Дії su matrici e їх vyzniki. Le principali operazioni sulle matrici (piegatura, moltiplicazione, trasposizione) hanno la stessa potenza. Operazione di moltiplicazione di matrici

Matrici. Spostarsi sulle matrici. Dominanza di operazioni su matrici. Vedi la matrice.

Matrici può essere un valore importante nella matematica applicata, che può essere scritto in una forma semplice di una parte significativa modelli matematici oggetti e processi. Il termine "matrice" è apparso nel 1850. In precedenza, le matrici venivano indovinate nell'antica Cina, poi nei matematici arabi.

Matrice A=Amm viene chiamato l'ordine m * n tabella numerica rettilinea.

Elementi di matrice aij , per cui i=j sono chiamati diagonali i diagonale principale.

Per una matrice quadrata (m=n), la diagonale della testa è composta da elementi a 11 , a 22 ,..., a nn .

matrici rivniste.

A=B solo l'ordine delle matrici UNі B tuttavia, quello a ij = b ij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)

Spostarsi sulle matrici.

1. Aggiunta di matrici - operazione elemento per elemento

2. Visualizzazione delle matrici - operazione elemento per elemento

3. L'aggiunta di una matrice a un numero è un'operazione elemento per elemento

4. Multiplo A*B matrice per regola fila in alto(il numero di colonne nella matrice A può essere uguale al numero di righe nella matrice B)

Amk * Bkn = Cmn perché l'elemento pelle ciao ij matrici cmn sommare la somma degli elementi della i-esima riga della matrice A e degli altri elementi della j-esima colonna della matrice B, tobto.

Mostriamo nell'esempio l'operazione di moltiplicazione delle matrici

5. Collegamenti ai piedi

m>1 cella Data. A è una matrice quadrata (m=n) tobto. rilevante per matrici quadrate

6. Trasposizione della matrice A. Una matrice trasposta è indicata con A T o A

Righe e colonne sono state commemorate dalle missioni

culo

Potenza delle operazioni sulle matrici

(LA+B)+C=LA+(B+C)

λ(A+B)=λA+λB

A(B+C)=AB+AC

(A+B)C=AC+BC

λ(AB)=(λA)B=A(λB)

A(BC)=(AB)C

(λA)"=λ(A)"

(A+B)"=A"+B"

(AB)"=B"A"

Matrici Vidi

1. Rettangolare: mі n- numeri piuttosto positivi

2. Quadrato: m=n

3. Riga della matrice: m=1. Ad esempio, (1 3 5 7) - per molti compiti pratici, tale matrice è ​​chiamata vettore

4. Stufe Matrix: n=1. Per esempio

5. Matrice diagonale: m=nі a ij = 0, piace i≠j. Per esempio

6. Matrice sola: m=nі

7. Matrice zero: a ij =0, i=1,2,...,m

j=1,2,...,n

8. Matrice tricot: tutti gli elementi sotto la diagonale della testa sono uguali a 0.

9. Matrice simmetrica: m=nі un ij = un ji(per stare elementi uguali su diagonali della testa simmetriche), e anche A"=A

Per esempio,

10. Matrice inclinata: m=nі a ij =-a ji(Ecco perché sulle diagonali principali simmetriche sono presenti elementi protilenici). Inoltre, sulla diagonale della testa stanno gli zeri (perché con io=j può essere a ii =-a ii)

ho capito A"=-A

11. Matrice hermitiana: m=nі un ii =-ã ii (ã ji- complesso - ricevuto fino a un ji, poi. yakscho A=3+2i, quindi complesso - ottenuto Ã=3-2i)

Incarico di servizio. Calcolatrice Matrice assegnazioni per l'emergere di virus a matrice, ad esempio, come 3A-CB 2 o A -1 +B T .

Istruzione. Per soluzioni in lineaè necessario impostare la variabile matrice. In un'altra fase, sarà necessario chiarire la dimensione delle matrici. Operazioni consentite: moltiplicazione (*), somma (+), somma (-), matrice inversa A^(-1), step down (A^2, B^3), matrice di trasposizione (A^T).

Operazioni consentite: moltiplicazione (*), somma (+), somma (-), matrice inversa A^(-1), step down (A^2, B^3), matrice di trasposizione (A^T).
Per vedere l'elenco delle operazioni, usa il puntino di vimini con una virgola (;). Ad esempio, per vikonannya tre operazioni:
a) 3A + 4B
b) AB-BA
c) (AB) -1
devi scriverlo in questo modo: 3*A+4*B;A*B-B*A;(A-B)^(-1)

La matrice è una tabella numerica rettangolare, che ha m righe e n colonne, quindi la matrice può essere rappresentata schematicamente osservando un rettangolo.
Matrice zero (matrice nulla) nominare la matrice, tutti gli elementi uguali a zero e impostati a 0.
Matrice solaè chiamata matrice quadrata

Due matrici A e B uguali yakscho puzza della stessa dimensione e їх vіdpovіdnі elementi in esso.
Matrice virogeno viene chiamata la matrice, che è uguale a zero (Δ = 0).

In modo significativo operazioni di base sulle matrici.

Aggiunta di matrici

Appuntamento. La somma di due matrici A = | | a io k | | io B=||b io k || la stessa dimensione è chiamata matrice C=||c i k || calmarsi razmіrіv, elementi come perebuvayut per la formula c i k =a i k + b i k . Indicato come C=A+B.

Esempio 6. .
L'operazione di piegatura delle matrici si espande con il numero di addizioni. Ovviamente, A+0=A .
Ancora una volta, ti invitiamo a piegare più di una matrice della stessa dimensione; per matrici di diverse espansioni non è assegnata l'operazione di addizione.

Matrice di visione

Appuntamento. Vendita al dettaglio B-A una matrice B e A della stessa dimensione è chiamata matrice C tale che A+C=B.

Riproduzione di matrici

Appuntamento. Matrice aggiuntiva A=||a i k || il numero α è chiamato matrice C = | |

Appuntamento. Dare due matrici A=||a i k || (i=1,2,...,m; k=1,2,...,n) i B=||b i k || (k=1,2,...,n; j=1,2,...,p), inoltre, il numero di colonne in A è uguale al numero di righe in B . Il doboot da A a B è la matrice C=||c i k ||, i cui elementi sono dietro la formula .
Indicato come C=A·B.
Schematicamente, l'operazione di moltiplicazione delle matrici può essere rappresentata come segue:

e la regola per calcolare l'elemento di creazione:

Pidkremlimo tritare una volta, scho priblut a · b MAє Sens Todi Tilki Todi, se il numero dei passaggi del primo dorivnika Kilkosti è l'altro, sotto il lavoro del creativo, il numero del rullo arrotolato arrotolato Puoi controllare il risultato della moltiplicazione attraverso un apposito calcolatore online.

Esempio 7. Data una matrice і . Conoscere le matrici C = A B e D = B A.
Soluzione. Rispettosamente viene utilizzato A B, ma il numero di colonne A è uguale al numero di righe B.

Rispettosamente, il vipadku ha A·B≠B·A , quindi. matrici di dobutok in modo anticommutativo.
Conosciamo B A (più possibile).

Esempio 8. Data una matrice . Conoscere 3A 2 - 2A.
Soluzione.

.
; .
.
Questo è un fatto significativo.
A quanto pare, la somma di due numeri a doppio zero non è uguale a zero. Per le matrici, la situazione può essere simile o meno, per cui la produzione di matrici diverse da zero può apparire uguale a matrici nulle.

Rispettosamente, gli elementi di una matrice non possono essere altro che un numero. Fammi sapere che descrivi i libri, come stare sul tuo libro di polizia. Lascia che la polizia mantenga l'ordine e tutti i libri stiano sui luoghi del canto. La tabella, come corretta descrizione della tua biblioteca (dalla polizia e successivi libri sulla polizia), sarà anche una matrice. Ale, una tale matrice non sarà numerica. Secondo esempio. Al posto dei numeri stanno diverse funzioni, mangiate tra loro da una specie di maggese. La tabella di Otriman è anche chiamata matrice. In altre parole, il Matrix, per così dire, è un tavolo rettangolare, piegato simile elementi. Qui e oltre stiamo parlando di matrici, piegate da numeri.

Sostituisci i bracci rotondi per registrare le matrici posizionando bracci quadrati o linee verticali diritte.

(2.1*)

Appuntamento 2. Come un Virazi(1) m = n, poi parlane matrice quadrata, ma yakscho , poi circa rettangolare.

Il valore incolto di m e n è suddiviso in tipi speciali di matrici:

La caratteristica più importante quadrato matrici є її vyznachnik o determinante, Ciò che è formato dagli elementi della matrice ed è indicato

È ovvio che D E = 1; .

Appuntamento 3. Yakscho , poi la matrice UN chiamato non vergine o non particolarmente.

Appuntamento 4. Yakscho detA = 0, poi la matrice UN chiamato virogeno o specialmente.

Appuntamento 5. Due matrici UN і B chiamato pari lei scrive A=B come se il fetore potesse essere lo stesso, le differenze e gli elementi їх vitali sono uguali,.

Ad esempio, matrici e uguali, perché la puzza è più vicina al mondo e l'elemento pelle di una matrice è più vicino all'elemento simile di un'altra matrice. E l'asse della matrice i non può essere chiamato uguale, sebbene i determinanti di entrambe le matrici siano uguali e le matrici siano uguali, ma non tutti gli elementi che stanno negli stessi punti di uguale. Le matrici sono diverse, quindi è possibile un mondo diverso. La prima matrice è 2x3 e l'altra 3x2. Sebbene il numero di elementi sia lo stesso - 6 e gli elementi stessi siano gli stessi 1, 2, 3, 4, 5, 6, la birra puzza di stare in luoghi diversi vicino alla matrice della pelle. E l'asse della matrice è l'avanzamento, zgіdno z vznachennyam 5.

Appuntamento 6. Come riparare lo spratto della matrice UN e tale è il numero delle sue righe, gli stessi elementi che stanno sulla retina delle designazioni delle colonne e delle righe per stabilire una matrice quadrata n- esimo ordine, precursore di quello chiamato minore K- ordine di matrice UN.

culo. Scrivi tre minori in un diverso ordine della matrice

In questo argomento verranno considerate operazioni di questo tipo, come l'aggiunta di quella matrice di input, la moltiplicazione di una matrice per un numero, la moltiplicazione di una matrice per una matrice, la trasposizione di una matrice. Usі znachennya, scho vikoristovuyutsya sul lato ts_y, tratto dagli argomenti in primo piano.

Piegare quella matrice visiva.

La somma delle matrici $A+B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e $B_(m\times n)=(b_(ij))$ è la matrice $C_(m\ volte n) =(c_(ij))$, dove $c_(ij)=a_(ij)+b_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline(1 ,n) $.

Immettere una designazione simile per matrici diverse:

La differenza tra le matrici $A-B$ $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e $B_(m\times n)=(b_(ij))$ è la matrice $C_(m\times n )=( c_(ij))$, de $c_(ij)=a_(ij)-b_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline(1,n )$.

Spiegazione prima del post $i=\overline(1,m)$: show\hook

La voce "$i=\overline(1,m)$" significa che il parametro $i$ cambia da 1 a m. Ad esempio, la notazione $i=\overline(1,5)$ si riferisce a quelli in cui il parametro $i$ assume il valore 1, 2, 3, 4, 5.

Si prega di prestare attenzione al fatto che le operazioni di addizione ed esercizio sono intese solo per matrici della stessa dimensione. Vzagali, aggiunta e vіdnіmannya matrici - operazioni, chiare intuitivamente, più puzzolente, infatti, è meno sommatoria o elementi più ovvi.

Culo n. 1

Si danno tre matrici:

$$ A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)\;\; B=\left(\begin(array) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right); \;\; F=\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \-5 & 4 \end(array) \right). $$

Chi puoi conoscere la matrice $A+F$? Conoscere le matrici $C$ e $D$, ovvero $C=A+B$ e $D=A-B$.

La matrice $A$ serve per spazzare 2 righe e 3 colonne (in altre parole, l'espansione della matrice $A$ è $2\volte 3$), e la matrice $F$ per spazzare 2 righe e 2 righe. Le espansioni delle matrici $A$ e $F$ non sfuggono, quindi possiamo sommarle. l'operazione $A+F$ per queste matrici non è assegnata.

Si espandano le matrici $A$ e $B$, quindi. i dati della matrice dovrebbero essere uguali al numero di righe e stovptsiv, sarà richiesta l'operazione di aggiunta ad esse.

$$ C=A+B=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)+ \left(\begin(array ) ) (ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1+10 & -2+ ( -25) & 1+98 \\ 5+3 & 9+0 & -8+(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right) $$

Conosciamo la matrice $D=A-B$:

$$ D=AB=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \end(array) \right)- \left(\begin(array) ( ccc) 10 & -25 & 98 \\ 3 & 0 & -14 \end(array) \right)=\\= \left(\begin(array) (ccc) -1-10 & -2-(-25 ) & 1-98 \\ 5-3 & 9-0 & -8-(-14) \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -11 & 23 & -97 \ \ 2 & 9 & 6 \end(array) \right) $$

Vidpovid: $C=\left(\begin(array) (ccc) 9 & -27 & 99 \\ 8 & 9 & -22 \end(array) \right)$, $D=\left(\begin(array) (ccc) -11 e 23 e -97 \\ 2 e 9 e 6 \end(array) \right)$.

Moltiplicare una matrice per un numero.

La matrice aggiuntiva $A_(m\times n)=(a_(ij))$ per il numero $\alpha$ è la matrice $B_(m\times n)=(b_(ij))$, dove $b_( ij)= \alpha\cdot a_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline(1,n)$.

Apparentemente più semplice, moltiplicare la matrice per il numero significa moltiplicare l'elemento skin della matrice data per il numero intero.

Culo #2

Data una matrice: $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)$. Conoscere le matrici $ 3 cdot A $, $ -5 cdot A $ i $ - A $.

$$ 3\cdot A=3\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right) =\left(\begin( array) (ccc) 3cdot(-1) e 3cdot(-2) e 3cdot 7 \ 3cdot 4 e 3cdot 9 e 3cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right).\\ -5\cdot A=-5\cdot \left(\begin (array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 e 9 e 0 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (ccc) -5\cdot(-1) & - 5\cdot(-2) & -5\cdot 7 \ -5\cdot 4 & -5\cdot 9 & -5\cdot 0 \end(array) \right)= \left(\begin(array) ( ccc) 5 & 10 & -35 \ -20 & -45 & 0 \end(array)\right). $$

La notazione $-A$ è una notazione breve per $-1\cdot A$. Quindi, per conoscere $-A$, devi moltiplicare tutti gli elementi della matrice $A$ per (-1). In sostanza, significa che il segno di tutti gli elementi nella matrice $A$ viene cambiato in prolungamento:

$$ -A=-1\cdot A=-1\cdot \left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 7 \\ 4 & 9 & 0 \end(array) \right)= \ left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right) $$

Vidpovid: $3\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) -3 & -6 & 21 \\ 12& 27 & 0 \end(array) \right);\; -5\cdot A=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 10 & -35 \\ -20 & -45 & 0 \end(array) \right);\; -A=\left(\begin(array) (ccc) 1 & 2 & -7 \\ -4 & -9 & 0 \end(array) \right)$.

Dobutok due matrici.

Lo scopo di queste operazioni è ingombrante e, a prima vista, irragionevole. Ti dirò in fondo alla testa un appuntamento più serio, e poi riferiremo cosa significa e come risolverlo.

Il sottoinsieme della matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ sulla matrice $B_(n\times k)=(b_(ij))$ è la matrice $C_(m\times k) )=(c_( ij))$, per un elemento skin $c_(ij)$ elementi i-esimo righe della matrice $A$ sugli elementi della j-esima colonna della matrice $B$: $$c_(ij)=\sum\limits_(p=1)^(n)a_(ip)b_(pj), \; \; i=\overline(1,m), j=\overline(1,n).$$

La moltiplicazione di matrici di Pokrokov è presa dal calcio. Tuttavia, si noti che non tutte le matrici possono essere moltiplicate. Se vogliamo moltiplicare la matrice $A$ per la matrice $B$, allora è necessario indietreggiare, in modo che il numero di colonne nella matrice $A$ sia uguale al numero di righe nella matrice $B$ ( tali matrici sono spesso chiamate pleasezhenimi). Ad esempio, la matrice $A_(5\times 4)$ (la matrice ha 5 righe e 4 righe), non può essere moltiplicata per la matrice $F_(9\times 8)$ (9 righe e 8 righe), il numero di righe della matrice $A $ non è uguale al numero di righe nella matrice $ F $, tutto qui. $4\neq 9$. E la moltiplicazione della matrice $A_(5\times 4)$ per la matrice $B_(4\times 9)$ è possibile, ma il numero di colonne nella matrice $A$ è maggiore del numero di righe nella matrice $B$. In questo caso, il risultato della moltiplicazione delle matrici $A_(5\times 4)$ e $B_(4\times 9)$ sarà la matrice $C_(5\times 9)$, che coprirà 5 righe e 9 colonne:

Culo #3

Data una matrice: $ A = \ left ( \ begin (array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & -5 \ end (array) \right)$ i $ B=\left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right ) $. Conosci la matrice $C = A\cpunto B$.

L'ordine di grandezza è significativo per l'espansione della matrice $C$. Se la matrice $A$ è $3\volte 4$ e $B$ è $4\volte 2$, allora la matrice $C$ è $3\volte 2$:

Quindi, come risultato dell'addizione delle matrici $A$ e $B$, prendiamo alternativamente la matrice $C$, che è composta da tre righe e due colonne: $ C = \ left ( \ begin (array) ( cc) c_ (11) & c_ ( 12) \c_(21) & c_(22) \c_(31) & c_(32) \end(array) \right)$. Per quanto riguarda il significato degli elementi, puoi guardare l'argomento principale: "Matrici. Vedi la matrice. Termini di base", sulla pannocchia viene spiegato il significato degli elementi della matrice. Il nostro meta è conoscere i valori di tutti gli elementi nella matrice $C$.

Diamo un'occhiata all'elemento $c_(11)$. Per prendere l'elemento $c_(11)$, è necessario conoscere la somma delle creazioni degli elementi della prima riga della matrice $A$ e della prima colonna della matrice $B$:

Per conoscere l'elemento $c_(11)$, è necessario moltiplicare gli elementi della prima riga della matrice $A$ per i secondi elementi della prima colonna della matrice $B$, quindi. il primo elemento è il primo, l'altro è l'altro, il terzo è il terzo, il quarto è il quarto. È previsto il ritiro dei risultati:

$$ c_(11)=-1cpunto (-9)+2cpunto 6+(-3)cpunto 7 + 0cpunto 12=0. $$

Continuiamo la soluzione e conosciamo $c_(12)$. Per cui ti capita di moltiplicare gli elementi della prima riga della matrice $A$ e dell'altra riga della matrice $B$:

Simile alla parte anteriore, forse:

$$ c_(12)=-1cpunto 3+2cpunto 20+(-3)cpunto 0 + 0cpunto (-4)=37. $$

Vengono trovati tutti gli elementi della prima riga della matrice $C$. Passiamo a un'altra riga, che inizia l'elemento $c_(21)$. Per saperlo, moltiplica gli elementi di un'altra riga della matrice $A$ e della prima colonna della matrice $B$:

$$ c_(21)=5cpunto (-9)+4cpunto 6+(-2)cpunto 7 + 1cpunto 12=-23. $$

L'elemento di avanzamento $c_(22)$ è noto moltiplicando gli elementi di un'altra riga della matrice $A$ per gli elementi della seconda riga di un'altra riga della matrice $B$:

$$ c_(22)=5cpunto 3+4cpunto 20+(-2)cpunto 0 + 1cpunto (-4)=91. $$

Per conoscere $c_(31)$ moltiplica gli elementi della terza riga della matrice $A$ per gli elementi della prima colonna della matrice $B$:

$$ c_(31)=-8cpunto (-9)+11cpunto 6+(-10)cpunto 7 + (-5)cpunto 12=8. $$

Innanzitutto, il valore dell'elemento $c_(32)$ deve essere moltiplicato per gli elementi della terza riga della matrice $A$ per gli altri elementi di un'altra colonna della matrice $B$:

$$ c_(32)=-8cpunto 3+11cpunto 20+(-10)cpunto 0 + (-5)cpunto (-4)=216. $$

Tutti gli elementi della matrice $C$ sono stati trovati, non è sufficiente scrivere che $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \- -23 & 91 \\ 8 & 216 \end( matrice) \right)$ . Abo, scrivo ancora di più:

$$ C=A\cpunto B =\left(\begin(array) (cccc) -1 & 2 & -3 & 0 \\ 5 & 4 & -2 & 1 \\ -8 & 11 & -10 & - 5 \end(array) \right)\cdot \left(\begin(array) (cc) -9 & 3 \\ 6 & 20 \\ 7 & 0 \\ 12 & -4 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right). $$

Vidpovid: $C=\left(\begin(array) (cc) 0 & 37 \-23 & 91 \\ 8 & 216 \end(array) \right)$.

Prima del discorso, spesso non ha senso riportare il significato dell'elemento pelle nel risultato matrice. Per le matrici, il cui numero è piccolo, puoi trovarlo in questo modo:

$$ \left(\begin(array) (cc) 6 & 3 \- -17 & -2 \end(array)\right)\cdot \left(\begin(array) (cc) 4 & 9 \\ - 6 e 90 \end(array) \right) =\left(\begin(array) (cc) 6cdot(4)+3cdot(-6) & 6cdot(9)+3cdot(90) ) \\ -17\cdot (4)+(-2)\cdot(-6) & -17\cdot(9)+(-2)\cdot(90) \end(array) \right) =\left (\begin(array) ( cc) 6 e 324 \- -56 e -333 \end(array) \right) $$

Si noti che la moltiplicazione delle matrici non è commutativa. Tse significa che in natura vapadka $A\cdot B\neq B\cdot A$. Solo per alcuni tipi di matrici, come nominare permutativo(altrimenti pendolarismo), uguale $A cdot B = B cdot A $. La stessa non commutatività della moltiplicazione, è necessario mostrare come moltiplichiamo moltiplicando quel chi e un'altra matrice: a destra, il chi è il male. Ad esempio, la frase "moltiplica la parte incriminata della parità $3E-F=Y$ per la matrice $A$ è destrorsa" significa che è necessario prendere la seguente parità: $(3E-F)\punto A= Y\cpunto A$.

La matrice $A_(n\times m)^(T)=(a_(ij)^(T))$, per gli elementi cioè $a_(ij)^(T)=a_(ji)$.

Apparentemente più semplice, per prendere la matrice trasposta $A^T$, è necessario che la matrice esterna $A$ sostituisca le colonne con righe doppie seguendo questo principio: prima riga - diventa la prima riga; buv un'altra fila - stai un'altra fila; essere la terza riga - diventare il terzo passaggio e così via. Ad esempio, conosciamo la matrice trasposta nella matrice $A_(3\times 5)$:

Chiaramente, poiché la matrice di output è piccola $ 3 \ x 5 $, la matrice trasposta è $ 5 \ x 3 $.

Caratteristiche effettive di operazioni su matrici.

Qui viene comunicato che $ alpha $, $ beta $ sono numeri decimali e $ A $, $ B $, $ C $ sono matrici. Per le prime autorità chotirioh, dopo aver indicato il nome, la reshta può essere nominata per analogia con la prima chotirma.

In questo articolo possiamo scegliere come eseguire l'operazione di addizione su matrici dello stesso ordine, l'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero e l'operazione di moltiplicazione di matrici nello stesso ordine, assiomaticamente, possiamo mettere la potenza di operazioni e discutere anche la priorità delle operazioni sulle matrici. Parallelamente alla teoria, stiamo guidando le soluzioni di report delle applicazioni, in cui vengono eseguite operazioni sulle matrici.

È altamente rispettato che tutto ciò che è stato detto di seguito sia ricondotto a matrici, da elementi come є dіysnі (o complessi).

Navigazione a lato.

L'operazione di piegare due matrici.

Operazione designata di piegare due matrici.

L'operazione di somma è stata assegnata SOLO PER MATRICI DELL'UN ORDINE. In altre parole, è impossibile conoscere la somma delle matrici di diversa dimensionalità, ed è impossibile parlare di ripiegamento della matrice di dimensionalità variante. Quindi non puoi parlare della somma della matrice e del numero o della somma della matrice e di qualsiasi altro elemento.

Appuntamento.

Somma di due matrici i - la matrice, i cui elementi sono uguali alla somma dei corrispondenti elementi delle matrici A e B, tobto.

Pertanto, il risultato dell'operazione di piegatura di due matrici è una matrice dello stesso ordine.

La potenza del funzionamento delle matrici pieghevoli.

Che tipo di potenza può il funzionamento delle matrici pieghevoli? Sulla catena, è facile ottenere risposte, a seconda della somma di due matrici di un dato ordine e indovinando la potenza dell'operazione di piegare numeri reali (abo complessi).

1. Per matrici A, B e C dello stesso ordine, il potere di associatività è caratteristico della somma A + (B + C) = (A + B) + C.
2. Per le matrici del primo ordine, c'è un elemento neutro dopo l'addizione, che è una matrice zero. Quindi la potenza di A+O=A è giusta.
3. Per una matrice A diversa da zero di un dato ordine, la matrice (-A) con la sua somma è una matrice zero: A + (-A) = O .
4. Per matrici A i di questo ordine, la potenza di commutatività di piegare A + B = B + A è vera.

Successivamente, le matrici impersonali di un dato ordine danno origine a un gruppo di Abel additivo (gruppo abeliano come l'operazione di algebra pieghevole).

Addizione di matrici - soluzione di applicazioni.

Diamo un'occhiata all'esempio di una matrice piegata.

culo.

Trova la somma delle matrici i .

Soluzione.

Gli ordini delle matrici A e B vengono aumentati e aumentati di 4 per 2, quindi possiamo eseguire l'operazione di somma di una matrice i di conseguenza, prendiamo la matrice di ordine 4 per 2. È necessario progettare l'operazione di piegatura di due matrici, aggiungendo più elemento per elemento:

culo.

Trova la somma di due matrici і gli elementi sono numeri complessi.

Soluzione.

Gli ordini di matrici di Oskіlki sono uguali, possiamo vikonat dodavannya.

culo.

Vikoite dodavannya tre matrici .

Soluzione.

Impiliamo la matrice A z B, quindi rimuoveremo la matrice, dodamo Z:

Togli la matrice zero.

L'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero.

Operazione designata di moltiplicazione di una matrice per un numero.

L'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero viene assegnata PER UNA MATRICE DI QUALSIASI ORDINE.

Appuntamento.

Somma di una matrice e di un numero decimale (o complesso).- l'intera matrice, i cui elementi sembrano essere moltiplicati per i corrispondenti elementi della matrice di output per il numero , cioè .

In questo ordine, il risultato della moltiplicazione di una matrice per un numero є è una matrice dello stesso ordine.

La potenza dell'operazione di moltiplicare una matrice per un numero.

Dalla potenza dell'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero, è possibile che moltiplicando una matrice zero per un numero zero dia una matrice zero e l'aggiunta di un numero aggiuntivo e una matrice zero sia una matrice zero.

Moltiplicando una matrice per un numero - applica quel versetto.

Diamo un'occhiata all'operazione di moltiplicazione di una matrice per un numero sui mozziconi.

culo.

Trova il numero aggiuntivo 2 e la matrice .

Soluzione.

Per moltiplicare la matrice per un numero, devi moltiplicare l'elemento per il numero intero:

culo.

Trova la moltiplicazione della matrice per il numero.

Soluzione.

Moltiplichiamo l'elemento skin della matrice data per il numero intero:

L'operazione di moltiplicazione di due matrici.

Operazione dedicata di moltiplicazione di due matrici.

L'operazione di moltiplicazione di due matrici A e B è applicabile solo per la caduta, se il numero di colonne della matrice A è uguale al numero di righe della matrice B.

Appuntamento.

Riavvia la matrice A nell'ordine della matrice In ordine- tale matrice del 3° ordine, l'elemento skin è la somma più preziosa degli elementi della i-esima riga della matrice sugli elementi simili della j-esima colonna della matrice B, quindi,

Pertanto, il risultato dell'operazione di moltiplicazione di una matrice in ordine per una matrice è una matrice in ordine.

Riproduzione di una matrice per matrice - soluzione di applicazioni.

Diamo un'occhiata alla moltiplicazione delle matrici sui mozziconi, dopodiché si passerà all'override delle potenze dell'operazione di moltiplicazione delle matrici.

culo.

Trova tutti gli elementi della matrice C, come fare per moltiplicare le matrici і .

Soluzione.

L'ordine della matrice A viene aumentato di p = 3 di n = 2, l'ordine della matrice viene aumentato di n = 2 di q = 4 e l'ordine della matrice sarà p = 3 di q = 4 . Accelerare con la formula

Coerentemente, prendiamo il valore di i da 1 a 3 (scale p=3) per la pelle j da 1 a 4 (scale q=4), e n=2 nel nostro caso, quindi

Pertanto, tutti gli elementi della matrice Z e della matrice vengono calcolati, quando si moltiplicano due matrici date, possono apparire .

culo.

Digitalizza la matrice del moltiplicatore .

Soluzione.

Gli ordini delle matrici esterne ci permettono di effettuare l'operazione di moltiplicazione. Di conseguenza, possiamo prendere una matrice di ordine 2 per 3.

culo.

Data una matrice . Trova le matrici aggiuntive A e B, nonché le matrici B e A.

Soluzione.

Se l'ordine della matrice è 3 per 1 e la matrice è 1 per 3, allora A⋅B è l'ordine di 3 per 3 e la matrice aggiuntiva B e A è l'ordine di 1 per 1.

Yak bachite, . Questo è uno dei poteri dell'operazione di moltiplicazione delle matrici.

La potenza dell'operazione di moltiplicazione di matrici.

Se le matrici A, B e C sono dello stesso ordine, allora vale quanto segue potenza dell'operazione di moltiplicazione di matrici.

Quello che segue è il valore che, per ordini differenti, sommando una matrice zero alla matrice A dà una matrice zero. Dobutok A fornisce anche una matrice zero, in modo che gli ordini di grandezza consentano l'operazione di moltiplicazione delle matrici.

Le matrici del quadrato medio sono chiamate così matrici di permutazione, L'operazione di moltiplicazione è commutativa, quindi . Il calcio delle matrici di permutazione è una coppia di matrici singole, sia essa un'altra matrice dello stesso ordine, quindi è giusto.

Priorità delle operazioni sulle matrici.

Le operazioni di moltiplicazione di una matrice per un numero e moltiplicazione di una matrice per una matrice hanno uguale priorità. Proprio in quell'ora dell'operazione, la priorità è più alta, l'operazione più bassa è la piegatura di due matrici. In questo ordine, la moltiplicazione della matrice viene contata per il numero di quella moltiplicazione delle matrici, quindi viene eseguita l'addizione delle matrici. Tuttavia, l'ordine delle operazioni sulle matrici può essere assegnato in modo esplicito per un arco aggiuntivo.

Inoltre, la priorità delle operazioni sulle matrici è simile alla priorità assegnata alle operazioni di addizione e moltiplicazione di numeri reali.

culo.

Data una matrice . Scopri dalle matrici date assegnate a dії .

Soluzione.

Iniziamo moltiplicando la matrice A per la matrice B:

Ora moltiplichiamo una singola matrice di un altro ordine E per due:

Aggiungiamo due matrici sottratte:

L'operazione di moltiplicazione della matrice rimossa per la matrice A è andata persa:

Si noti che le operazioni che esaminano matrici dello stesso ordine A e B non sono necessarie. La differenza tra due matrici è essenzialmente la somma della matrice A e delle matrici, moltiplicata davanti per meno uno: .

L'operazione di costruire una matrice quadrata nel mondo naturale non è di per sé autosufficiente, ma frammenti di successive moltiplicazioni di matrici.

Portiamo una borsa.

Alle matrici impersonali vengono assegnate tre operazioni: sommare matrici dello stesso ordine, moltiplicare una matrice per un numero e moltiplicare matrici dello stesso ordine. L'operazione di addizione di matrici impersonali di un dato ordine genera un gruppo di Abele.