Trova le coordinate del centro della massa di una retta omogenea. Come calcolare il baricentro di una figura circoscritta piatta per l'aiuto di un integrale di ferretto? L'ordine del vikonanny di un tipico rozrahunka

Guideremo il calcio del bersaglio al centro della massa del corpo con il metodo del podіlu yoga sul confine del corpo, il centro della massa di quelli in casa.

culo 1. Designare le coordinate del centro della massa di una piastra omogenea (Fig. 9). Calcola i compiti in millimetri baby 9.

Soluzione: Mostriamo gli assi coordinati i . Rompiamo il piatto in pezzi, realizzato con tre tagli dritti. Per il retto dermico si disegnano delle diagonali, i cui punti della traversa indicano la posizione del centro della massa del retto dermico. Nel sistema di coordinate adottato, non è facile calcolare i valori delle coordinate e dei punti. E a se stessa:

(-1; 1), (1; 5), (5; 9). Le aree del corpo della pelle sono moderatamente migliorate:

; ; .

L'area di tutti i piatti è buona:

Per assegnazione di coordinate al centro della massa del piatto dato, è necessario virazi (21). Rappresentiamo il valore di tutte le grandezze conosciute quest'uomo è uguale, prese

Vіdpovіdno fino a otrimanih il valore delle coordinate al centro della massa del piatto, puoi specificare un punto sul piccolo. Come puoi vedere, il centro della massa (punto geometrico) della piastra si trova dietro i confini.

Metodo di aggiunta. Tsej sposіb є chastkovy vpadkom way podіlu. Dato che può zastosovuvatisya fino a quando, yakі mayut virіzi (vuoto). Inoltre, senza una parte vir_zanoї della posizione del centro della massa del corpo è visibile. Diamo un'occhiata, ad esempio, a zastosuvannya un tale metodo.

culo 2. Designare la posizione del centro della massa del vaga di una piastra rotonda con un raggio R, de є virіz con un raggio r (Fig. 10). Avanti.

Soluzione: Come Bachimo, da Fig.10 il centro della massa della lastra giace sull'asse di simmetria della lastra, cioè in linea retta i frammenti sono diritti, tutta la simmetria. Quindi, per assegnare la posizione al centro della massa della piastra, è necessario assegnare una sola coordinata, ma le altre coordinate saranno disegnate sull'asse di simmetria e uguali a zero. Mostriamo gli assi delle coordinate. È accettato che il piatto sia piegato in due corpi - da un nuovo palo (senza viriz) quel corpo, come nibi vikonane con viriz. Nel sistema di coordinate adottato, le coordinate per la designazione dei corpi sono: .Le aree dei corpi sono: ; . L'area totale dell'intero corpo è più uguale alla differenza tra le aree del primo e dell'altro corpo e

Calcola i valori m, ed è necessario abbinare le formule (4), (5) e (7). Di conseguenza, prendiamo formule per coordinate al centro della massa della lastra sottile :

Butt 4 (calcolo delle coordinate al centro della massa di un abito uniforme)

Trova le coordinate del centro della massa di una figura omogenea, circondata da linee e .

Dopo aver ispirato la figura, notiamo che è geometricamente fuori e simmetrica come una linea retta. destrorso. Quindi, dietro i poteri fisici dati, poniamo il centro della massa che i vini si trovano sull'asse di simmetria, in modo che

Per calcolare, somma il momento statico e vinci le formule (4) e (5):

;

Suggerimento: C.

Additivi degli integrali terzi

I programmi per integrazioni aggiuntive sono simili ai supplementi di sub-integrali, ma solo per i trivimer.

Se vuoi vincere una delle potenze dell'integrale triplo (circa lo stesso valore della funzione, che è anche lo stesso valore di uno), allora vai formula per il calcolo dell'obbligo di essere corpo spazioso :

Scriviamo la formula per obyagu attraverso terzo integrale e perdita calcolabile integrale in coordinate cilindriche:

Vidpovid: (solo obbligato).

La formula per calcolare la massa di un oggetto trivimer che prende in prestito il volume V, può sembrare:

(13)

Ecco il volume di schіlnіst rozpodіlu masi.

Culo 6

Conosci la massa del raggio freddo R come lo spazio è proporzionale al cubo al centro e sulla singola parete K.

V: volume elementare ta .

Vale la pena notare che quando si calcola l'integrale a tre tempi, non c'erano più integrali, i chip degli integrali interni sembravano essere incolti nel caso della modifica degli integrali esterni.

Vidpovid: (singolo masi).

Caratteristiche meccaniche per legatura V(momenti statici, momenti di inerzia, coordinate al centro di massa) sono calcolati secondo formule, come

piegato per analogia con formule per corpi a due mondi.

Momenti statici elementari e momenti di inerzia lungo gli assi delle coordinate:

momenti elementari di inerzia lungo i piani di coordinate e punti sulla pannocchia di coordinate:

Dali, per calcolare le caratteristiche meccaniche dell'intero obyagu V, Occorre sommare le addizioni elementari delle caratteristiche per tutte le parti della scomposizione (si contano le caratteristiche della massima potenza di additività), e poi andare al limite della somma, che era al di là della mente, che tutto le parti elementari della ripartizione cambieranno (contratto in punti). Le quantità sono descritte come integrazione di un addendum elementare di caratteristiche meccaniche, che sono calcolate, per obbligatorie V.

Di conseguenza, vieni formule per calcolare i momenti statici М e i momenti di inerzia I trivi-mer tіl :

In verità, hanno formulato le formule come vittoriosi quando sono pronti e li hanno guidati in compiti virishuvaniy.

Applica 7 (calcolo delle caratteristiche meccaniche dei corpi tridimensionali)

Trova il momento d'inerzia di un cilindro uniforme, la cui altezza h e raggio di base R, come asse, quale zbіgaєtsya con il diametro della base.

Sappiamo d per un punto parziale del cilindro:

spostarsi in un punto con coordinate rispetto all'asse – la lunghezza della perpendicolare tracciata dal centro del punto all'asse . Rendiamo il piano perpendicolare all'asse in modo che il punto si trovi su questo piano. Quindi sii dritto, che attraversa tutto e giace su questo piano, sarà perpendicolare . Zokrema, la linea retta, che collega un punto e un punto, sarà perpendicolare all'asse, e se ti trovi tra questi punti, sarai uno shukana d. Calcola lo yoga per la formula data tra due punti.

3 Addizioni di integrali sottostanti

3.1 Introduzione teorica

Diamo un'occhiata ai programmi integrale di ferretto all'inizio dei compiti geometrici bassi e dei compiti della meccanica.

3.1.1 Calcolo dell'area della piastra piana

Diamo un'occhiata a una lastra di materiale sottile D, ampliato nell'appartamento Oh. la zona S tsієї piastre possono essere trovate per l'aiuto dell'integrale sottocorrente per la formula:

3.1.2 Momenti statici. Centro di massa piatto

momento statico M X asse shodo Bue punti materiali P(X;y) che si trovano vicino all'appartamento Ossi e maє masu m, Si chiama dobutok massi punti sull'ordinata її, tobto. M X = mio. Allo stesso modo, il momento statico M y asse shodo Ahia: ­ ­ ­ M y = mx. Momenti statici piatti piani con una fessura di superficie γ = γ (x, y) sono calcolati utilizzando le formule:

Come si vede dalla meccanica, le coordinate X c ,y c i centri di massa di un sistema di materiale piano sono definiti da uguaglianze:

de m- Sistema Masa, e M Xі M y- Momenti statici del sistema. Peso piatto m determinato dalla formula (1), i momenti statici di una lastra piana possono essere calcolati utilizzando le formule (3) e (4). Todi, zgіdno z formule (5), è preso viraz per le coordinate al centro della massa della lastra piana:

Il tipico rozrahunok vendica due compiti. Il medico della pelle riceve una piastra piana D, circondato da linee, mostrato per la mente del compito. G(x,y) - gioco superficiale della piastra D. Per conoscere il numero di piastre: 1. S- Piazza; 2. m- Masu; 3. M y , M X- Momenti statici per gli assi Ehiі Oh ovviamente; 4. , - Coordinate del baricentro.

3.3 L'ordine di vykonannya tipico rozrahunku

Quando si esegue un'attività sulla pelle, è necessario: 1. Rimuovere la sedia da una determinata area. Scegliere un sistema di coordinate, per il quale verranno calcolati i subintegrali. 2. Registrare l'area del sistema visivo delle irregolarità nel sistema di coordinate scelto. 3. Calcola l'area S ta masu m piastre secondo le formule (1) e (2). 4. Calcola i momenti statici M y , M X formule (3) e (4). 5. Calcolare le coordinate del centro massa utilizzando le formule (6). Applicare il centro della massa sulla poltrona. Diamo la colpa al controllo visivo (yakish) di portare via i risultati. I numeri numerici possono essere sottratti al trio di numeri.

3.4 Applicare un tipico accappatoio

Compito 1. piatto D circondato da linee: y = 4 – X 2 ; X = 0; y = 0 (X ≥ 0; y≥ 0) Spessore della superficie γ 0 = 3. Soluzione. L'area specificata nel problema è circondata da una parabola y = 4 – X 2, gli assi coordinati giacciono nel primo quarto (Fig. 1). L'attività viene modificata nel sistema di coordinate cartesiane. Questa zona può essere descritta da un sistema di irregolarità:

Riso. uno

la zona S le piastre sono più stabili (1): poiché la piastra è uniforme, m = γ 0 S= 3 = 16. Dietro le formule (3), (4) conosciamo i momenti statici della piastra: Le coordinate del centro mas sono date dalla formula (6): Suggerimento: S ≈ 5,33; m = 16; M X = 25,6; M y = 12; = 0,75; = 1,6.

Compito 2. piatto D circondato da linee: X 2 + a 2 = 4; X = 0, a = X (X ≥ 0, a≥ 0). Spessore superficiale γ (x,y) = a. Soluzione. La piastra è circondata da un paletto e da linee rette che passano attraverso la pannocchia di coordinate (Fig. 2). Pertanto, per il completamento dell'attività, è necessario trascrivere manualmente il sistema di coordinate polari. polo polare φ cambia da π/4 a π/2. Promin, passando dal palo attraverso il piatto, “entra” prima di esso a ρ = 0 ed “entra” nel paletto, pari a: X 2 + a 2 = 4 <=>p = 2.

Riso. 2

Anche in questo caso, una data area può essere scritta con un sistema di irregolarità: L'area della piastra è nota dalla formula (1): La massa della piastra è nota dalla formula (2), sostituendo γ (x,y) = y = ρ peccato φ :
Per il calcolo dei momenti statici della piastra possiamo utilizzare le formule (3) e (4):
Le coordinate del baricentro sono ricavate dalle formule (6): Suggerimento: S ≈ 1,57; m ≈ 1,886; M X = 2,57; M y = 1; = 0,53; = 1,36.

3.5 Progettazione del suono

Le stelle possono avere una rappresentazione di tutte le vikonan rozrahunka, poltrone ordinatamente vikonan. I numeri numerici possono essere sottratti al trio di numeri.

– il calcolo del baricentro è piatto figura sfrangiata . Il lettore ricco capisce intuitivamente qual è il baricentro, consiglio di ripetere il materiale di una delle lezioni geometria analitica de ho risolto zavdannya sul baricentro di trikutnik e in una forma accessibile decifrando il termine fisico.

In attività indipendenti e di controllo, per la perfezione, di regola, viene propagato il vipadok più semplice: l'appartamento è circondato omogeneo una figura, al fine di pubblicare una forza fisica postiynoї - vetro, derev'yana, pewter'yana chavunnі іgry, l'infanzia dura è magra. Dali per umovchannyam mova pіde tіlki su tali cifre =)

La prima regola è il sedere più semplice: anche se la figura è piatta centro di simmetria, quindi vin є il centro di gravità tsієї figura. Ad esempio, il centro di un piatto rotondo uniforme. È logico e consapevole della vita: la massa di una tale figura è "abbastanza distribuita su tutti i lati" come il centro. Credi - non voglio.

Tuttavia, in realtà, è improbabile che tu dia la liquirizia barretta di cioccolato ellittica Tom dovrà fare i conti con un serio strumento da cucina:

Le coordinate del baricentro di una figura circoscritta piatta uniforme sono coperte dalle formule di avanzamento:

, o:

, de - area della regione (cifre); ma veniamo brevemente:

, de

L'integrale è mentalmente chiamato integrale “ixovim” e l'integrale è integrale “igrom”.

Accettazione-fine : per piano solcato eterogeneo figure, la cui larghezza è data dalla funzione, formule di piegatura:
, de - figure Masa;in tempi di forza uniforme, la puzza sarà perdonata all'introduzione di più formule.

Sulle formule, vlasne, tutte le novità e le estremità, reshta - tutto il tuo vminnya integrali subvinciali virishuvati, al punto di parlare, si spera subito in una capacità miracolosa di elaborare e perfezionare la propria tecnica. E la completezza, a quanto pare, non c'è differenza =)

Lanciare una grossa porzione di parabole:

culo 1

Trova le coordinate del centro del vaga di una figura piatta uniforme, circondata da linee.

Soluzione: le linee qui sono elementari: imposta l'intera ascissa e uguale - una parabola, in modo che ti sia facile ottenere aiuto trasformazione geometrica della grafica:

– parabola, Spinse 2 unità a sinistra e 1 unità in basso.

Sto cucendo l'intera poltrona con un punto pronto al centro del capriccio della figura:

Governa un amico: cosa ha la figura tutta simmetria, allora il baricentro di questa figura è destinato a giacere sul suo asse.

La nostra figura è simmetrica allo shodo dritto quindi in realtà conosciamo già la coordinata "ix" del punto "em".

È inoltre importante rispettare che il baricentro degli spostamenti sia più vicino all'asse delle ascisse lungo la verticale, gli oscillatori presenti sono una figura massiccia.

Quindi, forse, non tutti hanno ancora capito com'è il centro del vaga: sii gentile, alza il dito in salita e metti un punto sul nuovo “piede” sfumato. In teoria, la figura non è colpevole di caduta.

Le coordinate del baricentro della figura sono note dalle formule de .

L'ordine di aggirare l'area (figure) è ovvio qui:

Rispetto!È determinato dall'ordine di bypass più praticabile una volta- Io vikoristovuemo yoga per tutti integrato!

1) Sul retro, calcolo l'area delle figure. Attraverso l'ovvia semplicità dell'integrale, la soluzione può essere organizzata in modo compatto, oscuro, per non perdersi nei calcoli:

Ci meravigliamo della poltrona e facciamo finta di essere sulla piazza. Viyshlo per fortuna fallo.

2) La coordinata x del baricentro è già stata trovata con il “metodo grafico”, quindi puoi fare riferimento alla simmetria e andare al punto successivo. Tuttavia, non è ancora un rajah lavorare in questo modo: è bello pensare che sia una buona idea rifiutare la formula "vincere la formula".

Rispetta che qui è possibile fare calcoli color vino - a volte non è obbligatorio portare le frazioni a un doppio standard e tormentare una calcolatrice.

In questo modo:
, Cosa e bisogno di prendere.

3) Conosciamo l'ordinata del baricentro. Calcoliamo l'integrale greco:

E l'asse qui senza una calcolatrice sarebbe stato difficile. Commenterò di ogni cambiamento che come risultato della molteplicità dei membri riccamente divisi ci sono 9 membri, inoltre i diaconi sono simili a loro. Dodanki simile che ho vaccinato per via orale (come suonare come un robiti a tali vipadka) e scrivendo subito la somma della borsa.

Di conseguenza:
che è sempre più simile alla verità.

Nella fase finale, è segnato sullo speck della poltrona. Per la mente non era necessario fare una poltrona, ma in numero maggiore voglio raffigurare una figura, anche se non voglio. Natomist è un folle vantaggio: una nuova verifica visiva ed efficace del risultato.

Vidpovid:

Venite due mozziconi di una soluzione indipendente.

culo 2

Trova le coordinate del centro del vaga di una figura piatta uniforme, circondata da linee

Prima del discorso, come puoi vedere, come se si arruffasse una parabola e si girassero i puntini, in cui tutto si capovolge, allora qui puoi davvero fare a meno di una poltrona.

І pieghevole:

culo 3

Trova il centro del vaga di una figura piatta uniforme, circondato da linee

Nei momenti di difficoltà del calendario post-budget, vivchit (ripetere) lezione parabolica e/o calcio n. 11 statti Integrali sospesi per teiere.

Srazkovі zrazki soluzione come una lezione.

Inoltre, negli archivi a lato è possibile trovare una dozzina di applicazioni simili Soluzioni pronte per la tua matematica.

Beh, non posso fare a meno di accontentare gli amanti matematica avanzata, Quante volte mi viene chiesto di risolvere e compiti importanti:

culo 4

Trova il centro del vaga di una figura piatta uniforme, circondato da linee. La figura di quel її centro di gravità è raffigurata sulla poltrona.

Soluzione: umova tsієї zadachi vzhe categoricamente vmagaє poltrona vykonannya Aje vimoga non nastіlki і formalmente! - Tsyu figura zdatna per rivelare nella mente una persona dal livello medio di allenamento:

Roz_kaє kolo dritto su 2 parti e protezione aggiuntiva (Div. irregolarità lineari) Faccio notare a coloro che posso parlare io stesso di un piccolo shmatochok ombreggiato.

La figura è simmetrica e visivamente dritta (raffigurata da una linea tratteggiata), il centro di gravità è da biasimare per essere sdraiato su questa linea. І è ovvio che le coordinate di Yogo sono uguali dietro il modulo. Una linea guida che praticamente accende l'indulto!

Ora è una sporca novità =) All'orizzonte, un integrale a bassa ricezione dei telai radice, che secondo quanto riferito abbiamo preso dall'Applicato n. 4 alla lezione Metodi efficienti per la risoluzione delle integrazioni. E chissà cos'altro è dipinto lì. Sarebbe dato, attraverso la presenza Coca Cola Ovviamente, non tutto è così semplice. La linea retta di Rivnyannya si trasforma a colpo d'occhio e l'integrazione potrebbe non essere vera (se i fanatici vogliono integrali trigonometrici valutare). A zvyazku z tsim di solito zupinitsya su coordinate cartesiane.

L'ordine di aggirare la figura:

1) Calcola l'area della figura:

Primo integrale della ripresa razionale p_dvedennyam p_d segno del differenziale:

E in un altro integrale, effettueremo una sostituzione standard:

Contiamo la nuova interintegrazione:

2) Lo sappiamo.

Qui al 2° integrale c'è una nuova svolta metodo. Vіdpratsyuyte ta vіzmіt su ozbroєnnya qі ottimale (nella mia mente) accettare lo sviluppo di integrali tipici.

Dopo il difficile e banale, calcola ancora lo sguardo bestiale alla poltrona (ricorda che i punti Non lo sappiamo ancora! ) e otrimuemo a un certo grado di soddisfazione morale in vista del valore trovato.

3) Vykhodyachi z ha effettuato analisi precedenti, riconciliazione persa, scho.

Nota:

Punto rappresentativo sulla sedia. Vіdpovіdno alla mente del formulario, annoteremo її come residuo prova:

Compito simile per una visione indipendente:

culo 5

Trova il centro del vaga di una figura piatta uniforme, circondato da linee. Poltrona Vikonati.

Ci interessa il fatto che in esso sia data la figura per fare piccoli ricordi, e se c'è del tempo per il perdono, l'alto livello di fuoco "non sarà speso" nella regione. Cosa, bezperechno, buono dal punto di vista della soluzione di controllo.

Srazkovy zrazok progettato come una lezione.

Іnodi buvaє puntinim transizione alle coordinate polari agli integrali inferiori. Guarda la figura. Shukav-shukav a casa culo lontano Se non lo sai, ti mostro la soluzione per il 1° compito dimostrativo della lezione assegnata:


Indovina in che culo siamo andati coordinate polari, ha spiegato la procedura per aggirare l'area e virahuvali її area

Conosciamo il baricentro delle figure. Lo schema è lo stesso: . Il valore è visibile direttamente dalla poltrona e la coordinata "ix" può essere spostata un po' più vicino all'asse y, i frammenti sono sparsi da una parte massiccia della birra.

Negli integrali, possiamo usare le formule standard per la transizione:

Ymovirno, meglio per tutto, non hanno avuto pietà.