Rozwiązanie wiersza macierzy. Matematyka dla czajników Macierze i główne nad nimi. Operacja transpozycji macierzy

Duńska pomoc metodyczna pomoże Ci nauczyć się wygrywać nie z matrycami: dodawanie (usuwanie) macierzy, transpozycja macierzy, mnożenie macierzy, znaczenie macierzy przestawnej. Wszystkie materiały z zeznań są w prostych i przystępnych formach, są wykonane w ten sam sposób, w takim stopniu, aby osoba nieprzygotowana mogła nauczyć się pracy z matrycami. Do samokontroli i samoweryfikacji możesz bezpłatnie skorzystać z kalkulatora macierzowego >>>.

Staram się minimalizować podrozdziały teoretyczne, jeśli można „na palcach” wyjaśnić te nienaukowe terminy. Miłośnicy teorii gruntu, bądźcie uprzejmi, nie angażujcie się w krytykę, naszym zadaniem jest dowiedz się, jak nauczyć się korzystać z macierzy.

Do powierzchownego przygotowania do tematu (kto "pali") - intensywny kurs pdf Matrix, vyznachnik tej sali!

Matryca to prostokątny stół, czy to będzie elementy. W yakost elementy możemy spojrzeć na liczby, czyli na macierze liczb. ELEMENT- Końcówka Tse. Termin ten należy zapamiętać, wina są często nabazgrane, nie vikoristav dla tej wizji pogrubioną czcionką.

Przeznaczenie: macierze brzmią wielkimi łacińskimi literami

Krupon: Rzućmy okiem na macierz dwa na trzy:

Ta matryca składa się z sześciu elementy:

Wszystkie liczby (elementy) w środku matrycy można znaleźć samemu, więc nie możesz nic na ten temat znaleźć:

To tylko tabela (zestaw) liczb!

Więc jesteśmy w domu nie przestawiaj numer, który nie jest wymieniony w objaśnieniach. Numer skórki ma swoje własne miejsce gnicia i nie można ich przetasować!

Patrzymy na matrycę, ma ona dwa rzędy:

i trzy filary:

STANDARD: jeśli mówimy o rozwinięciu macierzy, to na kolbie wskaż liczbę rzędów, a następnie - liczbę kolumn. Stopniowo uporządkowali matrycę „dwa po trzy” za pomocą pędzli.

Jeśli liczba wierszy i kolumn macierzy wynosi zbіgaєtsya, wówczas macierz nazywa się kwadrat, na przykład: - macierz trzy na trzy.

Podobnie jak w macierzy jeden wiersz lub jeden wiersz, takie macierze są również nazywane wektory.

Znamy naprawdę matryce ze szkół, spójrzmy np. na punkt ze współrzędnymi „iks” i „iplayer”: . W rzeczywistości współrzędne punktu są zapisane w macierzy jeden na dwa. Przed mową oś jest dla ciebie przykładem, dlaczego kolejność liczb może być znacząca: to jest dwa różne punkty płaszczyzny.

Teraz przejdźmy bez zarzutu do ślubu diy z matryc:

1) Diya persza. Wada minusa z matrycy (wprowadzenie minusa do matrycy).

Przejdźmy do naszej matrycy . Jak sam śpiewałeś, moja macierz ma zbyt wiele liczb ujemnych. Jeszcze bardziej nieprzydatny jest wygląd gryzmoła małych z matrycą, bezręczne pisanie notatek minusowych, które po prostu brzydko wyglądają w projekcie.

Minusem obwiniamy za międzymatryce, zmieniając znak elementu SKIN matrycy:

Na zero, jak wiecie, znak się nie zmienia, zero - wino i zero w Afryce.

Zvorotny tyłek: . Patrzę protekcjonalnie.

Wprowadzamy do matrycy minus, zmieniając znak elementu SKIN matrycy:

Cóż, oś, bogato sympatyczny veyshlo. Ja, naygolovnіshe, ŁATWIEJ będzie pokonać matrycę. Bo to takie matematyczne prikmeta ludzi: im więcej minusów - tym więcej oszustów i ułaskawień.

2) Dia przyjaciel. Mnożenie macierzy przez liczbę.

Krupon:

To proste, aby pomnożyć macierz przez liczbę, potrzebujesz Skórzany pomnóż element macierzy przez cały numer. Na do tego konkretnego typu- Trójka.

Jeszcze jeden brązowy tyłek:

– mnożenie macierzy przez drib

Z tyłu głowy patrzymy na tych, którzy są robiti NIE WYMAGANE:

Dołożenie większej ilości pieniędzy do matrycy NIE JEST WYMAGANE, po pierwsze łatwiej składać dalej od matrycy, w inny sposób łatwiej ponownie zweryfikować rozwiązanie przez vikladach (zwłaszcza yakscho - Rekwizycja rezydualna).

Tim więcej, NIE WYMAGANE dility elementu skóry matrycy o minus sіm:

Trzy statystyki Matematyka dla manekinów, czyli po co jeszcze, pamiętamy, że ułamki dziesiętne z którym wszyscy inni matematycy starają się być wyjątkowi.

Jedna sprawa bagan robiti w twojej aplikacji - tse dodaj minus do macierzy:

I od yakby WSZYSTKO elementy macierzy zostały podzielone przez 7 bez nadmiaru, Wtedy możesz (i musisz!) Boulo b podіlit.

Krupon:

W jakim kierunku mogę NIEZBĘDNY pomnóż wszystkie elementy macierzy przez , aby wszystkie liczby macierzy podzielić przez 2 bez nadmiaru.

Uwaga: teoretycznie zaawansowana matematyka nie ma ucznia rozumiejącego „podіl”. Zamiast wyrażenia „nie dodawaj do tego” zawsze możesz powiedzieć „pomnóż przez więcej”. Tobto podіl - tse okreemia vpadok liczba mnoga.

3) Diya trzecia. Transpozycja macierzy.

Aby transponować macierz, konieczne jest wpisanie wierszy w kolumnach transponowanej macierzy.

Krupon:

Transponuj macierz

Tutaj jest tylko jeden wiersz i zgodnie z zasadą należy go wpisać w kolumnie:

jest transponowaną macierzą.

Transponowana matryca jest oznaczona indeksem górnym lub uderzeniem praworęcznego węgorza.

Pokrywa tyłek:

Transponuj macierz

Z tyłu przepisujemy pierwszy rząd w pierwszym kroku:

Przepiszmy kolejny wiersz w innym wierszu:

І, nareshti, przepisz trzeci rząd przy trzecim piecu:

Gotowy. Z grubsza wydaje się, że transpozycja oznacza obracanie matrycy na boki.

4) Diya czwarta. Macierz sumy (detalicznej).

Suma matryc diya jest niezręczna.
NIE WSZYSTKIE MATRYCE MOŻNA SKŁADAĆ. W przypadku matryc składanych vykonannya (vіdnіmannya) konieczne jest, aby smród buli był taki sam DLA ROZMIROM.

Na przykład, jeśli podana jest macierz „dwa na dwa”, to można ją dodać tylko do macierzy „dwa na dwa” i w dowolny inny sposób!

Krupon:

Złóż matryce і

W celu złożenia matryc konieczne jest złożenie ich wymaganych elementów:

Dla różnych macierzy zasada jest podobna, konieczne jest poznanie różnicy między różnymi elementami.

Krupon:

Poznaj różnicę macierzy ,

A jak możesz uprościć ten tyłek, aby się nie zgubić? Nie wahaj się dodać minusy, za które dodamy minus do macierzy:

Uwaga: teoretycznie nie ma czegoś takiego jak licealne rozumienie matematyki. Zamiast wyrażenia „cokolwiek widzisz”, zawsze możesz powiedzieć „aby dodać liczbę ujemną”. Tobto vіdnimannya - tse okremy vipadok złożony.

5) Diya p'yata. Reprodukcja matryc.

Jakie macierze można mnożyć?

Aby macierz można było w razie potrzeby pomnożyć przez macierz, aby liczba kolumn w macierzy była równa liczbie wierszy w macierzy.

Krupon:
Czy można pomnożyć macierz przez macierz?

Ponownie możesz pomnożyć te macierze.

I z tej samej matrycy przestawiaj misje, wtedy w ten sposób mnożenie jest już niemożliwe!

Otzhe, vikonati w liczbie mnogiej jest niemożliwe:

Rzadko zdarza się, że zadania oszukuje się sztuczkami, jeśli uczeń zachęca się do mnożenia macierzy, których mnożenie jest oczywiście niemożliwe.

Slajd wskazuje, że wiele zmiennych może mnożyć macierze tak, tak.
Na przykład dla macierzy mogę pomnożyć, więc pomnożyłem

Prostokątna macierz rozwinięcia mxn to suma liczb mxn ułożonych w prostokątną tabelę w celu pomszczenia rzędów m i n kolumn. Napiszemy її na widok

w przeciwnym razie, patrząc na A = (a i j) (i = ; j = ), liczby a i j nazywamy її elementami; pierwszy indeks wskazuje na numer wiersza, drugi - na numer wiersza. A \u003d (a i j) oraz B \u003d (b i j) tego samego rozmiaru nazywane są równymi, ponieważ elementy są równe parami, więc stoją w tych samych miejscach, a następnie A \u003d B, więc a i j \u003d b i j.

Macierz składana z jednego wiersza lub jednej kolumny nazywana jest wektorem wiersza lub kolumny. Wektory Stow i wektory wierszy są po prostu nazywane wektorami.

Macierz, która ma jedną liczbę, jest mapowana na tę liczbę. Rozmіru mxn, wszystkie elementy równe zeru, nazywane są zerem i są przypisane przez 0. Elementy o tych samych indeksach nazywane są elementami przekątnej głowy. Jeśli liczba rzędów jest równa liczbie podkładów, to m = n, wówczas macierz nazywa się porządkiem kwadratowym n. Macierze kwadratowe, które mają zero lub więcej elementów przekątnej głowy, nazywane są diagonalnymi i są zapisywane w następujący sposób:

.

Jeśli wszystkie elementy a i i po przekątnej sumują się do 1, nazywa się to pojedynczym i oznacza literę E:

.

Matryca kwadratowa nazywana jest trykotem, ponieważ wszystkie elementy, które stoją wyżej (lub niżej) niż przekątna głowy, równają się zeru. Transpozycja nazywana jest taką transformacją, gdy wiersze i kolumny są zamieniane miejscami w zapisie ich liczby. Wskazuje na to ikona transpozycji T na górze.

Ponieważ w (4.1) możemy zmienić kolejność wierszy z kolumnami, to bierzemy

,

jakby transponowany przez A. Zokrema, podczas transpozycji wektora-stovptsya pojawią się wektor wiersza i navpacki.

Podskładnik A liczba b nazywana jest macierzą, której elementy pochodzą z drugich elementów A, aby pomnożyć liczbę b: b A = (b a i j).

Sumę A = (a i j) i B = (b i j) jednego wymiaru nazywamy C = (c i j) tego samego wymiaru, którego elementy są przypisane do wzoru c i j = a i j + b i j .

Dobutok AB jest powiązany z dopuszczeniem, więc liczba kolumn A jest równa liczbie wierszy U.

Dobutkom AB, de А = (a i j) і B = (b j k), de i = , j = , k = , przypisane do przypisanego porządku AB, zwanego C = (c i k), elementy są przypisane do takiej reguły:

c ja k = a ja 1 b 1 k + a ja 2 b 2 k +... + a ja m b m k = a ja s b s k . (4.2)

Inaczej wydawałoby się, że element kreacji AB jest przyporządkowany w następującej kolejności: element i-tego rzędu i k-tej kolumny to najpiękniejsza suma elementów twórczych i-tego rzędu A na elementy zależne k-tej kolumny B.

tyłek 2.1. Poznaj doboot AB i .

Rozwiązanie. Maj: rozmіru 2x3, rozmіru 3x3, następnie dobutok AB \u003d C іsnuє і elementy С równe

Z 11 = 1x1 +2x2 + 1x3 = 8, Z 21 = 3x1 + 1x2 + 0x3 = 5, Z 12 = 1x2 + 2x0 + 1x5 = 7 ,

s 22 = 3x2 + 1x0 + 0x5 = 6, s 13 = 1x3 + 2x1 + 1x4 = 9, s 23 = 3x3 + 1x1 + 0x4 = 10 .

a tvir BA nie jest prawdą.

tyłek 2.2. W tabeli podano liczbę pojedynczych produktów, które są przyjmowane dziennie w mleczarni 1 i 2 do sklepów M 1, M 2 i M 3, ponadto dostawa pojedynczego produktu z mleczarni skórnej do sklepu M 1 kosztuje 50 den. jeden, do sklepu M 2 - 70, a M 3 - 130 den. jeden. Pіdrakhuvat schodennі transport garbarni vitrati.

mleczarnia

Rozwiązanie. Znacząco przez Matrycę, daną nam do zrozumienia i przez
B - macierz charakteryzująca zmienność dostawy pojedynczego produktu sklepu, tobto,

,

Matryca Todo vitrate na transportowanej matimie wyglądała:

Również pierwsza wytwórnia witraży wyceniana jest obecnie na 4750 groszy. jeden, drugi - 3680 den.

tyłek 2.3. Szwalnia przygotowuje płaszcze zimowe, płaszcze jesienno-zimowe oraz płaszcze przeciwdeszczowe. Planowane uwolnienie na dekadę charakteryzuje wektor X = (10, 15, 23). Tkaniny Vykorivuyutsya chotirioh typy T1, T2, T3, T4. W tabeli normy vitrati tkanek (metry) dla wibracji skóry. Wektor C = (40, 35, 24, 16) wskazuje na zmienność metra tkanki typu skóry, a wektor P = (5, 3, 2, 2) - zmienność transportowanego metra tkanki typ skóry.

	Tkaniny Vitrata
płaszcz zimowy
Płaszcz jesienno-sezonowy

Algebra liniowa

Matryce

matryca rozmіru m x n - tse prostoliniowa tabela liczb, aby pomścić m rzędów i n stoptsіv. Liczby tworzące macierz nazywane są elementami macierzy.

Matryce oznaczone są wielkimi literami łacińskimi, a elementy tymi samymi małymi literami z indeksacją fiszbin.

Na przykład spójrzmy na macierz A o wymiarach 2 x 3:

Ta macierz ma dwa wiersze (m = 2) i trzy wiersze (n = 3), czyli. won składa się z sześciu elementów a ij de i - numer wiersza, j - numer wiersza. Dzięki temu wartość wynosi od 1 do 2, a wartość jedynki do trzech (rejestrowana). Zokrema, a 11 = 3; a12 = 0; a 13 = -1; a 21 = 0; a 22 = 1,5; a 23 = 5.

Nazywa się macierze A i B o tym samym rozmiarze (m x n) równy, aby smród był element po elemencie zbіgayutsya, tobto. a ij = b ij dla , wtedy. dla dowolnego i i j (możesz napisać "i, j").

macierz wierszy- ta sama matryca, która jest złożona z jednego rzędu, oraz stempel-matryca- Matryca Tse, która jest złożona z jednej stovptsya.

Na przykład, jest macierzą wierszową i .

macierz kwadratowa do n-tego rzędu - macierz, do rzędu do liczby kolumn i do n.

Na przykład macierz kwadratowa innego rzędu.

Przekątna elementy macierzy – elementy docelowe, dla których numer wiersza jest równy numerowi kolumny (a ij, i = j). Elementy Qi spełniają główna przekątna macierze. Z przodu główna przekątna składa się z elementów a 11 = 3 i 22 = 5.

Macierz przekątna- Jest to macierz kwadratowa, w której wszystkie elementy poza przekątną są równe zeru. Na przykład, - Macierz przekątna trzeciego rzędu. Jeśli tak, wszystkie elementy przekątne są równe jeden, to macierz nazywa się samotny(Dźwięki są oznaczone literą E). Na przykład, - Sama macierz trzeciego rzędu.

Matryca nazywa się zero tak, że wszystkie її elementy są równe zeru.

Nazywa się macierz kwadratową trykotowy więc wszystkie elementy poniżej (lub powyżej) przekątnej głowy są równe zeru. Na przykład, - Macierz Tricut trzeciego rzędu.

Operacje na macierzach

Na macierzach można wykonać następujące operacje:

1. Mnożenie macierzy przez liczbę. Dodatkową macierzą dla liczby l jest macierz B = lА, której elementami są b ij = la ij dla dowolnego i i j.

Na przykład yakscho, to .

2. Dodanie matryc. Suma dwóch macierzy A o tym samym rozmiarze m x n nazywana jest macierzą C \u003d A + B, której elementami są ij \u003d a ij + b ij dla „i, j.

Na przykład jak następnie

.

Istotne jest to, że poprzez frontalną operację można: matryca wizualna ten sam rozmiar: różnica A-B\u003d A + (-1) * art.

3. Reprodukcja matryc. Dodatkową macierz A rozwiniętą m x n do rozszerzonej macierzy n x p nazywamy taką macierzą C, której element skóry s ij uzupełnia sumę elementów i-tego rzędu macierzy A na widocznych elementach j-tej kolumna matrycy, tobto. .

Na przykład jak

, wtedy rozwinięcie tworzenia macierzy wyniesie 2 x 3 i uważaj na matkę:

W ten sposób macierz A nazywana jest macierzą zawężoną.

Na podstawie operacji mnożenia dla macierzy kwadratowych, działanie linki u stóp. Dodatni szczebel A m (m > 1) macierzy kwadratowej A nazywamy dodatkowymi macierzami m równymi A, tobto.

Powiedzmy, że dodawanie (zastępowanie) i mnożenie macierzy nie są przeznaczone dla dwóch macierzy, a jedynie do śpiewania najbardziej, co się podoba, we własnym zakresie. Dla znakhodzhennya sumi chi rіznitі matryce їх rozmіr obov'yazkovo mogą być takie same. Przy tworzeniu macierzy liczbę kolumn w pierwszej można zwiększyć o liczbę wierszy w drugiej (takie macierze nazywamy proszęzhenimi).

Przyjrzyjmy się potędze operacji obserwowanych, analogicznym do mocy operacji na liczbach.

1) Przemienne (przesuwające się) prawo składania:

A + B = B + A

2) Skojarzeniowe (szczęśliwe) prawo składania:

(A + B) + C = A + (B + C)

3) Dystrybucyjne (spread) prawo mnożenia jak złożyć:

l(A + B) = lA + lb

A(B+C) = AB+AC

(A + B) C = AC + BC

5) Skojarzone (szczęśliwe) prawo mnożenia:

l (AB) \u003d (lA) B \u003d A (lB)

A(BC) = (AB)C

Potwierdza się, że przesuwające się prawo mnożenia dla macierzy nie zmienia się w przeciwnym kierunku, to znaczy. AB¹ BA. Co więcej, od podstawy AB, podstawa BA niekoniecznie jest wymawiana (macierze mogą nie być akceptowalne, a nawet te same dobuty nie są przypisane, jak w przypadku indukowanego dolnika, wielu macierzy). Ale navіt yakscho do obrazy, zrób to, śmierdzący ryk raznі.

W dobry sposób, prawo przemienności może dodać macierz kwadratową A do pojedynczej macierzy tego samego rzędu, co więcej, sumuje się to do A (mnożenie przez pojedynczą macierz jest tutaj podobne do mnożenia przez jeden przy mnożeniu liczb):

AE = EA = A

Prawdziwe,

Do mnożenia liczb dodajemy jeszcze jedną wielokrotność macierzy. Więcej liczb można dodać do zera lub mniej, jeśli chcesz, aby jedna z nich była równa zero. Nie da się powiedzieć o macierzach, tobto. do macierzy zerowych można dodać dodatkowe niezerowe macierze. Na przykład,

Przyjrzyjmy się operacjom na macierzach.

4. Transpozycja macierzyє operacja przejścia z macierzy A do rozwinięcia m x n do macierzy A T do rozwinięcia n x m, w tych samych wierszach i kolumnach upamiętniono spacje:

%.

Siła operacji transpozycji:

1) Wybraliśmy następujące, aby macierz mogła być transponowana do dwóch, przejdziemy do macierzy wyjściowej: (AT) T = A.

2) Stały mnożnik można winić za znak transpozycji: (lА) T = lА T .

3) Transpozycja dystrybucyjnie pomnożonych dodatkowych macierzy: (AB) T = B T A T i (A + B) T = B T + A T .

Matryce

Dla macierzy kwadratów skóry A wprowadź liczbę |A| vyznachnik. Joga Innodi jest oznaczona literą D.

Tse є ważne na szczycie niskich zadań praktycznych. Znacząco joga metodą kalkulacji.

Dla macierzy pierwszego rzędu її pojedynczy element |А| = D1 = a11.

Dla macierzy innego rzędu її liczbę nazywamy znaczącym, ponieważ oblicza się ją według wzoru |A| \u003d D 2 \u003d 11 * a 22 - 21 * a 12

Dla macierzy A trzeciego rzędu її liczba nazywana jest znaczącym, ponieważ jest obliczana po wzorze

Reprezentuje sumę algebry, która składa się z 6 dodatków, w których skóra wchodzi dokładnie jeden element z rzędu skóry i macierzy macierzy skóry. W celu zapamiętania formuły vyznachnika zwyczajowo przyspiesza się tak zwaną zasadę sztuczek lub zasadę Sarrusa (ryc. 6.1).

Na małej 6,1 pokazano schemat zła, jak wybrać elementy do dodatków ze znakiem plus, - smród jest perebuvayut na przekątnej głowy i na szczytach równoudarowych trikutników i umieść je równolegle. Schemat złotówki vikoristovuєtsya dla znaku dodankіv zі „minus”; na nim zastępca przekątnej głowy jest tak zwany bok.

Liderzy wyższych rzędów są obliczani w sposób rekurencyjny, tobto. następca czwartego rzędu przez następcę trzeciego rzędu, następca piątego rzędu przez następcę czwartego rzędu itd. Aby opisać metodę, konieczne jest wprowadzenie pojęcia moll tego algebraicznego komplementarnego elementu macierzy (najważniejsze jest to, że sama metoda, której będziemy się przyglądać dalej, jest odpowiednia dla trzeciego i drugiego rzędu).

Drobny Mij ​​element a ij macierz n-tego rzędu nazywana jest inicjałem macierzy rzędu (n-1)-tego, pobranego z macierzy A i dopasowania i wiersza i j-tej kolumny.

Macierz skóry n-tego rzędu jest n2 mniejsza w (n-1)-tym rzędzie.

Dodatki algebraiczne Macierz ij elementu ij n-tego rzędu nazywa się yogo minor, przyjmując znak zі (-1) (i + j) :

A ij \u003d (-1) (i + j) * M ij

Z vznachennya viplivaє, scho A ij \u003d M ij, która jest sumą liczb w rzędzie i kolumnie pary, і A ij \u003d -M ij, która nie jest sparowana.

Na przykład jak , następnie ; itd.

Sposób obliczania zleceniodawcy polygaє w ofensywie: znaczący kwadrat macierzy jest bardziej zaawansowaną sumą kreacji elementów w dowolnej kolejności (stovptsya) na ich dodatkach do algebry:

(układ według i-te elementy wydziwianie; );

(Układ dla elementów j-tej kolumny;).

Na przykład,

Znamienne, że na początku pierwotny wzór matrycy trykotowej jest bardziej zaawansowany niż elementy przekątnej głowy.

Sformułujmy główne uprawnienia sędziów.

1. Jeśli jest wiersz lub jeśli macierz składa się tylko z zer, to arbiter jest równy 0 (zgodnie z metodą rozrahunka).

2. Jeśli pomnożysz wszystkie elementy jakiegoś wiersza (stowptsya) macierzy przez tę samą liczbę, to ta sama liczba jest mnożona przez liczbę całkowitą).

Uwaga: za znak znaczącego można winić gorący mnożnik samego rzędu (za znak macierzy, za znak którego można winić gorący mnożnik elementów). Na przykład, , .

3. Gdy macierz її jest transponowana, znaczący nie zmienia się: | A T | = | | (Dowód nie zostanie przeprowadzony).

4. Rozmieszczając przestrzenie dwóch rzędów (stowptsiv) matrycy, arbiter zmienia znak prolegacji.

W celu potwierdzenia wartości kolby dopuszcza się przestawienie dwóch kolejnych rzędów matrycy: i-tego oraz (i+1)-tego. Dla rozrahunka vyznachnika vyhіdnoj matrix rzucam, a dla nowej macierzy (z przestawionymi wierszami) - o (i + 1) - th (jak w niy jest taka sama, więc przesuwa element po elemencie). Następnie, gdy drugi znak jest rozwinięty, skóra uzupełnia matimę algebraiczną o znak prolegujący, więc (-1) zostanie zredukowane nie do kroków (i + j), ale do kroków (i + 1 + j), aw innej formule formuły nie zostaną dodane. W ten sposób znak prymasa zmienia się na protile.

Teraz dopuszczalne jest, aby nie przestawiać kortów, ale jeszcze dwa rzędy, na przykład i-ty i (i + t)-ty. Taka permutacja jest możliwa jako kolejne przesunięcie i-tego rzędu o t rzędów w dół, a (i + t)-tego rzędu - o (t-1) rzędów w górę. Dla kogo zmienia się znak naczelnych (t + t - 1) = 2t - 1 tyle razy. niesparowaną liczbę razy. Otzhe, niech winorośl zmieni resztę.

Podobne dublowanie można zmienić dla stovptsiv.

5. Jeśli macierz ma zastąpić dwa identyczne rzędy (stowptsya), następny jest równy 0.

To prawda, że ​​jeśli te same wiersze (stovptsі) zostaną przegrupowane przez misje, to sama matryca zostanie zabrana przez tych samych nominowanych. Po drugiej stronie, za przednimi żyłami yakistyu, możesz zmienić symbol, tobto. D = -D D = 0.

6. Ponieważ elementy dwóch rzędów (stowptsіv) macierzy są proporcjonalne, liczba jeden jest równa 0.

Ta moc opiera się na mocy wyprzedzającej tego wina na kajdany mnożnika głowy (po winie na kajdany współczynnika proporcji w matrycy będą te same rzędy abo stovpts, w wyniku czego współczynnik zostanie pomnożony przez zero).

7. Suma elementów twórczych dowolnego wiersza (stowptsya) macierzy po algebraicznym dodaniu elementów następnego wiersza (stowptsya) tej samej macierzy jest zawsze większa 0: dla i¹j.

W celu doprowadzenia mocy wystarczy zastąpić j-ty wiersz w macierzy A i-tym wierszem. W skróconej macierzy będą dwa równe wiersze, więc następny jest równy 0. Z drugiej strony można go obliczyć z elementów j-tego wiersza: .

8. Indeks macierzy się nie zmienia, wystarczy do elementów wiersza lub do macierzy dodać elementy kolejnego wiersza (stow), pomnożone przez tę samą liczbę.

Dobrze, dodam do elementów i-tego rzędu j-ty element wiersze pomnożone przez l. Będą widoczne elementy Todiego nowego i-tego rzędu
(a ik + la jk , "k). Obliczmy znak nowego układu macierzy po elementach i-tego wiersza (istotne jest, że algebraiczne dodatki elementów її nie zmieniają się, kiedy to robią):

Odrzuciliśmy, że ten naczelny nie wygląda jak naczelny macierzy zewnętrznej.

9. Znaczące macierze dobutku droższe dobutku їх vyznachnіv: | AB | = | | * |U| (Dowód nie zostanie przeprowadzony).

Spojrzeli na więcej autorytetów wyznaczników i zwycięzców dla wybaczenia ich kalkulacji. Zzvichay namagayutsya perevorit matrix do takiej formy, shchob be-yaky stovpets lub rząd zemsty yaknabіlshe zero. Łatwo jest poznać kolejnego arbitra do układania pierwszego lub drugiego rzędu.

macierz odwrócona

Macierz A-1 nazywa się odwracalny według stosunku do kwadratowej macierzy A, nawet jeśli macierz jest pomnożona przez macierz A, jest prawoskrętna, więc wychodzi pojedyncza macierz: A -1 * A = A * A -1 = E.

Wynika z tego, że macierz odwrotna jest macierzą kwadratową tego samego rzędu co macierz A.

Widać, że rozumienie macierzy przestawnej jest podobne do rozumienia liczby przestawnej (liczba całkowita pomnożona przez podaną liczbę daje jeden: a*a -1 = a*(1/a) = 1).

Numery wąsów, crim zero, mogą owijać numery.

Aby poznać potęgę, jaką jest macierz kwadratowa zwrotu, konieczne jest poznanie arbitra. Jeśli macierz jest równa zeru, to taka macierz nazywa się roślinożerny, lub szczególnie.

Niezbędny wystarczająco dużo umysłu Podstawa matrycy surowicy: matryca surowicy jest taka sama i tylko wtedy, gdy nie stosuje się matrycy niewirogennej.

Sprowadzimy potrzebę. Niech więc macierz będzie macierzą odwrotną A -1. A -1 * A \u003d E. Todi | A -1 * A | = | A-1 | * |A| = | E | = 1. Później,
|A| ¹0.

Wnosimy wystarczalność. Aby to poruszyć, należy po prostu opisać metodę obliczania macierzy surowicy, co zawsze można wykonać dla macierzy innej niż dziewicza.

Otzhe, chodź | | ¹ 0. Transpozycja matrycy A. Dla elementu skóry А Т chodź(Wzajemnie sprzymierzeni):.

Znamy rzeczywistość otrzymanej matrycy i wyjścia. Na wynos . W tej kolejności matryca jest ukośna. Na przekątnej głowicy її znajdują się znaki macierzy wyjściowej, a linie elementów są zerami:

Podobnie możesz pokazać, że .

Jeśli podzielisz wszystkie elementy macierzy przez |A|, to usuniesz pojedynczą macierz E.

Taka ranga , następnie. .

Wprowadzamy jedność macierzy przestawnej. Powiedzmy, że główna macierz odwrotna dla A, domyślna to A -1 . Znacząco її X. Todi А * Х = Е.

A -1 * A * X \u003d A -1 * E

Przyniosła jedność.

Również algorytm obliczania macierzy przestawnej składa się z kolejnych kroków:

1. Poznaj arbitra macierzy | | . Yakscho |A| = 0, wtedy macierz A jest wirogenem, a odwrotna macierz nie może być znana. Yakscho |A| ¹ 0, a następnie przejdź do kroku szydełka.

2. Zachęcaj do transpozycji macierzy AT.

3. Znać algebraiczne elementy komplementarne macierzy transponowanej i indukować daną macierz.

4. Oblicz zawiniętą macierz dzieląc otrzymaną macierz przez |A|.

5. Możesz poprawnie odwrócić poprawność obliczenia macierzy przestawnej do punktu: A -1 * A = A * A -1 = E.

1. Poznajmy numer jeden macierzy stojącej za regułą sztuczek:

Pomińmy przepisywanie.

Możesz uruchomić następujące macierze:

1) | A-1 | = 1 / | |

2) (A-1) -1 = A

3) (Am)-1 = (A-1)m

4) (AB) -1 = B -1 * A -1

5) (A-1) T \u003d (AT) -1

Ranga macierzy

Mniejsze k-te zamówienie do macierzy o wymiarach m x n, aby nazwać element znaczący macierzy kwadratowej k-tego rzędu, pobieranej z macierzy A w celu dopasowania, czy istnieją wiersze i kolumny.

Ważne jest, aby pamiętać, że kolejność małoletniego nie przeważa nad mniejszą, tobto. k £ min (m; n). Np. z macierzy A 5x3 można usunąć podmacierze kwadratowe pierwszego, drugiego i trzeciego rzędu (możliwe jest rozwinięcie rzędów mniejszych).

ranga nazwa macierzy znalezienie porządku w postaci zer w minorach macierzy (wskazać zakres A lub r(A)).

Wow

1) rząd macierzy jest wybierany z najmniejszych s її razmiriv, tobto.
r(A) £ min (m; n);

2) r(A) = 0 i wtedy, jeśli macierz ma wartość zero (wszystkie elementy macierzy równe zeru), to. r(A) = 0 A = 0;

3) dla macierzy kwadratowej n-tego rzędu r(A) = n, a następnie, jeśli macierz A jest nieżyrodowa, to. r(A) = n | | ¹0.

Właściwie komu wystarczy obliczyć więcej niż jednego takiego drobnego (tego, który został odjęty od zmartwychwstania trzeciej kolumny (bo w resht będzie zero trzeciej kolumny, a smród będzie równy zero ).

Za zasadą trykotu = 1*2*(-3) + 3*1*2 + 3*(-1)*4 – 4*2*2 – 1*(-1)*1 – 3*3*(-3) = -6 +6 – 12 – 16 + 1 +27 = 0.

Odłamki wszystkich drugorzędnych trzeciego rzędu wynoszą zero, r(А) £ 2. Odłamki mają niezerowy drugorzędny innego rzędu, na przykład

Oczywistym jest, że akceptowany przez nas vikoristani (spojrzenie na różnych nieletnich) nie nadaje się do wyższej rangi w bardziej złożonych tendencjach poprzez wielką pracę. Brzmi znak rangi matrycy zwycięskich czynów przemiany, jak to nazywają podstawowy:

jeden). V_dkidannya zero wierszy (stovpts_v).

2). Reprodukcja wszystkich elementów wiersza lub macierzy przez liczbę, nie licząc zera.

3). Zmiana kolejności wierszy (stovptsiv) macierzy.

cztery). Dodatek do elementu skóry jednego rzędu (stovptsya) tych samych elementów następnego rzędu (stovptsya), pomnożonych przez liczbę.

5). Transponować.

Ponieważ macierz A jest pobierana z macierzy B przez przekształcenia elementarne, macierze te nazywają się równowartość oznaczam A~B.

Twierdzenie. Elementarne przekształcenia macierzy nie zmieniają rangi.

Dowód twierdzenia wynika z dominacji macierzy. W rzeczywistości podczas tych przekształceń macierze kwadratowe są albo zapisywane, albo mnożone przez liczbę, która nie jest równa zeru. Przez wojnę, to znaczy, największy rząd wiodących zer młodszych zewnętrznej matrycy zostaje sam. її ranga nie ulega zmianie.

Za pomocą elementarnych przekształceń matryca jest podnoszona do tzw. macierz schodkowa), następnie. Zakłada się, że macierz zastępcza pod przekątną głowy miała tylko elementy zerowe, a przekątna głowy miała elementy niezerowe:

Ranga macierzy częstotliwości krokowej jest równa r, odłamki krzyżowego dopasowania z niej stoptsiv, zaczynając od (r + 1) i daleko, można wziąć macierz trójwalutową r-tego rzędu, skalar będzie taki sam jak zero, rzędu nierównego zero):

krupon. Znajdź rangę macierzy

jeden). Jeśli 11 \u003d 0 (jak w naszym przypadku), to poprzez zmianę kolejności wierszy i stovptsіv można osiągnąć 11 ¹ 0. Tutaj pamiętamy 1. i 2. wiersz macierzy:

2). Czy teraz jest 11? 0. Transformacje elementarne Dob'єmosja, shchob shta elementіv na pierwszym stovptsi doіvnyuvali zero. Drugi rząd ma 21 = 0. Trzeci rząd ma 31 = -4. Szloch (-4) stojąc 0, dodając do trzeciego rzędu pierwszy rząd, mnożenia przez 2 (tobto przez (-a 31 / a 11) \u003d - (-4) / 2 \u003d
= 2). Podobnie do czwartego wiersza dodaj pierwszy wiersz (mnożenia przez jeden, a następnie przez (-a 41 / a 11) = - (-2) / 2 = 1).

3). W macierzy subtraktywnej 22 ? 0 (yakbi bulo a 22 = 0, wtedy możesz ponownie zmienić kolejność wierszy). Upewnijmy się, że przekątne poniżej drugiej strony wynoszą zero. Dla trzeciego i czwartego rzędu dodaj kolejny wiersz, mnożenia przez -3 ((-a 32 / a 22) \u003d (-a 42 / a 22) \u003d - (-3) / (-1) \u003d - 3):

cztery). W skróconej macierzy dwa pozostałe wiersze mają wartość zero, a їх można pominąć:

Usunięto matrycę schodkową, która jest składana w dwóch rzędach. Również r(A) = 2.

Tse zrozumienie, scho zagalnyu є wszystkie możliwe operacje, yakі viroblyayutsya z matrycami. Macierz matematyczna - tablica elementów. O takim stole, de m rowkіv ta n stoptsіv, wydaje się, że matryca może być rozmirnіst m na n.

Jasny wygląd matrycy:

Do macierz rozwiązań konieczne jest zrozumienie, czym jest macierz i poznanie głównych parametrów. Główne elementy macierzy:

• Przekątna głowy, która składa się z elementów 11, 22 ..... mn.
• Przekątna boczna, na którą składają się elementy 1n, 2n-1 …..a m1.

Główne typy matryc:

• Kwadrat - taka macierz, liczba wierszy = liczba kolumn ( m=n).
• Zero - wszystkie elementy macierzy = 0.
• Transponowana macierz - macierz Na, jaka bula otrimana z matrycy zewnętrznej Aścieżką, zamień rzędy na filarach.
• Sam - wszystkie elementy przekątnej głowy = 1, linia = 0.
• Macierz odwrócona to macierz, pomnożona przez macierz odwróconą daje w wyniku jedną macierz.

Matryca może być symetryczna zarówno do głowy, jak i do bocznych przekątnych. Tobto, yakscho 12 = 21, a 13 = a 31, .... a 23 = a 32 .... a m-1n = a mn-1 wtedy matryca jest symetryczna wzdłuż głównej przekątnej. Więcej niż macierze kwadratowe mogą być symetryczne.

Metody macierzy rozvyazannya.

Mayzhe wszystko metoda transformacji macierzy leżeć przy słynnym її vyznachnik n Kolejność i więcej z nich do zrobienia niewygodnych. Aby poznać naczelnych drugiego i trzeciego rzędu, istnieją inne, bardziej racjonalne sposoby.

Znakhodzhennya vyznachnikі w drugiej kolejności.

Do obliczenia macierzy ALE W drugim rzędzie do tworzenia elementów na przekątnej głowy należy dodać dodatkowe elementy na przekątnej bocznej:

Metody poznania III rzędu.

Poniżej znajdują się zasady znajomości III rzędu.

Zasada trikutnika została uproszczona, jak jeden metody matryc wiśniowych, można przedstawić w następujący sposób:

Innymi słowy, odbiór elementów od pierwszego arbitra, jakby były proste, przyjmowany jest ze znakiem „+”; ot tak, dla 2. urzędnika - najważniejsze kreacje brane są ze znakiem "-", a więc dla takiego schematu:

Na rozwiązywanie macierzy według reguły Sarrusa, prawostronny, w kierunku osoby podpisującej, dodaj 2 pierwsze kolumny i utwórz najważniejsze elementy na przekątnej głowy, a na przekątnych, podobnie jak i-ty równoleżnik, weź 3 ze znakiem „+”; ale utwórz dwa elementy przekątnych bocznych i przekątnych, jak równoleżniki, ze znakiem "-":

Razkladannya vyznachnik w kolejności liczby macierzy stovptsyu na godzinę vіrіshennya.

Wyznacznik jest lepszą sumą kreacji elementów rzędu wyznacznika na ich dodatkach algebry. Zadzwoń, aby wybrać ten rząd / piecyki, w sposób, który wynosi zero. Rząd lub rząd, według którego wykonywany jest układ, zostanie oznaczony jako strzałka.

Sprowadzenie prymasa do trykotu, spójrz na godzinę matryc wiśni.

Na macierz rozwiązań Z pomocą doprowadzenia prymasa do trykotowego wyglądu, ćwicz tak: za pomocą najprostszych przekształceń nad rzędami pieśni prymas staje się trykotowym wyglądem i tym samym znaczeniem, widocznie na mocy prymasa, elementy dobutku , jak stojąc po przekątnej głowy.

Twierdzenie Laplace'a o doskonałości macierzy.

Widząc macierze za twierdzeniem Laplace'a, konieczne jest poznanie samego twierdzenia bez pośrednictwa. Twierdzenie Laplace'a: chodź Δ - tse vyznachnik n rzędu. Vibiraemo w nowym be-yakі k rowkiv (abo stovptsiv), dla umysłu k≤ n - 1. Taki czas ma sumę prac k th rozkaz, co pomścić wybranych k wiersze (stowptsyah), na ich algebraicznych dodatkach do vyznachnika.

Macierz Virshennya.

Sekwencja dla roztwór matrycy surowicy:

1. Zrozum, że podana jest macierz kwadratowa. W czasach negatywnej opinii staje się jasne, że macierz ślinowa nie może być.
2. Obliczanie dodatków do algebry.
3. Tworzymy sojuszniczą (na zasadzie wzajemności) macierz C.
4. Dodanie macierzy odwrotnej z dodatkami do algebry: wszystkie elementy danej macierzy C dilimo na matrycy kolb. Macierz podsum będzie losowo zdefiniowaną macierzą przestawną.
5. Sprawdzamy robota vikonana: mnożymy macierz poczatkowa i pomijamy macierz, wynikiem może być pojedyncza macierz.

Macierze systemów Virishennya.

Do rozwiązania dla systemów macierzowych Najpopularniejszą metodą jest metoda Gaussa.

Metoda Gaussa jest standardowym sposobem wyprowadzania systemów wyrównań liniowych algebry (SLAE) i poliga vin w tym, że kolejno włączane są zmiany, więc dla dodatkowych zmian elementarnych układ wyrównań jest doprowadzany do ekwiwalentu (za numer) znać element skóry systemu.

Metoda Gausє najbardziej uniwersalne i najlepsze narzędzie do rozwiązywania macierzy. Tak jak system ma rozwiązanie bezosobowe lub system nie jest sumaryczny, tak nie można naruszyć zasady Cramera i metody macierzowej.

Metoda Gaussa to również przejście bezpośrednie (redukcja rozwiniętej macierzy do schodkowego wyglądu, tak że zera są usuwane pod przekątną głowy) i odwrotne (zera są usuwane powyżej przekątnej głowy rozwiniętej macierzy). Nagłówek bezpośredni to metoda Gaussa, odwrotna - metoda Gaussa-Jordana. Metoda Gaussa-Jordana jest podobna do metody Gaussa, z wyjątkiem sekwencji zmian.

Spotkanie 1. Matryca A do światam n wywoływana jest tabela prostokątna z m wierszami i n kolumnami, które są sumowane z liczbami lub innymi zmiennymi matematycznymi (rzędami elementów macierzy), i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3 , ..., rz.

, lub

Spotkanie 2. Dwie macierze
і
nazywają się tym samym rozmiarem równy, które są posortowane element po elemencie, czyli. =, i = 1,2,3, ..., m, j = 1,2,3, ..., n.

Dla dodatkowych macierzy łatwo jest spisać akty lokat ekonomicznych, np. tabele podziału zasobów według aktów gospodarki.

Spotkanie 3. Tak więc liczba wierszy w macierzy to zbіgaєtsya z її stovptsіv, więc. m = n, wtedy macierz jest nazywana kwadratowy porządekn, i w innym świetle prostoliniowy.

Spotkanie 4. Przejście z macierzy A do macierzy A t, w której wiersze i kolumny zostały upamiętnione przez miejsca z kolejności zapisu, nazywane są transpozycja macierze.

Zobacz macierz: kwadrat (rozmiar 33) -
,

prostoliniowy (rozmiar 25) -
,

przekątna -
, pojedynczy -
, zero -
,

wiersz macierzy -
, macierz-stowpets -.

Spotkanie 5. Elementy macierzy kwadratowej rzędu n o tych samych indeksach nazywamy elementami przekątnej głowy, czyli. ce pierwiastki:
.

Spotkanie 6. Elementy macierzy kwadratowej rzędu n nazywamy elementami przekątnej bocznej, ponieważ ich indeksy to n + 1, to znaczy. Elementy: .

1.2. Operacje na macierzach.

1 0 . sumoyu dwie macierze
і
ten sam rozmiar nazywa się macierzą С = (з ij), której elementy są równe ij = a ij + b ij (i = 1,2,3,…,m, j = 1,2,3,… ,n).

Siła działania matryc składanych.

Dla be-yakah macierze A,B,C jeden rozіru vykonuyutsya rivnostі:

1) A + B = B + A (przemienność),

2) (A + B) + C \u003d A + (B + C) \u003d A + B + C (łączność).

2 0 . Tvorom matryce
za liczbę  zwana macierzą
tego samego wymiaru co i jest macierzą A, ponadto b ij =  (i = 1,2,3,...,m,j = 1,2,3,...,n).

Potęga operacji mnożenia macierzy przez liczbę.

(А) = ()А (łączność mnożnikowa);

(А+В) = А+В (dystrybucja wielokrotności losowo zwijających się macierzy);

(+)А = А+А (rozdzielczość mnożenia liczb losowych).

Spotkanie 7. Liniowa kombinacja macierzy
і
ten sam rozmiar nazywa się w postaci A + B, de  i  - liczby wystarczające.

3 0 . Dobutcom A  Matryce A i vіdpovіdno razmіrіv mn w nk nazywa się macierzą 3 expіrum mk, tak że element z ij jest sumą elementów kreatywnych w i-tym wierszu macierzy A w j-tej kolumnie macierzy B, tobto. h ij = a ja 1 b 1 j + a ja 2 b 2 j + ... + a ik b kj .

Tylko w takim przypadku stosuje się Dobutok AB, ponieważ liczba kolumn macierzy A zmienia się wraz z liczbą wierszy macierzy.

Siła działania macierzy mnożenia:

(АВ)С = А(ВС) (łączność);

(А+В)С = АС+ВС (dystrybucja macierzy fałdujących się losowo);

А(В+С) = АВ+АС (dystrybucja macierzy fałdujących się losowo);

АВВА (nie przemienne).

Spotkanie 8. Macierze A i B, dla których AB = BA, nazywane są dojazdami lub dojazdami.

Reprodukcja macierzy kwadratowej, bez względu na kolejność na innej pojedynczej macierzy, nie zmienia macierzy.

Spotkanie 9. Transformacje elementarne macierze nazywane są takimi operacjami:

Zastąpienie dwóch rzędów (stovptsiv) misjami.

Reprodukcja elementu skóry rzędu (stovptsya) przez liczbę nie równą zeru.

Dodanie do elementów jednego rzędu (stowptsya) elementów drugiego rzędu następnego rzędu (stowptsya).

Spotkanie 10. Macierz, otrimana z macierzy A za pomocą elementarnych przekształceń nazywa się równowartość(podpis BA).

tyłek 1.1. Poznaj kombinację liniową macierzy 2A-3B, np.

,
.

,
,

.

krupon 1.2. Poznaj macierz doboot
, tak jak

.

Rozwiązanie: liczba kolumn w pierwszej macierzy zmienia się z liczby wierszy w innej macierzy, następnie używana jest dodatkowa macierz. W rezultacie bierzemy nową macierz
, de

W rezultacie bierzemy
.

Wykład 2. Mianowani. Obliczanie vyznachniki w innej, trzeciej kolejności. Władza nominowanychnrzędu.