2 tipo integracija

Pažiūrėkime į kreivinį 2-osios rūšies integralą, kur L yra kreivė, jungianti taškus M ir N. Tegul funkcijos P(x, y) ir Q(x, y) gali nepertraukiamai vaikščioti privačiai realioje srityje D, kurioje paviršiaus guli kreivė L. Svarbu tai, kad kai kuriose analizėse kreivinis integralas negali būti nusodintas į kreivės L formą, tik taškai M ir N yra išplėsti.

Nubrėžiame dvi papildomas kreives MSN ir MTN, kurios yra atstumu D ir jungia taškus M ir N (14 pav.).

Sakykim, ką, tobto

de L - uždara kilpa, lankstymas iš MSN ir NTM kreivių (taip pat galima pridėti ir daugiau). Tokiu būdu proto nepriklausomumas nuo 2-osios rūšies kreivinio integralo integravimo būdu yra lygus protui, kad toks integralas už bet kurio uždaro ciklo yra lygus nuliui.

5 teorema (Greino teorema). Visuose tikrosios srities D taškuose nurodykite funkcijas P(x, y) ir Q(x, y) ir jų privačius perėjimus. Tada, kad būtų uždaras kontūras L, esantis D srityje

būtinas ir pakankamas visuose regiono D taškuose.

Atvežimas.

1) Gerovė: paleisk protą = vikonano. Pažiūrėkime į uždaresnį regiono D kontūrą L, kuris supa sritį S, ir parašykime naujojo Greeno formulę:

Otzhe, atnešė pakankamai.

2) Būtinumas: tarkime, kad protas buvo įrašytas į D srities odos tašką, bet jei norite rasti vieną srities centro tašką, kuriame -? 0. Nagi, pvz., taške P(x0, y0) gal: - > 0. Taigi, kadangi kairioji nervingumo dalis atlieka nepertraukiamą funkciją, ar ji bus teigiama ir didesnė dieną? > 0 mažame regione D`, kad atkeršytų už tašką P. Otzhe,

Svarbu atsižvelgti į Greeno formulę

de L` – kontūras, supantis plotą D`. Tsey rezultatas superchit proto. Taip pat = visuose regiono D taškuose, kuriuos reikėjo atnešti.

Pagarba 1. Panašiai, trivi-pasaulinei erdvei, galima atnešti reikiamą ir pakankamą kreivinio integralo nepriklausomybės protą.

integracijos kryptimi є:

2 pastaba. Kai vykonannі mintys (52) viraz Pdx + Qdy + Rdz є viršutinis diferencialas faktinė funkcija. Tai leidžia apskaičiuoti kreivinio integralo apskaičiavimą iki nurodytos skirtumo reikšmės ir integravimo kontūro galo bei sijos taškuose, mastelio keitimo

Kuriai funkcijai i galima sužinoti iš formulės

de (x0, y0, z0) - srities D taškas, o C - tapo pakankamai. Iš tiesų, lengva supainioti, kad privačios funkcijos, pateiktos pagal (53) formulę, yra lygios P, Q ir R.

užpakalis 10.

Apskaičiuokite 2-osios rūšies kreivinį integralą

išilgai visos kreivės, jungiančios taškus (1, 1, 1) ir (2, 3, 4).

Eikime toliau, ką mano vikonai (52):

Otzhe, funkcija yra. Mes žinome її už formulės (53), nustatę x0 = y0 = z0 = 0. Tada

Šiame range funkcija ir yra nustatytas tikslumu iki pakankamo komandiravimo dodanku. Tarkime, kad Z = 0, tada u = xyz. Otzhe,

Pažiūrėkime į kreivinį integralą

imantis po deka su plokščia kreive L, kuris jungia taškus Mі N. Tarkime, kad funkcijos P(x, y)і Q(x, y) gali būti nepertraukiamos privačios šventės rajone, kurį matote D. Žinoma, tokiems rašantiems protams kreivinis integralas negali būti kreivės pavidalu L, o nusodinti tik burbuolės ir galinio taško padėtyje Mі N.

Pažvelkime į dar dvi kreives MPNі MQN, kuris yra šalia atviros zonos D ir sujungimo taškai Mі N. Nagi

(1)

Tada, remiantis laipsniais 1 ir 4 kreiviniai integralai gali būti:

tobto. uždaro ciklo integralas L

Likusioje formulės dalyje uždaro kontūro ėmimų kreivinis integralas L sulankstytas iš kreivių MPNі NQM. Tsey kontūras L jūs galite, aišku, vvazhati dovilnym.

Turėdami šį rangą, atminkite:

taigi bet kurių dviejų taškų M ir N kreivinis integralas yra ne kreivės pavidalu, o tik kreivės pavidalu, o tik šių taškų padėtyje, toliau, ką kreivinis integralas už bet kurio uždaro kontūro yra lygus nuliui .

Teisingas ir nedoras visnovok:

jei kreivinis integralas už bet kurio uždaro ciklo yra lygus nuliui, tai šis kreivinis integralas negali būti kreivės pavidalu, kuri yra tarp dviejų taškų, ir gulėk tik tsikh stovyklose taškas . Tai tiesa, scho of equivalent (2) gausus lygiavertiškumas (1)

Teorema

Tegul funkcijos P(x, y), Q(x, y) bus naudojamos visuose deaco regiono D taškuose vienu metu su savo privačiomis ir be pertrūkių. Tada, norint turėti kreivinį integralą už bet kurios uždaros kilpos L, esančios kambario centre, siekiantis nulį, tada. šob

(2΄)

būtinas ir pakankamas vikonannya lygiavertiškumas

visuose D zonos taškuose.

Atneša

Pažvelkime atidžiau į uždarą grandinę L regione D o naujam rašome Greeno formulę:

Jei laimi protas (3), tada neįvertintas integralas, kuris kainuoja blogį, taip pat yra lygus nuliui i, tada,

tokiu būdu, pakankamumo skalbti (3) atnešė.

Atneškime dabar būtinybė protas, tobto. gali būti, kad lygumas (2) laimi bet kurią uždarą kreivę L regione D, tada regiono odos taške nugali protas (3).

Kita vertus, priimtina, kad pavydas (2) laimi, tobto.

o Umovas (3) nelaimi, tobto.

karštas bi viename taške. Nagi, pavyzdžiui, dainavimo taškas gali būti nervingas

Kadangi kairioji nervingumo dalis atlieka nepertraukiamą funkciją, ji bus teigiama ir daugiau nei tam tikras skaičius visuose taškuose pasiekti mažą plotą, kad atkeršytų už tašką. Vіzmemo podvіyny іntegra in іy galluzі vіd raznitsi. Vin matime turi teigiamą reikšmę. Tiesa,

Ale už Green formulės, kairioji likusio nelygumo dalis yra arčiau kreivinio integralo virš tarpregiono, kuris už nuolaidų yra arčiau nulio. Otzhe, ostannya nerіvnіst supercheat protai (2), otzhe, pripuschennya, mokyklų mainai ant vіdminu vіd nulis nori būti vienu metu, ne taip. Skamba rėkiai, ką

visuose taškuose D.

Otzhe, teorema vėl baigta.

Diferencialinių lygių vestuvių valandą tai buvo priminta

yra lygiavertis tam, kad viraz pdx + Qdyє naujausias dabartinės funkcijos skirtumas u(x, y), tada.

Ale in tsomu vipadku vektorius

є gradiento funkcija u(x, y);

Funkcija u(x, y), gradientas panašus į vektorių potencialus kuris vektorius.

Praneškite mums tai kuris turi kreivinį integralą Už bet kurios kreivės L, jungiančios taškus M ir N, skirtumas tarp funkcijos i reikšmių šiuose taškuose:

Atneša

Jakšo Рdx + Qdyє viršutinis funkcijos skirtumas u(x, y), tada pažvelgsiu į kreivinį integralą

Šiam integralui apskaičiuoti rašome parametrinį kreivės išlygiavimą L, kuris jungia taškus Mі N:

Viraz, ką stovėti prie šventyklų, veikti t, kuri yra visiškai panaši funkcija pagal t. Tomas

Jak mi bachimo, kreivinis integralas ištisinio diferencialo pavidalu negali būti kreivės pavidalu, kuriam būtina integracija.

Šiuo būdu:

turėkite omenyje antrosios rūšies kreiviųjų integralų nepriklausomybę formuokite integracijos būdą taip:

Yakshcho į deakіy galuzі P(x, y)і Q(x, y) be pertrūkių kartu su savo i, tada:

1. srityje D nemeluokite formoje integracijos būdai, yakscho yogo reiškia už shmatkovo lygaus kreivės, scho gulėti prie tsіy galuzі ir mama zagalny cob і zagalny kіnets tačiau.

2. integralas uzdovzh be-kaip uždara kreivė L, kuris yra regione D lygus nuliui.

3. Pagrindinė funkcija u(x, y), skirtas yakoї viraz pdx+qdyІsnuє povny diferencialas, tada.

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = du.

5

srities odos taške D.

Integralo skaičiavimui, kad nepatektų į integralo kontūrą

toliau pasirinkti kaip labiausiai navigacinį lamano integracijos kelią, kad jungimosi taškai ir lankos būtų lygiagrečios ašims Ox ir Oy.

Pidintegral Viraz P(x, y)dx + Q(x, y)dy protų paskyrimui viršutinis diferencialas vaidybos funkcijos u = u(x, y) tobto.

du(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy

funkcija u(x, y)(originalas) galite žinoti, kaip apskaičiuoti dažniausiai pasitaikantį kreivinį integralą pagal lamania de – ar tai būtų fiksuotas taškas, B(x, y) – keitimo taškas, o taškas yra maksimali koordinatė X kad . Todi vzdovzh maєmo, kad dy = 0, ir vzdovzh maєmo x = konstі dx = 0.

Paimkime šią formulę:

Panašiai, integruojant lamanoy de otrimaemo

Taikyti

1. Apskaičiuoti

Šis integralas turi būti dedamas palei integravimo kontūrą, nes

Mes pasirenkame kaip laman integravimo būdą, tiesės lygiagrečios koordinačių ašims. Pirmoje šakoje:

Kitoje vietoje:

Otzhe,

2. Pirmiausia žinok u, Kaip

Nagi ir kontūruok Prieš ir lamana OMN. Todi

3. Žinok, jakšo

Čia neįmanoma paimti koordinačių burbuolės taško, nes šiame funkcijos taške P(x, y)і Q(x, y) nepriskirta, už tai imame kaip tašką, pavyzdžiui,. Todi

4. Žinokite vietovę, apsuptą elipsų

Figūros plotas, surauktas HOW srityje ir apjuostas uždara linija C, apskaičiuojamas pagal formulę

,

de kontūras Z aplenkiamas teigiama kryptimi.

Kreivinę integrą paverskime daina, sukurdami pokytį

Parametras t pereiti vertes nuo 0 iki 2?

Toks rangas

3. Aukščiausias kreivinis integralas per lanko ilgį L yakscho L– žiedinių kopūstų cikloidas

UŽDUOTYS TEMA „KREIVINĖS INTEGRALUS“

1 variantas

De L yra XOY plokštumoje esančių taškų A(0;-2) ir B(4;0) tiesės trikampis.

vzdovzh lamanoї L:OAB, de O(0,0), A(2,0), B(4,5). Apeiti antimetinės rodyklės kontūrą.

Už koordinačių, nes L yra elipsės lankas, esantis pirmajame ketvirtyje.

De L – trikovės su viršūnėmis A(1,1), B(2,2), C(1,3) kontūras. Apeiti antimetinės rodyklės kontūrą.

ir išmanai jogą.

7. Jėgos lauką sukuria jėga F(x, y), kuri leidžia fiksuoti daugiau taškų koordinačių burbulėje ir nukreipti į koordinačių burbulą. Kad robotas žinotų lauko stiprumą, taikomą vienos masės materialaus taško poslinkiui išilgai parabolės lanko y2 = 8x nuo taško (2; 4) iki taško (4; 4).

2 variantas

1. Apskaičiuokite kreivinį integralą virš lanko krašto (Dekarto koordinatės).

De L yra tiesiojo taško, jungiančio O (0; 0) ir A (1; 2), susitraukimas.

2. Apskaičiuokite kreivinį integralą čia L yra parabolinis lankas nuo taško A(-1;1) iki taško B(1,1). Apeiti antimetinės rodyklės kontūrą.

3. Apskaičiuokite kreivinį integralą yakscho L - lankinis kuolas kas yra 1 ir 2 kvadratuose. Apeikite kontūrą už metų rodyklės.

4. Zastosovuyuchi Green formulė, apskaičiuokite integralą, de L - kontūrą, linijos ir priešingos ašies OX sprendinius apeinant anti-Godinnikovo rodyklės kontūrą.

5. Nustatyti, kaip apskaičiuojamas integralo proto nepriklausomumas integralo integravimo kryptimi ir išmanai jogą.

6. Dar kartą peržiūrėkite chi є užduotis su nauju funkcijos U(x, y) diferencialu ir žinokite її.

7. Jėgos lauko odos taške jėga gali būti tiesiogiai neigiama ir lygi programos taško abscisių kvadratui. Žinoti roboto lauką judant vieną parabolinę masę iš taško (1,0) į tašką (0,1).

3 variantas

1. Apskaičiuokite kreivinį integralą virš lanko krašto (Dekarto koordinatės).

1. de L - parabolės lanką mato parabolė.

2. Apskaičiuokite kreivinį integralą Yakscho L-viela yra tiesi linija, jungianti taškus A(0,1), B(2,3). Apeiti antimetinės rodyklės kontūrą.

3. Apskaičiuokite kreivinį integralą, nes L yra pirmojo cikloido lanko lankas. Apeikite kontūrą už metų rodyklės.

4. Zastosovuyuchi Green formulė, apskaičiuokite integralą de L – elіps Obkhіd antigodinnikovo strėlės kontūras.

5. Nustatyti, kaip apskaičiuojamas integralo proto nepriklausomumas integralo integravimo kryptimi ir išmanai jogą.

6. Dar kartą peržiūrėkite chi є užduotis su nauju funkcijos U(x, y) diferencialu ir žinokite її.

7. Apskaičiuokite roboto jėgą ir viršutinės elipsės pusės materialaus taško judėjimo valandą. iš taško A (a, 0), taško B (-a, 0).

4 variantas.

1. Apskaičiuokite kreivinį integralą virš lanko krašto (Dekarto koordinatės).

1. de L - kvadrato kontūras

2. Apskaičiuokite kreivinį integralą čia L yra taško А(0,0) parabolės lankas iki taško (1,1). Apeiti antimetinės rodyklės kontūrą.

3. Apskaičiuokite kreivinį integralą yakscho L - viršutinė elipsės pusė Apeikite kontūrą už metų rodyklės.

4. Naudodami Green formulę apskaičiuokite integralą de L - triko su viršūnėmis A (1; 0), B (1; 1), C (0,1) kontūrą. Apeiti antimetinės rodyklės kontūrą.

6. Dar kartą peržiūrėkite chi є užduotis su nauju funkcijos U(x, y) diferencialu ir žinokite її.

7. Jėga veikiama kuolo odos taške su projekcijomis koordinačių ašyje є Priskirkite robotui jėgą tą valandą, kai perkeliamas medžiagos taškas išilgai kuolo. Kodėl robotas kainuoja nulį?

5 variantas.

1. Apskaičiuokite kreivinį integralą virš lanko krašto (Dekarto koordinatės).

De L - tiesi linija, jungianti taškus 0 (0,0), і A (4; 2)

2. Apskaičiuokite kreivinį integralą, nes L yra kreivio taško, einančio iš A(0,1) į tašką B (-1,e), lankas. Apeiti antimetinės rodyklės kontūrą.

3. Apskaičiuokite kreivinį integralą kaip L - 1 statymo ketvirtis Apeikite kontūrą už metų rodyklės.

4. Zastosovuyuchi Green formulė, apskaičiuokite integralą de L - kontūras, aplinka ir apeinant priešingos rodyklės kontūrą.

5. Nustatyti, kaip apskaičiuojamas integralo proto nepriklausomumas integralo integravimo kryptimi ir išmanai jogą.

6. Dar kartą peržiūrėkite chi є užduotis su nauju funkcijos U(x, y) diferencialu ir žinokite її.

7. Laukas sukuriamas jėga // = tiesus būdas nustatyti pjūvį iš tiesios linijos spindulio - taško її zastosuvannya vektorius. Žinoti roboto lauką, kai materialusis m masės taškas perkeliamas už kuolo lanko iš taško (a, 0) į tašką (0, a).

6 variantas

1. Apskaičiuokite kreivinį integralą virš lanko krašto (Dekarto koordinatės).

De L – ketvirtadalis statymo, kuris yra I kvadrante.

2. Apskaičiuokite kreivinį integralą yakcho L - laman ABC, A (1; 2), B (1; 5), C (3; 5). Apeiti antimetinės rodyklės kontūrą.

3. Apskaičiuokite kreivinį integralą, nes L yra viršutinė statymo pusė Apeikite kontūrą už metų rodyklės.

4. Zastosovuyuchi Green formulė, apskaičiuokite integralą de L - kontūrą, aplinką, apeinant antigodinnikovo strėlės kontūrą.

5. Nustatyti, kaip apskaičiuojamas integralo proto nepriklausomumas integralo integravimo kryptimi ir išmanai jogą.

6. Dar kartą peržiūrėkite chi є užduotis su nauju funkcijos U(x, y) diferencialu ir žinokite її.

7. Žinokite spyruoklės jėgos veikimą tiesiai ant koordinačių burbuliuko, nes jėgos sąstingio taškas apibūdina priešingą elipsės ketvirčio rodyklę kas slypi I kvadrante. Jėgos dydis yra proporcingas taško atstumui iki koordinačių burbuliuko.

7 variantas.

1. Apskaičiuokite kreivinį integralą virš lanko krašto (Dekarto koordinatės).

De L – parabolės dalis nuo taško (1, 1/4) iki taško (2; 1).

2. Apskaičiuokite kreivinį integralą de L – tiesės viršūnė, jungianti taškus B (1; 2) ir B (2; 4). Apeiti antimetinės rodyklės kontūrą.

3. Apskaičiuokite kreivinį integralą kaip L – pirmoji cikloido arka Pagal kontūrą už metų rodyklės.

5. Nustatyti, kaip apskaičiuojamas integralo proto nepriklausomumas integralo integravimo kryptimi ir išmanai jogą.

6. Dar kartą peržiūrėkite chi є užduotis su nauju funkcijos U(x, y) diferencialu ir žinokite її.

7. Vienos masės materialusis taškas jėgos kryptimi juda kuoliuku, kurio projekcijos yra koordinačių ašyje є . Sukelkite jėgą ant odos stulpo. Žinokite kontūro darbą.

8 variantas.

1. Apskaičiuokite kreivinį integralą virš lanko krašto (Dekarto koordinatės).

De L - stačiakampio, kurio viršūnės yra taškuose 0 0 (0; 0), A (4; 0), B (4; 2), C (0; 2), kontūras.

2. Apskaičiuokite kreivinį integralą, pavyzdžiui, L yra parabolės lankas nuo taško A (0; 0) iki taško B (1; 2). Apeiti antimetinės rodyklės kontūrą.

3. Apskaičiuokite kreivinį integralą yakscho L – kuolo dalis 1. Apeikite kontūrą už metinės rodyklės.

4. Zastosovuyuchi Green formulė, apskaičiuokite integralą de L - trikotažo kontūras su viršūnėmis A (0; 0), B (1; 0), C (0; 1). Apeiti antimetinės rodyklės kontūrą.

5. Įdiegti, chi vykonuetsya proto nepriklausomybę integralas integracijos būdas integralas ir žinoti jogą.

6. Dar kartą peržiūrėkite chi є užduotis su nauju funkcijos U(x, y) diferencialu ir žinokite її.

7. Materialusis taškas juda su elipsė pіd dієyu jėga, kurios vertė yra brangiausias taškas iki elipsės centro ir yra ištiesintas iki elipsės centro. Apskaičiuokite roboto stiprumą, kaip tašką apeiti visus elipus.

9 variantas.

1. Apskaičiuokite kreivinį integralą virš lanko krašto (Dekarto koordinatės).

De L – parabolės lankas, esantis tarp taškų

A , (2;2).

2. Apskaičiuokite kreivinį integralą čia L yra tiesės, jungiančios taškus A (5; 0) ir B (0,5), susiaurėjimas. Apeiti antimetinės rodyklės kontūrą.

3. Apskaičiuokite kreivinį integralą, pvz., L – elipsės lanką tarp taškų, kuris parodys kontūro perimetrą už metų rodyklės.

4. Zastosovuyuchi Green formulė, apskaičiuokite integralą de L - aplink skaitiklio rodyklės kontūrą.

5. Nustatyti, kaip apskaičiuojamas integralo proto nepriklausomumas integralo integravimo kryptimi ir išmanai jogą.

6. Dar kartą peržiūrėkite chi є užduotis su nauju funkcijos U(x, y) diferencialu ir žinokite її.

7. Kreivės odos taške veikiama jėga, kurios projekcijos koordinačių ašyse rodo jėgos darbą, kai vienos masės materialusis taškas perkeliamas išilgai kreivės iš taško M (-4; 0) iki taško N (0; 2).

10 variantas.

1. Apskaičiuokite kreivinį integralą virš lanko krašto (Dekarto koordinatės).

De L – tiesi linija, jungianti taškus A

2. Apskaičiuokite kreivinį integralą, pavyzdžiui, L yra kreivės lankas nuo taško A(1;0) iki B(e,5). Apeiti antimetinės rodyklės kontūrą.

3. Apskaičiuokite kreivinį integralą, nes L yra stulpo lankas kas yra 1U kvadrate. Apeikite kontūrą už metų rodyklės.

4. Naudodami Green formulę apskaičiuokite integralą de L - triko su viršūnėmis A (1; 0), B (2; 0), C (1; 2) kontūrą. Apeiti antimetinės rodyklės kontūrą.

5. Nustatyti, kaip apskaičiuojamas integralo proto nepriklausomumas integralo integravimo kryptimi ir išmanai jogą.

6. Dar kartą peržiūrėkite chi є užduotis su nauju funkcijos U(x, y) diferencialu ir žinokite її.

7. Jėga veikiama tiesės odos tašku, kurio projekcijos yra koordinačių ašyje. Apskaičiuokite robotą, kurį veikia jėga, kai materialus taškas perkeliamas išilgai linijos nuo M (1; 0) iki taško N. (0; 3).

4 paskaita

Tema: Greeno formulė. Išvalykite kreivinio integralo nepriklausomybę integravimo būdu.

Greeno formulė.

Greeno formulė nustato ryšį tarp kreivinio integralo per uždarą kontūrą Г plokštumoje ir apatinio integralo, esančio kontūru apsuptoje srityje.

Kreivinis integralas virš uždaro kontūro Г žymimas simboliu Uždaras kontūras Г prasideda pagrindiniame kontūro taške ir baigiasi taške B. Integralas išilgai uždaro kontūro nelydi, jei pasirinktas taškas B.

Paskyrimas 1. Kontūro G aplenkimas laikomas teigiamu, nes apeinant kontūrą G sritis D tampa kairiarankė. P + - grandinė P apeina teigiamą kryptį, P - - grandinė apeina neigiamą. priešinga kryptimi

G+

X

Y

c

d

X = x 1 (y)

X = x 2 (y)

a

b

B

C

Y=y 2 (x)

Y= y 1 (x)

m

n

Pažvelkime į pagrindinį integralą

.

Panašiai galima teigti, kad:

Iš (1) ir (2) lygybių reikia:

Otzhe,

„Green“ susmulkintų praleidimų formulė buvo baigta.

Pagarba 1. Greeno formulė išlieka teisinga, nes tarp G regiono D ir tikrųjų tiesių linijų, lygiagrečiai ašiai 0X arba 0Y dviejuose taškuose pasislenka žemiau. Krim ts'ogo, Greeno formulė galioja n žvaigždžių regionams.

Nuplaukite kreivinio integralo nepriklausomybę kaip integraciją plokštumoje.

Šioje pastraipoje tai nesunku suprasti, pavyzdžiui, vikonistams kreivinis integralas nukrenta integracijos kryptimi ir patenka į integracijos burbuolės ir galutinių taškų formą.

1 teorema. Kad būtų kreivinis integralas neslepiant integracijos kelyje vienos grandies regione, būtina ir pakanka, kad integralas, einantis išilgai uždaro, šmatkovo lygaus kontūro šioje srityje, pasiektų nulį.

Įrodymas: būtinybė. Duota: deponuoti integracijos kryptimi. Būtina nustatyti, kad kreivinis integralas už uždaro, lygaus ir lygaus kontūro būtų lygus nuliui.

Paimkime gabalais lygų uždarą kontūrą G šalia srities D. Kontūre G paimkite dar kelis taškus B ir C.

G

D

n

m

B

C

Oskіlki guli integracijos kelyje, tada

, tada.

Gerovė. Duota: Kreivinis integralas Be-yakim zaknenim shmatkovo-lygus kontūras iki nulio.

Būtina įrodyti, kad integralas turi būti deponuojamas integravimo kryptimi.

Pažvelkime į kreivinį integralą, esantį už dviejų sumaišytų-lygių kontūrų, jungiančių taškus B ir C. Už proto:

Tobto. kreivinis

integralas deponuoti integracijos kryptimi.

2 teorema. Eikite be pertraukų tuo pačiu metu su privačiais pasivaikščiojimais ir vienos grandies erdvėje D. Kad būtų kreivinis integralas Nenusileisti integracijos kelyje yra būtina ir pakanka, kad D divizija iškovojo pergalę

Įrodymas: pakanka. Duota:. Reikia atsinešti ką deponuoti integracijos kryptimi. Kam užtenka ką atnešti dovnyuє nulis už uždaro, shmatkovo lygaus kontūro. Pagal Greeno formulę galime:

Būtinybė. Duota: Pagal 1 teoremą kreivinis integralas deponuoti integracijos kryptimi. Reikia atsinešti ką

6. Sing integralo vidutinės reikšmės formulė.

7. Integralas per besikeičiančią viršutinę ribą. Jogas bezperervnіst kad diferenciacija.

8. Niutono-Leibnizo formulė sing integralui.

9. Sing integralo apskaičiavimas dalimis ir pokyčio pakeitimas.

10. Dainavimo integralo susiuvimas (plokščios figūros plotas, lenkto lanko ilgis, kūno apvyniojimo tūris).

11. Skaičių eilės ta yogo sumi supratimas. Kriterijai Koshі zbіzhnostі eilutė. Būtinas intelektas.

12. Delamberto ir Koshі zbіzhnostі ryadіv іz nevid'єmnimi narių ženklai.

13. Koshі zbіzhnostі skaičių serijos vientisas ženklas.

14. Reikšmingų skaičių eilutės. Visiškai tas psichinis zbіzhnist. Ženklų eilės. Leibnizo ženklas.

15. Funkcinės serijos. Suma maža. Lygių pajamų vertė maža. Kriterijus Koshі vienodas funkcinės serijos pelningumas.

16. Veijerstro tolygaus gyvenimo ženklas.

18. Žingsnio eilė. Abelio teorema.

19. Statinės eilės gyvavimo spindulys. Koši-Hadamaro formulė statinės serijos spindulio spinduliui.

21. Turtingos kaitos funkcijos. n-pasaulio euklido erdvės supratimas. Beasmenis Euklido erdvės taškas. Taškų seka ir її riba. Paskirtos nedidelio skaičiaus pakeitimų funkcijos.

22. Tarp daugybės pakeitimų funkcijų. Nepertraukiama funkcija. Privačios šventės

23. Daugelio kintamųjų ir її diferencialo diferencialinės funkcijos žymėjimas. Pokhіdnі ir aukštesnių užsakymų skirtumai.

24. Tayloro formulė pokyčių turtams. Mažo kintamųjų skaičiaus funkcijos ekstremumas. Būtinas proto ekstremumas. Užteks proto ekstremumo.

25. Tvarus integralas ir jėgos joga. Zvedennya podvіynogo іtegral iki pakartotinai.

27. Trečiojo integralo pakeitimų keitimas. Cilindrinės ir sferinės koordinatės.

28. Lygo paviršiaus ploto skaičiavimas, pateiktas parametriškai ir aiškiai.

29. Pirmosios ir kitos rūšies kreivinių integralų skyrimas, pagrindinė jų galia ir skaičiavimas.

30. Greeno formulė. Išvalykite kreivinio integralo nepriklausomybę integravimo būdu.

31. Pirmosios ir kitos rūšies paviršiniai integralai, jų pagrindinė galia ir skaičiavimas.

32. Gauso-Ostrogradskio teorema, її žymėjimas koordinačių ir vektorinių (nekaituojamų) formų.

33. Stokso formulė, parašyta koordinačių ir vektorinių (nekaituojamų) formomis.

34. Skaliariniai ir vektoriniai laukai. Gradientas, divergencija, rotorius. Potencija ir druskingi laukai.

35. Hamiltono operatorius. (Nabla) yogo zastosuvannya (taikyti).

36. Pagrindinės vartojamos sąvokos yra pirmosios eilės diferencialinės lygtys (odė): globalus ir privatus sprendimas, globalus integralas, integralinė kreivė. Zavdannya Koshі, її geometriškai reikšminga.

37. Odės į pirmą eilę integravimas su pakeitimais, kurie yra padalinti, ir tas pats.

38. Pirmosios eilės tiesinių odų integravimas ir Bernulio išlyginimas.

39. Odės pirmajam įtempimui integravimas poliniuose diferencialuose. Integruojantis daugiklis.

40. Pirmosios eilės diferencialinės lygybės, visada panašios. Parametrų užklausos metodas.

41. N-osios eilės ekvivalentiškumas su pastoviais koeficientais. Būdinga lygus. Homogeninio išlyginimo fundamentaliųjų sprendimų sistema (FSR), heterogeninio išlyginimo globalus sprendimas.

42. Pirmos eilės tiesinių diferencialinių lygybių sistema. Vienalytės sistemos FSR. Ryški vienalytės sistemos vizija.

30. Greeno formulė. Išvalykite kreivinio integralo nepriklausomybę integravimo būdu.

Greeno formulė: Jei C yra uždara tarp srities D ir funkcijų P(x, y) ir Q(x, y) kartu su jų privačiais pirmos eilės analogais be pertrūkių uždaroje srityje D (įskaitant kordoną C), tada Grynoji formulė galioja: be to, aplenkimas aplink kontūrą C pasirenkamas taip, kad sritis D būtų kairioji.

Trys paskaitos: Pateikite duotas funkcijas P(x,y) ir Q(x,y) kaip nepertraukiamas sritis D tuo pačiu metu iš privačių pirmos eilės. Integralas virš kordono (L), kuris tiksliai turi būti D srityje ir apima visus D srities taškus: . Teigiamas tiesiai į kontūrą yra toks, jei kontūro dalis yra apjuosta kairiąja ranka.

Umovo nepriklausomybė nuo 2-osios rūšies integracijos kelio kreivinio integralo. Reikia, kad pakaktų, kad pirmos rūšies kreivinis integralas, jungiantis taškus M1 ir M2, neatsidurtų integracijos kelyje, o gulėtų tik burbuolės ir galiniuose taškuose, lygybė:.

.

31. Pirmosios ir kitos rūšies paviršiniai integralai, jų pagrindinė galia ir skaičiavimas.

- Paviršiaus tvarkyklė.

S projektuojame ant plokštumos xy, paimame lentą D. Nubraižome lentą D su tinklelio linija ant dalies, kuri vadinama Di. Iš odos linijos odos taško brėžiame lygiagrečias linijas z, tada i S padalinamas į Si. Sudedame integralinę sumą: . Didžiausią skersmens Di nukreipiame į nulį:, imame:

Ce pirmos rūšies paviršiaus integralas

Taip pradeda veikti pirmosios rūšies paviršinis integralas.

Susitikimas trumpai. Paprastai integralų sumos yra ribinė riba, todėl negalima kliudyti dalyti S elementariame grafike Si ir pasirenkant taškus, vin vadinamas pirmos rūšies paviršiniu integralu.

Pereinant iš pakeistų x і y į u ir v:

P paviršinis integralas gali turėti visą žvaigždžių integralo galią. Divos yra didesnės maiste.

Paviršiaus integralo paskirtis yra kitokia, o tai yra pagrindinė to skaičiavimo galia. Nuoroda iš pirmosios rūšies integralo.

Tegul paviršius S yra duotas, apsupta linija L (3.10 pav.). Galima prie paviršiaus S pridėti du normaliuosius, kurie negali būti dvigubas taškas su kordonu L. Nubrėžkite tašką M už kontūro L, pasirinkdami tiesiąją liniją.

Jei taško M padėtis sukasi išilgai tos pačios normalios (o ne priešingos), tada paviršius S vadinamas dvipusiu. Galime žiūrėti tik į dvipusius paviršius. Dvišalis paviršius - ar tai būtų lygus paviršius su lygiu.

Tegu S yra dvipusis atviras paviršius, apjuostas linija L, kad nebūtų savaiminio kirtimo taško. Mes pasirenkame tą pačią paviršiaus pusę. Pavadinkime teigiamą tiesioginį kontūro L apvažiavimą tokia tiesia linija, kai kitoje paviršiaus pusėje yra Rusija, pačiame paviršiuje nėra blogio. Dvipusis paviršius, sumontuotas ant jo tokia teigiama tvarka, tiesiogiai apeinant kontūrus, vadinamas orientuotu paviršiumi.

Pereikime prie kitokio tipo paviršiaus integralo. Paimkime dvipusį paviršių S, kuris susidaro iš galutinio gabalų skaičiaus, odą iš kai kurių protui prilygstančių užduočių arba cilindrinį paviršių su tenkinančiomis lygiagrečiomis ašimis Oz.

Tegu R (x, y, z) – funkcija, priskirta ir nenutrūkstama paviršiuje S. Iš kelių eilučių S pakankama tvarka padalijama į n „elementarių“ brėžinių ΔS1, ΔS2, ..., ΔSi, ..., ΔSn, nesvarbu, mieguisti vidiniai taškai. Odos erdvėje ΔSi protinga tvarka pasirenkame tašką Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n). Tegul (ΔSi)xy yra brėžinio ΔSi projekcijos į koordinačių plokštumą Oxy plotas, paimtas su „+“ ženklu, kad normalioji paviršiaus S taške Mi(xi,yi,zi) (i=1,...,n) rinkiniai Visyu Oz yra priešiškas pjūvis ir su ženklu "-", o tai reiškia, kad šis pjūvis yra kvailas. Funkcijos R(x,y,z) integralią sumą pridedame per paviršių S, pakeitę x,y: . Tegu λ yra didžiausias iš skersmenų ΔSi (i = 1, ..., n).

Jei yra galutinė riba, kad nebūtų kliudoma padalyti paviršių S „elementariame“ grafike ΔSi ir pasirinkti tašką, tai vin vadinamas paviršiaus integralu išilgai pasirinktos paviršiaus S pusės funkcijoje. R (x, y, z) koordinatėms x, y (arba kitos rūšies paviršiniam integralui) ir yra priskirtas .

Panašiai galima indukuoti paviršiaus integralus per koordinates x, z arba y, z išilgai priešingos paviršiaus pusės, ty. і .

Kaip ir visus integralus, priešingoje paviršiaus pusėje galite įvesti „aukštą“ integralą: .

Kitos rūšies paviršinis integralas gali priklausyti nuo integralo galios. Pagarbiau, jei bet kuris kitokio tipo paviršinis integralas pakeičia paviršiaus kraštinės pokyčio ženklą.

Ryšys tarp pirmojo ir kito tipo paviršinių integralų.

Tegul paviršius S lygus: z \u003d f (x, y), be to, f (x, y), f "x (x, y), f" y (x, y) - nepertraukiamas funkcijas netoli uždaros srities τ (paviršiaus S projekcija į koordinačių plokštumą Oxy), o funkcija R(x,y,z) yra ištisinė paviršiuje S. paviršiaus pusėse S. Todi.

Dėl zagalny vpadku maєmo:

=