Independența integralei curbilinii față de contur. Spălați independența integralei curbilinii de al doilea fel în modul de integrare. Spălați independența integralei curbilinii în direcția de integrare

Al doilea fel de integrare

Să ne uităm la integrala curbilinie de al 2-lea fel, unde L este o curbă care leagă punctele M și N. Fie ca funcțiile P(x, y) și Q(x, y) să poată merge neîntrerupt privat în zona reală D, în care se află suprafața Curba L. În mod semnificativ, în unele analize, integrala curbilinie nu poate fi depusă în forma curbei L, doar punctele M și N sunt extinse.

Desenăm două curbe suplimentare MSN și MTN, care se află la distanța D și conectează punctele M și N (Fig. 14).

Să spunem, ce, tobto

de L - buclă închisă, pliere din curbele MSN și NTM (de asemenea, se pot adăuga mai multe). În acest fel, independența minții a integralei curbilinii de al 2-lea fel în modul de integrare este egală cu mintea că o astfel de integrală din spatele oricărei bucle închise este egală cu zero.

Teorema 5 (teorema lui Green). Dați în toate punctele ariei reale D funcțiile P(x, y) și Q(x, y) și tranzițiile lor private. Apoi, pentru ca un contur L închis, care se află în regiunea D, să fie

necesar și suficient pentru toate punctele regiunii D.

Aducând.

1) Prosperitate: lasa-ti mintea sa plece = vikonano. Să ne uităm la un contur mai închis L al regiunii D, care înconjoară regiunea S, și să scriem formula lui Green pentru cea nouă:

Otzhe, suficiența adusă.

2) Necesitate: să zicem că mintea a fost înscrisă în punctul pielii din zona D, dar dacă vrei să găsești un punct în centrul zonei, în care -? 0. Haide, de exemplu, în punctul P(x0, y0) poate: - > 0. Deci, deoarece partea stângă a nervozității are o funcție neîntreruptă, va fi pozitivă și mai mare pentru o zi? > 0 în regiunea mică D`, pentru a răzbuna punctul P. Otzhe,

Luarea în considerare a formulei lui Green este esențială că

de L` - conturul care înconjoară zona D`. Tsey rezultat superchit minte. De asemenea, = în toate punctele regiunii D, care era necesar să se aducă.

Respect 1. În mod similar, pentru un spațiu trivi-lumesc, se poate aduce că mințile necesare și suficiente ale independenței integralei curbilinii.

în direcția integrării є:

Nota 2. Când vykonanninі minți (52) viraz Pdx + Qdy + Rdz є diferenţial superior functie reala. Acest lucru vă permite să calculați calculul integralei curbilinii până la valoarea diferenței specificate și la sfârșitul și punctele de porumb ale conturului de integrare, scalare

Pentru care funcție i pot fi cunoscut din formulă

de (x0, y0, z0) - punctul regiunii D și C - a devenit suficient. Într-adevăr, este ușor de confundat faptul că funcțiile private date prin formula (53) sunt egale cu P, Q și R.

fundul 10.

Calculați integrala curbilinie de al 2-lea fel

de-a lungul curbei complete, care leagă punctele (1, 1, 1) și (2, 3, 4).

Să mergem mai departe, ce cred viconii (52):

Otzhe, funcția este prezentă. Știm її în spatele formulei (53) prin stabilirea x0 = y0 = z0 = 0. Atunci

În acest rang, funcția și este determinată cu precizie până la un dodanku de postare suficient. Presupunem Z = 0, atunci u = xyz. Otzhe,

Să ne uităm la integrala curbilinie

luând după un deak cu o curbă plată L, care leagă punctele Mі N. Să presupunem că funcțiile P(x, y)і Q(x, y) pot fi vacanțe private neîntrerupte în zona pe care o puteți vedea D. Desigur, pentru astfel de minți de scriere, o integrală curbilinie nu poate fi sub forma unei curbe L, și să se depună numai în poziția cobului și a punctului final Mі N.

Să ne uităm la alte două curbe MPNі MQN, care se află în apropierea zonei deschise Dși puncte de legătură Mі N. Haide

(1)

Apoi, pe baza puterilor 1 și 4, integralele curbilinii pot fi:

tobto. integrală în buclă închisă L

În restul formulei, integrala curbilinie a prelevarilor de-a lungul unui contur închis L pliat din curbe MPNі NQM. Contur Tsey L puteți, evident, vvazhati dovilnym.

În acest rang, ține cont:

deci, pentru oricare două puncte M și N, integrala curbilinie nu se află sub forma unei curbe, ci numai sub forma unei curbe, ci se află doar în poziția acestor puncte, în continuare, ce integrala curbilinie din spatele oricărui contur închis este egală cu zero .

Visnovok corect și rău:

dacă integrala curbilinie din spatele oricărei bucle închise este egală cu zero, atunci această integrală curbilinie nu poate fi sub forma unei curbe, care este între două puncte, și se culcă numai în taberele de tsikh punct . E adevărat, scho de echivalență (2) echivalență exuberantă (1)

Teorema

Fie ca funcțiile P(x, y), Q(x, y) să fie utilizate în toate punctele regiunii deaco D simultan cu propriile lor private și fără întrerupere. Apoi, pentru a avea o integrală curbilinie în spatele oricărei bucle închise L, care se află la marginea camerei, ajungând la zero, atunci. shob

(2΄)

echivalența vikonannya necesară și suficientă

în toate punctele zonei D.

Aducând

Să aruncăm o privire mai atentă asupra circuitului închis Lîn regiunea D iar pentru cel nou scriem formula lui Green:

Dacă mintea câștigă (3), atunci integrala subestimată, care costă răul, este și ea egală cu zero i, atunci,

Într-o asemenea manieră, suficienta spala (3) adus.

Să-l aducem acum necesitate minte, tobto. este posibil ca uniformitatea (2) să fie victorioasă pentru orice curbă închisă Lîn regiunea D, apoi în punctul de piele al regiunii, mintea este învingătoare (3).

Este acceptabil, pe de altă parte, că gelozia (2) învinge, tobto.

iar Umov (3) nu câștigă, tobto.

bi fierbinte într-un punct. Haide, de exemplu, punctul de cânt poate fi nervos

Deoarece partea stângă a nervozității are o funcție neîntreruptă, va fi pozitiv și mai mult de un anumit număr în toate punctele pentru a ajunge într-o zonă mică pentru a răzbuna punctul. Vіzmemo podvіyny іntegrа іn іy galluzі vіd raznitsi. Vin matime are un sens pozitiv. Adevărat,

Ale în spatele formulei Green, partea stângă a restului denivelării este mai aproape de integrala curbilinie peste interregiune, care, în spatele cotelor, este mai aproape de zero. Otzhe, ostannya nerіvnіst supercheat minds (2), otzhe, pripuschennya, scho on vіdminu vіd zero care doresc să fie la un moment dat, nu așa. Sună țipăt, ce

în toate punctele D.

Otzhe, teorema s-a terminat din nou.

La ora nunții egalilor diferențiați, a fost adus în minte

echivalează cu faptul că viraz pdf + Qdyє cea mai recentă diferență a funcției curente u(x, y), apoi.

Ale în tsomu vipadku vector

є funcție de gradient u(x, y);

Funcţie u(x, y), gradientul este similar cu vectorul potenţial care vector.

Spune-ne asta care are o integrală curbilinie În spatele oricărei curbe L, care leagă punctele M și N, diferența dintre valorile funcției i în aceste puncte:

Aducând

Yakscho Рdx + Qdyє diferența superioară a funcției u(x, y), apoi mă voi uita la integrala curbilinie

Pentru calculul acestei integrale scriem alinierea parametrică a curbei L, care leagă punctele Mі N:

Viraz, în ce să stea la temple, să funcționeze t, care este o funcție complet similară conform t. Tom

Yak mi bachimo, integrala curbilinie sub forma unei diferenţiale continue nu poate fi sub forma unei curbe, pentru care este necesară integrarea.

În acest mod:

luați în considerare independența integralelor curbilinii de al doilea fel formează modul de integrare astfel:

Yakshcho în deakіy galuzі P(x, y)і Q(x, y) fără întrerupereîmpreună cu propriul i, apoi:

1. în zonă D nu minți în formă modalitati de integrare, yakscho yogo adică în spatele unei curbe shmatkovo-netede, scho to lie at tsіy galuzі and mum zagalny cob і zagalny kіnets in orice caz.

2. integral uzdovzh fi-ca o curbă închisă L, care se află în regiune D este egal cu zero.

3. Funcția principală u(x, y), pentru yakoї viraz pdx+qdyІsnuє povny diferenţial, atunci.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

la punctul de piele al zonei D.

Pentru calculul integralei, pentru a nu cădea în conturul integrării

apoi alegeți ca calea cea mai navigativă de integrare a lamanului, ca punctele de legătură și lanka să fie paralele cu axele Ox și Oy.

Pidintegral Viraz P(x, y)dx + Q(x, y)dy pentru numirea minţilor diferenţial superior funcții de acțiune u = u(x, y) tobto.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

funcţie u(x, y)(original) poți ști cum să calculezi cea mai comună integrală curbilinie de către lamania de - fie că este un punct fix, B(x, y) – punct de schimbare, iar punctul este coordonata maximă X acea . Todi vzdovzh maєmo că dy = 0, și vzdovzh maєmo x = constі dx = 0.

Să luăm această formulă:

În mod similar, integrând lamanoy de otrimaemo

aplica

1. calculati

Această integrală ar trebui să fie depusă de-a lungul conturului de integrare, deoarece

Alegem ca modalitate de integrare a lamanului, liniile sunt paralele cu axele de coordonate. Pe prima ramura:

În altă locație:

Otzhe,

2. Afla mai intai u, ca

Hai și conturează Inainte deє lamana OMN. Todi

3. Știi, yakscho

Aici, este imposibil să luăm punctul cob de coordonate, pentru că în acest punct al funcției P(x, y)і Q(x, y) nealocată, pentru asta, o luăm ca punct, de exemplu,. Todi

4. Cunoașteți zona, înconjurată de elips

Aria figurii, ciufulită în zona CUM și înconjurată de o linie închisă C, se calculează conform formulei

de contur Z este ocolit în sens pozitiv.

Să transformăm integra curbilinie într-o melodie, creând o schimbare

Parametru t trece valori de la 0 la 2?

Un asemenea rang

3. Cea mai mare integrală curbilinie pe lungimea arcului L yakscho L– cicloidul de conopidă

SARCINI PE TEMA „CURVILINE INTEGRAL”

Opțiunea 1

De L este un triunghi al dreptei punctelor A(0;-2) și B(4;0) situate pe planul XOY.

vzdovzh lamanoї L:OAB, de O(0,0), A(2,0), B(4,5). Ocoliți conturul săgeții anti-an.

În spatele coordonatelor, ca L este arcul elipsei, care se află în primul sfert.

De L este conturul unui tricot cu vârfurile A(1,1), B(2,2), C(1,3). Ocoliți conturul săgeții anti-an.

și cunoașteți yoga.

7. Câmpul de forță este creat de forța F(x, y), care permite fixarea mai multor puncte în cob de coordonate și direct către cob de coordonate. Să cunoască robotului puterea câmpului, aplicată la deplasarea punctului material al unei singure mase de-a lungul arcului parabolei y2 = 8x de la punctul (2; 4) la punctul (4; 4).

Opțiunea 2

1. Calculați integrala curbilinie peste marginea arcului (coordonate carteziane).

De L este o contracție a unui punct drept care leagă O (0; 0) și A (1; 2).

2. Calculați integrala curbilinie unde L este un arc parabolic de la punctul A(-1;1) la punctul B(1,1). Ocoliți conturul săgeții anti-an.

3. Calculați integrala curbilinie yakscho L - miza arcului ce se află în 1 și 2 pătrate. Ocoliți conturul din spatele săgeții anului.

4. Formula lui Zastosovuyuchi Green, calculați integrala, de L - conturul, soluțiile liniei și axa opusă OX atunci când ocoliți conturul săgeții anti-Godinnikov.

5. Stabiliți cum se calculează independența minții a integralei în direcția integrării pentru integrală și cunoașteți yoga.

6. Revizuiți, sarcinile chi є cu o nouă diferență a funcției U(x, y) și cunoașteți її.

7. La punctul de piele al câmpului de forță, forța poate fi direct negativă și egală cu pătratul abscisei punctului programului. Să cunoască câmpul robotului atunci când se deplasează o singură masă parabolică din punctul (1,0) în punctul (0,1).

Opțiunea 3

1. Calculați integrala curbilinie peste marginea arcului (coordonate carteziane).

1. de L - arcul parabolei este văzut de parabolă.

2. Calculați integrala curbilinie Yakscho L-wire este o linie dreaptă, care leagă punctele A(0,1), B(2,3). Ocoliți conturul săgeții anti-an.

3. Calculați integrala curbilinie deoarece L este arcul primului arc al cicloidei. Ocoliți conturul din spatele săgeții anului.

4. Formula lui Zastosovuyuchi Green, calculați integrala de L – elіps Obkhіd conturul săgeții anti-godinnikov.

5. Stabiliți cum se calculează independența minții a integralei în direcția integrării pentru integrală și cunoașteți yoga.

6. Revizuiți, sarcinile chi є cu o nouă diferență a funcției U(x, y) și cunoașteți її.

7. Calculați puterea robotului și ora de mișcare a punctului material din jumătatea superioară a elipsei din punctul A (a, 0), punctul B (-a, 0).

Opțiunea 4.

1. Calculați integrala curbilinie peste marginea arcului (coordonate carteziane).

1. de L - conturul unui pătrat

2. Calculați integrala curbilinie unde L este arcul parabolei punctului А(0,0), până la punctul (1,1). Ocoliți conturul săgeții anti-an.

3. Calculați integrala curbilinie yakscho L - jumătatea superioară a elipsei Ocoliți conturul din spatele săgeții anului.

4. Folosind formula Green se calculează integrala de L - conturul tricotului cu vârfurile A (1; 0), B (1; 1), C (0,1). Ocoliți conturul săgeții anti-an.

6. Revizuiți, sarcinile chi є cu o nouă diferență a funcției U(x, y) și cunoașteți її.

7. Se aplică o forță în punctul de piele al țărușului, cu proiecții pe axa de coordonate є Atribuiți forța robotului pentru ora de mișcare a punctului material de-a lungul țărușului. De ce robotul costa zero?

Opțiunea 5.

1. Calculați integrala curbilinie peste marginea arcului (coordonate carteziane).

De L - o linie dreaptă care leagă punctele 0 (0,0), і A (4; 2)

2. Calculați integrala curbilinie deoarece L este arcul punctului curbat care merge de la A(0,1) la punctul B (-1,e). Ocoliți conturul săgeții anti-an.

3. Calculați integrala curbilinie ca L - 1 sfert din miză Ocoliți conturul din spatele săgeții anului.

4. Formula lui Zastosovuyuchi Green, calculați integrala de L - contur, împrejurimi și ocolind conturul săgeții opuse.

5. Stabiliți cum se calculează independența minții a integralei în direcția integrării pentru integrală și cunoașteți yoga.

6. Revizuiți, sarcinile chi є cu o nouă diferență a funcției U(x, y) și cunoașteți її.

7. Câmpul este creat prin forță // = cale dreaptă pentru a seta tăietura din raza liniei drepte - vectorul punctului її zastosuvannya. Să cunoască câmpul robotului atunci când punctul material de masă m este mutat în spatele arcului țărușului de la punctul (a, 0) la punctul (0, a).

Opțiunea 6

1. Calculați integrala curbilinie peste marginea arcului (coordonate carteziane).

De L - un sfert de miză, care se află în cadranul I.

2. Calculați integrala curbilinie yakcho L - laman ABC, A (1; 2), B (1; 5), C (3; 5). Ocoliți conturul săgeții anti-an.

3. Calculați integrala curbilinie deoarece L este jumătatea superioară a mizei Ocoliți conturul din spatele săgeții anului.

4. Formula lui Zastosovuyuchi Green, calculați integrala de L - conturul, împrejurimile, ocolind conturul săgeții anti-godinnikov.

5. Stabiliți cum se calculează independența minții a integralei în direcția integrării pentru integrală și cunoașteți yoga.

6. Revizuiți, sarcinile chi є cu o nouă diferență a funcției U(x, y) și cunoașteți її.

7. Cunoașteți lucrul forței arcului, direct pe cobul de coordonate, deoarece punctul de stagnare al forței descrie săgeata opusă a sfertului elipsei ce se află în cadranul I. Mărimea forței este proporțională cu distanța punctului la cobul de coordonate.

Opțiunea 7.

1. Calculați integrala curbilinie peste marginea arcului (coordonate carteziane).

De L - parte a parabolei de la punctul (1, 1/4) la punctul (2; 1).

2. Calculați integrala curbilinie de L - vârful dreptei, care leagă punctele B (1; 2) și B (2; 4). Ocoliți conturul săgeții anti-an.

3. Calculați integrala curbilinie ca L - primul arc al cicloidei După conturul din spatele anului.

5. Stabiliți cum se calculează independența minții a integralei în direcția integrării pentru integrală și cunoașteți yoga.

6. Revizuiți, sarcinile chi є cu o nouă diferență a funcției U(x, y) și cunoașteți її.

7. Punctul material al unei singure mase se deplasează de-a lungul țărușului sub direcția forței, proiecțiile căreia se află pe axa de coordonate є . Induceți puterea pe stiulețul țepului de piele. Cunoașteți lucrul conturului.

Opțiunea 8.

1. Calculați integrala curbilinie peste marginea arcului (coordonate carteziane).

De L - conturul unui dreptunghi cu vârfuri în punctele 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2).

2. Calculați integrala curbilinie, de exemplu L este arcul parabolei de la punctul A (0; 0) până la punctul B (1; 2). Ocoliți conturul săgeții anti-an.

3. Calculați integrala curbilinie yakscho L - parte dintr-o miză 1. Ocoliți conturul din spatele săgeții anuale.

4. Formula lui Zastosovuyuchi Green, calculați integrala de L - conturul tricotului cu vârfurile A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1). Ocoliți conturul săgeții anti-an.

5. Instalați, chi vykonuetsya minte independența integrală în modul de integrare pentru integral și cunoaște yoga.

6. Revizuiți, sarcinile chi є cu o nouă diferență a funcției U(x, y) și cunoașteți її.

7. Punctul material se deplasează cu o elipsă pіd dієyu forța, a cărei valoare este punctul cel mai scump către centrul elipsei și este îndreptată spre centrul elipsei. Calculați puterea robotului, ca punct pentru a ocoli întregul elip.

Opțiunea 9.

1. Calculați integrala curbilinie peste marginea arcului (coordonate carteziane).

De L - arcul parabolei, care se află între puncte

A, (2;2).

2. Calculați integrala curbilinie unde L este o constricție a unei drepte, care leagă punctele A (5; 0) și B (0,5). Ocoliți conturul săgeții anti-an.

3. Calculați integrala curbilinie, cum ar fi L - arcul elipsei dintre puncte, care va arăta circumferința conturului din spatele săgeții anului.

4. Formula lui Zastosovuyuchi Green, calculați integrala de L - în jurul conturului săgeții contor.

5. Stabiliți cum se calculează independența minții a integralei în direcția integrării pentru integrală și cunoașteți yoga.

6. Revizuiți, sarcinile chi є cu o nouă diferență a funcției U(x, y) și cunoașteți її.

7. La punctul de piele al curbei, se aplică o forță, care proiecții pe axele de coordonate indică lucrul forței atunci când punctul material al unei singure mase este deplasat de-a lungul curbei din punctul M (-4; 0) până la punctul N (0; 2).

Opțiunea 10.

1. Calculați integrala curbilinie peste marginea arcului (coordonate carteziane).

De L - o linie dreaptă care unește punctele A

2. Calculați integrala curbilinie, de exemplu L este arcul curbei de la punctul A(1;0) la B(e,5). Ocoliți conturul săgeții anti-an.

3. Calculați integrala curbilinie deoarece L este arcul mizei ce se află la 1U pătrat. Ocoliți conturul din spatele săgeții anului.

4. Folosind formula Green se calculează integrala de L - conturul tricotului cu vârfurile A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2). Ocoliți conturul săgeții anti-an.

5. Stabiliți cum se calculează independența minții a integralei în direcția integrării pentru integrală și cunoașteți yoga.

6. Revizuiți, sarcinile chi є cu o nouă diferență a funcției U(x, y) și cunoașteți її.

7. Se aplică o forță punctului de piele al liniei, ale cărei proiecții sunt pe axa de coordonate. Calculați robotul afectat de forță atunci când punctul material este deplasat de-a lungul liniei de la M (1; 0) la punctul N. (0; 3).

Cursul 4

Subiect: Formula lui Green. Curățați independența integralei curbilinii în modul de integrare.

Formula lui Green.

Formula lui Green stabilește o legătură între o integrală curbilinie pe un contur închis Г pe un plan și o integrală inferioară pe o zonă înconjurată de un contur.

Integrala curbilinie peste un contur închis Г este indicată prin simbolul Contur închis Г începe în punctul principal al conturului și se termină în punctul B. Integrala de-a lungul unui contur închis nu se află dacă este selectat punctul B.

Numirea 1. Ocolirea conturului G este considerată pozitivă, deoarece la ocolirea conturului G, zona D devine stângă. P + - circuitul P ocolește direcția pozitivă, P - - circuitul ocolește direcția negativă. în sens opus

G+

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

Y=y 2 (x)

Y= y 1 (x)

Să ne uităm la integrala de bază

În mod similar, se poate argumenta că:

Din egalitățile (1) și (2) este necesar:

Otzhe,

Formula lui Green pentru omisiunile zdrobite a fost finalizată.

Respect 1. Formula lui Green rămâne corectă, ca între regiunea G D și liniile drepte reale, paralel cu axa 0X sau 0Y se deplasează mai jos în două puncte. Krim ts'ogo, formula lui Green este valabilă pentru regiuni n-stelare.

Spălați independența integralei curbilinii ca integrare în plan.

În acest paragraf, este ușor de înțeles, la viconanisti, de exemplu, integrala curbilinie este să cadă în direcția integrării și să cadă sub forma cobului și a punctelor finale de integrare.

Teorema 1. Pentru a avea o integrală curbilinie fără a se afla pe calea integrării într-o regiune cu o singură legătură, este necesar și suficient, astfel încât integrala, de a lua de-a lungul unui contur închis, shmatkovo-neted în această regiune, să ajungă la zero.

Dovada: Necesitatea. Se dă: a depune în direcţia integrării. Este necesar să se arate că integrala curbilinie din spatele unui contur închis, neted-neted este egală cu zero.

Să luăm un contur G închis, neted pe bucăți, lângă zona D. Pe conturul G, mai luăm câteva puncte B și C.

Oskіlki se află pe calea integrării, atunci

, apoi.

Prosperitate. Dat: integrală curbilinie Be-yakim zaknenim shmatkovo-contur neted la zero.

Este necesar să se demonstreze că integrala trebuie depusă în direcția integrării.

Să ne uităm la integrala curbilinie din spatele a două contururi amestecate-netede care leagă punctele B și C. În spatele minții:

Tobto. curbilinii

integrală a depune în direcția integrării.

Teorema 2. Mergeți fără întrerupere în același timp cu plimbări private și într-un spațiu cu o singură legătură D. Pentru a avea o integrală curbilinie a nu se pune jos pe calea integrării este necesar și suficient, astfel încât diviziunea D a fost învingătoare

Dovada: Suficiență. Dat: . Este necesar să aduci ce a depune în direcţia integrării. Pentru cine este suficient să aducă ce dovnyuє zero în spatele unui contur închis, shmatkovo-neted. Conform formulei lui Green, putem:

Necesitate. Dat: Prin teorema 1, integrala curbilinie a depune în direcţia integrării. Este necesar să aduci ce

6. Formula pentru valoarea medie a integralei sing.

7. Integrală peste limita superioară în schimbare. Yogo bezperervnіst acea diferențiere.

8. Formula Newton-Leibniz pentru integrala sing.

9. Calculul integralei sing pe părți și înlocuirea modificării.

10. Cusătura integrală sing (aria unei figuri plate, lungimea unui arc curbat, volumul învelișului corpului).

11. Înțelegerea seriei numerice ta yogo sumi. Criterii Koshі zbіzhnostі rând. Inteligența necesară.

12. Semne ale lui Delambert și Koshі zbіzhnostі ryadіv іz nevid'єmnimi membri.

13. Semn integral al seriei de numere Koshі zbіzhnostі.

14. Rânduri de număr semnificativ. Absolut acel zbіzhnist mental. Rânduri de semne. semnul Leibniz.

15. Serii funcționale. Suma este mică. Valoarea unui venit egal este scăzută. Criteriul Koshі rentabilitatea egală a seriei funcționale.

16. Semnul lui Weijerstra de a trăi chiar.

18. Rând de pas. teorema lui Abel.

19. Raza de viață a unui rând static. Formula Cauchy-Hadamard pentru raza razei seriei statice.

21. Funcții de schimbare bogată. Înțelegerea spațiului euclidian al n-lumilor. Un punct impersonal al spațiului euclidian. Secvența de puncte și limita її. Funcții desemnate pentru un număr mic de modificări.

22. Între funcţiile unui număr de schimbări. Funcție neîntreruptă. Sărbători private

23. Desemnarea funcției diferențiale a unui număr de variabile și її diferenţială. Pokhіdnі și diferențiale de ordine superioare.

24. Formula lui Taylor pentru bogățiile schimbării. Extremul funcției unui număr mic de variabile. Extremum mintal necesar. Ajunge minte extremum.

25. Integral susținut și yoga puterii. Zvedennya podvіynogo integral până la repetat.

27. Înlocuirea modificărilor în integrala a treia. Coordonate cilindrice și sferice.

28. Calculul ariei unei suprafețe netede, dat parametric și explicit.

29. Numirea integralelor curbilinii de primul și alt fel, puterea lor principală și calcul.

30. Formula lui Green. Curățați independența integralei curbilinii în modul de integrare.

31. Integrale superficiale de primul și alt fel, puterea lor principală și calcul.

32. Teorema lui Gaus-Ostrogradsky, notația її în forme de coordonate și vectoriale (invariante).

33. Formula Stokes, scrisă în forme de coordonate și vectoriale (invariante).

34. Câmpuri scalare și vectoriale. Gradient, divergență, rotor. Câmpuri potențiale și saline.

35. Operator Hamilton. (Nabla) yogo zastosuvannya (aplica).

36. Principalele concepte care se folosesc sunt ecuațiile diferențiale de ordinul întâi (ode) de ordinul întâi: soluția globală, integrala globală, curba integrală. Zavdannya Koshі, її semnificativ geometric.

37. Integrarea unei ode la primul ordin cu modificările care se împart, și la fel.

38. Integrarea odelor liniare de ordinul întâi și egalizarea lui Bernoulli.

39. Integrarea unei ode la primul fret în diferențiale polare. Multiplicator de integrare.

40. Egalități diferențiale de ordinul întâi, invariabil similare. Metoda de solicitare a parametrilor.

41. Echivalența ordinului n cu coeficienți constanți. Caracteristic egal. Sistem de soluție fundamentală (FSR) de aliniere omogenă, soluție globală de aliniere eterogenă.

42. Sistem de egalități diferențiale liniare de ordinul întâi. FSR al unui sistem omogen. O viziune strălucitoare a unui sistem omogen.

30. Formula lui Green. Curățați independența integralei curbilinii în modul de integrare.

Formula lui Green: Dacă C este închis între aria D și funcțiile P(x, y) și Q(x, y) împreună cu analogii lor privați de ordinul întâi fără întrerupere în zona închisă D (inclusiv cordonul C), atunci Formula lui Green este valabilă: în plus, ocolirea în jurul conturului C este selectată astfel încât zona D să fie stângă.

Trei prelegeri: Dați funcțiile date P(x,y) și Q(x,y) ca domenii neîntrerupte D în același timp din cele private de ordinul întâi. Integral peste cordonul (L), care este exact să se afle în regiunea D și să acopere toate punctele din regiunea D: . Pozitiv direct față de contur este astfel, dacă partea conturului este înconjurată de o mână stângă.

Independența lui Umov a integralei curbilinii a celui de-al doilea fel de cale de integrare. Este necesar să se înțeleagă suficient că integrala curbilinie de primul fel, care leagă punctele M1 și M2, nu se află în calea integrării, ci se află numai în cob și punctele finale, ecuanimitate:.

31. Integrale superficiale de primul și alt fel, puterea lor principală și calcul.

- Manager de suprafață.

Proiectăm S pe un plan xy, luăm o tablă D. Desenăm o placă D cu o linie de grilă pe piesa, care se numesc Di. Din punctul de piele al liniei pielii, trasăm linii paralele z, apoi i S este împărțit în Si. Adăugăm suma integrală: . Îndreptăm maximul diametrului Di la zero:, luăm:

Ce integrală de suprafață de primul fel

Așa intră în joc integrala de suprafață de primul fel.

Numire pe scurt. De regulă, există o graniță limitativă a sumei integrale, astfel încât nu se poate stă în calea împărțirii lui S pe parcela elementară Si și în alegerea punctelor, vin se numește integrală superficială de primul fel.

Când treceți de la x і y schimbat la u și v:

P integrala de suprafață poate avea toată puterea integralei stelare. Divele sunt mai mari în mâncare.

Scopul integralei de suprafață este de alt fel, care este puterea principală a acelui calcul. Legătură din integrala primului fel.

Fie dată suprafața S, înconjurat de o linie L (Fig. 3.10). Este posibil să adăugați două normale la suprafața S pe suprafața S, care nu poate fi un punct dublu cu cordonul L. Conturează punctul M în spatele conturului L, alegând normala dreaptă.

Dacă poziția punctului M se rotește de-a lungul aceleiași normale (și nu opuse), atunci suprafața S se numește cu două fețe. Putem privi doar suprafețele cu două fețe. Suprafață bilaterală - fie că este o suprafață netedă cu egală.

Fie S o suprafață deschisă cu două fețe, înconjurată de o linie L, astfel încât să nu existe punct de auto-încrucișare. Alegem aceeași parte a suprafeței. Să numim ocolirea directă pozitivă a conturului L o astfel de linie dreaptă, cu Rusia de cealaltă parte a suprafeței, suprafața în sine este lipsită de rău. O suprafață cu două fețe care este instalată pe ea într-o astfel de ordine pozitivă printr-o ocolire directă a contururilor se numește suprafață orientată.

Să trecem la o integrală de suprafață de alt fel. Să luăm o suprafață cu două fețe S, care este formată din numărul final de piese, piele din unele sarcini egale cu mintea, sau o suprafață cilindrică cu axe paralele satisfăcătoare Oz.

Fie R (x, y, z) - o funcție, atribuită și fără întrerupere pe suprafața S. După un număr de drepte, S este împărțit într-o ordine suficientă în n diagrame „elementare” ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi , ..., ΔSn, indiferent de punctele interne somnoroase. Pe spațiul pielii ΔSi, selectăm punctul Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) într-o ordine rezonabilă. Fie (ΔSi)xy aria proiecției graficului ΔSi pe planul de coordonate Oxy, luată cu semnul „+”, astfel încât normala la suprafața S în punctul Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) setează Vіsyu Oz este o tăietură ostilă și cu semnul „-”, ceea ce înseamnă că această tăietură este proastă. Adăugăm suma integrală pentru funcția R(x,y,z) peste suprafața S după modificarea x,y: . Fie λ cel mai mare dintre diametrele ΔSi (i = 1, ..., n).

Dacă există o limită finală, pentru a nu împiedica împărțirea suprafeței S pe graficul „elementar” ΔSi și alegerea unui punct, atunci vin se numește integrală de suprafață de-a lungul laturii alese a suprafeței S în funcție R (x, y, z) pentru coordonatele x, y (sau o integrală superficială de alt fel) și este atribuită .

În mod similar, este posibil să se inducă integrale de suprafață peste coordonatele x, z sau y, z de-a lungul părții opuse a suprafeței, adică. і .

Pe lângă toate integralele, puteți introduce o integrală „înaltă” pe partea opusă a suprafeței: .

O integrală superficială de alt fel poate fi dependentă de puterea integralei. Este mai respectuos că dacă orice integrală de suprafață de alt fel schimbă semnul schimbării laturii suprafeței.

Legătura dintre integralele de suprafață de primul și alt fel.

Fie ca suprafața S să fie egală: z \u003d f (x, y), în plus, f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) - funcții neîntrerupte lângă regiunea închisă τ (proiecția suprafeței S pe planul de coordonate Oxy), iar funcția R(x,y,z) este continuă pe suprafața S. laturile suprafeței S. Todi.

Pentru un zagalny vpadku maєmo: