının noktasıdır. Fonksiyonun bu noktalardaki değerlerine fonksiyonun ekstrema (minimum ve maksimum) adı verilir..

Randevu. Krapka x1 atanan işlev alanları f(x) denir maksimum fonksiyon noktası fonksiyonun bu noktadaki değeri, kendisine yakın noktalarda fonksiyonun değerinden büyük olsa da, içinde sağ ve sol olarak yayılarak (düzensizliği önlemek için) f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maksimum.

Randevu. Krapka x2 atanan işlev alanları f(x) denir fonksiyonun minimum noktası Fonksiyonun bu noktadaki değeri, kendisine yakın noktalarda fonksiyonun değerinden daha az olsa da, sağ elini kullanan ve içindeki kızgınlık (bu yüzden düzensizlik) f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). Herkese öyle görünüyor ki, işlev noktada olabilir x2 minimum.

nokta koyalım x1 - maksimum fonksiyon noktası f(x). Todi aralığına kadar x1 fonksiyon büyür Bu, sıfırdan büyük fonksiyonlara benzer ( f "(x) > 0 ) ve sonraki aralıkta x1 işlev şimdi değişir ve benzer işlevler Sıfırdan daha az ( f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

nokta olması da mümkündür x2 - fonksiyonun minimumunu göster f(x). Todi aralığına kadar x2 fonksiyon değişir ve benzer fonksiyon sıfırdan küçüktür ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 fonksiyon büyür ve benzer fonksiyon sıfırdan büyüktür ( f "(x) > 0). Kimin aklı aynı noktaya sahip x2 Pokhіdna işlevleri sıfıra eşittir veya değildir.

Fermat teoremi. ne nokta x0 - fonksiyonun uç noktası f(x) , sonra n'inci noktada fonksiyon sıfıra benzer ( f "(x) = 0) veya değil.

Randevu. Benzer fonksiyonları sıfıra eşit olan veya olmayan noktalara denir. kritik noktalar .

örnek 1. fonksiyonuna bakalım.

Noktada x= 0 x= 0 kritik noktadır. Ancak fonksiyonun grafiğinde de görüldüğü gibi atama alanının tamamında bir artış var, mesele bu. x= 0, fonksiyonun bir ekstremumu değildir.

Bu şekilde, sıfıra ulaşma noktasına kadar bir fonksiyona layık olanları veya gerekli olmayanları veya bir ekstremumun gerekli zihinlerini veya yeterli olmayanları düşünün, bazıları için kırıkları ve fonksiyonların diğer uygulamalarını işaret edebilirsiniz. Onlarla, zihin dolandırılabilir ya da bir ekstremumun işlevi olabilir. Tom annenin yeterli işarete ihtiyacı var, ki є ekstremum ve yaky'nin belirli bir kritik noktasında yargılamanıza izin verir - maksimum chi minimum.

Teorem (birincisi, fonksiyonun ekstremumunun temelinin yeterli işaretidir). kritik nokta x0 f(x) böylece bu noktadan geçerken, fonksiyon işareti değiştirir, ayrıca işaret "artı"dan "eksi"ye değişirse, nokta maksimumdur ve "eksi"den "artı"ya ise, o zaman nokta minimumdur.

nokta ne kadar yakın x0 , solak ve sağlak, eğer bir işaret alırsa, o zaman fonksiyonun değiştiği veya yalnızca noktanın yakınında büyüdüğü anlamına gelir. x0 . noktada hangi yönde x0 ekstremum yoktur.

otze, Gerektiğinde işlevin uç noktalarına puan atamak :

1. Uygun bir fonksiyon bulun.
2. Sıfıra eşitleyin ve kritik noktalar atayın.
3. Düşünceler chi kağıtları, sayısal eksende kritik noktaları işaretler ve benzer bir fonksiyonun aralıkları çıkararak işaretlerini işaretler. İşaret "artı"dan "eksi"ye değişirse, kritik nokta maksimum noktadır ve "eksi"den "artı"ya değişirse, o zaman minimum noktadır.
4. Fonksiyonun ekstremum noktalarındaki değerini hesaplayın.

popo 2. Ekstremum fonksiyonlarını bilir .

Çözüm. Aşağıdaki işlevleri biliyoruz:

Kritik noktaları bilmek için sıfıra eşittir:

.

Dolayısıyla, herhangi bir "ix" değeri için başlık sıfıra eşit değilse, o zaman sayı sıfıra eşittir:

Bir kritik noktayı ortadan kaldırın x= 3. Nokta ile sınırlanan aralıklarda tersinin işareti anlamlıdır:

eksi tutarsızlık aralığında 3 - eksi işaretine kadar, böylece fonksiyon değişir,

3 ila artı tutarsızlıklar aralığında - artı işareti, böylece fonksiyon büyür.

Tobto, nokta x= 3 - minimum puan.

Minimum noktadaki fonksiyonun değerini biliyoruz:

Bu sırada, fonksiyonun uç noktası bulunur: (3; 0), ayrıca minimum noktasıdır.

Teorem (diğeri, fonksiyonun ekstremumunun temelinin yeterli işaretidir). kritik nokta x0 є fonksiyonun uç noktası f(x); f ""(x) ≠ 0); f ""(x) > 0 ), o zaman nokta maksimumdur ve tersi sıfırdan küçüktür ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Not 1. Noktada ne var x0 sıfıra ve birinciye dönün ve diğeri öldü, o zaman bu noktada bir ekstremumun tezahürünü başka bir yeterli işaret temelinde yargılamak imkansızdır. Bu tür bir ruh halinin, işlevin ekstremumunun ilk yeterli işaretiyle hızlanması gerekir.

Saygı 2. Fonksiyonun ekstremumunun bir başka yeterli işareti yeterli değildir ve durağan bir noktada bile birincisi iyi değildir (başka kötü yoktur). Bu tür bir tutumun, fonksiyonun ekstremumunun ilk yeterli işaretiyle hızlandırılması da gereklidir.

Fonksiyonun ekstremumlarının yerel doğası

İşlevin ekstremumunun yerel bir karaktere sahip olabileceği açıktır - işlevin değerlerinin en fazla ve en azının değeri en yakın değerlere eşittir.

Diyelim ki bir gün düğün anındaki kazancınıza baktınız. Çimden 45.000 ruble, çeyrekten 42.000 ruble ve kırmızı olanlardan 39.000 ruble kazandıysanız, çim kazancı, en yakın değerler açısından kazanma fonksiyonunun maksimumudur. Ale sarıdan 71.000 ruble, ilkbahardan 75.000 ruble ve yaprak dökümünden 74.000 ruble kazandı, bu nedenle aynı gelir - minimum gelir fonksiyonu en yakın değerlere eşittir. Kolayca bachite yapabilirsiniz, böylece bahar-çim-kirazın maksimum ortalama değeri, minimum bahar-zhovtnya-yaprak düşüşünden daha azdır.

Zagalneno'dan bahsetmişken, bu arada, işlev aşırı uçların anası olabilir, dahası, işlevin minimumunun maksimumdan daha büyük olduğu görünebilir. Yani, biraz daha gösterilen fonksiyon için, .

Bu nedenle, fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerinin, görünen tüm parçalardaki en büyük ve en küçük değerler olduğunu düşünmek gerekli değildir. Maksimum noktasında, fonksiyon bu değerler aralığında en küçük değere sahiptir, eğer tüm noktalarda mümkünse maksimuma yakın noktaya ulaşmak ve minimum noktasında - en küçük değerde. minimum noktaya yakın noktalara yakın ise bu değerlerin aralığı.

Bu nedenle, fonksiyonun uç noktasının noktasını daha iyi anlamak ve minimum noktalarına yerel minimum noktaları ve maksimum noktaları - yerel maksimum noktaları olarak adlandırmak netleştirilebilir.

Shukaemo aynı anda aşırı işlevler

örnek 3.

Çözüm. İşlev, tam sayı satırında kesintisiz olarak atanır. Її pokhіdna іsnuє aynı zamanda tam sayı satırında. tom bu özel tipe kritik noktalar є daha az ti, yak, tobto için. , yıldızlar ki. Kritik noktalar ve atanan işlevin tüm alanını üç monotonluk aralığına bölün: . Bir kontrol noktasından onların derisinde Viberemo ve ikinci noktada bir sonrakinin işaretini biliyoruz.

Bir aralık için bir kontrol noktası şunlar olabilir: biliniyor. Aralıkta bir nokta alarak çıkarırız ve aralıkta bir nokta alarak yapabiliriz. Ayrıca, i aralıklarında ve aralıklarda. Zgіdno, ekstremumun ilk yeterli işaretiyle, ekstremum olmadığı noktada (parçaların aralıkta işareti alması daha olasıdır) ve noktalarda fonksiyon minimum olabilir (bir sonraki geçerken kırıklar daha azdır) nokta, işareti eksiden artıya değiştirmek). Fonksiyonun ilgili değerlerini biliyoruz: , a . Aralıkta, işlev değişir, bu aralıktaki ani artışlar ve aralıklar artar, o aralıktaki ani artışlar.

Gelecekteki grafikleri netleştirmek için, koordinat eksenleri ile yoga çizgisinin noktalarını biliyoruz. Kökü i olan eşit aldığımızda, fonksiyonun grafiğinin (0; 0) ve (4; 0) iki noktası bulunur. Vikoristovuyuchi all otrimani vіdomosti, budєmo programı (cob popo üzerinde div.).

Rozracunkah ile kendi kendine doğrulama için hızlandırabilirsiniz çevrimiçi benzer hesap makinesi .

popo 4. Fonksiyonun uç noktalarını bilin ve programı indükleyin.

Fonksiyonun kapsamı, tobto noktaları hariç tam sayı doğrusudur. .

Hızlı bir takip için buhar odasının işlevi, kırıklar olduğu gerçeğini hızlandırabilirsiniz. . Bu nedenle, çizelge eksene göre simetriktir. ah bu takip sadece aralık için kullanılabilir.

gideceğimi biliyoruz ve fonksiyonun kritik noktaları:

1) ;

2) ,

Ancak fonksiyon bu noktadaki farkı biliyorsa, o zaman bir ekstremum noktası olamaz.

bu şekilde, fonksiyon ayarlandı maє iki kritik nokta: i . Vrahovoyuchi fonksiyonlarının eşleşmesi, perevirim için bir başka yeterli ekstremum işareti sadece bir noktadır. Kimin için bir arkadaş bildiğimiz için öleceğim önemli bir imzadır: otrimaєmo. i olduğundan, o zaman є fonksiyonun minimum noktası, .

Fonksiyonun takvimi hakkında daha fazla bilgi eklemek için, belirlenen alanın sınırlarındaki davranışı takip etmek gerekir:

(burada sembol egzersizi gösterir x ayrıca sağ elini sıfıra x olumlu ile boğulmuş olmak; benzer şekilde egzersiz anlamına gelir xüstelik sıfır kızgın x negatif ile boğulmuş olmak). Böyle bir rütbede, o zaman yakscho. Dali'yi biliyoruz.

,

tobto. bunun gibi.

Grafik fonksiyonunun eksenleri ile kırılma noktası olamaz. Küçük olan - koçanı kıçında.

Rozracunkah ile kendi kendine doğrulama için hızlandırabilirsiniz çevrimiçi benzer hesap makinesi .

Prodovzhuєmo shukati aynı anda aşırı işlevler

Örnek 8. Ekstremum fonksiyonlarını bilir.

Çözüm. Atanan işlevin kapsamını biliyoruz. Yani eğer gerginlik galip gelebiliyorsa, o zaman takıntılıyız demektir.

İlk pokhіdnu işlevlerini tanıyalım.

duje önemli bilgi fonksiyonun davranışı hakkında, büyüme ve bozulma dönemlerine yol açar. Їхнє perebuvannya є sürecin bir parçası takip fonksiyonları ve hızlı grafikler. O zamana kadar, büyümeden düşüşe veya bir değişiklikten büyümeye geçişin olduğu uç noktalara, aşağıdaki durumlarda özel bir saygı gösterilir. fonksiyonun en büyük ve en küçük değerinin değeri geçerli aralıkta.

Bu makalede, bir aralık boyunca fonksiyondaki bu değişimin yeterli bir işaretini ve bir ekstremum için yeterli bir nedeni tanımlamaya, formüle etmeye ihtiyaç var, bu görevi uygulayarak tüm teoriyi mükemmelleştireceğiz.

Yan tarafta navigasyon.

Aralıktaki fonksiyonun büyümesi ve değişimi.

Belirlenmiş büyüme fonksiyonu.

y=f(x) işlevi, X aralığında ve aynı zamanda i ne olursa olsun büyür. vykonuetsya değil. Aksi takdirde, öyle görünüyor ki - argümanın daha büyük değeri, işlevin değerinden daha büyük.

Belirlenmiş bozunma işlevi.

y=f(x) işlevi, herhangi bir i için olduğu gibi, X aralığı ile değişir. nerіvnіst . Aksi takdirde, görünüşe göre - argümanın daha büyük değeri, işlevin daha küçük değeri tarafından verilir.

NOT: fonksiyon atandığından ve büyüme veya bozulma (a; b) aralıklarında kesintisiz olarak, x = a і x = b'de, o zaman qi noktaları büyüme veya bozulma aralığına dahil edilir. X aralığı için büyüme ve bozulma fonksiyonunun amacını fazla tahmin etmeyin.

Örneğin, temel temel işlevlerin güçlerinden, y=sinx'in atandığını ve argümanın tüm etkin değerleri tarafından kesintisiz olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, sinüs fonksiyonunun aralıklardaki büyümesinden, sinüs fonksiyonunun aralıktaki büyümesini doğrulayabiliriz.

Krapki ekstremum, ekstremum fonksiyonlar.

Noktayı adlandırın maksimum nokta fonksiyonları y=f(x) , yani komşuluktaki tüm x'ler adildir. Fonksiyonun maksimum noktasındaki değerine denir. maksimum fonksiyon Demek istediğim.

Noktayı adlandırın minimum puan fonksiyonları y=f(x) , yani komşuluktaki tüm x'ler adildir. Fonksiyonun minimum noktasındaki değerine denir. minimum fonksiyon Demek istediğim.

Noktanın çevresinin altında, aralığı anlayın , de - Küçük bir pozitif sayıyı bitirin.

Minimum ve maksimum noktaları denir uç noktalar, ve uç noktalara karşılık gelen fonksiyonun değerine denir. fonksiyon ekstremi.

Aşırı işlevleri en büyüğüyle karıştırmayın en düşük değer fonksiyonlar.

İlk küçükte, üstteki fonksiyonun en büyük değerine fonksiyonun maksimum ve sonraki maksimum noktasında ulaşılır ve diğer küçükte fonksiyonun en büyük değerine x = noktasında ulaşılır. b, ancak maksimum noktasında değil.

Değişen işlevin büyümesini anlamak için yeterli.

Bu değişen işlevin büyümesinin yeterli zihinleri (işareti) temelinde, bu değişen işlevin büyümesinin boşlukları vardır.

Formülün ekseni, aralıktaki fonksiyonun büyümesinin ve değişmesinin bir işaretidir:

• benzer bir y=f(x) fonksiyonu X aralığında herhangi bir x için pozitifse, fonksiyon X üzerinde büyür;
• Benzer bir y=f(x) işlevi negatifse, x, X aralığı içinde olsun, o zaman işlev X olarak değişir.

Bu sırayla, büyümenin büyümesini ve fonksiyondaki değişimi belirtmek için gereklidir:

Algoritmanın açıklaması için araya giren büyüme ve fonksiyon değişikliği bilgisi örneğine bir göz atalım.

popo

Büyümedeki ve işlevdeki değişimdeki boşlukları bilin.

Çözüm.

İlk mahsulde gerekli işlevin kapsamını bilmek. Virazın kıçında, sancaktarda, daha sonra sıfıra dönebilir.

Bilinen işleve geçelim:

Yeterli bir işaret için zmenshennya funktії zrostannya promіzhkіv zrostannya amacıyla, randevu alanında vyrishuєmo nerіvієmі. Aralık yöntemini kullanmak için hızlı olun. Günlüğün tek kökü є x = 2'dir ve znamennik x = 0'da sıfıra döner. Qi noktaları atanan aralığın alanını böler, diğer bazı işlevler için işareti alırlar. Sayı doğrusunda önemli ölçüde qi noktaları. Artılar ve eksiler, olumlu ve olumsuz olduğu zihinsel olarak önemli aralıklardır. Alttaki oklar, belirli bir aralıkta fonksiyonun artışını veya değişimini şematik olarak gösterir.

bu şekilde, і .

Noktada x=2 fonksiyon atanır ve kesintisizdir, buna її büyüme aralığına ve bozulma aralığına eklenmelidir. x=0 noktasında fonksiyon atanmaz, dolayısıyla bu nokta şaka yapılan aralıklara dahil edilmez.

Bundan sonuç çıkarmak için fonksiyonun bir grafiğini çiziyoruz.

Öneri:

fonksiyon büyür , aralıkta değişiyor (0; 2] .

Yeter ki işlevin ekstremumunu düşün.

İşlevin maksimum ve minimumunu bilmek için, işlev zihninizi tatmin ettiğinden, üçünden birinin bir ekstremumun işareti olup olmadığını koristuvatisya yapabilirsiniz. Bunlardan en genişi ve en kullanışlısı ilkidir.

Persha, Umov'un ekstremumu için yeterlidir.

y=f(x) fonksiyonunun noktanın çevresinde, ancak noktanın kendisinde kesinti olmaksızın türevlenmesine izin verin.

Diğer bir deyişle:

Fonksiyonun ekstremumunun ilk işaretinden sonra ekstremumun noktasını bulma algoritması.

• Atanan işlevin kapsamını biliyoruz.
• Atanan alanın işlevlerini biliyoruz.
• Numara kadranının önemli ölçüde sıfırları, içinde olası uç noktalar qi noktalarından geçerek işaretinizi değiştirmeniz mümkündür).
• Qi noktaları, promyzhki'nin işlevi için belirlenmiş alanı böler, bazıları için işareti almak daha iyidir. Benzer bir dış görünüm aralığının işaretlerini görebiliriz (örneğin, iyi alınmış bir aralığın herhangi bir noktasında benzer bir fonksiyonun değerini hesaplamak).
• Fonksiyonun kesintisiz olduğu noktaları seçiyoruz ve yaks'tan geçerek işaret - pis koku uç noktalarını değiştiriyor.

Çok zengin kelimeler, kіlka'ya daha güzel baktı, ilk yardım için ekstremum ve fonksiyonun ekstremumlarına önemli noktalar uyguladı. yeterince akıl fonksiyonun ekstremumu.

popo

Ekstremum fonksiyonlarını bilir.

Çözüm.

İşlev alanı tamamen kişisel değildir gün numaraları, Krim x = 2 .

Gideceğimi biliyoruz:

Payın sıfırları є noktaları x = -1 і x = 5 znamennik x = 2'de sıfıra döner. Sayısal eksende önemli sayıda nokta

Benzer bir cilt aralığının değerlerinin hesaplandığı, örneğin x=-2, x=0, x=3 ve x=6 noktalarında benzer bir cilt aralığının işaretleri görülebilir.

Ayrıca, aralıkta pozitiftir (cim aralığının üzerindeki küçük olana bir artı işareti konur). benzer şekilde

Eksiyi başka bir aralığa, eksiyi üçüncü aralığa, artı çeyreğe böleriz.

İşlevin kesintisiz olduğu noktaları seçmek için kayboldu ve її pokhіdna işareti değiştirdi. Tse i є ekstremum noktaları.

Noktada x=-1 fonksiyon kesintisizdir ve kademeli olarak işareti artıdan eksiye değiştirir, sonra, uç noktaya ilk işaretten sonra, x=-1 maksimumun noktasıdır, ikincisi fonksiyonun maksimumudur .

Noktada x=5 fonksiyon kesintisizdir ve eksi işaretini kademeli olarak artıya değiştirir, o zaman x=-1 minimumun noktasıdır, yani fonksiyonun minimumu .

Grafik çizimler.

Öneri:

TERS SAYGI: ilk işaret ekstremum için yeterlidir, noktanın kendisinin diferansiyel fonksiyonunu etkilemez.

popo

Ekstremum noktalarını ve ekstrema fonksiyonlarını bulun .

Çözüm.

İşlevin kapsamı tamamen kişisel olmayan gerçek sayılardır. İşlevin kendisi görünümde yazılabilir:

Aşağıdaki işlevleri biliyoruz:

Noktada x=0 mümkün değil, argüman abartılı olduğunda tek taraflı inters değerlerinin kırıklarının sıfıra ulaşmasına izin verilmez:

Aynı saatte, çıkış fonksiyonu x=0 noktasında kesintisizdir (böl. süreklilik için fonksiyonun takibi):

Sıfıra dönmeye değer olduğu argümanın anlamını biliyoruz:

Sayı doğrusundaki tüm noktalar ve cilt aralıklarında önemli ölçüde daha düşük işaret. Cilt aralığının belirli noktalarında göreli değerini hesaplamanın mümkün olduğu, örneğin, x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

Tobto,

Bu sırada, ekstremumun ilk işaretinden sonra, minimumun noktaları , maksimumu gösterir є .

Minimum fonksiyonların hesaplanması

Fonksiyonun maksimumunun hesaplanması

Grafik çizimler.

Öneri:

.

Fonksiyonun ekstremumunun başka bir işareti.

Bir bachet gibi, bir fonksiyonun ekstremumunun bir işareti için, en azından noktalarda farklı bir sıraya benzer bir tane gerektirecektir.

Ekstremumun ilk yeterli işareti, kritik noktadan geçişin ilk iyi saatinin işaretinin değişiminin iyileştirilmesiyle formüle edilir. Ekstremumun başka bir işareti hakkında, aşağıda § 6.4'e bakın.

Teorem (ekstremumun ilk işareti) : YakschoX 0 - Fonksiyonun kritik noktasıy=f(x) ve noktanın gerçek çevresindeX 0 , sağdan zlіva geçerek, pokhіdna işareti uzatmaya değiştirir, sonraX 0 є uç nokta. Ayrıca, zıt işareti “+”dan “-”ye değiştirildiğinden,X 0 maksimum noktadır vef(x 0 ) fonksiyonun maksimumudur ve işaretin “-”den “+”ya değiştirilmesine benzer, sonraX 0 minimum noktadır vef(x 0 ) - Minimum işlev.

Giymek için aşırı görünüyor yerel(Misceviy) karakteri ve duyarlılığı kritik noktanın küçük eteklerinde.

Ekstremum noktaları ve genişleme noktaları, monotonluk aralığının atanan işlevinin alanını böler.

Örnek 6.3.Örneğin 6.1. kritik noktaları biliyorduk X 1 =0 і X 2 =2.

Elbette bu noktalarda doğru olan fonksiyondur. y=2x 3 -6x 2 +1 ekstremum olabilir. її pokhіdnu'da hayal edin
anlam X, alınan zliva ve noktada sağ elini kullanan X 1 =0 örneğin varoşların yakınında dosit yapmak, x=-1і x = 1. alınmış. Oskіlki pokhіdna işareti “+” dan “-” ye değiştirin, ardından X 1 =0 - fonksiyonun maksimumunu ve maksimumunu işaret edin
. Şimdi iki değer alıyoruz x = 1 i x = 3 başka bir kritik noktanın yakınından X 2 =2 . Zaten gösterildi ki
, a
. Oskіlki pokhіdna işareti “-” den “+” ye değiştirin, ardından X 2 =2 - Asgari puan. Ve en azından işlevler
.

Rüzgarı kesintiye uğratmadan fonksiyonun en fazla ve en az değerini bilmek
en çok ve en azını seçen sargının tüm kritik noktalarında ve kıvrımlarında її değerlerini hesaplamak gerekir..

6.3. Fonksiyon grafiğinin şişme ve büzülme belirtileri. bükülme noktaları

Türevlenmiş fonksiyonun grafiğine denir.opuklimaralıkta, roztashovaniya'nın şarapları gibi, o aralıktaki dotichnu'nuz olup olmadığı için daha düşük;aşağı eğilmek (aşağıya doğru eğilmek)aralıkta yakscho vіn raztashovaniya vshee be-yakої dotichї.

6.3.1. Grafiklerde gerekli ve yeterli şişme ve büzülme belirtileri

a) Gerekli işaretler

fonksiyon programı nediry=f(x) tümör aralıkta(a, b) o zaman arkadaş iyidir
hangi aralıkta; program olarakgözdağı üzerinde(a, b) , sonra
üzerinde(a, b) .

P st zamanlama işlevi y=f(x) tümör (a, b) (Şekil 6.3a). Yakshcho dotichna kovzaє vzdovzh şişmiş çarpık zlіva sağa, її kut kötü değişiyor (
), aynı zamanda, son nokta katsayısı değişiyor, bu da ilk kez değiştiği anlamına geliyor
üzerinde (a, b) . Ancak ale, çekinik fonksiyona benzediği için birincisine benzer, ancak negatif olabilir, tobto
üzerinde (a, b) .

fonksiyon programı nedir gözdağıüzerinde (a, b) , Bu, mirkuyuchi benzer şekilde, Bachimo, dotik bir vzdovzh eğrisi oluştururken (Şekil 6.3b) hastalıklı bir dotik büyümeyi keser (
); Ve büyüyen bir fonksiyon gibi görünse bile pozitif olabilir, yani
üzerinde (a, b) .

b ) Yeterli işaretler

İşlev için beğeny=f(x) tüm noktalar aynı aralığa sahip olacak
, sonra fonksiyonun grafiğigözdağı hangi aralıkta ama nasıl
, sonratümör .

"Kural Doshu" : Başka bir pokhіdnoї pov'yazuvati z şişmiş ve grafiğin kavisli yayından hangisinin bir işaretini hatırlamak için şunu hatırlamanız önerilir: artı su çarpık lunatlarda, "eksi su" - şişkin aylarda (Şekil 6.4).

Krapka grafikleri kesintisiz fonksiyonşişkinliğin chi navpak'ın şişkinliğine dönüştüğü, denirbükülme noktası .

Teorem (bükülme noktasının işareti için yeterlidir).

Yakscho noktada işlev
dvіchі, arkadaşın bu noktada sıfıra veya sıfıra benzer olduğunu ve hatta noktadan geçerken bile ayırt etti. iyi arkadaş
işareti ve ardından noktayı değiştirin є bükülme noktası. bükülme noktası koordinatları
.

Bazı arkadaşlar için sıfıra dönmek veya dönmemek mümkün olan noktalara farklı türden kritik noktalar denir.

Örnek 6.4. Bükülme noktalarını bilin ve eğrinin şişme ve girinti aralıklarını belirtin
(Gaus Eğrisi).

R çözüm. Arkadaşın pokhіdnі olduğunu pershu biliyoruz:
,. Bir arkadaş senin için iyidir . Sıfıra eşittir ve virishima otrimane eşittir
, de
ayrıca
, yıldızlar
,
- Farklı türden kritik noktalar. Kritik noktayı geçmek için başka bir iyi saatin işaretinin değişimini tersine çevirmek
. Yakscho
örneğin,
, sonra
, ancak
örneğin,
, sonra
Tobto arkadaşı tabelayı değiştir. otze,
- bükülme noktasının apsisi, її koordinatları
. parite fonksiyonları aracılığıyla
benekli
, simetrik nokta
, tezh bir büküm noktası olacaktır.

Teorem (birincisi Umov'un ekstremumu için yeterlidir). Fonksiyon noktada kesintiye uğramasın ama noktadan saat geçerse işaret değişir. Todi - ekstremum noktası: maksimum, yani işaret "+"dan "-"ye ve minimuma, yani "-" ila "+" arasında değişir.

getiriyor. için i ile gel.

Lagrange teoremi için , de .Todі yakshcho, o zaman; Buna , otzhe, , veya . İyi o zaman; Buna , otzhe, veya .

Otzhe, yakındaki herhangi bir noktada scho, tobto getirdi. fonksiyonun maksimum noktasıdır.

Minimum nokta teoreminin ispatı da benzer şekilde yapılır. teorem tamamlandı.

Saat noktadan geçer geçmez işareti değiştirmez, o zaman nokta ekstremum değildir.

Teorem (Umov'un ekstremumu için bir arkadaş yeterlidir). Noktanın, 0 () türevi olan benzer bir fonksiyonu olsun ve diğeri sıfır noktasına () benzer ve noktanın aktif komşuluğunda kesintisizdir. Todi - uç nokta; hangi noktada minimum ve hangi noktada maksimum.

Ekstremumu çözmek için ilk yeterli nedenden sonra ekstremum fonksiyon tanıma algoritması.

1. Hileyi bilin.

2. Fonksiyonun kritik noktalarını belirleyin.

3. Cildin kritik noktasında solak ve sağlak işaretlerini takip edin ve aşırılıkların tezahürü hakkında visnovo'nun büyümesi.

4. Fonksiyonun uç değerlerini bilin.

Ekstremumu ortadan kaldırmak için başka bir yeterli nedenin yardımı için ekstremum fonksiyon tanıma algoritması.

1. Hileyi bilin.

2. Arkadaş pokhіdnu'yu tanıyın.

3. Bu noktaları bilin, yakikh.

4. Bu noktalara bir işaret atayın.

5. Zrobiti vysnovok ekstremumların doğası hakkında.

6. Fonksiyonun uç değerlerini bilin.

popo Bakmak . Biliyoruz . Daly, i için. Dolіdzhuєmo, ilk yeterli zihin ekstremumunun yardımı için kritik noktalar. Belki, ne için ben at , ben at . i noktalarında işaretlerini değiştirmek daha iyidir: "+" ile "-" ve "-" ile "+". Tse, nokta fonksiyonunun bir maksimuma ve noktanın bir minimuma sahip olduğu anlamına gelir; . Denkleştirme için, başka bir yeterli akıl ve ekstremumun yardımıyla kritik noktaya ulaşmalıyız. Bir arkadaşın öleceğini bilelim. May: ve tse, noktanın bir maksimum işlevi olduğu ve noktanın bir minimumu olduğu anlamına gelir.

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotiğini anlama. Yatay, zayıf ve dikey asimptotikler. uygulamak.

Randevu. p align="justify"> Fonksiyonun grafiğinin asimptotu, düz çizgi olarak adlandırılır; bu, grafiğin noktası noktadan çok uzakta olmadığında, noktadan düz çizginin merkezine doğru sıfıra hareket etmenizi sağlar. koordinat koçanı.

Dikey (Şekil 6.6 a), yatay (Şekil 6.6 b) ve sallanma (Şekil 6.6 c) asimptotlarını ayırt edin.

Şek. 6.6a gösterilir dikey asimptot.

Şekil 6.6b'de - Yatay asimptot.

Şek. 6.6v - asimptot.

Teorem 1. Dikey asimptotların noktalarında (örneğin, ) fonksiyon, doğrular arasındaki farkı bilir ve noktaların sağ tarafı:

Teorem 2. Büyük olanı bitirmek ve nihai sınırları belirlemek için işlev atansın

І .

O zaman düzdür, fonksiyonun grafiğinin eski püskü bir asimptotu.

Teorem 3.İşlevin dosit büyük ve işlevler arasında atanmasına izin verin. O zaman düz çizgi, fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotu olur.

Yatay asimptot є biz buna kötü asimptot diyoruz, eğer . Buna göre, düz bir çizgide eğrinin yatay bir asimptotu olmasına rağmen, o düz çizgide kötü ve kötü şans yoktur.

popo Fonksiyonun grafiğinin asimptotiğini bilir.

Çözüm. Bu noktada, fonksiyon atanmamış, bu noktada solak ve sağlak fonksiyonları arasında biliyoruz:

; .

Ayrıca, dikey bir asimptottur.

İşlevlerin takibi ve programlarının teşvik edilmesi için ana şema. popo

Takip fonksiyonunun genel şeması Bu, її grafiğini ister.

1. Hedef alanı bilin.

2. Parite - unparity fonksiyonunu takip edin.

3. Genişleme noktasının düşey asimptotiğini bilin (є gibi).

4. Tutarsızlıkta fonksiyonun davranışını takip edin; yatay ve hastalıklı asimptotları bilir (є gibi).

5. Fonksiyonun monotonluğunun ekstremum ve aralıklarını bulun.

6. Ek noktaları bilmek için şematik bir diyagram için gerekli olduğundan, i koordinat eksenli grafiğin doğrusunun noktalarını bulun.

7. Programı şematik olarak çağırın.

Ayrıntılı şema takip fonksiyonları grafikleri teşvik eden .

1. Hedef bölgeyi bilin .

a. Yakshcho є znamennik, vin 0'da zratatisya'dan suçlu.

b. Eşleştirilmiş aşamanın kökünün alt kökü negatif olmayabilir (sıfırdan büyük veya sıfıra eşit).

c. Sublogaritmik virüs pozitif olabilir.

2. Eşlik - eşitsizlik için işlevi izleyin.

a. Yakscho , ardından işlev eşleştirilir.

b. Yakshcho , o zaman işlev eşleştirilmemiş.

c. Yakshcho vikonano değil hayır, hayır , o zaman küresel görünümün işlevidir.

3. Genişleme noktasının dikey asimptotiğini bilin (є gibi).

a. Dikey asimptot, atanan işlevin ara bölgelerinde daha az belirgin olabilir.

b. Yakscho (veya ), daha sonra grafik asimptotu dikeydir.

4. Tutarsızlık içinde işlevin davranışını izleyin; yatay ve hastalıklı asimptotları bilir (є gibi).

a. Yakscho, grafiğin asimptotu yataydır.

b. Yakshcho ben o zaman düz çizgi, grafiğin zayıf bir asimptotudur.

c. A, b paragraflarında belirtilen sınırlara gelince, yalnızca tek taraflı pragnennі ile tutarsızlık (veya ) ile mümkündür, o zaman asimptotikler tek taraflı olarak alınacaktır: sol taraflı ise ve sağ taraflı ise.

5. Fonksiyonun uç noktalarını ve monotonluk aralıklarını bulun.

a. Pokhidnu'yu bilin.

b. Kritik noktaları bilin (ti noktaları, de chi de nemaє).

c. Sayısal eksende, belirlenen alanı ve її kritik noktalarını belirleyin.

d. Sayısal aralıkların içeriğinin derisinde, bir sonrakinin işaretini işaretleyin.

e. Benzer araştırmaların belirtilerine göre, bu türlerde aşırılıkların tezahürü hakkında visnovoks.

f. Aşırı değerleri bilin.

g. Büyüme ve değişim hakkında bıyıkların yürüyen büyümesinin belirtilerine göre.

6. Ek noktaları bilmek için şematik bir diyagram için gerekli olduğu için i koordinat eksenli grafiğin doğrusunun noktalarını bilin.

a. Schob, grafiğin çizgisinin noktalarını vіssyu'dan bilmek için çizgiyi ayırmak gerekir. Noktalar, de sıfır, z vyssyu grafiğinin doğrusunun noktaları olacaktır.

b. Grafiğin doğrusunun noktası üstten görülebilir. Vaughn іsnuє, belirtilen işlevin alanına girmek için bir noktaya daha az benziyor.

8. Şematik olarak programı çağırın.

a. Koordinat sistemini ve asimptotları indükleyin.

b. Aşırı noktaları belirtin.

c. Koordinat eksenleri ile grafiğin kırılma noktalarını belirtin.

d. Grafiği, belirlenen noktalardan geçerek ve asimptotlara yaklaşacak şekilde şematik olarak indükleyin.

popo Fonksiyonu takip edin ve її programını şematik olarak indükleyin.

2. - vahşi bir zihnin işlevi.

3. Oskіlki i , sonra düz çizgiler є dikey asimptotlar; noktalar noktalı. , ne zaman atanan fonksiyon alanına girmeyin