Znajdź współrzędne środka masy linii jednorodnej. Jak obliczyć środek ciężkości płaskiej figury opisanej za pomocą całki fiszbinowej? Kolejność vikonany typowej rozrahunka

Poprowadzimy tyłek celu do środka masy ciała metodą jogi podіlu na granicy ciała, środka masy osób w domu.

tyłek 1. Wyznacz współrzędne środka masy jednorodnej płyty (ryc. 9). Oblicz zadania w milimetrach dziecko 9.

Rozwiązanie: Pokazujemy osie współrzędnych i . Rozbijamy talerz na kawałki, wykonane trzema prostymi cięciami. W przypadku odbytnicy skóry rysuje się przekątne, których punkty poprzeczki wskazują położenie środka masy odbytnicy skóry. W przyjętym układzie współrzędnych nie jest łatwo obliczyć wartości współrzędnych i punktów. I do siebie:

(-1; 1), (1; 5), (5; 9). Obszary skóry ciała ulegają umiarkowanej poprawie:

; ; .

Powierzchnia wszystkich płyt jest dobra:

Aby przypisać współrzędne do środka masy danej płytki, konieczne jest virazi (21). Reprezentujemy wartość wszystkich znanych wielkości ten człowiek jest równy, zajęty

Vіdpovіdno do otrimanih wartości współrzędnych do środka masy płyty, możesz określić punkt na maleńkim. Jak widać, środek masy (punkt geometryczny) płyty znajduje się za granicami.

Metoda dodawania. Tsej sposіb є chastkovy vpadkom sposób podіlu. Może zastosovuvatisya do końca, yakі mayut virіzi (pusty). Co więcej, bez vir_zanoї widoczna jest część położenia środka masy ciała. Spójrzmy na przykład na zastosuvannya taką metodę.

tyłek 2. Wyznacz położenie środka masy wagi okrągłej płyty o promieniu R, de є virіz o promieniu r (ryc. 10). Daj spokój.

Rozwiązanie: Podobnie jak Bachimo, z Rys.10 środek masy płyty leży na osi symetrii płyty, czyli na linii prostej odłamki są proste, cała symetria. Tak więc, aby przypisać pozycję do środka masy płyty, należy przypisać tylko jedną współrzędną, ale pozostałe współrzędne będą rysowane na osi symetrii i równe zeru. Pokażmy osie współrzędnych . Przyjmuje się, że płyta jest składana na dwa ciała - z nowego stosu (bez viriz) to ciało, jak nibi vikonane z viriz. W przyjętym układzie współrzędnych współrzędnymi do oznaczenia ciał są: .Obszary ciał to: ; . Całkowita powierzchnia całego ciała jest bardziej równa różnicy między obszarami pierwszego i drugiego ciała oraz

Oblicz wartości m, i konieczne jest dopasowanie wzorów (4), (5) i (7). W rezultacie bierzemy wzory na współrzędne do środka masy cienkiej płyty :

Butt 4 (obliczanie współrzędnych do środka masy jednolitego stroju)

Znajdź współrzędne środka masy jednorodnej figury otoczonej liniami i .

Po zainspirowaniu postaci zauważamy, że jest ona geometrycznie na zewnątrz i symetryczna jak linia prosta. praworęczny. Następnie za podanymi siłami fizycznymi kładziemy środek masy, na której wina znajdują się na osi symetrii, tak aby

Aby obliczyć, zsumuj moment statyczny i wygraj wzory (4) i (5):

;

Sugestia: C .

Dodatki do całek trzecich

Programy integracji dodatkowych są podobne do uzupełnień podcałek, ale tylko dla trywimerów.

Jeśli chcesz wygrać jedną z potęg całki potrójnej (o tej samej wartości funkcji, która jest również tą samą wartością jednostki), to idź wzór na obliczenie obowiązku bycia przestronne ciało :

Zapiszmy wzór na obyagu przez trzecia całka i obliczalna całka strat we współrzędnych cylindrycznych:

Vidpovid: (sam zobowiązuje).

Wzór na obliczenie masy obiektu trivimer, który pożycza objętość V, może wyglądać:

(13)

Oto objętość schіlnіst rozpodіlu masi.

Tyłek 6

Poznaj masę chłodnego promienia R jak przestrzeń jest proporcjonalna do sześcianu w środku i na pojedynczej ścianie k.

V: objętość elementarna ta .

Warto zauważyć, że przy obliczaniu całki trzykrotnej nie było już całek, a chipy całek wewnętrznych okazały się odłogiem w przypadku zmieniających się całek zewnętrznych.

Vidpovid: (pojedynczy masi).

Charakterystyka mechaniczna oprawy V(Momenty statyczne, momenty bezwładności, współrzędne do środka masy) obliczane są według wzorów, takich jak

składane przez analogię z formułami dla ciał dwuświatowych.

Podstawowe momenty statyczne i momenty bezwładności wzdłuż osi współrzędnych:

elementarne momenty bezwładności wzdłuż płaszczyzn współrzędnych i punktów na kolbie współrzędnych:

Dali, aby obliczyć charakterystykę mechaniczną całego obyagu V,Należy zsumować elementarne sumy cech dla wszystkich części podziału (zliczane są cechy o największej sile addytywności), a następnie przejść do granicy sumy, która była poza umysłem, że wszystkie zmienią się podstawowe części podziału (kontrakt na punkty). Ilości są opisane jako całkowanie elementarnego dodatku cech mechanicznych, które są obliczane, dla obligatoryjne V.

W rezultacie przyjdź wzory do obliczania momentów statycznych М i momentów bezwładności I trivimer do :

Zaprawdę, formułowali formuły jak zwycięskie, gdy byli gotowi, i prowadzili ich do virishuvaniy zadań.

Zastosuj 7 (obliczanie właściwości mechanicznych ciał trójwymiarowych)

Znajdź moment bezwładności jednolitego cylindra, którego wysokość h i promień podstawy R, jak do osi, która zbіgaєtsya o średnicy podstawy.

Wiemy d dla częściowego punktu cylindra:

przejdź do punktu o współrzędnych do osi – długość prostopadłej narysowanej od środka punktu do osi . Zróbmy płaszczyznę prostopadłą do osi, tak aby punkt leżał na tej płaszczyźnie. Potem prosto, która przecina wszystko i leży na tej płaszczyźnie, będzie prostopadła . Zokrema, czyli linia prosta, która łączy punkt i punkt, będzie prostopadła do osi, a jeśli staniesz między tymi punktami, będziesz shukaną d. Oblicz jogę dla podanej formuły między dwoma punktami.

3 Sumy podstawowych całek

3.1 Wprowadzenie teoretyczne

Rzućmy okiem na programy fiszbiny integralne na szczyt niskich zadań geometrycznych i zadań mechaniki.

3.1.1 Obliczanie powierzchni płaskiej płyty

Spójrzmy na cienką płytkę materiału D, rozbudowany w mieszkaniu Ohu. powierzchnia S Płytki tsієї można znaleźć za pomocą całki podprądowej dla wzoru:

3.1.2 Momenty statyczne. Środek masy płaskiej płyty

moment statyczny M x oś Shodo Wół punkty materialne P(x;tak) które leżą w pobliżu mieszkania Oxy i ma masu m, Nazywa się to punktami dobutok massi na rzędnej її, tobto. M x = mój. Podobnie moment statyczny M tak oś Shodo Auć: ­ ­ ­ M tak = mx. Momenty statyczne płaskie płyty z otworem powierzchniowym γ = γ (x, y) obliczane są według wzorów:

Jak widać z mechaniki, współrzędne x c tak cśrodki masy płaskiego układu materiałowego są określone przez równości:

de m- system Masa, oraz M xі M tak- Momenty statyczne układu. Waga płaskiej płyty m określone wzorem (1), momenty statyczne płaskiej płyty można obliczyć za pomocą wzorów (3) i (4). Todi, zgіdno z formuły (5), bierze się viraz za współrzędne do środka masy płaskiej płyty:

Typowy rozrahunok pomści dwa zadania. Lekarz skóry otrzymuje płaską płytkę D, otoczone liniami, pokazane dla umysłu zadania. G(x,y) - prześwit powierzchni płyty D. Aby poznać liczbę płyt: 1. S- Kwadrat; 2. m- Masu; 3. M tak , M x- Momenty statyczne dla osi Oyі Oh oczywiście; 4. , - Współrzędne środka masy.

3.3 Kolejność vykonannya typowego rozrahunku

Wykonując zadanie skórne należy: 1. Zdjąć krzesło z danego obszaru. Wybierz układ współrzędnych, dla którego będą obliczane podcałki. 2. Zapisz obszar wizualnego układu nieprawidłowości w wybranym układzie współrzędnych. 3. Oblicz obszar S ta masu m płytki według wzorów (1) i (2). 4. Oblicz momenty statyczne M tak , M x wzory (3) i (4). 5. Oblicz współrzędne środka masy korzystając ze wzorów (6). Środek masy nałożyć na fotel. Obwiniamy wizualną (jakiego) kontrolę za odebranie wyników. Liczby liczbowe można odjąć od trójki liczb.

3.4 Zastosuj typową szatę

Zadanie 1. talerz D otoczone liniami: tak = 4 – x 2 ; X = 0; tak = 0 (x ≥ 0; tak≥ 0) Grubość powierzchni γ 0 = 3. Rozwiązanie. Obszar określony w zadaniu otoczony jest parabolą tak = 4 – x 2 , osie współrzędnych i leżą w pierwszej ćwiartce (rys. 1). Zadanie jest modyfikowane w kartezjańskim układzie współrzędnych. Obszar ten można opisać systemem nieprawidłowości:

Ryż. jeden

powierzchnia S płyty są bardziej stabilne (1): ponieważ płyta jest jednolita, m = γ 0 S= 3 = 16. Za wzorami (3), (4) znamy momenty statyczne płyty: Współrzędne masy środka określa wzór (6): Sugestia: S ≈ 5,33; m = 16; M x = 25,6; M tak = 12; = 0,75; = 1,6.

Zadanie 2. talerz D otoczone liniami: X 2 + w 2 = 4; X = 0, w = X (X ≥ 0, w≥ 0). Grubość powierzchni γ (x,y) = w. Rozwiązanie. Płytka jest otoczona palikiem i prostymi liniami przechodzącymi przez kolbę współrzędnych (ryc. 2). Dlatego do wykonania zadania konieczna jest ręczna transkrypcja układu współrzędnych biegunowych. polarny kut φ zmienić z π/4 na π/2. Promin, przechodząc od słupka przez płytkę, „wchodzi” przed nim przy ρ = 0 i „wchodzi” w stawkę równą: X 2 + w 2 = 4 <=>p = 2.

Ryż. 2

Ponownie, dany obszar można zapisać systemem nieprawidłowości: Powierzchnia płytki znana jest ze wzoru (1): Masa płyty jest znana ze wzoru (2), zastępując γ (x,y) = y = ρ grzech φ :
Do obliczenia momentów statycznych płyty możemy wykorzystać wzory (3) i (4):
Współrzędne środka masy pobierane są ze wzorów (6): Sugestia: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; M x = 2,57; M tak = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 Projektowanie dźwięku

Gwiazdy mogą mieć reprezentację wszystkich foteli vikonan rozrahunka, zgrabnie vikonan. Liczby liczbowe można odjąć od trójki liczb.

– obliczenie środka ciężkości jest płaskie figura z frędzlami . Bogaty czytelnik intuicyjnie zrozumie jaki jest środek ciężkości, polecam powtórzyć materiał z jednej z lekcji geometria analityczna czy rozwiązałem zavdannya o środku ciężkości trikutnika i w przystępnej formie odszyfrowujące fizyczny termin.

Przy zadaniach niezależnych i kontrolnych, dla perfekcji, z reguły propagowany jest najprostszy vipadok - mieszkanie jest otoczone jednorodny postać, aby opublikować postiynoї siłę fizyczną - szkło, derev'yana, pewter'yana chavunnі іgry, twarda dziecinność jest cienka. Dali dla umovchannyam mova pіde tіlki o takich liczbach =)

Pierwsza zasada to najprostszy tyłek: mimo że postać jest płaska centrum symetrii, a następnie vin є środek ciężkości tsієї postać. Na przykład środek okrągłej jednolitej płyty. Jest logiczny i świadomy życia - masa takiej postaci jest „sprawiedliwie rozłożona ze wszystkich stron”, podobnie jak środek. Uwierz - nie chcę.

Jednak w rzeczywistości raczej nie dasz lukrecji eliptyczna tabliczka czekolady Tom będzie musiał poradzić sobie z poważnym narzędziem kuchennym:

Współrzędne środka ciężkości jednolitej płaskiej figury opisanej są objęte wzorami postępowymi:

, lub:

, de - obszar regionu (dane); ale pokrótce:

, de

Całka jest mentalnie nazywana całką „ixovima”, a całka to całka „igrom”.

Akceptacja-wykańczanie : do płaskich bruzd heterogeniczny figury, których szerokość podana jest przez funkcję, składane formuły:
, de - figurki Masa;w czasach jednolitej siły smród zostanie wybaczony wprowadzeniem większej liczby formuł.

O formułach, vlasne, wszystkie nowości i zakończenia, reshta - wszystkie twoje vminnya virishuvati całki subprowincjalne, do rzeczy, od razu liczy się na cudowną umiejętność wypracowania i doskonalenia swojej techniki. A dokładność, jak się wydaje, nie ma różnicy =)

Rzucanie dużą porcją parabol:

tyłek 1

Znajdź współrzędne środka vaga jednolitej płaskiej figury otoczonej liniami.

Rozwiązanie: linie tutaj są elementarne: ustaw całą odciętą, a równą - parabolę, aby łatwo było uzyskać pomoc geometryczna transformacja grafiki:

– parabola, Przesuń 2 jednostki w lewo i 1 w dół.

Cały fotel z gotowym punktem przyszywam do środka kapryśnej sylwetki:

Rządź przyjacielem: co ma postać cała symetria, to środek ciężkości tej figury musi leżeć na jej osi.

Nasza figura jest symetryczna do shodo proste więc właściwie już znamy współrzędną „ix” punktu „em”.

Ważne jest również, aby pamiętać, że środek ciężkości przemieszczeń znajduje się bliżej osi odciętej wzdłuż pionu, oscylatory mają masywną figurę.

Być może więc nie wszyscy zorientowali się jeszcze, jaki jest środek vagi: bądź miły, podnieś palec pod górę i umieść kropkę na nowej zacienionej „stopie”. Teoretycznie postać nie jest winna upadku.

Współrzędne środka ciężkości figury znane są ze wzorów de .

Kolejność omijania obszaru (liczby) jest tutaj oczywista:

Szacunek! Decyduje o tym najbardziej realna kolejność obejścia raz- I vikoristovuemo joga dla wszystkich zintegrowany!

1) Z tyłu obliczam powierzchnię figur. Dzięki oczywistej prostocie całki rozwiązanie można ułożyć zwięźle, smutku, aby nie pogubić się w obliczeniach:

Podziwiamy fotel i udajemy, że jesteśmy na placu. Viyshlo bіlya zrób to.

2) Współrzędna x środka ciężkości została już znaleziona „metodą graficzną”, więc możesz odwołać się do symetrii i przejść do następnego punktu. Jednak nadal nie jest to radża działać w ten sposób - wspaniale jest pomyśleć, że dobrym pomysłem jest odrzucenie formuły „wygraj formułę”.

Uszanuj, że tutaj można zajmować się obliczeniami w kolorze wina - czasami nie ma obowiązku sprowadzania ułamków do podwójnego standardu i męczenia kalkulatora.

W ten sposób:
, Co i trzeba wziąć.

3) Znamy rzędną środka ciężkości. Obliczmy całkę grecką:

A oś tutaj bez kalkulatora byłaby trudna. O każdej zmianie będę komentował, że w wyniku mnogości bogato podzielonych członków jest 9 członków, ponadto diakoni są do nich podobni. Podobne dodanki szczepiłam doustnie (jak brzmieć jak robiti na takich vipadkach) i natychmiast spisz sumę worka.

W rezultacie:
co jest coraz bardziej podobne do prawdy.

W końcowym etapie jest zaznaczony na plamce fotela. Dla umysłu nie było potrzeby robienia fotela, ale w większej liczbie chcę przedstawić postać, nawet jeśli nie chcę. Natomist to szalony plus - wizualna i skuteczna ponowna weryfikacja wyniku.

Vidpovid:

Przyjdź dwa niedopałki niezależnego rozwiązania.

tyłek 2

Znajdź współrzędne środka vaga jednolitej płaskiej figury otoczonej liniami

Przed przemówieniem, jak widać, jak parabola jest potargana i odwrócone kropki, w których wszystko jest przewrócone, to tutaj naprawdę można się obejść bez fotela.

І składanie:

tyłek 3

Znajdź środek vaga jednolitej płaskiej figury, otoczonej liniami

W trudnych momentach z harmonogramu pozabudżetowego vivchit (powtórz) lekcja paraboliczna i/lub kolba nr 11 statti Całki podwieszone do czajników.

Rozwiązanie Srazkovі zrazki jak lekcja.

Poza tym w archiwach na stronie można znaleźć kilkanaście podobnych aplikacji Gotowe rozwiązania dla Twojej matematyki.

Cóż, nie mogę pomóc, ale proszę kochanków zaawansowana matematyka, Jak często prosić mnie o uporządkowanie i ważne zadania:

tyłek 4

Znajdź środek vaga jednolitej płaskiej figury, otoczonej liniami. Figura tego її środka ciężkości jest przedstawiona na fotelu.

Rozwiązanie: umova tsієї zadachi vzhe kategorycznie vmagaє vykonannya fotel Aje vimoga nie nastіlki і formalnie! - Tsyu rysunek zdatna, aby odsłonić w umyśle osobę ze średniego poziomu treningu:

Prosta roz_kaє kolo na 2 części i dodatkowa osłona (Dz. nieregularności liniowe) Zwracam uwagę tym, że sam mogę pójść o mały shmatochok do cieniowania.

Postać jest symetryczna i wizualnie prosta (przedstawiona linią przerywaną), winny jest środek ciężkości leżący na tej linii. І oczywiste jest, że współrzędne Yogo są równe za modułem. Wytyczna, która praktycznie włącza ułaskawienie!

Teraz brudna nowość =) Na horyzoncie całka o niskim odbiorze z krosien korzeniowych, którą podobno przenieśliśmy z aplikacji nr 4 na lekcję Efektywne metody rozwiązywania integracji. A kto wie, co jeszcze jest tam namalowane. Byłoby dane przez obecność Cola Oczywiście nie wszystko jest takie proste. Linia prosta Rivnyannya zmienia się na pierwszy rzut oka a integracja może nie być prawdziwa (jeśli fanatycy chcą całki trygonometryczne oceniać). W zvyazku z tsim zwykle zupinitsya na współrzędnych kartezjańskich.

Kolejność omijania figury:

1) Oblicz powierzchnię figury:

Całka pierwsza z ujęcia wymiernego p_dvedennyam p_d znak różnicy:

A w kolejnej całości wykonamy standardową wymianę:

Policzmy nową interintegrację:

2) Wiemy.

Tutaj w 2. całce jest nowy zwrot metoda. Vіdpratsyuyte ta vіzmіt na ozbroєnnya qі optymalny (mam na myśli) zaakceptować rozwój typowych całek.

Po trudnym i trywialnym oblicz jeszcze raz bestialskie spojrzenie na fotel (pamiętaj, że punkty Nadal nie wiemy! ) i otrimuemo do pewnego stopnia moralnej satysfakcji ze względu na znalezioną wartość.

3) Vykhodyachi z przeprowadził wcześniejszą analizę, utracone pojednanie, scho.

Notatka:

Reprezentatywny punkt na krześle. Vіdpovіdno do umysłu receptariusza, zapiszemy її jako rezydualne dowód:

Podobne zadanie dla niezależnej wizji:

tyłek 5

Znajdź środek vaga jednolitej płaskiej figury, otoczonej liniami. Fotel Vikonati.

Interesuje nas fakt, że figura jest w nim podana do robienia drobnych wspomnień, a jeśli jest czas na przebaczenie, to wysoki poziom ognia zostanie „nie wykorzystany” w regionie. Co, bezperechno, dobre z punktu widzenia rozwiązania kontrolnego.

Srazkovy zrazok zaprojektowany jak lekcja.

Іnodi buvaє dotsіlnim przejście do współrzędnych biegunowych przy całkach dolnych. Patrz rysunek. Shukav-shukav w domu daleko tyłek Jeśli nie wiesz, pokażę Ci rozwiązanie dla pierwszego zadania demonstracyjnego przydzielonej lekcji:


Zgadnij, co w tym tyłku poszliśmy? współrzędne biegunowe, wyjaśnił procedurę omijania obszaru i virahuvali її obszar

Poznajmy środek ciężkości figur. Schemat jest taki sam: . Wartość jest widoczna bezpośrednio z fotela, a współrzędną „ix” można przesunąć nieco bliżej osi y, tam odłamki są rozrzucane przez masywną część piwa.

W całkach możemy użyć standardowych wzorów na przejście:

Ymovirno, lepiej na wszystko, nie mieli litości.