Дії nad matrycami i їх vyzniki. Główne operacje na macierzach (składanie, mnożenie, transpozycja) to ta sama moc. Operacja mnożenia macierzy

Macierze. Poruszaj się po macierzach. Dominacja operacji na macierzach. Zobacz macierz.

Matryce może być ważną wartością w matematyce stosowanej, którą można zapisać w prostej formie znaczącej części modele matematyczne obiekty i procesy. Termin „matryca” pojawił się w 1850 roku. Wcześniej matryce odgadywano w starożytnych Chinach, później u matematyków arabskich.

Matryca A=Amn kolejność m * n nazywa się prostoliniowa tablica liczb.

Elementy matrycy aij , dla których i=j nazywamy przekątnymi i główna przekątna.

Dla macierzy kwadratowej (m=n), przekątna głowy składa się z elementów a11,a22,...,ann.

Macierze rivnistów.

A=B tylko kolejność matryc Aі B jednak, że a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Poruszaj się po macierzach.

1. Dodawanie macierzy – operacja element po elemencie

2. Przeglądanie macierzy – operacja element po elemencie

3. Dodanie macierzy do liczby to operacja element po elemencie

4. Wiele A*B macierz według reguły rząd na górze(liczba kolumn w macierzy A może być równa liczbie wierszy w macierzy B)

Amk * Bkn = Cmn dlaczego element skóry? cześć matryce Cmn dodaj sumę elementów i-tego wiersza macierzy A i pozostałych elementów j-tej kolumny macierzy B, tobto.

Pokażmy działanie mnożenia macierzy na przykładzie

5. Linki u stóp

m>1 komórka data. A jest macierzą kwadratową (m=n) tobto. dotyczy macierzy kwadratowych

6. Transpozycja macierzy A. Macierz transponowana jest oznaczana przez A T lub A

Rzędy i kolumny zostały upamiętnione misjami

krupon

Moc operacji na macierzach

(A+B)+C=A+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Macierze Vidi

1. Prostokątne: mі n- całkiem pozytywne liczby

2. Kwadrat: m=n

3. Wiersz macierzy: m=1. Na przykład (1 3 5 7) - dla wielu praktycznych zadań taka macierz nazywana jest wektorem

4. Kuchenki Matrix: n=1. Na przykład

5. Macierz przekątna: m=nі a ij = 0, tak jak i≠j. Na przykład

6. Sama macierz: m=nі

7. Matryca zerowa: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Matryca trykotowa: wszystkie elementy poniżej przekątnej głowy równe 0.

9. Matryca symetryczna: m=nі a ij = a ji(stać równe elementy na symetrycznych przekątnych głowy), a także A”=A

Na przykład,

10. Pochyl macierz: m=nі a ij =-a ji(Dlatego na symetrycznych głównych przekątnych znajdują się elementy proteinowe). Również na głowie ukośnie stoją zera (ponieważ z i=j być może a ii =-a ii)

zrozumiałem A”=-A

11. Macierz hermitowska: m=nі a ii =-ã ii (ã ji- złożony - odebrany do Ji, następnie. yakscho A=3+2i, następnie kompleks - otrzymany Ã=3-2i)

Przypisanie usługi. Kalkulator macierzy przypisania dla pojawienia się wirusów macierzy, na przykład, takich jak 3A-CB2 lub A-1+BT.

Instrukcja. Do rozwiązania online konieczne jest ustawienie zmiennej macierzy. Na kolejnym etapie konieczne będzie doprecyzowanie wielkości matryc. Dozwolone operacje: mnożenie (*), dodawanie (+), dodawanie (-), odwrotna macierz A^(-1), obniżanie (A^2, B^3), transpozycja macierzy (A^T).

Dozwolone operacje: mnożenie (*), dodawanie (+), dodawanie (-), odwrotna macierz A^(-1), obniżanie (A^2, B^3), transpozycja macierzy (A^T).
Aby zobaczyć listę operacji, użyj wiklinowej plamki z przecinkiem (;). Na przykład dla vikonannya trzy operacje:
a) 3A + 4B
b) AB-BA
c) (A-B) -1
musisz to napisać tak: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

Macierz jest prostokątną tabelą liczbową, która ma m wierszy i n kolumn, więc macierz można schematycznie przedstawić patrząc na prostokąt.
Macierz zerowa (macierz zerowa) nazwij macierz, wszystkie elementy, które są równe zero i ustawione na 0.
Sama macierz nazywa się macierzą kwadratową

Dwie macierze A i B równe smród yakscho o tym samym rozmiarze i elementy vіdpovіdnі іvnі.
Matryca wirogenna wywoływana jest macierz, która jest równa zero (Δ = 0).

Znacznie podstawowe operacje na macierzach.

Dodanie matryc

Wizyta, umówione spotkanie. Suma dwóch macierzy A = | | a ja k | | i B=||b i k || ten sam rozmiar nazywamy macierzą C=||c i k || uspokój się razmіrіv, elementy takie jak perebuvayut dla formuły c i k =a i k + b i k . Pokazane jako C=A+B.

Przykład 6 . .
Operacja składania matryc rozszerza się wraz z liczbą dodatków. Oczywiście A+0=A .
Jeszcze raz zachęcamy do składania więcej niż matrycy o tym samym rozmiarze; dla macierzy o różnych rozwinięciach operacja dodawania nie jest przypisana.

Matryca wizji

Wizyta, umówione spotkanie. Handel detaliczny B-A macierz B i A o tym samym rozmiarze nazywana jest macierzą C taką, że A+C=B.

Reprodukcja matryc

Wizyta, umówione spotkanie. Macierz dodatkowa A=||a i k || liczba α nazywana jest macierzą C = | |

Wizyta, umówione spotkanie. Podaj dwie macierze A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) i B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), ponadto liczba kolumn w A jest równa liczbie wierszy w B . Doboot A do B to macierz C=||c i k ||, której elementy znajdują się za formułą .
Pokazane jako C=A·B.
Schematycznie działanie mnożenia macierzy można przedstawić w następujący sposób:

oraz zasada obliczania elementu kreacji:

Pidkremlimo posiekać raz, scho priblut a · b MAє Sens Todi Tilki Todi, jeśli liczba kroków pierwszego dorivnika Kilkosti jest druga, pod pracą twórczą, liczba walcowanych walców Możesz sprawdzić wynik mnożenia za pomocą specjalnego kalkulatora online.

Przykład 7. Biorąc pod uwagę macierz і . Poznaj macierze C = A B i D = B A.
Rozwiązanie. Z szacunkiem używamy A B, ale liczba kolumn A jest równa liczbie rzędów B.

Z całym szacunkiem, vipadku ma więc A·B≠B·A . macierze dobutok antyprzemienne.
Znamy BA (możliwe wiele).

Przykład 8 . Biorąc pod uwagę macierz . Poznaj 3A 2 - 2A.
Rozwiązanie.

.
; .
.
To znaczący fakt.
Jak się okazuje, dodanie dwóch liczb podwójnego zera nie jest równe zeru. W przypadku macierzy sytuacja może być podobna lub nie, tak że produkcja macierzy niezerowych może wydawać się równa macierzy zerowej.

Z szacunkiem, elementy macierzy nie mogą być więcej niż liczbą. Daj mi znać, że opisujesz książki, jak stanąć na twojej policji książkowej. Niech policja pilnuje porządku, a wszystkie książki staną na miejscach śpiewania. Tabela, jako właściwy opis Twojej biblioteki (przez policję i kolejne książki o policji), będzie również macierzą. Ale taka macierz nie będzie liczbowa. Drugi przykład. Zamiast liczb pełnią różne funkcje, zjadane między sobą przez rodzaj odłogu. Stół Otrimana jest również nazywany macierzą. Innymi słowy, Matrix jest niejako prostokątnym stołem, złożonym podobny elementy. Tu i dalej mówimy o macierzach, składanych z liczb.

Wymień okrągłe ramiona do zapisu matryc, umieszczając ramiona kwadratowe lub proste pionowe linie.

(2.1*)

Spotkanie 2. Jak Virazi(1) m = n, potem porozmawiaj o macierz kwadratowa, ale yakscho , potem około prostokątny.

Odłogowana wartość m i n dzieli się na specjalne typy macierzy:

Najważniejsza cecha kwadrat macierze є її vyznachnik lub wyznacznik, Co powstaje z elementów matrycy i jest wskazane

Jest oczywiste, że DE = 1; .

Spotkanie 3. Yakscho , to macierz A nazywa nie dziewica lub niespecjalnie.

Spotkanie 4. Yakscho detA = 0, to macierz A nazywa roślinożerny lub szczególnie.

Spotkanie 5. Dwie macierze A і B nazywa równy ona pisze A=B jakby smród mógł być taki sam, różnice i їх żywotne elementy są równe,.

Na przykład macierze i równania, ponieważ smród jest bliższy światu, a element skóry jednej matrycy jest bliższy podobnemu elementowi innej matrycy. A osi macierzy i nie można nazwać równą, chociaż wyznaczniki obu macierzy są równe, a macierze są takie same, ale nie wszystkie elementy, które stoją w tych samych punktach równości. Matryce są różne, więc możliwy jest inny świat. Pierwsza macierz to 2x3, a druga 3x2. Chociaż liczba pierwiastków jest taka sama - 6 a same pierwiastki są takie same 1, 2, 3, 4, 5, 6, ale smród stoi w różnych miejscach w pobliżu matrycy skóry. A oś matrycy to postęp, zgіdno z vznachennyam 5.

Spotkanie 6. Jak naprawić szprota matrycy A i taka jest liczba jego rzędów, te same elementy, które stoją na siatkówce oznaczeń kolumn i rzędów, aby utworzyć macierz kwadratową n- th porządek, poprzednik tego nazywa drobny k- kolejność macierzy A.

krupon. Napisz trzy nieletnie w innej kolejności macierzy

W tym temacie będą brane pod uwagę takie operacje, jak dodanie macierzy wejściowej, pomnożenie macierzy przez liczbę, pomnożenie macierzy przez macierz, transponowanie macierzy. Usі znachennya, scho vikoristovuyutsya po stronie ts_y, zaczerpnięte z przednich tematów.

Składanie tej wizualnej matrycy.

Suma macierzy $A+B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ i $B_(m\times n)=(b_(ij))$ to macierz $C_(m\ razy n) =(c_(ij))$, gdzie $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ dla wszystkich $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1 ,n) zł.

Wprowadź podobne oznaczenie dla różnych macierzy:

Różnica między macierzami $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ a $B_(m\times n)=(b_(ij))$ to macierz $C_(m\times n )=( c_(ij))$, de $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ dla wszystkich $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1,n )$.

Wyjaśnienie przed wpisem $i=\overline(1,m)$: show\hook

Wpis "$i=\overline(1,m)$" oznacza, że ​​parametr $i$ zmienia się z 1 na m. Na przykład zapis $i=\overline(1,5)$ odnosi się do tych, których parametr $i$ przyjmuje wartość 1, 2, 3, 4, 5.

Proszę zwrócić uwagę, że operacje dodawania i ćwiczenia przeznaczone są tylko dla matryc o tej samej wielkości. Vzagali, dodawanie i macierze vіdnіmannya - operacje, jasne intuicyjnie, bardziej podły smród, w rzeczywistości jest to mniej sumowania lub bardziej oczywiste elementy.

Tyłek #1

Podano trzy macierze:

$$ A=\left(\begin(tablica) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(tablica) \right)\;\; B=\left(\begin(tablica) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \end(array) \right). $$

Chi, czy znasz macierz $A+F$? Poznaj macierze $C$ i $D$, czyli $C=A+B$ i $D=A-B$.

Macierz $A$ służy do zamiatania 2 wierszy i 3 kolumn (innymi słowy, rozwinięcie macierzy $A$ to 2$\razy 3$), a macierz $F$ ma zamiatać 2 rzędy i 2 rzędy. Rozszerzenia macierzy $A$ i $F$ nie uciekają, więc możemy je zsumować. operacja $A+F$ dla tych macierzy nie jest przypisana.

Rozwińmy macierze $A$ i $B$, więc. dane macierzy powinny być równe liczbie wierszy i stovptsiv, wymagana będzie operacja dodawania do nich.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+ ( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Znamy macierz $D=A-B$:

$$ D=A-B=\left(\begin(tablica) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(tablica) \right)- \left(\begin(tablica) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Vidpovid: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \\ 2 & 9 & 6 \end(array) \right)$.

Mnożenie macierzy przez liczbę.

Dodatkowa macierz $A_(m\times n)=(a_(ij))$ dla liczby $\alpha$ to macierz $B_(m\times n)=(b_(ij))$, gdzie $b_( ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ dla wszystkich $i=\overline(1,m)$ i $j=\overline(1,n)$.

Pozornie prostsze, pomnóż macierz przez liczbę - czyli pomnóż element skóry danej macierzy przez liczbę całkowitą.

Tyłek #2

Biorąc pod uwagę macierz: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Znaj macierze $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ i $ - A $.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( tablica) (ccc) 3cdot(-1) & 3cdot(-2) & 3cdot 7 \ 3cdot 4 & 3cdot 9 & 3cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(tablica) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (tablica) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \end(tablica)\prawo). $$

Notacja $-A$ jest notacją skróconą dla $-1\cdot A$. Tak więc, aby poznać $-A$, musisz pomnożyć wszystkie elementy macierzy $A$ przez (-1). W istocie oznacza to, że znak wszystkich elementów w macierzy $A$ zostaje zmieniony na przedłuŜenie:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Vidpovid: $3\cdot A=\left(\begin(tablica) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(tablica) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Dobutok dwie matryce.

Cel tych operacji jest uciążliwy i na pierwszy rzut oka nierozsądny. Powiem ci z tyłu głowy poważniejsze spotkanie, a potem opowiem, co to znaczy i jak z tego wyjść.

Podzbiór macierzy $A_(m\times n)=(a_(ij))$ na macierz $B_(n\times k)=(b_(ij))$ to macierz $C_(m\times k )=(c_(ij))$, dla elementu skórki $c_(ij)$ elementy i-th wiersze macierzy $A$ na elementach j-tej kolumny macierzy $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \; \; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

Mnożenie macierzy Pokrokova jest pobierane z tyłka. Należy jednak pamiętać, że nie wszystkie macierze można mnożyć. Jeśli chcemy pomnożyć macierz $A$ przez macierz $B$, to konieczne jest przemieszczenie tak, aby liczba kolumn w macierzy $A$ była równa liczbie wierszy w macierzy $B$ ( takie macierze są często nazywane proszęzhenimi). Na przykład macierz $A_(5\times 4)$ (macierz ma 5 wierszy i 4 wiersze), nie może być pomnożona przez macierz $F_(9\times 8)$ (9 wierszy i 8 wierszy), liczba wierszy macierzy $A $ nie jest równa liczbie wierszy macierzy $ F $, to tyle. 4$\nq 9$. A pomnożenie macierzy $A_(5\times 4)$ przez macierz $B_(4\times 9)$ jest możliwe, ale liczba kolumn w macierzy $A$ jest większa niż liczba wierszy w macierzy $B$. W tym przypadku wynikiem mnożenia macierzy $A_(5\times 4)$ i $B_(4\times 9)$ będzie macierz $C_(5\times 9)$, która pokryje 5 wierszy i 9 kolumny:

Tyłek #3

Biorąc pod uwagę macierz: $ A = \ lewo ( \ begin (tablica) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ end (array) \right)$ i $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right ) $. Poznaj macierz $C = A\cdot B$.

Rząd wielkości jest istotny dla rozwinięcia macierzy $C$. Jeżeli macierz $A$ wynosi $3\times 4$, a $B$ to $4\times 2$, to macierz $C$ wynosi $3\times 2$:

Następnie w wyniku dodania macierzy $A$ i $B$ naprzemiennie bierzemy macierz $C$, która składa się z trzech wierszy i dwóch kolumn: $ C = \ left ( \ begin (array) ( cc) c_ (11) & c_ (12) \c_(21) & c_(22) \c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Jeśli chodzi o znaczenie elementów, możesz spojrzeć na pierwszy temat: „Macierze. Zobacz macierz. Podstawowe pojęcia”, na kolbie wyjaśniono znaczenie elementów macierzy. Naszą meta jest poznanie wartości wszystkich elementów w macierzy $C$.

Spójrzmy na element $c_(11)$. Aby wziąć element $c_(11)$, trzeba znać sumę kreacji elementów pierwszego wiersza macierzy $A$ i pierwszej kolumny macierzy $B$:

Aby poznać element $c_(11)$, należy więc pomnożyć elementy pierwszego wiersza macierzy $A$ przez drugie elementy pierwszej kolumny macierzy $B$. pierwszy element to pierwszy, drugi to drugi, trzeci to trzeci, czwarty to czwarty. Oczekuje się wycofania wyników:

$$ c_(11)=-1cdot (-9)+2cdot 6+(-3)cdot 7 + 0cdot 12=0. $$

Kontynuujemy rozwiązanie i znamy $c_(12)$. Dla którego zdarzyło Ci się pomnożyć elementy pierwszego wiersza macierzy $A$ i drugiego wiersza macierzy $B$:

Podobny do frontu, może:

$$ c_(12)=-1cdot 3+2cdot 20+(-3)cdot 0 + 0cdot (-4)=37. $$

Znaleziono wszystkie elementy pierwszego wiersza macierzy $C$. Przejdźmy do kolejnego wiersza, który rozpoczyna element $c_(21)$. Aby to wiedzieć, pomnóż elementy innego wiersza macierzy $A$ i pierwszej kolumny macierzy $B$:

$$ c_(21)=5cpunkt (-9)+4cpunkt 6+(-2)cpunkt 7 + 1cpunkt 12=-23. $$

Zaawansowany element $c_(22)$ jest znany poprzez pomnożenie elementów innego wiersza macierzy $A$ przez elementy drugiego wiersza innego wiersza macierzy $B$:

$$ c_(22)=5cdot 3+4cdot 20+(-2)cdot 0 + 1cdot (-4)=91. $$

Aby poznać $c_(31)$ pomnóż elementy trzeciego wiersza macierzy $A$ przez elementy pierwszej kolumny macierzy $B$:

$$ c_(31)=-8cpunkt (-9)+11cpunkt 6+(-10)cpunkt 7 + (-5)punkt 12=8. $$

Po pierwsze, wartość elementu $c_(32)$ należy pomnożyć przez elementy trzeciego wiersza macierzy $A$ przez pozostałe elementy innej kolumny macierzy $B$:

$$ c_(32)=-8cdot 3+11cdot 20+(-10)cdot 0 + (-5)cdot (-4)=216. $$

Wszystkie elementy macierzy $C$ zostały znalezione, nie wystarczy zapisać, że $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( tablica) \prawo)$ . Abo, jeszcze więcej napiszę:

$$ C=A\cdot B =\left(\begin(tablica) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Vidpovid: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Przed mową często nie ma sensu przypisywać znaczenia elementu skóry do wyniku macierzy. W przypadku macierzy, których liczba jest niewielka, można to znaleźć tak:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \- -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 i 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6cdot(4)+3cdot(-6) & 6cdot(9)+3cdot(90) ) \\ -17\cdot (4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) ( cc) 6 i 324 \- -56 i -333 \end(array) \right) $$

Należy pamiętać, że mnożenie macierzy jest nieprzemienne. Tse oznacza, że ​​w dzikiej vapadce $A\cdot B\neq B\cdot A$. Tylko dla niektórych typów macierzy, jak nazywać permutacyjny(w przeciwnym razie dojazdy), równe $A cdot B = B cdot A $. Sama nieprzemienność mnożenia, konieczne jest pokazanie, jak mnożymy, mnożąc to chi i inną macierz: po prawej chi jest złem. Na przykład fraza „pomnóż naruszającą część parzystości $3E-F=Y$ przez macierz $A$ jest prawoskrętna” oznacza, że ​​należy wziąć następującą parzystość: $(3E-F)\kropka A= Y\cdot A$.

Macierz $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, dla elementów tj. $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Pozornie prostsze, aby wziąć macierz transponowaną $A^T$, konieczne jest, aby zewnętrzna macierz $A$ zamieniła kolumny na podwójne wiersze zgodnie z następującą zasadą: pierwszy wiersz - stań się pierwszym wierszem; buv kolejny rząd - stań w kolejnym rzędzie; bądź trzecim rzędem - stań się trzecim krokiem i tak dalej. Na przykład znamy transponowaną macierz do macierzy $A_(3\times 5)$:

Oczywiście, ponieważ macierz wyjściowa ma małe 3 $ \ razy 5 $, transponowana macierz wynosi 5 $ \ razy 3 $.

Faktyczna charakterystyka operacji na macierzach.

Tutaj jest przekazywane, że $alpha $, $beta $ są liczbami dziesiętnymi, a $ A $, $ B $, $ C $ są macierzami. Dla pierwszych autorytetów chotirioh, po wskazaniu nazwy, resthę można nazwać analogicznie do pierwszej chotirma.

W tym artykule możemy wybrać, jak wykonać operację dodawania na macierzach tego samego rzędu, operację mnożenia macierzy przez liczbę oraz operację mnożenia macierzy w tym samym porządku, aksjomatycznie możemy umieścić potęgę operacji, a także omówienie priorytetu operacji na macierzach. Równolegle z teorią kierujemy rozwiązaniami raportowymi aplikacji, w których wykonywane są operacje na macierzach.

Szanuje się, że wszystko, co zostało powiedziane poniżej, jest sprowadzane do macierzy za pomocą elementów takich jak є dіysnі (lub liczby zespolone).

Nawigacja z boku.

Operacja składania dwóch matryc.

Wyznaczona operacja składania dwóch matryc.

Operacja dodawania została przypisana TYLKO DLA MATRYC JEDNEGO ZAMÓWIENIA. Innymi słowy, nie można poznać sumy macierzy o różnej wymiarowości i nie można mówić o złożeniu macierzy o różnej wymiarowości. Nie można więc mówić o sumie macierzy i liczbie ani o sumie macierzy i jakiegokolwiek innego elementu.

Wizyta, umówione spotkanie.

Suma dwóch macierzy i - macierz, której elementy są równe sumie odpowiednich elementów macierzy A i B, tobto.

Zatem wynikiem operacji składania dwóch macierzy jest macierz tego samego rzędu.

Siła działania matryc składanych.

Jaką moc może mieć działanie składanych matryc? Na łańcuchu łatwo jest uzyskać odpowiedzi, w zależności od sumy dwóch macierzy danego rzędu i odgadnięcia mocy operacji składania liczb rzeczywistych (abo zespolonych).

1. Dla macierzy A, B i C tego samego rzędu moc asocjatywności jest charakterystyczna dla dodania A + (B + C) = (A + B) + C.
2. W przypadku macierzy pierwszego rzędu po dodaniu występuje element neutralny, którym jest macierz zerowa. Więc moc A+O=A jest sprawiedliwa.
3. Dla niezerowej macierzy A danego rzędu macierz (-A) wraz z jej sumą jest macierzą zerową: A + (-A) = O .
4. Dla macierzy A i tego rzędu, moc przemienności składania A + B = B + A jest prawdziwa.

Później macierze bezosobowe danego rzędu dają początek addytywnej grupie Abla (grupa abelowa jak operacja algebry składania).

Dodawanie macierzy - rozwiązanie aplikacji.

Spójrzmy na przykład złożonej macierzy.

krupon.

Znajdź sumę macierzy i .

Rozwiązanie.

Rzędy macierzy A i B są zwiększane i zwiększane o 4 przez 2, więc możemy przeprowadzić operację dodawania macierzy i, w wyniku czego bierzemy macierz rzędu 4 przez 2. Niezbędne jest zaprojektowanie operacji składania dwóch macierzy, dodając kolejne element po elemencie:

krupon.

Znajdź sumę dwóch macierzy і elementy są liczbami zespolonymi.

Rozwiązanie.

Zamówienia matryc Oskіlki są równe, możemy vikonat dodavannya.

krupon.

Vikoite dodavannya trzy macierze .

Rozwiązanie.

Układamy macierz A z B, następnie usuwamy macierz, dodamo Z:

Zabierz matrycę zerową.

Operacja mnożenia macierzy przez liczbę.

Wyznaczona operacja mnożenia macierzy przez liczbę.

Operacja mnożenia macierzy przez liczbę jest przypisana DO MATRYCY DOWOLNEJ KOLEJNOŚCI.

Wizyta, umówione spotkanie.

Dodanie macierzy i liczby dziesiętnej (lub zespolonej)- całą macierz, której elementy wydają się być pomnożone przez odpowiednie elementy macierzy wyjściowej przez liczbę , czyli .

W tej kolejności wynik pomnożenia macierzy przez liczbę є jest macierzą tego samego rzędu.

Potęga operacji mnożenia macierzy przez liczbę.

Z mocy operacji mnożenia macierzy przez liczbę możliwe jest, że pomnożenie macierzy zerowej przez liczbę zero daje macierz zerową, a dodanie dodatkowej liczby i macierzy zerowej jest macierzą zerową.

Mnożenie macierzy przez liczbę - zastosuj ten werset.

Przyjrzyjmy się operacji mnożenia macierzy przez liczbę na niedopałkach.

krupon.

Znajdź dodatkowy numer 2 i macierz .

Rozwiązanie.

Aby pomnożyć macierz przez liczbę, należy pomnożyć element przez liczbę całkowitą:

krupon.

Znajdź mnożenie macierzy przez liczbę.

Rozwiązanie.

Element skóry danej macierzy mnożymy przez liczbę całkowitą:

Operacja mnożenia dwóch macierzy.

Dedykowana operacja mnożenia dwóch macierzy.

Operacja mnożenia dwóch macierzy A i B ma zastosowanie tylko do spadku, jeśli liczba kolumn w macierzy A jest równa liczbie wierszy w macierzy B.

Wizyta, umówione spotkanie.

Uruchom ponownie macierz A w kolejności macierzy W kolejności- taka macierz III rzędu, element skóry jest najcenniejszą sumą elementów i-tego wiersza macierzy na podobnych elementach j-tej kolumny macierzy B, to wtedy,

Zatem wynik operacji mnożenia macierzy w kolejności przez macierz jest macierzą w kolejności.

Reprodukcja matrycy przez matrycę - rozwiązanie zastosowań.

Przyjrzyjmy się mnożeniu macierzy na niedopałkach, po czym przejdziemy do nadpisywania potęg działania mnożenia macierzy.

krupon.

Znajdź wszystkie elementy macierzy C, jak zabrać się za mnożenie macierzy і .

Rozwiązanie.

Rząd macierzy A zwiększa się o p = 3 przez n = 2, rząd macierzy zwiększa się o n = 2 przez q = 4, a rząd macierzy będzie p = 3 przez q = 4 . Przyspieszenie formuły

Konsekwentnie przyjmujemy wartość i w 1 do 3 (skale p=3) dla skóry j w 1 do 4 (skale q=4), a n=2 w naszym przypadku, to

Zatem wszystkie elementy macierzy Z i macierzy są obliczane, mnożąc dwie dane macierze, może wyglądać .

krupon.

Digitalizuj macierz mnożnika .

Rozwiązanie.

Kolejność macierzy zewnętrznych pozwala nam na przeprowadzenie operacji mnożenia. W rezultacie możemy wziąć macierz rzędu 2 na 3.

krupon.

Biorąc pod uwagę macierz . Znajdź dodatkowe macierze A i B, a także macierze B i A.

Rozwiązanie.

Jeśli kolejność macierzy wynosi 3 na 1, a macierz 1 na 3, to A⋅B jest rzędem 3 na 3, a dodatkowa macierz B i A jest rzędem 1 na 1.

Jak bachit, . Jest to jedna z uprawnień działania macierzy mnożenia.

Siła działania macierzy mnożenia.

Jeśli macierze A, B i C są tego samego rzędu, to prawdziwe są następujące moc działania macierzy mnożenia.

Poniżej znajduje się wartość, która dla różnych rzędów dodanie macierzy zerowej do macierzy A daje macierz zerową. Dobutok A podaje również macierz zerową, dzięki czemu rzędy wielkości umożliwiają działanie macierzy mnożenia.

Macierze średniokwadratowe nazywane są tak macierze permutacyjne, Operacja mnożenia jest przemienna, więc . Kolba macierzy permutacyjnych to para pojedynczych macierzy, czy to inna macierz tego samego rzędu, więc jest to sprawiedliwe.

Priorytet operacji na macierzach.

Operacje mnożenia macierzy przez liczbę i mnożenia macierzy przez macierz mają równy priorytet. W tej samej godzinie operacji priorytet jest wyższy, tym niższym operacją jest złożenie dwóch matryc. W tej kolejności mnożenie macierzy jest liczone przez liczbę tego mnożenia macierzy, a następnie następuje dodawanie macierzy. Jednak kolejność operacji na macierzach można wyraźnie przypisać do dodatkowego łuku.

Również priorytet operacji na macierzach jest podobny do priorytetu nadanego operacjom dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych.

krupon.

Biorąc pod uwagę macierz . Dowiedz się z podanych macierzy przypisanych do dії .

Rozwiązanie.

Zaczynamy od pomnożenia macierzy A przez macierz B:

Teraz mnożymy pojedynczą macierz innego rzędu E przez dwa:

Dodajemy dwie odejmowane macierze:

Operacja mnożenia usuniętej macierzy przez macierz A została utracona:

Należy pamiętać, że operacje, które patrzą na macierze tego samego rzędu A i B, nie są konieczne. Różnica między dwiema macierzami to zasadniczo suma macierzy A i macierzy pomnożona z przodu przez minus jeden: .

Operacja budowania macierzy kwadratowej w świecie przyrody nie jest samowystarczalna, lecz odłamkami kolejnych multiplikacji macierzy.

Zabierzmy torbę.

Macierzom bezosobowym przypisane są trzy operacje: dodawanie macierzy tego samego rzędu, mnożenie macierzy przez liczbę oraz mnożenie macierzy tego samego rzędu. Operacja dodawania na bezosobowych macierzach danego zamówienia generuje grupę Abla.