Tiesiogiai žinokite taško stačiakampės projekcijos koordinates. Taško projekcija tiesėje Taško projekcijos tiesėje koordinatės. Taško projekcija tiesėje – teorija, taikykite tą sprendimą

Tsya straipsnis, skirtas suprasti taško projekciją tiesioje linijoje (visi). Mi damo yoma buvo paskirta vikoristannya mažyliui, ką aš paaiškinu; Vivchimo taško projekcijos koordinačių priskyrimo tiesėje (plokščia arba trivialioje erdvėje) būdas; Išbandykime.

Straipsnyje „Taško projektavimas plokštumoje, koordinatės“ galvojome, ar figūros dizainą reikia suprasti statmeno ar stačiakampio dizaino sąvokomis.

Visos geometrinės figūros sulankstytos į taškus; Todėl tam, kad būtų galima suprojektuoti figūrą tiesėje, būtina atsižvelgti į galimybę projektuoti tašką tiesėje.

Paskyrimas 1

Taško projekcija tiesėje- tse arba pats taškas, nes jis turėtų gulėti duotoje tiesėje, arba statmens, nukritusio iš taško duotoje tiesėje, pagrindas.

Pažvelkime į žemiau esančius mažuosius: taškas H 1 tarnauja kaip taško M 1 projekcija tiesėje a, o taškas M 2, esantis tiesėje, yra projekcija į save.

Pavadinimas labiau tinka vipadkai paviršiuje ir trivimerinėje erdvėje.

Norėdami paimti taško M 1 projekciją į tiesę a plokštumoje, nubrėžkite tiesę b, kuri praeina per nurodytą tašką M 1 i yra statmena tiesei a. Šia tvarka tiesių a ir b susikirtimo taškas bus taško M 1 projekcija tiesėje a.

Trivialioje erdvėje taško projekciją tiesėje aptarnaus tiesės a skersinės linijos taškas ir plokštuma α, kuri eis per tašką M 1 statmenai tiesei a.

Taško projekcijos tiesėje koordinačių reikšmė

Pažvelkime į grandines dizaino peizažuose ant plokščio ir trivialios erdvės.

Pateikite užduotį stačiakampės koordinačių sistemos O x y, taško M1 (x1, y1) i tiesės a. Būtina žinoti taško M1 projekcijos tiesėje a koordinates.

Per duotą tašką M 1 (x 1, y 1) pravažiuokime tiesę b, statmeną tiesei a. Lūžio taškas pažymėtas kaip H1. Taškas H 1 bus taško M 1 projekcijos taškas tiesėje a.

Iš aprašymo galima suformuluoti algoritmą, leidžiantį sužinoti taško M 1 (x 1 y 1) projekcijos koordinates tiesėje a:

Sulankstomos tiesios linijos (kaip nenurodyta). Dėl zdіysnennya ts_єї dії nebhіdna navička skladannya pagrindinis rivnyan ant buto;

Užrašykite tiesės b išlygiavimą (kad eitumėte per tašką M 1 ir statmenai tiesei a). Čia bus papildytas straipsnis apie tiesės išlyginimą, eiti per nurodytą tašką statmenai nurodytai tiesei;

Akivaizdu, kad projekcijos koordinatės laikomos tiesių a ir b kryžminio taško koordinatėmis. Ir į tai įrodyta lygybių sistema, tokie kaip sandėliai - tiesių a ir b išlyginimas.

užpakalis 1

Plokštumoje O x y duotasis taškas M 1 (1, 0) yra tiesė a (aukštesnis lygiavimas - 3 x + y + 7 = 0). Būtina nurodyti taško M1 projekcijos tiesėje a koordinates.

Sprendimas

Tiesios linijos duotas lygiavimas, kurį pagal algoritmą pereiname prie trumpiausio tiesės b lygiavimo įrašo. Tiesė b yra statmena tiesei a, todėl tiesės a normalusis vektorius yra tiesės b tiesioginis vektorius. Tada tiesių b tiesioginis vektorius gali būti parašytas kaip b → = (3, 1). Užrašykime kanoninį tiesės b išlygiavimą, bet taip pat turime nustatyti taško M 1 koordinates, kad galėtume praeiti tiese b:

Galutinis pjūvis rodo tiesių a ir b kryžminio taško koordinates. Eikime toliau kanoninė rivnija nukreipti b į zagalny її lygu:

x - 1 3 = y 1 ⇔ 1 (x - 1) = 3 y ⇔ x - 3 y - 1 = 0

Iš tiesių a ir b viršutinių išlyginimų padarykime lyginimo sistemą

3 x + y + 7 = 0 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 y - 1 = 0 ⇔ y = - 3 x - 7 x - 3 ( - 3 x - 7 ) - 1 = 0 ⇔ ⇔ y = - 3 x - 7 x = - 2 ⇔ y = - 3 (- 2) - 7 x = - 2 ⇔ y = - 1 x = - 2

Na, atėmėme taško M 1 (1, 0) projekcijos koordinates tiesėje 3 x + y + 7 = 0: (- 2 , - 1) .

Pasiūlymas: (- 2 , - 1) .

Ataskaita bus peržiūrima, jei reikės nurodyti projekcijos koordinates nustatytas taškas ant koordinačių tiesių ir joms lygiagrečių tiesių.

Tegu duotosios koordinačių tiesės O x і O y, taip pat taškas M 1 (x 1, y 1). Supratau, kad duoto taško projekcija į y = 0 formos tiesės koordinatę O x bus taškas su koordinatėmis (x 1, 0) . Taigi duoto taško projekcija tiesės koordinatėje O y bus koordinatė 0 , y 1 .

Be-yaku gana tiesus, lygiagrečiai ašiai abscisė, galite pasakyti neteisingai laukinis pavydas B y + C \u003d 0 ⇔ y \u003d - C B ir tiesiai, lygiagrečiai y ašiai - A x + C \u003d 0 ⇔ x \u003d - C A.

Tada taško M 1 (x 1, y 1) projekcijos tiesėje y \u003d - C B i x \u003d - CA tampa taškais, kurių koordinatės yra x 1, - C B i - CA A, y 1.

užpakalis 2

Paimkite taško M 1 (7, - 5) projekcijos koordinates koordinačių tiesėje O y , taip pat tiesėje, lygiagrečioje tiesei O y 2 y - 3 = 0 .

Sprendimas

Parašykime duoto taško projekcijos koordinates tiesėje O y: (0 - 5) .

Užrašykime tiesės išlyginimą 2 y - 3 = 0 yak y = 3 2 . Pasidaro aišku, kad duoto taško projekcija tiesėje y = 3 2 su koordinačių matrica 7 3 2 .

Pasiūlymas:(0, - 5) ir 7, 3 2 .

Tegu trivialioji erdvė turi stačiakampę koordinačių sistemą O x y z , tašką M 1 (x 1 , y 1 , z 1) ir tiesę a . Žinome taško M1 projekcijos tiesėje a koordinates.

Leisime plokštumai α eiti per tašką M1 i statmenai tiesei a. Duoto taško projekcija tiesėje a tampa tašku tiesėje a ir plokštuma α. Remdamiesi tuo, pateikiame taško M 1 (x 1, y 1, z 1) projekcijos koordinačių reikšmės tiesėje a algoritmą:

Užrašome tiesės a išlygiavimą (kaip nenurodyta). Norint suprasti šią užduotį, būtina susipažinti su šiuo straipsniu apie tiesių linijų išlyginimą erdvėje;

Ar galime laikyti plokštumą?

Žinome taško M 1 (x 1, y 1, z 1) projekcijos tiesėje a koordinates - ten bus tiesės α skersinės linijos taško ir α plokštumos koordinatės. (pagalba - straipsnis „Plokštumos tiesios linijos skersinio taško koordinatės“).

užpakalis 3

Duota stačiakampė koordinačių sistema O x y z , i in nіy - taškas М 1 (0, 1, - 1) i tiesė a . Tiesė a atitinka kanoninį išlygiavimą: x + 23 = y - 6 - 4 = z + 11. Nustatykite taško M1 projekcijos į tiesę a koordinates.

Sprendimas

Vykoristovuёmo vkazyvshee algoritmas. Rivnyannya tiesi linija, pirmasis žingsnis praleidžiamas pagal algoritmą. Užrašykime ploto α lygiavimą. Kurioms yra reikšmingos srities normaliojo vektoriaus koordinatės. Iš pateiktų tiesės a kanoninių išlygiavimų matome tiesioginio tiesės vektoriaus koordinates: (3, - 4, 1), kuris bus ploto α normalusis vektorius, statmenas tiesei. a. Todi n → = (3, - 4, 1) yra ploto α normalusis vektorius. Šia tvarka α matime plokštuma atrodė lygi:

3 (x - 0) - 4 (y - 1) + 1 (z - (- 1)) = 0 ⇔ 3 x - 4 y + z + 5 = 0

Dabar žinome tiesės ir plokštumos α skersinio taško koordinates, kurioms yra du būdai:

1. Kanoninio išlygiavimo užduotys leidžia išlyginti dvi plokštumas, kurios persidengia ir kurios reiškia tiesią liniją a:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ - 4 (x + 2) = 3 (y - 6) 1 (x + 2) = 3 (z + 1) 1 ( y - 6) = - 4 (z + 1) ⇔ 4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0

Žinoti tiesės 4 x + 3 y - 10 \u003d 0 x - 3 z - 1 \u003d 0 ir plokštumų 3 x - 4 y + z + 5 \u003d 0 skersinės linijos taškus

4 x + 3 y - 10 = 0 x - 3 z - 1 = 0 3 x - 4 y + z + 5 = 0 ⇔ 4 x + 3 y = 10 x - 3 z = 1 3 x - 4 y + z = – 5

At šiam konkrečiam tipui vikoristovuєmo Cramerio metodu, bet jūs galite zasosuvat, ar tai ruchny:

∆ = 4 3 0 1 0 - 3 3 - 4 1 = - 78 ∆ x = 10 3 0 1 0 - 3 - 5 - 4 1 = - 78 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 78 - 78 = 1 ∆ y = 4 10 0 1 1 - 3 3 - 5 1 = - 156 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 156 - 78 = 2 ∆ z = 4 3 10 1 0 1 3 - 4 - 5 = 0 ⇒ z = ∆ 0–78 = 0

Tokiu būdu tam tikro taško projekcija tiesėje a yra taškas su koordinatėmis (1, 2, 0)

1. Remiantis kanoninių lygiavimų užduotimis, nesunku užrašyti parametrinį tiesės išlygiavimą erdvėje:

x + 2 3 = y - 6 - 4 = z + 1 1 ⇔ x = - 2 + 3 λ y = 6 - 4 λ z = - 1 + λ

Įsivaizduokime plokštumos lygyje, kuris gali būti matomas kaip 3 x - 4 y + z + 5 = 0 vietoj x , y і z їх išraiška per parametrą:

3 (- 2 + 3 λ) - 4 (6 - 4 λ) + (- 1 + λ) + 5 = 0 ⇔ 26 λ = 0 ⇔ λ = 1

Apskaičiuokime tiesės a kryžminio taško ir plokštumos α už parametrinių tiesės a lygiavimų, kai λ = 1, koordinates:

x = - 2 + 3 1 y = 6 - 4 1 z = - 1 + 1 ⇔ x = 1 y = 2 z = 0

Taigi, tam tikro taško projekcija tiesėje a turi koordinates (1, 2, 0)

Pasiūlymas: (1 , 2 , 0)

Svarbu, kad taško M 1 (x 1, y 1, z 1) projekcijos koordinačių tiesėse O x , O y ir O z bus taškai su koordinatėmis (x 1 , 0 , 0) , (0 , y 1 , 0 ) ir (0 , 0 , z 1) galioja.

Kaip prisiminėte atleidimą tekste, būk malonus, pamatykite ir paspauskite Ctrl + Enter

padėti kam nors kitam internetinis skaičiuotuvas galite žinoti taško projekciją tiesėje. Tikimės pranešti apie sprendimą su paaiškinimais. Norėdami apskaičiuoti taško projekciją tiesėje, nustatykite atstumą (2- atrodo kaip tiesė plokštumoje, 3- atrodo kaip tiesė erdvėje), įveskite to taško koordinates. lygiavimo elementą laukelyje ir paspauskite mygtuką „Verishity“.

×

Išankstinis

Išvalyti visus kambarius?

Uždaryti Išvalyti

Duomenų įvedimo instrukcijos. Skaičiai įvedami sveikieji skaičiai (taikoma: 487, 5, -7623 ploni.), dešimtieji skaičiai (pvz., 67., 102,54 plonieji.) arba trupmenos. Trupmeną reikia įvesti matant a / b, de a і b (b> 0) tsіlі arba dešimčių skaičių. Tepkite 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 plonu sluoksniu.

Taško projekcija tiesėje – teorija, taikykite tą sprendimą

Pažvelkime į užduotį dviejų ir trijų pasaulių platybėse.

1. Dviejų pasaulių erdvei duotas taškas M 0 (x 0 , y 0) aš tiesiai L:

Taško projekcijos tiesėje algoritmas L atkeršyti taip:

• paraginti tiesiogiai L 1 pereiti per tašką M 0 i statmena tiesei L,
• žinoti tiesių linijų tarpą Lі L 1 (taškas M 1)

Tiesi linija eiti per tašką M 0 (x 0 , y 0) gali atrodyti taip:

Vіdkrієmo lankai

(5)

Tarkime vertę xі y 4):

de x 1 =mt"+x", y 1 =pt+y".

1 pavyzdys. Žinokite taško projekciją M 0 (1, 3) tiesiai

Tobto. m=4, p=5. Iš tiesės (6) išlyginimo aišku, kad ji eis per tašką M" (x", y")=(2, −3)(kurį nesunku pakeisti – pakeitus reikšmę (6) gaunama tapatybė 0=0), tada. x"=2, y"=-3. Tarkime vertę m, p, x 0 , y 0 ,x", y" 5"):

2. Tegu taškas duotas trivi-pasaulinei erdvei M 0 (x 0 , y 0 , z 0) aš tiesiai L:

Taško projekcijos tiesėje reikšmė L atkeršyti taip:

• skatinti butą α , pereiti per tašką M 0 i statmena tiesei L,
• žinoti tinklainės sritį α aš tiesiai L(taškas M 1)

Plokštumos plokštumas pereiti per tašką M 0 (x 0 , y 0 , z 0) gali atrodyti taip:

Vіdkrієmo lankai

Tarkime vertę xі y apie 9):

Taško projekciją tiesioje linijoje lengva atlikti, o pastarosioms operacijoms nulinis artumas skaičiuojamas kaip taško projekcija taškinėje tiesėje. Pažvelkime į šį skaičių bendros užduoties aspektų.

Leisk eiti tiesiai

aš spėlioju. Svarbu tai, kad tiesių w vektorius gali būti gana ilgas. Tiesi linija eina per tašką , kur parametras t lygus nuliui, o vektorius w gali būti tiesus. Būtina žinoti taško projekciją tiesėje. Yra tik vienas sprendimas. Sukelsime vektorių iš tiesės taško į tašką ir apskaičiuojamą skaliarinį standųjį vektorių bei tiesės w vektorių. Ant pav. 4.5.1, rodantis tiesioginį tiesių w vektorių, duotas taškas. Jei šį skaliarinį plėtinį padalinsime į vektoriaus w ilgį, atimsime vektoriaus projekcijos į tiesę ilgį.

Ryžiai. 4.5.1. Taško projekcija tiesėje

Jei skaliarinį išplėtimą padalinsime iš vektoriaus w kvadrato, tai atimsime vektoriaus projekciją tiesėje vektoriaus w plėtinio vienetais, taigi taško projekcijai į parametrą t imame tiesia linija.

Taigi, tiesės taško projekcijos parametras ir projekcijos spindulys-vektorius ; skaičiuoti pagal formules

(4.5.3)

Jei vektoriaus w ilgis lygus 1, tai (4.5.2) nereikia atimti iš taško iki kreivės projekcijos stačiu šlaitu, jis skaičiuojamas kaip vektoriaus ilgis. Galite apskaičiuoti atstumą nuo taško iki її projekcijos tiesioje linijoje, ne skaičiuodami taško projekciją, o paspartindami formulę

Okremі patenka.

Taško projekcija ant analitinių kreivių taip pat gali būti žinoma nežinant skaitinių metodų. Pavyzdžiui, norint sužinoti taško projekciją galutiniame pjūvyje, reikia projektuojamą tašką išversti į galo pjūvio koordinačių sistemą, suprojektuoti tašką į galo pjūvio plokštumą ir žinoti duoto taško dvimatės projekcijos parametras.

Žagalny vpadok.

Tegul reikia žinoti visas kreivosios linijos taško projekcijas.

(4.5.5)

Tikslas yra atkeršyti vienai nežinomai reikšmei – parametrui t. Kaip jau buvo sakyta, kurios užduoties atlikimas buvo suskirstytas į du etapus. Pirmajame etape kreivės taško projekcijose reiškiame nulinį parametrų aproksimaciją, o kitame etape žinome tikslias kreivės parametrų vertes, kurios priskiria duoto taško projekcijas. kreivėje iki tiesės z