Umyj prostopadłość dwóch prostych linii w przestrzeni. Linie równoległe, znaki i umysły linii równoległych. Idź od punktu do linii prostej

KUT między mieszkaniami

Przyjrzyjmy się dwóm zadaniom płaszczyzn α 1 i α 2 w ten sam sposób:

Pid cutom między dwoma mieszkaniami, jedno z dwulicowych kutіv, składających się z tych mieszkań, jest zrozumiałe. Oczywiście to, jakie przecięcie między wektorami normalnymi a płaszczyznami 1 i 2 jest większe . Tomek . Dlatego і , następnie

krupon. Wyznacz cięcie między mieszkaniami x+2tak-3z+4=0 i 2 x+3tak+z+8=0.

Umyj równoległość dwóch płaszczyzn.

Dwie płaszczyzny α 1 i α 2 są równoległe do siebie i tylko do tego samego, jeśli są wektorami normalnymi i równoległymi, a także .

Ponadto dwie płaszczyzny są równoległe do jednej do tej samej i mniej do tego samego, jeśli współczynniki dla odpowiednich współrzędnych są proporcjonalne:

lub

Umyj prostopadłość płaszczyzn.

Było jasne, że dwie płaszczyzny są prostopadłe i takie same, jeśli są wektorami normalnymi i prostopadłymi.

W taki sposób,

stosować.

BEZPOŚREDNIO W KOSMOSIE.

VECTORNE RIVNYANNYA BEZPOŚREDNIO.

POZIOMOWANIE PARAMETRYCZNE BEZPOŚREDNIE

Położenie linii prostej w przestrzeni jest całkowicie zależne od podanych danych, ponieważ istnieją її punkty stałe M 1 i wektor , równoległy do prostej.

Wektor, linia równoległa, nazywa się bezpośredni wektor jest prosty.

Otzhe, cześć prosto ja przejść przez punkt M 1 (x 1 , tak 1 , z 1), który leży na linii prostej równoległej do wektora.

Spójrzmy na pewien punkt M(x, y, z) na linii prostej. Od malucha możesz to zobaczyć .

Wektory i kolіnearnі, więc jest taka liczba t, sho , de mnożnik t możesz wyłapać czy jest to wartość liczbowa w odłogu w pozycji punktu M na linii prostej. Mnożnik t nazywany parametrem. Przypisywanie punktu wektora promienia M 1 ta M ewidentnie przez ja, otrimuemo. Tse równe nazywa się wektor proste linie. Pokazuje wartość parametru na skórze t zmienić promień-wektor punktu deac M, które leżą w linii prostej.

Zapiszmy kolejność postaci współrzędnych. Z szacunkiem, Sho, i gwiazdy

Równi Otrimani nazywają się parametryczny proste.

Podczas zmiany parametru t zmiana współrzędnych x, takі z cętkowany M poruszaj się w linii prostej.

KANONICZNA RIVNYANNYA DIRECT

Daj spokój M 1 (x 1 , tak 1 , z 1) - punkt leżący na linii prostej ja, і - Її wektor bezpośredni. Zajmę się tym od razu do sedna M(x, y, z) patrzę na wektor.

Było jasne, że wektory i współliniowe, do których ich odpowiednie współrzędne mogą być proporcjonalne,

– kanoniczny proste linie.

Szacunek 1. Z szacunkiem, kanoniczne wyrównanie linii prostej można odjąć od parametrycznych, włączając parametr t. To prawda, od parametrycznych równa się to konieczne lub .

krupon. Napisz proste linie parametryczny wygląd.

Znacznie , gwiazdy x = 2 + 3t, tak = –1 + 2t, z = 1 –t.

Uwaga 2. Niech linia prosta będzie prostopadła do jednej z osi współrzędnych, na przykład oś Wół. Wtedy wektor prosty prostych prostopadłych Wół, otzhe, m=0. Otzhe, wyrównanie parametryczne bezpośredniego spojrzenia w przyszłość

W tym parametr korekcji t, Zabierz prosto z oczu

Prote i jednocześnie zapiszmy formalnie równości kanoniczne bezpośredniego jaka . W tej kolejności, jeśli na banerze jednego z ułamków jest zero, oznacza to, że linia prosta jest prostopadła do podwójnej osi współrzędnych.

Podobnie, kanoniczne równa się linia prosta jest prostopadła do osi Wółі Auć lub równolegle do osi Oz.

stosować.

ZAHALNI RIVNYANNYA DIRECT, ODWRÓCENIE LINII YAK DWÓCH SAMOLOTÓW

Przez skórę prosto w otwartą przestrzeń, aby przejść przez bezosobowy obszar. Czy to dwa z nich, przeplatające się, oznaczają w przestrzeni. Otzhe, gdyby były dwa takie mieszkania, na które patrzy się razem, są one równe liniom prostym.

Vzagali być jak dwójka płaszczyzny równoległe, ustawiony przez gorliwych równych

wyznaczyć linię prostą. Qi równe są nazywane dzika zazdrość proste.

stosować.

Monit prosto, ustawiony przez rówieśników

Aby zachęcić do direct wystarczy wiedzieć, czy jest її punktów. Najłatwiej jest wybrać punkty przecięcia linii prostej z płaszczyznami współrzędnych. Na przykład punkt przecięcia z płaszczyzną xOy bierzemy to prosto, vvazhuchi z= 0:

System Virishivshi tsyu, wiemy o co chodzi M 1 (1;2;0).

Podobnie, z szacunkiem tak= 0 xOz:

Z górnych poziomów linii prostej można przejść do її poziomów kanonicznych lub parametrycznych. Dla kogo trzeba wiedzieć jakiś punkt M 1 na linii prostej, a wektor prosty to linia prosta.

Współrzędne punktu M 1 jest pobierana ze środka układu wyrównawczego, po wciśnięciu jednej ze współrzędnych do wystarczającej wartości. W przypadku wektora bezpośredniego, odpowiednio, wektor musi być prostopadły do obu wektorów normalnych. і . Do tego dla wektora bezpośredniego ja czy możesz wziąć wektor witwear wektory normalne:

krupon. Prowadź prosto do przodu do kanonicznego wyglądu.

Znajdźmy punkt leżący na linii prostej. Dla których wybieramy tylko jedną z współrzędnych, np. tak= 0 i podziel system wyrównawczy:

Współrzędne wyznaczają wektory normalne płaszczyzn, które definiują linię prostą. Dlatego wektor bezpośredni będzie prosty

. Otzhe, ja: .

KUT MIZH PROSTO

Kutom między liniami prostymi w przestrzeni nazwiemy, czy dany jest jeden z sumarycznych kutivów, składających się z dwóch prostych, poprowadzonych równolegle przez pewien punkt.

Niech przestrzeń ustawi dwie proste linie:

Jest oczywiste, że kut między їх prostymi można przyjąć jako kut między їх wektorami bezpośrednimi i . Więc jak, to dla wzoru na cosinus kuta między wektorami, które bierzemy

Partycja V *. Równanie prostych i mieszkań w pobliżu otwartej przestrzeni.

§ 70. Pomyśl o równoległości i prostopadłości dwóch prostych.

Linie proste z wektorami bezpośrednimi a і b :

a) równolegle takie same i mniej takie same, jeśli wektory a і b współliniowy;

b) prostopadłe do tego samego i mniej do tego samego, jeśli wektory a і b prostopadle, to jeśli a b = 0.

Konieczne jest uwzględnienie niezbędnego i wystarczającego zrozumienia równoległości i prostopadłości dwóch linii prostych, podanych przez równości kanoniczne.

Do tego prosto

kule są równoległe, konieczne i wystarczające, aby zwyciężył umysł

Zjedz vipadku, jak niektóre z liczb b 1 , b 2 , b 3 wróć do zera, to winnym jest powrót do zera drugiej liczby a 1 , a 2 , a 3 .

Dla prostopadłości linii prostych jest to konieczne i wystarczające, aby umysł

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0. (2)

Zadanie 1. Pomiędzy awansującymi parami linii prostych zakłady są równoległe lub prostopadłe do linii prostych:

a) Wektory bezpośrednie a = (2; 4; -13) i b = (3; 5; 2) oczywiście nie współliniowy. Otzhe, a nie bezpośrednio równolegle. Przyjrzyjmy się prostopadłości umysłu

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 3 + 4 5 - 13 2 = 0.

Prosto prostopadłe.

b) Wektor bezpośredni drugiej prostej można koordynować b = (3; 2; 4). W przypadku wektora bezpośredniego mogę najpierw wziąć dopełnienie wektorów normalnych
n 1 = (2; -3; 0) i n 2 \u003d (4; -2; -2) samoloty, jak ustawić qiu prosto:

Umov (1) wygrywa, odłamki 6/3 = 4/2 = 8/4. Bezpośrednio równolegle.

c) Wektor bezpośredni pierwszej prostej maє współrzędne a = (2; 3; 1). Łatwo jest sprowadzić kolejną prostą linię do kanonicznego wyglądu.

Otzhe, b =(- 1 / 2 ; 1; 3 / 2) .

Wektory a і b nie równolegle. Smród nie jest prostopadły, odłamki

a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 2 (- 1 / 2) + 3 + 3 / 2 =/= 0.

Dane są proste, nie równoległe i nie prostopadłe.

Zadanie 2. Znać ustawienie linii prostej przechodzącej przez punkt M 0 (2; -3; 4) prostopadle do linii prostej

Artykuł Tsya o liniach równoległych i o liniach równoległych. Oznaczenie linii równoległych na płaszczyźnie i w pobliżu otwartej przestrzeni jest podane z tyłu, wprowadzone oznaczenie i zastosowane graficzne ilustracje linii równoległych. Dawali znaki i rozumieli równoległość linii prostych. Visnovka pokazuje rozwiązania charakterystycznych zadań dowodzenia równoległości linii, a także przypisania takich równości linii prostej prostokątnego układu współrzędnych na płaszczyźnie iw przestrzeni trywialnej.

Nawigacja z boku.

Mosty główne równoległe, bezpośrednie.

Wizyta, umówione spotkanie.

Nazywa się dwie proste linie na płaszczyźnie równoległy dlaczego nie śmierdzisz gorące miejsca.

Wizyta, umówione spotkanie.

Nazywa się dwie proste linie w przestrzeni trywialnej świata równoległy jak smród leżenia w jednym mieszkaniu i nie spania w miejscach do spania.

Uszanuj, że ostrzeżenie „że smród leży na tej samej płaszczyźnie” na wyznaczonych równoległych liniach na otwartej przestrzeni jest jeszcze ważniejsze. Wyjaśnijmy ten moment: dwa są proste w przestrzeni trywialnej, aby nie miały punktów spania i nie leżą w tej samej płaszczyźnie, nie równolegle, ale krzyżują się.

Podajmy kilka przykładów linii równoległych. Protilezhnі krawędzie arkusza zoshita leżą na równoległych liniach prostych. Prosta, za którą płaszczyzna ścianki budki przecina płaszczyznę steli i podkładów, które są równoległe. Możesz także zobaczyć, jak równoległe linie proste są równe.

Do definicji linii równoległych używany jest symbol „”. Ponieważ proste a i b są równoległe, możesz napisać krótkie a b.

Okazuj szacunek: skoro proste a i b są równoległe, możesz powiedzieć, że linia a jest równoległa do linii b i możesz powiedzieć, że linia b jest równoległa do linii a.

Mocno twarda, jakby odgrywała ważną rolę kilku równoległych linii na płaszczyźnie: przez punkt, który nie leży na danej linii, przeprowadź jedną prostą, równoległą do danej linii. Twierdzenie to przyjmuje się jako fakt (nie da się tego dowieść na podstawie aksjomatów planometrii) i nazywa się je aksjomatem linii równoległych.

Dla przestrzeni w przestrzeni obowiązuje następujące twierdzenie: przez to, czy punkt w przestrzeni, który nie leży na danej prostej, przechodzi przez jedną prostą, równoległą do danej. Twierdzenie Tsya można łatwo wykorzystać we wprowadzeniu aksjomatów prostych równoległych (її dowód na to możesz poznać z podręcznika klasy geometrii 10-11, co jest wskazane w artykule w spisie literatury).

Równoległość linii prostych - oznaki paralelizmu umysłu.

Znak równoległych linii Jest wystarczająco dużo inteligencji dla równoległości linii prostych, aby taki sposób myślenia, który gwarantuje równoległość linii prostych. Innymi słowy, vykonannya tsієї myślą wystarczająco, aby ustalić fakt równoległych linii.

Konieczne jest również ustalenie koniecznych i wystarczających umysłów równoległości linii prostych na płaszczyźnie iw przestrzeni trywialnej.

Zrozumiałe jest zmienić sformułowanie „konieczna jest wystarczająca równoległość umysłowa linii prostych”.

Z wystarczającą równoległością mentalną linii prostych, już załatwiliśmy. I co to jest? konieczny umysł równoległość linii prostych? Pod nazwą „konieczny” zrozumiano, że umysł vikonnannya tsієї jest niezbędny do równoległości linii. Innymi słowy, jeśli równoległość linii nie jest konieczna, to linie nie są równoległe. w taki sposób, konieczne, aby wystarczająca równoległość mentalna linii prostych- Tse mind, vykonannya, ponieważ jest to konieczne, więc wystarczy równoległość linii prostych. Oznacza to, że z jednej strony jest znak równoległości linii prostych, z drugiej - integralność, jakby widać było równoległe linie.

Pierwszym krokiem jest sformułowanie niezbędnej równoległości linii prostych, wystarczającej dla umysłu, aby odgadnąć trochę dodatkowych znaków.

Linia prosta- Tse jest prosta, jakbyśmy przecinali skórę w dwóch prostych liniach.

Po przejściu na emeryturę dwie proste sichny utvoryuyuyutsya są niespalone. Dla formułowania potrzebna i wystarczająca równoległość umysłu do linii prostych przyjmuje los tzw leżący do góry nogami, leżącyі jednostronny kuti. Pokaż je na fotelu.

Twierdzenie.

Jak dwie linie proste na płaszczyźnie przecięcia sichny, to dla ich równoległości jest to konieczne i wystarczające, aby nacięcia się przecinały, leżały, były równe, albo oba boki były równe, albo suma jednego- boczne cięcia miały 180 stopni.

Pokażmy graficzną ilustrację niezbędnej i wystarczającej równoległości umysłu linii prostych na płaszczyźnie.

Można znaleźć dowody na równoległość linii prostych od asystentów geometrii dla klas 7-9.

Ważne jest, abyś myślał, że możesz zwyciężyć i w trywialnej przestrzeni - smut, aby dwie proste linie leżały na tej samej płaszczyźnie.

Wprowadźmy jeszcze kilka twierdzeń, które często są kwestionowane przy udowodnieniu równoległości prostych.

Twierdzenie.

Jeśli dwie linie na płaszczyźnie są równoległe do trzeciej linii, to smród jest równoległy. Dowód na to, że znaki wynikają z aksjomatów linii równoległych.

Jest to analogiczne do równoległości umysłu prostych linii w trywialnej przestrzeni.

Twierdzenie.

Jak dwie proste linie w przestrzeni równoległej do trzeciej prostej, wszystkie smród są równoległe. Dowód, że znaki są widoczne na lekcjach geometrii w klasie 10.

Zilustrujmy brzmienie twierdzenia.

Wprowadzamy jeszcze jedno twierdzenie, które pozwala nam sprowadzić równoległość prostych na płaszczyźnie.

Twierdzenie.

Jak dwie proste linie na płaszczyźnie prostopadłej do trzeciej prostej, są one równoległe.

Podobne twierdzenie dotyczy linii w przestrzeni.

Twierdzenie.

Jak dwie proste linie w trywialnej przestrzeni, prostopadłe do jednej płaszczyzny, smród jest równoległy.

Wyobrażalnie małe, twierdzenia yakі vіdpovіdat zim.

Wszystkie sformułowania twierdzenia, znaki i niezbędne umysły w cudowny sposób nadają się do udowodnienia równoległości linii prostych metodami geometrii. Tak więc, aby sprowadzić równoległość dwóch zadań linii prostych, konieczne jest pokazanie, że są one równoległe do trzeciej linii prostej, lub pokazanie wyrównania nacięć, leżenia i tak dalej. Anonimowe podobne zadania są naruszane podczas pierwszej godziny lekcji geometrii w nieznanej szkole średniej. Należy jednak zauważyć, że w bogatych vipadach łatwo jest zastosować metodę współrzędnych do udowodnienia równoległości linii na płaszczyźnie lub w przestrzeni trywialnej. Formułujemy niezbędne wystarczające zrozumienie równoległości linii, jako zadanie dla prostokątnego układu współrzędnych.

Równoległość linii w układzie współrzędnych prostokątnych.

W tym akapicie formułowane są statystyki konieczne i wystarczające do zrozumienia równoległości linii prostych w prostoliniowym układzie współrzędnych jest odłogiem w postaci rіvnyan, co oznacza linie proste, a także wywołamy raporty o rozkładzie charakterystycznych zadań.

Przypomnijmy sobie równoległość dwóch prostych na płaszczyźnie prostokątnego układu współrzędnych Oxy . U podstaw jogi udowodnić, że leżą oznaczenie wektora bezpośredniego liniiі wektor normalny prostej na mieszkanie.

Twierdzenie.

W przypadku równoległości dwóch nienacinających się linii na płaszczyźnie konieczne i wystarczające jest, aby wektory proste tych linii były współliniowe lub wektory normalne tych linii były współliniowe lub wektor prosty jednej linii prostopadłej do normalnej wektor drugiej linii.

Oczywiście równoległość umysłowa dwóch prostych na płaszczyźnie można sprowadzić do (wektory proste lub wektory normalne prostych) lub do (wektor prosty jednej prostej i wektora normalnego drugiej). W tej kolejności, jak ja - bezpośrednie wektory linii a і b i і - wektory normalne prostych aib są poprawne, to konieczne jest, aby dostateczna równoległość mentalna prostych a i b była zapisana jako , lub lub de t jest liczbą rzeczywistą. Współrzędne prostych i (lub) wektorów normalnych prostych a i b mają własny zakres współrzędnych za podanymi liniami prostych.

Zokrema, jak linia prosta a w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy na płaszczyźnie linia prosta umysł i prosta b - wtedy normalne wektory linii prostych tsikh mogą być współrzędnymi і vіdpovіdno, a równoległość Um linii a i b zostanie zapisana jako .

Yakshcho kieruje vіdpovіdaє wyrównanie linii prostych ze współczynnikiem cięcia umysł , a prosta b - , to wektory normalne tych prostych mogą mieć współrzędne i , a mentalna równoległość tych prostych będzie widoczna . Ponadto, chociaż linie na płaszczyźnie prostokątnego układu współrzędnych są równoległe i można je ustawić jako równe liniom o współczynnikach wierzchołka, to współczynniki wierzchołka linii będą równe. Po pierwsze: chociaż proste, które się nie zaginają, na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych można wyznaczyć liniami prostymi o równych współczynnikach krawędzi, to takie proste są równoległe.

Jak linia prosta a i linia prosta b w układzie współrzędnych linii prostej kanoniczne wyrównanie linii prostych na płaskiej powierzchni umysł і , lub parametryczne wyrównanie linii prostej na płaszczyźnie umysł і oczywiście wektory bezpośrednie tych prostych mogą być współrzędnymi i , a równoległość umysłowa prostych a i b jest zapisana jako .

Przyjrzyjmy się kilku aplikacjom.

krupon.

Linie równoległe Chi і?

Rozwiązanie.

Przepiszmy wyrównanie linii prostych na uzwojeniach na widok dzikiej linii prostej: . Teraz możesz zobaczyć, że scho jest normalnym wektorem linii prostych , a wektor normalny jest linią prostą. Wektory Qi nie są współliniowe, ponieważ takich nie ma numer daty t , dla której równość jest poprawna ( ). Dlatego nie jest konieczne przezwyciężenie potrzeby wystarczającej równoległości umysłowej linii prostych na płaszczyźnie, zadania linii prostych nie są do tego równoległe.

Sugestia:

Nie, nie bezpośrednio równolegle.

krupon.

Czy są proste i równoległe?

Rozwiązanie.

Żeglowny kanonicznie równy prosto do równej prosto od współczynnika cięcia: . Oczywiste jest, że wyrównanie linii prostych i to samo (dla różnych zadań uniknie się linii prostych), a współczynniki kutovі bezpośrednich równych, również linie proste vihіdnі są równoległe.